几个常见函数的导数

以下是一些常见函数的导数：
1. 常数函数：f(x)=c的导数为0。

2. 幂函数：f(x)=x^n的导数为f'(x)=nx^(n-1)。

3. 指数函数：f(x)=a^x的导数为f'(x)=a^x*lna。

4. 对数函数：f(x)=lnx的导数为f'(x)=1/x。

5. 三角函数：
* 正弦函数：f(x)=sinx的导数为f'(x)=cosx。

* 余弦函数：f(x)=cosx的导数为f'(x)=-sinx。

* 正切函数：f(x)=tanx的导数为f'(x)=sec^2x。

6. 反三角函数：
* 反正弦函数：f(x)=arcsinx的导数为f'(x)=1/√(1-x^2)。

* 反余弦函数：f(x)=arccosx的导数为f'(x)=-1/√(1-x^2)。

* 反正切函数：f(x)=arctanx的导数为f'(x)=1/(1+x^2)。

7. 双曲函数：
* 自然双曲正弦函数：f(x)=shx的导数为f'(x)=chx。

* 自然双曲余弦函数：f(x)=chx的导数为f'(x)=shx。

8. 幂函数：对于形如f(x)=ax^n的幂函数，其导数为
f'(x)=nax^(n-1)。

9. 分式函数：对于形如f(x)=u/v的函数，其中u和v都是可导的，其导数为f'(x)=(u'v-uv')/v^2。

这只是一部分常见函数的导数，实际上还有很多其他类型的函数，这些函数的导数都需要根据具体情况进行计算。

函数求导公式大全函数的导数是微积分中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

求导公式是求函数导数的工具，通过掌握各种函数的求导公式，可以更快捷地求解导数，解决实际问题。

本文将介绍常见的函数求导公式，希望能够帮助大家更好地理解和掌握函数的导数计算。

1. 常数函数的求导公式。

常数函数的导数等于0，即对于常数c，其导数为f'(x)=0。

2. 幂函数的求导公式。

幂函数的求导公式为，若f(x)=x^n，则f'(x)=nx^(n-1)，其中n为任意实数。

3. 指数函数的求导公式。

指数函数的求导公式为，若f(x)=a^x，则f'(x)=a^xlna，其中a为常数且a>0。

4. 对数函数的求导公式。

对数函数的求导公式为，若f(x)=lnx，则f'(x)=1/x。

5. 三角函数的求导公式。

（1）正弦函数的求导公式为，f'(x)=cosx。

（2）余弦函数的求导公式为，f'(x)=-sinx。

（3）正切函数的求导公式为，f'(x)=sec^2x。

（4）余切函数的求导公式为，f'(x)=-csc^2x。

6. 反三角函数的求导公式。

（1）反正弦函数的求导公式为，f'(x)=1/√(1-x^2)。

（2）反余弦函数的求导公式为，f'(x)=-1/√(1-x^2)。

（3）反正切函数的求导公式为，f'(x)=1/(1+x^2)。

（4）反余切函数的求导公式为，f'(x)=-1/(1+x^2)。

7. 复合函数的求导公式。

复合函数的求导使用链式法则，若y=f(u)和u=g(x)，则y=f(g(x))，其导数为f'(u)g'(x)。

8. 高阶导数的求导公式。

高阶导数是指对函数的导数再求导数，常用的高阶导数求导公式包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的高阶导数求导公式。

9. 隐函数的求导公式。

隐函数是指由x和y的关系式所确定的函数，其导数的求导公式需要使用隐函数求导法。

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在给定点处的变化率。

在微积分中有许多基本的初等函数，它们都有对应的导数公式和导数的运算法则。

下面，我将介绍一些常见的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则。

1.常数函数导数公式：如果f(x)=C，其中C为常数，则其导数为f'(x)=0。

2.幂函数导数公式：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则其导数为f'(x) = nx^(n-1)。

