3.3固体热容的量子理论

固体热容量的爱因斯坦理论如前所述，固体中原子的热运动可以看成3N 个振子的振动。

爱因斯坦假设这3N 个振子的频率都相同。

以ω表示振子的圆频率，振子的能量级为)21(+=n n ωε n=0,1,2,⋯ （7.7.1）由于每一个振子都定域在其平衡位置附近作振动，振子是可以分辨的，遵从玻耳兹曼分布，配分函数为ωβωβωβ --∞=+--==∑ee eZ n n 12)2/1(1 （7.7.2） 根据式(7.1.4)，固体的内能为 1323l n 31-+=∂∂-=ωβωωβ e N N Z NU （7.7.3） 式(7.7.3)的第一项是3N 个振子的零点能量。

与温度无关；第二项是温度为T 时3N 个振子的热激发能量定容热容量C V 为 22)1()(3)(-=∂∂=kTkTV V ee kTNk T U C ωωω （7.7.4）引入爱因斯坦特征温度E θ ωθ =E k （7.7.5）可将热容量表为 22)1()(3-=T T EV EEe e TNk C θθθ （7.7.6）因此根据爱因斯坦的理论，C V 随温度降低而减少，并且C V 作为TEθ的函数是一个谱适函数。

现在讨论(7.7.6)式在高温和低温范围的极限结果。

当T E θ≥时，可以取近似。

由式得Nk C V 3= （7.7.7）式(7.7.7)和能量均分定理的结果一致。

这个结果的解释是，当T E θ≤时，能级间距远小于kT ，能量量子化的效应可以忽略，因此经典统计是适用的。

基本假设：①固体中的原子彼此孤立地作热振动； ②原子振动的能量是连续的；
经典统计理论的能量均分定理：
气体分子的热容理论用于固体。
每一个简谐振动的平均动能和平均位能均是0.5kT （k为
玻尔兹曼常数1.38×10-23），三个垂直方向上独立振动，
原子平均能量3×2×0.5kT,1mol固体中有NA个原子（NA为 阿伏伽德罗常数6.02×1023），总的平均能量:E = 3NA kT
cT
1 Q
m T
定压比热容cp，定容比热容cv
对于固体， cv一般不能直接测量，通常说的比热容 测量值都是cp
摩尔热容：1mol材料的热容（J/mol·K）
Cp,m cpM
Cv,m cvM
根据热力学定律
v
dV VdT
,
体积膨胀系数，K-1
K dV , 三向静压力系数，m2 /N VdP
Vm , 摩尔体积，m3 /mol
例如：CaCO3 摩尔热容? NaCl 摩尔热容?
二、晶态固体热容的量子理论（quantum theory） 普朗克提出振子能量的量子化理论。质点的能量
都是以 hv 为最小单位.－－－量子能级
E nhv nh n 2
式中, h 6.6261034 J S ---普朗克常数，
h 1.0551034 J S
平均比热容：单位质量的材料从温度T1 到T2 所吸收
的热量的平均值。
c＝
Q T2－T1
1 m
平均比热容是比较粗略的，温度差范围越大，精确 性越差，因此要注意适用温度范围。
➢物理意义：
热容量反映了材料中原子热振动能量状态改变时需 要的热量。加热时，材料吸收的热能主要为点阵吸收， 增加了材料原子（离子）的振动能量。其次为自由电子 吸收，增加了电子的动能。所以，热振动为主要贡献。 自由电子运动为次要贡献。 定容和定压时的不同：

—3.12
du1 dx
x0
du2 dx
x0 kA kB kC kD 0
—3.14
又根据周期性和连续性条件：
u1a u2 b
Ae jk a Be jk a Ce j k b De j k b 0
du1 dx
xa
du2 dx
xb
—3.15 —3.16
k Ae jka k Be jka k Ce jkb k De j kb 0 —3.18
(iii)电子(-e)在外电场中 的漂移速度：
n
电子的漂移电流密度为：J e ni i i 1 n 导带中单位体积电子数
电子的有效质量——考虑晶体（晶格）对运动粒子的影响 电子在晶格中的运动：（假设满足牛顿第二定律）
Ftotal Fext Fint ma —3.36
Ftot—al —晶体中粒子所受到的总作用力 Fex—t —晶体中粒子所受到的外部作用力（如电场） Fint ——晶体中粒子所受到的内力 m ——粒子的静止质量 a ——加速度
----出现禁带！
※克龙尼克-潘纳模型 ----从量子力学原理和薛定谔波动方程将允带和禁带的概念更 严格的表示出来
图3.5 (a)独立的单原子势函数；(b)近距原子交叠的势函数； (c)一维单晶的最终势函数
图3.6 克龙尼克-潘纳模型的一维周期性势函数 ----电子是在一个具有周期性势场的晶体中运动！
在图3.8(c)中， 1. 阴影部分表示对应实数k
的a 有效值。
2. 还需满足 f (a) cos ka ----限制在 1 f (a) 1
2 2
周期势场中粒子E-k关系，从：E 2m 根据Eq. 3.24和Fig. 3.8(c)，找出允许的α值和对应的k值，可 得到周期势场中粒子（电子）的E-k关系：

