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2018版高中数学北师大版必修五课件：第三章 4.2 简单线性规划

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高中数学 3.4.2 简单线性规划同步课件 北师大版必修5

高中数学 3.4.2 简单线性规划同步课件 北师大版必修5

最小值为( )
x y 2 0
，则z=x-2y的
（A）4
（B）-3
（C）-2
（D）1
第四十二页，共49页。
【解析】选B.画出可行域（如图）.由图可知(kě zhī)，当直线l 经 过点A（-1，1）时，z最小，且最小值为zmin=-1-2×1=-3.
第四十三页，共49页。
4.若x≥0，y≥0，且x+y≤1，则z=x-y的最大值是______. 【解析】由不等式组画出可行 域如图.当直线x-y-z=0过点 A(1,0)时，z=x-y取得(qǔdé)最大值， zmax=1-0=1. 答案：1
第一页，共49页。
第二页，共49页。
1.了解线性规划的有关概念.(重点) 2.求线性目标函数的最大值、最小值.(重点) 3.图解法解决线性规划问题的过程(guòchéng)及其应用.(难点、易错 点)
第三页，共49页。
一、线性规划(xiàn xìnɡ ɡuī huá)中的基本概念
第四页，共49页。
第四十四页，共49页。
5.如图，点（x,y)在四边形ABCD内部和边界上运动(yùndòng)，那 么2x-y的最小值为______.
第四十五页，共49页。
【解析】令l :2x-y=0,
kAB= 2 ,1kDC= ,所1以l 平移(pínɡ yí)过A（1，1）时在y轴上截 距最大，3即 1x=1，y=1时5 ,21x-y有最小值为2×1-1=1.
结合图形求a的取值范围(fànwéi).
第三十三页，共49页。
【规范(guīfàn)解答】选C.作出平面区域M，
第三十四页，共49页。
求直线AC，AB，BC交点，得A(2,10)，C(3,8)，B(1,9). 由图可知，欲满足条件必有a>1且图像(tú xiànɡ)在过B、C 两点的图像(tú xiànɡ)之间. 当图像(tú xiànɡ)过B时，a1=9，∴a=9. 当图像(tú xiànɡ)过C时，a3=8，∴a=2. 故a的取值范围为［2,9］.故选C.

2017-2018学年北师大版数学必修5教学课件：第三章 不等式 3.4.2

2017-2018学年北师大版数学必修5教学课件：第三章 不等式 3.4.2

探究一
探究二
思维辨析
正解:作出可行域(如图阴影部分),设z=x+2y,作l0:x+2y=0,把l0向 左下方平移到点(0,-1)时,z有最小值,此时zmin=0+2×(-1)=-2.把l0向 右上方平移到点(0,1)时,z有最大值,此时zmax=0+2×1=2. 答案:B
探究一
探究二
思维辨析
纠错心得1.对于线性规划问题,正确作出可行域是解决问题的基 础. 2.对于可行域边界的虚实,及线性目标函数中直线的斜率与可行 域中直线的斜率的比较是问题的核心. 3.对于本题来说,未能分析好x+2y=0的斜率与x+y=1的斜率大小 关系,导致画图出错.
名师点拨线性约束条件和线性目标函数: (1)线性约束条件是指由变量x,y的一次不等式组构成的约束条件; (2)线性目标函数是指关于变量x,y的一次式.
2.简单的线性规划问题 (1)目标函数中y的系数大于0时的线性规划问题. 一般地,设目标函数为z=ax+by+c,当b>0时,把直线l0:ax+by=0向上 平移时,所对应的z随之增大;把l0向下平移时,所对应的z随之减小. 由此可得到,在约束条件下,当b>0时,求目标函数的最大值或最小值 的过程为: ①作出可行域; ②作出直线l0:ax+by=0; ③确定l0的平移方向,依可行域判断取得最优解的点; ④解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最小值或最大值.
(2)目标函数中y的系数小于0时的线性规划问题. 一般地,在线性约束条件下,当b<0时,把直线ax+by=0向下平移 时,z=ax+by+c的值增大;把直线ax+by=0向上平移时,z=ax+by+c的 值减小. 由此可得到,在约束条件下,当b<0时,求目标函数的最大值或最小值 的求解程序与b>0时相同,即为: ①作出可行域; ②作出直线l0:ax+by=0; ③确定l0的平移方向,依可行域判断取得最优解的点; ④解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最小值或最大值.

