立体几何小题练习(新)

word可编辑.. 立体几何小题练习 1 •某几何体的正视图和侧视图均为如图 1所示，则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的 是（ ）

A. （ 1），（3） B. （ 1）,（4）

2 .一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（

附视图 A. 2 二 2 ..3 B. 4- 2,3

D. 3•如图所示，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为 2的正方形，俯视图是一个直径为 2的 圆，那么这个几何体的体积为 （）

1512

C. （2）， （4） D.（ 1）,（ 2）, （3）,（4）

!|丨丨 卩 2 2 word可编辑.. 角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为（ A. 6 B.32 C.33 D.34 6•如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球 ） oq， 这两个球相外切，且球 0_!与正方体

B • 2 二 C. 4 二 D. 2 二 3 3

A. 4

二

5•已知集合 A」、5, B JI , 2 , c」.i

cm），则该棱锥的体积是

8 3 3, 4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直

共顶点A的三个面相切，球02与正方体共顶点 B

AAGC

上

的正投影是（ ） word可编辑..

7•设a , b是两条不同的直线， « , 0是两个不同的平面，则下面四个命题中错误 的是（）. a. 若 a _ b，a _ :-，b 二：，则

b//：

b. 若 a _ b，a _ :-，b」，则〉」：

c. 若 al ••，：£..『■，则 a/ /：或 a 二

d. 若 a//二，：；..『■，则

a -:

8 .在正方体 ABC& ABCD中，M是棱DD的中点，点0为底面ABCD勺中心，P为棱AB上任一点，则 异面直线0P与AM所成的角的大小为（ ） A. 30° B . 60° C .90° D . 120° 9 •圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3倍，母线长为3,圆台的侧面积为84二，则圆台较小 底面的半径为（ ） B . 6 C . 5 D. 3

高中数学立体几何专项练习题及答案一、选择题1. 下面哪个选项不是描述柱体的特点？A. 体积恒定B. 底面形状不限C. 侧面是矩形D. 顶面和底面平行答案：A2. 如果一个四面体的一个顶点的对边垂直于底面，那么这个四面体是什么类型？A. 正方形四面体B. 倒立四面体C. 锥体D. 正方锥体答案：C3. 以下哪个选项正确描述了一个正方体的特点？A. 全部面都是正方形B. 12 条棱长度相同C. 8 个顶点D. 6 个面都是正方形答案：D4. 若长方体的高度是 6cm，底面积是 5cm²，底面对角线长为 a cm，那么 a 的值为多少？A. √11B. √29C. √31D. √41答案：C二、填空题1. 一个正方体的棱长为 4cm，它的体积是多少？答案：64cm³2. 一个球的表面积是100π cm²，那么它的半径是多少？答案：5cm3. 一个圆柱体的底面半径为 3cm，高度为 8cm，它的体积是多少？答案：72π cm³4. 一个圆锥的底面半径为 6cm，高度为 10cm，它的体积是多少？答案：120π cm³三、计算题1. 一个四棱锥的底面是边长为 5cm 的正方形，高度为 8cm，它的体积是多少？答案：单位为 cm³，计算过程如下：首先计算底面积：5cm * 5cm = 25cm²再计算体积：25cm² * 8cm / 3 = 200cm³2. 一个圆柱体的底面直径为 12cm，高度为 15cm，它的体积是多少？答案：单位为 cm³，计算过程如下：首先计算底面半径：12cm / 2 = 6cm再计算底面积：π * 6cm * 6cm = 36π cm²最后计算体积：36π cm² * 15cm = 540π cm³3. 一个球的直径为 8cm，它的体积是多少？答案：单位为 cm³，计算过程如下：首先计算半径：8cm / 2 = 4cm再计算体积：4/3 * π * 4cm * 4cm * 4cm = 268.08π cm³4. 一个圆锥的底面半径为 10cm，高度为 20cm，它的体积是多少？答案：单位为 cm³，计算过程如下：首先计算底面积：π * 10cm * 10cm = 100π cm²最后计算体积：100π cm² * 20cm / 3 = 2000π cm³四、解答题1. 若一个长方体的长度、宽度、高度分别为 a、b、c，它的表面积为多少？答案：单位为 cm²，计算过程如下：首先计算侧面积：2 * (a * b + a * c + b * c)再计算底面积：a * b最后计算表面积：2 * (a * b + a * c + b * c) + a * b2. 一个四棱锥的底面为边长为 a 的正三角形，高度为 h，求这个四棱锥的体积。

