1.2.1几个常用函数的导数

常见函数导数的应用1.设 f (x ) =xInx ，若 f '( X 。

)=2，贝U X 0= D. In22.函数f （x ） =2+Inx 在x=1处的导数为（ A. 2 B. 2n — x3.已知函数y=x en - 1 一 xA. nx e'C. 1 D. 0 ，则其导数 y'=( ) B. n -xC. 2x e D.n - 1 -xn - x ) x e4.已知函数f (x ) 2 2 A. eB. 2eC.=xe ，则 f ' 3e 2 D.（2）等于（ 5. F 列求导数运算正确的是（ A. (x+ )' =1 +-： x * JB. C. (3X )' =3x log 3XD. 2ln2(log 2X )' =1 xln2 (x 2cosx )' =- 2xsinx 6.已知 f (x ) =f (1) +xlnx ，则 f (e )=( A. 1+e B . C. 2+e D . 3 sin/ 7.若函数f (x ) =・1 ,则f '(0)等于( A. 1 B. C.- 1 D .- 2 8.已知函数x (x )=匸，则 f '( x ) e x -1 A . — x e x +1 B . — x e C . -x -1 1 -x xe9. A. x+ )' =1 +匚 B. K K log 2X )=ln2 C. (3x )' =3x log 3e D. (x 2cosx ) '=—2xs inx 10. 下列求导正确的是（ ).A. (3x 2 -2)' =3xB. (log 2x)F 列求导运算正确的是 1 x ln 2C. (cosx) =sinx1ln x=xinx y=—11.函数 ■■的导数为（1 - Iny1+lnxInx -1x-FlnxA. ■-B. .C.:.-D 尸2XK12.已知函数 f(x)= sinx ，贝U f ( n)=( )A ..二B .-r~ r~亠 7 Tt\ ''C. D. 、、2 二2兀2 二13.下列函数中，导函数是奇函数的是( )A . y=cosx xB . y=eC . y=lnxD . xy=a 14.设f (x ) =xe 的导函数为f '( x ),则f '( 1)的值为( )A. eB. e+1 C . 2e D. e+2215.已知函数 f (x ) = (2+x ) - 3x ,则 f'( 1)为( )A. 6B. 0C. 3D. 716.下列函数求导运算正确的有( )①(3x ) ' =3og 3e ； ®(log 2x )3( e x ) ' =e④ (」)’=xlllK ⑤ (x?e *) =e x (1+x )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个17. 若 y= 一 :’，则 y '=( )18.已知函数 y = xsinx ，贝U y =()sin x -xcosxcosx19.函数■-的导数是( )_ sinxA.B.— sinxC. FD. -(A) cosx (B)— cosx(C) sinx xcosx(D)A.B.C.sin x7^2sm x-2xsinx+(l - X 2)D.sinx-2xsinx - (1 - x 2)sinx3220.已知函数f (x ) =x +2x - 3的导函数为f '( x )，则f '(- 2)等于( )A. 4B. 6C. 10D. 20H25. 曲线y = lnx + x 在点M( 1, 1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是()113 4A. 4 B . 2 C . 4 D . 51 326. 设f (x)是f(x) x -x 的导函数，贝U f (T)等于34A. -2B. 0C. 2D31 3 527. 曲线y = §x 3— 2在点(1 ,-耳处切线的斜率为( )A ..3 B . 1 C . -1 D . -.328.过点(—1 , 0)作抛物线y =x 2 X * 1的切线，贝U 其中一条切线为()A. 2x y 2=0B. 3x-y 3=0C. x y1=0D. x-y1=021. 已知函数 f (x ) =x+cosx ，贝U f '(的) A. B.C. 1 -」D.—2 2 2 222.若 f(x)二sin ： -cosx ,则 f (_：J 等于(A. sin :D. 2sin :B .cos ：C23.函数y = 2x 2—的导数是x 1. ” 4x(x 2 +1)—4x 2A y22(x +1)B y2 3 c ” 4x(x +1)—4x Cy22(x +1)D. y1(A ) 41(B ) 2=( )).sin .‘；「：： cos ：( )_ 4x(x 2 1) - 4x 3 =(x 2 1)224x(x 1) 一 4x— 2 2 (x 1)(C ) 1 ( D )无法确定29. f (x^ax 3 3x 2 2,若 f (-1) =4，则 a 的值等于()芋B 兰C 兰D 凹33 3 3A . —3B. -6C. -9D. -12(x 2 cosx) = -2xsin x■xcosx 一 sinx 二 2 x32.函数y x 4x的图像在x =1处的切线过点( )A.(0,-2 ) B.( 0，2)C .(0, -14 )D.( 0, 14)33.若点 P 是函数 2f （x ）二 X -Inx 上任意一-点，则点 P 到直线X - y - 2 =的最小距离为（）.21A. 2B.2C.2D .34.（本小题满分10分，每题5 分）2x（1）求曲线y 二二 在点（1，1）处的切线方程;x +1f (X o h) _ f (X o _3h)h31. F 列求导数运算正确的是（A.C.D. (2sin 2x) =2cos2x（2 ）运动曲线方程为22t ，求t=3时的速度。

