专题提升 直角三角形的判定与性质的综合运用

直角三角形的性质、判定（HL ）一、知识要点1、直角三角形的判定定理: .2、直角三角形性质定理(一):在直角三角形中, 上的中线等于 的一半.3、直角三角形性质定理(二):在直角三角形中,如果一个锐角等于 ,那么 .4、直角三角形性质定理(三):在直角三角形中,如果一条直角边等于斜 边的一半,那么 .(定理一、二通常用于证明线段之间的倍分关系;定理三通常用于求三角形中 角的度数)5、斜边、直角边定理:(1)定理内容: . (2)定理作用: . 6、角平分线的判定定理(1)定理内容: . (2)用符号语言表示:如图,∵ ,∴ . 二、知识运用典型例题例1：已知:△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是高, ∠A=30°.求证:BD=14AB. 例2：已知:如图, △ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D 点,BD=12AC. 则∠例3：已知:如图,AD 为△ABC 的高,E 为AC 上的一点,BE 交AD 于F,且有BF=AC,FD=CD, 求证:BE ⊥AC.A DP BAEDCBF 12例4例5为B 、C.试说明EB=FC.例6：）如图，已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE ＝CF ．请你判断AD 是△ABC 的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．三、知识运用课堂训练1、△ABC 中各角的度数之比如下,能够说明△ABC 是直角三角形的是( ) A.1:2:3 B.2:3:4 C.3:4:5 D.3:2:52、直角三角形中,两锐角的角平分线相交所成的角的度数为 .3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 .4、如图,CD 为△ABC 的中线,∠ACB=90°,CE ⊥AB 于E, AE=ED,则图中30°的角有 个.5、如图,AC=BD,AD ⊥AC,BC ⊥BD,求证:AD=BC.ABCD FECCE6、如图所示，D 是△ABC 的边BC 上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，且BF ＝CE 。

《直角三角形的性质和判定(Ⅰ)》教案1教学目标使学生掌握直角三角形的性质和判定.教学重点重点：直角三角形性质和判定的探索及运用.教学难点难点：直接三角形性质“斜边上的中线等于斜边的一半”的判定探索过程.教学过程一创设情境，导入新课1什么叫直角三角形？从定义可以知道直角三角形具有一个角是直角的性质，要判断一个三角形是直角三角形需要判断这个三角形中有一个角是直角.直角三角形除了有一个角是直角这条性质外还有没有别的性质呢？判断一个三角形是直角三角形除了判断一个角是直角还有没有别的方法呢？这节课我们来探究这些问题.二合作交流，探究新知1直角三角形两锐角互余动脑筋：如图，在Rt△ABC中，两锐角的和∠A+∠B=_____.为什么？C BA由此得到：直角三角形两锐角互余.2利用两锐角互余判断三角形是直角三角形.动脑筋：如图，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？为什么？B定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.试试看：如图，AB ∥CD ，∠A 和∠C 的平分线相交于H 点，那么△AHC 是直角三角形吗？为什么？HD C BA3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的探索过程(1) 按要求作图:画一个直角三角形，并作出斜边上的中线，(2) 量一量各线段的长度.(3) 猜想：你能猜想出什么结论？AD CB直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(4) 寻找理论依据：A .你能用符号表示上面问题中的条件和结论吗？已知：Rt △ABC 中，∠C =90°，CD 是中线，问：CD =12AB 吗？ B .分析：直接证明很困难，不妨假设CD =12AB ，那么，∠A =∠ACD ， 因此，考虑作射线C 'D ，使∠A =∠AC 'D ，看看C 'D 有什么特点？引导学生得出C 'D =A 'D =B 'D =12AB ， C ． 比较CD 和C 'D 的位置有什么关系？为什么？CD 和C 'D 都是Rt △ABC 斜边上的中线，D ．直角三角形斜边上有几条中线？由此你想到什么？CD 和C 重合.因此CD =AB ，(5)归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.4例题解析例1如课本第5页图1-5，已知CD是△ABC的AB边上的中线，且CD=12 AB.求证：△ABC是直角三角形.三、反思小结，拓展提高今天我们学习哪些内容？《直角三角形的性质和判定(Ⅰ)》教案2教学目标1 进一步掌握直角三角形的性质----直角三角形中，30度的角所对的边等于斜边的一半；2 能利用直角三角形的性质解决一些实际问题.教学重点重点：直角三角形的性质；教学难点难点：直角三角形性质的应用.教学过程一 创设情境，导入新课1 直角三角形有哪些性质？(1)两锐角互余；(2)斜边上的中线等于斜边的一半.C BA2 按要求画图：(1)画∠MON ，使∠MON =30°，(2)在OM 上任意取点P ，过P 作ON 的垂线PK ，垂足为K ，量一量PO ，PK 的长度，PO ，PK 有什么关系？(3) 在OM 上再取点Q ，R ，分别过Q ，R 作ON 的垂线QD ，RE ，垂足分别为D ，E ，量一量QD ，OQ ，它们有什么关系？量一量RE ，OR ，它们有什么关系？K M由此你发现了什么规律？直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.为什么会有这个规律呢？这节课我们来研究这个问题.二 合作交流，探究新知1 探究直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边为什么等于斜边的一半.如图，Rt △ABC 中，∠A =30°，BC 为什么会等于12ABC B A分析：要判断BC =12 AB ，可以考虑取AB 的中点，如果如果BD =BC ，那么BC =12AB ，由于∠A =30°，所以∠B =60°，如果BD =BC ，则△BDC 一定是等边三角形，所以考虑判断△BDC 是等边三角形，你会判断吗？归纳：直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 这个定理的得出除了上面的方法外，你还有没有别的方法呢？先让学生交流，得出把△ABC 沿着AC 翻折，利用等边三角形的性质证明. 2 上面定理的逆定理上面问题中，把条件“∠A =30°”与结论“BC =12AB ”交换，结论还成立吗？ 学生交流方法(1)取AB 的中点，连接CD ，判断△BCD 是等边三角形，得出∠B =60°，从而 ∠A =30°(2)沿着AC 翻折，利用等边三角形性质得出.(3)你能把上面问题用文字语言表达吗？如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形三 应用迁移，巩固提高例2 在A 岛周围20海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O 处时，发现A 岛在北偏东 60°的方向，且与轮船相距东四反思小结，拓展提高直角三角形有哪些性质？怎样判断一个三角形是直角三角形？。

