2021-2022学年四川省成都市高二(上)期末数学试卷(文科)_20220122190805

2021-2022学年四川省蓉城名校联盟高二上学期期末联考数学（文）试题一、单选题1．已知命题P ：00x ∃≥，00310xe x -+≤，则命题P 的否定为（ ）A ．0x ∀<，310x e x -+>B ．0x ∀≥，310x e x -+>C ．0x ∀≥，310x e x -+≤D ．0x ∃≥，310x e x -+>【答案】B【分析】根据特称命题的否定变换形式即可得出结果．【详解】命题p ：00x ∃≥，00310xe x -+≤，则命题p 的否定为0x ∀≥，310x e x -+>． 故选：B2．直线l ：22370x y +-=的倾斜角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D【分析】先求得直线的斜率，由此求得倾斜角. 【详解】依题意，直线22370x y +-=的斜率为23323-=-，倾斜角的范围为[)0π，, 则倾斜角为56π. 故选：D.3．新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力.2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示，图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重．下列关于我国上半年经济数据的说法正确的是（ ）A ．第一产业的生产总值与第三产业中“其他服务业”的生产总值基本持平C ．若“住宿和餐饮业”生产总值为7500亿元，则“房地产”生产总值为22500亿元D ．若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为166500亿元 【答案】D【分析】根据扇形图及柱形图中的各产业与各行业所占比重，得到第三产业中“其他服务业”及“金融业”的生产总值占总生产总值的比重，进而比较出AB 选项，利用“住宿和餐饮业”生产总值和“房地产”生产总值的比值，求出“房地产”生产总值，判断出C 选项，利用第三产业中“金融业”的生产总值与第二产业的生产总值比值，求出第二产业生产总值，判断D 选项.【详解】A 选项，第三产业中“其他服务业”的生产总值占总生产总值的000000573218.24⨯=，因为000018.246>，所以第三产业中“其他服务业”的生产总值明显高于第一产业的生产总值，A 错误；B 选项，第三产业中“金融业”的生产总值占总生产总值的00000057169.12⨯=，因为00009.126>，故第一产业的生产总值少于第三产业中“金融业”的生产总值，B 错误； “住宿和餐饮业”生产总值和“房地产”生产总值的比值为313，若“住宿和餐饮业”生产总值为7500亿元，则“房地产”生产总值为375003250013÷=亿元，故C 错误； 第三产业中“金融业”的生产总值占总生产总值的00000057169.12⨯=，与第二产业的生产总值比值为00009.12:37，若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为410409.1237÷⨯=166500亿元，D 正确. 故选：D4．若动点(),P x y 8=，则动点P 的轨迹方程为（ ） A ．2211612x y +=B ．221164x y +=C ．22184x y +=D ．2211612x y -=【答案】A【分析】根据方程可以利用几何意义得到动点P 的轨迹方程是以()2,0A -与()2,0B 为焦点的椭圆方程，从而求出轨迹方程.【详解】由题意得：(),P x y 到()2,0A -与()2,0B 的距离之和为8，且8>4，故动点P 的轨迹方程是以()2,0A -与()2,0B 为焦点的椭圆方程，故28a =，2c =，所以4a =，22216412b a c =-=-=，所以椭圆方程为2211612x y +=.5．执行如图所示的程序框图，若输入的t 的值为3，则输出的s 的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】A【分析】模拟执行程序框图，根据输入数据，即可求得输出数据. 【详解】当3t =时，不满足1t <，故243s t t =-=，即输出的s 的值为3. 故选：A .6．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 【答案】D【详解】根据y 与x 的线性回归方程为 y=0.85x ﹣85.71，则 =0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A 正确； 回归直线过样本点的中心（,x y ），B 正确；该大学某女生身高增加 1cm ，预测其体重约增加 0.85kg ，C 正确；该大学某女生身高为 170cm ，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg ，D 错误． 故选D ．7．圆222240x y x y ++--=截直线()()2131510m x m y m +++--=所得弦的最短长度A ．2 B．C．D ．4【答案】A【分析】由题知直线过定点()2,3-，且在圆222240x y x y ++--=内，进而求解最值即可.【详解】解：将直线()()2131510m x m y m +++--=化为()()12350x y m x y +-++-=，所以联立方程102350x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得23x y =-⎧⎨=⎩ 所以直线()()2131510m x m y m +++--=过定点()2,3-将222240x y x y ++--=化为标准方程得()()22116x y ++-=，即圆心为()1,1-，半径为r =由于()()2221316-++-<，所以点()2,3-在圆()()22116x y ++-=内，所以点()2,3-与圆()()22116x y ++-=圆心()1,1-间的距离为d =所以圆222240x y x y ++--=截直线()()2131510m x m y m +++--=所得弦的最短长度为2= 故选：A8．已知抛物线()220x py p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．3y =- B ．32y =-C ．3x =-D ．32x =-【答案】B【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，进而根据题意，结合中点弦的问题得3p =，进而再求解准线方程即可.【详解】解：根据题意，设()()1122,,,A x y B x y ，所以2112x py =①，2222x py =②，所以，①-②得：()()()1212122x x x x p y y -+=-，即1212122AB y y pk x x x x -==-+，所以121212213AB y y p pk x x x x -====-+，即3p =， 所以抛物线26x y =，准线方程为32y =-.故选：B9．运行如图所示程序后，输出的结果为（ ）A ．15B ．17C ．19D ．21【答案】B【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i ，S 的值，由此求出退出循环时输出S 的值．【详解】模拟程序的运行过程，如下：1i =，执行循环体，3i =，2339S =⨯+=，5i =，25313S =⨯+=，7i =，27317S =⨯+=， 98i =>，此时退出循环，输出S 的值为17． 故选：B ．10．若圆2221:(1)(2)(0)C x y r r ++-=>上恰有2个点到直线:43100l x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围为（ ） A ．(3,5) B ．(4,6)C ．2232,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．22,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】求得圆心到直线的距离，根据题意列出r 的不等关系式，即可求得r 的范围. 【详解】因为圆心()11,2C -到直线l 的距离224610443d ---==+，故要满足题意，只需11r d r -<<+，解得35r <<. 故选：A.22使得2122c PF PF ⋅=，则椭圆C 的离心率e 的取值范围为（ ）A．⎣⎦B．⎣⎦ C．⎣⎦ D．⎣⎦【答案】B【分析】先设00(,)P x y ，根据P 在椭圆上得到222202(32)2a c b x c-=，由2200,x a ∈⎡⎤⎣⎦，得到ca的范围，即为离心率的范围. 【详解】由椭圆的方程可得1(,0)F c -，()2,0F c ，设00(,)P x y ， 由2122c PF PF ⋅=，则20000,(,())2c c x y c x y -⋅----=，即2220032c x y +=，由P 在椭圆上可得2200221x y a b +=，所以222002(1)x y b a=-，代入可得22220232c c x b a ⋅+=所以222202(32)2a c b x c -=，因为2200,x a ∈⎡⎤⎣⎦，所以222222222222(32)02(32)2a c b c a c b a c b a c ⎧-≥⎪⎪⎪-≤⎨⎪=-⎪⎪⎩整理可得：2222232b c c b ⎧≤⎨≤⎩，消去2b 得：22222523ac a c ⎧≤⎨≥⎩ 所以222253c a ≤≤c a ≤所以e ∈⎣⎦. 故选：B.12．已知过抛物线24x y =焦点F 的直线l 交抛物线于M ，N 两点，则94||||MF NF -的最小值为（ ） A．- B ．2C．D ．3【答案】D【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，得到韦达定理，求得M N y y ，利用抛物线定义，将目标式转化为关于M N y y 的代数式，消元后，利用基本不等式即可求得结果.显然要满足题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+ 联立24x y =可得2440x kx --=，其216160k =+>， 设,M N 坐标为()()1122,,,x y x y ，显然120,0y y >>， 则12124,4x x k x x +==-，121y y =， 根据抛物线定义，，故94||||MF NF -()()()121212122244541941111y y y y y y y y y y ++-+-=+-==+++ ，令11(1)y t t +=>， 故，当且仅当94t t =，即32t =时取得最小值3. 故选：D.【点睛】本题考察抛物线中的最值问题，涉及到韦达定理的使用，基本不等式的使用；其中利用12y y 的关系，以及抛物线的定义转化目标式，是解决问题的关键. 二、填空题13．已知,x y 满足约束条件0020x y x x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值为___________． 【答案】4-【分析】根据题意，作出可行域，进而根据几何意义求解即可. 【详解】解：作出可行域如图，将3z x y =-变形为3y x z =-， 所以根据几何意义，当直线3y x z =-过点B 时，3z x y =-有最小值，所以联立方程020x y x y +=⎧⎨-+=⎩得1,1x y =-=，所以3z x y =-的最小值为min 4z =- 故答案为：4-14．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100，200，150，50件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取___________件． 【答案】18【分析】根据分层抽样的方法，即可求解.【详解】由题意，甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100，200，150，50件，用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验， 则应从丙种型号的产品中抽取个数为150601810020015050⨯=+++件.故答案为：18.15．已知点(,)M a b 在直线34100x y --=22a b +___________. 【答案】2【分析】由已知可用a 表示b ，代入所求式子后，结合二次函数的性质可求． 【详解】解：由题意得3410a b -=，即4103b a +=， 所以22222(410)258010099b b b a b b ++++=+=， 根据二次函数的性质可知，当85b =-时，上式取得最小值4，22a b +2． 故答案为：2．16．设1F ，2F 分别是椭圆C ：2212516x y +=的左、右焦点，点M 为椭圆C 上一点且在第一象限，若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________． 【答案】5823⎛【分析】先计算出11226MF F F c ===,所以21064MF =-=,利用余弦定理求出21cos MF F ∠，即可求出53OA =,即得到M 的横坐标为53，代入椭圆C ：2212516x y +=求出823M y =. 【详解】椭圆C ：2212516x y +=,所以5,4,3a b c ===.因为M 在椭圆上,12210MF MF a +==. 