八年级数学下册 直角三角形的性质与判定教案

《直角三角形的性质和判定》教
案
直角三角形
设计理念:通过梯度问题探究让学生轻松获取知识，通过数学变换和逆向思维的训练让学生直观地接受知识。

教师的教学方法:情境法、提问法、引导法、练习法。

学生学习方法:讨论与实践。

1.直角三角形性质与判定(Ⅰ)(1)
学习目标：
1.会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形.
2.掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用.
学习重点：
“直角三角形的两个锐角互余”，“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”这两性质的灵活应用.
学习难点：在直角三角形中如何正确添加辅助线.
学习过程：
复习引入：
三角形内角和.
2.等腰三角形及相关概念。

1.1.1 直角三角形的性质教学目标知识与技能：1.理解并掌握直角三角形的判定定理和斜边上的中线性质定理。

2.能运用直角三角形的判定与性质，解决有关的问题。

过程与方法：通过对几何问题的“操作—探究—讨论—交流—讲评”的学习过程，提高分析问题和解决问题的能力。

情感、态度与价值观：感受数学活动中的多向思维、合作交流的价值，主动参与数学思维与交流活动。

教学重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的推导与运用。

教学难点：“操作—探究—讨论—交流—讲评”得出直角三角形斜边上的中线性质定理。

教学过程一、教学引入1、三角形的内角和是多少度。

学生回答。

2、什么是直角三角形？日常生活中有哪些物品与直角三角形有关？请举例说明。

3、 等腰三角形有哪些性质？ 二、探究新知1、探究直角三角形的判定定理：⑴ 观察小黑板上的三角形，由∠A +∠B 的度数，能说明什么？ ——两个锐角互余的三角形是直角三角形。

⑵ 讨论：直角三角形的性质和判定定理是什么关系？ 2、探究直角三角形的性质：⑴ 学生画出直角三角形ABC 斜边的中线CD 。

⑵ 测量并讨论斜边上的中线的长度与斜边长度之间的关系。

⑶ 学生猜想：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。

3、 共同探究：例 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是斜边AB 上的中线。

求证：CD =12AB 。

[教师引导：数学方法——倒推法、辅助线]三、应用迁移 巩固提高练习：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形。