直角三角形的性质与判定方法直角三角形是高中数学中的基本概念之一，它具有独特的性质和判定方法。

本文将介绍直角三角形的性质，如勾股定理和正弦定理，并探讨直角三角形的判定方法，包括两种常见的判断方式：三边关系和角的关系。

一、直角三角形的性质直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

直角三角形有以下几个重要的性质：1. 勾股定理：直角三角形的斜边的平方等于两直角边平方的和。

即a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角边，c为斜边。

2. 三边关系：直角三角形中，两直角边的边长关系满足特定的比例关系，即a:b:c = m:n:p，其中m，n，p为整数，且m^2 + n^2 = p^2。

3. 正弦定理：直角三角形中，角的正弦值与其对边与斜边的比值成正比。

即sinA = a/c，sinB = b/c，其中A、B为直角三角形的两个锐角。

二、直角三角形的判定方法直角三角形的判定是数学中常见的问题，以下介绍两种常见的判定方法：1. 三边关系法：通过已知三条边的边长，判断是否构成直角三角形。

根据勾股定理，若满足a^2 + b^2 = c^2，则三角形是直角三角形。

2. 角的关系法：通过已知三个角的度数，判断是否为直角三角形。

其中一角为90度，且另外两个角之和等于90度时，三角形为直角三角形。

总结：直角三角形具有独特的性质和判定方法。

通过勾股定理、三边关系和角的关系，我们可以准确地判定一个三角形是否为直角三角形。

在实际应用中，直角三角形常用于解决各种几何问题，如测量无法直接获得的边长和角度等。

准确理解直角三角形的性质与判定方法对进一步研究和应用三角形学问非常重要。

直角三角形的性质与判定直角三角形是一种特殊的三角形，具有独特的性质和判定条件。

本文将介绍直角三角形的定义、性质以及判定方法。

一、直角三角形的定义直角三角形是指其中一个角为直角（90度）的三角形。

三角形的三个内角之和为180度，因此直角三角形的其他两个角的度数之和为90度。

二、直角三角形的性质1. 斜边、直角边和对角线的关系在直角三角形中，斜边是直角三角形的最长边，对应直角边是直角三角形的次长边，而对角线是直角三角形的最短边。

这是由勾股定理所决定的，即斜边的长度等于直角边长度的平方和的平方根。

例如，对于直角边长分别为a和b的直角三角形，斜边的长度为√(a^2 + b^2)。

2. 直角三角形的角度关系直角三角形中，直角边与斜边的夹角为90度，而直角边与非直角的两个角之和为90度。

这意味着直角三角形中的两个非直角角度互为余角，即一个角的余角等于另一个角本身。

例如，如果一个角为30度，则另一个角为60度，它们互为余角。

三、直角三角形的判定方法在给定三条边的长度时，我们可以通过以下方法判断是否为直角三角形：1. 勾股定理勾股定理是判定一个三角形是否为直角三角形的重要方法。

根据勾股定理，如果一个三角形的最长边的平方等于其他两边的平方和，则该三角形为直角三角形。

2. 角度判定在一个三角形中，如果两个角的度数之和为90度，则该三角形为直角三角形。

通过测量三角形的角度可以判断是否为直角三角形。

3. 边长关系在一个三角形中，如果两条边的长度满足a^2 + b^2 = c^2，则该三角形为直角三角形。

其中，a、b表示两个直角边的长度，c表示斜边的长度。

四、直角三角形的应用直角三角形的性质和判定方法在实际生活中有广泛的应用。

例如，在建筑领域中，直角三角形的性质被用于测量和确定建筑物的角度和边长。

在航海和航空领域中，直角三角形的性质被用于计算飞行器和船只的航向和位置。

总结：直角三角形是一种具有独特性质的三角形，其中一个角为90度。

第03讲直角三角形(7类热点题型讲练)1．复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定；2．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．3．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL ”．4．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．知识点1直角三角形的性质定理及推论定理1直角三角形的两个锐角互余；定理2在直角三角形中，如果一个角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半.推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30︒.知识点2勾股定理及逆定理图形名称定理符号表示边的定理在直角三角形中，斜边大于直角边.在Rt ABC ∆中，,c a c b >>勾股定理直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒ ，222c a b ∴=+勾股定理如果三角形的一条边的平方等于其他两条边在Rt ABC ∆中，222c a b =+ ，逆定理的平方和，那么这个三角形是直角三角形.90C ∴∠=︒知识点3直角三角形全等的判定HL 法图形定理符号如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H .L ）在'''Rt ABC Rt A B C ∆∆与中，'',''AC A C AB A B == ，'''(.)Rt ABC Rt A B C H L ∴∆∆≌题型01直角三角形的两个锐角互余【答案】16【分析】本题考查直角三角形性质、等腰三角的性质及三角形内角和定理，根据直角三角形的性质得到32B ∠=︒，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出【答案】135【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟记性质并准确识图是解答本题的关键．