第二节材料热容是分子热运动的能量随温度而变化的一个物理量，是物体温度升高的能量。

也即材料从周围环境吸收热量的能力的特性参数（J/K）是指物质从温度T1到T2所吸收的热量的平均值C3根据热力学第二定律可以导出C P 和C V 的关系：20/P V C C V T αβ−=α=dV/(VdT)是体膨胀系数，β=-dV/(VdP)是压缩系数，V 0是摩尔体积对于凝聚态物质，温度不太高时，C P 和C V 的差异可以忽略在高温时，由于热膨胀的存在，二者的差别就不能忽略一、固体热容理论固体热容理论与固体的晶格振动有关根据原子热振动的特点，从理论上阐明了热容本质并建立了热容随温度变化的定量关系固体热容理论的发展过程经历了三个阶段：杜隆－珀替（Dulong-Petit爱因斯坦（Einstein1. 经典热容理论杜隆-珀替把气体分子的热容理论直接用于固体，假设：若晶体有N 个原子，每个原子的热振动自由度有三个，则总平均能量为3Nk B T 。

对于一摩尔晶体，N 等于R=N 0k B 为摩尔气体常数上式即为杜隆-珀替定律杜隆-珀替定律只在较小的温度范围内（温度较高）与实验结果是符合的实际上，低温时，固体热容的实验值并不是一个恒量，而是随温度下降而减小，()3E V VT C ∂∂==2. 爱因斯坦热容理论爱因斯坦把普朗克假设（振子能量的量子化理论容理论有了很大进展假设：每个原子都是一个独立的振子，原子之间彼此无关，并且都以相同的角频率ω振动根据麦克斯韦-波尔兹曼分配定律，在温度为的平均能量为（忽略了零点能）：单位体积固体的平均能量为：1k T B e E ωωω−===3E N ωω=×==3. 德拜热容理论理论假设¾原子间存在着弹性斥力和吸力，使原子的热振动相互受着牵连¾晶体看成连续介质¾原子振动具有很宽的振动谱，且假设存在最大振动频率ωmax¾某频率所可能具有的谐振子数由频率分布函数决定¾对热容的主要贡献是声学波（声子）9二、金属热容1. 金属实验热容（1）自由电子对热容的贡献经典自由电子理论把自由电子对热容的贡献估计得很大，在与温度无关但实测电子对热容的贡献，常温下只有用量子自由电子理论可以算出自由电子对热容的贡献电子的平均能量是：－0K 时的费米能，035[1F E E =+0F E17若取θD =200K ，k B / = 0.13×10-4，则≈2/T 2。

dV
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第三章 无机材料的热学性能
固体或液体：T↑，体积变化小，因此：
C P CV
高温时，固体或液体的Cp与Cv的差别较大！
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第三章 无机材料的热学性能
2、固体的经典热容理论
（1）元素的热容定律——杜隆一珀替定律
恒压下，元素的原子热容为： C
P
25 J /( k mol )
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第三章 无机材料的热学性能
3、简谐振动 简谐振动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正 比、方向总是指向平衡位置的回复力作用下的振动 ；或物体的运动参量（位移、速度、加速度）随时 间按正弦或余弦规律变化的振动。
X A co s( 2 t / T )
式中：X为位移；A为振幅，即 质点离开平衡位置时 (x=0) 的最 大位移绝对值；t为时间；T为 (2 简谐振动的周期； t / T ) 为简 谐振动的位相。
彩电等多种电路中广泛应用的大功率管，其底部 的有机绝缘片，为了散热而要求具有良好的热导性。
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第三章 无机材料的热学性能
3.1 热学性能的物理基础
1、热性能的物理本质
升华 热容 晶格热振动 热膨胀 熔化 热稳定性
热传 导
热性能的物理本质:晶格热振动
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第三章 无机材料的热学性能
h
0
2
1
E
低温区：
hv
0
1
kT
C
v
e
kT
2
1
h kT
0
h 0 3R kT
e
低温区域，CV值按指数规律随温度T而变化，而 不是从实验中得出的按T3变化的规律。 忽略了各格波的频率差别，其假设过于简化。