2018版高中数学北师大版必修五课件：第三章 不等式 4-

2018版高中数学北师大版必修五课件：第三章 不等式 4-

反思与感悟
解析答案
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并
求出此最大利润.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1
某糖果厂生产A，B两种糖果，A种糖果每箱获利润40元，
B种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序， 下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单位：分钟)： 混合 烹调 包装
都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能
使每月获得的总利润最大？
③下料问题
例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？
2.解答线性规划实际应用题的步骤
(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而
建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的
A
B
1
2
5
4
3
1
在每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12小时，烹调的设备至多 能用30小时，包装的设备至多能用15小时，试求每种糖果各生产多少箱可 获得最大利润？
解析答案
题型二 与最小值有关的实际问题 例2 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10 g
含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白
模型建立方法.
(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可
行域中的特殊点作为最优解.
(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的
方案.
返回
题型探究
重点突破
题型一
与最大值有关的实际问题
例1
某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A， B， C三种主要原料 . 生

高中数学必修五北师大版 简单线性规划课件(36张)

高中数学必修五北师大版 简单线性规划课件(36张)

[分析]
由题目可获取以下主要信息：在约束条件下，
①求 z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2 的最小值；
1 － y － 2y＋1 2 ②求 z＝ ＝2· 的取值范围． x＋1 x－－1
解答本题可先将目标函数变形找到它的几何意义，再利用解析几何 知识求最值．
[解析]
解析：由于 z＝ y＋1 y－－1 ＝ ，所以 z 的几何意义是点(x，y)与点 x＋1 x－－1
是多少？
当 x，y 取何值时，z＝3x－2y 取最值，其值
解析：本题是求目标函数 z＝3x－2y 的最值问题，应先画出可行域， 再将目标函数化成直线方程的斜截式，将问题转化为求这条直线经过可 行域时的纵截距的最大值、最小值问题． 3 z 3 作出可行域如图所示． 将目标函数改写成 y＝2x－2， 它表示斜率为2， z 纵截距为－2的平行直线系． 其中过 E 点的那条纵截距最小(这时 z 最大)， 过 B 点的那条纵截距最大(这时 z 最小)，
x＋y－6＝0， 24 6 由 得 E 5 ，5. 2x－3y－6＝0，
24 6 又 B(0,3)，因此当 x＝ 5 ，y＝5时，zmax＝12；当 x＝0，y＝3 时，zmin ＝－6.
求非线性目标函数最值
x－y＋2≥0， [例 2] 已知x＋y－4≥0， 求： 2x－y－5≤0， (1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值； 2y＋1 (2)z＝ 的范围． x＋1
M(1,1)，则 x＋y 的最小值为 2.
答案：C
x＋y≥0， 3．若 x，y 满足约束条件x－y＋3≥0， 则 z＝2x－y 的最大值为 0≤x≤3， ________．
解析：作出可行域，如图阴影部分所示．作出直线l0：2x－y＝0， 将l0平移至过点A时，函数z＝2x－y有最大值9.

北师大版高中数学必修五课件4.2简单线性规划

北师大版高中数学必修五课件4.2简单线性规划

3.设x，y满足约束条件 x3－x－y＋y－2≥6≤00 x≥0，y≥0
，若目标函数z
＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，求2a＋3b的最小值．
解析： 不等式组表示的平面区域如图 所示阴影部分．
作直线l：ax＋by＝0(a＞0，b＞0)向 上平移直线l，目标函数z＝ax＋by(a＞0， b＞0)的值随之增大．由图可知当直线l过 直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点A(4,6)时，目标函 数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大值为12，
(a，b)两点距离的平方．
x－y－2≤0， 2.已知实数x，y满足不等式组x＋2y－4≥0，
2y－3≤0.
(1)求yx的最值；
(2)求z＝x2＋y2的最值．
解析： 作出可行域如图所示．
(1)令yx＝t，则y＝tx， 由图像可知当直线y＝tx过点A时，斜率t最大． 当直线y＝tx过点B时，斜率t最小．
其范围kQB≤k≤kQA 而kQB＝31－－－ －121＝324＝38 kQA＝13－－－ －121＝722＝74. 故z＝2k∈34，72.
[题后感悟]
若目标函数为形如z＝
y－b x－a
，可考虑(a，b)
与(x，y)两点连线的斜率．
若目标函数为形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，可考虑(x，y)与
2．小汪是班里的班长，她计划用少于100元的钱购买单价 分别为2元和1元的大、小彩球装点联欢晚会的会场．经过实地 考察，她算出需要大球数不少于10个，越多越好，小球数也越 多越好，但是不少于20个，若设他买x个大球和y个小球，
x≥10 则 x，y 满足的条件为y2≥x＋20y＜100
x，y∈N＋
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北师大版高中数学必修5第三章不等时候第四节简单线性规划ppt课件教程

