九年级上 第二章 数据的离散程度讲学稿

数据的离散程度【教学内容】本节课共有两课时，主要让学生在具体的情境中，逐渐理解极差、方差、标准差等概念及其计算方法，领悟极差、方差、标准差都是刻画一组数据的离散程度，理解一组数据的稳定性与极差、方差、标准差等数值的大小相关。

【课时安排】2课时【教学重点】会计算某些数据的极差、标准差和方差。

【教学难点】理解数据离散程度与三个“差”之间的关系。

【第一课时】【教学目标】本节课在学生在有了初步的统计意识，并能对数据进行相应的处理和分类的基础上，又安排学生怎样对数据进行分析，力图使学生在统计意识和方法上再上一个台阶。

通过对现实生活中的某外贸公司对几个不同的厂家鸡腿的质量进行分析，引出极差、方差、标准差等相关概念，从而培养学生的统计应用能力。

因此，本节课的目标为：1．知识与技能：了解刻画数据离散程度的三个量度极差、标准差和方差，能借助计算器求出相应的数值。

2．过程与方法：经历表示数据离散程度的几个量度的探索过程，通过实例体会用样本估计总体的统计思想，培养学生的数学应用能力。

3．情感与态度：通过小组合作活动，培养学生的合作意识；通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的密切联系。

【教学过程】注意事项：教师要及时对学生的学习情况进行评价。

（四）课堂小结内容：引导学生用“我知道了……”，“我发现了……”，“我学会了……”，“我想我以后将……”语言小结方差和标准差的运用。

目的：发挥学生的主观能动性，培养学生归纳总结知识的能力。

注意事项：在发挥学生的主观能动性的同时，不要忽略教师的主导作用。

【作业布置】课本习题3.5的第1、2、3题。

【教学反思】方差与标准差都是用来衡量一个样本波动大小的统计量，对一组数据的变化情况起着至关重要的作用。

因此，在教学中，对于如何引入这两个基本概念可采用灵活多变的方法，切忌将这些概念与公式直接教给学生，要让学生在体会仅有平均水平还难以准确地刻画一组数据时，使学生的现有知识与现实矛盾产生碰撞时而产生一种急于解决问题的心情，从而探索出这两个概念，使学生在解决实际问题的过程中认识到“波动状况”的意义和影响，形成一定的统计意识和解决问题的能力，进一步体会数学的应用价值。

初中数学知识归纳统计数据的集中趋势和离散程度统计学是一门研究数据收集、处理、分析和解释的学科，它在生活中的应用非常广泛。

在统计学中，我们常常需要描述数据的集中趋势和离散程度。

本文将介绍几种常见的数据集中趋势和离散程度的统计量以及它们的含义和计算方法。

一、数据的集中趋势数据的集中趋势是指一组数据向某个中心值靠拢的趋势。

常用的统计量有均值、中位数和众数。

1. 均值（Mean）均值是指一组数据的总和除以数据的个数。

它是最常用的集中趋势统计量，用于表示数据的平均水平。

计算均值的方法是将所有数据相加，然后除以数据的个数。

2. 中位数（Median）中位数是指一组数据中处于中间位置的值。

当数据集的个数为奇数时，中位数就是数据排序后的中间值；当数据集的个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均值。