1.2导数的计算（教学设计）（1）1．2．1几个常用函数的导数；1.2.2基本初等函数的导数公式教学目标：知识与技能目标：（1）能够用定义求五个常用函数的导数，并熟悉求导数的三个步骤。

（2）使学生应用由定义求导数的三个步骤推导五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =的导数公式；并能运用这四个公式正确求函数的导数． 过程与方法目标：通过本节的学习，掌握利用导数的定义求导数的方法。

情感、态度与价值观目标：（1）通过本节的学习，进一步体会导数与物理知识之间的联系，提高数学的应用意识。

（2）通过本节的学习，培养学生对问题的分析能力与认识能力，进一步明白数学在研究整个自然科学中的重要位置。

教学重点： 五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =、y =的导数公式及应用教学难点： 五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =的导数公式教学过程： 一、复习回顾：1．求f(x)在x 0年的导数的步骤为： 1）求增量：∆y=f(x+∆x)-f(x)2)算比值：()()y f x x f x x x∆+∆-=∆∆ 3）求极限：y ’=0lim x yx∆→∆∆2．导数的几何意义。

二．创设情景，新课引入我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数． 三．师生互动，新课讲解： 1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00limlim 00x x yy ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y 0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00limlim 11x x yy x ∆→∆→∆'===∆以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x +∆+∆-==+∆∆所以00limlim (2)2x x yy x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆ 2y x '=表示函数y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011limlim ()x x y y x∆→∆→∆'==-=-∆5．函数()y f x =因为()()y f x x f xx x ∆+∆-==∆∆==所以0lim lim x x y y x ∆→∆→∆'===∆（2）推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'= 小结：基本初等函数的导数公式：例1（课本P14例1）假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？ 解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．变式训练1：（课本P15思考）如果上式（例1）中某种商品的P 0=5，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？例2 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x ；(6)y ＝1－2sin 2x 2.解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5；(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4； (4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝1434x -＝344x；(5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3；(6)y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，y ′＝(cos x )′＝－sin x .反思与感悟 若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导． 变式训练2：(1)下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x )′＝3x log 3e ；②(log 2x )′＝1x ln 2；③1(ln x )′＝x ；④若y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227.A ．1B ．2C ．3D ．4(2) ①已知f (x )＝5x ，则f ′(2)＝________. ②已知f (x )＝ln x ，且f ′(x 0)＝1x 20，则x 0＝________.答案 (1)C (2)①25ln 5 ②1解析 (1)①中(3x )′＝3x ln 3，②③④均正确． (2)①f ′(x )＝5x ln 5，f ′(2)＝25ln 5. ②f ′(x )＝1x ，∴f ′(x 0)＝1x 0＝1x 20，解得x 0＝1.例3：求过曲线y=cosx 上点P 132π（，）且与在这点的切线垂直的直线方程。