根据直角三角形两锐角互余，求出题型02判断三边能否构成直角三角形【例题】（2023上·山东烟台·七年级统考期中）在ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对应边分别是a 、b 、c ，则题型03在网格中判断直角三角形(1)试说明ABC是直角三角形；(2)求点C到AB的距离．【详解】（1）解：由图可知：222125BC=+=，AC∴222BC AC AB+=∴ABC是直角三角形（2）由（1）可知：∴12ABCS AC BC=⋅=∴点C到AB的距离是故答案为2【变式训练】【答案】2【分析】由勾股定理可得后根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：由勾股定理得：的形状，并说明理由；(1)判断ABC的面积．(2)求ABC【详解】（1）解：AB=+理由：2213题型04利用勾股定理的逆定理求解(1)求BC 的长；(2)求图中阴影部分的面积．【详解】（1）解：∵22=+=BC BD CD ∴1．在四边形ABCD 中，90431213B AB BC CD AD ∠=︒====，，，，，求四边形ABCD 的面积．【详解】解：连接AC ，∵∠B =90°，∴ABC 为直角三角形，【详解】解：由题意得：AC 90EDC ∠=︒，在Rt EDC 中，由勾股定理得：2226810+= ，题型05勾股定理逆定理的实际应用【例题】如图，在笔直的公路AB 旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB 上的D 处开凿隧道修通一条公路到C 处，已知点C 与公路上的停靠站A 的距离为15km ，与公路上另一停靠站B 的距离为20km ，停靠站A B 、之间的距离为25km ，且CD AB ⊥．(1)求修建的公路CD 的长；(2)一辆货车从D 点到B 点处走过的路程是多少？【详解】（1）解：AC = 222152025+=，1．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A ，B ，其中AB AC =，由于某种原因，由C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D （A ，D ，B 在同一条直线上），并新修一条路CD ，测得 6.5CB =千米，6CD =千米， 2.5BD =千米．(1)求CDB ∠的度数；(2)求取水点A 到取水点D 的距离．【详解】（1）∵ 6.5CB =千米，6CD =千米， 2.5BD =千米，∴2226 2.5 6.5=+，∴222CD BD CB +=，∴CDB △为直角三角形，∴CD AB ⊥，∴90CDB ∠=︒；（2）设AD x =千米，则()2.5AB x =+千米，∴()2.5AC AB x ==+千米，∵CD AB ⊥，(1)技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点间的距离，便快速确定了量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；(2)现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？【详解】（1）测量的是点A ，C 之间的距离；依据是：如果是三角形的三边长a ，b ，c 满足22+=a b （2）如图，连接AC ，∵由（1）得90B Ð=°，在Rt ABC 中，222222435AC AB BC =+=+=，在ACD 中，2213CD =，2212AD =，∵22251213+=，∴222AC AD CD +=，题型06全等的性质和HL 综合【例题】（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在ABC 中，AB AC =，D 为AB 边的中点，DE AC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，DE DF =．求证：ABC 是等边三角形．【答案】见解析【分析】本题考查了等边三角形的判定，利用三角形全等，证明A B ∠=∠，继而证明三角形的三边相等即可．【详解】证明：∵D 为AB 边的中点，∴AD BD =．∵DE AC ⊥，DF BC ⊥，∴90AED BFD ∠=∠=︒．在Rt ADE △和Rt BDF △中，∵AD BD DE DF =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ADE BDF ≌，∴A B ∠=∠，∴CA CB =，∵AB AC =，∴AB AC BC==∴ABC 是等边三角形．【变式训练】1．（2023上·福建莆田·八年级校联考期中）如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，EA AD ⊥，FD AD ⊥，AB DC =，BF CE =．求证：ACE DBF ∠=∠．