北师大版高中数学必修5第三章不等时候第四节简单线性规划ppt课件教程

A
C(4,8)
得交点A的坐标为（3.6, 7.8）
作出一组平行直线x+y=t,当直线经过点A（3.6, 7.8）时，不是最优解， 可行域内的整点B（3,9）和C（4,8）是最优解 答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法 有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法 是截第一种钢板4张、第二种钢板8张。两种方法都最少要截两种钢板共 12张。
2018/11/4
课本65页
1.（3）（6），3,
4
四、练习与作业
[课堂阅读]：课本61页 例3
思考题：
1、（99年全国高考14题）某电脑用户计划用不超 过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片 软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁 盘至少2盘，则不同的选购方法有（ c ）
(A) 5种 (B) 6种 (C) 7种 (D) 8种
规格类型钢板 类型 A规格 B规格 C规格
第一种钢板
第二种钢板
2
1
1
2
1
3
今需要A，B，C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这 两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使用钢板张数最少？ 分析：设两种钢板分别需要x、y，则可以列出x、y的约束条件（是 什么？），然后再列出目标函数（是什么？），最后按线性规划的 一般解决方法求解：
二、讲授新课
仿照刚才的方法，请同学们完成下面的练习： [课堂练习]将Z＝2x+y，式中的变量x,y满足下列条件：
x-4y≤-3
3x+5y≤25 求Z的最大值和最小值 x≥1 解：满足约束条件的可以域如图所示： x=1 C A x-4y+3=0

北师大版高中数学必修五课件§44.2简单线性规划


5x 6 y 30,
①
y 3x,
②

y

1.
③
求 z 2x y 的最小值和最大值。
可行域如图：
y
y 3x
1
y 1
x o
5x 6 y 30
问题转化为：
当点 (x, y) 在公共的平面区域中时，求 z 2x y 的最小值和最大值。
讨论当点 ( x, y) 在整个坐标平面上变化时， z 2x y 值的变化规律
1
3
z 4 2 1;
A
2
2
zB 4 2 2 0 8;
zC 4 3 2 1 10;
3
5
z 4 2 1.
D
2
2
4a 2b 0 a b 1
b
D
A
C B
o
ab 2
a
ab 4
ab 2
比较得到， z z 10; z z 1.
84 .
x 3
y
l1 : 4x 3y 12
D l : 4x 3y 0 0
2
A
o
y 4 B
x
C
4x 3y 36
由于直线 l 平行于直线 4x 3 y 12 ，因此当把直线 l 向上平移到 l 时，
0
0
1
l 与可行域的交点不止一个，而是线段 AD 上的所有点. 1
满足约束条件的解（x,y）叫可行解, 由所有可行解构成的集合，叫作可行域. 使目标函数取得最大或最小值的可行解,叫作最优解.
例 6 设 x, y 满足约束条件
x 3,