计算中位数的方法是将数据从小到大排序，然后找到中间位置的值。

3. 众数（Mode）众数是指一组数据中出现次数最多的数值。

一个数据集可能有一个或多个众数，也可能没有众数。

计算众数的方法是统计每个数值出现的频数，然后找到频数最大的数值。

二、数据的离散程度数据的离散程度是指一组数据的分散程度或波动程度。

常用的统计量有极差和标准差。

1. 极差（Range）极差是指一组数据的最大值与最小值之间的差值。

它是最简单的离散程度统计量，可以直观地反映数据的变化范围。

计算极差的方法是将最大值减去最小值。

2. 标准差（Standard Deviation）标准差是指一组数据偏离平均值的程度。

它通过计算每个数据与均值的差的平方，并求平均值来衡量数据的离散程度。

标准差越大，数据的离散程度越大。

计算标准差的方法包括计算均值、计算每个数据与均值的差的平方，并求平均值再开方。

三、应用举例现在我们来举两个实际问题的例子，通过计算集中趋势和离散程度的统计量来分析数据。

例1：小明的五次数学考试成绩分别是85、92、88、79和90，求这五次考试成绩的均值、中位数、众数、极差和标准差。

第1页 共1页 第二章数据的离散程度复习教学案
知识点回顾
1．极差计算公式：
2． 一组数据，极差大，离散程度___；极差小，离散程度____；所以离散程度的大小与极差的大小是_____的3．方差的公式：
4．标准差的公式： 6．方差和标准差的意义
方差（或标准差）越小，这组数据的离散程度（即波动大小）就越 ，这组数据就越 。

两组数据比较时，一组数据的极差大，这组数据的方差（或标准差）不一定．．．
就大！ 知识巩固
1． 已知样本9.9、10.3、10.3、9.9、10.1，则样本极差是（ ）
A. 0.4
B.16
C.0.2
D.无法确定
2． 5，7，3，1，2的平均数为 ；中位数为 ；极差为 ；
3．数据0，-1，6，1，x 的众数为1-，则这组数据的方差是
4．若一组数据2，4，x ，6，8的平均数是6，则这组数据的方差是
5．若一组数据1x , 2x ，… , n x 的平均数是3方差为9，则数据2x 1 , 2x 2, 2x 3 … 2x n 平均数是 方差为 ;那么数据321-x ，322-x ，…，32-n x 的平均数是 ;方差是_______．标准差是 ;
6．甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：厘米）如下：
甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179；
乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180；
（1）将下表填完整：
（2）甲队队员身高的平均数为 厘米，乙队队员身高的平均数为 厘米；
（3）你认为哪支仪仗队更为整齐？简要说明理由．。

第二章数据的离散程度小结与思考目标与方法1．会求一组数据的极差、方差与标准差,•并会用它们表示这组数据的离散程序．2．在理解极差、方差与标准差意义的基础上,•对生活中的某些数据发表自己的看法,做出合理的判断和预测,解决一些实际问题,培养统计意识,提高数据处理能力．基础与巩固1．当两组数据的个数相等、平均数相等或接近时,•用方差和标准差可以比较其离散程序及稳定性．一般来说,一组数据的方差或标准差越大,这组数据离散程序越______,这组数据就越_______．2．数据0,1,3,2,4的极差为_______,方差为_______,标准差为________．3．下表是某地2005年2月上旬与2006年2月上旬的每日最高气温（单位：℃）．根据表中数据回答问题：（1）2005年2月上旬日最高气温的极差是_______,2006年2•月上旬日最高气温的极差是_______．由此可见,______年2月上旬日最高气温变化较大；（2）2005年2月上旬日最高气温的平均数是______,2006年2月上旬日最高气温的平均数是_______；（3）2005年2月上旬日最高气温的方差是______,2006年2月上旬日最高气温的方差是_______,由此可见,______年2月上旬日最高气温较稳定．4．甲、乙两名同学在几次测验中,甲、乙的平均分数都为86分,•甲的方差为0、61,•乙的方差为0、72,•请你根据以上数据对甲、••乙两名同学的成绩作出评价：______________．5．已知x1,x2,x3的标准差是2,数据2x1+3,2x2+3,2x3+3的方差是________．6．为了判断甲、乙两组学生英语口语测验成绩哪一组比较整齐,•通常需要知道两组成绩的（）．A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数7．某市农科所为了考查甲、乙两种水稻秧苗的长势,从中分别抽取了10株水稻,测得它们的株高如下（单位：cm）：甲：9,14,12,16,13,16,10,10,15,15；乙：11,11,15,16,13,10,12,15,13,14．试计算这两个样本的平均数、极差、方差和标准差（精确到0、1）,•并估计哪种水稻秧苗的长势比较整齐．拓展与延伸8．某校要从王明和李军两名同学中挑选一人参加竞赛,他们在最近的5次选拔测试中的成绩分别如下表：根据表中数据解答下列问题：（1（2）在这5次测试中,成绩比较稳定的同学是谁？若将80分以上（含80分）的成绩视为优秀,王明、李军在这5次测试中的优秀率各是多少？（3）历届竞赛表明,成绩达到80分以上（含80分）就很可能获奖,成绩达到90•分以上（含90分）就很可能获得一等奖,你认为应选择谁参加竞赛比较合适？说明你的理由．答案:1．大,不稳定 2．．（1）16℃,7℃,2005；（2）12℃,12℃；（3）20、75,4,2006．4．两名同学成绩的平均水平相当,但甲同学的成绩比乙同学稳定．5．16 6．B7．甲、乙两种水稻秧苗长势的平均数均为13cm；极差甲为7cm,乙为6cm；•方差甲为6、2cm2,乙为3、6cm2；标准差甲约为2、5cm,乙约为1、9cm；乙种水稻秧苗的长势比较整齐．8．（1）（2）在这5次考试中,成绩比较稳定的是李军,王明的优秀率为40%,李军的优秀率为80%；（3）方案一：我选择李军去参加比赛,因为李军的优秀率高,有4次得80分,成绩比较稳定,获奖机会大．方案二：我选择王明去参加比赛,因为王明的成绩获得一等奖的几率比较高,有2次90分以上（含90分）,因此有可能获得一等奖．。