例如：f(x)=x^3，则f'(x)=3x^23.指数函数导数公式：如果f(x)=e^x，则其导数为f'(x)=e^x。

例如：f(x)=e^2，则f'(x)=e^24.对数函数导数公式：如果f(x) = ln(x)，则其导数为f'(x) = 1/x。

例如：f(x) = ln(2)，则f'(x) = 1/25.三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = sin(x)，则其导数为f'(x) = cos(x)。

(2) 如果f(x) = cos(x)，则其导数为f'(x) = -sin(x)。

(3) 如果f(x) = tan(x)，则其导数为f'(x) = sec^2(x)。

6.反三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = arcsin(x)，则其导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。

(2) 如果f(x) = arccos(x)，则其导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。

(3) 如果f(x) = arctan(x)，则其导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。

导数的运算法则：1.常数乘法法则：设c为常数，f(x)为可导函数，则(cf(x))' = c*f'(x)。

例如：如果f(x)=2x，则f'(x)=2*1=22.求和差法则：设f(x)，g(x)为可导函数，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。

最常见的导数公式在微积分中，导数是描述函数变化率的重要概念。

各种函数的导数具有一些常见的形式，掌握这些导数公式是解题的关键。

在本文中，我们将介绍一些最常见的导数公式，帮助读者更好地理解导数的计算方法。

1. 常数函数的导数对于常数函数f(f)=f，其中f为常数，其导数为0，即$$ \\frac{d}{dx}C = 0 $$这是因为常数函数的图像是一条水平线，在任意点的斜率都为0。

2. 幂函数的导数对于幂函数f(f)=f f，其中f为常数，其导数为$n \\cdot x^{n-1}$，即$$ \\frac{d}{dx}x^n = n \\cdot x^{n-1} $$这条公式可以用幂函数的导数定义以及幂函数的微分性质推导得出。

3. 指数函数的导数对于自然指数函数f(f)=f f，其导数仍然是f f，即$$ \\frac{d}{dx}e^x = e^x $$指数函数f f的导数与自身相等，这是指数函数在微积分中的一个重要性质。

4. 对数函数的导数对数函数的导数也有一些常见的形式。

对于自然对数函数$f(x) = \\ln x$，其导数为$\\frac{1}{x}$，即$$ \\frac{d}{dx}\\ln x = \\frac{1}{x} $$对数函数的导数经常在解决与指数函数相关的问题时使用。

5. 三角函数的导数三角函数在微积分中也经常出现，它们的导数具有一定的规律。

以下是一些常见三角函数的导数公式：•正弦函数$f(x) = \\sin x$的导数为$\\cos x$，即$\\frac{d}{dx}\\sin x = \\cos x$•余弦函数$f(x) = \\cos x$的导数为$-\\sin x$，即$\\frac{d}{dx}\\cos x = -\\sin x$•正切函数$f(x) = \\tan x$的导数为$\\sec^2 x$，即$\\frac{d}{dx}\\tan x = \\sec^2 x$•余切函数$f(x) = \\cot x$的导数为$-\\csc^2 x$，即$\\frac{d}{dx}\\cot x = -\\csc^2 x$三角函数的导数公式在解决三角函数相关问题时非常有用。

函 数 的 和、差、积、商
的 导 数
常见函数的导数
1、常函数：
C 0
特别： 特别：
2、一次函数： (kx b) k
n 1 3、幂函数： ( x ) nx n
x 1
( x 2 ) 2 x
1 1 ( ) 2 x x
4、指数函数：(a
x
) a ln a(a 0且a 1)
1 ( A) x x 1 ( B) x (C ) 2 x
3
1 ( D) 2x3
(3)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的 切线的倾斜角的取值范围是( D )
3 3 3 3 ( A)[0, ] ( B )[ , ) (C )[0, ) ( , ] ( D)[0, ] [ , ) 4 4 2 2 4 2 4
例:某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足
(1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点.
3 2 (2) s (t ) t 12t 32t , 令s(t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8,
2
练习1:已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4;(1)求曲线C上横坐 标为1的点的切线方程;(2)第(1)小题中切线与曲线C是 否还有其它公共点?如果有,求出这些点的坐标. 解:(1)把x=1代入曲线C的方程得切点(1,-4). y 12x 3 6 x 2 18x ,所以切线的斜率k=12-6-18= -12.故切线方程为y+4=-12(x-1),即y=-12x+8. y 3x4 2x3 9x2 4 ( 2)由 3 x 4 2 x 3 9 x 2 12x 4 0, y 12x 8