因为M 在第一象限,故12MF MF >.12MF F △为等腰三角形,则11226MF F F c ===,所以21064MF =-=,由余弦定理可得2222221221211226461cos 22643F F MF MF MF F F F MF +-+-∠===⨯⨯⨯.过M 作MA ⊥x 轴于A ,则222114cos 433AF MF MF F =∠=⨯=所以2245333OA OF AF =-=-=,即M 的横坐标为53.因为M 为椭圆C ：2212516x y +=上一点且在第一象限，所以225312516y ⎛⎫⎪⎝⎭+=，解得：82y =所以M 的坐标为5823⎛ ⎝⎭.故答案为：5823⎛ ⎝⎭三、解答题17．已知p ：28200x x --≤，q ：()110m x m m -≤≤+>． (1)若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的范围；【答案】(1)(0，3]； (2)[9，)∞+．【分析】解不等式28200x x --，(1)由题意得21101mm --⎧⎨+⎩，从而求得；(2)由题意可转化为p 是q 的充分不必要条件，从而得到12110m m --⎧⎨+⎩，化简即可．【详解】(1)解不等式28200x x --得210x -，p 是q 的必要不充分条件，∴21101mm --⎧⎨+⎩，解得，03m<，即实数m 的范围为(0，3]； (2)p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，p ∴是q 的充分不必要条件，故12110m m --⎧⎨+⎩，解得，9m ，即实数m 的范围为[9，)∞+．18．命题p ：直线l ：0x m +=与圆C ：()2214x y -+=有公共点，命题q ：双曲线22152y x m-=的离心率e ∈．(1)若p ，q 均为真命题，求实数m 的取值范围； (2)若p q ∨为真，p q ∧为假，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)5(2，3]； (2)()55,3,52⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦.【分析】(1)求出p ，q 成立的等价条件，即可求实数m 的取值范围；(2)若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，则p 、q 一真一假，当p 真q 假时，求出m 的取值范围，当p 假q 真时，求出m 的取值范围，然后取并集即可得答案．【详解】(1)若命题p 2，解得：53m -，若命题q 为真命题，则520m ⋅>且e ，解得552m <<， ∴p ，q 均为真命题，实数m 的取值范围是5(2，3]； (2)若p q ∨为真，p q ∧为假，则p 、q 一真一假； 55当p 假q 真时，即“5m <-或3m >”且“552m <<”，则此时m 的取值范围是()3,5；综上,m 的取值范围是()55,3,52⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦．19．已知圆C ：224630x y x y +-+-=．(1)若过点()1,1-的直线l 与圆C 相交所得的弦长为l 的方程；(2)若P 是直线l '：230x y -+=上的动点，P A ，PB 是圆C 的两条切线，A ，B 是切点，求四边形P ACB 面积的最小值． 【答案】(1)4370x y --=或1y =-. (2)8【分析】（1）先判断当斜率不存在时,不满足条件；再判断当斜率存在时,设()11,l y k x =--：利用垂径定理列方程求出k ，即可求出直线方程；（2）过P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 、B ，连结CA 、CB ，得到PACB S =四边形判断出当PC l '⊥时, PC 最小，四边形P ACB 面积取得最小值.利用点到直线的距离公式求出，min PC =P ACB 面积的最小值.【详解】(1)圆C ：224630x y x y +-+-=化为标准方程为：()()222316x y -++=，所以圆心为()2,3C -，半径为r =4.（1）当斜率不存在时,x =1代入圆方程得3y =-±弦长为不满足条件； （2）当斜率存在时,设()11,l y k x =--：即10kx y k ---=.圆心C 到直线l 的距离2d ====， 解得: 34k =或k =0,所以直线方程为4370x y --=或1y =-. (2)过P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 、B ，连结CA 、CB ，则,CA PA CB PB ⊥⊥. 因为,PA PB PC PC ==,所以,Rt PCA Rt PCB ≅所以1222PCAPACB S SPA r r =⨯⨯==四边形所以当PC l '⊥时, PC 最小，四边形P ACB 面积取得最小值.所以min 224332521PC ++==+，所以()2425168PACB S =-=四边形，即四边形P ACB 面积的最小值为8.20．自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产．某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，并将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图．已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等．(1)估计口罩生产车间工人生产速度的中位数（结果写成分数的形式）；(2)为了解该车间工人的生产速度是否与他们的工作经验有关，现从车间所有工人中随机抽样调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄（参加工作的年限），数据如下表： 工龄x （单位：年）4 6 8 10 12 生产速度y （单位：件/小时） 4257626267根据上述数据求每名工人的生产速度y 关于他的工龄x 的回归方程y bx a =+，并据此估计该车间某位有16年工龄的工人的生产速度．附：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式为：()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-．【答案】(1)4559(2)80件/小时【分析】（1）先利用等差数列的通项公式和频率分布直方图各矩形的面积之和为1求出各组频率，再利用频率分布直方图求中位数；（2）先求出x 、y ，利用最小二乘法求出回归直线方程，再进行预测其生产速度. 【详解】(1)解：设前4组的频率分别为1a ，2a ，3a ，4a ，公差为d ，由频率分布直方图，得212340.1610.160.84a a a a a =⎧⎨+++=-=⎩，即110.16460.84a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得10.060.1a d =⎧⎨=⎩，则1230.48a a a ++=，40.36a =， 所以中位数为40.50.4845550109a -+⨯=. (2)解：由题意，得1(4681012)85x =++++=，1(4257626267)585y =++++=，由所给公式，得()()()()()2222241621042449ˆ11442024b -⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯==-+-+++， 11588364a y bx =-=-⨯=， 所以回归直线方程为11364y x =+， 则当16x =时，80y =，即估计该车间某位有16年工龄的工人的生产速度为80件/小时.21．已知双曲线C ： 22221(0,0)x y a b a b -=>>()作垂直于x轴的直线截双曲线C 所得弦长为 (1)求双曲线C 的方程；(2)直线y kx m =+ （0k m ⋅≠）与该双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且A ，B 两点都在以点()0,1P -为圆心的同一圆上，求m 的取值范围． 【答案】(1)2213x y -=(2)0m <或4m >【分析】（1）利用双曲线的离心率、点在双曲线上及222c a b =+得到关于a 、b 、c 的方程组，进而求出双曲线的标准方程；（2）联立直线和双曲线的方程，得到关于x 的一元二次方程，利用直线和双曲线的位置关系、根与系数的关系得到两个交点坐标间的关系，利用A ，B 两点都在以点()0,1P -为圆心的同一圆上得到AB PM ⊥，再利用向量的数量积为0得到m 、k 的关系，进而消去k 得到m 的不等式进行求解.【详解】(1)解：因为过点()作垂直于x 轴的直线截双曲线C所得弦长为所以点(在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，由题意，得222221231c a b c a a b ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得2c =，a =1b =，即双曲线的标准方程为2213x y -=.(2)解：联立2213y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得222(31)63(1)0k x kmx m -+++=， 因为直线y kx m =+与该双曲线C 交于不同的两点，所以2310k -≠且()()222236123110k m k m =--+>，即2310k -≠且2231m k >-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的中点00(,)M x y ， 则12023231x x km x k +-==-，00231my kx m k -=+=-， 因为A ，B 两点都在以点()0,1P -为圆心的同一圆上， 所以AB PM ⊥，即0AB PM ⋅=， 因为(1,)AB k =，223(,1)3131km mPM k k --=+--， 所以22303131km kmk k k --++=--， 即2341k m =+，将2341k m =+代入22231031k m k ⎧-≠⎪⎨>-⎪⎩，得24040m m m ≠⎧⎨->⎩，解得0m <或4m >，即m 的取值范围为0m <或4m >.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B .离心率为12，||AB =(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若M ，N 是椭圆C 上异于长轴端点的两点（MN 斜率不为0），已知直线:4l x '=，且1MM l '⊥，垂足为1M ，1NN l '⊥垂足为1N ，若3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，且11DM N 的面积是DMN面积的5倍，求DMN 面积的最大值. 【答案】(1)22143x y += (2)DMN 面积的最大值为34【分析】（1）由离心率为12，||AB22212c e a c a b ⎧==⎪=-⎪⎪⎩2a ，2b ，2c ，进而可得答案．（2）设直线MN 的方程为x my n =+，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立直线MN 与椭圆的方程，结合韦达定理可得12y y +，12y y ，由弦长公式可得||MN ，点D 到直线MN 的距离d ，则12113||||||222DMNSMN d y y n =⋅=-⋅-，111212135||(4)||224DM N S y y y y =⋅-⋅-=-，由11DM N 的面积是DMN 面积的5倍，解得n ，再计算1212131||||||224DMNSy y n y y =-⋅-=-的最大值，即可．【详解】(1)解：因为离心率为12，||AB =所以22212c e a c a b ⎧==⎪==-⎪⎪⎩解得24a =，23b =，21c =， 所以22143x y +=．(2)解：设直线MN 的方程为x my n =+，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立22143x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)63120m y mny n +++-=，所以122634mn y y m +=-+，212231234n y y m -=+，所以12|||MN y y -，点D 到直线MN的距离3||n d -，所以12123||1113|||||||2222DMNn SMN d y y y y n ∆-=⋅=--⋅-， 111212135||(4)||224DM N Sy y y y =⋅-⋅-=-， 因为11DM N 的面积是DMN 面积的5倍， 所以1212513||5||||422y y y y n -=⋅-⋅- 所以1n =或2n =，又因为M ，N 是椭圆C 上异于长轴端点的两点， 所以1n =， 所以1212131||||||224DMNSy y n y y =-⋅-=-==令21t m =+，(1)t所以DMNS=== 因为19y t t=+在[)1,+∞上单调递增，所以1331964DMNS=++，（当1t =时，取等号），所以DMN 面积的最大值为34．。

