六年级数学上册思维训练：立体几何

小学数学总复习-立体图形班级：姓名：分数：基础练习1、填空（1）把圆柱的侧面沿高展开，一般可以得到（长方）形，这个图形的长相当于（底面圆周长），宽相当于（高）。

（2）用一根铁丝焊接成一个长10厘米、宽3厘米、高2厘米的长方体框架，至少需要铁丝（ 60 ）厘米。

（3）一个长方体最多可以有（ 2 ）个面是正方形，最多可有( 8 )条棱长相等。

（4）做一个圆柱形铁皮罐头盒，求需要多少铁皮，是求它的（表面积），罐头盒周围贴商标纸，求商标纸的面积是求它的（侧面积）。

（5）做一只圆柱形通风管要用多少铁皮，是求它的（侧面积）。

（6）一个正方体的底面周长是8分米，它的表面积是（24平方分米），体积是（8立方分米）。

（7）圆锥的体积是100立方米，高是10米，它的底面积是（30 ）平方米。

（8）一个圆柱和圆锥的体积相等，底面积也相等，圆柱高6厘米，圆锥高（ 18 ）厘米。

（9）圆柱与圆锥的高之比是3：2,底面半径比是4：3，那么圆柱与圆锥的体积比是（8:1）。

分析：半径之比为4：3，则底面积之比为16π：9π=16:9圆柱体积=16*3=48圆锥体积=9*2*（1/3）=6圆柱和圆锥的体积之比是48/6=8/1拓展练习1、一个正方体所有棱长的和是72厘米，它的表面积是多少平方厘米？棱长＝72/12=6CM,表面积＝6＊6＊6＝216平方厘米2、一个长方体所有棱长的和是96厘米，长、宽、高的比是3：2：1，它的体积是多少立方厘米？长+宽+高=96÷4=24厘米；长=24×3÷(3+2+1)=12厘米；宽=24×2÷(3+2+1)=8厘米；3、小明要糊一个长方体募捐箱，但忘了箱子的长，宽，高，只记得是框架是用一根36分米的铁丝做成的，而且长、宽、高都是整分米数，他至少要买多少红纸才能保证够用？36/4=9(长方体框架由4条长、4条宽及4条高组成)也即长宽高的和为9表面积最小，长宽高尽可能接近。

