三级奥数试卷

高考数学ABC三级训练题库目录：数学1（必修）数学1（必修）第一章：（上）集合[训练A.B.C] 数学1（必修）第一章：（中）函数及其表 [训练A.B.C] 数学1（必修）第一章：（下）函数的基本性质[训练A.B.C] 数学1（必修）第二章：基本初等函数（I） [基础训练A 组] 数学1（必修）第二章：基本初等函数（I） [综合训练B组] 数学1（必修）第二章：基本初等函数（I） [提高训练C组] 数学1（必修）第三章：函数的应用 [基础训练A组] 数学1（必修）第三章：函数的应用 [综合训练B组] 数学1（必修）第三章：函数的应用 [提高训练C组] （数学1必修）第一章（上）集合 [基础训练A组]一.选择题1.下列各项中，不可以组成集合的是（） A.所有的正数 B.等于的数 C.接近于的数 D.不等于的偶数2.下列四个集合中，是空集的是（） A. B. C. D. A B C3.下列表示图形中的阴影部分的是（） A. B. C. D.4.下面有四个命题：（1）集合中最小的数是；（2）若不属于，则属于；（3）若则的最小值为；（4）的解可表示为；其中正确命题的个数为（） A.个 B.个 C.个 D.个5.若集合中的元素是△的三边长，则△一定不是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形6.若全集，则集合的真子集共有（） A.个 B.个 C.个 D.个二.填空题1.用符号“”或“”填空（1）______, ______, ______ （2）（是个无理数）（3）________2. 若集合，，，则的非空子集的个数为。

3.若集合，，则_____________.4.设集合,,且，则实数的取值范围是。

5.已知，则_________。

三.解答题1.已知集合，试用列举法表示集合。

2.已知，，,求的取值范围。

3.已知集合，若，求实数的值。

4.设全集，，新课程高中数学训练题组（数学1必修）第一章（上）集合 [综合训练B组]一.选择题1.下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合与集合是同一个集合；（3）这些数组成的集合有个元素；（4）集合是指第二和第四象限内的点集。

周期问题【奥数拓展】
检测卷
第一级
1.小美有一串彩色珠子，按照黑，红，白，绿，黄五中颜色顺序排列，那么第30颗珠子是什么颜色？
2.乐乐有一串珠子，按照3红3蓝2绿的顺序排列，并且按照这样的顺序重复排列下去，如果从头
开始数，数到第60颗，那么其中红珠有多少颗？
3.小美在地上写了一列数：1，2，3，1，2，3，......她写的前26个数相加的和是多少？
4.10月5日是星期一，妈妈10月29日过生日，那么妈妈生日是星期几？
5.2008年3月1日是星期四，那么这一年的六一儿童节是星期几？
6.2014年5月1日是星期一，那么2015年7月20日是星期几？
第二级
7.小晨同学在一根绳子上串了3个黑色珠子后，发现不符合2黑4白的顺序，但他并没有修改，而是继续串了白珠子。

请问小晨串的第46个珠子是什么颜色的？
8.乐乐和甜甜做游戏，按照下面顺序摆卡片：2张黑色，3张红色，1张白色......这样的顺序一直摆下去，摆到第45张卡片时，共有几张红色卡片？
9.有一列数：2，4，6，8，......这个数列的第73个数是几？前73个数和是多少？
10.今天是星期三，那么，从明天起第120天是星期几？
11.2015年1月1日是星期五，那么这一年的7月16日是星期几？
12．1998年6月1日是星期四，那么2008年6月5日是星期几？
第三级
13.（1）已知某月31天，有4个星期三和4个星期六，那么这个月的22号是星期几？
（2）某月的星期五比星期四多，那么这个月的24号是星期几？。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，则f(2)的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 72. 在三角形ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 105°C. 120°D. 135°3. 已知等差数列{an}的公差d=3，且a1+a5=10，则a3的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 若log2(x+1) + log2(x-1) = 3，则x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 55. 下列函数中，y = |x| + 1的图像是（）A. 双曲线B. 抛物线C. 直线D. 双曲线和抛物线6. 已知数列{an}的通项公式为an = n^2 - 3n + 4，则数列的前10项和S10为（）A. 200B. 210C. 220D. 2307. 已知直线l的方程为x - 2y + 1 = 0，点P(2, 1)关于直线l的对称点为Q，则点Q的坐标为（）A. (4, 1)B. (3, 2)C. (1, 4)D. (2, 3)8. 若复数z满足|z - 2i| = 3，则复数z的实部a的范围为（）A. -3 ≤ a ≤ 3B. -5 ≤ a ≤ 5C. -4 ≤ a ≤ 4D. -6 ≤ a ≤ 69. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，则f'(x) =（）A. 3x^2 - 6xB. 3x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 6x - 2D. 3x^2 - 6x + 110. 在平面直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(-1, 1)，则直线AB的斜率为（）A. 2B. -2C. 1/2D. -1/2二、填空题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，则f(x)的图像的顶点坐标为______。

2. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，d = 2，则第10项an =______。

大手奥数分级目录大手二级奥数（一）第一阶段（二）第二阶段1.看图找规律 1.巧填数（1）2.找规律填数（1） 2.巧填数（2）3.找规律填数（2） 3.认识九宫格4.简单推理（1） 4.数图形5.简单推理（2） 5.巧分薄饼6.飞来飞去 6.切蛋糕的学问7.比长短7.认识时钟8.智力趣题（1）8.认识时间9.智力趣题（2）9.图解鸡笼10.智力趣题（3）10.移火柴变形（三）第三阶段（四）第四阶段1.图形平移 1.余数与除数2.观察物体 2.余数的妙用（1）3.轴对称图形 3.余数的妙用（2）4.添括号 4.连环算式5.填运算符号 5.填算式（1）6.简单推理（1） 6.填算式（2）7.简单推理（2）7.锯木头8.解决问题（1）8.图解鸡笼9.解决问题（2）9.推理问题10.解决问题（3）10.杂题大手三级奥数（一）第一阶段（二）第二阶段1.数图形 1.间隔问题（1）2.几条路 2.间隔问题（2）3.线段图解一般应用题 3.间隔问题（3）4.还原问题（1） 4.几倍多几或少几的应用题5.还原问题（2） 5.简单周期（1）6.还原问题（3） 6.简单周期（2）7.有余数的除法7.和倍问题（1）8.和差问题（1）8.和倍问题（2）9.和差问题（2）9.和倍问题（3）10.和差问题（3）10.简单推理（三）第三阶段（四）第四阶段1.差倍问题（1） 1.与11相乘的巧算2.差倍问题（2） 2.与999等相乘的巧算3.页码问题 3.平均数问题（1）4.找规律填数（1） 4.平均数问题（2）5.找规律填数（2） 5.平均数问题（3）6.简便运算（1） 6.矩形的面积7.简便运算（2）7.周长8.乘法巧算8.周长的变化9.初步认识：等差数列求和9.巧求面积10.头同尾合十巧算10.归一问题大手四级奥数（一）第一阶段（二）第二阶段1.等量代换 1.简单推理2.容斥问题 2.乘除算式谜3.替换问题 3.变与不变（1）4.加减算式谜 4.变与不变（2）5. 简单排列（1） 5.周期问题（1）6.简单排列（2） 6.周期问题（2）7.简单排列（3）7.乘除算式谜8.统筹安排8.与11相乘的巧算9.图形的周长（1）9.与999等相乘的巧算10.图形的周长（2) 10.头同尾合十巧算（三）第三阶段（四）第四阶段1.年龄问题 1.错中求解（1）2.植树问题（1） 2.错中求解（2）3.植树问题（2） 3.还原问题（1）4.方阵问题（1） 4.还原问题（2）5.方阵问题（2） 5. 相遇问题6.等差数列求和（1） 6.追及问题7.等差数列求和（2）7.加减巧算8.盈亏问题（1）8.乘除巧算9.盈亏问题（2）9.简单枚举10.统筹安排10.鸡兔同笼大手五级奥数（一）第一阶段（二）第二阶段1.数字“和”的问题 1.多边形的内角和2.用替代法计算 2.三角形的面积计算3.加法原理 3.不规则图形的面积计算4.鸡兔同笼问题 4.列车过桥5.枚举法 5.流水问题6.代换法 6.巧添运算符号7.消元法7.数的整除特征（1）8.递推（从简单的想起）8.数的整除特征（2）9.列方程解应用题（1）9.等差数列求和（1）10.列方程解应用题（2）10.等差数列求和（2）（三）第三阶段（四）第四阶段1.加法原理 1.同余问题2.假设法解题（1） 2.最大与最小3.假设法解题（2） 3.最多与最少4.简单的不定方程 4.游戏与对策5.奇数与偶数 5.比较分数的大小（1）6.余数与尾数 6.比较分数的大小（2）7.因数与倍数7.分数加减法简算（裂相法）8.质数与合数8.抽屉原理（1）9.巧用质因数9.抽屉原理（2）10.最大公因数与最小公倍数10.简单的不定方程大手六级奥数（一）第一阶段（二）第二阶段1.长方体和正方体（1） 1.工程问题（1）2.长方体和正方体（2） 2.工程问题（2）3.长方体和正方体（3） 3.工程问题（3）4.长方体和正方体（4） 4.方程问题（1）5.分数应用题 5.方程问题（2）6.火车过桥问题（1） 6.分数运算中的简便运算（1）7.火车过桥问题（2) 7.分数运算中的简便运算（2）8.圆的面积（1）8.百分数应用题（1）——浓度问题9.圆的面积（2）9.百分数应用题（2）——利润问题10.年龄问题10.枚举法（三）第三阶段1.巧寻单位“1”2.牛吃草问题3.常用解题方法（1）——综合分析法4.常用解题方法（2）——图解法5.常用解题方法（3）——假设法6.常用解题方法（4）——倒推法7.常用解题方法（5）——对应法8.常用解题方法（6）——类比法9.比和比例应用题（1）10.比和比例应用题（2）。

第1讲找规律一、知识要点按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。

如自然数列：1，2，3，4，……双数列：2，4，6，8，……我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。

按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道其余所有的数。

寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。

善于发现数列的规律是填数的关键。

二、精讲精练【例题1】在括号内填上合适的数。

（1）3，6，9，12，（），（）（2）1，2，4，7，11，（），（）（3）2，6，18，54，（），（）练习1：在括号内填上合适的数。

（1）2，4，6，8，10，（），（）（2）1，2，5，10，17，（），（）（3）2，8，32，128，（），（）（4）1，5，25，125，（），（）（5）12，1，10，1，8，1，（），（）【例题2】先找出规律，再在括号里填上合适的数。

（1）15，2，12，2，9，2，（），（）（2）21，4，18，5，15，6，（），（）练习2：按规律填数。

（1）2，1，4，1，6，1，（），（）（2）3，2，9，2，27，2，（），（）（3）18，3，15，4，12，5，（），（）（4）1，15，3，13，5，11，（），（）（5）1，2，5，14，（），（）【例题3】先找出规律，再在括号里填上合适的数。