gap
2 )q 一维双原子链的长声学波 ( a mM B 长声学波中相邻原子的振动 ( A ) 1
光学波 长波极限
2
mM B m , ( ) － mM A M
§3.4
1. 三维复式格子
三维晶格的振动
l i [ t R l k q ] 格波的一般形式 A e k k
ab c
§5 晶体的宏观对称性
点对称操作 1. 绕轴旋转 2.旋转-反演(反演，镜面) 对称操作
1. 绕轴旋转
2.旋转-反演 3.空间平移
晶体的宏观对称性只有8种独立的对称操作： 1，2，3，4，6， 1 ( i ),
2 (m)
和
4
能证明为何晶体中没有5次对称性？
第二章
• 晶体结合的类型？ • 晶体结合的物理本质？ • 固体结合的类型与固体性质之间的联系？
T —— 电子对比热的贡献, 即电子热容
AT 3—— 晶格振动对比热的贡献, 即晶格热容
温度不太低时，可以忽略电子的贡献 爱因斯坦模型与德拜模型 爱因斯坦温度和德拜温度
§3.9 晶格振动模式密度
晶格振动模式密度 —— 单位频率间隔的振动模式数目
n g ( ) lim 0
在q空间，晶格振动模是均匀分布的，状态密度
本课程的主要内容
晶格动力学
原子核的运动规律 核外电子的运动规律
固体物理
固体电子论
晶格动力学
1. 晶体结构 2. 固体的结合 3. 晶格振动和热学性质
固体电子论
4. 能带理论 5. 外场中电子的运动 6. 金属电子论
第一章 摘
§1-1 §1-2 §1-3 §1-4 §1-5 §1-6 §1-7 §1-8 §1-9

固体的热容经典模型的优缺点
固体的热容经典模型主要有两个，一个是玻尔兹曼模型，另一个是爱因斯坦模型。

玻尔兹曼模型假设固体中所有的原子都以相同的频率振动，并且这些振动的频率都很高。

这个模型的主要优点是能够解释固体的热容在高温时的情况，因为在高温时，所有原子都有足够的能量去激发它们的振动，因此固体的热容会随着温度的升高而增加。

然而，这个模型也有一个主要的缺点，那就是它无法解释在低温时的情况。

因为在低温时，只有低能量的声学波被激发，而这些声学波的频率分布是不同的，因此简单地用一个常数来描述所有声学波的频率是不准确的。

爱因斯坦模型在固体热容的研究中引入了量子理论，它认为固体中的原子会以一定的频率振动，而这种振动的频率取决于温度。

在高温时，原子振动的频率会随着温度的升高而增加，而在低温时，原子振动的频率会随着温度的降低而减少。

这个模型的主要优点是能够解释固体的热容在低温时的情况，因为当温度降低时，原子振动的频率也会降低，因此固体的热容也会随着温度的降低而减少。

然而，这个模型也有一个缺点，那就是它无法解释在高温时的情况。

因为在高温时，原子振动的频率已经达到了极限，因此无法再增加。

综上所述，固体的热容经典模型都有其优点和缺点。

在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的模型来进行计算。

第三节 能量量子化、声子
本节主要内容: 3.3.1 能量量子化 3.3.2 声子
晶格 振动
简谐 格波 近似
独立的振 由B--K q分 动模式 边界条件 立值
晶格振动能 量量子化
声子
§3.3 能量量子化 声子
3.3.1 能量量子化
一维单原子链的情况 xn( q ,t ) Aeit naq
q1 1
为。 声子不是真实的粒子，称为“准粒子”，它反映的是晶格原子
集体运动状态的激发单元。声子只存在于晶体中，脱离晶体后
就没有意义了。
2.一个格波(一种振动模式)，称为一种声子(一个，q就是
一种声子)，当这种振动模式处于
ni
1 2
i
本征态时，称为
有ni个声子，ni为这种声子的声子数。
3.由于晶体中可以激发任意个相同的声子，所以声子是玻 色型的准粒子，遵循玻色统计。
q q,
1
eina (qq) 1
Nn
T
1
m
.
x
n
2
2n
.
xn(t)
1 Nm
.
Q q (t )einaq ,
q
T 1
2N
n
.
Q q (t )einaq
.
Qq (t )einaq ,
q
q
1
2 q
q
.
.
1
Qq (t ) Qq (t ) N
e , ina(qq )
n
1 2
q
q
q 2π s Na
q 2π s Na
q q 2π ( s s ) 2π l h
Na
Na
1
N
n