【答案】见详解【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先由AB DC =，得AC DB =，再结合BF CE =，EA AD ⊥，FD AD ⊥，则通过“HL ”证明ACE DBF ≌，即可作答．【详解】证明：∵AB DC =，∴AB BC DC BC +=+，即AC DB =，∵EA AD ⊥，FD AD ⊥，∴90A D ∠=∠=︒，在Rt ACE 和Rt DBF △中，CE BF AC DB =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ACE DBF ≌△△，∴ACE DBF ∠=∠．2．（2023上·湖南衡阳·八年级衡阳市外国语学校校考期中）如图，,,AB AD CB AB CD AD =⊥⊥，垂足分别为,B D ．(1)求证：ABC ADC ≅△△；(2)若4,3AB CD ==，求四边形ABCD 的面积．【答案】(1)见解析(2)12【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．（1）根据HL “如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等”，即可证明；（2）利用全等三角形的对应边相等，面积相等，即可求解．【详解】（1）证明：在Rt ABC △和Rt ADC 中，AC AC AB AD =⎧⎨=⎩，∴()Rt HL ABC ADC ≌ ；（2）解：由（1）知：ABC ADC ≅△△，【例题】（2023上·吉林白城·八年级校联考期末）如图，已知,,AB BD ED CD C ⊥⊥是BD 上的一点，且,12AB CD =∠=∠．(1)ABC 和CDE 全等吗？请说明理由；(2)判断ACE △的形状，并说明理由．【答案】(1)ABC CDE △≌△．理由见解析(2)ACE △是等腰直角三角形．理由见解析【分析】本题考查的是直角三角形的全等判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的定义，熟练的证明直角三角形全等是解本题的关键；（1）先证明AC CE =，再证明()Rt Rt HL ABC CDE △△≌即可；（2）由全等三角形的性质可得ACB DEC ∠=∠，再证明90ACE ∠=︒，从而可得结论．【详解】（1）解：ABC CDE △≌△．理由如下：12∠=∠ ，∴AC CE =，∵,AB BD ED CD ⊥⊥，∴90B D ∠=∠=︒，在Rt ABC 和Rt CDE 中，AB CD AC EC ==,．()Rt Rt HL ABC CDE ∴△≌△．（2） Rt Rt ABC CDE ≌△△，∴ACB DEC ∠=∠，∵90D Ð=°，∴90DEC DCE ∠+∠=︒，∴90ACB DCE ∠+∠=︒，∴90ACE ∠=︒，又AC EC = ，∴ACE △是等腰直角三角形．【变式训练】1．（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期中）如图，已知90,C F AC DF ∠=∠=︒=，点,,,A E B D 在一条直线上，,AE DB BC =与EF 交于点O ．(1)求证：Rt Rt ABC DEF △≌△．(2)若53A ∠=︒，求BOF ∠的度数．【答案】(1)详见解析(2)74BOF ∠=︒【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质．（1）根据HL 证明两个三角形全等；（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可求解．【详解】（1）解：证明：AE DB = ，AE EB DB EB ∴+=+，即AB DE =，在Rt ABC △和Rt DEF △中，AC DF AB DE=⎧⎨=⎩，Rt Rt (HL)ABC DEF ∴△≌△．（2）解：90,53C A ︒∠=︒∠= ，180905337ABC ︒∴∠=︒-︒-︒=，由（1）知Rt Rt ABC DEF △≌△，37DEF ABC ︒∴∠=∠=，373774BOF ABC DEF ︒∴∠=∠+∠=︒+︒=．2．（2023上·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考阶段练习）如图，在ABC 中，90AB CB ABC =∠=︒，，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE CF =．(1)若30CAE ∠=︒，求ACF ∠度数；(2)求证：AB CE BF =+；(3)试判断EF 与AC 的位置关系．【答案】(1)60︒(2)见详解(3) EF AC⊥【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，解题的关键是明确题意，找出所要证明结论需要的条件．（1）根据在ABC 中，90AB CB ABC =∠=︒，，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE CF =，可以得到Rt ABE △和Rt CBF △全等，根据全等三角形的性质，进行求解即可；（2）根据Rt Rt ABE CBF △≌△，可以得到AB BC BE BF ==，，然后即可转化为AB CE BF 、、的关系，从而可以证明所要证明的结论；（3）根据Rt Rt ABE CBF △≌△，EB FB =，45FEB CEH ∠=∠=︒，结合45BCA ∠=︒，即可作答．