六年级上册第10讲10立体几何首先，我们来复习长方体、正方体的体积与表面积的计算方法．图形体积表面积c V=abc长方体S=2×(ab+bc+c a)长方体a bV=a=3 S6a2正方体正立方体a70身体健康立体几何课本例题1将表面积为54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三个实心铁质正方体熔铸成一个大正方体（不计损耗）．请问：这个大正方体的体积是多少立方厘米？分析所给的每个正方体的棱长是多少？体积是多少？熔铸成一个大正方体的体积怎么求？练习1.3个相同的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积为350平方厘米，那么每个正方体的体积是多少立方厘米？例题2一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米．请问：这个长方体的表面积是多少平方厘米？分析我们先考虑第一种情况，长增加2厘米，高和宽保持不变．如下图（1），多出的体积用虚线表示，我们就会发现，这一块的体积为2×高×宽=40（立方厘米），由此可以求出左右两个侧面的面积．当然另两对侧面也可以用类似的方法求出．?2??3 Щ?4Щ?1??2??3?71身体健康六年级上册第10讲练习2.一个长方体，如果长减少2厘米，宽和高不变，它的体积将减少48立方厘米；如果宽增加3厘米，长和高不变，它的体积将增加99立方厘米；如果高增加4厘米，长和宽都不变，它的体积则会增加352立方厘米．那么这个长方体的表面积是多少平方厘米？例题3有30个棱长为1米的正方体，如图所示堆成一个四层的立体图形．请问：该立体图形的表面积等于多少平方米？分析所谓表面积，就是立体图形露在外面的总面积．我们可以从上、下、左、右、前、后6个不同的方向去考虑这个立体图形，把每个方向露出的面积加在一起就行了．练习3.把棱长为1厘米的正方体，像下图这样层层重叠放置，那么当重叠到第五时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？三视图众所周知，一个物体从正面看与从后面看，从左边看与从右边看、从上面看与从下面看得到的图形都是相同的，于是我们把从正面、左面、上面看过去得到的图形，分别叫做正视图、左视图、俯视图，三个图形合起来我们就称之为三视图．???????72身体健康立体几何课本那么请同学们想一想，一个圆锥的三视图是什么样子的呢？给定了三视图，它所对应的物体形状是不是唯一确定的呢？如果一个物体的三视图如下所示，它的形状又可能有哪几种呢？?????例题4一个正方体被切成24个大小形状相同的小长方体（见右图），这些小长方体的表面积之和为162平方厘米，那么原正方体的体积是多少立方厘米？分析我们先来分析一下切成小块的过程中，图形的表面积是如何变化的．同学们请看下图：一刀下去，正方体被一分为二．表面积和原来相比，正好多出了A、B 两个面．不难看出，这两个面的面积都等于原正方体6个面中1个面的面积．按这种方法，每切一刀，增加的都是两个面的面积．同学们可以计算一下，按如图的方式切了6刀后，表面积究竟增加了多少？练习4.如图所示，有一个长方体，先后沿不同方向切了三刀．切完第一刀后得到的两个小长方体的表面积之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的四个小长方体的表面积之和是632平方厘米，切完第三刀后得到的八个小长方体的表面积之和是752平方厘米．那么在原来长73身体健康六年级上册第10讲方体的6个面中，面积最小的面是多少平方厘米？除了长方体、正方体之外，圆柱和圆锥在我们的生活中也特别常见．??????如图，圆柱的两个圆面叫做底面；周围的面叫做侧面；两个底面之间的距离叫做高．圆锥的圆面叫做底面；尖点叫做顶点；顶点到底面的距离叫做高；顶点到底面圆周上任意一点的连线叫做母线．关于圆锥的内容，我们不作深入的学习，同学们只需要学会如何计算它的体积即可．立体图形体积侧面展开图h V圆柱= 底面积×高= r2h圆柱的侧面展开图为长方形，长为圆柱底面周长，宽为圆柱的高．r圆锥的侧面展开图为扇形，半hr V圆锥=1313×底面积×高2h径为母线（不是圆锥的高！），弧长为圆锥底面周长．（注：圆锥侧面展开只需了解，不需掌握）大家可以把圆柱想象成一个底面是圆形的柱子，那其他柱体也就是底面是其他图形的柱子．如图，所有“上下一般粗”的图形都称为柱体，图中的两个图形分别叫做三棱柱和四棱柱，它们的体积计算公式都是：V= 底面积×高埃及金字塔金字塔是4000多年前古埃及法老的陵墓，因为其造型的雄伟和年代的久远，被誉为世界七大奇迹之首．其中最大的一座是兴建于公元前2760年的胡夫金字塔．据历史学家推测，当年建造这座金字塔一共动用了10万人的劳力，前后历时30年，才得以竣工．74身体健康立体几何课本在胡夫金字塔的东南面还有著名的狮身人面像，是法老胡夫的儿子哈佛拉的形象．两者交相辉映，甚为壮观．从形状上看，胡夫金字塔是一个正四棱锥，底座是一个正方形，侧面是4个形状一胡夫金字塔侧视图胡夫金字塔俯视图模一样的等边三角形．正方形底座每边长约230米，塔高约147米，有将近50层楼高！这么一个庞然大物，它的体积究竟是多少呢？例题5张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成了一个容积最大的圆柱体粮囤．今年他改用长3米、宽2米的长方形苇席来围，也同样围成容积最大的圆柱囤．请问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍？分析用长方形苇席成圆柱体的粮囤只有两种围法，如下图所示．用去年的苇席怎样围，得到的圆柱体粮囤最大？用今年的苇席呢？练习5.有一根长为20厘米、底面直径为6厘米的圆柱体钢材，在它的两端各钻一个深为4厘米、底面直径也为6厘米的圆锥形的孔，做成一个零件（如右图）．这个零件的体积为多少立方厘米？75六年级上册第10讲例题6一个底面长30分米、宽10分米、高12分米的长方形水池，存有四分之三的池水．（1）将一个高11分米，体积330立方分米的圆柱放入池中，水面的高度变为几分米？（2）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了几分米？（3）如果再放入一个同样的圆柱，水面高度又变成了几分米？分析圆柱放入水中可能有如下几种情况：（1）水浸没了圆柱的一部分．这时的情况如图所示：????????????????????（2）水把圆柱都浸没了，但是水没有溢出池面，如图所示：?????????（3）水溢出了水池．这时水面的新高度就是水池的高度．如图所示：ē? ??? ??????因此，在一次次放入圆柱时，我们要做两次判断：先要判断放入圆柱后，水是否完全浸没圆柱；如果完全浸没，再判断水是否会溢出水池．然后才来求解．76立体几何课本练习6.一个底面长20分米、宽8分米、高15分米的长方形水池，存有三分之二池水．将一个高50分米，体积400立方分米的长方体竖直放入池中，那么长方体被水浸湿的部分有几分米高？思考题右图是一个棱长为4厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长1厘米的正方体，做成一种玩具．该玩具的表面积是多少平方厘米？如果把这些洞都打穿，表面积又变成了多少平方厘米？本讲知识点汇总一、长方体、正方体的表面积与体积公式．二、圆柱体、圆锥体的体积公式．三、三视图法求表面积．四、立体图形与排水问题．作业1.一个长方体的体积是120立方厘米，底面是面积为4平方厘米的正方形，求长方体的表面积．77六年级上册第10讲2.如图，同样大小的立方体木块堆放在房间的一角，一共垒了10层，那么在这10层中看不见的木块共有多少个？3.一个正方体棱长10厘米，在它的表面上挖去一个棱长3厘米的小正方体．请求出剩下立体图形表面积的所有可能．4.求下面图形的体积：（取＝3.14）1410165.一个圆柱形玻璃杯内装着水，水面高2.5厘米．从里面量，玻璃杯的底面积是72平方厘米．将一个棱长为6厘米的正方体铁块放入杯中，水面会淹没铁块吗？如果没有，这时水面高多少厘米？78。