北师大版高中数学必修5《三章 不等式 4 简单线性规划 4.2简单线性规划》公开课课件_17


复习回顾（二）：
求目标函数z=ax+by+c的最小值或最大值的一般步骤：
(1)画：在平面直角坐标系中作出可行域； (2)移：作出直线l0:ax+by+c=0，确定l0的平移方向,依可行域
判断取得的最优解的点；
(3)求：解方程求得最优解，从而求出目标函数的最大值或最
小值。 注：设目标函数为z=ax+by+c,当b>0时,把直线l0:ax+by+c=0向 上平移时,所对应的z随之增大;把直线l0向下平移时,所对应的 z随之减小.
的解,为(2,1)
所以, zmin 3 (2) 3 9.
zmax 3 2 1 5.
例8 求z=4a-2b在约束条件
1 a b 2, 2 a b 4
下的最小值和最大值 解 作出可行域
b a+b=4
a-b=-1
a+b=2
A A
a-b=2
C
O
2、求z=3x-y的最大值，使式中的x、y满足约束条件
2x+3y 24 x-y 7
y 6 x 0 y 0
Y
8
x-y=7
6
C
y=6
D
B
O
A7
12
X
3x-y=0-7
2x+3y=24
l1
l0:3x+y=0
1、解线性规划问题的步骤.
2、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取 得，也可能在边界处取得.
推进新课：
例7 在约束条件
x 2 y 4, x y 1, x 2 0
下,求目标函数z=3x-y的最小值和最大值 分析：问题转化为当点(x,y)在公共的平面区域中时,求 z=3x-y的最大值和最小值.

《4.2 简单线性规划》课件4-优质公开课-北师大必修5精品

-13-
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知识梳理
题型一 题型二 题型三
重难聚焦
典例透析
随堂演练
由图可知,当直线 y=-12x+12z-1 经过可行域上的点 A 时,截距12z-1 最小,即 z 最小,
解方程组 ������-������ = 1, 得 ������ = -2,
������ + 2 = 0, ������ = -3,
������ + 2������-5 ≤ 0,
【例 1】 设变量 x,y 满足约束条件 ������-������-2 ≤ 0, 则目标函数 z=2x+3y+1
的最大值为( ).
������ ≥ 0,
A.11
B.10
C.9
D.8.5
-7-
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题型一 题型二 题型三
∴umin=3×(-2)-3=-9.
当直线 u=3x-y 经过可行域上的点 B 时,截距-u 最小,即 u 最大,解方程
组 ������ + 2������ = 4, ������-������ = 1,
得
������ ������
= =
21,,即
B(2,1).
∴umax=3×2-1=5. ∴u=3x-y 的最大值是 5,最小值是-9.
表示的平面区域,如图阴影部分所示.
当点 M 与点 A(1,2)重合时,|OM|取最小值 5,故 x2+y2 的最小值为 5. 答案:5
-18-
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题型三
已知目标函数的最值求参数