实际晶体 态密度：
金属铝
• 总态密度是两 支横波(T1,T2) 和一支纵波 （L) 的叠加。 • 低频部分都近 似为抛物线。
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
习题3.1
• 固体物理教程--王矜奉 习题 3.10
V ds g (w ) (2 )3 qw ( q)
假设1：N个原子构成的晶体，原子以相同频率 w0 振动；
假设2：谐振子能量是量子化的
温度T下，平衡后谐振子平均能量：
总能量
热容
w0 CV 3NkB f B ( ) —— 爱因斯坦热容函数 k BT
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— 爱因斯坦热容函数
爱因斯坦温度
定容比热
在较高温下，该理论与实验符合很好； 但在低温下，与实验结果差别很大，低温下测量有 Cv~ T 3
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
实验表明 —— 在低温时热容量随温度迅速趋于零 。
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
2. 爱因斯坦模型
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
上面推导使用积分公式
03_06_晶体热容的量子理论 —— 晶格振动与晶体的热学性质
T T 3 CV ( ) 9 NkB ( ) D D
D /T

0
x 4e x dx x 2 (e 1)
徳拜公式的比热容曲线
金属镱实验结果与 徳拜模型比较。
2
为简化，做变量代换，令
T T 3 CV ( ) 9 NkB ( ) D D
D /T

有关固体热容的两种模型的讨论【摘要】固体热容是一个反映晶体热学性质的重要物理量，本文先简要介绍了固体热容的经典理论，紧接着又具体阐述了爱因斯坦模型和德拜模型以及它们两者在求解固体热容中的应用，然后通过比较介绍了它们两者的联系与区别，进而说明了他们的好处与局限，同时也将晶格热容的实验测量结果与理论推导进行了比较并分析与讨论了这两种模型与实验测量结果符合或者偏离的原因，最后又对德拜温度进行了具体的讨论。

D【关键词】固体热容；晶格热容；爱因斯坦模型；德拜模型；德拜温度目录绪论 .................................................................................................................................................. 3 第一章爱因斯坦模型与德拜模型 (5)1. Einstein model ： ........................................................................................................... 5 2. p.Debye model ： ............................................................................................................... 6 3. Einstein model 和 p.Debye model 的区别 ............................................................... 7 4. 德拜模型对晶格热容贡献的优缺点 ................................................................................. 7 第二章 晶格热容的实验测量结果和理论推导的比较 . (10)1高温情况 .............................................................................................................................. 11 2.低温情况 ............................................................................................................................. 11 第三章 两种模型与实验测量结果符合或者偏离的原因分析与讨论 .. (12)1. 德拜温度D Θ高于爱因斯坦温度E Θ ........................................................................... 13 2. 德拜温度是经典概念和量子概念定性解释热容现象的分界线 ................................... 13 3. 关于德拜温度的正确性 ................................................................................................. 13 参考文献：. (14)绪论在固体物理学中，我们所讨论的热容通常指定容热容V C ，而在热学中，我们已经知道v C =（TE ∂∂）V ]2,1[，该式中的E 指平均内能，实验研究表明，对固体热容的贡献主要有两个：贡献一是晶格所进行的热振动，称为晶格热容，贡献二是固体原子中的电子热运动，称电子热容，当固体的温度很低时，电子热运动的贡献不可忽略，因此晶格热振动是热容的主要来源，在经典物理中，由能均分定理得，所有简谐振动的平均能量都是T K B ,其中B K 是波尔兹曼常数。