第二章 数据的离散程度 数学活动活动目标1．经历数据的收集、加工与整理的过程，发展统计意识和数据处理能力．2．培养运用操作能力和互相配合的协作精神．活动主题脉搏是由心脏的收缩使血液通过动脉所产生的节律性搏动．一般情况下，脉搏的次数与强弱和心搏次数、心股收缩力一致，故计数脉搏即代表心率．脉搏搏动的快慢和强弱，与体质、活动、疾病等有关．你知道你和其他同学的脉搏情况吗？请你做一个调查，了解你们班同学的脉搏情况．活动过程3个人组成一组进行工作：一人记作（以1min 为计时单位）， 一人按住脉搏计数，一人收集数据．然后把全班同学的数据汇总起来，计算出这些数据的平均数、极差和方差，并将这些数据制成频数分布直方图．注意事项：测量脉搏前让同学安静，取坐或卧坐．测量脉搏一般是测量手腕拇指侧桡动脉为多（中医常在此诊脉），检查者用食指、中指和无名指并拢按住脉搏动处，以指尖触诊．活动评价活动名称测量脉搏活动时间参与人员在测量过程中遇到了什么困难？如何解决的？在活动过程中，你运用了什么数学知识和思想方法？ 在活动过程中，你是怎样与同学交流的？发表了哪些意见？自我评价你参加本次活动的最大感受、收获是什么？同学或小组评价老师评语后花园妙趣角 6 174猜想1955年，卡普耶卡（D．R．Kaprekar）研究了对四位数的一种变换：任意给出四位数k0，用它的4个数字由大到小重新排列成一个四位数m，再减去它的反序数rev（m），得出数k1=m-rev（m），然后继续对k1重复上述变换，得出数k2．如此进行下去，卡普耶卡发现， 无论k0是多大的四位数，只要4个数字不全相同，最多进行7次这样的变换，就会出现四位数6 174．例如：k0=5 298，k1=9 852-2 589=7 263，k2=7 632-2 367=5 265，k3=6 552-2556=3 996，k4=9 963-3 699=6 264，k5=6 642-2 466=4 176，k6=7 641- 1 467= 6174．后来，这个问题就流传下来，人们称这个问题为“6 174问题”，上述变换称为卡普耶卡变换，简称K变换．一般地，只要在0，1，2，…，9中任取4个不全相等的数字组成一个整数k0（不一定是四位数），然后从k0开始不断地做K变换，得出数k1，k2，k3……则必有某个m（m≤7），使得k m=6 174．如果从0，1，2，…，9中任取n个不全相同的数字组成一个十进制数k0（不一定是n位数），然后，从k0开始不断地做K变换，得出k1，k2，……那么结果会是怎样的呢？ 现在已经知道的是：n=2，只能形成一个循环：（27，45，09，81，63）．例如取两个数字7与3， 连续不断地做K变换，得出：36，27，45，09，81，27……出现循环．n=3，只能形成一个循环：（495）．n=4，只能形成一个循环：（6 174）．n=5，已经发现三个循环：（53 855，59 994）；（62 964，71 973，83 952，74 943），（63 954，61 974，82 962，75 933）．n=6，已经发现三个循环：（642 654，…），（631 764，…），（549 945，…），n=7，已经发现一个循环：（8 719 722，…）．n=8，已经发现四个循环：（63 317 664），（97 508 421），（83 208 762，…）， （ 86 308 632，…）．n=9，已经发现三个循环：（864 197 532），（975 296 421，…），（965 296 431，…）．答案:略.。