2023-2024学年四川省成都市校级联考高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量a =(1,1,2),b =(−3,2,0)，则a +b 在a 上的投影向量为( )A. (32,32,322) B. (1510, 1510, 3010)C. (34,34,3 24) D. (−25,35, 25)2.平面直角坐标系内，与点A(1,1)的距离为1且与圆(x−1)2+(y−4)2=4相切的直线有( )A. 4条B. 3条C. 2条D. 0条3.设−A 、−B 分别是事件A 、B 的对立事件，P(A)>0，P(B)>0，则下列结论不正确的是( )A. P(A)+P(−A )=1B. 若A 、B 是互斥事件，则P(A ∩B)=P(A)P(B)C. P(A ∪−A )=1D. 若A 、B 是独立事件，则P(A ∩B)=P(A)P(B)4.如图，在平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°，则AC1⋅BD 1=( )A. 12B. 1C. 32D. 25.在样本频率分布直方图中共有9个小矩形，若其中1个小矩形的面积等于其他8个小矩形面积和的25，且样本容量为210，则该组的频数为( )A. 28B. 40C. 56D. 606.已知双曲线C ：x 22−y 24=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作其中一条渐近线的垂线，垂足为P ，则|P F 2|为( )A.3B. 23C. 2D. 47.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，其上有两点A ，B ，若AB 的中点为M ，满足MF 的斜率等于1，则|BF|的最大值是( )A. 7B. 8C. 5+23D. 108.半径为R 的光滑半球形碗中放置着4个半径为r 的质量相同的小球，且小球的球心在同一水平面上，今将另一个完全相同的小球至于其上方，若小球不滑动，则Rr 的最大值是( )A. 25+1B. 27+1C. 211+1D. 213+1二、多选题：本题共4小题，共20分。

2021年高二上学期期末模块考试数学（文）试题含答案说明：本卷为发展卷，采用长卷出题、附加计分的方式。

第Ⅰ、Ⅱ卷为必做题，第Ⅲ卷为选做题，必做题满分为 120 分，选做题满分为30分。

第Ⅰ卷为第1题页至第 10 题，第Ⅱ卷为第11 题至第18 题，第Ⅲ卷为第19 题至第22 题。

考试时间120 分钟。

温馨提示：生命的意义在于不断迎接挑战，做完必做题后再挑战一下发展题吧，你一定能够成功！第I卷（选择题，共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知在等差数列中，若=4，，则该数列的公差d等于A. 1B.C. - 2D. 32. 在中，已知，，则的值为A. B. C. D.3. 设，，则下列不等式成立的是A. B.C. D.4. 在中，，则的面积为A. B. C. D. 305. 在等差数列中，有，则该数列的前13项之和为A．24 B. 52 C. 56 D. 1046. 不等式组表示的区域为D，点P (0，－2)，Q (0，0)，则A. PD，且Q DB. PD，且Q ∈DC. P∈D，且Q DD. P∈D，且Q ∈D7. 在中，，那么的值为A. B. C. D.8. 在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为，则=A．32 B. 24 C. 27 D．549．已知变量满足约束条件,若目标函数的最大值是A．6 B．3 C. D．110. 等比数列的前n项和，若，则A. 72B. 81C. 90D. 99提示：请将1—10题答案涂在答题卡上，11-22题写在答题纸上第Ⅱ卷（非选择题，共70 分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11. 在△ABC中，角A,B,C 的对边分别是，若，则.12. 正数满足，则的最大值为______ .13. 数列的前n项和满足，则= .14. 在中，若，则的形状一定是三、解答题(本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15. (本小题满分12分)解下列不等式（1）; （2）.16. (本小题满分12分)已知在△ABC中，角A,B,C 的对边分别是，若（1）求边长c的大小;（2）求三角形ABC的面积.17. (本小题满分13分)已知等差数列的前项和为，，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.18 (本小题满分13分)云南省镇雄县高坡村发生山体滑坡，牵动了全国人民的心，为了安置广大灾民，救灾指挥部决定建造一批简易房,每间简易房是地面面积为100，墙高为3m的长方体样式，已知简易房屋顶每1的造价为500元，墙壁每1的造价为400元.问怎样设计一间简易房地面的长与宽，能使一间简易房的总造价最低？最低造价是多少？第Ⅲ卷（发展题，共 30 分）19 （3分）在下列函数中，最小值是的是A. B.C. D.20 （3分）不等式2(2)2(2)40a x a x x R a -+--<∈对一切恒成立，则实数的 取值范围是 .21. (本小题满分12分) 设锐角三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为,（1）求B 的大小；（2）求的取值范围.22. (本小题满分12分)等差数列中，，前项和满足条件.(1)求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和济南外国语学校xx 学年度第一学期高二期末模块考试数学试题（xx.1）文科答题纸二、填空题（每小题5分，共20分）11、 12、 13、 14、三、解答题（共50分）15、（12分）16、（12分）17、（13分）18、（13分）发展卷19、20 、21、（12分）22、（12分）xx年1月高二期末模块考试数学试卷（文科）发展卷参考答案一、选择题（5*10=50）1.C2.A3.D4.B5.B6.C7.C8.B9.A 10.B二、填空题（5*4=20）11. 12 1 13. 14 等腰三角形.三、解答题15.解：(1) - ----------------------------------------6分(2) ----------------------------------------12分16.解：（1）由题知解得, ----------------------------------------6分（2）----------------------------------------12分17解: （1）设的公差为d , 则 ------3分即,解得, -----------------------------------------6分 . -------------------------------8分(2)--------------------------------------10分 ------------------------------------------13分18．解：设地面的长为m,宽为 --------------------------------------2分 则总造价 --------------------------------------6分------------------------------------8分所以，当且仅当时，即x=10m 时，y 取得最小值. --------------------------------------11分 答：设计地面长宽均为10m 时，造价最低，为98000元。