【详解】（1）解：∵90AB CB ABC =∠=︒，，，∴90ABE CBF ∠=∠=︒，45BCA BAC ∠=∠=︒在Rt ABE △和Rt CBF △中，AB CB AE CF=⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ABE CBF ≌；∵30CAE CAB CAE EAB ∠=︒∠=∠+∠，，∴15EAB ∠=︒，∴EAB FCB ∠=∠，∴15FCB ∠=︒，∴154560ACF FCB BCA ∠=∠+∠=︒+︒=︒，即60ACF ∠=︒．（2）证明：∵Rt Rt ABE CBF △≌△，∴AB BC BE BF ==，，∵BC BE CE =+，∴AB CE BF =+．（3）解：EF AC ⊥，过程如下：延长FE 交AC 于一点H ，如图∵Rt Rt ABE CBF △≌△，∴45EB FB FEB CEH =∠=∠=︒，，由（1）知45BCA ∠=︒，∴90CHE ∠=︒，∴EF AC ⊥.一、单选题1．（2023上·河南周口·八年级统考期中）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，56B ∠=︒，则A ∠的度数是（）A ．24︒B ．34︒C ．54︒D ．64︒【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余即可求解．【详解】解：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，56B ∠=︒，∴905634A ∠=︒-︒=︒，故选：B ．2．（2023上·河南郑州·八年级校考期中）ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别记为a ，b ，c ，有下列说法错误的是（）A ．如果::7:24:25a b c =，则90C ∠=︒B ．如果::3:4:5A BC ∠∠∠=，则ABC 为直角三角形C ．如果a ，b ，c 长分别为6，8，10，则a ，b ，c 是一组勾股数D ．如果A B C ∠-∠=∠，则ABC 为直角三角形【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理．根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定A ．24︒B 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，直角三角形两锐角互余，平行线性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．然后求出ABD DBC ∠=∠【详解】∵BD 是等腰ABC ∴BD AC ⊥，ABD ∠=∠∴=90BDC ∠︒，∵65C =︒∠，∴9025DBC C ∠=︒-∠=︒，∴25ABD DBC ∠=∠=︒，∵ED AB ∥，∴25A BDE BD ∠=︒∠=．故选：B ．4．（2023上·重庆垫江·八年级重庆市垫江中学校校考阶段练习）如图，在ABC 和CDE 中，90,,ACB CED AB CD CE AC ∠=∠=︒==，则下列结论中不一定成立的是（）A ．ABC CDE△△≌B ．CAB DCE ∠=∠C ．AB CD ⊥D ．E为BC 中点【答案】D 【分析】根据斜边直角边定理，可得ABC CDE △△≌，运用全等三角形的性质，可推CAB DCE ∠=∠，AB CD ⊥．【详解】解：A .∵90,,ACB CED AB CD CE AC∠=∠=︒==∴ABC CDE △△≌(HL)，故结论成立，本选项不合题意；B .∵ABC CDE△△≌∴CAB DCE ∠=∠，故结论成立，本选项不合题意；C .如图，∵ABC CDE△△≌∴B D ∠=∠.∵180,180,DGF D GFD FEB B EFB GFD EFB ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒∠=∠∴90DGF FEB ∠=∠=︒∴AB CD ⊥．故结论成立，本选项不合题意；D .根据题目条件无法推证E 为BC 中点，本结论错误，本选项符合题意；A ．90BAC ∠=C ．ABC 的面积为【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握【答案】AC AD =【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等【答案】20︒/20【分析】本题考查直三角形两锐角互余及翻转折叠有全等，先求出【详解】解：∵∴35B ∠=︒，由翻折的性质可得：【答案】2【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，含质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．根据已知易得三角形的性质可得角形的两个锐角互余可得【答案】52或423-或2【分析】本题考查了等腰梯形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．