各种导数的求导公式求导公式是用来求函数导数的工具，它可以帮助我们快速准确地计算函数的导数。

在微积分中，导数是函数变化率的度量，它描述了函数在不同点上的斜率或变化率。

下面是常见的导数求导公式:1.常数函数的导数公式:如果f(x)=c，其中c是常数,则f'(x)=0。

2.幂函数的导数公式:如果 f(x) = x^n，其中 n 是实数, 则 f'(x) = nx^(n-1)。

3.指数函数的导数公式:如果 f(x) = a^x，其中 a 是指数底数, 则 f'(x) = ln(a) * a^x。

4.对数函数的导数公式:如果 f(x) = ln(x)，则 f'(x) = 1/ x。

5.三角函数的导数公式:- sin函数的导数公式：f(x) = sin(x)，则 f'(x) = cos(x)。

- cos函数的导数公式：f(x) = cos(x)，则 f'(x) = -sin(x)。

- tan函数的导数公式：f(x) = tan(x)，则 f'(x) = sec^2(x)。

6.反三角函数的导数公式:- arcsin函数的导数公式：f(x) = arcsin(x)，则 f'(x) =1/√(1-x^2)。

- arccos函数的导数公式：f(x) = arccos(x)，则 f'(x) = -1/√(1-x^2)。

- arctan函数的导数公式：f(x) = arctan(x)，则 f'(x) =1/(1+x^2)。

7.双曲函数的导数公式:- sinh函数的导数公式：f(x) = sinh(x)，则 f'(x) = cosh(x)。

- cosh函数的导数公式：f(x) = cosh(x)，则 f'(x) = sinh(x)。

- tanh函数的导数公式：f(x) = tanh(x)，则 f'(x) = sech^2(x)。

当一阶导数等于0的点，称 为函数的驻点，驻点可能是 极值点。
求最值
结合单调性和极值点，可以 求出函数的最大值和最小值。
02 二次函数
二次函数导数的定义
总结词
二次函数导数的定义是函数值关于自 变量的变化率。
详细描述
导数表示函数值随自变量变化的速率， 对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，其 导数f'(x)=2ax+b。
通过求导数，可以判断函数的单调性。 例如，对于函数$f(x) = x^3$，其导数 $f'(x) = 3x^{2}$在实数范围内恒大于 等于0，因此该函数在整个定义域内单 调递增。
利用导数可以求出函数的极值点。例如， 对于函数$f(x) = x^3$，其导数$f'(x) = 3x^{2}$，令其为0解得$x=0$，在 这一点左侧导数小于0，右侧导数大于 0，因此该点为极小值点。
05 幂函数
幂函数导数的定义
幂函数导数定义
如果函数$f(x) = x^n$，那么它的导数$f'(x) = nx^{n-1}$。
导数定义解释
导数表示函数在某一点的变化率，对于幂函数，其导数 与原函数的关系是，当$x$变化时，$f'(x)$表示$f(x)$的 增减速度。
幂函数导数的计算
计算方法
根据幂函数导数的定义，对于任意实数$n$，有$f'(x) = nx^{n-1}$。
举例
在物理学中，振动和波动的研究中经常需要用到三角函数的导 数；在工程学中，信号处理和控制系统等领域也需要用到三角
函数的导数。
结论
掌握三角函数导数的计算和应用对于解决实际问题具有重 要的意义。
04 对数函数