2021-2022学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∀x∈N，e x>sinx”的否定是()A. ∀x∈N，e x≤sinxB. ∀x∈N，e x<sinxC. ∃x0∈N，e x0>sinx0D. ∃x0∈N，e x0≤sinx02.抛物线y2=4x的准线方程是()A. y=116B. y=−116C. x=−1D. x=13.在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,−1,1)关于x轴对称的点的坐标为()A. (1,1,1)B. (1,1,−1)C. (−1,−1,−1)D. (1,−1,−1)4.设直线l1：ax+(a−2)y+1=0，l2：x+ay−3=0.若l1⊥l2，则a的值为()A. 0或1B. 0或−1C. 1D. −15.下列有关命题的表述中，正确的是()A. 命题“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题是假命题B. 命题“若a为正无理数，则√a也是无理数”的逆命题是真命题C. 命题“若x=2，则x2+x−6=0”的逆否命题为“若x2+x−6≠0，则x≠2”D. 若命题“p∧q”，“p∨(￢q)”均为假命题，则p，q均为假命题6.执行如图所示的算法框图，则输出的结果是()A. 99100B. 100101C. 101100D. 991017.方程x2m+3+y21−m=1表示椭圆的充分不必要条件可以是()A. m∈(−3,1)B. m∈(−3,−1)∪(−1,1)C. m∈(−3,0)D. m∈(−3,−1)8.如图，是对某位同学一学期8次体育测试成绩(单位，分)进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是()A. 该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差超过15分B. 该同学8次测试成绩的众数是48分C. 该同学8次测试成绩的中位数是49分D. 该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关9.若椭圆x23+y24=1的弦AB恰好被点M(1,1)平分，则AB所在的直线方程为()A. 3x−4y+1=0B. 3x+4y−7=0C. 4x−3y−1=0D. 4x+3y−7=010.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔社”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为()A. 916B. 716C. 1332D. 113211.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.若双曲线右支上存在点P，使得PF1与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点Q，且|PF1|=4|F1Q|，则双曲线的浙近线方程为()A. y=±xB. y=±43x C. y=±34x D. y=±√2x12. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C ：x 2+y 2=|x|+|y|流是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C 围成的图形的面积是2+π； ②曲线C 上的任意两点间的臥离不超过2；③若P(m,n)是曲线C 上任意一点，则|3m +4n −12|的最小值是17−5√22． 其中正确结论的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 椭圆x 2+2y 2=4的长轴长为______．14. 某班有40位同学，将他们从01至40编号，现用系统抽样的方法从中选取5人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是05，那么第四位的编号是______．15. 根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，2017年至2020年每年进口总额x(单位：千亿元)和出口总额y(单位：千亿元)之间的一组数据如下：若每年的进出口总额x ，y 满足线性相关关系y ̂=b ̂x −0.84，则b ̂=______；若计划2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为______千亿元．16. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点F 1和F 2，设椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，P 为两曲线的一个公共点，且|PF⃗⃗⃗⃗⃗ 1−PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2|=2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |(O 为坐标原点).若e 1∈(√22,√32]，则e 2的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知△ABC 的三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)．(Ⅰ)求AC 边所在的直线方程；(Ⅱ)求经过AB 边的中点，且与AC 边平行的直线l 的方程．18.某班主任对全班50名学生进行了作业量多少与手机网游的调查，数据如下表：(Ⅰ)若随机抽问这个班的一名学生，分别求事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率；(Ⅱ)若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生．现要从这5名学生中任取2名学生了解情况，求其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率．19.已知圆C的圆心为C(1,2)，且圆C经过点P(5,5)．(Ⅰ)求圆C的一般方程；(Ⅱ)若圆O：x2+y2=m2(m>0)与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围．20.为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了50名学生的得分(得分均为整数，满分为100分)进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组[60,70)，第二组[70,80)，第三组[80,90)，第四组[90,100](单位：分)，得到如下的频率分布直方图．(Ⅰ)求图中m的值，估计此次活动学生得分的中位数；(Ⅱ)根据频率分布直方图，估计此竞赛活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖．21.已知抛物线E：x2=2py(p>0)的焦点为F，直线y=3与抛物线E在第一象限的交点为A，且|AF|=4．(Ⅰ)求抛物线E的方程；(Ⅱ)经过焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线E相交于P，Q两点，l2与抛物线E相交于M，N两点．若C，D分别是线段PQ，MN的中点，求|FC|⋅|FD|的最小值．22. 已知点P 是圆C ：(x +√3)2+y 2=16上任意一点，A(√3,0)是圆C 内一点，线段AP的垂直平分线与半径CP 相交于点Q ．(1)当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹E 的方程；(2)设不经过坐标原点O ，且斜率为12的直线l 与曲线E 相交于M ，N 两点，记OM ，ON 的斜率分别是k 1，k 2，以OM ，ON 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2.当k 1，k 2都存在且不为0时，试探究S 1+S 2k1k 2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x0∈N，e x0≤sinx0，故选：D．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2.【答案】C【解析】解：由已知抛物线方程可得：2p=4，所以p=2，=−1，即x=−1，所以准线方程为x=−p2故选：C．由已知抛物线方程以及求出p的值，进而可以求解．本题考查了抛物线的性质以及准线方程，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：∵点A(1,−1,1)，一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，∴点A(1,−1,1)关于x轴对称的点的坐标为(1,1,−1)故选：B．根据所给的点的坐标，知一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，写出点的坐标．本题考查空间中点的对称，是一个基础题，注意点在空间中关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标，这种题目通常单独作为一个知识点出现．4.【答案】A【解析】解：∵直线l1：ax+(a−2)y+1=0，l2：x+ay−3=0，l1⊥l2，∴a×1+(a−2)×a=0，解得a=0或a=1．故选：A．利用直线与直线垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】C【解析】解：对于A：命题“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”的逆命题是：“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”，该命题为真命题，由于逆命题和否命题等价，故否命题为真命题，故A错误；对于B：命题“若a为正无理数，则√a也是无理数”的逆命题是：若√a是无理数，则a也为无理数”是假命题，故B错误；对于C：命题“若x=2，则x2+x−6=0”的逆否命题为“若x2+x−6≠0，则x≠2”，故C正确；对于D：若命题“p∧q”，“p∨(￢q)”均为假命题，则p为假命题，q为真命题，故D 错误．故选：C．直接利用四种命题的转换和命题真假的判定的应用求出结果．本题考查的知识要点：命题真假的判定，四种命题的转换，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=1 1×2+12×3+...+1100×101的值，S=11×2+12×3+...+1100×101=(1−12)+(12−13)+...+(1100−1101)=1−1101=100101．故选：B．模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=11×2+12×3+...+1100×101的值，进而根据裂项法即可求解． 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.【答案】D【解析】解：若方程x 2m+3+y 21−m=1表示椭圆，则{m +3>01−m >0m +3≠1−m ，解得：−3<m <1且m ≠−1， 则方程x 2m+3+y 21−m =1表示椭圆的充要条件是{m|：−3<m <1且m ≠−1}，则：方程x 2m+3+y 21−m =1表示椭圆的充分不必要条件所对应的集合必须是{m|：−3<m <1且m ≠−1}的真子集，选项D ，m ∈(−3,−1)符合条件． 故选：D ． 求得方程x 2m+3+y 21−m =1表示椭圆的条件，根据利用充分条件和必要条件的定义判断． 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及椭圆的方程，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由散点图得：对于A ，该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差为：56−38=18，超过15分，故A 正确；对于B ，该同学8次测试成绩的众数是48分，故B 正确； 对于C ，该同学8次测试成绩的中位数是：48+482=48分，故C 错误；对于D ，该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关，故D 正确． 故选：C ．利用散点图、极差、众数、中位数、相关性直接求解．本题考查命题真假的判断，考查散点图、极差、众数、中位数、相关性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】D【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x123+y124=1，x223+y224=1，两式相减得：x12−x223+y12−y224=0，因为弦AB恰好被点M(1,1)平分，所以有x1+x2=2，y1+y2=2．所以直线AB的斜率k=y2−y1x2−x1=−43⋅x1+x2y2+y1=−43，因此直线AB的方程为y−1=−43(x−1)，即4x+3y−1=0，故选：D．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用平方差法求出直线的斜率，然后求解直线方程．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，平方差法的应用，考查计算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：如图，设大正方形的边长为2，则最大的三角形是腰长为√2的等腰直角三角形，角上的三角形是腰长为1的等腰直角三角形，最小的三角形是腰长为√22的等腰直角三角形，∴白色部分的面积为：S 白=22−12×√2×√2−12×√22×√22−12×1×1=94，∴在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率为：P=S白S正方形=944=916．故选：A．设大正方形的边长为2，求出白色部分的面积，利用几何概型能求出在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率．