2 直角三角形第1课时勾股定理及其逆定理课题第1课时勾股定理及其逆定理授课人教学目标知识技能1.掌握直角三角形的性质定理(勾股定理)和判定定理.2.了解逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的含义.数学思考进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理能力.问题解决1.能应用定理解决与直角三角形有关的问题.2.能结合自己的生活体验举出逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的例子情感态度进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号感,发展抽象思维能力.教学重点1.勾股定理逆定理的证明方法.2.了解逆命题、互逆命题的概念,知道原命题成立其逆命题不一定成立.教学难点勾股定理及其逆定理的证明.授课类型新授课课时教具课件、三角尺、等腰三角形纸片教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾活动内容:问题1:我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法?问题2:勾股定理的内容是什么?复习回顾直角三角形的性质和判定,以及勾股定理内容,为本课直角三角形的性质和判定定理的证明做准备.活动一: 创设情境导入新课【课堂引入】1.什么是勾股定理?定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.2.在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.(1)若a=8,c=17,则b= 15.(2)若a=8,∠A=30°,则b= 8√3.(3)若a=8,∠A=45°,则c= 8√2.3.如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.通过与本课时相关的问题导入,为新知的学习做好铺垫.活动二: 实践探究交流新知【探究1】直角三角形的两个锐角关系定理及逆定理问题1:直角三角形的两个锐角有怎样的关系?为什么?问题2:如果一个三角形有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形吗?为什么?定理:直角三角形的两个锐角互余.已知:如图1-2-6,在Rt△ABC中,∠C=90°.求证:∠A+∠B=90°.图1-2-6证明:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,∵∠C=90°,∴∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90°.定理:有两个角互余的三角形是直角三角形.已知:如图1-2-7,在△ABC中,∠A+∠B=90°.求证:△ABC是直角三角形.图1-2-7证明:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,学生分小组讨论,各抒己见.教师及时引导并展示.活动二: 实践探究交流新知∵∠A+∠B=90°,∴∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90°,∴△ABC是直角三角形.【探究2】勾股定理及其逆定理问题1:直角三角形的三条边有什么样的数量关系?你能证明吗?问题2:在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,它是直角三角形吗?勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.已知:如图1-2-8,在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.求证:a2+b2=c2.图1-2-8证明:延长CB至点D,使BD=b,作∠EBD=∠A,并取BE=c,连接ED,AE(如图1-2-9),则△ABC≌△BED.图1-2-9∴∠BDE=90°,ED=a(全等三角形的对应角相等,对应边相等).从而四边形ACDE是直角梯形.∴S梯形ACDE=12(a+b)(a+b)=12(a+b)2.由全等可得∠ABE=180°-(∠ABC+∠EBD)=180°-90°=90°,且AB=BE,∴S△ABE=12c2.让学生通过分析归纳总结出直角三角形的两锐角定理和其逆定理内容,并能够对定理和逆定理进行证明.活动二: 实践探究交流新知∵S梯形ACDE=S△ABE+S△ABC+S△BED,∴12(a+b)2=12c2+12ab+12ab,即12a2+ab+12b2=12c2+ab,∴a2+b2=c2.勾股定理逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.已知:如图1-2-10:在△ABC中,AB2+AC2=BC2.求证:△ABC是直角三角形.图1-2-10分析:要从边的关系推出∠A=90°是不容易的,如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等,而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等,可证.