几个常用函数的导数
几个常用函数的导数
思维导航
1．你会用导数的定义求①f(x)＝c ②f(x)＝x(c为常数)的
导数吗？你能用导数的物理意义和几何意义解释上述结论吗？
2．依据导数的定义求y＝x2，y＝
1 x
，y＝
x ，y＝x3的导
数，观察分析得到的结果，你发现了什么？
原函数
导函数
f(x)＝x2
f ′(x)＝2x
②设曲线y＝
1 x
过点P(1,0)的切线与曲线相切于点A(x0，
x10)，则切线的斜率k＝－x102， ∴切线方程为y－x10＝－x120(x－x0)， ∵点P(1,0)在切线上，
∴－x10＝－x102(1－x0)，解得x0＝12.
故所求的切线方程为4x＋y－4＝0. [方法规律总结] 符合常用函数特点的函数求导数可依据
[正解] (1)易知P点在曲线y＝x3上，当P点为切点时，由 上面解法知切线方程为12x－y－16＝0.
当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切 线的斜率为k＝3x20.
∵A在曲线上，∴y0＝x30，∴xx300－－82＝3x20，
∴x30－3x20＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， ∴x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3， 此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0和 3x－y＋2＝0. [警示] 求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲 线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．
牛刀小试
1．下列结论不正确的是( )
A．若y＝0，则y′＝0
B．若y＝5x，则y′＝5
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2

1 1 x x x
x
x
x
x
xx
x x xx
x2
1 x
•
， x
所以
y'
lim
x0
y x
lim x0
x2
1 x • x
1 x2
.
探究
画出函数
y
1 x
的图象.根据图象,描述它的变化情况,并
求出曲线在点(1,1)处的切线方程.y
2 1
-2 -1
12
x
-1
-2
5.函数 y = f (x) = x 的导数
4.若f
x
1 x
, 则f
'
x
1 x2
；
5.若f x x,则f 'x 1 .
2x
推广:
公式2: ( xn ) nxn1 (n . Q)
请注意公式中的条件是 n Q,但根据我们所掌握的 知识,只能就 n N的* 情况加以证明.这个公式称为幂函
数的导数公式.事实上n可以是任意实数.
三、知识应用，深化理解
所以 y' lim y lim 1 1. x0 x x0
从几何的角度理解：
O
x
y=1表示函数y=x图象上每 一点处的切线斜率都为1.
从物理的角度理解：
若y=x表示路程关于时间的函数,则y=1可以解释为某 物体做瞬时速度为1的匀速运动.
探究
在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图 象,并根据导数定义,求它们的导数.
例 1. 求下列函数的导数．
⑴ x3
⑵1 x2
⑶x
解：⑴ ( x 3 ) 3 x31 3x2

以下是常见的16个基本导数公式：$ \frac{d}{dx}(c) = 0 $：常数函数的导数为0。

$ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} $：幂函数的导数等于指数乘以底数的指数减1。

$ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x $：正弦函数的导数是余弦函数。

$ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x $：余弦函数的导数是负正弦函数。

$ \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x $：正切函数的导数是它的平方的倒数。

$ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} $：自然对数函数的导数是它的倒数。

$ \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} $：常用对数函数的导数是它的倒数和自然对数a 的比率。

$ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x $：指数函数的导数等于它本身。

$ \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a $：以a 为底的幂函数的导数等于函数值和底数的自然对数的乘积。

$ \frac{d}{dx}(\sin^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $：反正弦函数的导数等于1除以根号下一减去x 的平方。

$ \frac{d}{dx}(\cos^{-1}x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $：反余弦函数的导数等于负1除以根号下一减去x 的平方。

$ \frac{d}{dx}(\tan^{-1}x) = \frac{1}{1+x^2} $：反正切函数的导数等于1除以1加上x 的平方。

$ \frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x $：双曲正弦函数的导数等于双曲余弦函数。

$ \frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x $：双曲余弦函数的导数等于双曲正弦函数。

16个基本导数公式详解在微积分中，导数是一个基本的概念。

它描述了函数在给定点的变化率。

了解导数的基本公式对于求解微积分问题是至关重要的。

在本文中，我们将详细讨论16个基本导数公式，每个公式都将包含定义、求导法则和常见的具体例子。

1.常数函数的导数：定义：如果函数$f(x)$是一个常数，则$f'(x)=0$。

求导法则：常数的导数是0。

例如：对于函数$f(x)=5$，它的导数$f'(x)=0$。

2.幂函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=x^n$，其中 $n$ 是一个正整数，则$f'(x)=nx^{n-1}$。