即已知CD 是△ABC 的AB 边上的中线，且CD =12AB 。

求证：△ABC 是直角三角形。

提示：倒推法，要证明△ABC 是直角三角形，只有通过定义和判定定理，定义与判定定理都与角有关系。

现在我们只有边的关系，我们学过的边与角能联系起来的就是等腰三角形。

还要找到与90°有关的角，但是我们只知道三角形的内角和为180°。

第1章直角三角形1．1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)第1课时直角三角形的性质和判定1．掌握“直角三角形两个锐角互余”，并能利用“两锐角互余”判断三角形是直角三角形；(重点)2．探索、理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质．(重点、难点)一、情境导入在小学时我们已经学习过有关直角三角形的知识，同学们可以用手上的三角板和量角器作直角三角形，并和小组成员一同探究直角三角形的性质．二、合作探究探究点一：直角三角形两锐角互余如图，AB∥DF，AC⊥BC于C，BC与DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CEF等于()A．110°B．100°C．80°D．70°解析：∵AC⊥BC于C，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－20°＝70°，∴∠ABC＝∠1＝70°，∵AB∥DF，∴∠1＋∠CEF＝180°，即∠CEF＝180°－∠1＝180°－70°＝110°.故选A.方法总结：熟知直角三角形两锐角互余的性质，并准确识图是解决此类题的关键．探究点二：有两个角互余的三角形是直角三角形如图所示，已知AB∥CD，∠BAF＝∠F，∠EDC＝∠E，求证：△EOF是直角三角形．解析：三角形内角和定理是解答有关角的问题时最常用的定理，是解决问题的突破口，本题欲证△EOF是直角三角形，只需证∠E＋∠F＝90°即可，而∠E＝12(180°－∠BCD)，∠F＝12(180°－∠ABC)，由AB∥CD可知∠ABC＋∠BCD＝180°，即问题得证．证明：∵∠BAF＝∠F，∠BAF＋∠F＋∠ABF＝180°，∴∠F＝12(180°－∠ABF)．同理，∠E＝12(180°－∠ECD)．∴∠E＋∠F＝180°－12(∠ABF＋∠ECD)．∵AB∥CD，∴∠ABF＋∠ECD＝180°.∴∠E＋∠F＝180°－12×180°＝90°，∴△EOF是直角三角形．方法总结：由三角形的内角和定理可知一个三角形的三个内角之和为180°，如果一个三角形中有两个角的和为90°，可知该三角形为直角三角形．探究点三：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；(2)求证：EF垂直平分AD.解析：(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝AE＝12AB，DF＝AF＝12AC，再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可．(1)解：∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝12AB＝12×10＝5，DF ＝AF ＝12AC ＝12×8＝4，∴四边形AEDF的周长＝AE ＋DE ＋DF ＋AF ＝5＋5＋4＋4＝18；(2)证明：∵DE ＝AE ，DF ＝AF ，∴E 是AD 的垂直平分线上的点，F 是AD 的垂直平分线上的点，∴EF 垂直平分AD .方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质，连接中点和直角三角形的直角顶点进行求解或证明．探究点四：直角三角形性质的综合运用 【类型一】 利用直角三角形的性质证明线段关系如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，EF 为AB 的垂直平分线，交BC 于F ，交AB 于点E .求证：FC ＝2BF .解析：根据EF 是AB 的垂直平分线，联想到垂直平分线的性质，因此连接AF ，得到△AFB 为等腰三角形．又可求得∠B ＝∠C ＝∠BAF ＝30°，进而求得∠F AC ＝90°.取CF 的中点M ，连接AM ，就可以利用直角三角形的性质进行证明．证明：如图，取CF 的中点M ，连接AF 、AM .∵EF 是AB 的垂直平分线，∴AF ＝BF .∴∠BAF ＝∠B .∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠BAF ＝∠C ＝12(180°－120°)＝30°.∴∠F AC ＝∠BAC －∠BAF ＝90°.在Rt △AFC 中，∠C ＝30°，M 为CF 的中点，∴∠AFM ＝60°，AM ＝12FC ＝FM .∴△AFM 为等边三角形．∴AF ＝AM ＝12FC .又∵BF ＝AF ，∴BF ＝12FC ，即FC ＝2BF .方法总结：当已知条件中出现直角三角形斜边上的中线时，通常会运用到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，使用该性质时，要注意找准斜边和斜边上的中线．【类型二】 利用直角三角形的性质解决实际问题如图所示，四个小朋友在操场上做抢球游戏，他们分别站在四个直角三角形的直角顶点A 、B 、C 、D 处，球放在EF 的中点O 处，则游戏________(填“公平”或“不公平”)．解析：游戏是否公平就是判断点A 、B 、C 、D 到点O 的距离是否相等．四个直角三角形有公共的斜边EF ，且O 为斜边EF 的中点．连接OA 、OB 、OC 、OD .根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质可知，OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝12EF ，即点A 、B 、C 、D 到O 的距离相等．由此可得出结论：游戏公平．方法总结：题目中如果出现“直角三角形”和“中点”这两个条件时，应连接直角顶点与斜边中点，再利用“斜边上的中线等于斜边的一半的性质”解题．【类型三】 利用直角三角形性质解动态探究题如图所示，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点．(1)写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的数量关系；(2)如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，移动中保持AN ＝BM .请判断△OMN 的形状，并证明你的结论．解析：(1)由于△ABC 是直角三角形，O 是BC 的中点，得OA ＝OB ＝OC ＝12BC ；(2)由于OA 是等腰直角三角形斜边上的中线，因此根据等腰直角三角形的性质，得∠CAO ＝∠B ＝∠45°，OA ＝OB ，又AN ＝MB ，所以△AON ≌△BOM ，所以ON ＝OM ，∠NOA ＝∠MOB ，于是有∠NOM ＝∠AOB ＝90°，所以△OMN 是等腰直角三角形．解：(1)连接AO .在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点，∴OA ＝12BC ＝OB＝OC ，即OA ＝OB ＝OC ；(2)△OMN 是等腰直角三角形．理由如下：∵AC ＝BA ，OC ＝OB ，∠BAC ＝90°，∴OA ＝OB ，∠NAO ＝12∠CAB ＝∠B ＝45°，AO ⊥BC ，又AN ＝BM ，∴△AON ≌△BOM ，∴ON＝OM，∠NOA＝∠MOB，∴∠NOA ＋∠AOM＝∠MOB＋∠AOM，∴∠NOM＝∠AOB＝90°，∴△MON是等腰直角三角形．方法总结：解决动态探究性问题，要把握住动态变化过程中的不变量，比如角的度数、线段的长和不变的数量关系，比如斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形两锐角互余．三、板书设计1．直角三角形的性质性质一：直角三角形的两锐角互余；性质二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．2．直角三角形的判定方法一：一个角是直角的三角形是直角三角形；方法二：两锐角互余的三角形是直角三角形．通过练习反馈的情况来看，学生对于利用已知条件判定一个三角形是否为直角三角形这一考点比较容易上手一些，而往往忽略在直角三角形中告诉斜边上的中点利用中线这一性质解决问题．在今后的教学中应让学生不断强化提高这一点.第4课时“斜边、直角边”1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”．(重点)2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题．(难点)一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？二、合作探究探究点一：应用“斜边、直角边”判定三角形全等如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF.求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.解析：由题意可得△ABF与△DCE都为直角三角形，由BE＝CF可得BF＝CE，然后运用“HL”即可判定Rt△ABF与Rt△DCE全等．证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形．在Rt△ABF和Rt△DCE中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF＝CE，AB＝CD，∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．方法总结：利用“HL”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．探究点二：“斜边、直角边”判定三角形全等的运用【类型一】利用“HL”判定线段相等如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.解析：根据“HL”证Rt△ADC≌Rt△AFE，得CD＝EF，再根据“HL”证Rt△ABD≌Rt △ABF，得BD＝BF，最后证明BC＝BE.证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC 和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．【类型二】利用“HL”判定角相等或线段平行如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，进而得出角相等．证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在Rt △ABC 和Rt △ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴Rt△ABC ≌Rt △ADC (HL)，∴∠1＝∠2.方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．【类型三】 利用“HL ”解决动点问题如图，有一直角三角形ABC ，∠C＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AQ 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？解析：本题要分情况讨论：(1)Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝5cm ，可据此求出P 点的位置．(2)Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合．解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：(1)当P 运动到AP ＝BC 时，∵∠C ＝∠QAP ＝90°.在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL)，∴AP ＝BC ＝5cm ；(2)当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC .在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AC ，PQ ＝AB ，∴Rt △QAP ≌Rt △BCA (HL)，∴AP ＝AC ＝10cm ，∴当AP ＝5cm 或10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．【类型四】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，BE ，CD 交于O 点，且AO 平分∠BAC .求证：OB ＝OC .解析：已知BE ⊥AC ，CD ⊥AB 可推出∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°，由AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS 证得△AOD ≌△AOE ，根据ASA 证得△BOD ≌△COE ，即可证得OB ＝OC .证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°.∵AO 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠AEB ，∠1＝∠2，OA ＝OA ，∴△AOD ≌△AOE (AAS)．∴OD ＝OE .在△BOD 和△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BDC ＝∠CEB ，OD ＝OE ，∠BOD ＝∠COE ，∴△BOD ≌△COE (ASA)．∴OB ＝OC .方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL ”外，还有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS.三、板书设计“斜边、直角边”1．斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边”或“HL ”．2．方法归纳：(1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL ”，除此之外，还可以选用“SAS ”“ASA ”“AAS ”以及“SSS”．(2)寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识．。