（1）2，5，14，41，（）（2）252，124，60，28，（）（3）1，2，5，13，34，（）（4）1，4，9，16，25，36，（）练习3：按规律填数。

（1）2，3，5，9，17，（），（）（2）2，4，10，28，82，（），（）（3）94，46，22，10，（），（）（4）2，3，7，18，47，（），（）【例题4】根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。

（1）（3）练习4：（1）（3）【例题5（1）187（2）练习5：（1）198，297，396，（），（）（2）（3）第2讲有余除法一、知识要点把一些书平均分给几个小朋友，要使每个小朋友分得的本数最多，这些书分到最后会出现什么情况呢？一种是全部分完，还有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的人数少，否则还可以继续分下去。

[六年级小学生奥数题及答案和解析]六年级小学生奥数练习题奥数题中常常出现一些数量关系非常特殊的题目用普通的方法很难列式解答有时根本列不出相应的算式来。

我们可以用枚举法根据题目的要求一一列举基本符合要求的数据然后从中挑选出符合要求的答案。

以下是本站整理的《六年级小学生奥数练习题【三篇】》希望帮助到您。

六年级小学生奥数练习题篇一1、已知△和☆表示两个自然数并且△/5+☆/11=37/55△+☆等于多少？2、已知1999×△+4×□=9991其中△□是自然数那么□等于多少？3、箱子里有乒乓球若干个其中25%是一级品五分之几是二级品其余91个是三级品箱子里有乒乓球多少个？4、某班同学分成若干小组去植树若每组植树n棵且n为质数则剩下树苗20棵若每组植树9棵则还缺少2棵树苗这个班的同学共分成几组？5、数学测试卷有20道题做对一道得7分做错一道扣4分不答得0分张红得100分她有几道题没答？6、x是自然数x÷810=0a25字母a表示一个数字x是多少？7、某青年1997年的年龄等于出生年份各数字的和那么他的出生年份是多少？8、王老师家电话号码是七位数将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063将三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529王老师家电话号码是多少？9、如果在分数28/43的分子分母上加上自然数a、b所得结果是7/12那么a+b的最小值等于多少？10、有三个分子相同的量减假分数化成带分数后为a（2/3）b（5/6）c（7/8）已知a、b、c小于10a是多少？六年级小学生奥数练习题篇二1、将一个棱长6分米的立方体钢材熔铸成一个底面积是48平方分米的圆锥形模具这个模具的高是多少分米？2、某建筑队修筑一段公路原计划每天修56米15天完成实际上每天多修4米实际用了几天？3、两个车间共有150人如果从一车间调出50人这时一车间人数是二车间的二车间原有多少人？4、甲筐苹果的重量是乙筐的3倍。

