6.4数据的离散程度(第2课时)

已知三组数据1、2、3、4、5；11、12、13、14、15 和3、6、9、12、15。 1、求这三组数据的平均数、方差和标准差。
平均数 方差 2 标准差 2
1、2、3、4、5 11、12、13、14、15
3、6、9、12、15
3
13
9
2
18 3
2
2
2、对照以上结果，你能从中发现哪些有趣的结论？
想看一看下面的问题吗？
-5 2. 某日最高气温是4 ℃, 温差是 9 ℃,则最低气温是＿＿＿ ℃. 7 或 -3 3.数据 1 , 2 , 3 , x 的极差是 6 ,则 x =＿＿＿＿＿.
方差和标准差
教练的烦恼
甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲命中环数 乙命中环数
7 10
8 6
时间
北京 这一天两地的温差分别是: 北京 安庆 24-10=14℃ 25-20=5℃
安庆
某时段内气温的最高值与最低 值的差叫做温差。温差是一种 极差，常用它来反映一天、一 月、一年的气温变化幅度。
2.在2004年雅典奥运会上我国选手郭晶晶，吴敏霞和俄 罗斯选手帕卡琳娜 分获女子3米板单人比赛的前3名。他 们在决赛中的五组动作得分情况如下：
S=
计算一组数据的方差的一般步骤： 1、利用平均数公式计算这组数据的平均数X 2、利用方差公式计算这组数据的方差S2
1 [ (x1-x)2+(x2-x)2+ n
+(xn-x)2 ]
8 10
8 6
9 8
⑴ 请分别计算两名射手的平均成绩；
⑵ 请根据这两名射击手的成绩在 下图中画出折线统计图； ⑶ 现要挑选一名射击手参加比

方差是一组数据中各个数据与平均数之差的
平方的平均数.
1 2 2 2 s [( x1 x) ( x2 x) ( xn x) ], n
2
2是方差. 其中， 是 x ,x ,x ,„„的平均数， s 1 2 3 x
标准差是方差的算术平方根 S.
例：计算下列各组数的方差及标准差. （ 1 ） 2 ， 3 ， 3， 5， 7 （ 2 ） 3 ， 4 ， 4， 6， 8 （3）4，6，6，10，14 （ 4 ） 5 ， 5 ， 5， 5， 5 小结1：每个数据加（减）相同的数，方差不变， 标准差不变。 小结2：每个数据都扩大（缩小）a倍，方差将 扩大（缩小）a2倍。标准差扩大（缩小）a倍。
1．甲、乙两个样本，甲的样本方差是2.15，乙的样本方差 是2.21，那么样本甲和样本乙的波动大小是( )． （A）甲、乙的波动大小一样 （B）甲的波动比乙的波动大 （C）乙的波动比甲的波动大 （D）无法比较 ２．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株高度后，计 算出样本方差分别为11，3.4，由此可以估计（ ）。 （A）甲比乙种水稻整齐 （B）乙种水稻比甲种水稻整齐 （C）整齐程度相同 （D）甲、乙两种水稻整齐程度不能比
79 78 77 76 75 74 73 72 71 0 5 10 甲厂 15 20 25
82 80 78 76 74 72 70 0 5 10 乙厂 15 20 25
（4） 如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应该 购买哪个厂的鸡腿？为什么呢？
79 78 77 76 75 74 73 72 71 0 5 10 甲厂 15 20 25
如果丙厂也参与了竞争，从该厂也抽查20只鸡腿，
80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 0 5 10 丙厂 15 20