简述爱因斯坦热容模型的基本假设爱因斯坦热容模型是爱因斯坦在1907年提出的一种描述固体热容的理论模型。

该模型基于以下假设：一、固体分子振动只有一种频率爱因斯坦假设固体中所有原子都是以相同的频率振动的，这个频率被称为爱因斯坦频率。

这意味着，无论原子是什么类型或者在哪个位置，它们都以相同的频率振动。

二、固体中原子之间没有相互作用爱因斯坦假设固体中原子之间没有相互作用，也就是说，它们只能沿着一个方向振动，并且不能与其他原子发生碰撞或相互作用。

三、固体中原子的振幅是有限的爱因斯坦假设固体中原子的振幅是有限的，也就是说，它们不能无限制地振动。

当温度升高时，原子会以更大的振幅振动，但这种增加是有限制的。

四、固体中所有能量都来自于热运动爱因斯坦假设固体中所有能量都来自于热运动。

这意味着，固体中的原子只能通过热运动来获得能量，而不能通过其他方式。

五、固体中原子的振动是量子化的爱因斯坦假设固体中原子的振动是量子化的，也就是说，它们只能以特定的能量水平振动。

这个假设与普朗克量子论密切相关。

六、固体中所有原子都处于热平衡状态爱因斯坦假设固体中所有原子都处于热平衡状态，也就是说，它们之间没有温度差异。

这个假设是基于熵增加原理和统计物理学的概念。

七、固体是一个三维谐振子系统爱因斯坦假设固体是一个三维谐振子系统，也就是说，它可以被看作由无数个谐振器组成的系统。

每个谐振器都有一个特定的频率和能量水平。

总结：爱因斯坦热容模型基于以上七个假设来描述固体热容。

这些假设使得模型可以用简单的数学公式来计算热容，并且与实验结果非常吻合。

虽然该模型有其局限性，但它为我们理解固体的热学行为提供了一个重要的基础。

E

i 1
3N
i


i 1
3N
i
i
=
3N
E E exp 1 k BT
e
kBT
1
于 是 ， CV
E 3NkB 2 T k BT E exp 1 k BT E
金刚石比热测量值 与Einstein模型给出 结果的比较。
TE 1320 K
见 Blakemore：Solid State Physics P121 黄昆书 (P125 图3－21)
三.Debye 模型： Debye（1912）修正了原子是独立谐振子的概念，而考 虑晶格的集体振动模式，他假设晶体是各向同性的连续弹性 介质，原子的热运动以弹性波的形式发生，每一个弹性波振 动模式等价于一个谐振子，能量是量子化的，并规定了一个
T TD
为坐标，消除了
不同物质的区别，突出
反映德拜规律。
见 Blakemore：Solid State Physics P127
黄昆书 (P130 图3－23)
T TD
见阎守胜：固体物理基础 p112 图
KCl 的晶格低温比热 与T3成线性关系 Cu 的电子比热与T 成线性关系 注意：对热容的贡献不 仅来自晶格，还有自由 电子等。
TE
在低温下：T << TE
CV
e
T
1
TE T
TE 3NkB e T
2
很显然，表达式中指数项起主要作用，温度下降，热容量 降低。当T0时，CV 0，这与实验结果定性符合。但更 精细的实验结果表明，当温度很低时， CV∝ T3，这说明 Einstein理论假定单一频率是过分简单了。因此才促使 Born等人开始了晶格振动的仔细研究，给出频率表达式。 尽管模型仍有不足之处， 但 Einstein使用一个可调参数 TE(ω E)就可以基本解释热容－温度关系的做法应当看作是 理论物理工作的一个典范之作。这充分说明，能量量子化 才是理解晶格振动问题的关键，这也间接印证了提出用声 子概念讨论晶体性质的必要性。

§3-8晶格热容的量子理论
Quantum theory of lattice thermal capacity
一、晶格热容理论（ CV）； 晶格热容理论（ 晶格热容C 计算模型； 二、晶格热容CV计算模型；
–Ⅰ. 爱因斯坦(Einstein)模型； Ⅰ. 爱因斯坦(Einstein)模型； (Einstein)模型 –Ⅱ. 德拜(P.Debye)模型。 (P.Debye)模型 Ⅱ. 德拜(P.Debye)模型。
1 E j (T ) = hω j + 2
∑ n hω e
j j nj
−n −n j βhω j
∑e
nj
− n j βhω j
∂ 1 − n j β hω j ⇒ E j (T ) = hω j − ln ∑ e ∂β 2 nj
一个简谐振动（频率为 一个简谐振动（频率为ωj）对CV的贡献
其中, ∑ e
j
可见， ω j ⇒ CV ⇒ CV 对于具体晶体计算出3N个简正频率往往是十 但是，对于具体晶体计算出 个简正频率往往是十 对于具体晶体计算出
分复杂的。在一般讨论时常采用这样两个模型： 分复杂的。在一般讨论时常采用这样两个模型：爱因斯坦 (Einstein)模型和德拜(p.Debye)模型 模型和德拜(p.Debye)模型。 (Einstein)模型和德拜(p.Debye)模型。
固体热容主要来自两部分贡献 固体热容主要来自两部分贡献
一是来源于晶格热振动，称为晶格热容； 一是来源于晶格热振动，称为晶格热容； 晶格热容 是晶格热容的主要贡献，是本节的主要讨 是晶格热容的主要贡献，是本节的主要讨 论内容； 论内容； 一是来源于电子热运动，称电子热容； 一是来源于电子热运动，称电子热容； 一般贡献很小，除非在很低温度情况下。 一般贡献很小，除非在很低温度情况下。