专题19 立体几何综合小题必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题一、单选题1．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（ ）A B ．C D ．2．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若//m n ，n ⊂α，则//m αB ．若//m α，n ⊂α，则//m nC ．若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβD ．若//αβ，m α⊂，则//m β3．如图，空间四边形OABC 中，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，MN xOA yOB zOC =++，则x ，y ，z 的值分别为（ ）A ．12，23-，12B ．23-，12，12C ．12，12，23-D ．23，23，12-4．已知α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（ ） A ．若//m α，//m β，则//αβB ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊥，n α⊥，则//m nD ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ5．已知四棱锥P ABCD -的正视图和侧视图均为边长为2（单位：cm ）的正三角形，俯视图为正方形，则该四棱锥的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．83BCD ．436．在正方体1111ABCD A B C D -中，则直线1A D 与直线AC 所成角大小为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．907．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为侧面11ABB A 内动点，且满足1PD △PBC 面积的最小值为（ ）A ．1B C ．2 D ．2 8．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒.1D 、1E 分别是11A B 、11A C 的中点，1CA CB CC ==，则1AE 与1BD 所成角的余弦值为（ ）A B C D9．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，则以下结论错误的是（ ）A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AD ⊥平面CB 1D 1C ．AC 1⊥BDD ．异面直线AD 与CB 1所成的角为45°10．已知向量a ＝(2m ＋1，3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且//a b ，则实数m 的值等于（ ）A ．32B ．－2C ．0D ．32或－2 11．正方体ABCD ­­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段BC ，CD 1的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是（ ）A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直12．已知直三棱柱111ABC A B C -中，60ABC ∠=，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A B ．0 C D13．把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点（皮球不变形），则皮球的半径为（ ）A ．cmB ．10 cmC ．cmD ．30 cm14．一种特殊的四面体叫做“鳖臑”，它的四个面均为直角三角形.如图，在四面体P -ABC 中，设E ，F 分别是PB ，PC 上的点，连接AE ，AF ，EF （此外不再增加任何连线），则图中直角三角形最多有（ ）A ．6个B ．8个C ．10个D ．12个15．在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为4的正方形，且2,PA PB PD ===，则四棱锥外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．36πD ．144π二、多选题16．给出下列命题，其中正确的有（ ）A ．空间任意三个向量都可以作为一组基底B ．已知向量//a b ，则a 、b 与任何向量都不能构成空间的一组基底C ．已知空间向量(1,0,1)a =，(2,1,2)b =-，则//a bD ．已知空间向量(1,0,1)a =，(2,1,2)b =-，则向量a 在向量b 上的投影向量的坐标是848,,999⎛⎫- ⎪⎝⎭17．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，以下结论正确的是（ ）A ．直线1B D 与1BC 是异面直线B ．直线1A D 与1BC 平行C ．直线1BD 与1BD 垂直D ．三棱锥11A BC D -的体积为64318．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是棱1CC 上的一个动点（包含端点），则下列说法正确的是（ ）A ．存在点P ，使//DP 面11AB DB ．二面角1P BB D --的平面角大小为60︒C ．1PB PD +D ．P 到平面11AB D19．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.下列说法中正确的是（ ） A ．若//m α，m β⊂，a n β⋂=，则//m n B ．若//m n ，//m α，则//n α C ．若a n β⋂=，αβ⊥，βγ⊥，则n γ⊥ D ．若m α⊥，m β⊥，//αγ，则//βγ20．在下列条件中，不能使M 与A ，B ，C 一定共面的是（ ）A ．OM ＝2OA －OB －OC ；B ．111532OM OA OB OC =++； C ．0MA MB MC ++=；D ．OM ＋OA ＋OB ＋OC ＝0；21．如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是（ ）A ．B ．C ．D ．22．设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（ ）A ．该正方体的核长为2B ．该正方体的体对角线长为3C 1D ．空心球的外球表面积为(12π+23．在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，12AA =，1BC 与1B C 交于点F ，点E 是线段11A B 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．1111222AF AB AC AA =++ B ．存在点E ，使得AF BE ⊥C ．三棱锥B AEF -D ．直线AF 与平面11BCC B第II 卷（非选择题）三、填空题24．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、BC 的中点，则三棱锥N ­DMC 1的体积为___________.25．已知正三棱锥的底面边长是6，侧棱与底面所成角为60︒，则此三棱锥的体积为__．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，∠ACB ＝90°，11AA AC BC ===，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是__________________．27．已知圆台上底半径为1，下底半径为3，高为2，则此圆台的外接球的表面积为______．28．如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱1AA 长为3，且11120A AB A AD ∠=∠=︒，则1AC =__.29．如图，在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，则用向量,,a b c 表示向量MN =________．30．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且P A⊥平面ABCD.若四棱锥P﹣ABCD的体积为163，则球O的表面积为___________.任务二:中立模式(中档)1-40题一、单选题1．在三棱锥P －ABC 中，3APB BPC CPA π∠∠∠===，△P AB ，△P AC ，△PBC 的面积分别记为123,,S S S ，且123322S S S === ）A BC D 2．在立体几何探究课上，老师给每个小组分发了一个正四面体的实物模型，同学们在探究的过程中得到了一些有趣的结论.已知直线//AD 平面α，直线//BC 平面α，F 是棱BC 上一动点，现有下列三个结论：⊥若,M N 分别为棱,AC BD 的中点，则直线//MN 平面α；⊥在棱BC 上存在点F ，使AF ⊥平面α；⊥当F 为棱BC 的中点时，平面ADF ⊥平面α.其中所有正确结论的编号是（ ）A ．⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥3．已知圆台上底面半径为3，下底面半径为4，高为7，若点A 、B 、C 在下底面圆的圆周上，且AB BC ⊥，点Р在上底面圆的圆周上，则222PA PB PC ++的最小值为（ ）A ．246B ．226C ．208D ．1984．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为π2π3π3-⨯=，故其总曲率为4π，则四棱锥的总曲率为（ ）A ．2πB ．4πC ．5πD ．6π5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且EF A BEF -的体积为（ ）A ．112B ．14 C D ．不确定6．如图已知正方体1111ABCD A B C D -，点M 是对角线1AC 上的一点且1AM AC λ=，()0,1λ∈，则（）A ．当12λ=时，1AC ⊥平面1A DMB ．当12λ=时，//DM 平面11CB DC ．当1A DM 为直角三角形时，13λ=D ．当1A DM 的面积最小时，13λ=7．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a ，点E 、F 、G 分别为AB 、AD 、DC 的中点，则a 2等于（ ）A ．2BA •ACB ．2AD •BDC ．2FG •CAD ．2EF •BC8．如图一，矩形ABCD 中，2BC AB =，AM BD ⊥交对角线BD 于点O ，交BC 于点M ．现将ABD △沿BD 翻折至A BD '的位置，如图二，点N 为棱A D '的中点，则下列判断一定成立的是（ ）A ．BD CN ⊥B ．AO '⊥平面BCDC ．//CN 平面A OM 'D ．平面A OM '⊥平面BCD9．点M 是棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中棱AB 的中点，12CN NC =，动点P 在正方形11AA D D （包括边界）内运动，且1//PB 平面DMN ，则PC 的长度范围为（ ）A ．B ．⎣C ．D ．⎣10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在线段1BC (不包含端点)上运动，则下列判断中正确的是（ ）①1//A M 平面1ACD ； ②异面直线1A M 与1AD 所成角的取值范围是,32ππ⎛⎤⎥⎝⎦；③AC ⊥平面11MB D 恒成立； ④三棱锥1D AMC -的体积不是定值． A ．①③ B ．①② C ．①②③ D ．②④11．在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，6BAC π∠=，SB =4,2SC SA ==，则该四面体的外接球的表面积是（ ）A ．253πB ．100πCD ．20π12．已知圆锥SO 的母线长为 ）A ．B ．24C ．36πD ．4813．如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，PD ⊥底面ABCD ，1AD =，2PD AB ==，点E 是PB 的中点，过A ，D ，E 三点的平面α与平面PBC 的交线为l ，则下列结论中正确的有（ ）（1）//l 平面PAD ；（2）//AE 平面PCD ；（3）直线PA 与l （4）平面α截四棱锥P ABCD -所得的上、下两部分几何体的体积之比为35．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD △是边长为2的正三角形，ABCD 是正方形，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为（ ）A ．293π B ．643π C ．263π D ．283π15．已知在正四面体ABCD 中，E 是AD 的中点，P 是棱AC 上的一动点，BP ＋PE 四面体内切球的体积为（ ）A B ．13πC ． D16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G ，H 分别为棱AB ，BC ，11C D ，11A D 的中点，若平面//α平面EFGH ，且平面α与棱11A B ，11B C ，1B B 分别交于点P ，Q ，S ，其中点Q 是棱11B C 的中点，则三棱锥1B PQS -的体积为（ ） A ．1B ．12C ．13D ．1617．已知球O ，过其球面上A ，B ，C 三点作截面，若点O 到该截面的距离是球半径的一半，且2AB BC ==，120B ∠=︒，则球O 的表面积为（ ）（注：球的表面积公式24)S r π=A ．643π B ．83πC ．323π D ．169π18．如图，在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AC =CC 1，P 是A 1C 1的中点，则异面直线BC 与AP 所成角的余弦值为（ ）A ．0B ．13C D19．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h 、2h 、3h ，则123::h h h =（ ）A．2B ． C 2:2 D 6:620．如图，二面角l αβ--的大小是60︒，线段AB α⊂．B l ∈，AB 与l 所成的角为30．直线AB 与平面β所成的角的正弦值是（ ）A B C D二、多选题21．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，则四个推断正确的是（ ）A ．111AC AD ⊥B ．11AC BD ⊥C ．平面11//A C B 平面1ACD D ．平面11A C B ⊥平面11BB D D22．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为11,,BC CC BB 的中点，则（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为92D ．点C 到平面AEF 的距离为2323．正四棱锥P ABCD -的所有棱长为2，用垂直于侧棱PC 的平面α截该四棱锥，则（ ） A ．截面可以是三角形B ．PA 与底面ABCD 所成的角为60︒C ．PA 与底面ABCD 所成的角为45︒D ．当平面α经过侧棱PC 中点时，截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积之比为3：124．如图，等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体A BCD -的侧棱，2AB =，直角边AE 绕斜边AB 旋转一周，在旋转的过程中，下列说法正确的是（ ）A ．三棱锥E BCD -B ．三棱锥E BCD -C ．存在某个位置，使得AE BD ⊥D ．设二面角D ABE --的平面角为θ，且0θπ<<，则DAE θ<∠25．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）A ．1AC =B ．BD ⊥平面1ACCC ．向量1B C 与1AA 的夹角是60°D ．