初三复习案：极差、方差与标准差——数据的离散程度【学习目标】 一. 教学内容： 数据的离散程度 二. 学习目标：1. 掌握极差的定义，了解极差反映一组数据的变化范围，能够通过极差的大小来判断一组数据的波动情况。

2. 了解衡量一组数据的波动大小除了平均数、极差外，还有方差、标准差、理解方差、标准差的定义，会计算一组数据的方差和标准差，了解样本的方差，样本标准差、总体方差的意义，会用简化的计算公式求一组数据的方差、标准差，会比较两组数据的波动情况。

三. 重点：极差的定义，方差、标准差的应用。

四、难点：会用极差的意义判断一组数据的波动情况，利用方差、标准差描述社会生活的方方面面，在实际运用时理解相关数据之间的规律。

【学习内容】 （一）知识要点知识点1：表示数据集中趋势的代表平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中平均数的应用最为广泛。

知识点2：表示数据离散程度的代表极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差。

极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。

知识点3：生活中与极差有关的例子 在生活中，我们经常用极差来描述一组数据的离散程度，比如一支篮球队队员中最高身高与最矮身高的差。

一家公司成员中最高收入与最低收入的差。

知识点4：平均差的定义在一组数据x 1，x 2，…，x n 中各数据与它们的平均数-x 的差的绝对值的平均数即T=|)x x ||x x ||x x (|n1n 21----+⋅⋅⋅+-+-叫做这组数据的“平均差”。

“平均差”能刻画一组数据的离散程度，“平均差”越大，说明数据的离散程度越大。

知识点5：方差的定义在一组数据x 1，x 2，…，x n 中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即S 2=])x x ()x x ()x x [(n12n 2221----+⋅⋅⋅+-+-来描述这组数据的离散程度，并把S 2叫做这组数据的方差。

初中数学什么是数据的离散程度如何判断数据的离散程度数据的离散程度是指数据集中观测值的分散程度或变异程度。

它可以帮助我们了解数据的集中趋势以及观测值与集中趋势之间的差异程度。

以下是判断数据的离散程度的几种常用方法：1. 极差（Range）：极差是最简单的度量数据离散程度的方法。

它是将数据集中最大值与最小值之间的差异量化。

极差越大，数据的离散程度越高。

然而，极差只考虑了最大值和最小值，忽略了其他观测值的分布情况。

2. 方差（Variance）：方差是衡量数据离散程度的常用方法。

它计算了每个观测值与数据集均值之间的差异的平方，并求平均值。

方差越大，数据的离散程度越高。

方差能够考虑数据集中所有观测值的分布情况，但它的计算结果是以观测值的平方为单位，不易理解。

3. 标准差（Standard Deviation）：标准差是方差的平方根。

它是衡量数据离散程度的常用方法，也是最常见的统计量之一。

标准差具有与原始观测值相同的单位，更易理解和解释。

标准差越大，数据的离散程度越高。

4. 变异系数（Coefficient of Variation）：变异系数是标准差与均值的比值，乘以100%。

它是衡量数据离散程度相对于均值的相对程度的方法。

变异系数越高，数据的离散程度相对于均值越高。

变异系数适用于比较不同数据集之间的离散程度，尤其是当数据集具有不同的均值时。

除了上述方法，还有其他一些统计量和图形可以用来判断数据的离散程度，如中位数绝对偏差、四分位极差和箱线图等。

总结起来，数据的离散程度是指数据集中观测值的分散程度或变异程度。

判断数据的离散程度的方法包括极差、方差、标准差和变异系数等。

这些方法能够帮助我们了解数据的集中趋势以及观测值与集中趋势之间的差异程度。

选择合适的方法要根据数据的性质和分布情况来决定。