1.2 直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定教学内容第1课时直角三角形的性质与判定课时1核心素养目标1.经历猜想、操作、观察、证明等活动，获得判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理，并运用“斜边、直角边”定理解决问题.2.经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.知识目标1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．教学重点探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”.教学难点会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等.教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、情境导入二、探究新知一、创设情境，导入新知问题1 ：我们学过哪些判定三角形全等的方法？问题2 ：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗如果其中一组等边所对的角是直角呢?师生活动：学生举手回答问题.师追问：如何用数学语言来描述两边分别相等且其中一组等边的对角是直角的两个三角形全等吗?二、小组合作，探究概念和性质知识点一：全等三角形的判定和性质问题：如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E = 90°，且AC = DF，BC = EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？设计意图：从学生已有的知识出发，激发学生强烈的好奇心和求知欲.设计意图：教学时，如果有学生提出仿照七年级探索三角形全等条件的方法，通过赋予两边特殊值、画直角三角形、与同伴所画的直角三角形进行比较，进而归纳出结论，教师也应给予鼓励，同时，教师可由此引导学生考虑用尺规一般作出直角三角形，从而转入下面“做一做”环节.做一做：已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.已知：如图，线段a，c (a＜c)，直角α.求作：Rt△ABC，使∠C = ∠α，BC = a，AB = c.(1) 先画∠MCN＝∠α＝90°.(2) 在射线CM上截取CB＝a.(3) 以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A.(4) 连接AB，得到Rt∠ABC.师生活动：学生先独立在纸上画图，然后小组交流想法，保证学生的参与度，最终派代表对问题进行讲解.验证结论：已知：如图，在∠ABC与∠A′B′C′ 中，∠C′ =∠C = 90°，AB = A′B′，AC = A′C′.求证：∠ABC∠∠A′B′C′证明：在∠ABC中，∠∠C＝90°，∠ BC2＝AB2－AC2 (勾股定理).同理，B'C' 2＝A'B' 2－A'C' 2.∠AB＝A'B'，AC＝A'C'，∠ BC＝B'C'.∠ ∠ABC∠∠A'B'C'( SSS ) .归纳总结；“斜边、直角边”判定方法文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).几何语言：设计意图：1.掌握三角形的尺规作图，从实践中体会三角形全等的条件.2.操作探究活动的设计不仅让学生直观地感受了“斜边、直角边”可以确定一个直角三角形的大小和形状，而且也让学生较好地感悟到“斜边、直角边可以判定两个直角三角形全等.3培养学生的识图能力，并规范证明过程的书写格式.设计意图：学生经历了定理的发现、提出和证明的全过程，感受了合情推理与演绎推理的紧密联系.设计意图：培养学生逻辑思维能力，学会用“HL”条件判定三角形全等.典例精析例1如图，AC∠BC，BD∠AD，垂足分别为C，D，AC = BD. 求证BC = AD.证明：∠ AC∠BC，BD∠AD，∠∠C与∠D都是直角.在Rt∠ABC和Rt∠BAD中，AB = BA，AC = BD.∠ Rt∠ABC∠Rt∠BAD (HL).∠ BC = AD.师生活动：教师给出例题后，让学生独立作业，同时分别选派四名同学上黑板演算. 教师巡视，对学生演算过程中的失误及时予以指正，最后师生共同评析.变式1：如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，要证明∠ABC ∠∠BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.(1) AD＝BC( HL )(2) BD＝AC( HL )(3) ∠DAB＝∠CBA( AAS)(4) ∠DBA＝∠CAB( AAS)师生活动：学生独立思考，然后举手回答问题，老师针对有问题的给与解释，或者大家一起探讨错误的原因.例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相设计意图：巩固所学的“斜边、直角边”定理，使学生对本节课所形成的概念有更深刻的理解.三、当堂练习，巩固所学等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？师生活动：教学时，给几分钟时间先让学生尝试着解决问题，在学生出现思维盲区时，教师给予详细分析，边讲边演示，在思维的激烈碰撞过程中，逐渐形成对“HL”判定方法证明三角形全等解决实际问题的认识.练一练1.如图，已知AD，AF分别是两个钝角∠ABC和∠ABE的高，若AD＝AF，AC＝AE，求证：BC＝BE.证明：∠ AD，AF分别是两个钝角∠ABC和∠ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∠ Rt∠ADC ∠ Rt∠AFE (HL).∠ CD＝EF.∠ AD＝AF，AB＝AB，∠ Rt∠ABD∠Rt∠ABF (HL).∠ BD＝BF.∠ BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE.三、当堂练习，巩固所学1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有( )A. 两条直角边对应相等B. 斜边和一锐角对应相等C. 斜边和一条直角边对应相等D. 两个锐角对应相等2.如图，∠ABC中，AB = AC，AD是高，则∠ADB与∠ADC(填“全等”或“不全等”)，依设计意图：及时运用知识解决问题，提高学生分析问题和解决问题的能力，增强应用意识、参与意识，巩固所学的“斜边、直角边”定理.设计意图：规范使用“HL”判定方法证明三角形全等的书写格式.在证明两个直角三角形全等时，要防止学生使用“SSA”来证明.设计意图：考查对使用“HL”证明两个直角三角形全等的使用条件的理解.据是(用简写法).3.如图，在∠ABC中，已知BD∠AC，CE∠AB，BD = CE.求证：∠EBC∠∠DCB.能力拓展4. 如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时∠ABC才能和∠APQ全等？设计意图：考查对使用“HL”证明两个直角三角形全等的使用条件的运用.板书设计1.2.2 直角三角形的性质与判定“斜边、直角边”判定方法文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).几何语言：课后小结。