２０14年六年级数学思维训练：立体几何一、兴趣篇1.一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米.若它的棱长总和等于另一个正方体的棱长总和，则长方体与正方体的表面积之比是多少？长方体体积比正方体体积少多少立方厘米？２.如图,将长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米?如果四角去掉边长为3厘米的正方形呢?3.用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形,这个图形的表面积是多少平方厘米?4.(1)如图1，将一个棱长为6的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为４、３、5的长方体，剩余部分的表面积是多少？（２）如图2，将一个棱长为５的正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为5、4、３的长方体，它的表面积减少了百分之几?5．（201３•北京模拟)如图是一个边长为2厘米的正方体.在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞;接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞;第三个小洞的挖法与前两个相同,边长为厘米.那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？6．（20１2•北京模拟）(1)如图，将4块棱长为1的正方体木块排成一排,拼成一个长方体．那么拼合后这个长方体的表面积,比原来４个正方体的表面积之和少了多少?（2)一个正方体形状的木块,棱长为1，如图所示，将其切成两个长方体,这两部分的表面积总和是多少？如果在此基础上再切4刀,将其切成大大小小共1８块长方体.这1８块长方体表面积总和又是多少？7.这里有一个圆柱和一个圆锥（如图)，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米.请回答:圆锥体积与圆柱体积的比是多少?８．如图,一块三层蛋糕,由三个高都为１分米,底面半径分别为1．５分米、１分米和０．５分米的圆柱体组成.请问：（1)这个蛋糕的表面积是多少平方分米？（л取3.1４）（2)如果沿经过中轴线ＡＢ的平面切一刀,将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和又是多少?9．有大、中、小三个立方体水池,它们的内部棱长分别是6米、3米、2米，三个池子都装了半池水．现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了６厘米和４厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面会升高多少厘米?(结果精确到小数点后两位）１0．有一个高24厘米,底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装了一半水,现有一根长30厘米,底面半径为2厘米的圆柱体木棒．将木棒竖直放入容器中,使棒的底面与容器的底面接触,这时水面升高了多少厘米？二、拓展篇1１．将表面积分别为54、96和１５０平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体(不计损耗),求这个大正方体的体积．１2．（201２•深圳校级模拟)一个长方体,如果长增加２厘米，则体积增加4０立方厘米;如果宽增加3厘米,则体积增加90立方厘米;如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米．求原长方体的表面积．1３．如图,有30个棱长为１米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：这个立体图形的表面积等于多少？１4.如图1,将一个棱长为10的正方体从顶点A切掉一个棱长为4的正方体,得到如图2的立体图形,这个立体图形的表面积是多少？如果再从顶点B切掉一个棱长为6的正方体,那么剩下的立体图形的表面积又是多少?15．一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体(如图)，这些小长方体的表面积之和为162平方厘米.请问:原正方体的体积是多少？16．如图是一个棱长为４厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长1厘米的小正方体，做成一种玩具．该玩具的表面积是多少平方厘米？如果把这些洞都打穿，表面积又变成了多少?17.一个无盖木盒从外面量时,其长、宽、高分别为1０厘米、8厘米、5厘米,已知木板厚1厘米，那么做一个木盒,需要这样的木板多少平方厘米？这个木盒的容积又是多少?1８．有一根长为20厘米,直径为6厘米的圆钢,在它的两端各钻一个４厘米深，底面直径也为6厘米的圆锥形的孔,做成一个零件（如图).这个零件的体积为多少立方厘米?（л取3.14）１9．现有一块长、宽、高分别为10厘米、8厘米、6厘米的长方体木块,把它切成体积尽可能大且底面在长方体表面上的圆柱体木块，这个圆柱体木块的体积为多少?（л取3) 20．张大爷去年用长２米宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤，今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤.今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍？２1．左边正方形的边长为4,右边正方形对角线长度为６．如果按照图中的方式旋转,那么得到的两个旋转体的体积之比是多少?22．如图一个底面长30分米，宽10分米，高12分米的长方体水池,存有四分之三池水，请问：（1）将一个高1 1分米，体积３30立方分米的圆柱放入池中，水面的高度变为多少分米? (2）如果再放人一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米?(3)如果再放人一个同样的圆柱,水面高度又变成了多少分米？三、超越篇２3．有一个棱长为20的大立方体,在它的每个角上按如图的方式各做一个小立方体，于是得到８个小立方体．在这些立方体中,上面4个的棱长为12，下面4个的棱长为13．请问：所有这８个小立方体公共部分的体积是多少?24.地上有一堆小立方体,从上面看时如图1，从前面看时如图2，从左边看时如图３.这一堆立方体一共有几个?如果每个小立方体的棱长为1厘米，那么这堆立方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米？