小学奥数练习卷（知识点：上楼问题）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．填空题（共12小题）1．张师傅送快递，他每上一层楼平均需要2分钟．今天他给A公寓的8楼住户、B公寓的10楼住户和C公寓的6楼住户送快递，上楼一共用了分钟．2．有一块长方形的菜地，宽为5米．一只青蛙要沿着宽边跳过这块菜地，而且每次只能跳0.5米或1米，共有种跳法．3．妈妈要去外地出差，临走前交给小李10粒糖，并告诉他每天吃1粒或者2粒，吃完为止．那么，小李有种不同的方法把糖吃完．4．A、B二人比赛爬楼梯，A跑到四层楼时，B恰好跑到三层楼．照这样计算，A 跑到十六层楼时，B跑到层楼．5．小明拿了满分试卷高兴万分，回家三步并作两步走，从一楼到二楼家中共有14级台阶，小明每次上一级或两级台阶，那么从一楼到家总共有种不同的走法．6．小明同学在上楼梯时发现：若只有一个台阶时，有一种走法，若有二个台阶时，可以一阶一阶地上，或者一步上二个台阶，共有两种走法，如果他一步只能上一个或者两个台阶，根据上述规律，有三个台阶时，他有三种走法，那么有四个台阶时，共有种走法．7．小智回家要爬8级楼梯，他会一级一级爬，有时也会两级两级跨，那么他爬8级楼梯有种不同的走法．8．猫向有10个台阶的楼上跑去，它一步上1阶或2阶，共有种不同上法．9．小明要登上15级台阶，每步登上2级或3级台阶，共有种不同登法．10．一个楼梯共有10级台阶，小王一步可以迈一级台阶、或两级台阶，那么小王登上第5级台阶共有多少种方法？11．小明要登上10级台阶，每步登上1级或2级台阶，共有种不同登法．12．学校教学楼前有5级台阶．如果规定一步只能走一级或两级台阶，那么种不同的走法．第Ⅱ卷（非选择题）二．解答题（共15小题）13．小美步行上楼梯的习惯是每次都只跨一级或两级．若她要从地面（0级）步行到第9级，问她共有多少种不同的步行上楼梯的方式？14．游乐园门票5元一张，每人限购一张，现在有8个小朋友排队购票．其中4个小朋友每人只有5元的钞票一张，另4个小朋友每人只有10元的钞票一张，售票员没有准备零钱．问：有多少种排队方法，使售票员总能找的开零钱？15．“枫叶新希望杯”组委会在武昌恒大首府写字楼43层，该楼共有56层．星星突发奇想，如果电梯只有“上楼”和“下楼”两个按钮，按一次上楼连上8个楼层（如上面不够8个楼层则原地不动），按一次下楼连下11个楼层（如下面不够11个楼层则原地不动），那么，星星从一楼乘电梯至少按多少次按钮才能到“枫叶新希望杯”组委会？写出一种乘坐顺序（答案不唯一）．16．小军放学回家要路过一个有10个台阶的广场，如果上台阶时每步跨一个或两个台阶，当跨上第10个台阶时共有多少种不同的走法？17．小虎训练上楼梯赛跑，他每步可上1阶或2阶或3阶，这样上到16阶但不踏到第7阶和第15阶，那么不同的上法共有多少种？18．小明要登15级台阶，每步登1级或2级台阶，共有多少种不同登法？19．小畅家住在二楼，从一楼到二楼的楼梯共有9阶，小畅上楼时每步可跨1阶、跨2阶、或跨3阶．请问他共有多少种不同的方法上楼？20．小明要登20级台阶，每步登2级或3级台阶，共有多少种不同登法？21．学校教学楼共16级台阶，规定每次只能跨上1级或2级，要登上第16级，共有多少种不同的走法？22．一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这10级台阶，一共可以有多少种不同的走法？23．一段楼梯共有12级，上楼梯每次跨两级或三级，上楼共有多少种走法？24．小明爬楼梯掷骰子来确定自己下一步所跨台阶步数，如果点数小于3，那么跨1个台阶，如果不小于3，那么跨出2个台阶，那么小明走完四步时恰好跨出6个台阶的概率为多少？25．一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶，最多可以迈3级台阶．从地面到最上面1级台阶，一共可以有多少种不同的走法？26．有一个十层台阶，若每一次可以上一层或两层，那么登上十层台阶共有多少种不同的办法？27．有一楼梯共有10级，如规定每次只能跨上一级或二级，要登上第10级，共有多少种不同走法？参考答案与试题解析一．填空题（共12小题）1．张师傅送快递，他每上一层楼平均需要2分钟．今天他给A公寓的8楼住户、B公寓的10楼住户和C公寓的6楼住户送快递，上楼一共用了42分钟．【分析】他给A公寓的8楼住户、B公寓的10楼住户和C公寓的6楼住户送快递，一共上了7+9+5=21层楼，由此即可得出结论．【解答】解：因为每上一层楼平均需要2分钟，所以他给A公寓的8楼住户、B公寓的10楼住户和C公寓的6楼住户送快递，上楼一共用了2×（7+9+5）=42分钟．故答案为42．【点评】本题考查上楼问题，考查学生的计算能力，解题的关键是求出一共上了7+9+5=21层楼．2．有一块长方形的菜地，宽为5米．一只青蛙要沿着宽边跳过这块菜地，而且每次只能跳0.5米或1米，共有89种跳法．【分析】依此类推得到一个数组：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…；每一项都是前两项之和，即可得出结论．【解答】解：设青蛙跳x米需要f（x）步．推广该问题到一般情况，设地有x米由于青蛙第一步的情况只有两种：走0.5米，则后面剩下（x﹣0.5）米，需要f（x﹣0.5）步；走1米，则后面剩下x﹣1米，需要f（x﹣1）步；由于只有这两种可能，所以总部数f（x）=f（x﹣0.5）+f（x﹣1）；其中f（0）=1，f（0.5）=1．那么f（1）=f（0.5）+f（0）=2，f（1.5）=f（1）+f（0.5）=3；依此类推得到一个数组：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89…；每一项都是前两项之和，所以当x=5时；f（5）=89；故答案为89．【点评】本题考查上楼问题，考查规律的寻找，正确寻找规律是关键．3．妈妈要去外地出差，临走前交给小李10粒糖，并告诉他每天吃1粒或者2粒，吃完为止．那么，小李有89种不同的方法把糖吃完．【分析】利用列举法即可解答．【解答】解：根据题意可知，分以下几种不同的方法吃完①每天吃1粒，10÷1=10（天）；10天吃完；共有1种吃法；②每天吃2粒，10÷2=5（天）；5天吃完；共有1种吃法；③其中有2天各吃1粒，（10﹣2）÷2=4（天）；6天吃完；从6天中选2天，共有15种吃法；④其中有4天各吃1粒，（10﹣4）÷2=3（天）；7天吃完；从7天中选4天，共有35种吃法；⑤其中有6天各吃1粒，（10﹣6）÷2=2（天）；8天吃完；从8天中选6天，共有28种吃法；⑥其中有8天各吃1粒，（10﹣8）÷2=1（天）；9天吃完；从9天中选8天，共有9种吃法；故答案为小李有89种不同的方法把糖吃完．