解：由题意有：∠O＝90°，在RtΔABO中
∴AO＝ ＝2.4（米）
又∵下滑了0.4米∴OC＝2.0米
在RtΔODC中∴OD＝ =1.5（米）
∴外移BD＝0.8米
答：梯足将外移0.8米。
例3 课本例的中央长着一株芦苇，水池的边 长为10尺，
芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到岸边，刚好能
第一章直角三角形直角三角形的性质与判定II（二）
课题
预设
目标
1、勾股定理从边的方面进一步刻画直角三角形的特征，学生将在原有的基础上对直角三角形由更深刻的认识和理解。
2、掌握直角三角形三边关系——勾股定理及直角三角形的判别条件——勾股定理的逆定理。
增删
教学
重难点
重点：应 用勾股定理有关知识解决有关问题
达到水池岸与水面的交接线的中点上。请求水深
与芦苇的长各有多少尺？
解：由题意有：DE＝ 5尺，DF＝FE+1。
设EF＝x尺，则DF＝（x+1）尺
由勾股定理有：
x2+52＝（x+1）2
解之得：x＝12
答：水深12尺，芦苇长13尺。
三、当堂练习：
教材P13 练习1、2
四、全课小结：
应 用勾股定理解决实际问题的思路：
（1）深刻理解题意
（2）画出简图
（3）将图画转化为直角三角形，并利用勾股定理进行计算。
板书
设计
直角三角形的性质与判定II（二）
1、勾股定理例题2例题3
2、例题1学生练习
作业
教材：P16页3、4题P17页5题
教学反思
难点：灵活应用勾股定理有关知识解决有关问题
教具 准备
三角尺、
知识
链接

课后反思：
教学过程：
共案
个案
（一）知识回顾：
1.在前面我们学习了三角形的哪些概念及性质？
2.三角形按角可分哪几类？什么叫做直角三角形？
3.直角三角形的性质：
课练（一）：1.△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是__________三角形。
2.已知△ABC中，∠A=∠B，∠B=∠C，则∠A=________，∠B=_______，∠C=________。
②上述条件拼成的图形有什么特点？仔细观察，回答下面问题：
1.图中有哪些相等线段?
2.点D具备什么特征？
线段CD是△ABC的什么线？
△ABC中AB的中线CD与AB有什么数量关系？
3.△ABC是什么样的三角形？为什么？
结论：
性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
判定定理：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
∠C=_________。
3.动手操作及探究：
操作：①画一个Rt△ABC;②找到斜边AB的中点D；③连接CD（CD就是Rt△ABC斜边
上的中线。）④量一量DA、DB、DC的长度，你发现什么结论？
猜想：斜边上的中线与斜边的长度有何关系？怎么证明？
探究：①用两个腰相等，且顶角互补的等腰三角形能拼成一个三角形吗？
课练（三）：1.Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB的中点，若OC=5则AB=若AB=18，则OC=若AB+OC=18，则AB=OC=.
2.在△ABC中，CE是AB边上的中线，且CE=AE，则△ABC是_________三角形，若∠CEA=80°，则∠B=_________，
∠A=_________。
（2）Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，则∠A=_________

教学设计问题1、直角三角形的表示方法三角形用什么符号表示？那么直角三角形又用什么符号表示呢？三角形ABC 表示△ABC，直角三角形可以用符号“Rt△”，直角△ABC表示方法：Rt△ABC．问题2探究直角三角形的性质请同学们画一个直角△ABC，其中△C=90°，用量角器分别量出出△A、△B的度数，并且求出△A+△B的值．追问：通过对问题3的计算你发现△A和△B有什么关系？追问：结合图形你能写出已知、求证和证明吗？几何推理过程．如图3，在Rt△ABC中．△△A+△B +△C= 180°(三角形内角和定理）．而△C= 90°．△ △A+△B= 90°．结论：直角三角形的两个锐角互余．追问：此直角三角形性质用几何语言该怎样表示？△△ABC是直角三角形△ △A+△B= 90°．问题3我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形两锐角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说说理由．推理过程如下：如图5，在△ABC中．△A+△B+△C=180°（三角形内角和定理），△△A+△B=90°（已知），△△C=90，△△ABC是直角三角形(直角三角形定义）例题尝试：例1 如图4，△C=△D=90° ，AD、BC相交与点E．△CAE与△DBE有什么关系？为什么？1、（1）Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，则∠A=_ _．（2）若∠C =∠A+∠B，则△ABC是______三角形．（3）在△ABC中，∠A=90°，∠B=2∠C，求∠B，∠C的度数．2、如图，在Rt△ABC中，若∠ACD=∠B，CD⊥AB，△ABC为直角三角形吗？为什么？1、如图,从A处观测C处时仰角30CAD∠=,从B处观测C处时仰角45CBD∠=,从C处测量A、B两处时视角∠ACB是多少? 教师出示问题学生合作交流。