25.(1)已知一个圆柱的底面直径为6厘米,高为4厘米．求它的体积和表面积;（答案用兀表示）(２)用一个半径为2５厘米,圆心角为3４５.6°的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的体积是多少?如果圆心角是216°呢？(答案用丌表示)26．将图１、图2中的平面图形分别折叠成一个四棱锥和三棱柱,这两个立体图形的体积分别是多少?（图1正中央是一个面积为１8平方厘米的正方形，每边上分别有一个腰长为5厘米的等腰三角形;图2中的图形由三个长方形和两个直角三角形组成.）27.一个透明的封闭盛水容器,由一个圆柱体和一个圆锥体组成,如图圆柱体的底面直径和高都是12厘米,其内有一些水，正放时水面离容器顶１1厘米，倒放时，水面离顶部5厘米．请问:这个容器的容积是多少立方厘米?(兀取3.１４）28.有一个长方体水池，底面为边长６0厘米的正方形,里面插着一根长1米的木桩，木桩的底面是一个边长15厘米的正方形,木桩有一部分浸在水中，一部分露出水面.现在将木桩提起来2４厘米(仍有部分浸在水里），那么露出水面的木桩浸湿部分面积为多少平方厘米？29．右图是个有底无盖的容器的平面展开图，其中①是边长为18厘米的正方形,②③④⑤是同样大的等腰直角三角形，⑥⑦⑧⑨是同样大的等边三角形．那么，这个容器的容积是毫升.30.有一个三棱柱和一个正方体,三棱柱的底面是一个等边三角形,边长恰好等于正方体的面对角线长度,三棱柱的高恰好等于正方体的体对角线长度,如果正方体的棱长为6,那么三棱柱的体积为多少？ﻬ２0１4年六年级数学思维训练：立体几何参考答案与试题解析一、兴趣篇1.一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米.若它的棱长总和等于另一个正方体的棱长总和，则长方体与正方体的表面积之比是多少？长方体体积比正方体体积少多少立方厘米?【分析】首先根据长方体的棱长总和=（长+宽＋高）×4,求出棱长总和,用棱长总和除以１2求出正方体的棱长,再根据长方体的表面积公式:ｓ=(ab+ah＋bｈ)×2，正方体的表面积公式：s=６a2,长方体的体积公式：v=abh,正方体的体积公式:v=a3,把数据分别代入公式解答.【解答】解：（３+2+1）×4÷1２＝6×4÷12=２4÷1２＝２（厘米），（３×2＋3×1+2×1）×2:（２×2×6)＝11×２：24=22：24=1１：１2；２×2×2﹣３×2×1＝8﹣6=２(立方厘米）,答:长方体与正方体的表面积之比是1１：12,长方体体积比正方体体积少２立方厘米.2．如图,将长为13厘米，宽为９厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？如果四角去掉边长为3厘米的正方形呢？【分析】先根据题意计算出折成的长方体的长，宽，高,即长方体的长=原长方形的长﹣２个正方形的边长，长方体的宽=原长方形的宽﹣2个正方形的边长,长方体的高=正方形的边长,再根据长方体的容积=长×宽×高,计算出容积．【解答】解：长方体的长:13﹣2﹣２＝９(厘米）长方体的宽：９﹣2﹣2=5（厘米)容积为：9×5×2=９０（立方厘米）答：这个容器的容积为９0立方厘米.如果四角去掉边长为3厘米的正方形:长方体的长：13﹣３﹣３=7(厘米）长方体的宽：9﹣3﹣3=３(厘米）容积为：7×3×3=63（立方厘米)答：这个容器的容积为63立方厘米．3.用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形，这个图形的表面积是多少平方厘米?【分析】可以从上下左右前后观察各有几个正方形的面，然后用一个正方形的面的面积乘它的个数,即是这个图形的表面积，据此解答．【解答】解:上、下共:9+9=1８(个），左、右共：７+7＝１4(个），前、后共：７+7＝1４(个),表面积:1×1×（18+14+14）,＝4６（平方厘米）；答：这个图形的表面积是4６平方厘米．4．(１)如图1，将一个棱长为6的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为4、3、5的长方体,剩余部分的表面积是多少？(2)如图2,将一个棱长为５的正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为５、4、３的长方体，它的表面积减少了百分之几?【分析】图１由图意可知，减少的面积的和新增的面的面积相等,所以剩余部分的表面积就是原来长方体的表面积．图2由图意可知，减少的是长是４,宽是3的两个长方形的面积，用减少的面积除以正方体的表面积即可.【解答】解:（１）６×6×6=2１6答:剩余部分的表面积是216.（2)２×4×3÷（5×5×6)=2４÷15０=16％答:它的表面积减少了16%.5.（20１3•北京模拟）如图是一个边长为2厘米的正方体.在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞;接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同,边长为厘米.那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【分析】立体图形的好处就是可以直观视觉,虽然图形被挖去，但６个面看过去都还是面积不变的,特别是从上往下看是,3个正方体的下底面剩下的面积和等于原来的面积,这样就只增加了3个小正方体的各自的侧面;计算出原表面积再加上增加的3个小正方体的各自侧面的面积就是最后得到的立体图形的表面积.【解答】解：原正方体的表面积是:2×2×6＝24(平方厘米)，增加的面积：1×1×4+(×）×4+（×）×4，=４+×４+×4,=４+1+，=５（平方厘米),总表面积为:24＋５=29(平方厘米).答:最后得到的立体图形的表面积是29平方厘米．6．（２012•北京模拟）(1）如图,将4块棱长为1的正方体木块排成一排，拼成一个长方体.那么拼合后这个长方体的表面积，比原来4个正方体的表面积之和少了多少？（２)一个正方体形状的木块,棱长为１，如图所示，将其切成两个长方体,这两部分的表面积总和是多少？如果在此基础上再切４刀，将其切成大大小小共18块长方体．这18块长方体表面积总和又是多少?【分析】（1）观察图形可知,拼组后的长方体的表面积比原来减少了6个小正方体的面的面积，由此即可解答；（２)每切一刀，就增加2个正方体的面，所以这两部分的表面积之和就是８个正方体的面的面积之和;在此基础上再切４刀后，表面积比原来又增加了8个小正方体的面,由此即可解答．【解答】解：(1)6×１×1＝6，答：拼组后表面积减少了6.（２)切一刀，得到的两个长方体的表面积之和是：1×1×(６+2）＝8;再切4刀,则表面积之和是:１×1×（6+10)=16；答:切一刀后，表面积之和是8，再切４刀后，表面积之和是1６.７.