2018-2019学年高二数学北师大版必修5实用课件：第3章 4.2 简单线性规划

[答案] (1)× (2)× (3)×
x≥1， 2．设变量 x，y 满足约束条件x＋y－4≤0， x－3y＋4≤0， 大值为( A．－4 4 C．3 ) B．0 D．4
则目标函数 z＝3x－y 的最
x＋y－4＝0， 联立 x－3y＋4＝0，
x＝2， 解得 y＝2.
当目标函数 z＝3x－y 移到(2,2)时，z＝ 3x－y 有最大值 4.]
x＋y－2≥0 3．若实数 x，y 满足x≤4 y≤5
，则 s＝x＋y 的最小值为________.
[解析] 如图所示阴影部分为可行域，由 s＝x＋y 得 y＝－x＋s，由图可知，
当直线 y＝－x＋s 与直线 x＋y－2＝0 重合时，s 最小，即 x＝4，y＝－2 时， s 的最小值为 4－2＝2.
②解决简单线性规划问题的一般步骤 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的 步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (ⅰ)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图 形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的 平面区域．
(ⅱ)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过 或最后通过的顶点(或边界)便是最优解． (ⅲ)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (ⅳ)答：写出答案．
z＝x＋y 知 y＝－x＋z，当直线 y＝
－x＋z 经过
3 取最大值2.
[答案]
3 2
[规律方法]
用图解法解决线性规划问题的关键和注意点
图解法是解决线性规划问题的有效方法.其关键在于平移目标函数对应的直 线 ax＋by＝0， 看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域， 则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取最大值还是最 小值.
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出目标函数的最值.
跟踪训练1 已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围.
解答
命题角度2 最优解不唯一 x－y≥0 例2 已知x，y满足约束条件 x＋y≤2 ，若目标函数z＝ax＋y的最大值
y≥0，
有无数个最优解，求实数a的值. 解答
反思与感悟
当目标函数取最优解时，如果目标函数与平面区域的一段边界(实线)重
A.6
C.8
答案 解析
B.7 √
D.23
作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.
由图可知，z＝2x＋3y经过点A(2,1)时，z有最
小值，z的最小值为7.
1 2 3 4
3.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数 z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的值为 答案
解析
√
A.－3 C.－1
知识点三
二元线性规划问题
一般地，在线性约束条件下求 线性目标函数 的最大值或最小值问题， 统称为二元线性规划问题.
知识点四
可行解、可行域和最优解
在线性规划问题中，满足约束条件的解(x，y)称为可行解，由所有可行
解组成的集合称为可行域.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可
行解叫线性规划问题的最优解.在上述问题的图中，阴影部分叫
①
该不等式组所表示的平面区域如图，求2x＋3y②的最大值.
以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念.
知识点一
约束条件
在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束 条件都是关于x、y的 一 次不等式，故又称线性约束条件.
知识点二
目标函数
在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数.因为它是关于变量 x、y的 一 次解析式，这样的目标函数称为二元线性目标函数.
解答
反思与感悟
图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤
①确定线性约束条件，线性目标函数；
②作图——画出可行域；
③平移——平移目标函数对应的直线z＝ax＋by，看它经过哪个点(或哪
些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点的
位置；
④求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求
2.作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行 域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可 行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解. 3.在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利 用数形结合方法可迅速解决相关问题，这时要特别注意z＝ax＋by中的b 的正负对z最优解的影响.
合，则此边界上所有点均为最优解.
跟踪训练2
给出平面可行域(如图)，若使目标函数z＝ax＋y取最大值
解析
的最优解有无穷多个，则a等于 答案
1 A.4 C.4 3 B.5 5 D.3
由题意知，当直线 y＝－ax＋z 与直线 AC 重合时，最优解有无穷多个， 5－2 3 3 则－a＝ ＝－5，即 a＝5，故选 B. 1－6
可行域 ，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个可行解 ，其中能
使②式取最大值的可行解称为 最优解 .
题型探究
类型一
最优解问题
x＋2y≤8， 命题角度1 唯一最优解 4x≤16， 例1 已知x，y满足约束条件 4y≤12， x≥0， y≥0，
该不等式组所表示的平面区域如图， 求2x＋3y的最大值.
1.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤 (1)寻找线性约束条件，线性目标函数； (2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表 示的平行直线系中的任意一条直线l； (3)平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置； (4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求 出目标函数的最值.
营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A
和食物B各多少kg?
将已知数据列成右表：
解答
食物/kg 碳水化合物/kg 蛋白质/kg 脂肪/kg
A
B
0.105
0.105
0.07
0.14
0.14
0.07
反思与感悟
z (1)目标函数z＝ax＋by(b≠0)在y轴上的截距 b 是关于z的正比例函数，其 z 单调性取决于b的正负.当b>0时，截距 b 越大，z就越大；当b<0时，截距 z b 越小，z就越大. (2)最优解是谁，和目标函数与边界函数的斜率大小有关.
类型二 例3
生活中的线性规划问题
营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水
化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪，1 kg食物A含有0.105 kg碳水
化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg食物B含有
0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元.为了满足
第三章 不等式
§4.2 简单线性规划
学习目标
1.了解线性规划的意义.
2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本
概念.
3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实
际问题.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
问题
x＋2y≤8， 4x≤16， 已知x，y满足条件 4y≤12， x≥0， y≥0.
跟踪训练3
某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重
答案 解析
量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大
4,1 利润，甲，乙两种货物应各托运的箱数为___. 货物 甲 乙 托运限制 体积 重量
利润
(m3/箱) (50 kg/箱) (百元/箱) 5 4 24 2 5 13 20 10
B.3 D.1
1 2－1 1 －a＝ ＝3，∴a＝－3. 4－1
1
2
3
4
x≥0， 8 4.已知实数x、y满足约束条件 y≥0， 则z＝2x＋4y的最大值为___. x＋y≤2，
答案
解析
由不等式组表示的可行域(如图)，知目标函数z在点(0,2)处取得最大值8.
1
2
3
4
规律与方法
当堂训练
y≤2x， 1.若变量x，y满足约束条件 x＋y≤1，则x＋2y的最大值是 答案 y≥－1，
解析
5 A.－2
B.0 5 D.2
√
5 C.3
1
2
34Βιβλιοθήκη x＋y≥3， 2.设变量x，y满足约束条件 x－y≥－1， 则目标函数z＝2x＋3y的最小值为 2x－y≤3，