第1章直角三角形路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。

屈原《离骚》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）第1课时直角三角形的性质和判定【知识与技能】1.体验直角三角形应用的广泛性，理解直角三角形的定义，进一步认识直角三角形.2.学会用符号和字母表示直角三角形.3.经历“直角三角形两个锐角互余”的探讨，掌握直角三角形两个锐角互余的性质.4.会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形.5.理解和掌握直角三角形性质“斜边上的中线等于斜边的一半”.【过程与方法】通过动手，猜想发现直角三角形的性质，引导逆向思维，探索性质的推导方法——同一法.【情感态度】体会从“一般到特殊”的思维方法和“逆向思维”方法，培养逆向思维能力.【教学重点】直角三角形性质和判定的探索及应用.【教学难点】直角三角形性质“斜边上的中线等于斜边的一半”的判定探索过程.一、创设情境，导入新课问题什么叫直角三角形？从定义可以知道直角三角形具有一个角是直角的性质，要判断一个三角形是直角三角形需要判断这个三角形中有一个角是直角.直角三角形除了有一个角是直角这条性质外还有没有别的性质呢？判断一个三角形是直角三角形除了判断一个角是直角还有没有别的方法呢？这节课我们来探究这些问题.【教学说明】引导学生回忆，并巩固所学知识.从实际问题入手，激发学生的兴趣，注意新知识的连贯性.二、思考探究，获取新知问题1直角三角形两锐角互余思考如图，在Rt△ABC中，两锐角的和∠A+∠B=______.为什么？【教学说明】通过学生思考，总结归纳得出结果，培养学生分析问题和理解问题的能力.试试看：（1）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若∠A=40°，则∠BCD=______..（2）在△ABC中，∠B=50°，高AD、CE交于H，则∠AHC=______..【教学说明】巩固所学内容，加强对直角三角形两角之间互余的理解.问题2利用两锐角互余判断三角形是直角三角形思考如图，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？为什么？【教学说明】让学生明白两锐角互余的三角形是直角三角形，从而得到直角三角形一种判定方法.结论有两个锐角互余的三角形是直角三角形.试试看：如图，AB∥CD，∠A和∠C的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？【教学说明】让学生利用所学知识解决数学问题，逐步掌握解题技巧，培养学生的应用意识和能力.问题3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的探索过程思考（1）按要求作图：画一个直角三角形，并作出斜边上的中线.（2）量一量各线段的长度.（3）猜想：你能猜想出什么结论？【教学说明】经历上面的探索过程，学生很容易得出结论，并能对所学知识行提炼和归纳.问题4教材第4页例题【教学说明】让学生明确直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一定理的题设及结论可以相互变换，加深它们之间的区别与联系.三、运用新知，深化理解1.如果三角形的三个内角的比是4∶5∶9，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形2.在△ABC中，若∠A=∠B+∠C，则△ABC是_______.3.图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，将△ACD沿AC边折叠，使点D落在点E处.求证：E∥AB.【教学说明】由学生独立完成，加深对所学知识的理解和运用以及检查学生掌握情况，有困难的学生教师要及时指导，并及时纠正错误，给予矫正深化.答案：1.B2.直角三角形3.证明：∵△ACD沿AC边折叠，∴△ADC≌AEC，∴∠ACE=∠ACD，∵CDAB边上的中线，∠AB=90°，∴CD=AD，∴∠CAD=∠ACD，∴∠CAD=∠ACE，∴EC∥AB.四、师生互动，课堂小结通过今天的学习，你掌握了直角三角形的哪些性质和判定方法？还有什么值得与大家共同分享的？【教学说明】梳理学习内容、方法、思路，养成系统整理知识的习惯，形成知识体系，同学之间互相取长补短，达到共同提高.1.布置作业：习题1.1中的第1、2题2.完成练习册中本课时的练习.通过练习反馈的情况来看，学生对于利用已知条件判定一个三角形是否为直角三角形这一考点比较容易上手一些，而往往忽略在直角三角形中告诉斜边上的中点利用中线这一性质解决问题.在今后的教学中让学生不断强化提高这一点.【素材积累】阿达尔切夫说过：“生活如同一根燃烧的火柴，当你四处巡视以确定自己的位置时，它已经燃完了。

-实际问题：设计一些实际情境题目，如测量旗杆高度、计算斜坡长度等，引导学生将直角三角形的性质应用于解决这些问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《11.2.2直角三角形的性质与判定》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断一个三角形是否为直角三角形的情况？”（如测量窗户玻璃的斜边长度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索直角三角形的性质与判定的奥秘。
此外，在学生小组讨论环节，我发现有些学生对于直角三角形在实际生活中的应用认识不足。因此，我将在后续的教学中，引入更多与直角三角形相关的实际案例，让学生了解到数学知识在现实世界中的广泛应用。
4.培养学生团队合作精神，通过小组讨论、交流分享，提高对直角三角形性质与判定的理解；
5.激发学生数学学习兴趣，探索直角三角形在历史、文化及现代科技领域的应用，提升数学素养。
三、教学难点与重点
《11.2.2直角三角形的性质与判定》
1.教学重点
-理解并掌握直角三角形的定义：直角三角形是一种有一个角为直角（即90°）的三角形。
五、教学反思
在完成《11.2.2直角三角形的性质与判定》这一章节的教学后，我进行了深入的反思。我发现，学生在理解直角三角形的定义和性质方面普遍较为顺利，但对勾股定理的证明和应用判定方法时，存在一定的难度。这让我意识到，在今后的教学中，应更加关注学生对定理证明过程的掌握，以及如何将理论知识应用于实际问题的解决。
-掌握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
-掌握直角三角形的判定方法：通过边长关系判断一个三角形是否为直角三角形。
-应用直角三角形的性质解决实际问题，如计算斜边长度、角度等。

感悟新知
知1－练
解题秘方：利用直角三角形的性质与判定证明即可 .
证明： ∵∠ ACB=90°，∴∠ A+ ∠ B=90° . ∵∠ ACD= ∠ B，∴∠ A+ ∠ ACD=90° . ∴△ ACD 为直角三角形，且∠ CDA=90° . ∴ CD ⊥ AB.
感悟新知
拓展 满足下列条件的三角形也是直角三角形： (1)在三角形中，两个内 角之和等于第三个内角； (2)在三角形中，两个内角之差等于第三个内角.
知2－讲
感悟新知
特别提醒
知2－讲
◆直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个
面积相等的等腰三角形.
◆应用这个性质时要注意“直角三角形” 这一前提，
切不可忽略这一前提而在其他任意三角形中生搬
硬套 .
感悟新知
知2－讲
2. 拓展：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么 这个三角形是直角三角形 . 数学语言： 如图 1.1－5，在△ ABC 中，
∵ CD=BD=AD=12 AB， ∴∠ ACB=90°，即△ ABC 是直角三角形 .
感悟新知
知2－练
例4 如图 1.1－6， BD， CE 是△ ABC 的两条高， M， N 分别是 BC， DE 的中点 . 求证： MN ⊥ DE.
感悟新知
知2－练
解题秘方：紧扣“N 为 DE 的中点”这一条件和 “MN ⊥ DE”这一结论，建立等腰三 角形“三线合一”模型， 结合直角三 角形斜边上中线的性质求解 .
在 Rt △ CDB 中，∵ M 为斜边 BC 的中点，
∴
DM=
1 2
BC.
在
Rt
△
BEC
中，∵
M