本题考查概率的运算，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】B【解析】解：设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为： F 1(−c,0)，F 2(c,0)，一条渐近线方程为bx −ay =0，可得F 2到渐近线的距离为|F 2Q|=|bc|√a 2+b 2=b ， 则|PF 2|=4b ，|PF 1|=4b −2a ，在直角三角形OF 2Q 中，cos∠QF 2O =|QF 2||OF 2|=bc ，在△PF 2F 1中，可得cos∠PF 2F 1=|F 1F 2|2+|PF 2|2−|PF 1|22|F 1F 2||PF 2|=4c 2+16b 2−(4b−2a)22×2c×4b=bc，化为3b =4a ，所以双曲线的渐近线方程为：y =±43x. 故选：B ．设出双曲线的焦点和一条渐近线方程，求得F 2到渐近线的距离，可得|PF 2|=4b ，|PF 1|=4b −2a ，由直角三角形的锐角三角函数和三角形的余弦定理，化简可得3b =4a ，可得渐近线方程．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查三角形的余弦定理和锐角三角函数的定义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：曲线C ：x 2+y 2=|x|+|y|可知曲线关于原点，x ，y 轴对称， 当x ≥0，y ≥0时，可得x 2+y 2−x −y =0，可得(x −12)2+(y −12)2=12，所以可得是以C(12,12)为圆心，r =√22为半径的半圆，由此可作出曲线C 的图象，如图所示，所以曲线C 围成的图形的面积是√2×√2+2×π×(√22)2=2+π，故命题①正确；曲线上任意两点间距离的最大值为4×√22=2√2，故命题②错误；设圆心C 到直线3x +4y −12=0的距离为d =∣3×12+4×12−12∣22=1710，故曲线上任意一点P(m,n)到直线l 的距离的最小值为3m+4n−12√32+42最小值为1710−√22， 故|3m +4n −12|的最小值是17−5√22，故命题③正确． 故选：C ．由曲线方程知曲线关于原点，x ，y 轴对称，当x ≥0，y ≥0时，可得x 2+y 2−x −y =0，可得(x −12)2+(y −12)2=12，所以可得是以C(12,12)为圆心，r =√22为半径的半圆，由此可作出曲线C 的图象，从而通过运算可判断命题①②③的真假．本题考查命题真假的判断，以及考查由曲线方程研究曲线的相关性质，属中档题．13.【答案】4【解析】解：椭圆x 2+2y 2=4，可得x 24+y 22=1，可得a =2，所以椭圆长轴长为：4． 故答案为：4．化简椭圆方程为标准方程，然后求解长轴长即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．14.【答案】29【解析】解：系统抽样间隔为40÷5=8，且抽取的第一位编号是05， 所以第四位的编号是5+8×3=29． 故答案为：29．求出系统抽样间隔，根据抽取的第一位编号即可写出第四位的编号． 本题考查了系统抽样应用问题，是基础题．15.【答案】1.6 3.65【解析】解：由题意可得：x −=1.8+2.2+2.6+3.04=2.4．y −=2.0+2.8+3.2+4.04=3．因为样本中心满足回归直线方程，可得3=2.4 b ⏜−0.84， 解得 b⏜=1.6． y ̂=1.6x −0.84，2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为x ， 则5=1.6x −0.84，解得x =3.65． 故答案为：1.6；3.65．求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求解b ^，然后代入计划2022年出口总额达到5千亿元，求解即可．本题考查回归直线方程的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．16.【答案】[√62,+∞)【解析】解：设椭圆C 1：x 2a 12+y 2b 12=1(a 1>b 1>0)，双曲线C 2：x 2a 22−y 2b 22=1(a 2>0,b 2>0)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)为C 1与C 2的共同焦点，则c 2=a 12−b 12，c 2=a 22+b 22， 由|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |，得|F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以2c =2|PO|，所以|PO|=c ， 所以|OF 1|=|OP|=|OF 2|=c ，所以∠F 1PF 2=90°(P 为C 1与C 2的一个公共点)， 设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，则m 2+n 2=4c 2，① m +n =2a 1，②， |m −n|=2a 2，③②2+③2，得2m 2+2n 2=4(a 12+a 22)， 代入①，得2×4c 2=4(a 12+a 22)， 所以2c 2=a 12+a 22，所以a 12c 2+a 22c 2=2，④ 又e 1=ca 1，e 2=ca 2，所以1e 1=a 1c，1e 2=a 2c，所以④化为1e 12+1e 22=2，即1e 22=2−1e 12，因为e 1∈(√22,√32]，所以12<e 12≤34，所以43≤1e 12<2，所以−2<−1e 12≤−43，所以0<2−1e 12≤2−43=23，即0<1e 22≤23，则e 22≥32，又e 2>1，所以e 2≥√62， 所以e 2的取值范围为[√62,+∞)，故答案为：[√62,+∞)．设椭圆C 1：x 2a 12+y 2b 12=1(a 1>b 1>0)，双曲线C 2：x 2a 22−y 2b 22=1(a 2>0,b 2>0)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)为C 1与C 2的共同焦点，则c 2=a 12−b 12，c 2=a 22+b 22，由|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |，得|PO|=c ，则∠F 1PF 2=90°(P 为C 1与C 2的一个公共点)，设|PF 1|=m ，|PF 2=n ，可得m 2+n 2=4c 2①，m +n =2a 1②，|m −n|=2a 2③，进一步求出e 2的取值范围． 本题考查椭圆与双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由题意知AC 斜率为k =3−00−4=−34，所以AC 边所在直线方程为y −0=−34(x −4)，即3x +4y −12=0．(Ⅱ)由(Ⅰ)知l 可设为3x +4y +m =0，又AB 边中点为(5,72)，将点(5,72)代入直线l 的方程得3×5+4×72+m =0，解得m =−29，所以l 方程为3x +4y −29=0．【解析】(Ⅰ)由A 、C 两点坐标可以写出直线AC 斜率，再代入A 、C 中的一个点就可以求出AC 方程．(Ⅱ)求出AB 中点，l 与AC 平行，从而斜率相等，即可设出l ，代入A 、C 中点求得l ．本题考查了直线方程的求解和两直线平行的关系，属于简单题．18.【答案】解：：(Ⅰ)用A 表示“认为作业不多”，用B 表示“喜欢手机网游且认为作业多”，则P(A)=2550=12，P(B)=2050=25．(Ⅱ)若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生， “不喜欢手机网游”与“喜欢手机网游”的人数的比值为520=14， ∴采用分层抽样方法抽取5人，其中“不喜欢手机网游”的有1人， “喜欢手机网游”有4人，记“不喜欢手机网游”的1名学生为B，“喜欢手机网游”的4名学生分别为B1，B2，B3，B4，从5名学生中抽取2名学生的所有可能情况有n=C52=10，恰有1名“不喜欢手机网游”学生的情况有：{B,B1}，{B,B2}，{B,B3}，{B,B4}，共4种，∴其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率P=410=25．【解析】(Ⅰ)利用古典概型直接求解．(Ⅱ)采用分层抽样方法抽取5人，其中“不喜欢手机网游”的有1人，“喜欢手机网游”有4人，记“不喜欢手机网游”的1名学生为B，“喜欢手机网游”的4名学生分别为B1，B2，B3，B4，从5名学生中抽取2名学生的所有可能情况有n=C52=10，利用列举法求出恰有1名“不喜欢手机网游”学生的情况有4种，由此能求出其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：(I)设圆C的方程为(x−1)2+(y−2)2=r2(r为圆C的半径)，∵圆C经过点P(5,5)，∴(5−1)2+(5−2)2=r2，即r2=25，∴圆C的标准方程为(x−1)2+(y−2)2=25．(II)由(I)知圆C的圆心为C(1,2)，半径为5，∵圆O：x2+y2=m2(m>0)与圆C恰有两条公切线，∴圆O与圆C相交，∴|5−m|<|OC|<5+m，∵|OC|=√(1−0)2+(2−0)2=√5，∴5−√5<m<5+√5，故m的取值范围是(5−√5,5+√5)．【解析】(I)设圆C的方程为(x−1)2+(y−2)2=r2(r为圆C的半径)，再将点P(5,5)代入圆C方程，即可求解．(II)将已知条件转化为两圆相交，再结合圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解．本题主要考查两圆之间的位置关系，属于基础题．20.【答案】(Ⅰ)由图知第三组频率为1−(0.01+0.04+0.02)×10=0.30，所以第三组矩形的高为m =0.3010=0.03．因为前两组的频率为(0.01+0.03)×10=0.4<0.5，前三组的频率为(0.01+0.03+0.04)×10=0.8>0.5，所以得分的中位数在第三组内，设中位数为x ，(0.01+0.03)×10+(x −80)×0.04=0.5，解得x =82.5，所以估计此次得分的中位数是 82.5分．(Ⅱ)由频率分布直方图知，学生得分的平均值为x −=65×10×0.01+75×10×0.03+85×10×0.04+95×10×0.02=82．参赛的500名学生中得分不低于82分的人数为500×[0.02×10+(90−82)×0.04]=260，所以估计此次参加比赛活动学生得分的平均值为82分，参赛的500名学生中有260名学生获奖．【解析】(Ⅰ)所有组频率之和为1，每个小长方形面积为该组对应的频率，这样让1减去其它组频率即为所求组频率，所求组频率即为对应长方形面积，面积除以宽得到高就是m 值．频率分布直方图中的中位数是频率0.5位置为应的x 的值．(Ⅱ)平均值是各组中点值乘以对应的频率之和，不低于平均值的学生人数为总数500乘以不低于平均值的频率．本题考查了频率直方图中的频率、中位数、平均数，频数的求解，考查较基础难度不大．21.【答案】解：(Ⅰ)由题意，|AF|=3+p2=4，得p =2．∴抛物线E 的方程为x 2=4y ； (Ⅱ)由(Ⅰ)知焦点为F(0,1)．由已知可得两直线PQ 、MN 的斜率都存在且均不为0． 设直线PQ 的斜率为k ，则直线MN 的斜率为−1k ， 故直线PQ 的方程为y =kx +1，联立方程组{y =kx +1x 2=4y ，消去y ，整理得x 2−4kx −4=0，设点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则x 1+x 2=4k ，∵C(x C ,y C )为弦PQ 的中点，∴x C =12(x 1+x 2)=2k ． 由y C =kx C +1=2k 2+1，故点C(2k,2k 2+1)，同理，可得D(−2k ,2k 2+1)，故|FC|=√4k 2+4k 4=2√k 4+k 2，|FD|=√4k 2+4k 4=2√1k 4+1k 2．∴|FC|⋅|FD|=4√(k 4+k 2)(1k+1k)=4√(2+k 2+1k)≥4√2+2√k 2⋅1k =8．当且仅当k 2=1k 2，即k =±1时，等号成立． ∴|CF|⋅|FD|的最小值为8．【解析】(Ⅰ)由题意可得|AF|=3+p2=4，求得p ，则抛物线E 的方程可求； (Ⅱ)由(Ⅰ)知焦点为F(0,1).由已知可得两直线PQ 、MN 的斜率都存在且均不为0.设直线PQ 的斜率为k ，则直线MN 的斜率为−1k ，可得直线PQ 与MN 的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得C 与D 的坐标，再求出|FC|与|FD|的值，作积后整理，再由基本不等式求最值．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系的应用，考查化简运算能力和推理能力，训练了利用基本不等式求最值，属于中档题．22.【答案】解：(1)由题意知|PQ|=|AQ|，又|PQ|+|CQ|=|CP|=4，且|AC|=2√3， ∴|AQ|+|CQ|=4>|AC|，由椭圆定义知Q 点的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆， 设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 则a =2,c =√3． ∴b 2=1． ∴曲线E 的方程为x 24+y 2=1．(2)由题意知直线l 的方程为y =12x +m(m ≠±1)， 设直线l 与椭圆的交点为M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由{y =12x +mx 24+y 2=1，消去y ，化简得x 2+2mx +2m 2−2=0，∴Δ=4m 2−4(2m 2−2)=8−4m 2>0， 即m 2<2，∴x 1+x 2=−2m,x 1x 2=2m 2−2， ∴k 1k 2=y 1x 1⋅y 2x 2=12x 1+m x 1⋅12x 2+m x 2=14+m 2x 1x 2+m(x 1+x 2)2x 1x 2=14+m 22m 2−2+m⋅(−2m)4m 2−4=14， S 1+S 2=π4(|OM|2+|ON|2)=π4(x 12+y 12+x 22+y 22)=π4(x 12+x 22+y 12+y 22)， ∵x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=4m 2−2(2m 2−2)=4，∴y 12+y 22=(1−x 124)+(1−x 224)=2−x 12+x 224=1，∴S 1+S 2=π4(x 12+x 22+y 12+y 22)=5π4，∴S 1+S 2k 1k 2=5π414=5π，∴S 1+S 2k 1k 2是定值，为5π．【解析】(1)由条件可得Q 点轨迹满足椭圆定义，设出椭圆方程，由a ，c 的值可得b 的值，从而求得轨迹方程；(2)设出直线l 的方程，结合韦达定理，分别求得k 1k 2为定值，S 1+S 2也为定值，从而可得S 1+S 2k1k 2是定值．本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，属于难题．。