§1.2.1几个常用函数导数 校对人：聂格娇 审核人：刘励钧1.掌握四个公式，理解公式的证明过程；2.学会利用公式，求一些函数的导数；3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.1214复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量y ∆=（2）求平均变化率y x∆=∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xy x ∆∆→∆0lim =二、新课导学※ 学习探究探究任务一：函数()y f x c ==的导数.问题：如何求函数()y f x c ==的导数新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 .若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 即一直处于静止状态.试试： 求函数()y f x x ==的导数反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 .若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数(0)y kx k=≠增（减）的快慢与什么有关？※典型例题例1 求函数1()y f xx==的导数变式：求函数2()y f x x==的导数小结：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限.例2 画出函数1yx=的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.变式1：求出曲线在点(1,2)处的切线方程.变式2：求过曲线上点(1,1)且与过这点的切线垂直的直线方程.小结：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的.※动手试试练1. 求曲线2=-的斜率等于4的切线方程.21y x练2. 求函数()=y f x三、总结提升※学习小结1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：，，.2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.※知识拓展微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点.关于微积分的地位，恩格斯是这样评价的：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的纯粹的和惟一的功※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1.()0f x =的导数是（ ）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定2.已知2()f x x =,则(3)f '=（ ）A ．0B ．2xC ．6D ．93. 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点为（ ） A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)244. 过曲线1y x=上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是 5. 物体的运动方程为3s t =，则物体在1t =时的速度为 ，在4t =时的速度为 .1. 已知圆面积2S r π=，根据导数定义求()S r '.2. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500克氡气，那么t 天后，氡气的剩余量为()5000.834t A t =⨯.(1)氡气的散发速度是多少？(2)7)('A 的值是什么（精确到0. 1）?它表示什么意义？。

大学数学微积分基本公式微积分是数学的一门基础学科，是研究变化率和积分的学科。

微积分理论的基础是一些基本公式，这些公式在微积分的各个领域中都有重要的应用。

本文将介绍一些大学数学微积分中常用的基本公式。

1. 导数公式导数是函数变化率的度量，表示函数在某一点上的斜率。

以下是几个常用的导数公式：1.1 常数函数的导数：对于常数c，其导数为0，即d(cx)/dx = 0。

1.2 幂函数的导数：对于函数f(x) = x^n，其中n是实数，其导数为d(x^n)/dx = nx^(n-1)。

1.3 指数函数的导数：对于函数f(x) = e^x，其中e是自然对数的底数，其导数为d(e^x)/dx = e^x。

1.4 对数函数的导数：对于函数f(x) = ln(x)，其中ln表示自然对数，其导数为d(ln(x))/dx = 1/x。

1.5 三角函数的导数：对于函数f(x) = sin(x)，其导数为d(sin(x))/dx= cos(x)。

类似地，d(cos(x))/dx = -sin(x)，d(tan(x))/dx = sec^2(x)等。

2. 积分公式积分是导数的逆运算，表示函数的累积变化量。

以下是几个常用的积分公式：2.1 幂函数的积分：对于函数f(x) = x^n，其中n不等于-1，其积分为∫(x^n)dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中C是常数。