直角三角形判定的教学设计教学目标：1.掌握直角三角形的判别条件。

2.熟记一些勾股数。

能对直角三角形的判别条件进行一些综合应用。

教学重点：直角三角形的判别条件及其应用；它可用边的关系来判断一个三角形是否是直角三角形。

教学难点：直角三角形的判别条件判断一个三角形是否是直角三角形及综合应用直角三角形的知识解题。

教学过程：一 .复习引入：1、复习直角三角形的性质：角的性质、边的性质。

2、我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？二、讲述新课：1、古代埃及人作直角：古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形。

其直角在第4个结处。

他们真的能够得到直角三角形吗？2、做一做下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：5，12，13； 7，24，25； 8，15，17。

（1）这三组数都满足a2+b2=c2 吗？（2）分别以这三组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？3、从做一做中，你能猜想到什么结论？勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形.a2+b2=c2例1 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形：（1） 7， 24， 25；（2） 12， 35， 37；（3） 13， 11， 9．解因为 252 = 242 + 72372 = 352+122132 ≠112+92所以根据的判定方法可知，以（1）、（2）两组数为边长的三角形是直角三角形，而以组（3）的数为边长的三角形不是直角三角形4、勾股数：能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数（或勾股弦数）。

请你与你的同伴合作，看看可以找出多少组勾股数。

练习：在一根长为180个单位的绳子上，分别标出A，B，C，D四个点，它们将绳子分为长为60个单位、45个单位和75个单位的三段线段。

初二数学《直角三角形性质与判定复习》课时教案【课题】《直角三角形性质与判定复习》【课型】复习【教学目标】知识：直角三角形性质与判定知识梳理；能力：学生经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，能够熟练应用直角三角形性质与判定综合证明。

情感：在探究性学习活动中养成刻苦钻研的习惯，具有勇于探索创新的精神。

【教学重难点】能够熟练应用直角三角形性质与判定综合证明。

【教学方法】自主探究法【教具与教学准备】导学案、PPT、多媒体【学情分析】通过观察、操作、想象、推理、交流等活动能够解决本节课的内容。

【教学过程】一、激趣导入，交代目标：（一）激趣导入设计意图（以旧引新，从学生熟知的知识入手，起点低，让全体同学都参与，也为类比探索新知做好准备。

）知识回顾（5分钟）1、直角三角形的性质：（1）在直角三角形中，两锐角；（2）在直角三角形中，斜边上的中线等于__________的一半；（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于___________；（4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于___________。

(5)勾股定理: .2、直角三角形的判定：（1）有一个角等于_________的三角形是直角三角形；（2）有两个角_____________的三角形是直角三角形；（3）如果三角形一边上的中线等于这条边的________，那么这个三角形是直角三角形。

(4)直角三角形全等: .D A BCE（二）交代目标多媒体出示，让一名学生读出来，共同学习，从而明确本节课的学习目标 设计意图：明确本节课的学习目标，使学生的学习有针对性。

二、自主探究,合作学习：（一）依据导纲，自主学习探究一：性质复习（先自主探究，然后组内交流讨论，各个小组展示） 例1、在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°， CD ⊥AB ， (1) 若BD=8，求AB 的长； (2) 若AB=8，求BD 的长。

1.1.1 直角三角形的性质教学目标知识与技能：1.理解并掌握直角三角形的判定定理和斜边上的中线性质定理。

2.能运用直角三角形的判定与性质，解决有关的问题。

过程与方法：通过对几何问题的“操作—探究—讨论—交流—讲评”的学习过程，提高分析问题和解决问题的能力。

情感、态度与价值观：感受数学活动中的多向思维、合作交流的价值，主动参与数学思维与交流活动。

教学重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的推导与运用。

教学难点：“操作—探究—讨论—交流—讲评”得出直角三角形斜边上的中线性质定理。

教学过程一、教学引入1、三角形的内角和是多少度。

学生回答。

2、什么是直角三角形？日常生活中有哪些物品与直角三角形有关？请举例说明。

3、 等腰三角形有哪些性质？二、探究新知1、探究直角三角形的判定定理：⑴ 观察小黑板上的三角形，由∠A +∠B 的度数，能说明什么？——两个锐角互余的三角形是直角三角形。

⑵ 讨论：直角三角形的性质和判定定理是什么关系？2、探究直角三角形的性质：⑴ 学生画出直角三角形ABC 斜边的中线CD 。

⑵ 测量并讨论斜边上的中线的长度与斜边长度之间的关系。

⑶ 学生猜想：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。

3、 共同探究：例 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是斜边AB 上的中线。

求证：CD =12AB 。

[教师引导：数学方法——倒推法、辅助线]三、应用迁移 巩固提高练习：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形。

即已知CD 是△ABC 的AB 边上的中线，且CD =12AB 。

求证：△ABC 是直角三角形。

提示：倒推法，要证明△ABC 是直角三角形，只有通过定义和判定定理，定义与判定定理都与角有关系。

现在我们只有边的关系，我们学过的边与角能联系起来的就是等腰三角形。

还要找到与90°有关的角，但是我们只知道三角形的内角和为180°。

1.基础知识巩固：
-请同学们完成课本第chapter页的练习题1-5，重点关注勾股定理及其逆定理的应用。
-选择两道与直角三角形判定方法相关的题目进行解答，要求写出详细的解题过程。
2.实践应用题：
-结合生活实际，找出两个含有直角三角形的场景，并简要说明直角三角形在其中的作用。
-尝试运用勾股定理解决实际距离或高度测量问题，要求列出解题步骤和最终答案。
3.提高拓展题：
-完成“拓展延伸”部分第1、2题的解答，培养学生的逻辑思维和空间想象力。
-针对本节课学到的直角三角形知识，编写一道具有挑战性的题目，与同学进行交流分享。
4.小组合作任务：
-以小组为单位，共同探讨直角三角形在实际生活中的应用，并以PPT或手抄报形式进行展示。
-小组讨论并总结直角三角形判定方法的要点，将讨论成果以书面形式提交。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发他们学习数学的热情。
2.培养学生严谨、认真的学习态度，使他们养成勤奋好学的学习习惯。
3.通过直角三角形的学习，引导学生体会数学在生活中的应用，增强他们的数学意识。
4.培养学生面对困难时，勇于挑战、积极进取的精神风貌。
教学设计：
1.导入：通过生活中的实例，如建筑物的直角、三角形标志等，引起学生对直角三角形的关注，激发他们的学习兴趣。
5.反思与总结：
-完成本节课的学习反思，总结自己在课堂上的收获和不足，以及对直角三角形知识点的认识。
-撰写一篇关于直角三角形学习心得的短文，与同学和老师分享。
作业要求：
1.作业应在规定时间内完成，书写工整、清晰，解答过程要求简洁明了。
2.鼓励同学们在完成作业时积极思考，主动请教同学和老师，提高解决问题的能力。