E( i )
(ni
1 2
)
i
晶格振动能量：E
N
i 1
ni
1 2
i
三维晶格振动的总能量为：
E
3nN
i 1
ni
1 2
i
其中N为晶体中的原胞个数,n为每个原胞中的原子个数。
晶格振动的能量是量子化的，能量单位为 。
格波(晶格振动)的能量量子------声子。
3.3.2 声子
1.声子是晶格振动的能量量子，其能量为 ，“准动量”q
.
Q
q
(t
)
.
Q
q
(t
)
q , q
,
1 2
q
.
Q
q
(t
)
.
Q
q
(t
)
Qq (t) Qq* (t)
1 2
q
.
Q
* q
(t
)
.
Q
q
(t
)
1 2
q
.
Qq
2
U
2
( xn1
n
xn )2
2Nm n
Qq (t )e i ( n1)aq Qq (t )e inaq
q
Qq (t )e i (n1)aq Qq (t )e inaq
q q,
1
eina (qq) 1
Nn
T
1
m
.
x
n
2
2n
.
xn(t)
1 Nm
.
Q q (t )einaq ,
q
T 1
2N
n
.
Q q (t )einaq

第三章：单组元材料的热力学
单组元(Single component)材料： Fe：软磁材料 Al, Ti：结构材料 Cu：导电材料 SiO2：低膨胀材料 Si：CPU的芯片材料 MgO和Al2O3：耐火材料和耐热材料
单组元材料没有成分的影响，问题相对简单
第三章：单组元材料的热力学
1、纯金属相变的体积效应
其中 A exp(SV / k )
Q f Nau
1mol空位形成激活能
3.2 空位的热力学分析
当系统中存在过饱和空位时： 0 0 V V V RT ln( nV / nV ) 0 结果：引起空位的运动、聚合和消失 几种金属的空位形成能（e.V）：1eV=1.60210-19 焦耳 W Pb Fe Sn 3.3； Ni 1.4； Au 0.94； 0.49； Cu 1.1； Mg 0.89； 2.13； Ag 1.09； Al 0.80； 0.51
求平衡状态下的空位数n0:
dSC dG n u TSV kT u TSV kT ln 0 dn dn N n
d G 0 dn
n 空位浓度(Vacancy concentration): C 0 N n
n u SV C0 e xp N n k kT A e xp( u / kT ) A e xp(Q f / RT )
A B C D
1、若把4个红球（同样颜色的球不可区分）放进去，可能
出现的微观分布状态数（排列数）W，只有如下一种，即 =1
A
B
C
D
微观状态数的描述
2、若把3个红球和1个黑球放进去，可能出现的 = 4
D D
I: II:
A
A

2、杜隆－珀替定律（Dulong-Petit law ） (1) 定律的叙述： 热容是一个与温度和材料性质无关的常数，具有N个原子的固体，其
热容为CV＝3NkB 。
其中N为原子数，kB为玻尔兹曼常数。
根据经典统计理论的能量均分定理，每个简谐振子的平均能量为kBT 。若固 体中有N 个原子，则有3N 个简谐振动模，其总的平均能量为
向于零。
CV
如右图所示是一CV——T 曲线 ：这说明在低温下， 经典的能量均分不再适用 而必须使用晶格振动的量 子理论。
T
Department of Physics, Northwest University
Solid State Physics
3、热容CV的一般表达式 (ordinary expression of capacity Cv)
当温度不太低时，电子热容<<晶格热容,因此在温度不太低时，电子 的热容可以略去，因此我们在这只讨论晶格热容.另外，由于CV与CP 相差甚微，我们也只讨论定容热容。
晶体比热=晶格对比热的贡献+电子对比热的贡献
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且
m
g()d 3N
0
式中ωm 是最大的圆频率，N 为晶体中所包含的原子数，则总能量为
m
E
e/kBT 1g()d
0
（10）
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热容为
C v( T E )V 0 mkB(k B T)2(e （ e / 1kB /T 1kB ）T1 )2g( )d