2.2 指数函数的积分：对于函数f(x) = e^x，其积分为∫(e^x)dx = e^x+ C。

2.3 对数函数的积分：对于函数f(x) = 1/x，其积分为∫(1/x)dx = ln|x|+ C。

2.4 三角函数的积分：对于函数f(x) = sin(x)，其积分为∫sin(x)dx = -cos(x) + C。

类似地，∫cos(x)dx = sin(x) + C，∫sec^2(x)dx = tan(x) + C等。

3. 极限公式极限是微积分中一个重要概念，用于描述函数在某点趋近于某个值的行为。

选修2-2 1.2 第1课时 几个常用的函数的导数一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝0，则y ′＝0 B ．若y ＝5x ，则y ′＝5 C ．若y ＝x －1，则y ′＝－x －2[答案] D2．若函数f (x )＝x ，则f ′(1)等于( ) A ．0 B ．－12C ．2D.12[答案] D[解析] f ′(x )＝(x )′＝12x ，所以f ′(1)＝12×1＝12，故应选D.3．抛物线y ＝14x 2在点(2,1)处的切线方程是( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝0[答案] A[解析] ∵f (x )＝14x 2，∴f ′(2)＝li m Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx＝li m Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14Δx ＝1.∴切线方程为y －1＝x －2.即x －y －1＝0. 4．已知f (x )＝x 3，则f ′(2)＝( ) A ．0 B ．3x 2C ．8D ．12[答案] D[解析] f ′(2)＝lim Δx →0 (2＋Δx )3－23Δx＝lim Δx →0 6Δx 2＋12Δx Δx ＝lim Δx →0 (6Δx ＋12)＝12，故选D. 5．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3D ．－3[答案] A[解析] 若α＝2，则f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A. 6．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[答案] D[解析] ∵y ＝x 3＋x 2－x －1∴Δy Δx ＝(1＋Δx )3＋(1＋Δx )2－(1＋Δx )－1Δx ＝4＋4Δx ＋(Δx )2，∴y ′|x ＝1＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0[4＋4·Δx ＋(Δx )2]＝4. 故应选D.7．曲线y ＝x 2在点P 处切线斜率为k ，当k ＝2时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1) C ．(1,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18[答案] C[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)， ∵y ＝x 2，∴y ′＝2x .∴k ＝＝2x 0＝2，∴x 0＝1，∴y 0＝x 20＝1，即P (1,1)，故应选C. 8．已知f (x )＝f ′(1)x 2，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[答案] A[解析] ∵f (x )＝f ′(1)x 2，∴f ′(x )＝2f ′(1)x ，∴f ′(0)＝2f ′(1)×0＝0.故应选A.9．曲线y＝3x上的点P(0,0)的切线方程为( )A．y＝－x B．x＝0 C．y＝0 D．不存在[答案] B[解析] ∵y＝3 x∴Δy＝3x＋Δx－3x＝x＋Δx－x(3x＋Δx)2＋3x(x＋Δx)＋(3x)2＝Δx(3x＋Δx)2＋3x(x＋Δx)＋(3x)2∴ΔyΔx＝1(3x＋Δx)2＋3x(x＋Δx)＋(3x)2∴曲线在P(0,0)处切线的斜率不存在，∴切线方程为x＝0.10．质点作直线运动的方程是s＝4t，则质点在t＝3时的速度是( )A.14433B.14334C.12334D.13443[答案] A[解析] Δs＝4t＋Δt－4t＝t＋Δt－t4t＋Δt＋4t＝t＋Δt－t(4t＋Δt＋4t)(t＋Δt＋t)＝Δt(4t＋Δt＋4t)(t＋Δt＋t)∴li m Δt →0 Δs Δt＝124t ·2t ＝144t 3， ∴s ′(3)＝14433 .