第1章直角三角形1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第1课时勾股定理【知识与技能】1.让学生体验勾股定理的探索过程.2.掌握勾股定理.3.学会用勾股定理解决简单的几何问题.【过程与方法】经历操作、归纳和猜想，用面积法推导作出肯定结论的过程，来了解勾股定理.【情感态度】了解我国古代数学家发现、推导和应用勾股定理中的贡献与成就，增进爱国主义情感，体验探索发现的过程和知识运用，增强学习数学的自信.【教学重点】勾股定理【教学难点】勾股定理的应用一、创设情境，导入新课问题向学生展示国际数学大会（ICM——2002）的会标图徽，并简要介绍其设计思路.可以首次提出勾股定理.【教学说明】激发学生爱好数学的情感和学习勾股定理的兴趣，调动他们的积极性.教师讲课前，先让学生完成预习.二、思考探究，获取新知勾股定理的验证做一做：教材第9页“做一做”【教学说明】通过测量，学生自主探究，对于直角三角形这一性质有个初步了解.议一议：教材第9页“议一议”【教学说明】引导学生计算，让学生进一步体会探索勾股定理的过程，并对勾股定理拓展应用，进一步体会数形结合的思想.想一想：教材第10页“探究”【教学说明】通过拼图活动，充分调动学生的思维，进一步激发学生的求知欲望，同时加深了学生对新知识的理解.例：教材第11页例1【教学说明】学生初步运用勾股定理解决问题，能够学以致用.三、运用新知，深化理解1.若Rt△ABC中，∠C=90°，且c=37，a=12，则b的值为（）A.50B.35C.34D.262.一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）A.4B.8C.10D.123.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB 于D，求CD的长.4.已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2.求证：AB=BC.【教学说明】由学生独立完成，加深对所学知识的理解和运用，对于有困难的学生教师给予点拨，及时调整教学中的缺漏并加以强化，在完成上述题目后，学生自主完成练习册中本课时的对应训练部分.答案：1.B 2.C3.解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∴由勾股定理有AC2=AB2-BC2=52-32=16，∴AC=4.又∵S△ABC=1/2AB·CD=1/2AC·BC,∴CD=AC·BC/AB=12/5(cm)4.证明：连接AC，∵∠ABC=90°，∴AB2+BC2=AC2.∵CD⊥AD，∴AD2+CD2=AC2.∵AD2+CD2=2AB2，∴AB2+BC2=2AB2，∴AB=BC.四、师生互动，课堂小结本节课你学到了什么知识？同学们还存在哪些困惑？【教学说明】让学生畅所欲言，使学生概括能力、语言表达能力进一步得到提高，完善了学生对知识的梳理.1.布置作业：习题1.2中的第1、4题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第2课时勾股定理的实际应用【知识与技能】1.勾股定理从边的方面进一步刻画直角三角形的特征，学生将在原有的基础上对直角三角形有更深刻的认识和理解.2.掌握直角三角形三边关系——勾股定理及直角三角形的判别条件——勾股定理的逆定理.【过程与方法】1.放手学生从多角度地了解勾股定理.2.提高学生亲自动手的能力.【情感态度】1.学会运用勾股定理来解决一些实际问题，体会数学的应用价值.2.尽可能的给学生提供有关勾股定理的材料，给予交流的机会，并在与他人交流的过程中，敢于发表不同的见解，在交流活动中获得成功的体验.【教学重点】应用勾股定理有关知识解决有关问题.【教学难点】灵活应用勾股定理有关知识解决有关问题.一、创设情境，导入新课问题勾股定理的内容是什么？它揭示了直角三角形三边之间的关系，今后我们来看看这个定理的应用.【教学说明】教师创设问题，有针对性地复习了勾股定理，对本节课的应用勾股定理解决实际的问题打下了坚实的基础.教师讲课前，先让学生完成预习.二、思考探究，获取新知问题勾股定理的应用思考教材第12页“动脑筋”【教学说明】提出问题，提供学生参与数学活动的时间与空间，调动学生的观察能动性，引导学生建立数学模型，提高学生分析问题、解决问题的能力.例：教材第12页例2【教学说明】以古代的数学问题为背景，一方面及时巩固勾股定理的运用，另一方面让学生感受到数学文化.三、运用新知，深化理解1.直角三角形中已知其中的两条边长是4和5，则第三条边等于（）A.3B.41C.3或41D.无法确定2.在Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b，∠B=90°.①已知a=5,b=12，求c;②已知a=20,c=29,求b.3.如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所能走的最短路线的长度.【教学说明】由学生独立完成，以加深对知识的理解和运用，便于了解学生掌握情况，给有困难的学生给予指导，及时纠正他们出现的错误，并改正强化，在完成上述题目后，教师引导学生完成练习册中本课时的对应训练部分.答案：1.C3.解：将曲面沿AB展开，如图，过C作CE⊥AB于E，在Rt△ECF 中，∠E=90°，EF=18-1-1=16（cm），CE=1/2×60=30（cm），由勾股定理，得CF=223016+=34（cm）+=22CE EF四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，给同学们谈谈你的收获是什么？你认为自己还在哪些问题上存在疑问?与大家共同交流.【教学说明】学生自已总结归纳加深印象.引导学生进一步掌握解决实际问题的关键是抽象出相应的数学模型.1.布置作业：习题1.2中的第5、9题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第3课时勾股定理的逆定理【知识与技能】1.探索并掌握直角三角形判别的方法——勾股定理逆定理.2.会应用勾股逆定理判别一个三角形是否是直角三角形.3.通过三角形三边的数量关系来判断它是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想.【过程与方法】通过“创设情境——实验验证——理论释意——应用”的探索过程，让学生感受知识的乐趣.【情感态度】1.通过合作交流学习的发展体验获取数学知识的感受.2.通过对勾股定理逆定理的探究，激发学生学习数学的兴趣和创新精神.【教学重点】理解和应用直角三角形的判定方法.【教学难点】理解勾股定理的逆定理.一、创设情境，导入新课问题据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处.【教学说明】利用古埃及人画直角的方法，让学生体验从实际问题中发现数学，同时明确了本节课所研究的问题，既进行了数学史的教育，又锻炼了学生观察探究的能力，激发了他们渴求知识的欲望，教师讲课前，先让学生完成预习.二、思考探究，获取新知问题勾股定理的逆定理的证明探究教材第14页“探究”【教学说明】让学生有充分的探究、讨论的空间，体会逆定理的发生、发展、形成的过程，让学生亲身体验成功的喜悦，再次感受到数形结合的思想方法的应用.勾股定理的应用例：教材第15页例3、例4 【教学说明】加深对勾股定理逆定理的理解，并能初步的应用逆定理.三、运用新知，深化理解1.下列命题中是假命题的是（）A.△ABC中，若∠B=∠C-∠A，则△ABC是直角三角形B.△ABC中，若a2=(b+c)(b-c)，则△ABC是直角三角形C.△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则△ABC是直角三角形D.△ABC中，若a∶b∶c=5∶4∶3，则△ABC是直角三角形2.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为__________，此三角形的形状为________.3.若a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判定这个三角形的形状.4.探险队里的A组由驻地出发，以12km/h的速度前进，同时，B 组也由驻地出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2小时后同时停下来，这时A、B两组相距30km，那么A、B两组行驶的方向成直角吗？说明理由.【教学说明】由学生自主完成，考验学生学习过程中存在的问题，适时给予引导、点拨，并有针对性地加强训练.在完成上述题目后，让学生完成练习册中本课时的对应训练部分.答案：1. C 2. 6，8，10；直角三角形3.∵a2c2-b2c2=a4-b4,∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),当a2-b2=0时，即（a+b）(a-b)=0，因为a>0,b>0，所以a+b≠0,a-b=0,即a=b，此时为等腰三角形，当a2-b2≠0时，则有c2=a2+b2,根据勾股定理的逆定理此时为直角三角形.综上可得这个三角形的形状为等腰三角形或直角三角形.4.∵（12×2）2+（9×2）2=30∴A，B两组行驶方向成直角.四、师生互动，课堂小结通过学习，你能判断一个三角形是否为直角三角形吗？还有哪些困惑？请与同学们共同操作.1.布置作业：习题1.2中的第2、8题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.。