直线1BD 与AC26．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE .以下命题正确的有（ ）A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11B F CD ⊥ B ．直线1B F 与直线BC 所成角可能为60C ．平面1A BE 与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为D ．设正方体棱长为1，则过点E ，F ，A27．如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直，动点M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<.则下列结论中正确的有（ ）A ．当12a =时，ME 与CN 相交 B ．MN 始终与平面BCE 平行 C ．异面直线AC 与BF 所成的角为45︒D ．当a =MN28．(多选)如图，ABCD ­A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论正确的是（ ）A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°29．已知四边形ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，四边形DGEA 与四边形DGFC 也都为正方形，连接EF ，FB ，BE ，H 为BF 的中点，则下列结论正确的是（ ） A ．DE ⊥BFB ．EF 与CH 所成角为3π C ．EC ⊥平面DBFD ．BF 与平面ACFE 所成角为4π30．下图中正方体1111ABCD A B C D -边长为2，则下列说法正确的是（ ）A ．平面1C BD ⊥平面1A BDB ．正方体1111ABCD A BCD -外接球与正四面体11A DBCC ．正四面体11A DBCD ．四面体1A ADB第II 卷（非选择题）三、填空题31．空间四面体ABCD 中，2AB CD ==，3AD BC ==，BD =BD 和AC 所成的角为3π，则该四面体的外接球的表面积为 __.32．如图，A 、B 、C 、D 、P 是球O 上5个点，ABCD 为正方形，球心O 在平面ABCD 内，PB PD =，2PA PC =，则P A 与CD 所成角的余弦值为______．33．已知圆锥、圆柱的底面半径和体积都相等，则它们的轴截面的面积之比的比值是___________34．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.下左图是南北朝官员独孤信的印信，它是由正方形和正三角形围成.右图是根据这只印信作出的直观图，直观图的所有顶点都在一正方体的表面上（如果一个正八边形的八个顶点都在这个正方体同一个侧面的四条棱上，那么这个八边形的边长就等于这个直观图的棱长）.__________.35．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===，已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 和F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的平方取值范围为__________.36．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1AA =M ，N 分别在棱DA ，DC 上.二面角1D MN D --的大小为30°.若三棱锥1D DMN -，则三棱锥1D DMN -的外接球的表面积为___________.37．异面直线a 、b 所成角为3π，直线c 与a 、b 垂直且分别交于A 、B ，点C 、D 分别在直线a 、b 上，若1AC =，2AB =，3BD =，则CD =________．38．已知四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为4的正方形，SD ⊥面ABCD ，点M 、N 分别是AD 、CD 的中点，P 为SD 上一点，且SD ＝3PD ＝3，H 为正方形ABCD 内一点，若SH ∥面PMN ，则SH 的最小值为__．39．如图，在ABC 中，AB AC ==1cos 3BAC ∠=-，D 是棱BC 的中点，以AD 为折痕把ACD △折叠，使点C 到达点C '的位置，则当三棱锥C ABD '-体积最大时，其外接球的表面积为___________.40．在如图所示的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，活动弹子,M N 分别在正方形对角线,AC BF 上移动，若CM BN =，则MN 长度的最小值为__________．任务三:邪恶模式(困难)1-30题一、单选题1．已知四面体ABCD M ，N 分别为棱AD ，BC 的中点，F 为棱AB 上异于A ，B 的动点．有下列结论： ①线段MN 的长度为1；②若点G 为线段MN 上的动点，则无论点F 与G 如何运动，直线FG 与直线CD 都是异面直线；③MFN ∠的余弦值的取值范围为；④FMN 1． 其中正确结论的为（ ） A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④2．已知三棱锥P ABC -，其中PA ⊥平面ABC ，2PA =，2AB AC ==，2BAC π∠=.已知点Q 为棱PA（不含端点）上的动点，若光线从点Q 出发，依次经过平面PBC 与平面ABC 反射后重新回到点Q ，则光线经过路径长度的取值范围为（ ）A ．(1B ．)4C ．4⎫⎪⎭D ．(3．如图，已知锐二面角l αβ--的大小为1θ，A α∈，B β∈，M l ∈，N l ∈，AM l ⊥，BN l ⊥，C ，D 为AB ，MN 的中点，若AM MN BN >>，记AN ，CD 与半平面β所成角分别为2θ，3θ，则（ ）A ．122θθ<，132θθ<B ．122θθ<，132θθ>C ．122θθ>，132θθ<D ．122θθ>，132θθ>4．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的点（点M 与1A C 、不重合），有以下四个结论：⊥存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ⊥存在点M ，使得//DM 平面11B D C ；⊥若1A DM 的周长为L ，则L⊥若1A DM 的面积为S ，则S ∈⎝． 则正确的结论为（ ） A ．⊥⊥ B ．⊥⊥⊥C ．⊥⊥⊥D ．⊥⊥5．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体棱上一点，若满足1PB PC d +=的点P 的个数为4，则d 的取值范围为（ ）A ．)2B ．C ．2,1⎡⎣D ．(16．在三棱锥D ABC -中，222AD AB AC BC ===，点A 在面BCD 上的投影G 是BCD △的垂心，二面角G AB C --的平面角记为α，二面角G BC A --的平面角记为β，二面角G CD A --的平面角记为γ，则（ ）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．βγα>>D ．γβα>>7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1AA 的中点，F 是棱BC 上一点（不包括端点），则下列结论错误的是（ ）A ．三棱锥11CB EF -的体积为定值16B ．存在点F ，使得直线EF 与直线1CD 相交C ．当F 是棱BC 的中点时，直线EF 与直线1CD 所成的角为π6D ．平面1D EF 截正方体所得的截面是五边形8．如图，在等边三角形ABC 中，,D E 分别是线段,AB AC 上异于端点的动点，且BD CE =，现将三角形ADE 沿直线DE 折起，使平面ADE ⊥平面BCED ，当D 从B 滑动到A 的过程中，则下列选项中错误的是（ ）A ．ADB ∠的大小不会发生变化 B ．二面角A BDC --的平面角的大小不会发生变化 C ．BD 与平面ABC 所成的角变大 D ．AB 与DE 所成的角先变小后变大9．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点A ，B ，C ，D 满足10cm AB BC CD DA DB =====，15cm AC =，则该“鞠”的表面积为（ ）A ．2350cm 3πB ．2700cm 3πC ．2350cm πD 210．已知在Rt ABC △中，斜边2AB =，1BC =，若将Rt ABC △沿斜边AB 上的中线CD 折起，使平面ACD ⊥平面BCD ，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ）A ．13π3B ．20π3C ．10π3 D ．7π311．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，5AD =，14AA =，点F 是1AA 的中点，点E 为棱BC 上的动点，则平面1C EF 与平面11ABB A 所成的锐二面角正切的最小值是（ ）A ．513BC D ．13512．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为M ，N 为体对角线1BD 的三等分点，动点P 在三角形1ACB内，且三角形PMN 的面积PMN S =△P 的轨迹长度为（ ）A B C D13．已知半球O 与圆台OO '有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（ ）A B C D14．如图，等腰直角ABC 中，2AC BC ==，点P 为平面ABC 外一动点，满足PB AB =，2PBA π∠=，给出下列四个结论：①存在点P ，使得平面PAC ⊥平面PBC ； ②存在点P ，使得平面PAC ⊥平面PAB ； ③设PAC △的面积为S ，则S 的取值范围是(]0,4；④设二面角A PB C --的大小为α，则α的取值范围是π0,4⎛⎤⎥⎝⎦.其中正确结论是（ ） A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④15．已知AB 、CD 是圆O 的两条直径，且60AOC ∠=︒，如图1，沿AB 折起，使两个半圆面所在的平面垂直，折到点D 位置，如图2．设直线BD '与直线OC 所成的角为θ，则（ ）A ．90BD C '∠=︒且60θ>︒B ．90BDC '∠=︒且60θ≤︒ C ．90BD C '∠≠︒且60θ>︒ D ．90BD C '∠≠︒且60θ≤︒二、多选题16．如图，底面ABCD 为边长是4的正方形，半圆面APD ⊥底面ABCD ．点P 为半圆弧AD (不含A ，D 点)一动点．下列说法正确的是（ ）A ．三梭锥P —ABD 的每个侧面三角形都是直角三角形B ．三棱锥P —ABD 体积的最大值为83C ．三棱锥P —ABD 外接球的表面积为定值32πD ．直线PB 与平面ABCD17．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点F 在正方形11CDD C 内，则（ ） A ．若112BF BC BD →→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则三棱锥的11-F B CC 的外接球表面积为4π B ．若1//B F 平面1A BD ，则1B F 不可能垂直1CD C ．若1C F ⊥平面1A CF ，则点F 的位置唯一D ．若点E 为BC 中点，则三棱锥11A AB E -的体积是三棱锥1-A FA B 体积的一半18．为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图⊥，已知球的体积为43π，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图⊥.则下列结论正确（ ）A ．经过三个顶点,,ABC 的球的截面圆的面积为4π B ．异面直线AD 与CF 所成的角的余弦值为58C ．多面体ABCDEF 的体积为94D ．球离球托底面DEF 119．已知边长为a 的菱形ABCD 中，3ADC π∠=，将ADC 沿AC 翻折，下列说法正确的是（ ）A ．在翻折的过程中，直线AD ，BC 始终不可能垂直B ．在翻折的过程中，三棱锥D ABC -体积最大值为38aC ．在翻折过程中，三棱锥D ABC -表面积最大时，其内切球表面积为2(14a π-D ．在翻折的过程中，点D 在面ABC 上的投影为D ，E 为棱CD 上的一个动点，ED '20．如图，ABC 是由具有公共直角边的两块直角三角板组成的三角形，4CAD π∠=，3BCD π∠=.现将Rt ACD △沿斜边AC 翻折成△11(D AC D 不在平面ABC 内）.若M ，N 分别为BC 和1BD 的中点，则在ACD △翻折过程中，下列结论正确的是（ ）A ．//MN 平面1ACDB ．1AD 与BC 不可能垂直C ．二面角1D AB C -- D ．直线1AD 与DM 所成角的取值范围为(,)63ππ21．已知边长为a 的菱形ABCD 中，π3ADC ∠=，将ADC 沿AC 翻折，下列说法正确的是（ ） A ．在翻折的过程中，直线AD ，BC 可能相互垂直B ．在翻折的过程中，三棱锥D ABC -体积最大值为38aC ．在翻折的过程中，三棱锥D ABC -表面积最大时，其内切球表面积为2(14a π-D ．在翻折的过程中，点D 在面ABC 上的投影为D ，E 为棱CD 上的一个动点，ED '22．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱11B C 上一点（不与端点重合），则（ ）A ．平面OCP 截正方体1111ABCD ABCD -所得截面一定是梯形 B ．存在点P ，使得三棱锥1P ABD -的体积为23C ．存在点P ，使得AP 与11CD 相交D ．当P 是棱11B C 的中点时，平面OCP 截正方体1111ABCD A B C D -外接球所得截面圆的面积269π23．在四面体ABCD 中，AB AC ⊥，AC CD ⊥，直线AB ，CD 所成的角为60°，AB CD ==，4AC =，则四面体ABCD 的外接球表面积为（ ）A B ．52π C ．80π D ．208π第II 卷（非选择题）三、填空题24θ，则当tan θ等于______时，侧面积最小．25．球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等面都有广泛的应用，如图，A ，B ，C 是球面上不同的大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为,,AB BC CA ，由这三条劣弧围成的图形称为球面ABC ．已知地球半径为R ，北极为点N ，P ，Q 是地球表面上的两点若P ，Q 在赤道上，且PQ =，则球面NPQ △的面积为________；若NP PQ QN R ===，则球面NPQ △的面积为________．26．如图，在矩形ABCD 中，2,4,AB BC E ==是边AD 的中点，将ABE △沿直线BE 折成A BE ∠'，使得二面角A BE C '--的平面角为锐角，点F 在线段A B '上运动(包括端点)，当直线CF 与平面A BE '所成角最大时，FBE 在底面ABCD 内的射影面积为___________.27．已知三棱锥A BCD -的三条侧棱两两垂直，AB 与底面BCD 成30角，P 是平面BCD 内任意一点，则AP BP的最小值是________.28．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是棱AD 的中点，点,F G 在平面1111D C B A 内，若EF =CE BG ⊥，则FG 的最小值为_________．29．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ，交1CC 于F ，得四边形1BFD E ，给出下列结论：①四边形1BFD E 有可能为梯形； ②四边形1BFD E 有可能为菱形； ③四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形； ④四边形1BFD E 有可能垂直于平面11BB D D ；⑤四边形1BFD E 其中正确结论的序号是_____________30．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是BC 和11C D 的中点，经过点A ，E ，F 的平面把正方体1111ABCD A B C D -截成两部分，则截面的周长为________.。