这里有一个圆柱和一个圆锥(如图),它们的高和底面直径都标在图上,单位是厘米．请回答：圆锥体积与圆柱体积的比是多少?【分析】利用Ｖ=ｓh求得圆锥的体积,Ｖ=sh求得圆柱的体积，依此可得圆锥体积与圆柱体积的比.【解答】解：圆锥体积:圆柱体积=（×３.1４×22×4)：(3.14×４2×８）=（×2２×4)：(42×８)=１：２4；答：圆锥体积与圆柱体积的比是１：２4.8．如图，一块三层蛋糕,由三个高都为１分米，底面半径分别为１.５分米、１分米和0.5分米的圆柱体组成.请问:（1）这个蛋糕的表面积是多少平方分米？（л取3.１４)（2)如果沿经过中轴线AB的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分,那表面积之和又是多少？【分析】由题意可知:这个物体的表面积是大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，根据公式计算即可．如果沿经过中轴线AB的平面切一刀,将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和圆柱的表面积加上３个长方形的面积乘以2即可．【解答】解（1）大圆柱的表面积：3.14×１.５2×2＋2×3．１4×1.5×1,=14.13+9.42，=２3.55(平方米),中圆柱侧面积:2×3.１4×1×1＝6．28（平方米）,小圆柱侧面积：2×３.1４×0．5×1=３.１4（平方米）,这个物体的表面积:23.55+6.28+3.１4＝32.97（平方米);答:这个物体的表面积是32.97平方米.(2)(1×0.5+１×1＋1×１．５)×2+32.９7=６＋3２．97＝３8．97(平方分米）答:将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和是38.9７平方分米.9．有大、中、小三个立方体水池,它们的内部棱长分别是６米、3米、2米，三个池子都装了半池水.现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里,两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米.如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里,大水池的水面会升高多少厘米？(结果精确到小数点后两位）【分析】根据题意，因为把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积，就等于所沉入的碎石的体积，所以应先求出两块碎石的体积.沉入在中水池的碎石的体积，即3×3×0.０6=0.5４（米３），而沉入小水池中的碎石的体积是：2×２×0.04=0.16(米3）；然后求出两块碎石的体积和,再根据大水池的底面积，求出大水池的水面升高的高度,解决问题．【解答】解：6厘米＝０.06米4厘米=0．04米3×3×0.06＝0.５4（米3）２×2×0.04=0.1６（米３）0.５4+０.16＝0.7(米3)大水池的底面积是:6×6=36(米3)大水池的水面升高了:０.7÷３6=（米）米≈１．94(厘米)．答：大水池的水面大于会升高1.9４厘米．１0.有一个高２４厘米，底面半径为10厘米的圆柱形容器,里面装了一半水，现有一根长30厘米,底面半径为2厘米的圆柱体木棒．将木棒竖直放入容器中，使棒的底面与容器的底面接触，这时水面升高了多少厘米?【分析】放入圆柱体木棒前后的水的体积不变，根据原来水深２4÷2=12厘米,可以先求得水的体积，那么放入圆柱体木棒后，容器的底面积变小了,由此可以求得此时水的深度,进一步即可求解．【解答】解:［3.14×10２×（２4÷2）]÷(3.14×1０2﹣３．１4×2２）=(3.14×１200)÷（3．14×96)=１２0０÷９6=12.5(厘米)12.5﹣2４÷2=１2.５﹣1２=０．５（厘米)．答:这时水面升高了0.5厘米．二、拓展篇１1.将表面积分别为5４、９6和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗)，求这个大正方体的体积．【分析】因为正方体的每一个面的面积相等,所以这三个正方体的每一个面面积是9、16、25平方厘米.故三个正方体的棱长分别是３、4、5厘米．则大正方体的体积只需将三个正方体的体积相加即可．【解答】解:５4÷6＝９（平方厘米),因为3×3＝9,所以这个正方体的棱长是３厘米,9６÷6=１6(平方厘米)，因为4×4＝16，所以这个正方体的棱长是４厘米,150÷6＝２5（平方厘米)，因为5×5=2５,所以这个正方体的棱长是5厘米,33＋4３+53,=2７+64+125，=２1６（立方厘米）,答:这个大正方体的体积是２1６立方厘米．12.(2０１2•深圳校级模拟）一个长方体,如果长增加2厘米,则体积增加４0立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加４厘米,则体积增加96立方厘米．求原长方体的表面积.【分析】由题意,长增加2厘米,体积增加４0立方厘米，可知宽×高×2=40立方厘米,则宽×高＝20平方厘米．同理可知长×高=30平方厘米,长×宽=24平方厘米，根据长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×２.列式解答．【解答】解：长增加2厘米,体积增加4０立方厘米，可知宽×高×2=4０立方厘米,则宽×高=20平方厘米．同理可知长×高=９0÷3＝30平方厘米,长×宽=９６÷4＝24平方厘米,（长×宽+长×高＋宽×高)×2＝（24+30＋20）×2,=74×２，＝14８(平方厘米）；答：原长方体的表面积是１4８平方厘米．1３.如图,有3０个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形.请问：这个立体图形的表面积等于多少?【分析】这个几何体的表面积就是露出小正方体的面的面积之和，从上面看有１6个面;从下面看有1６个面;从前面看有10个面;从后面看有1０个面；从左面看有1０个面；从右面看有10个面．由此即可解决问题．【解答】解:图中几何体露出的面有：10×4+16×２=72（个）所以这个几何体的表面积是:１×１×72=72(平方米)答：这个立体图形的表面积等于7２平方米.1４．如图1,将一个棱长为10的正方体从顶点A切掉一个棱长为４的正方体,得到如图2的立体图形,这个立体图形的表面积是多少?如果再从顶点B切掉一个棱长为6的正方体，那么剩下的立体图形的表面积又是多少？【分析】将原正方体切去一个小正方体后，减少的表面积正好被新增加的表面积所补充，因此新的立体图形的表面积就等于原正方体的表面积，根据正方体的表面积公式即可求解,如果再从顶点B切掉一个棱长为6的正方体，那么剩下的立体图形的表面积是原正方体的表面积﹣边长是4的两个正方形的面积．