湘教版数学八年级下册1.2.2课时教学设计课题直角三角形的性质与判定单元 1 学科数学年级八学习目标情感态度和价值观目标体会从“一般到特殊”的思维方法和“逆向思维”方法，培养逆向思维能力。

能力目标发展有条理思考和有条理表达的能力，通过实际问题的解决让学生体会数学的应用价值知识目标运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题重点能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题难点能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题学法自主探究，合作交流教法多媒体，问题引领教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走出了一条“路”，仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草。

（假设1m为2步）这种做法不可取学生解答问题培养学生爱护环境的意识。

讲授新课例1、如图，电工师傅把4m长的梯子靠在墙上，使梯脚离墙脚的距离为1.5m，准备在墙上安装电灯.当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m.那么，梯子顶端是否往上移动0.5m 呢？分析：如图，在 Rt△ABC 中，计算出 AB；再在 Rt△A′BC′中，计算出 A′B，则可得出梯学生思考，将实际问题转化为几何问题，并进行解答增强学生自己解决问题的能力。

子往上移动的距离为（A′B- AB）m.解：在△ABC中，AC=4，BC=1.5，由勾股定理得：在Rt△A’BC’中，A’C’=4，BC’=1，故，从而A′A=3.87-3.71=0.16.即梯子顶端A只向上移动了0.16m，而不是移动0.5m.练习：一个门框尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？例2、“引葭(jia)赴岸”是《九章算术》中一道题“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺,引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”学生解答练习题进行巩固通过此题的解答，充分调动学生动脑的积极性，培养学生发散思维。

八年级数学下教案陈敏第一章直角三角形§1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）（第1课时）教学目标：1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理。

2、掌握“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”定理。

3、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。

教学过程：一、复习提问：（1）什么叫直角三角形？（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质?二、新授（一）直角三角形性质定理1请学生看图形：1、提问：∠A与∠B有何关系？为什么？2、归纳小结：定理1：直角三角形的两个锐角互余。

3、巩固练习：练习1（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= 。

练习2 在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有（2）与∠A相等的角有。

（3）与∠B相等的角有。

（二）直角三角形的判定定理11、提问：“在△ABC中，∠A +∠B =900那么△ABC是直角三角形吗？”2、利用三角形内角和定理进行推理3、归纳：有两个锐角互余的三角形是直角三角形练习3:若∠A= 600，∠B =300，那么△ABC是三角形。

（三）直角三角形性质定理2归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三、巩固训练：练习4：在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。

练习5：已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中点。

求证：（1）ED=EB(2)∠EBD=∠EDB（3）图中有哪些等腰三角形？练习6 已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，M是BC的中点。

如果连接DE,取DE的中点O,那么MO与DE有什么样的关系存在?四、小结：这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理和一条判定定理？1、2、3、五、课后反思：§1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）（第2课时）一、教学目标：1、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。