分三种情况讨论：①当AE边形AEGD是矩形，进而证明Rt AEB然后证明CEF△是等腰直角三角形，性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求得CE BC BE=-，即可求出CF得长；等腰梯形ABCD中，45B∠=︒，45B C BAE∴∠=∠=∠=︒，AB CD=，90AEB∴∠=︒，AE BC∴⊥，AD BC∥，90AEG DGE DAE∴∠=∠=∠=︒，∴四边形AEGD是矩形，EG AD∴=，AE DG=，AEB EAB ∴∠=∠，等腰梯形ABCD 中，45B ∠=︒，45B C ∴∠=∠=︒，()(111801804522AEB B ∴∠=︒-∠=︒-等腰梯形ABCD 中，45B ∠=︒，45B C ∴∠=∠=︒，45AEB B ∴∠=∠=︒，18090BAE B AEB ∴∠=︒-∠-∠=︒，3AB AE == ，∴在Rt BAE 中，22BE AB AE =+=45MEN ∠=︒ ，180180CEF AEB MEN ∴∠=︒-∠-∠=︒-11．（2023上·四川宜宾·八年级统考期中）如图，90A D ∠=∠=︒，点B ，E ，F 在同一直线上，AB CD =，BE CF =，求证ABF DCE ≌△△．【答案】证明见解析．【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证出BF CE =，由HL 证明Rt Rt ABF DCE ≌△△即可．【详解】证明：∵BE CF =，∴BE EF CF EF +=+，即BF CE =，∵90A D ∠=∠=︒，在Rt ABF 和Rt DCE V 中，AB CD BF CE=⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ABF DCE ≌△△．12．（2023上·辽宁铁岭·八年级统考期中）在一条东西走向河的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A ，B ，其中AB AC =，由C 到A 的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H （A 、H 、B 在一条直线上），测得3CB =千米， 2.4CH =千米， 1.8HB =千米，(1)问CH 是否为从村庄C 到河边的最近路？（即问：CH 与AB 是否垂直？）请通过计算加以说明；(2)求原来的路线AC 的长．【答案】(1)是，理由见解析(2)2.5千米【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．（1）根据勾股定理逆定理，求出90CHB ∠=︒，即可；（2）设AC x =，在AHC 中，利用勾股定理进行求解即可．掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键．【详解】（1）解：是，理由如下：∵3CB =千米， 2.4CH =千米， 1.8HB =千米，∴2229CH BH CB +==，(1)AB=__________，BC=的形状为__________(2)ABC中AC边上的高__________(3)求ABC【答案】(1)22，42，2(2)直角(3)4105【分析】（1）本题主要考查网格中的勾股定理，直接计算即可求解．（2）主要考查勾股定理逆定理判定三角形的形状，可判定三角形的形状．（3）考查利用等面积法求斜边上的高，直接计算就可以求解．【详解】（1）由题可知，AB22BC=+=；444214．（2023上·山东泰安·七年级东平县实验中学校考阶段练习）BD=．6(1)求BC的长；∠的度数．(2)求ACD【答案】(1)42；(2)45︒．(1)如图1，若CD AB ⊥，则ACD BCD 、是“开心三角形(2)若ACD 是“开心三角形”，直接写出ACD ∠的度数【答案】(1)ACD BCD 、是“开心三角形”，理由见解析(2)30︒或40︒或80︒(1)当90BAP ∠=︒时，则BP =______；(2)当ABP 为以AP 为腰的等腰三角形时，求t 的值；(3)过点D 作DE AP ⊥于点E ．在点P 的运动过程中，当t 为何值时，能使【答案】(1)20由题意，得：2BP t =，∴216CP t =-，在Rt ACB △中，222AB BC AC =+，在Rt PAB 中，222PB AP BA =+，在Rt PAC △中，222AP AC CP =+，∴22222BP BC AC AC CP =+++，即：()()2222221688216t t =+++-，解得：10t =，∴20BP =；故答案为：20．（2）①当AP AB =时，如图∵,AP AB AC BC=⊥∴232BP BC ==，∴32216t =÷=；②若PA PB =，则2,162BP AP t CP t ===-，在直角三角形ACP 中，222PA CP AC +=，∴()()22221628t t =-+解得：5t =；综上所述：t 的值16或5；（3）∵3835,DE CD AD AC CD DE AP ===-=-=⊥，，∴4AE =，①若P 在C 点的左侧，则2BP t =，∴162CP t =-．又DE DC =，PD PD =，且90DEP DCP ∠=∠=︒，∴PED PCD ≌，∴162PE PC t ==-，∴202AP PE AE t =+=-，则()()2222021628t t -=-+，解得：5t =；②若P 在C 点的右侧，则2BP t =，∴216CP t =-，同法可得：216PE PC t ==-，∴212AP PE AE t =+=-，∴()()2222022168t t -=-+，解得11t =，综上所述：5t =或11．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解．。