【解答】解:１０×1０×6=6０0答:这个立体图形的表面积是60０.如果再从顶点Ｂ切掉一个棱长为6的正方体，剩下的立体图形的表面积为:10×10×６﹣4×4×２=6０0﹣3２=568答:剩下的立体图形的表面积是５68．1５.一个正方体被切成2４个大小形状一模一样的小长方体(如图),这些小长方体的表面积之和为1６2平方厘米.请问：原正方体的体积是多少？【分析】由题意，一个正方体被切成２4个大小形状一模一样的小长方体,则需要切6次,每次会增加两个答正方体的面，所以共增加12个大正方体的面，又知这些小长方体的表面积之和为162平方厘米,即原来大正方体的6＋１2=18个面的面积是1６2平方厘米,由此可求得一个面的面积，进而得到大正方体的棱长,再根据正方体的体积公式解答即可.【解答】解：一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体,则需要切６次,共增加12个大正方体的面，一个面的面积:１6２÷(１2+6)＝９（平方厘米），因为３×3=９，所以可知大正方体的棱长是3厘米,大正方体的体积：3×3×３=27(立方厘米），答:原正方体的体积是2７立方厘米.16．如图是一个棱长为４厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长1厘米的小正方体，做成一种玩具.该玩具的表面积是多少平方厘米?如果把这些洞都打穿,表面积又变成了多少？【分析】这个玩具的表面积是大正方体的面积,加上6个边长为1厘米的小正方体的4个侧面的面积,如果把这些洞都打穿，表面积增加4个边长4厘米的小正方体的4个侧面的面积,据此解答即可.【解答】解:玩具的表面积:4×4×6+1×１×６×4=9６+２４＝120(平方厘米）如果把这些洞都打穿,表面积:4×４×６﹣6+1.5×1×４×6=9０+３６=126（平方厘米）答：它的表面积是12０平方厘米．如果把这些洞都打穿,表面积变成了1２6平方厘米．１7.一个无盖木盒从外面量时，其长、宽、高分别为1０厘米、8厘米、5厘米，已知木板厚１厘米，那么做一个木盒,需要这样的木板多少平方厘米?这个木盒的容积又是多少?【分析】如下图:假设用长10厘米，宽8厘米，厚1厘米的木板作底面，那么4个侧面的木板的高就是（5﹣1）厘米,如果前后面用长10厘米,宽4厘米的木板,那么左右面的木板长是(8﹣1﹣１)厘米,左右面木板的宽也是4厘米．然后根据长方体表面积的计算方法，求这5个面的总面积即可．木盒里面的长是(１0﹣1﹣1)厘米，宽是（8﹣1﹣１)厘米,高是（5﹣1)厘米,再根据长方体的容积（体积）公式解答.【解答】解:如图:根据分析:4个侧面的木板的宽是:5﹣１＝4（厘米)１0×8＋10×4×2+(8﹣1﹣１)×４×2＝80+80＋6×4×2=160+48=2０8(平方厘米)(10﹣1﹣1)×(8﹣１﹣１）×(5﹣1)=8×6×4=192（立方厘米)答:做这个木盒至少需用1厘米厚的木板２０８平方厘米.这个木盒的容积是192立方厘米．１８.有一根长为２0厘米，直径为6厘米的圆钢,在它的两端各钻一个4厘米深，底面直径也为6厘米的圆锥形的孔，做成一个零件(如图).这个零件的体积为多少立方厘米？（л取３．14）【分析】根据题意可知：这个零件的体积等于圆柱的体积减去两个圆锥的体积，根据圆柱的体积公式:v＝sｈ，圆锥的体积公式:ｖ=，把数据分别代入公式解答即可．【解答】解：3．14×（6÷2)２×4×2==５65．２﹣7５.３6＝489.84（立方厘米),答：这个零件的体积为４89．84立方厘米.１9.现有一块长、宽、高分别为１0厘米、8厘米、６厘米的长方体木块，把它切成体积尽可能大且底面在长方体表面上的圆柱体木块,这个圆柱体木块的体积为多少?(л取3)【分析】削出最大的圆柱的方法有三种情况：(1）以8厘米为底面直径,6厘米为高;（2）以6厘米为底面直径,８厘米为高;（3）以6厘米为底面直径，10厘米为高,由此利用圆柱的体积公式分别计算出它们的体积即可解答.【解答】解:(1）以８厘米为底面直径,６厘米为高，３×（8÷2)２×6=３×1６×６＝2８8（立方厘米）;（2）以6厘米为底面直径,8厘米为高;3×(6÷2)2×8=３×9×8=216（立方厘米）；（3)以6厘米为底面直径，10厘米为高,３×（6÷２）2×１０＝3×9×10=２70(立方厘米）;答:这个圆柱最大的体积是288立方厘米．20.张大爷去年用长２米宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤，今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?【分析】依据经验可得:用长方形的长作底面周长,宽作高，围成的圆柱的容积最大,据此利用圆柱的体积公式即可得解．【解答】解：π××２÷[π××1]=×2÷＝÷=4.５倍;答：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的４．5倍．２1．左边正方形的边长为４,右边正方形对角线长度为6．如果按照图中的方式旋转，那么得到的两个旋转体的体积之比是多少？【分析】左边正方形旋转后交得到一个底面半径为，高为4的圆柱,根据圆柱的体积公式V=πr2ｈ即可求出这个圆柱的体积; 右边正方形旋后可得到两个底面半径为，高也为且底面重合的圆锥,根据圆锥的体积公式V＝πr２h即可求出这两个圆柱的体积;再根据比的意义求出两个旋转体的体积之比即可（要化成最简整数比).【解答】解：3.14×()2×4=3.1４×４×4＝50.２4,×3.1４×（）２××2＝×３.1４×9×3×2＝5６.５２，50．24:５６.52=8:9.答：两个旋转体的体积之比是８:９．２2.如图一个底面长3０分米,宽10分米，高12分米的长方体水池,存有四分之三池水，请问：（1）将一个高11分米，体积３3０立方分米的圆柱放入池中,水面的高度变为多少分米？（２）如果再放人一个同样的圆柱,水面高度又变成了多少分米?（3)如果再放人一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米?【分析】（1）由题意知,原来容器中的水可以看成是长3０分米、宽10分米、高为12×＝９分米的长方体,现将一个高１1分米，体积３３0立方分米的圆柱放入池中,水面没有淹没,求出圆柱的底面积即330÷11＝30(平方分米）再用３0×９求出淹没部分圆柱的体积除以长方体的底面积即是水升高的高度,用水升高的高度加上９分米，(2、3）同(1)解答即可．【解答】解：(１）330÷11×12×＝30×9=270（立方分米)2７0÷（30×10)=270÷3０0=0.9(分米）９+0．9＝９.９(分米)答:水面的高度变为9．9分米.（2)330÷11×９．９=３0×9．9＝297(立方分米）2９7÷(30×１０）=0．99（分米）９.9+0．9９=１0.89（分米)答：水面高度又变成了10.８9分米．。