【点评】解题关键每天吃糖粒数和总的糖数．4．A、B二人比赛爬楼梯，A跑到四层楼时，B恰好跑到三层楼．照这样计算，A 跑到十六层楼时，B跑到11层楼．【分析】因为A跑到四层楼是跑了（4﹣1）个楼层间隔，B恰好跑到三层楼，是跑了（3﹣1）个楼层间隔，由此得出B的速度是A的（3﹣1）÷（4﹣1）；再由A跑到第十六层楼时是跑了（16﹣1）个楼层间隔，进而求出B跑的楼层间隔数，从而求出B跑到第几层楼．【解答】解：（16﹣1）×[（3﹣1）÷（4﹣1）]+1，=15×+1，=10+1，=11（层），答：A跑到第十六层楼时，B跑到第11层楼；故答案为：11．【点评】解答此题的关键是知道楼层的间隔数等于跑到的楼层数减1，由此再根据基本的数量关系解决问题．5．小明拿了满分试卷高兴万分，回家三步并作两步走，从一楼到二楼家中共有14级台阶，小明每次上一级或两级台阶，那么从一楼到家总共有610种不同的走法．【分析】走一阶有1种方法，走2阶有2种方法，走3阶有3种方法，4走阶有5种方法，…然后可得出规律：从走3阶开始，每次是前面两阶的和，据此解答．【解答】解：根据题意列出各级楼梯的走法如下：括号里面的数字表示每次上楼梯走的级数，1个算式或数表示一种走法：第一级：1种（1）第二级：2种（1+1，2）第三级：3种（1+1+1，2+1，1+2）第四级：5种（1+1+1+1，1+1+2，1+2+1，2+1+1，2+2）第五级：8种（1+1+1+1+1，1+1+1+2，1+1+2+1，1+2+1+1，2+1+1+1，1+2+2，2+1+2，2+2+1）第六级：…其规律为：从第三项起，每一项的数都是紧挨着它前面的两项的数字之和．1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610．答：从一楼到家总共有610种不同的走法．故答案为：610．【点评】本题考查了裴波那契数列的灵活应用，裴波那契数列是：从第3项开始，每项是前面两项的和．6．小明同学在上楼梯时发现：若只有一个台阶时，有一种走法，若有二个台阶时，可以一阶一阶地上，或者一步上二个台阶，共有两种走法，如果他一步只能上一个或者两个台阶，根据上述规律，有三个台阶时，他有三种走法，那么有四个台阶时，共有5种走法．【分析】根据题意可知：当有四个台阶时，可分情况讨论：①逐级上，那么有一种走法；②上一个台阶和上二个台阶合用，那么有共三种走法；③一步走两个台阶，只有一种走法；所以可求得有五种走法．注意分类讨论思想的应用．【解答】解：当有四个台阶时，可分情况讨论：①逐级上，那么有一种走法；②上一个台阶和上二个台阶合用，那么有：1、1、2；1、2、1；2、1、1；共三种走法；③一步走两个台阶，只有一种走法：2、2；综上可知：共1+3+1=5种走法．故答案为：5．【点评】本题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的条件，列举出可能走的方法解答；如果继续探究下去可知实际上台阶的上法组成的数列恰好是著名的斐波那数列，即从台阶数3开始，走法是前两个台阶数上法的总和．7．小智回家要爬8级楼梯，他会一级一级爬，有时也会两级两级跨，那么他爬8级楼梯有34种不同的走法．【分析】本题先从最简单的情况入手，找出排列规律，然后再解答就比较容易了，据此解答即可．【解答】解：第一级：只跨1步，有1种；第二级：（1、1），（2），有2种；第三级：（1、1、1），（1、2），（2、1），有1+2=3种；第四级：（1、1、1、1），（1、1、2），（2、1、1），（2、2），（1、2、1），有2+3=5种；第五级：…有3+5=8种；可以发现从第三次开始，后一种情况总是前两种情况的和；所以，第六级：有5+8=13种；第七级：有8+13=21种；第八级：有13+21=34种；答：他爬8级楼梯有34种不同的走法．故答案为：34．【点评】本题考查了裴波那契数列，实际这就是著名的兔子数列，它的规律是：从第三项开始，后一种情况总是前两项的和．8．猫向有10个台阶的楼上跑去，它一步上1阶或2阶，共有89种不同上法．【分析】从第1级开始递推，脚落到第1级只有从地上1种走法；第二级有两种可能，从地跨过第一级或从第一级直接迈上去；登上第3级，分两类，要么从第1级迈上来，要么从第2级迈上来，所以方法数是前两级的方法和；依此类推，以后的每一级的方法数都是前两级方法的和；直到10级，每一级的方法数都求出，因此得解．【解答】解：递推：登上第1级：1种登上第2级：2种登上第3级：1+2=3种（前一步要么从第1级迈上来，要么从第2级迈上来）登上第4级：2+3=5种（前一步要么从第2级迈上来，要么从第3级迈上来）登上第5级：3+5=8种登上第6级：5+8=13种登上第7级：8+13=21种登上第8级：13+21=34种登上第9级：21+34=55种登上第10级：34+55=89种．故答案为：89．【点评】此题考查排列组合的实际运用，掌握递推法是解决问题的关键．9．小明要登上15级台阶，每步登上2级或3级台阶，共有28种不同登法．【分析】把15级台阶，分每步只登上2级、每步只登上3级台阶，或每步登上2级或3级台阶三种情况按乘法原理计数，然后根据加法原理解答即可．【解答】解：因为15不是2的倍数，所以不可能每步只登上2级，所以只有0种；每步只登上3级台阶：15=3×5，走5步，只有1种走法；每步登上2级或3级：①15=3×3+3×2，共走3+3=6步，其中登2级的走3步，走3级的3步，共有：=20种；②15=1×3+6×2，共走1+6=7步，其中登2级的走6步，走3级的1步，共有：=7种；综合上述可得，共有：1+20+7=28（种）答：共有28种不同登法．【点评】本题是比较复杂的乘法原理和加法原理的综合应用，关键是先确定先分类，再计数．本题还可以根据裴波那契数列解答：即上第n个台阶的登法，等于上第n﹣1个台阶的登法与上第n﹣2个台阶的登法的和．10．一个楼梯共有10级台阶，小王一步可以迈一级台阶、或两级台阶，那么小王登上第5级台阶共有多少种方法？【分析】根据题意可知：当有四个台阶时，可分情况讨论：①逐级上，那么有一种走法；②上一个台阶和上二个台阶合用，那么有共四种走法，所以可求得有五种走法．注意分类讨论思想的应用．【解答】解：当有五级台阶时，可分情况讨论：①逐级上1个，那么有一种走法；②上一个台阶和上二个台阶合用，那么有：1、1、1、2；1、1、2、1；1、2、1、1；2、1、1、1；1、2、2；2、2、1；2、1、2；共7种走法；7+1=8（种）综上可知：共8种走法．答：小王登上第5级台阶共有8种方法．【点评】解答此题的关键是根据所给的条件，列举出可能走的方法解答．11．小明要登上10级台阶，每步登上1级或2级台阶，共有89种不同登法．