故应选A.二、填空题11．若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为________． [答案] 某物体做瞬时速度为1的匀速运动[解析] 由导数的物理意义可知：y ′＝1可以表示某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 12．若曲线y ＝x 2的某一切线与直线y ＝4x ＋6平行，则切点坐标是________． [答案] (2,4)[解析] 设切点坐标为(x 0，x 20)，因为y ′＝2x ，所以切线的斜率k ＝2x 0，又切线与y ＝4x ＋6平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，故切点为(2,4)．13．过抛物线y ＝15x 2上点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，45的切线的斜率为______________． [答案] 45[解析] ∵y ＝15x 2，∴y ′＝25x∴k ＝25×2＝45.14．(2010·江苏，8)函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．[答案] 21[解析] ∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a 2k )的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.三、解答题15．过点P (－2,0)作曲线y ＝x 的切线，求切线方程． [解析] 因为点P 不在曲线y ＝x 上， 故设切点为Q (x 0，x 0)，∵y ′＝12x ，∴过点Q 的切线斜率为：12x 0＝x 0x 0＋2，∴x 0＝2，∴切线方程为：y －2＝122(x －2)，即：x －22y ＋2＝0.16．质点的运动方程为s ＝1t 2，求质点在第几秒的速度为－264.[解析] ∵s ＝1t2，∴Δs ＝1(t ＋Δt )2－1t2＝t 2－(t ＋Δt )2t (t ＋Δt )＝－2t Δt －(Δt )2t (t ＋Δt )∴li m Δt →0 Δs Δt ＝－2t t 2·t 2＝－2t 3.∴－2t 3＝－264，∴t ＝4. 即质点在第4秒的速度为－264.17．已知曲线y ＝1x.(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q (1,0)处的切线方程； (3)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．[解析] ∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x2.(1)显然P (1,1)是曲线上的点．所以P 为切点，所求切线斜率为函数y ＝1x在P (1,1)点导数．即k ＝f ′(1)＝－1.所以曲线在P (1,1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即为y ＝－x ＋2.(2)显然Q (1,0)不在曲线y ＝1x上．则可设过该点的切线的切点为A ⎝⎛⎭⎪⎫a ，1a ，那么该切线斜率为k ＝f ′(a )＝－1a2.则切线方程为y －1a ＝－1a2(x －a )．①将Q (1,0)坐标代入方程：0－1a ＝－1a2(1－a )．解得a ＝12，代回方程①整理可得：切线方程为y ＝－4x ＋4.(3)设切点坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a ，则切线斜率为k ＝－1a 2＝－13，解得a ＝±3，那么A ⎝⎛⎭⎪⎫3，33，A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，3－3.代入点斜式方程得y －33＝－13(x －3)或y ＋33＝－13(x ＋3)．整理得切线方程为y ＝－13x ＋233或y ＝－13x －233.18．求曲线y ＝1x与y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．[解析] 两曲线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1.∴y ′＝－1x2，∴k 1＝－1，k 2＝2x |x ＝1＝2，∴两切线方程为x ＋y －2＝0,2x －y －1＝0，所围成的图形如上图所示． ∴S ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝34.。