六年级数学思维训练专题 第7讲几何综合一内容概述复杂的长度、角度计算；复杂的直线形比例关系；具有一定综合性的直线形计算问题．典型问题兴趣篇1．图7-1中八条边的长度正好分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米．已知a=2厘米,b=4厘米,c=5厘米,求图形的面积．2．如图7-2所示,∠l+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于多少度？3．如图7-3,平行四边形ABCD 的周长为75厘米,以BC 为底时高是14厘米,以CD 为底时高是16厘米．求平行四边形ABCD 的面积。

4．如图7-4,一个边长为1米的正方形被分成4个小长方形,它们的面积分别是103平方米、52平方米、51平方米和101平方米．已知图中的阴影部分是正方形,那么它的面积是多少平方米？5．如图7-5,红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片,放在一个正方体盒内,它们之间相互重叠,已知露在外面的部分中,红色的面积是20,黄色的面积是14,绿色的面积是10.那么,正方体盒子的底面积是多少？6．如图7-6,在三角形ABC中,IF和BC平行,GD和AB平行,HE和AC平行．已知AG：GF：FC =4:3:2,那么AH: HI: IB和BD: DE: EC分别是多少？7．如图7-7,已知三角形ABC的面积为1平方厘米,D、E分别是AB、AC边的中点,求三角形OBC的面积．8．在图7-8的正方形中,A、B、C分别是ED、EG、GF的中点．请问：三角形CDO的面积是三角形ABO面积的几倍？9．如图7-9,ABCD是平行四边形,面积为72平方厘米,E、F分别为边AB、BC的中点,则阴影部分的面积为多少平方厘米？10．如图7-10,在三角形ABC中,CE=2AE,F是AD的中点,三角形ABC的面积是1,那么阴影部分的面积是多少？拓展篇1．如图7-11,A、B是两个大小完全一样的长方形,已知这两个长方形的长比宽长8厘米,图7-11中的字母表示相应部分的长度,问：A、B中阴影部分的周长哪个长？长多少？2．如图7-12．ABCDE是正五边形,CDF是正三角形,∠BFE等于多少度？3．一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形,将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合,如图7-13所示,问：图中的阴影部分（即折叠的部分）的面积是多少平方厘米？4．在图7-14中大长方形被分为四个小长方形,面积分别为12、24、36、48.请问：图中阴影部分的面积是多少？5．三个面积都是12的正方形放在一个长方形的盒子里面,如图7-15,盒中空白部分的面积已经标出,求图中大长方形的面积．6．如图7-16,三角形ABC的面积为1．D、E分别为AB、AC的中点．F、G是BC边上的三等分点．请问：三角形DEF的面积是多少？三角形DOE的面积是多少？7．如图7-17,梯形ABCD的上底AD长10厘米,下底BC长15厘米．如果EF与上、下底平行,那么EF的长度为多少？8．如图7-18,正六边形的面积为6,那么阴影部分的面积是多少？9．两盏4米高的路灯相距10米,有一个身高1.5米的同学行走在这两盏路灯之间,那么他的两个影子总长度是多少米？10．如图7-19,D是长方形ABCD一条对角线的中点,图中已经标出两个三角形的面积为3和4,那么阴影直角三角形的面积是多少？11．如图7-20,在三角形ABC中,AE= ED,D点是BC的四等分点,阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？12.如图7-21,在三角形ABC中,三角形AEO的面积是1,三角形ABO的面积是2,三角形BOD 的面积是3,则四边形DCEO的面积是多少？超越篇1．如图7 -22,长方形的面积是60平方厘米,其内3条长度相等且两两夹角为120°的线段将长方形分成了两个梯形和一个三角形．请问：一个梯形的面积是多少平方厘米？2．如图7-23,P是三角形ABC内一点,DE平行于AB,FG平行于BC,HI平行于CA,四边形AIPD 的面积是12,四边形PGCH的面积是15,四边形BEPF的面积是20.请问：三角形ABC的面积是多少？3．如图7 -24所示,正方形ABCD的面积为1．E、F分别是BC和DF的中点,DE与BF交于M点,DE与AF交于Ⅳ点,那么阴影三角形MFN的面积为多少？4．如图7 -25,三角形ABC的面积为1,D、E、F分别是三条边上的三等分点,求阴影三角形的面积．5．如图7-26,小悦测出家里瓷砖的长为24厘米,宽为10厘米,而且还测出了边上的中间线段均为4厘米,那么中间菱形的面积是多少平方厘米？6．如图7-27,ED垂直于等腰梯形ABCD的上底AD,并交BC于G,AE平行于BD,∠DCB =45°,且三角形ABD和三角形EDC的面积分别为75、45,那么三角形AED的面积是多少？7．在长方形ABCD中,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的点,将长方形的四个角分别沿着HE、EF、FG、GH对折后,A点与B点重合,C点与D点重合．已知EH =3,EF =4,求线段AD与AB的长度比．8．如图7-28,在长方形ABCD中,AE: ED= AF:AB= BG: GC.已知△EFC的面积为20,△FGD 的面积为16,那么长方形ABCD的面积是多少？。