(4)历届比赛表明，成绩达到596cm就很可能 夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？ (5)如果历届比赛表明，成绩达到610cm就能 打破记录，你认为为了打破记录应选谁参加 这项比赛？
议一议
解:(1)甲的平均成绩是：601.6cm， 乙的平均成绩是599.3cm；
(2)甲的方差是65.84， 乙的方差是284.21；
议一议
某校从甲、乙两名优秀选手中选一名选手参加 全市中学生运动会跳远比赛。该校预先对这两名 选手测试了10次，测试成绩如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选手甲的成绩(cm) 585 596 610 598 612 597 604 600 613 601 选手乙的成绩(cm） 613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
练一练
1.甲、乙、丙三人的射击成绩如下图：
环数 10
8 6 4 2 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 乙 丙
次数
三人中，谁射击成绩更好，谁更稳定？ 你是怎么判断的？
练一练
2.某校从甲乙两名优秀选手中选一名选手参加全 市中学生田径百米比赛 (100米记录为12.2秒，通 常情况下成绩为12.5秒可获冠军)。该校预先对这 两名选手测试了8次，测试成绩如下表：
做一做
探索用计算器求下列一组数据的标准差： 98 99 101 102 100 96 104 99 101 100
请你使用计算器探索求一组数据的标准 差的具体操作步骤。
用计算器求下列一组数据的标准差的 步骤（以CZ1206为例）： 1.进入统计计算状态，按 2ndf STAT； 2.输入数据 然后按 DATA，显示的结果 是输入数据的累计个数。 3.按σ即可直接得出结果．

(xn－ x )2].
【例1】已知两组数据分别为：
甲：42,41,40,39,38；
乙：40.5,40.1,40,39.9,39.5.
计算这两组数据的方差.
1 解 x甲 ＝ ×(42＋41＋40＋39＋38)＝40， 5 1 2 s甲 ＝ 5 ×[(42－40)2＋…＋(38－40)2]＝2. 1 x乙 ＝ 5 ×(40.5＋40.1＋40＋39.9＋39.5)＝40， 1 2 ＝ ×[(40.5－40)2＋…＋(39.5－40)2]＝0.104. s乙 5
2 .
3. 当两组数据个数相等，平均数相等或接近时，用
方差可以比较其波动大小及稳定性，方差较大的数据波 动 动
较大 ，稳定程度
较小 ，稳定程度
低
高
；方差较小的数据波 .
4. 在一次体检中，测得某小组5名同学的身高(单 位：cm)分别是170,162,155,160,168，则这组数据的 极差是 15 cm.
举一反三 已知一组数据：－1，x,0,1，－2的平均数是0，那
么，这组数据的方差是( B )
A.
2
B.2
C.4
D.10
新知 2
标准差
标准差就是方差的算术平方根. 【例2】计算下列一组数据的极差、方差及标准差.(精 确到0.01) 50 解 55 96 98 65 100 70 90 85 100
的数值. 故选B.
答案
B
6.4
数据的离散程度
学习目标
1. 通过实例，知道描述一组数据的分布时，除了关 心它的集中趋势外，还需要分析数据的波动大小. 2. 了解数据的离散程度的意义.
课前预习
1.能够刻画一组数据波动大小的统计量是( D ) A.平均数 B.众数 C.中位数 2 D.方差 ，标准差

4.五个数1，3，a，5，8的平均数是4，则a =__3___，这五 个数的方差__5_.6__.
5.为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞 赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行10次测验，成 绩（单位：分）如下：
甲的 成绩
76
84
90
84
81
87
88
81
85
84
乙的 成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78
学习目标
1．知道极差、方差、标准差的概念． 2．会求一组数据的极差、方差、标准差， 并会用它们表示数据的离散程度．
导入新知
为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对 农副产品的规格进行了划分.
某外贸公司要出口一批规格为75 g的鸡腿，现有2个 厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿品质相近. 质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿， 质量（单位：g）如下： 甲厂：75 74 74 76 73 76 75 77 77 74
【归纳结论】
数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差刻画．
方差(variance)是各个数据与平均数差的平方的平均数，
即 s2
1 n
x1 x
2
2
x2 x
xn x
2
其中，x 是x1，x2，…，xn的平均数，s2是方差． 而标准差(standard deviation)就是方差的算术平方根．
s乙2 18 ，s甲2 24 ，则成绩较为稳定的班级是（ B ）
A.甲班
B.乙班
C.两班成绩一样稳定
D.无法确定
2.在样本方差的计算公式
s2
1 10
( x1
20)2

如果丙厂也参与了竞争，从该厂也抽查20只鸡腿，
80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 0 5 10 丙厂 15 20 25
平均数:
x 丙 75( g )
极差: 79 72 7( g )
（1）丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？
(2)如何刻画丙厂这20只鸡腿质量与其平均数的差 距？分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与其平均 数的差距.
(3)在甲、丙两厂中你认为哪个厂的鸡腿质量更符合 要求?为什么？
数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准 差来刻画.
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数,
即
1 s x1 x n
2