1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标] 1.能根据定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．知识点一 几个常用函数的导数思考 (1)函数f (x )＝c ，f (x )＝x ，f (x )＝x 2的导数的几何意义和物理意义分别是什么？ (2)函数f (x )＝1x 导数的几何意义是什么？知识点二基本初等函数的导数公式思考由函数y＝x，y＝x2的导数，你能得到y＝xα(α∈Q*)的导数吗？如何记忆该公式？题型一运用求导公式求常见的基本初等函数的导数例1求下列函数的导数：(1)y＝1x5；(2)y＝12log x；(3)y＝cos π4；(4)y＝22x.反思与感悟 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y ＝x 8；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x； (3)y ＝x x ；(4)y ＝12log x .题型二 利用导数公式求曲线的切线方程例2 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝⎛⎭⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．反思与感悟 导数的几何意义是曲线在某点处的切线斜率，两条直线互相垂直时，其斜率之积为－1(在其斜率都存在的情形下)． 跟踪训练2 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．在利用求导公式时，因没有进行等价变形出错例3 求函数y ＝3x 2的导数． 错解 ∵y ＝3x 2，∴y ＝x 32，故y ′＝3212x .错因分析 出错的地方是根式化为指数幂，没有进行等价变形，从而导致得到错误的结果． 正解 ∵y ＝3x 2＝23x ，∴y ′＝2313x -.防范措施 准确把握根式与指数幂的互化：nx m ＝m nx ，1n x m＝m nx-.1．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．32．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36B ．0 C.12xD.323．给出下列结论：①⎝⎛⎭⎫cos π6′＝－sin π6＝－12； ②若y ＝1x 2，则y ′＝－2x －3；③若f (x )＝3x ，则[f ′(1)]′＝3； ④若y ＝5x ，则y ′＝155x .其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．44．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．5．求下列函数的导数：(1)y＝1x3；(2)y＝3 x.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y＝1－2sin2x2的导数．因为y＝1－2sin2x2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．提醒：完成作业 1.2.1～1.2.2(一)答案精析知识梳理 知识点一0 1 2x －1x 2 12x思考 (1)常数函数f (x )＝c ：导数为0，几何意义为函数在任意点处的切线垂直于y 轴，斜率为0；当y ＝c 表示路程关于时间的函数时，y ′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．一次函数f (x )＝x ：导数为1，几何意义为函数在任意点处的切线斜率为1，当y ＝x 表示路程与时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动；一般地，一次函数y ＝kx ：导数y ′＝k 的几何意义为函数在任意点处的切线斜率为k ，|k |越大，函数变化得越快．二次函数f (x )＝x 2：导数y ′＝2x ，几何意义为函数y ＝x 2的图象上点(x ，y )处的切线斜率为2x ，当y ＝x 2表示路程关于时间的函数时，y ′＝2x 表示在时刻x 的瞬时速度为2x . (2)反比例函数f (x )＝1x ：导数y ′＝－1x 2，几何意义为函数y ＝1x 的图象上某点处切线的斜率为－1x 2. 知识点二0 αx α－1 cos x －sin x a x ln a e x1x ln a 1x思考 因y ＝x ，得y ′＝1；y ＝x 2，得y ′＝2x ，故y ＝x α的导数y ′＝αx α－1，结合该规律，可记忆为“求导幂减1，原幂作系数”． 题型探究例1 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 5′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x 6； (2)y ′＝1x ln 12＝－1x ln2；(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos π4′＝0； (4)y ′＝(22x )′＝(4x )′＝4x ·ln 4. 跟踪训练1 解 (1)y ′＝8x 7； (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2；(3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝32x 12；(4) y ′＝1x ln 13＝－1x ln 3.例2 解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π6，12处的切线斜率是： y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23⎝⎛⎭⎫x －π6， 即2x ＋3y －32－π3＝0. 跟踪训练2 解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1. 又∵f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)．∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)．又∵切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)． 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1.当x 0＝2时，f ′(x 0)＝1，此时所求切线方程为x －y －4＝0； 当x 0＝1时，f ′(x 0)＝0，此时所求切线方程为y ＋2＝0. 故经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为 x －y －4＝0或y ＋2＝0. 当堂检测1．D [令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义，可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.]2．A [∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.]3．A [cos π6＝32为常数，则⎝⎛⎭⎫cos π6′＝0，所以①错误；y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，所以②正确；因为f (x )＝3x ，所以f ′(x )＝3，所以[f ′(1)]′＝0，所以③错误；y ′＝(5x )′＝⎝⎛⎭⎫x 15′＝15x －45，所以④错误．] 4.12e 2 解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.5．解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －3－1＝－3x －4. (2)y ′＝(3x )′＝(x 13)′＝13x 13－1＝13x －23.。