求导法则：对于幂函数，使用幂函数的指数作为系数，然后将指数减1例如：对于函数$f(x)=x^2$，它的导数$f'(x)=2x$。

3.指数函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=a^x$，其中 $a$ 是一个正常数且 $a \neq 1$，则 $f'(x)=a^x \ln(a)$。

求导法则：对于指数函数，使用指数和常数的乘积，并且乘以自然对数的底数。

例如：对于函数 $f(x)=2^x$，它的导数 $f'(x)=2^x \ln(2)$。

4.对数函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\log_a(x)$，其中 $a$ 是一个正常数且 $a\neq 1$，则 $f'(x)=\frac{1}{x \ln(a)}$。

求导法则：对于对数函数，使用1除以输入的自变量乘以自然对数的底数。

例如：对于函数 $f(x)=\log_2(x)$，它的导数 $f'(x)=\frac{1}{x\ln(2)}$。

5.正弦函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\sin(x)$，则 $f'(x)=\cos(x)$。

求导法则：正弦函数的导数是余弦函数。

例如：对于函数 $f(x)=\sin(2x)$，它的导数 $f'(x)=2\cos(2x)$。

6.余弦函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\cos(x)$，则 $f'(x)=-\sin(x)$。

导数的计算一、导数的概念1、y=f(x)在x=x0处的导数．2、y=f(x)的导(函)数．二、常见的函数的导数1、y=f(x)=c（c为常数）2、y=f(x)=x3、y=f(x)=x24、y=f(x)=5、三、基本初等函数的求导公式1、若f(x)=c(c为常数)，则f′(x)=0；2、若f(x)=xα(α∈Q*)，则f′(x)=αxα－1；3、若f(x)=sinx，则f′(x)=cosx；4、若f(x)=cosx，则f′(x)=－sinx；5、若f(x)=a x(a>0且a≠1)，则f′(x)=a x lna；6、若f(x)=e x，则f′(x)=e x；7、若f(x)=log a x(a>0且a≠1)，则f′(x)=；8、若f(x)=lnx，则f′(x)=．例1、假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p（元）与时间t（年）有如下函数关系：p(t)=p0(1＋5%)t，其中p0为t=0时的物价．假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：当p0=1时，p(t)=1.05t．∴p′(t)=1.05t ln1.05，∴p′(10)=1.0510ln1.05≈0.08（元/年）．因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．四、导数的运算法则1、[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)；2、[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)＋f(x) g′(x)；3、．推论：[cf(x)] ′=cf′(x)（c为常数）练习：1、已知函数f(x)=ax3＋9x2＋6x－7，若f′(－1)=4，则a=___________．