2
x2 x

2

xn x
2


其中， x 是x1,x2,……，xn的平均数，s2是方差，而 标准差就是方差的算术平方根.
2
计算可得： 小明5次测试成绩的标准差为 1.84； 小兵5次测试成绩的标准差为 3.04.
所以根据结果小明的成绩比较稳定
求一组较大数据的方差，有如下简便计算方法 ： 1
任取一个基准数a 2 将原数据减去a，得到一组新数据 3 求新数据的方差
方法拓展
使用计算器说 明： 1. 不同品牌的计算器的操作步骤有所不同，
个体的变化情况.从图中看,甲厂的产品更符合要求.
归纳总结
现实生活中，除了关心数据的“平均水平”
外，人们还关注数据的离散程度，即它们相对于
平均水平的偏离情况.极差就是刻画数据离散程 度的一个统计量. 极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.
极差越大,偏离平均数越大,产品的质量(性能)越不稳定.

15 6.76
14 2.56
11 1.96
求平方和 9.2 15.2
S 2 1 [ ( x - x ) 2 ( x - x ) 2 ( x - x ) 2 ( x - x ) 2 ( x - x ) 2 ]
51
2
3
4
5
计算可得：
小明5次测试成绩的标准差为 1.84；
小兵5次测试成绩的标准差为 3.04.
80
79
78
77 76
平均数: x丙 75(g)
75
74 73
极差: 79 72 7( g )
72
71
0
5
10
15
20
25
丙厂
（1）丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？
(2)如何刻画丙厂这20只鸡腿质量与其平均数的差距？分别求出甲、 丙两厂的20只鸡腿质量与其平均数的差距.
(3)在甲、丙两厂中你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求?为什么？
数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差来刻画.
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数,
即 s 2 1 n x 1 x 2 x 2 x 2 x n x 2
其中，是xx1,,x2,……，xn的平均数，s2是方差，而标准差就是方差
的算术平方根.
一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小,这组数据就越稳定 .
某外贸公司要出口一批规格为75 g的鸡腿，现有2 个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿品质相近.
质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，质量 （单位：g）如下： 甲厂：75 74 74 76 73 76 75 77 77 74
74 75 75 76 73 76 73 78 77 72 乙厂：75 78 72 77 74 75 73 79 72 75

80
79
78
77 76
平均数: x丙 75(g )
75
74 73
极差: 79 72 7( g )
72
71
0
5
10
15
20
25
丙厂
（1）丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？
(2)如何刻画丙厂这20只鸡腿质量与其平均数的差距？分别 求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与其平均数的差距.
(3)在甲、丙两厂中你认为哪个厂的鸡腿质量更符合 要求?为什么？
80 71 76 77 73 78 71 76 73 75
79 78 77 76 75 74 73 72 71
0
82
80
78
76
74
72
70
5
10
15
20
25
0
甲厂
5
10
15
20
25
乙厂
(1)你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取的鸡腿的
平(2均)在质图量中吗画？出表示平均质量的直线. 解：(1)甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量大约是75g；
次测试成绩如下表所示.谁的成绩较为稳定？为什么？
测试次数 1
2
3
4
5
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（2）甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量都是75g；
79 78 77 76 75 74 73 72 71
0
81
80
79
78
77
76
75
74
73
72
71
70
5
10
15
20
25 0
甲厂
5
10
15
20
25
乙厂
(3)从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少？最小值又 是多少？它们相差几克？乙厂呢？
（3）甲厂：最大值78g，最小值72g，相差6g；
情境引入
我们知道，接受检阅的仪仗队必须精挑细选，整齐划一， 所以特注重队员的身高．下面有两组仪仗队，准备抽取其中 一组参与检阅．已知这两组仪仗队队员的身高（单位：cm） 如下：
甲队
乙队
甲队 178 177 179 178 178 177 178 178 177 179 乙队 178 177 179 176 178 180 180 178 176 178
极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.
极差大,偏离平均数越大,产品的质量(性能)越不稳定.
如果丙厂也参与了竞争，从该厂抽样调查了20只 鸡腿，数据如下图所示：
质量/g
80
79
78
77
76
75
74
73
72
71
0
5
质量/g
79
78
77
76
75
74
73
72
71
10
15
20
25
丙厂
0
5
10 甲厂15
20
质量/g