立体几何题型一、平行与垂直的证明例1．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F . （1）证明PA //平面EDB ；（2）证明PB ⊥平面EFD例2．四棱锥S A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SB C ⊥底面ABCD ，已知45A B C ∠=︒，2A B =，BC =SA SB ==（Ⅰ）证明：SA B C ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小． 变式：已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且PA =AD =DC =21AB =1，M 是PB 的中点.（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小.ACDBCASOE A DCBNM EP题型二、空间角与距离例3．如图，在四棱锥O A B C D -中，底面A B C D 四边长为1的 菱形，4A B C π∠=， OA ABCD ⊥底面， 2O A =，M 为O A 的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅱ）求点B 到平面OCD 的距离。

例4. 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点，CA =CB =CD =BD =2 （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面的距离. 变式：如图，正三棱锥O A B C -的三条侧棱O A 、O B 、O C 两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是A B 、A C 的中点，H 是E F 的中点，过E F 的平面与侧棱O A 、O B 、O C 或其延长线分别相交于1A 、1B 、1C ，已知132O A =．（1）求证：11B C ⊥面O A H ； （2）求二面角111O A BC --的大小．1C 1A题型三、探索性问题例5.在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）当平面PCD 与平面ABCD 成多大二面角时，⊥EF 平面PCD ？变式：如图，在三棱锥A －BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD ，BD ＝CD ＝1，另一个侧面是正三角形 (1)求证：AD ⊥BC(2)求二面角B －AC －D 的大小(3)在直线AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 成30︒角？若存在，确定E 的位置；若不存在，说明理由.DC题型四、折叠、展开问题例6．已知正方形A B C D E 、F 分别是A B 、C D 的中点，将AD E 沿D E 折起，如图所示，记二面角A D E C --的大小为(0)θθπ<< (1) 证明//B F 平面ADE ；(2)若A C D 为正三角形，试判断点A 在平面B C D E 内的射影G 是否在直线E F 上，证明你的结论，并求角θ的余弦值。