【分析】这是一道菲波那契数列的应用题目，解答时，可以采用化繁为简的方法，用列举的方法先找出登上级数少的1级、2级、3级、4级各有几种方法，再在此基础上运用找规律的方法得出结果．[因为每次跨到n级，只能从（n﹣1）或（n﹣2）级跨出．根据加法原理得到跨到第1、2、3、4、5、6、7、8、9、10级的方法依次为：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89．【解答】解：当跨上1级楼梯时，只有1种方法，当跨上2级楼梯时，有2种方法，当跨上3级楼梯时，有3种方法，当跨上4级楼梯时，有5种方法，…以此类推；最后，得出数列1、2、3、5、8、13、21、34、55、89；发现从第三个数开始，每个数都是前面两个数的总和；这样，到第10级，就有89种不同的方法．答：从地面登上第10级，有89种不同的方法．故答案为：89．【点评】此题采用用递推法，抓住数的变化规律解决问题．12．学校教学楼前有5级台阶．如果规定一步只能走一级或两级台阶，那么8种不同的走法．【分析】实际上此题的解答可用一一列举的方法即可．【解答】解：走完这5级台阶情况：11111，2111，1211，1121，1112，122，212，221，共8中情况；故答案为：8．【点评】比较简单的排列组合，可采用列举法解决问题．二．解答题（共15小题）13．小美步行上楼梯的习惯是每次都只跨一级或两级．若她要从地面（0级）步行到第9级，问她共有多少种不同的步行上楼梯的方式？【分析】从一级，两级，三级，四级…研究找出规律，即从第三级开始，每一级都等于它前两级的方法的和；道理很简单，但你可能绕不明白，比如：考虑最后一步，有两种走法，要么上一级，要么上两级，上一级的话，就是前面走了8级，上两级的话就是前面走了7级，所以9级的走法就等于8级的走法加上7级的走法．【解答】解：1级有：1种；12级有：2种；23级有：3种，111，12，21；1+2=34级有：5种，1111，112，121，211，22；2+3=5你可以发现：从第三级开始，每一级都等于它前两级的方法的和，所以：5级有：8种，3+5=86级有：13种，5+8=137级有：21种，8+13=21；8级有：34种，13+21=34；9级有：55种，21+34=55；答：从最底下上到上面共有55种不同的上法．【点评】本题的解答关键是：在方法上，要从个别现象研究得出一般规律即从第三级开始，每一级都等于它前两级的方法的和．14．游乐园门票5元一张，每人限购一张，现在有8个小朋友排队购票．其中4个小朋友每人只有5元的钞票一张，另4个小朋友每人只有10元的钞票一张，售票员没有准备零钱．问：有多少种排队方法，使售票员总能找的开零钱？【分析】作出图形，得出图中从A到B有多少种不同走法，如图示共有14种走法，考虑4个拿5元和10元小朋友的排序情况，所以走法又有4！×4！种排队方法，即可得出结论．【解答】解：先将拿5元钱的小朋友看成是相同的，将拿10元钱的小朋友看成是相同的．在右图中，每条小横线段代表拿5元钱的小朋友，小竖线段代表拿10元钱的小朋友．因为从A点沿格线走到B点，无论到途中哪一点，经过的小横线段都不少于小竖线段，所以本题相当于求右图中从A到B有多少种不同走法，如图示共有14种走法．考虑4个拿5元和10元小朋友的排序情况，所以走法又有4！×4！种排队方法，所以共有14×4！×4！=8064种．【点评】本题考查上楼问题，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．15．“枫叶新希望杯”组委会在武昌恒大首府写字楼43层，该楼共有56层．星星突发奇想，如果电梯只有“上楼”和“下楼”两个按钮，按一次上楼连上8个楼层（如上面不够8个楼层则原地不动），按一次下楼连下11个楼层（如下面不够11个楼层则原地不动），那么，星星从一楼乘电梯至少按多少次按钮才能到“枫叶新希望杯”组委会？写出一种乘坐顺序（答案不唯一）．【分析】从一楼到第43楼，共有楼层：43﹣1=42（层），设星星上楼到组委会共按“上楼”x次，“下楼”共按y次．根据题意得不定方程8x﹣11y=42化简y=，可知，星星上楼到组委会至少共要按按钮：8+2=10（次），即可得出结论．【解答】解：从一楼到第43楼，共有楼层：43﹣1=42（层）设星星上楼到组委会共按“上楼”x次，“下楼”共按y次．根据题意得不定方程8x﹣11y=42化简y=当x取8时，y=2；当x取19时，y=10；…可知，星星上楼到组委会至少共要按按钮：8+2=10（次）如果连续按6次“上楼”的按钮，6×8+1=49（层）（49﹣43）÷（11﹣8）=2，即要按“上楼”和“下楼”按钮各2次按按钮10次的顺序，只要开始所上的楼层，够下，不至于停，就可以按“下楼”，所以其顺序并不是唯一的．如：①1上→9上→17上→25上→33上→41上→49下→38下→27上→35上→43②1上→9上→17上→25下→14下→3上→11上→19上→27上→35上→43…【点评】本题考查上楼问题，考查不定方程的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．小军放学回家要路过一个有10个台阶的广场，如果上台阶时每步跨一个或两个台阶，当跨上第10个台阶时共有多少种不同的走法？【分析】根据题意，算出台阶数比较少时，登上台阶共有的不同的办法，然后看看这些数字有和规律，再根据找出的规律，进行解答．【解答】解：登上1层台阶共有1种不同的办法，登上2层台阶共有2种不同的办法，画图如下，上表的下面一列数列中，从第三个数起，每个数字都是前面两个数的和，所以，34+55=89（种）；答：登上十层台阶共有89种不同的办法．【点评】解答此题的关键是，根据题意，找出规律，再根据规律，即可解答．17．小虎训练上楼梯赛跑，他每步可上1阶或2阶或3阶，这样上到16阶但不踏到第7阶和第15阶，那么不同的上法共有多少种？【分析】如果用n表示台阶的级数，an表示某人走到第n级台阶时，所有可能不同的走法，求出当n=1，2，3，4时不同的走法，找出规律即可求解．【解答】解：如果用n表示台阶的级数，an表示某人走到第n级台阶时，所有可能不同的走法，容易得到：①当n=1时，显然只要1种跨法，即a 1=1．②当n=2时，可以一步一级跨，也可以一步跨二级上楼，因此，共有2种不同的跨法，即a2=2．③当n=3时，可以一步一级跨，也可以一步三级跨，还可以第一步跨一级，第二步跨二级或第一步跨二级，第二步跨一级上楼，因此，共有4种不同的跨法，即a3=4．④当n=4时，分三种情况分别讨论：如果第一步跨一级台阶，那么还剩下三级台阶，由③可知有a3=4（种）跨法．如果第一步跨二级台阶，那么还剩下二级台阶，由②可知有a2=2（种）跨法．如果第一步跨三级台阶，那么还剩下一级台阶，由①可知有a1=1（种）跨法．