直角三角形的性质与判定直角三角形是指一个角为90度的三角形。

在数学中，直角三角形有一些特殊的性质和判定方法。

本文将介绍直角三角形的性质，并讲解如何判定一个三角形是否为直角三角形。

性质一：勾股定理勾股定理是描述直角三角形边长关系的重要定理。

它表达了直角三角形斜边的平方等于两个直角边的平方之和。

数学式可以表示为：c² = a² + b²其中，c代表斜边的长度，a和b分别代表直角边的长度。

性质二：特殊比例关系直角三角形中，直角边的长度可以形成特殊的比例关系。

例如，一个直角三角形的两个直角边长度分别为3和4，则斜边的长度为5。

这种特殊的比例关系被称为“3:4:5的直角三角形”。

除了3:4:5，还有其他一些常见的特殊比例关系，如5:12:13和8:15:17。

判定方法一：勾股定理要判定一个三角形是否为直角三角形，可以使用勾股定理。

如果一个三角形的三条边满足勾股定理的条件，即c² = a² + b²，其中c是三角形的斜边长，a和b是直角边的长度，那么这个三角形就是直角三角形。

注意，斜边必须是最长的边。

判定方法二：角度判定除了使用勾股定理进行判定，还可以通过角度来判断一个三角形是否为直角三角形。

如果一个三角形的一个角是90度，那么这个三角形就是直角三角形。

可以使用角度测量工具如角度规或直角器来测量角度。

判定方法三：边长关系在判定一个三角形是否为直角三角形时，还可以观察三条边的长度关系。

如果三角形的边长满足a² + b² = c²的条件，并且不等式成立时当且仅当其中一个角为90度时，那么这个三角形就是直角三角形。

总结：直角三角形具有特殊的性质和判定方法。

勾股定理是描述直角三角形边长关系的重要定理，可以通过勾股定理、角度判定和边长关系来判断一个三角形是否为直角三角形。

直角三角形在几何学和实际生活中有着广泛的应用，深入理解直角三角形的性质与判定对我们进行几何学推导和解决实际问题具有重要意义。

1.2.1 直角三角形的性质和判定教案一、教学目标1.了解直角三角形的定义和性质；2.掌握如何判定一个三角形是否为直角三角形；3.能够灵活运用直角三角形的性质解决实际问题。