专题23 立体几何中的压轴小题【题型归纳目录】 题型一：球与截面面积问题题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题 题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题 题型四：立体几何中的交线问题 题型五：空间线段以及线段之和最值问题 题型六：空间角问题 题型七：立体几何装液体问题 【典例例题】题型一：球与截面面积问题例1．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知球O 的体积为125π6，高为1的圆锥内接于球O ，经过圆锥顶点的平面α截球O 和圆锥所得的截面面积分别为12,S S ，若125π8S =，则2S =（ ）A．2 B C D ．例2．（2022·广西·南宁二中高三阶段练习（理））已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122CC AB ==，E 为1CC 的中点，P 为棱1AA 上的动点，平面α过B ，E ，P 三点，有如下四个命题： ①平面α⊥平面11A B E ；①平面α与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形； ①当P 与A 重合时，α截此四棱柱的外接球所得的截面面积为11π8； ①存在点P ，使得AD 与平面α所成角的大小为π3．则正确的命题个数为（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4例3．（2022·四川资阳·高二期末（理））如图，矩形BDEF 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直，2BD =，1DE =，点P 在线段EF 上．给出下列命题：①存在点P ，使得直线//DP 平面ACF ； ①存在点P ，使得直线DP ⊥平面ACF ；①直线DP 与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围是⎤⎥⎣⎦；①三棱锥A CDE -的外接球被平面ACF 所截得的截面面积是9π8． 其中所有真命题的序号（ ） A ．①① B ．①①C ．①①①D ．①①①例4．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，圆锥的轴截面PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，2PA =，C 为PA 中点．若底面O 所在平面上有一个动点M ，且始终保持0MA MP ⋅=，过点O 作PM 的垂线，垂足为H ．当点M 运动时，①点H 在空间形成的轨迹为圆 ①三棱锥O HBC -的体积最大值为112①AH HO +的最大值为2①BH 与平面PAB 上述结论中正确的序号为（ ）． A ．①① B ．①①C ．①①①D ．①①①例5．（2022·安徽省舒城中学一模（理））已知正三棱锥A BCD -的高为3，侧棱AB 与底面BCD 所成的角为3π，E 为棱BD 上一点，且12BE =，过点E 作正三棱锥A BCD -的外接球的截面，则截面面积S 的最小值为（ ）A ．54π B ．34π C ．4π D ．4π例6．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，6AB =，8AC =，D 是线段AB 上一点，且2AD DB =．过点D 作球O 的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为25π，则球O 的表面积为（ ） A ．128π B ．132π C ．144π D ．156π例7．（2022·全国·高三专题练习）已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，其底面ABCD 是平行四边形，外接球体积为36π，若1AC BD ⊥，则其外接球被平面11AB D 截得图形面积的最小值为（ ） A ．8π B ．24310π C ．8110π D ．6π例8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知正三棱锥A BCD -的外接球是球O ，正三棱锥底边3BC =，侧棱AB =点E 在线段BD 上，且BE DE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A ．9,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]2,3ππC ．11,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．9,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦例9．（2022·浙江省江山中学模拟预测）如图，在单位正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段1AD 上的动点，给出以下四个命题：①异面直线1PC 与直线1B C 所成角的大小为定值； ①二面角1P BC D --的大小为定值；①若Q 是对角线1AC 上一点，则PQ QC +长度的最小值为43； ①若R 是线段BD 上一动点，则直线PR 与直线1A C 不可能平行．其中真命题有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个例10．（2022·北京·人大附中模拟预测）已知正方体1111,ABCD A B C D O -为对角线1AC 上一点（不与点1,A C 重合），过点O 作垂直于直线1AC 的平面α，平面α与正方体表面相交形成的多边形记为M ，下列结论不正确的是（ ）A ．M 只可能为三角形或六边形B ．平面ABCD 与平面α的夹角为定值C ．当且仅当O 为对角线1AC 中点时，M 的周长最大D ．当且仅当O 为对角线1AC 中点时，M 的面积最大例11．（2022·河南省实验中学高一期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，M ，N 分别为11A D ，11B C 的中点，E ，F 分别为棱AB ，CD 上的动点，则三棱锥M NEF -的体积（ ）A ．存在最大值，最大值为83B ．存在最小值，最小值为23C ．为定值43D ．不确定，与E ，F 的位置有关例12．（2022·山西运城·模拟预测（文））如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段1CD 上有两个动点E ，F ，且12EF =，点P ，Q 分别为111A B BB ，的中点，G 在侧面11CDD C 上运动，且满足1B G ∥平面1CD PQ ，以下命题错误的是（ ）A ．1AB EF ⊥B ．多面体1AEFB 的体积为定值C ．侧面11CDD C 上存在点G ，使得1B G CD ⊥ D ．直线1B G 与直线BC 所成的角可能为6π例13．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ，交1CC 于F ，给出下面几个命题：①四边形1BFD E 一定是平行四边形； ①四边形1BFD E 有可能是正方形； ①平面1BFD E 有可能垂直于平面1BB D ；①设1D F 与DC 的延长线交于M ，1D E 与DA 的延长线交于N ，则M ､N ､B 三点共线； ①四棱锥11B BFD E -的体积为定值． 以上命题中真命题的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5例14．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1A C 上的动点，点,M N 分别为线段111,AC CC 的中点，则下列说法错误．．的是（ ）A ．11A P AB ⊥ B ．三棱锥1M B NP -的体积为定值C ．[]160,120APD ∠∈︒︒ D ．1AP D P +的最小值为23例15．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段11A C 上的动点（点P 与1A ，1C 不重合），则下列说法不正确的是（ ）A ．BD CP ⊥B ．三棱锥C BPD -的体积为定值C ．过P ，C ，1D 三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形 D ．DP 与平面1111D C B A 所成角的正弦值最大为13例16．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体1111ABCD A B C D -内切球的表面积为π，P 是空间中任意一点： ①若点P 在线段1AD 上运动，则始终有11C P CB ⊥； ①若M 是棱11C D 中点，则直线AM 与1CC 是相交直线； ①若点P 在线段1AD 上运动，三棱锥1D BPC -体积为定值；①E 为AD 中点，过点1B ，且与平面1A BE 以上命题为真命题的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5例17．（2022·江西南昌·三模（理））已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，BC =13AA =，P 为矩形1111D C B A 内一动点，设二面角P AD C --为α，直线PB 与平面ABCD 所成的角为β，若αβ=，则三棱锥11P A BC -体积的最小值是（ ） AB．1 CD．2例18．（2022·浙江·高三阶段练习）如图，在四棱锥Q EFGH -中，底面是边长为4QE QF QG QH ====，M 为QG 的中点．过EM 作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为1V ，2V ，则12V V 的最小值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15例19．（2022·四川省内江市第六中学高二期中（理））已知四面体ABCD,M N 分别为棱,AD BC 的中点，F 为棱AB 上异于,A B 的动点．有下列结论： ①线段MN 的长度为1；①点C 到面MFN的距离范围为⎛ ⎝⎭； ①FMN1；①MFN ∠的余弦值的取值范围为⎡⎢⎣⎭． 其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4例20．（2022·河南省实验中学高一期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，M ，N 分别为11A D ，11B C 的中点，E ，F 分别为棱AB ，CD 上的动点，则三棱锥M NEF -的体积（ ）A ．存在最大值，最大值为83B ．存在最小值，最小值为23C ．为定值43D ．不确定，与E ，F 的位置有关例21．（2022·全国·高三专题练习（理），该几何体的表面积最小值是1S ，我们在绘画该表面积最小的几何体的直观图时所画的底面积大小是2S ，则1S 和2S 的值分别是（ ）A ．3B ．4；12C ．4D ．3；12例22．（2022·全国·高三专题练习）已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，棱1DD 中点为M ，动点P 、Q 、R 分别满足：点P 到异面直线BC 、11C D 的距离相等，点Q 使得异面直线1A Q 、BC 点R 使得134A RB π∠=．当动点P 、Q 两点恰好在正方体侧面11CDD C 内时，则多面体1RMPC Q 体积最小值为（ ）A B C D例23．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的点（点M 与1A C 、不重合），有以下四个结论：①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ①存在点M ，使得//DM 平面11B D C ；①若1A DM 的周长为L ，则L①若1A DM 的面积为S ，则S ∈⎝． 则正确的结论为（ ） A ．①① B ．①①①C ．①①①D ．①①例24．（2022·河南·模拟预测（文））已知四面体ABCD ，M 、N 分别为棱AD 、BC 的中点，F 为棱AB 上异于A 、B 的动点．有下列结论： ①线段MN 的长度为1；①存在点F ，满足CD ⊥平面FMN ；①MFN ∠的余弦值的取值范围为⎡⎢⎣⎭； ①FMN1． 其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①① B ．①① C ．①①① D ．①①①例25．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段1BC 上的点，过1A 的平面α与直线PD 垂直，当P 在线段1BC 上运动时，平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积的最小值是（ ）A ．1B ．54C D例26．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（文））如图，正方形EFGH 的中心为正方形ABCD 的中心，AB =截去如图所示的阴影部分后，翻折得到正四棱锥P EFGH -（A ，B ，C ，D 四点重合于点P ），则此四棱锥的体积的最大值为（ ）A B C ．43D例27．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1ACD △内一点，若1PB D 1DD AP 体积的最大值为（ ）A BC D例28．（2022·四川省宜宾市第四中学校三模（理））函数()sin 2sin 2π0e 2x x f x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，设球O 的半径为()cos 4f x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．球O 的表面积随x 增大而增大B ．球O 的体积随x 增大而减小C ．球O 的表面积最小值为24e π D ．球O 的体积最大值为343e π题型四：立体几何中的交线问题例29．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为4，E ，F 分别为BB '，C D ''的中点，点P 在平面ABB A ''中，=PF N 在线段AE 上，则下列结论正确的个数是（ ）①点P 的轨迹长度为2π；①线段FP 的轨迹与平面A B CD ''的交线为圆弧；①NP ；①过A 、E 、F 作正方体的截面，则该截面的周长为103A ．4 B ．3C ．2D ．1例30．（2022·全国·高三专题练习）在正四棱锥P ABCD -中，已知2PA AB ==，O 为底面ABCD 的中心，以点O PCD 的交线长度为（ ）A B C D例31．（2022·全国·高三专题练习）已知正四面体的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为A．4π B ．C ．D ．12π例32．（2022·四川成都·模拟预测（理））如图，①ABC 为等腰直角三角形，斜边上的中线AD ＝3，E 为线段BD 中点，将①ABC 沿AD 折成大小为2π的二面角，连接BC ，形成四面体C －ABD ，若P 是该四面体表面或内部一点，则下列说法错误的是（ ）A ．点P 落在三棱锥E －ABC 内部的概率为12B ．若直线PE 与平面ABC 没有交点，则点P 的轨迹与平面ADCC ．若点P 在平面ACD 上，且满足P A ＝2PD ，则点P 的轨迹长度为23π D ．若点P 在平面ACD 上，且满足P A ＝2PD ，则线段PB 长度为定值例33．（2022·江苏徐州·高二期中）如图1，在正方形ABCD 中，点E 为线段BC 上的动点（不含端点），将ABE △沿AE 翻折，使得二面角B AE D --为直二面角，得到图2所示的四棱锥B AECD -，点F 为线段BD 上的动点（不含端点），则在四棱锥B AECD -中，下列说法正确的是（ ）A ．B ､E ､C ､F 四点一定共面 B ．存在点F ，使得CF ∥平面BAEC ．侧面BEC 与侧面BAD 的交线与直线AD 相交 D ．三棱锥B ADC -的体积为定值例34．（2022·河南·模拟预测（理））已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长是2，E ，F 分别是棱11B C 和1CC 的中点，点P 在正方形11BCC B （包括边界）内，当//AP 平面1A EF 时，AP 长度的最大值为a ．以A 为球心，a 为半径的球面与底面1111D C B A 的交线长为（ ）A ．2πB ．πC D例35．（2022·湖南·临澧县第一中学高二阶段练习）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122CC AB ==，E 为1CC 的中点，P 为棱1AA 上的动点，平面α过B ，E ，P 三点，则（ ）A ．平面α⊥平面11AB EB ．平面α与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形C ．当P 与A 重合时，α截此四棱柱的外接球所得的截面面积为11π8D ．存在点P ，使得AD 与平面α所成角的大小为π3例36．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）如图，圆柱的底面半径和高均为1，线段AB 是圆柱下底面的直径，点O 是下底面的圆心．线段EF 是圆柱的一条母线，且EO AB ⊥．已知平面α经过A ，B ，F 三点，将平面α截这个圆柱所得到的较小部分称为“马蹄体”．记平面α与圆柱侧面的交线为曲线C ．则（ ）A ．曲线C 是椭圆的一部分B ．曲线C 是抛物线的一部分C ．二面角F AB E --的大小为4πD ．马蹄体的体积为V 满足134V π<<例37．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）如图，正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1边长为1，P 是1A D 上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）A ．BPB ．PA PC + C ．当P 在直线1AD 上运动时，三棱锥1A B PC - 的体积不变D ．以点B 1AB C例38．（2022·全国·高三专题练习）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边为1，侧棱长为a ，M 是1CC 的中点，则（ ） A ．任意0a >，1A M BD ⊥B ．存在0a >，直线11AC 与直线BM 相交C ．平面1A BM 与底面1111D C B AD ．当2a =时，三棱锥11B A BM -外接球表面积为3π题型五：空间线段以及线段之和最值问题例39．（2022·山东·高一阶段练习）已知三棱锥P ABC -三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且6PA PB PC ===，M ､N 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段MN 的长度的最小值为（ ）A ．3B ．6C ．6-D ．例40．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥S ABC -外接球表面积为3π，SA <点M ，N 分别是线段AB ，AC 的中点，点P ，Q 分别是线段SN 和平面SCM 上的动点，则AP PQ +的最小值为（ ）A B C D例41．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 满足112A E EB =，点F 在平面1BC D 内，则1A F EF +的最小值为（ ）A B ．6 C D ．7例42．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA =，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为（ ）A B C ．1D ．3例43．（2022·湖北·高一阶段练习）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为线段1AA 的中点，AP AB AD λμ=+，其中,[0,1]λμ∈，则下列选项正确的是（ ）A ．12μ=时，11A P ED ⊥ B ．14λ=时，1B P PD +C ．1λμ+=时，直线1A P 与面11BDE D ．1λμ+=时，正方体被平面1PAD 截的图形最大面积是例44．（2022·湖南岳阳·三模）如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，各棱长均为2，π3ABC ∠=，则下列说法正确的是（ ）A ．三棱锥1A ABC -B ．异面直线1AB 与1BCC ．当点M 在棱1BB 上运动时，1MD MA +最小值为D ．N 是ABCD 所在平面上一动点，若N 到直线1AA 与BC 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线例45．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1DP DD DA λμ=+，[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，则以下说法正确的是（ ）A ．当λμ=时，//BP 平面11CB D B ．当12μ=时，存在唯一点P 使得DP 与直线1CB 的夹角为3πC ．当1λμ+=时，CPD ．当1λμ+=时，CP 与平面11BCC B 所成的角不可能为3π例46．（2022·全国·模拟预测）如图，点M 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中的侧面11ADD A 上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）A ．存在无数个点M 满足1CM AD ⊥B ．当点M 在棱1DD 上运动时，1||MA MB +1C ．在线段1AD 上存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30 D ．满足1||2MD MD =的点M 的轨迹是一段圆弧例47．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，,,E F G 分别是侧棱111,,AA BB CC 上的点，且AE CG BF >>，设直线,CA CB 与平面EFG 所成的角分别为,αβ，平面EFG 与底面ABC 所成的锐二面角为θ，则（ ）A ．sin sin sin ,cos cos cos θαβθαβ<+≤+B ．sin sin sin ,cos cos cos θαβθαβ≥+<+C ．sin sin sin ,cos cos cos θαβθαβ<+>+D ．sin sin sin ,cos cos cos θαβθαβ≥+≥+例48．（2022·浙江·高三专题练习）在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC 的垂心O （O 在ABC 内部），且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，过BM 作平行于AC 的截面β，记α，β与底面ABC 所成的锐二面角分别为1θ，2θ，若PAM PBM θ∠=∠=，则下列说法错误的是（ ） A ．若12θθ=，则AC BC = B ．若12θθ≠，则121tan tan 2θθ⋅=C ．θ可能值为6πD ．当θ取值最大时，12θθ=例49．（2022·全国·高三专题练习）在三棱台111BCD B C D -中，1CC ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，12BC CD CC ===，111B C =．若A 是BD 中点，点P 在侧面11BDD B 内，则直线1DC 与AP 夹角的正弦值的最小值是（ ）A ．16B C D例50．（2022·浙江台州·高三期末）已知在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为棱BC 的中点，直线l 在平面1111D C B A 内．若二面角A l E --的平面角为θ，则cos θ的最小值为（ ）A B ．1121C D ．35例51．（2021·全国·高二课时练习）已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为3，E 为棱AB 上的靠近点B 的三等分点，点P 在侧面CC D D ''上运动，当平面B EP '与平面ABCD 和平面CC D D ''所成的角相等时，则D P '的最小值为（ ）A B C D例52．（2021·浙江·瑞安中学模拟预测）已知点P 是正方体ABCD A B C D ''''-上底面A B C D ''''上的一个动点，记面ADP 与面BCP 所成的锐二面角为α，面ABP 与面CDP 所成的锐二面角为β，若αβ>，则下列叙述正确的是（ ） A ．APC BPD ∠>∠B ．APC BPD ∠<∠C ．{}{}max ,max ,APD BPC APB CPD ∠∠>∠∠ D ．{}{}min ,min ,APD BPC APB CPD ∠∠>∠∠例53．（2022·全国·高三专题练习）如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+> D ．2αβθ+>例54．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体ABCD EFGH -中，P 在棱BC 上，BP x =，平行于BD 的直线l 在正方形EFGH 内，点E 到直线l 的距离记为d ，记二面角为A l P --为θ，已知初始状态下0x =，0d =，则（ ）A ．当x 增大时，θ先增大后减小B ．当x 增大时，θ先减小后增大C ．当d 增大时，θ先增大后减小D ．当d 增大时，θ先减小后增大题型七：立体几何装液体问题例55．（2022·全国·高二期中）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面11CDD C 上有一个小孔E ，E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDD C 与桌面所成角的正切值为（ ）A B ．12C D ．2例56．（2022·全国·高一课时练习）一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点11,,,E F F E 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为（ ）A ．32B ．74C ．2D ．94例57．（2022·湖北宜昌·一模（文））已知一个放置在水平桌面上的密闭直三棱柱111ABC A B C -容器，如图1，ABC ∆为正三角形，2AB =，13AA =，里面装有体积为BC 旋转至图2．在旋转过程中，以下命题中正确的个数是（ ）①液面刚好同时经过A ，1B ，1C 三点；①当平面ABC 1； ①当液面与水平桌面的距离为32时，AB 与液面所成角的正弦值为34．A ．0B ．1C ．2D ．3例58．（2022·全国·高一课时练习）一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为1，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为（ ）A ．15,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．15,66⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,63⎛⎫ ⎪⎝⎭例59．（2022·全国·高一课时练习）一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体的体积的取值范围为（ ） A ．202,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．417,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．172,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．420,33⎛⎫ ⎪⎝⎭例60．（2022·重庆·高二期末（文））已知某圆柱形容器的轴截面是边长为2的正方形，容器中装满液体，现向此容器中放入一个实心小球，使得小球完全被液体淹没，则此时容器中所余液体的最小容量为（ ） A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3例61．（2022·福建厦门·高一期末）如图（1）平行六面体容器1111ABCD A B C D -盛有高度为h 的水，12AB AD AA ===，1A AB ∠=160A AD BAD ∠=∠=︒．固定容器底而一边BC 于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过A ，1B ，1C ，D 四点，则h 的值为（ ）A B C D 例62．（2022·福建·厦门市湖滨中学高一期中）如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题是（ ）A ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值B ．随着容器倾斜度的不同，11AC 始终与水面所在平面平行C ．没有水的部分有时呈棱柱形有时呈棱锥形D ．当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH ⋅为定值例63．（2022·山东·高三专题练习）一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：①正三角形①直角三形①正方形①梯形，其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个。