2021-2022年高二上学期期末数学试卷（文科）含解析(III)一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．的右焦点坐标是（）A．（3，0）B．（4，0）C．（5，0）D．（6，0）2．在年级举行的巴蜀中学“群英杯”辩论赛中，甲、乙、丙、丁4个班级晋级半决赛，现用抽签法将四个班级分成2个小组，则甲乙在同一组的概率为（）A．B．C．D．3．用与球心距离为4的平面去截球所得的截面面积为9π，则球的表面积为（）A．36πB．64πC．100πD．144π4．与双曲线x2﹣y2=1有相同渐近线且过（，1）的双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．5．等腰直角三角形ABC（直角边长为2）绕其直角边旋转一周所围成几何体的侧面积为（）A．B．C．4π D．6．下面是学当天校食堂某窗口5天中出售的冷饮杯数和当天最高气温的记录数据，根据以下数据得回归直线方程为：y=1.25x+b，则b=（）气温（x度）2527322234杯数y3637483752A．6 B．7 C．8 D．97．下列说法不正确的是（）A．a∥b，a⊄α，b⊆α⇒a∥αB．α∥β，b∥β，a，b⊆α⇒α∥βC．a⊥b，a⊥c，b∩c=p，p∈α，a⊄α⇒a⊥αD．α⊥β，α∩β=l，b⊆α，b⊥l⇒b⊥β8．已知抛物线x2=8y的焦点为F，在抛物线内有一点A（4，4），若该抛物线上存在一动点P，则|PA|+|PF|的最小值为（）A．B．4 C．D．69．如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）A．B．4 C．D．210．已知三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=60°，当△AOC和△BOC的面积之和最大时，则O到面ABC的距离为（）A．B．C．D．11．设偶函数f（x）的导函数是f′（x）且f（e）=0，当x＞0时，有[f′（x）﹣f（x）]e x＞0成立，则使得f（x）＞0的x的取值范围是（）A．（﹣e，e）B．（﹣∞，﹣e）∪（e，+∞） C．（﹣∞，﹣e）∪（0，e）D．（﹣e，0）∪（e，+∞）12．已知双曲线的左焦点为F，点P为双曲线右支上一点，点A满足，则点A到原点的最近距离为（）A．1 B．C．D．2二、填空题13．设α∈[﹣4，4]，则关于x的方程x2+ax+1=0没有实根的概率是_______．14．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线左支上一点，且，则△PF1F2的面积是_______．15．已知（1，2）是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程是_______．16．一个直三棱柱被一个平面截后剩余部分的三视图如图，则截去部分的体积为_______．三、解答题17．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，A1A=1且A1B=A1D=．（1）求证：A1A⊥平面ABCD；（2）求该四棱柱的内切球体积．18．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2．（1）求抛物线的标准方程；（2）过抛物线焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=10，求直线l的方程．19．某校高二年级月考有600名学生参考，从年级月考数学成绩中随机抽取一个班的数学成绩（该班共50名同学），并统计了他们的数学成绩，数据如表：成绩分组[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）[125，135）[135，145）频数101012864（1）估计该班数学成绩的众数；（2）估计该次月考中年级数学125分以上的学生人数；（3）估计该班数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．20．如图，四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD=120°，M为侧棱PD的三等分点（靠近D点），O为AC，BD的交点，且PO⊥面ABCD，PC=2．（1）若在棱PD上存在一点N，且BN∥面AMC，确定点N的位置，并说明理由；（2）求三棱锥A﹣PMC的体积．21．已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，且是其中一个焦点．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过点P（﹣1，0）的动直线l与中心在原点，半径为2的圆O交于A，B两点，C是椭圆上一点，且=0，当||取得最大值时，求弦AB的长度．22．已知函数f（x）=ln（1+x）+（m∈R）．（1）若函数f（x）的图象在x轴上方，求m的取值范围；（2）若对任意的正整数n都有（1+）n﹣a≥e成立，求a的最大值．xx重庆市巴蜀中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．的右焦点坐标是（）A．（3，0）B．（4，0）C．（5，0）D．（6，0）【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的标准方程，利用c=即可得出．【解答】解：由可得a2=25，b2=9，∴c==4，可得椭圆的右焦点坐标为（4，0）．故选：B．2．在年级举行的巴蜀中学“群英杯”辩论赛中，甲、乙、丙、丁4个班级晋级半决赛，现用抽签法将四个班级分成2个小组，则甲乙在同一组的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用列举法先求出基本事件总数，再求出甲乙在同一组的情况的种数，由此能求出甲乙在同一组的概率．【解答】解：甲、乙、丙、丁4个班级晋级半决赛，现用抽签法将四个班级分成2个小组，基本事件总数为：{（甲乙）（丙丁）}，{（甲丙）（乙丁）}，{（甲丁）（乙丙）}，其甲乙在同一组的情况有{（甲乙）（丙丁）}，∴甲乙在同一组的概率为．故选：B．3．用与球心距离为4的平面去截球所得的截面面积为9π，则球的表面积为（）A．36πB．64πC．100πD．144π【考点】球的体积和表面积．【解答】解：∵用与球心距离为4的平面去截球所得的截面面积为9π，∴截面圆的半径r=3，∴球半径R==5，∴球的表面积S=4π×25=100π．故选：C．4．与双曲线x2﹣y2=1有相同渐近线且过（，1）的双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】可设与双曲线x2﹣y2=1有相同渐近线的双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0且λ≠1），将点（，1）代入，解方程即可得到所求方程．【解答】解：设与双曲线x2﹣y2=1有相同渐近线的双曲线的方程为：x2﹣y2=λ（λ≠0且λ≠1），将点（，1）代入上式，可得λ=3﹣1=2，即有所求双曲线的方程为﹣=1．故选：A．5．等腰直角三角形ABC（直角边长为2）绕其直角边旋转一周所围成几何体的侧面积为（）A．B．C．4π D．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】几何体为圆锥，圆锥的底面半径为2，高为2，求出母线长，代入侧面积公式计算．【解答】解：等腰直角三角形ABC绕其直角边旋转一周所围成几何体为圆锥，底面半径与高均为2，∴圆锥的母线长为2．∴圆锥的侧面积S==4π．故选：A．6．下面是学当天校食堂某窗口5天中出售的冷饮杯数和当天最高气温的记录数据，根据以下数据得回归直线方程为：y=1.25x+b，则b=（）气温（x度）2527322234杯数y3637483752A．6 B．7 C．8 D．9【考点】线性回归方程．【分析】求出数据中心，，将，代入回归方程解出b．【解答】解： =（25+27+32+22+34）=28， =（36+37+48+37+52）=42．把（，）代入回归方程得42=1.25×28+b，解得b=7．故选：B．7．下列说法不正确的是（）A．a∥b，a⊄α，b⊆α⇒a∥αB．α∥β，b∥β，a，b⊆α⇒α∥βC．a⊥b，a⊥c，b∩c=p，p∈α，a⊄α⇒a⊥αD．α⊥β，α∩β=l，b⊆α，b⊥l⇒b⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由线面平行判定定理得A正确；在B中，α与β相交或平行；由线面垂直的判定定理得C正确；由面面垂直的性质定理得D正确．【解答】解：在A中，a∥b，a⊄α，b⊆α⇒a∥α，由线面平行判定定理得A 正确；在B中，α∥β，b∥β，a，b⊆α⇒α与β相交或平行，故B错误；在C中，a⊥b，a⊥c，b∩c=p，p∈α，a⊄α⇒a⊥α，由线面垂直的判定定理得C正确；在D中，α⊥β，α∩β=l，b⊆α，b⊥l⇒b⊥β，由面面垂直的性质定理得D 正确．故选：B．8．已知抛物线x2=8y的焦点为F，在抛物线内有一点A（4，4），若该抛物线上存在一动点P，则|PA|+|PF|的最小值为（）A．B．4 C．D．6【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的标准方程求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|，故|AM|（A到准线的距离）为所求．【解答】解：抛物线标准方程x2=8y，p=4，焦点F（0，2），准线方程为y=﹣2．设p到准线的距离为d，则PF=d，所以求PA+PF的最小值就是求PA+d的最小值显然，直接过A做y=﹣2的垂线AQ，当P是AQ与抛物线的交点时，PA+d有最小值最小值为AQ=4﹣（﹣2）=6，故选：D．9．如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）A．B．4 C．D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据已知中的三视图及相关视图边的长度，我们易判断出该几何体的形状及底面积和高的值，代入棱锥体积公式即可求出答案．【解答】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得这个几何体是一个四棱锥由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2故底面菱形的面积为=2侧棱为2，则棱锥的高h==3故V==2故选C10．已知三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=60°，当△AOC和△BOC的面积之和最大时，则O到面ABC的距离为（）A．B．C．D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】设球O的半径为R，当∠AOC=∠BOC=90°时，△AOC和△BOC的面积之和最大，由此能求出O到面ABC的距离．【解答】解：设球O的半径为R，∵S△AOC +S△BOC=（sin∠AOC+sin∠BOC），﹣∴当∠AOC=∠BOC=90°时，△AOC和△BOC的面积之和最大，此时OA⊥OC，OB⊥OC，∴OC⊥平面AOB，∴VO﹣ABC =VC﹣OAB===，∵AC=BC=，AB=2，∴=，设O到面ABC的距离为h，则VO﹣ABC=，解得h=．∴O到面ABC的距离为．故选：D．11．设偶函数f（x）的导函数是f′（x）且f（e）=0，当x＞0时，有[f′（x）﹣f（x）]e x＞0成立，则使得f（x）＞0的x的取值范围是（）A．（﹣e，e）B．（﹣∞，﹣e）∪（e，+∞） C．（﹣∞，﹣e）∪（0，e）D．（﹣e，0）∪（e，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】分别求出f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）的单调性，求出不等式f（x）＞0的解集即可．【解答】解：∵x＞0时，有[f′（x）﹣f（x）]e x＞0，∴x＞0时，f（x）递增，而函数f（x）的偶函数，∴x＜0时，f（x）递减，又f（e）=0，故f（﹣e）=f（e）=0，∴x＞0时，f（x）＞0=f（e），故x＞e，x＜0时，f（x）＞f（e），故x＜﹣e，故选：B．12．已知双曲线的左焦点为F，点P为双曲线右支上一点，点A满足，则点A到原点的最近距离为（）A．