二、教学内容1. 直角三角形的定义和性质1.1 定义直角三角形是指其中一个角为直角（即90度）的三角形。

1.2 性质•直角三角形的两条直角边相等；•直角三角形的斜边是两条直角边的平方和的平方根；•直角三角形的两个锐角之和等于90度。

2. 判定直角三角形的方法2.1 三边关系如果一个三角形的两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

2.2 角平分线如果一个三角形的角平分线和对边相交成直角，那么这个三角形就是直角三角形。

2.3 斜边和高的关系如果一个三角形的斜边平方等于直角边之和的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

三、教学过程1. 导入新知识Step 1: 引入直角三角形的概念（5分钟）通过提问的方式引导学生回忆和复习三角形的定义，然后引入直角三角形的概念。

可以给出一些例子，让学生观察并总结直角三角形的特点。

Step 2: 介绍直角三角形的性质（10分钟）通过讲解和示意图，介绍直角三角形的性质：两条直角边相等、斜边长度的计算公式、两个锐角的关系等。

可以通过实际测量和计算来验证这些性质。

2. 学习和讨论Step 3: 讨论判定直角三角形的方法（10分钟）引导学生思考如何判定一个三角形是否为直角三角形，然后通过小组或全班讨论，分享各自的观点和解决方法。

老师可以提供一些示例三角形供学生分析和判断。

Step 4: 学习具体的判定方法（15分钟）在学生讨论的基础上，向学生介绍三边关系、角平分线和斜边高的判定方法。

通过具体的例子和示意图，让学生理解和掌握这些方法的使用。

3. 巩固和拓展Step 5: 合作练习（15分钟）组织学生进行合作练习，让他们应用所学的知识和方法来判定给定的三角形是否为直角三角形。

可以提供一些实际问题，让学生运用直角三角形的性质解决。

直角三角形的性质与判定直角三角形是指一个三角形中，其中一个角度为90度（直角）。

在几何学中，直角三角形具有独特的性质和判定方法。

本文将探讨直角三角形的性质以及判定方法，并提供相应的证明过程。

一、直角三角形的性质1. 边关系直角三角形的最长边称为斜边，而与直角相邻的两条边称为直角边。

根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（a^2 + b^2 = c^2）这是直角三角形最基本的性质之一。

2. 角关系直角三角形的一个角为直角（90度），另外两个角的和为90度。

其余两个角可以是锐角（小于90度）或钝角（大于90度）。

这意味着直角三角形只有一个直角，但可以有多种可能的锐角或钝角组合。

3. 比例关系在直角三角形中，两直角边的长度比或比斜边的长度与直角边的长度的比例具有特殊的关系。

例如，根据三角函数的定义，正弦比是直角三角形中斜边与对应角的直角边的比例，余弦比是斜边与非直角边的比例，而正切比则是直角边之间的比例。

二、直角三角形的判定要判定一个三角形是否为直角三角形，可以采用以下三种方法：1. 三边关系如果一个三角形的三条边满足勾股定理（a^2 + b^2 = c^2），即最长边的平方等于两直角边的平方和，那么这个三角形就是一个直角三角形。

证明过程：假设有一个三角形ABC，其中∠C为直角。

根据勾股定理，我们有c^2 = a^2 + b^2。

因此，如果c^2等于a^2加上b^2，那么这个三角形就是一个直角三角形。

2. 两边关系如果一个三角形的两条边的长度比或比斜边的长度与直角边的长度的比例满足特定的条件，那么这个三角形可能是一个直角三角形。

例如，如果两条直角边的长度比等于3:4或5:12，并且斜边的长度与其中一条直角边的长度为整数比例（如5:3或13:5），那么这个三角形就是一个直角三角形。

3. 角关系如果一个三角形的一个角等于90度，那么这个三角形就是一个直角三角形。

证明过程：假设有一个三角形ABC，其中∠C等于90度。