实用标准文档 文案大全 立几测001试

一、选择题： 1．a、b是两条异面直线，下列结论正确的是 （ ） A．过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b都平行 B．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都相交 C．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都平行 D．过a可以且只可以作一个平面与b平行

2．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为 ( ) Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．1或4 Ｄ．无法确定

3．在正方体1111ABCDABCD中，M、N分别为棱1AA、1BB的中点，则异面直线CM和1DN 所成角的正弦值为 ( )

Ａ．19 Ｂ．23 Ｃ．459 Ｄ．259 4．已知平面平面，m是内的一直线，n是内的一直线，且mn，则：①m；②n；③m或n；④m且n。这四个结论中，不正确．．．的三个是 ( ) Ａ．①②③ Ｂ．①②④ Ｃ．①③④ Ｄ．②③④ 5.一个简单多面体的各个面都是三角形，它有6个顶点，则这个简单多面体的面数是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，则甲、乙两地最短距离为（设地球半径为R） ( )

A. R42 B. R3 C. R2 D. 3R 7. 直线l⊥平面α，直线m平面β，有下列四个命题 (1)ml// (2)ml// (3)ml// (4)//ml 其中正确的命题是 ( ) A. (1)与(2) B. (2)与(4) C. (1)与(3) D. (3)与(4) 8. 正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成角为α，则下列不等式成立的是( )