1 B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F'为双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得|PF|﹣|PF'|=2，再由中位线定理可得|OM|=|PF'|，求得A的轨迹：A在以PF为直径的圆上，当O，A，M共线时，可得OA取得最小值，计算即可得到所求最小值．【解答】解：设F'为双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得|PF|﹣|PF'|=2a=2，由OM为三角形PFF'的中位线，可得|OM|=|PF'|，又点A满足，可得A在以PF为直径的圆上，当O，A，M共线时，可得OA取得最小值，且为|OA|=r﹣|OM|=|PF|﹣|OM|=|PF|﹣|PF'|=．故选：C．二、填空题13．设α∈[﹣4，4]，则关于x的方程x2+ax+1=0没有实根的概率是．【考点】几何概型．【分析】求出x2+ax+1=0没有实根时a的范围，作出数轴，则概率为符合条件的区域长度与区间[﹣4，4]长度的比值．【解答】解：∵关于x的方程x2+ax+1=0没有实根，∴a2﹣4＜0．解得﹣2＜a＜2．作出数轴如图：∴方程没有实根的概率P===．故答案为．14．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线左支上一点，且，则△PF1F2的面积是24 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的a，b，c，由条件可得|PF1|，运用双曲线的定义，求得|PF2|，由勾股定理的逆定理可得△PF1F2为斜边为F1F2的直角三角形，由三角形的面积公式计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线的a=1，b=2，可得c==5，由，可得：|PF1|=×10=6，由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=2a=2，可得|PF2|=6+2=8，由|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2，可得△PF1F2为斜边为F1F2的直角三角形，可得△PF1F2的面积是|PF1|•|PF2|=×6×8=24．故答案为：24．15．已知（1，2）是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程是x+8y ﹣17=0 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设直线l与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．代入相减可得： +=0，利用=1， =2，，即可得出k．【解答】解：设直线l与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．∴=1， =1，相减可得： +=0，∵=1， =2，，∴=0，解得k=﹣．∴直线l的方程为：y﹣2=﹣（x﹣1），化为：x+8y﹣17=0．故答案为：x+8y﹣17=0．16．一个直三棱柱被一个平面截后剩余部分的三视图如图，则截去部分的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出直观图，根据三视图中的数据进行计算．【解答】解：设直三棱柱为ABC﹣A'B'C'，AB⊥BC，由三视图可知截面为四边形BCED，其中D，E为A'B'和A'C'的中点，截去的部分为几何体BC﹣B'C'ED，则截去部分的几何体体积V=V棱锥B﹣B′C′ED +V棱锥E﹣BCC′=+=．故答案为．三、解答题17．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，A1A=1且A1B=A1D=．（1）求证：A1A⊥平面ABCD；（2）求该四棱柱的内切球体积．【考点】球的体积和表面积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，A1A=1且A1B=A1D=，可得A1A⊥AB，A1A⊥AD，从而便证出AA1⊥面ABCD；（2）由（1）可知，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，四棱柱的内切球的半径为，可得四棱柱的内切球体积．【解答】（1）证明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，A1A=1且A1B=A1D=，∴A1A⊥AB，A1A⊥AD；∵AB⊂面ABCD，AD⊂面ABCD，AB∩AD=A；∴A1A⊥面ABCD；（2）解：由（1）可知，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴四棱柱的内切球的半径为，∴四棱柱的内切球体积为=．18．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2．（1）求抛物线的标准方程；（2）过抛物线焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=10，求直线l的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求得抛物线的准线方程，可得﹣=﹣2，解方程可得所求抛物线的方程；（2）设出直线方程为y=k（x﹣2），代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求直线的方程．【解答】解：（1）抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，由题意可得﹣=﹣2，解得p=4，即有抛物线的方程为y2=8x；（2）抛物线焦点F（2，0）的直线l设为y=k（x﹣2），代入抛物线的方程，可得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，即有x1+x2=4+，由抛物线的定义可得弦长为x1+x2+p=4++4=10，解得k=±2，则所求直线的方程为y=±（x﹣2）．19．某校高二年级月考有600名学生参考，从年级月考数学成绩中随机抽取一个班的数学成绩（该班共50名同学），并统计了他们的数学成绩，数据如表：成绩分组[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）[125，135）[135，145）频数101012864（1）估计该班数学成绩的众数；（2）估计该次月考中年级数学125分以上的学生人数；（3）估计该班数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布表得数学成绩在[105，115）内的频数最多，能估计该班数学成绩的众数．（2）由频率分布表求出该次月考中年级数学125分以上的学生频率，由此能估计该次月考中年级数学125分以上的学生人数．（3）由频率分布表能估计该班数学平均成绩．【解答】解：（1）由频率分布表得数学成绩在[105，115）内的频数最多，∴估计该班数学成绩的众数为110．（2）由频率分布表得该次月考中年级数学125分以上的学生频率为： =0.2，∴估计该次月考中年级数学125分以上的学生人数为：600×0.2=120（人）．（3）由频率分布表估计该班数学平均成绩为：+=110.4．20．如图，四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD=120°，M为侧棱PD的三等分点（靠近D点），O为AC，BD的交点，且PO⊥面ABCD，PC=2．（1）若在棱PD上存在一点N，且BN∥面AMC，确定点N的位置，并说明理由；（2）求三棱锥A﹣PMC的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）连结OM，BN，根据线面平行的性质得出BN∥OM，故=，所以N为PD的另一个三等分点；（2）由菱形的性质可得OC=AC=1，由勾股定理求出PO，于是V棱锥A﹣PMC =V棱锥P﹣ACD﹣V棱锥M﹣ACD =V棱锥P﹣ACD．【解答】解：（1）连结OM，BN，∵BN∥面AMC，BN⊂平面BDN，平面BDN∩平面ACM=OM，∴BN∥OM，∴=，∵M是PD靠近D的三等分点，∴N是PD靠近P点的三等分点．（2）∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD=120°，∴AO=OC=1，△ACD是等边三角形．∴S△ACD==．∵PO⊥面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PO⊥AC，∴PO==，∵M是靠近D点的三等分点，∴M到平面ABCD的距离h=PO=．∴V棱锥A﹣PMC =V棱锥P﹣ACD﹣V棱锥M﹣ACD=S△ACD•PO﹣S△ACD•PO=．21．已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，且是其中一个焦点．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过点P（﹣1，0）的动直线l与中心在原点，半径为2的圆O交于A，B两点，C是椭圆上一点，且=0，当||取得最大值时，求弦AB的长度．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆的标准方程为： +=1（a＞b＞0），由=，c=2，b2=a2﹣c2，解出即可得出．（2）设C（cosθ，3sinθ）（θ∈[0，2π]）．可得|CP|==，利用二次函数的单调性可得最大值，由于对称性可取C．求出kCP ，利用=0，可得kAB=﹣．可得直线AB的方程．圆的方程为：x2+y2=4．求出圆心（0，0）到直线AB的距离d，可得|AB|=2．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为： +=1（a＞b＞0），∵=，c=2，b2=a2﹣c2，解得：c=2，a=3，b=1．∴该椭圆的标准方程是： +x2=1．（2）设C（cosθ，3sinθ）（θ∈[0，2π]）．则|CP|==≤，当且仅当cos，sinθ=±时取等号．由于对称性可取C．==，kCP∵=0，=﹣．∴kAB∴直线AB的方程为：y=﹣（x+1），即y+1=0．圆的方程为：x2+y2=4．∴圆心（0，0）到直线AB的距离d=，∴|AB|=2=．22．已知函数f（x）=ln（1+x）+（m∈R）．（1）若函数f（x）的图象在x轴上方，求m的取值范围；（2）若对任意的正整数n都有（1+）n﹣a≥e成立，求a的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）令t=x+1，则t＞0，则f（t）=lnt+，若函数f（x）的图象在x 轴上方，问题转化为m≥﹣tlnt，令g（t）=﹣tlnt，（t＞0），根据函数的单调性求出m的范围即可；（2）根据函数的单调性求出ln（1+）≥，将（1+）n﹣a≥e两边取对数，得：（n ﹣a）ln（1+）≥1，得到（n﹣a）•≥1，解出即可．【解答】解：（1）函数f（x）=ln（1+x）+，令t=x+1，则t＞0，则f（t）=lnt+，若函数f（x）的图象在x轴上方，即lnt+≥0，即m≥﹣tlnt，令g（t）=﹣tlnt，（t＞0），则g′（t）=﹣（1+lnt），令g′（t）＞0，解得：t＜，令g′（x）＜0，解得：t＞，∴g（t）在（0，）递增，在（，+∞）递减，∴g（t）≤g（）=，故m≥；（2）由（1）得：m=1时，f（x）=ln（x+1）+，（x＞﹣1），f′（x）=﹣=，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，∴f（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，∴f（x）≥f（0）=1，即ln（1+x）+≥1，令x=，则ln（1+）+≥1，∴ln（1+）≥1﹣=，由（1+）n﹣a≥e两边取对数，得：（n﹣a）ln（1+）≥1，只需（n﹣a）•≥1即可，解得：a≤﹣1，故a的最大值是﹣1．xx9月9日23194 5A9A 媚r29976 7518 甘31316 7A54 穔28021 6D75 浵22216 56C8 囈@29530 735A 獚27297 6AA1 檡 39630 9ACE 髎27744 6C60 池32124 7D7C 絼39545 9A79 驹r。