旧知回顾函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.00()();f x x f xyx x+∆-∆=∆∆lim.xyyx∆→∆'=∆（1）求增量（2）算比值（3）求极限新课导入我们知道，导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么，对于函数y=f(x)，如何求它的导数呢？上节内容，我们讲述了导数的定义，可以根据定义求导数. 这节课我们求几个常见函数的导数.3.2 导数的计算导数的计算常见函数导数基本初等函数的导数公式导数运算法则3.2.1 几个常见函数的导数教学目标知识与能力（1）深刻理解导数的几何意义.（2）根据导数定义求基本函数的导数.过程与方法（1）通过分析实例，了解求导数的方法. （2）掌握几个基本函数的导数.情感态度与价值观根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式，更好的学习导数等概念.教学重难点 重点难点 根据导数定义求解导数方法.21y =c,y =x,y =x ,y =,y =x x 会根据导数的定义求五个函数的导数.知识要点根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.1.函数y=f(x)=c的导数.0lim .x ∆→''= y =f(x)=C,ΔyΔy=f(x+Δx)-f(x)=C -C,=0ΔxΔy ∴f (x)=C =0Δx证明:概念理解若 y=c （如图）表示路程关于时间的函数，则y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.知识拓展公式1: C=0(C为常数)2. 函数y=f(x)=x 的导数 00lim lim 111x x δδ→→==='证明：Δyf(x +Δx)-f(x)∵==Δx Δx Δy ∴y Δx概念理解若 y=x（如图1.2–2）表示路程关于时间的函数，则y′=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.探究2,3,4y x y x y x===在同一直角坐标系中，画出函数的图像，并根据导数定义，求它们的导数.2040608010012345678910111213141516171819202122xy=2x y=3x y=4x（1）从图像上看，它们的导数分别表示什么？2,3,4y x y x y x === 从图像上看，函数的导数分别表示这些直线的斜率.（2）这三个函数中，哪一个增加的最快？哪一个增加的最慢？在这三个函数中，y=4x增加的最快，y=3x增加的最慢.（3）函数y=kx(k≠0)增（减）的快慢与什么有关？解：函数增加的快慢与k有关系，即与函数的导数有关系，k越大，增加的越快，反之，越慢.3. 函数y=f(x)= 的导数 2x 00lim lim x x δδ→→==22222'证明：Δy f(x +Δx)-f(x)(x +Δx)-x∵==Δx Δx Δxx +2x Δx +(Δx)-x =Δx=2x +ΔxΔy ∴y (2x +Δx)=2x.Δx ×概念理解 0510152025301234567891011系列2 若 表示路程关于时间的函数，则 可以解释为某物体做变速速度，它在时刻x 的瞬时速度为2x. 2y x ='2y x =4. 函数y=f(x)= 的导数 1x证2'22δx→0δx→0明：Δy f(x +Δ'x)-f(x)x -(Δx)∵==Δx Δx x(x +Δx)Δx 1=-x +xΔxΔy11∴y =lim =lim (-)=-Δx x +xΔx x探究1画出函数y=的图像，x根据图像，描述它的变化情况，并求出曲线在点（1，1）处的切线方程.结合函数图像及其导数发现，当x<0时，随着x 的增加，函数 减少的越来越快；当x>0时，函数减少的越来越慢.'21y x =-1y x='x=1' 点（1，1）处的切线的斜率就是y |=-1,故斜率为-1，过点(1,1)的切线方程y =-x +2.5. 函数y=f(x)= 的导数x 'δx →0δx →0证明：Δy f(x +Δx)-f(x)x +Δx -x∵==Δx Δx Δx1=x +Δx +xΔy 11∴y =lim =lim =Δx x +Δx +x 2x知识拓展公式2: . )()(1Q n nx x n n ∈='- 请注意公式中的条件是 ,但根据我们所掌握的知识,只能就 的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n 可以是任意实数. n Q ∈*n N ∈例 13(1) (x ) 2(2) 3x 3'21(x )=3x 解：（）2' (2)3x )=6x（课堂小结1.根据定义求常用函数的导数.21 ,,,, y c y x y x yx ====课堂小结2. 根据定义求导数的具体步骤（1）计算 ，并化简. y x ∆∆（2）观察当△x 趋近于0时， 趋近于哪个定值.y x ∆∆（3） 趋近于的定值就是函数f=f(x)的函数.y x ∆∆3.认识导数不同方面的意义，建立不同意义方面的联系，能够在不同意义间进行转换.(2007浙江文)32曲线y =x -2x -4x+2在点(1,-3)处的切线方程是 .520x y +-=高考链接(2007江西理)设函数f(x)是R上以5为周期的可导函数，则函数曲线在x=5处的切线的斜率为（）B1A. -B. 051C. D. 55随堂练习1..3'1f'(x)f(x)=x+2x+12f(-1)是的导函数，则的值是311,,111.y x x y y x ⎧==⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩解：联立方程组解得故交点为（，） 求双曲线 与抛物线 交点处切线的夹角. 1y x =y x =2.211111,,1|1,(1,1)1;x y y x xk y y xk ='==-'∴==-==-双曲线故双曲线在交点处的 切线斜率为121121,,21|,(1,1)21;2x y x y x k y y x k -='=='∴==== 抛物线故抛物线在交点处的切线斜率为1212112tan |||| 3.111(1)2k k k k θ---===++-⋅arctan 3.θ∴=夹角由夹角公式：0||,()0,,1lim 1;x y x y x x xx y x x xy x ∆→=∆+∆-∴>===∆∆∆∴=∆当时则3.解：利用导数的定义求函数y=|x|（x≠0）的导数.00()(),1,lim 1;x x y x x x y x x xy x∆→<∆-+∆--=-==-∆∆∆∴=-∆当时10.10x y x >⎧'∴=⎨-<⎩。