A. 60 B. 46 C. 34 D. 23 9．ABC中，9AB，15AC，120BAC，ABC所在平面外一点P到点A、B、C的距离都是14，则P到平面的距离为( ) Ａ．7 Ｂ．9 Ｃ．11 Ｄ．13

新高考数学立体几何多选题专项练习含答案一、立体几何多选题1．已知正方体1111 ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1DD 的中点，N 为正方形ABCD 所在平面内一动点，则下列命题正确的有（ ）A ．若2MN =，则MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为πB ．若N 到直线1BB 与直线DC 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线C ．若1D N 与AB 所成的角为3π，则N 的轨迹为双曲线 D ．若MN 与平面ABCD 所成的角为3π，则N 的轨迹为椭圆【答案】BC 【分析】对于A ，连接MN ，ND ，DP ，得到直角MDN △，且P 为斜边MN 的中点，所以1PD =，进而得到P 点的轨迹为球面的一部分，即可判断选项A 错误；对于B ，可知1NB BB ⊥，即NB 是点N 到直线1BB 的距离，在平面ABCD 中，点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等，利用抛物线定义知B 正确；对于C ，建立空间直角坐标系，设(,,0)N x y ，利用空间向量求夹角知122121cos3224D N AB y x y D N ABπ⋅===⨯++⋅，化简可知N 的轨迹为双曲线；对于D ，MN 与平面ABCD 所成的角为3MND π∠=，3ND =，可知N 的轨迹是以D 为圆心，33为半径的圆周； 【详解】对于A ，如图所示，设P 为MN 的中点，连接MN ，ND ，DP ，由正方体性质知MDN △为直角三角形，且P 为MN 的中点，2MN =，根据直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，知MDN △不管怎么变化，始终有1PD =，即P 点的轨迹与正方体的面围城的几何体是一个以D 为球心，1为半径的球的18，其面积214182S ππ=⨯⨯=，故A 错误；对于B ，由正方体性质知，1BB ⊥平面ABCD 由线面垂直的性质定理知1NB BB ⊥，即NB 是点N 到直线1BB 的距离，在平面ABCD 中，点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等，所以点N 的轨迹是以点B 为焦点，直线DC 为准线的抛物线，故B 正确； 对于C ，如图以D 为直角坐标系原点，建立空间直角坐标系，(,,0)N x y ，1(0,0,2)D ，(0,2,0)A ，(2,2,0)B ，则1(,,2)D N x y =-，(0,2,0)AB =，利用空间向量求夹角知122121cos3224D N AB y x y D N ABπ⋅===⨯++⋅，化简整理得：2234y x -=，即221443y x -=，所以N 的轨迹为双曲线，故C 正确；对于D ，由正方体性质知，MN 与平面ABCD 所成的角为MND ∠，即3MND π∠=，在直角MDN △中，3ND =，即N 的轨迹是以D 3D 错误； 故选：BC 【点睛】关键点睛：本题考查立体几何与解析几何的综合，解题的关键是抓住解析几何几种特殊曲线的定义，考查学生的逻辑推理能力，转化与划归能力与运算求解能力，属于难题.2．已知三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，其长度分别为a ，b ，c ．点A 在底面BCD 内的射影为O ，点A ，B ，C ，D 所对面的面积分别为A S ，B S ，C S ，D S ．在下列所给的命题中，正确的有（ ） A ．2A BCO D S SS ⋅=； B ．3333A B C D S S S S <++；C ．若三条侧棱与底面所成的角分别为1α，1β，1γ，则222111sin sin sin 1αβγ++=；D ．若点M 是面BCD 内一个动点，且AM 与三条侧棱所成的角分别为2α，2β，2γ，则22cos α+2222cos cos 1βγ+=．【答案】ACD 【分析】由Rt O OA '与Rt O AD '相似，得边长关系，进而判断A 正确；当M 与O 重合时，注意线面角与线线角的关系，即可得C 正确；构造长方体，建立直角坐标系，代入夹角公式计算可得D 正确；代入特殊值，可得B 错误. 【详解】由三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，则将三棱锥A BCD -补成长方体ABFC DGHE -，连接DO 并延长交BC 于O '， 则AO BC ⊥．对A ：由Rt O OA '与Rt O AD '相似，则2O A O O O D '''=⨯ 又12A S BC O D '=⋅，12BCOS BC O O '=⋅， 22221124D S BC O A BC O A ⎛⎫''=⋅=⋅ ⎪⎝⎭所以2A BCOD S SS ⋅=，故A 正确．对B ：当1a b c ===时，33318B C D S S S ===，则33338B C D S S S ++=，而33328A S ⎛==> ⎝⎭，此时3333A B C D S S S S >++，故B 不正确． 对D ：分别以AB ，AC ，AD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设(),,M x y z ，则(),,AM x y z =，AM =(),0,0AB a =，()0,,0AC b =，()0,0,AD c =所以222222222cos cos cos AM AB AM AC AM AD AM ABAM ACAM ADαβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222221x y z AMAMAM=++=，所以D 正确．对C ：当M 与O 重合时，AO ⊥面BCD ，由D 有222222cos cos cos 1αβγ++=，由各侧棱与底面所成角与侧棱与所AO 成角互为余角，可得C 正确． 故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题考查空间线面角、线线角、面积关系的问题，计算角的问题关键是建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用数量积的公式代入计算，解决这道题目还要结合线面角与线线角的关系判断.3．如图，直三棱柱11,ABC A B C -，ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，且12AC AA ==，E ，F 分别是AC ，11A C 的中点，D ，M 分别是1AA ，1BB 上的两个动点，则（ ）A ．FM 与BD 一定是异面直线B ．三棱锥D MEF -的体积为定值14C ．直线11B C 与BD 所成角为2π D ．若D 为1AA 中点，则四棱锥1D BB FE -的外接球体积为556π 【答案】CD 【分析】A 当特殊情况M 与B 重合有FM 与BD 相交且共面；B 根据线面垂直、面面垂直判定可证面1BEFB ⊥面11ACC A ，可知EMFS、D 到面1BEFB 的距离，可求D EMF V -；C 根据线面垂直的判定及性质即可确定11B C 与BD 所成角；D 由面面垂直、勾股、矩形性质等确定外接球半径，进而求体积，即可判断各项的正误. 【详解】A ：当M 与B 重合时，FM 与BD 相交且共面，错误； B ：由题意知：BE AC ⊥，AC EF ⊥且BEEF E =，则AC ⊥面1BEFB ，又AC ⊂面11ACC A ，面1BEFB ⋂面11ACC A EF =，所以面1BEFB ⊥面11ACC A ，又1121122EMFSEF BE =⋅⋅=⨯⨯=，D 到面1BEFB 的距离为1h =，所以1133D EMF EMFV h S-=⋅⋅=，错误； C ：由AB BC ⊥，1BC B B ⊥，1B BAB B =，所以BC ⊥面11ABB A ，又11//BC B C ，即11B C ⊥面11ABB A ，而BD ⊂面11ABB A ，则11BD B C ⊥，正确；D ：由B 中，面1BEFB ⊥面11ACC A ，即面DEF ⊥面1BEFB ，则D 到面1BEFB 的距离为1h =，又D 为1AA 中点，若1,BF EB 交点为O ，G 为EF 中点，连接,,OG GD OD ，则OG GD ⊥，故225OD OG GD =+=，由矩形的性质知：152OB OE OF OB ====，令四棱锥1D BB FE -的外接球半径为R ，则5R =，所以四棱锥1D BB FE -的外接球体积为35435V R ππ==，正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：利用线面、面面关系确定几何体的高，结合棱锥体积公式求体积，根据线面垂直、勾股定理及矩形性质确定外接球半径，结合球体体积公式求体积.4．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，中，E 为棱1CC 上的中点，F 为棱1AA 上的点，且满足1:1:2A F FA =，点F ，B ，E ，G ，H 为过三点B ，E ，F 的平面BMN 与正方体1111ABCD A B C D -的棱的交点，则下列说法正确的是（ ）A ．//HF BEB ．三棱锥的体积14B BMN V -=C ．直线MN 与平面11A B BA 所成的角为45︒D ．11:1:3D G GC = 【答案】ABD 【分析】面面平行性质定理可得出A 正确；等体积法求得B 正确；直线MN 与平面11A B BA 所成的角为1B MN ∠，求其正切值不等于1即可得出C 错误；利用面面平行性质定理和中位线求出11,D G GC 长度即可得出D 正确. 【详解】解：对于A.在正方体1111ABCD A B C D -中平面11//ADA D 平面11BCB C ， 又平面11ADA D 平面BMN HF =，平面11BCB C ⋂平面BMN BE =，有平面与平面平行的性质定理可得//HF BE ，故正确； 对于B.因为1:1:2A F FA =，所以111332B M A B ==， 又E 为棱1CC 上的中点，所以14B N =, 所以1111234432B BMN N B BM V V --⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故正确；对于C.由题意及图形可判定直线MN 与平面11A B BA 所成的角为1B MN ∠， 结合B 选项可得1114tan 13B N B MN B M ∠==≠，故错误； 对于D.同A 选项证明方法一样可证的11//GC B M ，因为E 为棱1CC 上的中点，1C 为棱1B N 上的中点，所以1113=22GC B M = 所以11G=2D ，所以11:1:3D G GC =，故正确. 故选：ABD 【点睛】求体积的常用方法：（1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；（2）等体积法：选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换；（3）割补法：首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算.5．如图，已知正方体1ABCD ABC D -的棱长为a ，E 是棱CD 上的动点.则下列结论中正确的有（ ）A ．11EB AD ⊥B ．二面角11E A B A --的大小为4π C ．三棱锥11A B D E -体积的最小值为313a D ．1//D E 平面11A B BA 【答案】ABD 【分析】连接1A D 、1B C ，则易证1AD ⊥平面11A DCB ，1EB ⊂平面11A DCB ，则由线面垂直的性质定理可以判断选项A 正确；二面角11E A B A --的平面角为1DA A ∠，易知14DA A π∠=，则可判断选项B 正确；用等体积法，将求三棱锥11A B D E -的体积转化为求三棱锥11E AB D -的体积，当点E 与D 重合时，三棱锥11E AB D -的体积最小，此时的值为316a ，则选项C 错误；易知平面11//D DCC 平面11A B BA ，而1D E ⊂平面11D DCC ，则根据面面平行的性质定理可得1//D E 平面11A B BA ，可判断选项D 正确. 【详解】选项A ，连接1A D 、1B C ，则由正方体1ABCD ABC D -可知，11A D AD ⊥，111A B AD ⊥，1111A DA B A =，则1AD ⊥平面11A DCB ，又因为1EB ⊂平面11A DCB ，所以11EB AD ⊥，选项A 正确； 选项B ，因为11//DE A B ，则二面角11E A B A --即为二面角11D A B A --， 由正方体1ABCD ABC D -可知，11A B ⊥平面1DA A ， 则1DA A ∠为二面角11D A B A --的平面角，且14DA A π∠=，所以选项B 正确；选项C ，设点E 到平面11AB D 的距离为d ， 则11111113A B D E E AB D AB D V V S d --==⋅，连接1C D 、1C B ，易证平面1//BDC 平面11AB D ，则在棱CD 上，点D 到平面11AB D 的距离最短， 即点E 与D 重合时，三棱锥11A B D E -的体积最小， 由正方体1ABCD ABC D -知11A B ⊥平面1ADD ， 所以1111123111113326D AB D B ADDADD a V V S A B a a --==⋅=⋅⋅=，则选项C 错误；选项D ，由正方体1ABCD ABC D -知，平面11//CC D D 平面11A B BA ，且1D E ⊂平面11CC D D ， 则由面面平行的性质定理可知1//D E 平面11A B BA ，则选项D 正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题对于选项C 的判断中，利用等体积法求三棱锥的体积是解题的关键.6．在直角梯形ABCD 中，2ABC BCD π∠=∠=，1AB BC ==，2DC =，E 为DC 中点，现将ADE 沿AE 折起，得到一个四棱锥D ABCE -，则下列命题正确的有（ ） A ．在ADE 沿AE 折起的过程中，四棱锥D ABCE -体积的最大值为13B ．在ADE 沿AE 折起的过程中，异面直线AD 与BC 所成的角恒为4π C ．在ADE 沿AE 折起的过程中，二面角A EC D --的大小为45︒D ．在四棱锥D ABCE -中，当D 在EC 上的射影恰好为EC 的中点F 时，DB 与平面ABCE【答案】ABD 【分析】对于A ，四棱锥D ABCE -的底面面积是固定值，要使得体积最大，需要平面DAE ⊥平面ABCE ，此时DE CE ⊥，可求得1133D ABCE ABCE V S DE -=⋅=可判断A ；对于B ，在ADE 沿AE 折起的过程中，//AE BC ，所以异面直线AD 与AE 所成的角即为AD 与BC所成角，由翻折前可知4DAE π∠=可判断B ；对于C ，利用线面垂直的判定定理，结合翻折前可知AE ⊥平面DEC ，又AE ⊂平面ABCE ，所以平面DEC ⊥平面ABCE ，即二面角A EC D --的在大小为2π判断C ；对于D ，利用线面垂直的判定定理可知DF ⊥平面ABCE ，所以DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角，在直角DFB △中，tan 5DF DBF BF ∠==，可判断D 正确；【详解】对于A ，ADE 沿AE 折起得到四棱锥D ABCE -，由四棱锥底面面积是固定值，要使得体积最大，需要四棱锥的高最大，即平面DAE ⊥平面ABCE ，此时DE CE ⊥，由已知得1DE =，则111111333D ABCE ABCE V S DE -=⋅=⨯⨯⨯=，故A 正确； 对于B ，在ADE 沿AE 折起的过程中，//AE BC ，所以异面直线AD 与AE 所成的角即为AD 与BC 所成角，又1AB BC ==，2DC =，E 为DC 中点，可知4DAE π∠=，即异面直线AD 与BC 所成的角恒为4π，故B 正确； 对于C ，由翻折前知，,AE EC AE ED ⊥⊥，且ECED E =，则AE ⊥平面DEC ，又AE ⊂平面ABCE ，所以平面DEC ⊥平面ABCE ，即二面角A EC D --的大小为2π，故C 错误； 对于D ，如图连接,DF BF ，由C 选项知，AE ⊥平面DEC ，又DF ⊂平面DEC ，则AE DF ⊥，又由已知得EC DF ⊥，且EC AE E ⋂=，则DF ⊥平面ABCE ，所以DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角，在直角DFB △中，222222113122152tan 511122DE CE DFDBF BFBC CE ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∠=====⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以DB 与平面ABCE 所成的角的正切为155，故D 正确； 故选：ABD 【点睛】关键点睛：本题考查立体几何综合问题，求体积，求线线角，线面角，面面角，解题的关键要熟悉几种角的定义，通过平移法找到线线角，通过证垂直找到线面角和面面角，再结合三角形求出角，考查了学生的逻辑推理能力，转化能力与运算求解能力，属于难题.7．如图，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点C ，D 的动点，将ADE 沿AE 翻折成SAE △，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．存在点E 和某一翻折位置，使得SB SE ⊥B ．存在点E 和某一翻折位置，使得//AE 平面SBCC ．存在点E 和某一翻折位置，使得直线SB 与平面ABC 所成的角为45°D ．存在点E 和某一翻折位置，使得二面角S AB C --的大小为60°【答案】ACD【分析】依次判断每个选项：当SE CE ⊥时，⊥SE SB ，A 正确，//AE 平面SBC ，则//AE CB ，这与已知矛盾，故B 错误，取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，计算得到2cos 3α=，C 正确，取二面角D AE B --的平面角为60︒，计算得到5tan θ=，故D 正确，得到答案. 【详解】当SE CE ⊥时，SE AB ⊥，SE SA ⊥，故SE ⊥平面SAB ，故⊥SE SB ，A 正确； 若//AE 平面SBC ，因AE ⊂平面ABC ，平面ABC平面SBC BC =，则//AE CB ， 这与已知矛盾，故B 错误；如图所示：DF AE ⊥交BC 于F ，交AE 于G ，S 在平面ABCE 的投影O 在GF 上， 连接BO ，故SBO ∠为直线SB 与平面ABC 所成的角，取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，3DE =，故5AE DF ==， 1CE BF ==，125DG =，12cos 5OG α=，故只需满足12sin 5SO OB α==， 在OFB △中，根据余弦定理： 2221213121312sin 1cos 2cos cos 55555OFB ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+---∠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2cos 3α=，故C 正确；过O 作OM AB ⊥交AB 于M ，则SMO ∠为二面角S AB C --的平面角， 取二面角D AE B --的平面角为60︒，故只需满足22DG GO OM ==，设OAG OAM θ∠=∠=，84ππθ<<，则22DAG πθ∠=-， tan tan 22DGOG AG πθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得到2tan tan 21θθ=，解得5tan 5θ=，验证满足，故D 正确；故选：ACD.【点睛】本题考查了线线垂直，线面平行，线面夹角，二面角，意在考查学生的计算能力，推断能力和空间想象能力.8．如图四棱锥P ABCD-，平面PAD⊥平面ABCD，侧面PAD是边长为26的正三角形，底面ABCD为矩形，23CD=，点Q是PD的中点，则下列结论正确的是（）A．CQ⊥平面PADB．PC与平面AQC所成角的余弦值为22 3C．三棱锥B ACQ-的体积为62D．四棱锥Q ABCD-外接球的内接正四面体的表面积为3【答案】BD【分析】取AD的中点O，BC的中点E，连接,OE OP，则由已知可得OP⊥平面ABCD，而底面ABCD为矩形，所以以O为坐标原点，分别以,,OD OE OP所在的直线为x轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可.【详解】解：取AD的中点O，BC的中点E，连接,OE OP，因为三角形PAD为等边三角形，所以OP AD⊥,因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ，因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(O D A ，(P C B ，因为点Q 是PD的中点，所以)2Q ， 平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，6(22QC =-，显然 m 与QC 不共线， 所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；3632(6,23,32),(,0,),(26,22PC AQ AC =-==， 设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =，则 3602260n AQ x z nAC ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令=1x ，则y z ==， 所以(1,2,n =-，设PC 与平面AQC 所成角为θ，则21sin 36n PCn PC θ⋅===， 所以cos θ=，所以B 正确； 三棱锥B ACQ -的体积为1132BACQ Q ABC ABC V V S OP --==⋅ 1116322=⨯⨯⨯=， 所以C不正确；设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为)M a ，则MQ MD=，所以2222222a a⎛⎫++-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0a =，即M 为矩形ABCD 对角线的交点，所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线， 故正方体的棱长为2x ，所以222362x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，得224x =， 所以正四面体的表面积为234243x ⨯=，所以D 正确. 故选：BD【点睛】此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.9．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（ ）A ．直线BD 1⊥平面A 1C 1DB ．三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C ．异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°，90°]D ．直线C 1P 与平面A 1C 1D 6 【答案】ABD【分析】在A 中，推导出A 1C 1⊥BD 1，DC 1⊥BD 1，从而直线BD 1⊥平面A 1C 1D ；在B 中，由B 1C ∥平面 A 1C 1D ，得到P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，再由△A 1C 1D 的面积是定值，从而三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C 1P 与平面A 1C 1D． 【详解】解：在A 中，∵A 1C 1⊥B 1D 1，A 1C 1⊥BB 1，B 1D 1∩BB 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1，∴A 1C 1⊥BD 1，同理，DC 1⊥BD 1，∵A 1C 1∩DC 1＝C 1，∴直线BD 1⊥平面A 1C 1D ，故A 正确；在B 中，∵A 1D ∥B 1C ，A 1D ⊂平面A 1C 1D ，B 1C ⊄平面A 1C 1D ，∴B 1C ∥平面 A 1C 1D ，∵点P 在线段B 1C 上运动，∴P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，又△A 1C 1D 的面积是定值，∴三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值，故B 正确；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]，故C 错误；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，P （a ，1，a ），则D （0，0，0），A 1（1，0，1），C 1（0，1，1），1DA ＝（1，0，1），1DC ＝（0，1，1），1C P ＝（a ，0，a ﹣1），设平面A 1C 1D 的法向量(),,n x y z =， 则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x ＝1，得1,1,1n ，∴直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为： 11||||||C P n C Pn ⋅⋅＝∴当a＝12时，直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为3，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解；（2）、用空间向量坐标公式求解.10．半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为2，则（）A．BF⊥平面EABB．该二十四等边体的体积为20 3C．该二十四等边体外接球的表面积为8πD．PN与平面EBFN所成角的正弦值为2 2【答案】BCD【分析】A用反证法判断；B先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C先找到球心与半径，再计算表面积判断；D 先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．【详解】解：对于A ，假设A 对，即BF ⊥平面EAB ，于是BF AB ⊥，90ABF ∠=︒，但六边形ABFPQH 为正六边形，120ABF ∠=︒，矛盾，所以A 错；对于B ，补齐八个角构成棱长为2的正方体， 则该二十四等边体的体积为3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=， 所以B 对；对于C ，取正方形ACPM 对角线交点O ，即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为2R =，其表面积为248R ππ=，所以C 对；对于D ，因为PN 在平面EBFN 内射影为NS ，所以PN 与平面EBFN 所成角即为PNS ∠，其正弦值为22PS PN ==，所以D 对． 故选：BCD ．【点睛】本题考查了正方体的性质，考查了直线与平面所成角问题，考查了球的体积与表面积计算问题．。

1 立体几何 小题练习2 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．下列命题正确的是 ( )

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 答案 C

2．设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是( ) A．a∥b，b⊂α，则a∥α B．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b C．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β D．α∥β，a⊂α，则a∥β 答案：D 解析：由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，知： 在A中，a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误； 在B中，a⊂α，b⊂β，α∥β则a与b平行或异面，故B错误； 在C中，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误； 在D中，α∥β，a⊂α，则由面面平行的性质定理得，a∥β，故D正确． 3．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥

平面MNP的图形是 ( )

A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 答案 A解析 由线面平行的判定定理知图①②可得出AB∥平面MNP.