图1-2-11证明:作Rt△A'B'C'(如图1-2-11),使∠A'=90°,A'B'=AB,A'C'=AC,则A'B'2+A'C'2=B'C'2(勾股定理).∵AB2+AC2=BC2,A'B'=AB,A'C'=AC,∴BC2=B'C'2,∴BC=B'C',∴△ABC≌△A'B'C'(SSS),∴∠A=∠A'=90°(全等三角形的对应角相等).因此,△ABC是直角三角形.【探究3】互逆命题和互逆定理问题1:观察上面我们得到的两组定理,它们的条件和结论之间有怎样的关系?问题2:观察下面三组命题:让学生根据以前所学的勾股定理和逆定理的知识直接回答出定理的内容,对于证明学生有一定的难度,尤其是逆定理的证明,在证明时教师加以指导.在证明时只要求学生能够接受证明的方法和过程即可,不宜对学生提出更高的要求.活动二: 实践探究交流新知 (1){如果两个角是对顶角,那么它们相等.如果两个角相等,那么它们是对顶角.(2){如果小明患了肺炎,那么他一定发烧.如果小明发烧,那么他一定患了肺炎.(3){三角形中相等的边所对的角相等.三角形中相等的角所对的边相等.上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流.问题3:如果原命题是真命题,那么逆命题一定是真命题吗?并通过具体的实例说明.互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.相对于逆命题来说,另一个就为原命题.互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.通过师生的共同探究,使学生掌握互逆命题和互逆定理的定义,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到数学逻辑关系存在的必然性.活动三: 开放训练体现应用【应用举例】例1若a,b,c能构成直角三角形,则它们的比可能为()A.2∶3∶4B.3∶4∶6C.5∶12∶13D.4∶6∶7例2在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,则a∶b∶c= .例3若△ABC中,a=b=5,c=5√2,则△ABC的面积为.例4对角线长为m的正方形的边长为.通过举例使学生区分勾股定理描述的是直角三角形的性质,而其逆定理则展示的是直角三角形的判定方法.【拓展提升】例5直角三角形两直角边长分别为6和8,则斜边上的高为.例6高为h的等边三角形的边长为.活动三: 开放训练体现应用例7小亮手里拿着长分别为30 cm,40 cm的两根木棒,请帮他找第三根木棒,使三根木棒构成一个直角三角形,则第三根木棒的长应为cm.例8一块钢板的形状如图1-2-12所示,已知AB=12cm,BC=13 cm,CD=4 cm,AD=3 cm,∠ADC=90°,则这块钢板的面积是cm2.图1-2-12例9如图1-2-13,已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=4,分别以AB,AC,BC为边向外作等边三角形,面积分别记为S1,S2,S3,则S1+S2+S3的值等于.图1-2-13例10如图1-2-14,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8 cm,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边上的点C'处,那么△ADC'的面积是.图1-2-14跨章节知识的综合可进一步培养学生综合运用所学知识解决具体问题的能力.活动四: 课堂总结反思【当堂训练】1.下列命题中,其逆命题成立的是.(只填写序号)①同旁内角互补,两直线平行;②如果两个角是直角,那么它们相等;活动四: 课堂总结反思③如果两个实数相等,那么它们的平方相等;④如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.2.“直角三角形两锐角互余”的逆命题是.3.在Rt△ABC中,∠C=90°,若a∶b=1∶2,且c=5,则ab= .图1-2-154.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,垂足为D,若∠A=60°,AB=4 cm,则CD= .5.如图1-2-15,在△ABC中,已知AB=13 cm,BC=10 cm,BC边上的中线AD=12 cm.求证:AB=AC.练习可使学生进一步加强对本课所学新知的理解,同时亦可检验本课教学的成果,为日后的复习总结提供依据.【板书设计】第1课时勾股定理及其逆定理直角三角形勾股定理勾股定理的逆定理互逆命题、互逆定理简洁明了,层次清晰.【教学反思】①[授课流程反思]本课时设计让学生从原有知识出发,通过引导学生观察、思考、计算,直观展示勾股定理的产生及其证明.为激发学生参与,以“问题串”的形式引发学生思考.②[讲授效果反思]在实际教学中,由于学生积极参与,勤于思考,使得本节课的重、难点得以顺利突破,培养了学生探究意识的同时,将数形结合思想较好地融入课堂教学的各个环节.③[师生互动反思]反思,更进一步提升.活动四: 课堂总结反思教学中,加强学生间的互动学习,培养学生的自学能力,注重培养学生的合作探究意识,有利于完成教学任务,提升教学效果.④[习题反思]好题题号错题题号详见电子资源详见电子资源温馨提示:为满足广大一线教师的不同教学需求,特新增“典案三学案设计”案例,word排版,可编辑加工,方便使用.内容详见电子资源.。