根据加法原理，有a4=a1+a2+a3=1+2+4=7类推，有a5=a2+a3+a4=2+4+7=13；a6=a3+a4+a5=4+7+13=24；a7=0；a8=a5+a6=13+24=37；a9=a6+a8=24+34=61；a10=a8+a9=37+61=98；a11=a8+a9+a10=37+61+98=196；a12=a9+a10+a11=61+98+196=355；a13=a10+a11+a12=98+196+355=649；a14=a11+a12+a13=196+355+649=1200；a15=0，a16=a13+a14=649+1200=1849．答：不同的上法共有1849种．【点评】本题考查的是排列与组合问题，分别根据排列与组合原理求出当n=1，2，3，4…时不同的走法，找出规律，是解答此题的关键．18．小明要登15级台阶，每步登1级或2级台阶，共有多少种不同登法？【分析】上第1级有1种方法，上第2级有1、1，和2这2种方法，上第3级，可以从第1级上1、1或2，或第2级上1这3种方法，3=1+2，同理，上第4级2+3=5种方法，上第5级3+5=8种方法，上第6级5+8=13种方法，上第7级8+13=21种方法，上第8级13+21=34种方法，上第9级21+34=55种方法上第10级34+55=89种方法．这个走法随着台阶的增多，依次为：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89由此得出：从第三项开始，每项=他之前的两项的和．【解答】解：第一台阶有1种走法，第二台阶有2种走法，第三台阶有1+2=3种走法，第四台阶有2+3=5种方法，…即斐波那契数列依次有：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987；共有987种不再的走法答：共有987种不同的登法．【点评】此题考查了排列组合，锻炼了学生的创新思维能力．19．小畅家住在二楼，从一楼到二楼的楼梯共有9阶，小畅上楼时每步可跨1阶、跨2阶、或跨3阶．请问他共有多少种不同的方法上楼？【分析】设按照一步可以上一级，也可以上二级或三级的方法走到第n级阶梯时的不同上楼方法有a n种．先写出数列{a n}的递推关系式，再计算a9．【解答】解：若只上1级楼梯，上法a1=1（种）；若上2级楼梯，上法a2=2（种）（一步一级或一步两级）；若上3级楼梯，上法a3=4（种）（一步一级或第一步一级第二步两级或第一步两级第二步一级或一步三级）；若上4级楼梯，上法a4=7（种）（分第一步上一级，第一步上两级、第一步上三级三类办法求解），则有a4=a3+a2+a1=4+2+1=7（种）；同理a5=a4+a2+a3=13（种）；a6=a5+a4+a3=24（种）；a7=a6+a5+a4=44（种）；a8=a7+a6+a5=81（种）；a9=a8+a7+a6=149（种）．答：他共有149种不同的方法上楼．【点评】本题考查加法原理和乘法原理，按照一步可以上一级，也可以上二级或三级的方法求出上1级、2级、3级、4级楼梯的方法种数，归纳可得a n+3=a n+2+a n+1+a n，由此可得上9级楼梯的所有方法种数．20．小明要登20级台阶，每步登2级或3级台阶，共有多少种不同登法？【分析】把20级台阶，分每步只登上2级、每步只登上3级台阶，或每步登上2级或3级台阶三种情况按乘法原理计数，然后根据加法原理解答即可．【解答】解：（1）每步只登上2级台阶：20=10×2，走10步只有1种走法；（2）因为20不是3的倍数，所以不可能每步只登上3级，所以只有0种；（3）每步登上2级或3级：①20=6×3+1×2，共走6+1=7步，其中登3级的走6步，登3级的1步，共有=7（种）；②20=4×3+4×2，共走4+4=8步，其中登3级的走4步，走2级的4步，共有=70（种）；③20=2×3+7×2，共走2+7=9步，其中登3级的走2步，走2级的7步，共有=36（种）；1+7+70+36=114（种）答：共有114种不同登法．【点评】本题是比较复杂的乘法原理和加法原理的综合应用，关键是先确定分类，再计数．21．学校教学楼共16级台阶，规定每次只能跨上1级或2级，要登上第16级，共有多少种不同的走法？【分析】上第1级有1种方法，上第2级有1、1，和2这2种方法，上第3级，可以从第1级上1、1或2，或第2级上1这3种方法，3=1+2，同理，上第4级2+3=5种方法，上第5级3+5=8种方法，上第6级5+8=13种方法，上第7级8+13=21种方法，上第8级13+21=34种方法，上第9级21+34=55种方法上第10级34+55=89种方法．这个走法随着台阶的增多，依次为：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89由此得出：从第三项开始，每项=他之前的两项的和．【解答】解：第一台阶有1种走法，第二台阶有2种走法，第三台阶有1+2=3种走法，第四台阶有2+3=5种方法，…即斐波那契数列依次有：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987、1597；共有1597种不再的走法答：共有1597种不同的走法．【点评】本题先根据条件转化乘组合的问题，组合问题的公式：n个中选a个就有n×（n﹣1）×（n﹣2）×...共有a个的积，再除以a×（a﹣1）× (1)积．22．一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这10级台阶，一共可以有多少种不同的走法？【分析】从第1级开始递推，脚落到第1级只有从地上1种走法；第二级有两种可能，从地跨过第一级或从第一级直接迈上去；登上第3级，分两类，要么从第1级迈上来，要么从第2级迈上来，所以方法数是前两级的方法和；依此类推，以后的每一级的方法数都是前两级方法的和；直到10级，每一级的方法数都求出，因此得解．【解答】解：递推：登上第1级：1种登上第2级：2种登上第3级：1+2=3种（前一步要么从第1级迈上来，要么从第2级迈上来）登上第4级：2+3=5种（前一步要么从第2级迈上来，要么从第3级迈上来）登上第5级：3+5=8种登上第6级：5+8=13种登上第7级：8+13=21种登上第8级：13+21=34种登上第9级：21+34=55种登上第10级：55+34=89种；答：一共可以有89种不同的走法．【点评】本题考查了裴波那切数列的灵活应用，关键是先找到规律，然后递推出大数的情况．23．一段楼梯共有12级，上楼梯每次跨两级或三级，上楼共有多少种走法？【分析】如果设上n阶楼梯有a n种上法，n是正整数．根据已知条件，他每步可上2阶或3阶楼梯（不上1阶），易知a1=0，a2=1，a3=1．考察a n：把上n阶。