2021-2022学年四川省成都七中高二（上）入学数学试卷（文科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（ ）

A．16π B．20π C．36π D．40π

2．下列命题中正确的是（ ）

A．经过三点确定一个平面

B．经过两条平行直线确定一个平面

C．经过一条直线和一个点确定一个平面

D．四边形确定一个平面

3．平面向量＝（2，1），||＝2，•＝4，则向量，夹角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．

4．已知A（3，1），B（1，﹣2），C（1，1），则过点C且与线段AB平行的直线方程为

（ ） A．3x+2y﹣5＝0 B．3x﹣2y﹣1＝0 C．2x﹣3y+1＝0 D．2x+3y﹣5＝0 5．已知α的终边在第四象限，若，则（ ）

A． B． C． D．

6．圆x2+y2+2x﹣4y+3＝0的圆心到直线x+y＝0的距离为（ ）

A．2 B． C．1 D．

7．已知一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图

是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如图所示），则此几何体的体积为（ ）

A．1 B． C．2 D．2 8．已知x＞0，y＞0，且，则x+y的最小值是（ ）

A．10 B．15 C．18 D．23 9．等比数列{an}的各项均为正数，且a4a6+a3a7＝18，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a9＝（ ） A．12 B．10 C．9 D．2+log35

10．若x，y满足，则z＝2y﹣x的最大值为（ ）

A．1 B．3 C．4 D．6 11．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，

测得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB＝（ ）

A．30m B．20m C．30m D．20m 12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F是线段A1C1上的两个动点，且EF长为定值，