答案：2、已知物体的运动方程是S=－2t2－12t(t表示时间，单位：秒，S表示位移，单位：米)，则瞬时速度为0的时刻是___________秒．答案：6五、复合函数的求导法则1、复合函数的定义：一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u，y可以表示为x的函数，那么称这个函数为y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x))．2、复合函数y=f(g(x))的导数：设y=f(u)，u=g(x)，则y x′=y u′·u x′或y x′=f′(g(x))·g′(x)．例2、求下列复合函数的导数．(1)y=(2x＋3)2；(2)y=e－0.05x＋1；(3)y=sin(πx＋)(π，为常数)．解：（1）．法二：函数y=(2x＋3)2可以看作函数y=u2和u=2x＋3的复合函数，∴y x′=y u′·u x′=2u·2=4u=4(2x＋3)=8x＋12．(2)y=e－0.05x＋1可以看作函数y=e u和u=－0.05x＋1的复合函数，∴y x′=y u′·u x′=e u·(－0.05)=－0.05e u=－0.05e－0.05x＋1．(3)y=sin(πx＋)可以看作函数y=sinu和u=πx＋的复合函数，∴y x′=y u′·u x′=(cosu)·π=πcosu=πcos(πx＋)．一、选择题1、曲线在点(1，)处切线的倾斜角为（）A．1 B．C．D．2、下列结论不正确的是（）A．若y=3，则y′=0B．若，则C．若，则D．若y=3x，则y′|x=1=33、已知函数f(x)=x3的切线的斜率等于1，则切线有（）A．1条B．2条C．3条D．不确定4、若对任意x属于R，f′(x)=4x3，f(1)=－1，则f(x)是（）A．f(x)=x4B．f(x)=x4－2C．f(x)=4x3－5 D．f(x)=x4＋25、函数y=lgx在x=1处的切线方程为（）A．y=lge(x－1) B．y=(ln10)(x－1)C．y=x D．y=06、函数(a>0且a≠1)的导数为（）A．B．－a－x lnaC．a－x lna D．7、函数(x>0)的导数是（）A． B．C． D．8、函数y=x－(2x－1)2的导数是（）A．3－4x B．3＋4xC．5＋8x D．5－8x9、垂直于直线2x－6y＋1=0，且与曲线y=x3＋3x2－1相切的直线方程是（）A．3x＋y＋2=0 B．3x－y＋2=0C．3x＋y－2=0 D．3x－y－2=010、已知函数f(x)在x=1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为（）A．f(x)=(x－1)3＋3(x－1) B．f(x)=2(x－1)C．f(x)=2(x－1)2D．f(x)=x－1二、填空题11、求下列函数的导数：(1)y=x300π；(2)；(3)y=log3x．11、解：(1)y′=300πx300π－1；(2)y′=－()x ln2；(3)．12、求下列函数的导数：(1)f(x)=(x3＋1)(2x2＋8x－5)；(2)f(x)=xtanx－；(3)．12、解：(1)∵f′(x)=(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′，∴f′(x)=10x4＋32x3－15x2＋4x＋8．13、已知曲线C：y=x3－3x2＋2x，直线l：y=kx，且l与C切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．。