远辉教育2016秋季奥数学案主讲人：杨老师???? 学生：三年级??? ? 电话：第五讲——间隔问题（二）【专题简析】栽树的学问真不少，这里面有许多有趣的问题，做这类题目要多动脑筋，弄清题意，理解树的棵树和间隔数的关系，问题就会迎刃而解了。

有关栽树的问题，应该注意：1.如果起点和终点都栽树，数的棵树比间隔多1；2.如果起点和终点不栽，数的棵树比间隔数少1；在解答这类应用题时，应该看清题目要求，然后根据棵树和间隔数的关系，结合已知条件问题，找到解决问题的方法。

【典例剖析】【例题精讲】学校门前的一条路长42米，从头到尾栽树，每隔7米栽一棵，一共能栽几棵树【举一反三】1.在一条长15米的水泥路上，从头到尾每隔3米摆一盆花，一共摆了多少盆花2.平平在桌上摆小棒，每隔8厘米摆一根，到40厘米处可以摆几根3.在2根10米长的绳子上绑气球，从头开始每隔5米绑一个，一共绑了多少个气球【例题精讲】少先队员在路的两旁每隔5米栽一棵树，起点和终点都栽了，一共栽了20棵，这条路长多少米【举一反三】1.少先队员在路的两旁每隔8米栽一棵树，起点和终点都栽，一共栽了18棵，这条路长多少米2.两根同样长的绳子上，每隔2米挂一个灯笼，起点和终点都挂，共挂了12个，每根绳子长多少米3.一条路长25米，少先队员在路的两旁栽树，起点和终点都栽，一共栽了12棵。

每两棵树之间相隔多少米【例题精讲】校门口的一条路长20米，路的两边从头到尾都栽树，每隔2米栽一棵，一共要栽多少棵【举一反三】1.一条路长20米，路的两边从头到尾都栽树，每2米栽一棵，一共栽了多少棵2.一条路长100米，少先队员在路的两旁每隔5米栽一棵树，从头到尾一共要栽多少棵树3.一条路长200米，工人叔叔在路的两旁每隔10米竖一根电线杆，从头到尾一共要竖多少根电线杆4.一座桥长30米，在它的两边每隔5米有一盏灯，第一盏灯在桥的起点，最后一盏灯在桥的终点，桥上一共有几盏灯【例题精讲】两幢楼之间的空地上每隔2米种一棵树，共种了5棵，这两幢楼之间相距多少米【举一反三】1.两幢楼之间每隔1米放一盆花，一共放了8盆。