《1.2.1几个基本函数的导数（1）——常见幂函数的导数》教学设计
（共1课时，第1课时）
【课程标准要求】
用导函数的定义推导函数3,
==的导数公式。

y x y
【教学目标】
1.理解各个公式的证明过程，进一步理解运用概念求导数的方法.
2.掌握常见幂函数的导数公式.
3.灵活运用公式求某些函数的导数.
【学情与内容分析】
本节课在导数概念学习的基础上，本节课进一步运用导数定义推导出几个常用的幂函数导数公式，引导学生从运用导数定义解决问题向运用导数公式解决问题的思路转化，训练学生直接运用导数公式来计算导数和解决具体问题，感受求导公式的便利性，降低思维难度，进一步提升数学能力和素养.
【教学准备】希沃课件。

【难重点】
重点：掌握几个常用的幂函数的导数公式，并能进行简单的应用.
难点：用定义推导函数3,
==的导数公式.
y x y
【教学过程】
【板书设计】
【评价设计】
【作业设计】
1、完成导学案内容
2、教材P26 2、
3、4【教学反思】。

1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、选择题1．下列各式中正确的个数是( )①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －2；③(1x)′＝－12x －32；④(5x 2)′＝25x －35； ⑤(cos x )′＝－sin x ；⑥(cos 2)′＝－sin 2.A ．3B ．4C ．5D ．62．已知函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C.12xD.32 3．正弦曲线y ＝sin x 上切线的斜率等于12的点为( ) A ．(π3，32) B ．(－π3，－32)或(π3，32) C ．(2k π＋π3，32)(k ∈Z ) D ．(2k π＋π3，32)或(2k π－π3，－32)(k ∈Z ) 4．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( )A ．4B ．－4C ．5D ．－55．已知曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b 等于( )A ．4B ．－4C ．28D ．－286．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )A ．f (x )＝e xB ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝sin x7．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．[0，π4]∪[3π4，π) B ．[0，π) C ．[π4，3π4] D ．[0，π4]∪[π2，3π4] 二、填空题 8．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1f ′(2)，则m ＝________. 9．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则适合方程f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 的值为________．10．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为____________．11．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．三、解答题12．求下列函数的导数．(1) y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4； (3)y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，试求f 2 018(x )．参考答案1．B 2.A 3.D 4.A 5.C 6.D 7.A8．－4 9.1或－13 10.(1,1) 11.12e 2 12．解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫5x 3′＝35()x '＝3535x －1＝35x －25＝355x 2 . (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1 ＝－4x －5＝－4x5. (3)∵y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1 ＝2sin x 2cos x 2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ln 2. 13．解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，∴f 2 018(x )＝f 2(x )＝－sin x .。