常见导函数导函数，也称导数，是微积分学中的概念，它是一种描述函数变化率的工具。

在现代数学中，导函数有着非常广泛的应用，它不仅可以用于求解函数的最大值、最小值、单调性等问题，还可以用于解决微积分、概率论、物理学等领域的问题。

在本文中，我们将介绍一些常见的导函数，并讲解它们的应用。

常数函数的导函数常数函数是导函数的最简单例子，它的导数为零。

也就是说，如果$f(x)=c$，其中$c$是常数，那么$f'(x)=0$。

这是因为常数函数的图像是一条横线，它的斜率为零，所以它的导数也为零。

一次函数的导函数一次函数是指形如$f(x)=ax+b$的函数，其中$a$和$b$都是常数。

一次函数的导函数为它的斜率，即$f'(x)=a$。

这是因为一次函数的图像是一条直线，它的斜率就是函数的导数。

二次函数的导函数二次函数是指形如$f(x)=ax^2+bx+c$的函数，其中$a$、$b$和$c$都是常数。

二次函数的导函数为$f'(x)=2ax+b$。

这是因为二次函数的图像是一个抛物线，它每个点的斜率都可以用导数表示。

指数和对数函数的导函数指数和对数函数也是常见的函数类型，在微积分中，这两种函数有着重要的应用。

指数函数$y=a^x$的导函数为$f'(x)=\ln a\cdot a^x$，其中$\ln$表示自然对数。

对数函数$y=\log_a x$的导函数为$f'(x)=1/(x\ln a)$。

这两个函数的导数与它们的底数相关，因此它们也被称为底数为$a$的指数函数和对数函数。

三角函数的导函数三角函数是指正弦函数、余弦函数、正切函数等。

这些函数在微积分中也有着很重要的应用。

正弦函数的导数为$f'(x)=\cos x$，余弦函数的导数为$f'(x)=-\sin x$，正切函数的导数为$f'(x)=\sec^2 x$。

这些函数的导数具有周期性和周期性的性质。

其他常见函数的导函数除了上述函数类型外，还有许多其他常见的函数类型，它们的导函数也有着特殊的性质。

导数公式及证由之运算来）： 基本导数公式
1.常函数（即常数）y=c(c为常数) y'=0 2.幂函数y=x^n,y'=nx^(n-1)(n∈Q*) 熟记1/X的导数 3．指数函数(1)y=a^x,y'=a^xlna ；(2)熟记y=e^x y'=e^x唯一一个导函数为本身的函数 4．对数函数(1)y=logaX,y'=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0) ；熟记y=lnx,y'=1/x 5．正弦函数y=(sinx ）y'=cosx 6．余弦函数y=（cosx） y'=-sinx 7．正切函数y=(tanx） y'=1/(cosx)^2 8．余切函数y=（cotx） y'=-1/(sinx)^2 9．反正弦函数y=（arcsinx） y'=1/√1-x^2 10．反余弦函数y=（arccosx） y'=-1/√1-x^2 11．反正切函数y=（arctanx） y'=1/(1+x^2) 12．反余切函数y=（arccotx） y'=-1/(1+x^2) 为了便于记忆，有人整理出了以下口诀： 常为零，幂降次，对导数（e为底时直接导数，a为底时乘以lna），指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）；正变余，余变正，切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方），割乘切，反分式 在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到： 1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x)‘f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量’ 2．y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2 3． 原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x' 证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0。 2．这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况，只能证其为整数Q。主要应用导数定义与N次方差公式。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。 3．y=a^x, Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1) Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx 如果直接令Δx→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：Δx=loga(1+β)。 所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 显然，当Δx→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。 把这个结果代入limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna。 可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。 4．y=logax Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x 因为当Δx→0时，Δx/x趋向于0而x/Δx趋向于∞，所以limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)=logae,所以有 limΔx→0Δy/Δx=logae/x。 也可以进一步用换底公式 limΔx→0Δy/Δx=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1) 可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。 这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx, 所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1)。 5.y=sinx Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2) Δy/Δx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2) 所以limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0cos(x+Δx/2)·limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx 6．类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx。 7．y=tanx=sinx/cosx y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x 8．y=cotx=cosx/sinx y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x 9．y=arcsinx x=siny x'=cosy y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2 10．y=arccosx x=cosy x'=-siny y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2 11．y=arctanx x=tany x'=1/cos^2y y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2 12．y=arccotx x=coty x'=-1/sin^2y y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2 另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与 4．y=u土v,y'=u'土v' 5．y=uv,y=u'v+uv' 均能较快捷地求得结果。 对于y=x^n y'=nx^(n-1) ，y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求导方法。 y=x^n 由指数函数定义可知，y>0 等式两边取自然对数 ln y=n*ln x 等式两边对x求导，注意y是y对x的复合函数 y' * (1/y)=n*(1/x) y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1) 幂函数同理可证 导数说白了它其实就是曲线一点斜率，函数值的变化率 上面说的分母趋于零，这是当然的了，但不要忘了分子也是可能趋于零的，所以两者的比就有可能是某一个数，如果分子趋于某一个数，而不是零的话，那么比值会很大，可以认为是无穷大,也就是我们所说的导数不存在。 x/x,若这里让X趋于零的话，分母是趋于零了，但它们的比值是1,所以极限为1. 建议先去搞懂什么是极限。极限是一个可望不可及的概念，可以很接近它，但永远到不了那个岸. 并且要认识到导数是一个比值。