4．已知两个平面相互垂直，下列命题 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 ③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面 ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面． 其中正确命题个数是( ) A．3 B．2 C．1 D．0 答案：C 解析：

构造正方体ABCD－A1B1C1D1，如图， 2

①，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，BD⊂平面ABCD，但A1D与BD不垂直，故①错； ②，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，l是平面ADD1A1内的任意一条直线，l与平面ABCD内同AB平行的所有直线垂直，故②正确； ③，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，但A1D与平面ABCD不垂直，故③错； ④，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，过交线AD上的点作交线的垂线l，则l可能与另一平面垂直，也可能与另一平面不垂直，故④错．故选C.

A ．B ．223．若直线的方向向量为，平面l bA ．()(1,0,0,2,0,0b n ==-()(0,2,1,1,0,1b n ==--A ．B ．5136．如图，在平行六面体ABCDA．1122a b c -++C．1122a b c --+7．如图，在四面体OABC中，1-16．已知四棱锥P ABCDPC棱上运动，当平面1．C【分析】根据已知结合向量的坐标运算可得出，且.然后根据向量的数量积a b a +=- 14a = 运算求解，即可得出答案.【详解】由已知可得，且.()1,2,3a b a+=---=-14a =又，()7a b c +⋅= 所以，即有，7a c -⋅= cos ,14cos ,7a c a c a c -⋅=-=所以，.1cos ,2a c =-又，所以.0,180a c ≤≤ ,120a c =︒ 故选：C.2．C【分析】利用中点坐标公式求出中点的坐标，根据空间两点间的距离公式即可得出中线BC 长.【详解】由图可知：，，，(0,0,1)A (2,0,0)B (0,2,0)C 由中点坐标公式可得的中点坐标为，BC (1,1,0)根据空间两点间距离公式得边上的中线的长为.BC 22211(1)3++-=故选：C 3．D【分析】若直线与平面平行，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，利用向量数量积检验.【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，l bαn 若可能，则，即.//l αb n ⊥r r 0b n ⋅=r r A 选项，；()1220b n =⨯-⋅=-≠B 选项，；11305160b n =⨯⨯⋅+⨯+=≠C 选项，；()()01201110b n =⨯-+⨯+⨯-⋅=-≠D 选项，；()1013310b n =⨯+-⨯=⋅+⨯因为，，3AB =4BC =2PA =所以()()(0,0,2,3,0,0,0,0,1P B Q 设平面的法向量为BQD (m x =()(),,3,0,1m BQ x y z ⎧设，2AB AD AS ===则()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,A S C P 设，()0,,2M t t -(1,1,2OM t =--所以1120OM AP t t ⊥=-+-+-=点到平面与平面的距离和为为定值，D 选项正确.M ABCD SAB 22t t -+=，，()2,0,0B ()()2,0,2,0,2,0SB BC =-=设平面的法向量为，SBC (),,n x y z =则，故可设，22020n SB x z n BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩()1,0,1n = 要使平面，又平面，//OM SBC OM ⊄SBC 则，()()1,1,21,0,11210OM n t t t t ⋅=---⋅=-+-=-=解得，所以存在点，使平面，B 选项正确.1t =M //OM SBC 若直线与直线所成角为，又，OM AB 30︒()2,0,0AB =则，()()222213cos3022661122OM ABOM ABt t t t ⋅-︒====⋅-++-+-⨯ 整理得，无解，所以C 选项错误.23970,8143730t t -+=∆=-⨯⨯=-<故选：ABD.10．BCD【分析】根据向量的多边形法则可知A 正确；根据向量的三角不等式等号成立条件可知，B 错误；根据共线向量的定义可知，C 错误；根据空间向量基本定理的推论可知，D 错误．【详解】对A ，四点恰好围成一封闭图形，根据向量的多边形法则可知，正确；对B ，根据向量的三角不等式等号成立条件可知，同向时，应有，即必要,a b a b a b+=+ 性不成立，错误；对C ，根据共线向量的定义可知，所在直线可能重合，错误；,a b对D ，根据空间向量基本定理的推论可知，需满足x +y +z =1，才有P 、A 、B 、C 四点共面，错误．故选：BCD ．11．AB【分析】以，，作为空间的一组基底，利用空间向量判断A ，C ，利用空间向量法ABAD AA 可得面，再用向量法表示，即可判断B ，利用割补法判断D ；1AC ⊥PMN AH【详解】依题意以，，作为空间的一组基底，ABAD AA 则，，11AC AB AD AA =++ ()1122MN BD AD AB ==-因为棱长均为2，，11π3A AD A AB ∠=∠=所以，，224AB AD == 11π22cos 23AA AD AA AB ⋅=⋅=⨯⨯= 所以()()1112D A A C MN AD A A B AA B++⋅⋅=- ，()2211102AB AD AB AD AB AD AA AD AA AB ⋅-+-⋅+==⋅+⋅故，即，故A 正确；1AC MN ⊥1AC MN ⊥同理可证，，面，面，PN AC ⊥MN PN N ⋂=MN ⊂PMN PN ⊂PMN 所以面，即面，即为正三棱锥的高，1AC ⊥PMN AH ⊥PMN AH A PMN -所以()()1133AH AN NH AN NP NM AN AP AN AM AN=+=++=+-+- ，()13AP AM AN =++又，，分别是，，的中点，，P M N 1AA AB AD π3PAM PAN MAN ∠=∠=∠=所以，则三棱锥是正四面体，1PA AM AN PM MN PN ======P AMN -所以()11111133222AH AP AM AN AA AB AD ⎛⎫=++=⨯++ ⎪⎝⎭ ，()111166AA AB AD AC =++=所以，故B 正确；116AH AC =因为()211AC AB AD AA =++ ()()()222111222AB ADAA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅ ，2426==()21111111=AC AA AB AD AA AA AB AA AD AA AA ⋅=++⋅⋅+⋅+ ，11222222=822=⨯⨯+⨯⨯+⨯设直线和直线所成的角为，1AC 1BB θ则，故C 错误；1111111186cos cos ,cos ,3262AC AA AC BB AC AA AC AA θ⋅=====⨯ ，11111111111111A B D C ABCD A B C D A B D A C B D A B ABC D ADCV V V V V V ------=----其中，1111111111116ABCD A B C D A B D A C B D C B ABC D ADC V V V V V -----====所以，故D 错误.1111113A B D C ABCD A B C D V V --=故选：AB.关键点睛：本题解决的关键点是利用空间向量的基底法表示出所需向量，利用空间向量的数量积运算即可得解.12．AC【分析】对于A ，根据即可算出的值；对于B ，根据计算；对于C ，根据||2a = m a b ⊥ m 计算即可；对于D ，根据求出，从而可计算出.a b λ= 1a b ⋅=- m a b + 【详解】对于A ，因为，所以，解得，故A 正确；||2a = 2221(1)2m +-+=2m =±对于B ，因为，所以，所以，故B 错误；a b ⊥ 2120m m -+-+=1m =对于C ，假设，则，a b λ= (1,1,)(2,1,2)m m λ-=--所以，该方程组无解，故C 正确；()12112m m λλλ=-⎧⎪-=-⎨⎪=⎩对于D ，因为，所以，解得，1a b ⋅=- 2121m m -+-+=-0m =所以，，所以，故D 错误.(1,1,0)a =- (2,1,2)b =-- (1,2,2)+=-- a b 故选：AC.13．15【分析】根据线面垂直，可得直线的方向向量和平面的法向量共线，由此列式计算，即得答案.【详解】∵，∴，∴，解得，l α⊥u n ∥ 3123a b ==6,9a b ==∴，15a b +=故1514．2【分析】根据垂直得到，得到方程，求出.()0a a b λ⋅-= 2λ=【详解】，()()()2,1,31,2,12,12,3a b λλλλλ-=---=--- 因为，所以，()a a b λ⊥- ()0a a b λ⋅-= 即，()()2,12,3241293702,1,134λλλλλλλ----=-++-+-=+⋅-=解得.2λ=故215．17【分析】利用向量的加法，转化为，直接求模长即可.CD CA AB BD =++ 【详解】因为.CD CA AB BD =++ 所以()22CD CA AB BD =++ 222222CA CA AB AB AB BD BD CA BD=+⋅++⋅++⋅ 222132022042342⎛⎫=+⨯++⨯++⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭17=所以.17CD = 故答案为.1716．33【分析】首先建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量垂MBD PCD 直求点的位置，并利用向量法求异面直线所成角的余弦值，即可求解正弦值.M 【详解】如图，以点为原点，以向量为轴的正方向，建立空间直角坐标A ,,AB AD AP ,,x y z 系，设，2AD AP ==，，，，()2,0,0B ()0,2,0D ()002P ,,()2,2,0C 设,()()()0,2,22,2,22,22,22DM DP PM DP PC λλλλλ=+=+=-+-=-- ，，，()2,2,0BD =-u u u r ()2,0,0DC =u u u r ()0,2,2DP =- 设平面的法向量为，MBD ()111,,m x y z =r ，()()11111222220220DM m x y z DM m x y λλλ⎧⋅=+-+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩33故。