常用函数的导数计算在数学中，导数是一个函数的变化率。

它描述了函数在每个点上的斜率。

导数在微积分中有广泛的应用，可以帮助我们解决最优化问题、理解曲线的形状以及求解方程等。

在本文中，我们将介绍一些常见函数的导数计算方法。

一、基本函数的导数计算：1.常数函数：常数函数的导数为零。

即，如果f(x)=c，其中c是一个常数，那么f'(x)=0。

2.幂函数：幂函数的导数可以使用幂的求导法则来计算。

如果f(x)=x^n，其中n是任意实数，那么f'(x)=n*x^(n-1)。

3.指数函数：指数函数的导数可以使用自然指数函数e^x的导数来计算。

如果f(x) = a^x，其中a是正数且不等于1，那么 f'(x) = a^x * ln(a)。

4.对数函数：对数函数的导数可以使用自然对数函数ln(x)的导数来计算。

如果f(x) = ln(x)，那么 f'(x) = 1/x。

5.三角函数：三角函数的导数可以通过使用三角函数的定义和三角恒等式来计算。

- sin(x)的导数为cos(x)。

- cos(x)的导数为-sin(x)。

- tan(x)的导数为sec^2(x)，其中sec(x)为余割函数，定义为1/cos(x)。

6.反三角函数：反三角函数的导数可以通过使用链式法则来计算。

设f(x)为反三角函数，那么f'(x)=1/(1-x^2)^(1/2)。

二、复合函数的导数计算：在计算复合函数的导数时，我们可以使用链式法则。

链式法则说明了复合函数导数的求解方法。

设f(x)和g(x)是两个可导函数，那么(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。

例如，如果f(x)=(x^2+1)^3，那么f'(x)=3*(x^2+1)^2*2x。

三、常用函数的导数计算：1.多项式函数：多项式函数的导数可以通过使用幂的求导法则来计算。

例如，如果f(x)=3x^4-2x^3+5x^2-7x+1，那么f'(x)=12x^3-6x^2+10x-72.指数和对数函数的复合函数：如果f(x) = e^(2x)，那么f'(x) = 2e^(2x)。

导数公式大全1、原函数：y=c(c为常数)导数：y'=02、原函数：y=x^n导数：y'=nx^(n-1)3、原函数：y=tanx导数：y'=1/cos^2x4、原函数：y=cotx导数：y'=-1/sin^2x5、原函数：y=sinx导数：y'=cosx6、原函数：y=cosx导数：y'=-sinx7、原函数：y=a^x导数：y'=a^xlna8、原函数：y=e^x导数：y'=e^x9、原函数：y=logax导数：y'=logae/x10、原函数：y=lnx导数：y'=1/xy=f(x)=c (c为常数),则f'(x)=0f(x)=x^n (n不等于0) f'(x)=nx^(n-1) (x^n表示x的n次方)f(x)=sinx f'(x)=cosxf(x)=cosx f'(x)=-sinxf(x)=tanx f'(x)=sec^2xf(x)=a^x f'(x)=a^xlna(a>0且a不等于1,x>0)f(x)=e^x f'(x)=e^xf(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)f(x)=lnx f'(x)=1/x (x>0)f(x)=tanx f'(x)=1/cos^2 xf(x)=cotx f'(x)=- 1/sin^2 xf(x)=acrsin(x) f'(x)=1/√(1-x^2)f(x)=acrcos(x) f'(x)=-1/√(1-x^2)f(x)=acrtan(x) f'(x)=-1/(1+x^2)导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。

当函数y=f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df/dx(x0)。

2 arctan 2 ___________.
1 例4:已知曲线 y x 3 在点P(1,1)处的切线与直线m平行且
距离等于 10 ,求直线m的方程.
1 1 3 4 解：y 3 , y ( 3 ) ( x ) 3 x ; x x 曲线在 P (1,1)处的切线的斜率为 k y | x 1 3, 从而切线方程为 y 1 3( x 1),即3 x y 4 0.
0
4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. 5.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
n 1 公式2: ( x ) nx ( n Q ) . n
请注意公式中的条件是 n Q,但根据我们所掌握 的知识,只能就 n N * 的情况加以证明.这个公式称为 幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.
证 : y f ( x) x n , y f ( x x) f ( x) ( x x)n x n
1 1 1 2 抛物线 y x , y x , k1 y | x 1 , 故 抛 物 线 2 2 1 y x在 交 点 (1,1)处 的 切 线 斜 率 为 k2 ; 2 1 1 k1 k 2 2 | 3. 由夹角公式 : tan | || 1 1 k1k 2 1 ( 1) 2 夹角 arctan3.
同理可证,公式4: (cos x ) sin x .
1 例1:求过曲线y=cosx上点P( 3 , 2 )且与过这点的切线垂 直的直线方程. 3 解： y cos x, y sinx, y | sinx . x 2 3 1 3