六年级数学专题思维训练—立体几何1、下面四个图形都是由六个相同的正方形组成的，其中，折叠后不能围成正方体的是______________．（填序号）2、如下图所示，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米的三个正方体紧贴在一起，则所得到的立体图形的表面积是平方厘米．3、下图是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形，问这个直三棱柱的体积是多少？4、有一个足够深的水槽，底面是长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油（油在水的上方）．在水槽中放人一个长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么此时油层的层高是厘米。

5、圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是立方厘米。

（结果用兀表示）6、如下图所示，从正方形ABCD 上截去长方形DEFG ，其中AB=1厘米，DE=21厘米， DG=31厘米，将ABCGFE 以GC 边为轴旋转一周，所得几何体的表面积是 平方厘米，体积是 _____________ 立方厘米。

（结果用兀表示）7、若长方体的三个侧面的面积分别是6，8，12，则长方体的体积是 。

8、一个圆柱和一个圆锥（如下图所示），它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米。

请回答：圆锥体积与圆柱体积的比是多少？9、如下图所示，一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分，已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大2008平方厘米，则这个圆柱体木棒的侧面积是 平方厘米。

（兀取3. 14）10、两个同样材料做成的球A 和B ，一个实心，一个空心。

A 的直径为7、重量为22，B 的直径为10.6、重量为33.3。

问：哪个球是实心球？（球的体积公式V=34πr ³）11、铁路油罐车由两个半球面和一个圆柱面钢板焊接而成，尺寸如下图所示．问：该油罐车的容积是多少立方米？（兀=3. 1416）（球的体积公式V=34πr ³）12、某工厂原用长4米，宽1米的铁皮围成无底无顶的的正方体形状的围栏，现要将围栏容量增加27%，问：能否还用原来的铁皮围成？13、一个正方体的纸盒中，恰好能放人一个体积为6. 28立方厘米的圆柱体，纸盒的容积有多大？（兀=3. 14）．14、用若干个小正方体拼成下图所示的造型．其中有一个小孔分别由左至右、由上至下以及由前至后穿透整个造型．拼成此造型共需使用多少个小正方体？15、一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如下图所示，若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次？（球的体积公式：V=34πr ³）16、下图是一个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12厘米的直棒状细吸管（不考虑吸管粗细）放在玻璃杯内，当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2厘米，最多能露出4厘米．则这个玻璃杯的容积为立方厘米．（取兀=3. 14）17、威力集团生产的某种洗衣机的外形是长方体，装衣物部分是圆柱形的桶，直径40厘米，深36厘米，已知该洗衣机装衣物的空间占洗衣机体积的25% ，长方体外形的长为52厘米，宽50厘米．问：高是多少厘米？（兀取3. 14，结果保留整数）18、有两个高度一样的水瓶，瓶子的底部被钉子分别戳了一个同样大的小洞．粗瓶子的水12分钟可以漏完，细瓶子的水8分钟可以漏完．若两个瓶子同时漏水，过了一段时间后，粗瓶子中水的高度是细瓶子中的2倍．这两个瓶子同时漏了分钟．19、世界上最早的灯塔建于公元270年，塔分三层，如下图所示，每层都高27米，底座呈正四棱柱，中间呈正八棱柱，上部呈正圆锥．上部的体积是底座的体积的 。

第五讲 立体几何综合【专题知识点概述】本讲复习已经学过的立体图形的相关知识和解题技巧，主要有:长方体、立方体、圆柱、圆锥的体积及表面积求解，立体几何计数及多面体顶点与棱以及表面的关系。

主要知识点⑴规则立体图形的表面积和体积公式长方体：体积：长宽高 表面积：（长宽+宽高+长高）立方体：体积：棱长的立方 表面积：棱长的平方6圆柱： 体积：2r h π 侧面积：2rh π圆锥： 体积：213r h π ⑵不规则立体图形的表面积整体观照法⑶体积的等积变形①水中浸放物体：V 升水=V 物②测啤酒瓶容积：V=V 空气+V 水⑷三视图与展开图最短线路与展开图形状问题⑸染色问题几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。

【授课批注】可以结合以前所讲过的题进行更深入细致的讲解，加深学生的印象。

【重点难点解析】1．不规则立体图形的表面积或体积求解2．多面体的顶点与棱数计数3．体积的等量代换【竞赛考点挖掘】1．规则立体图形的表面积（侧面积）与体积计算2．不规则立体图形的表面积与体积计算3．染色问题4．立体图形的三视图与展开图【习题精讲】【例1】（难度等级 ※）一个长方体的表面积是33.66平方分米，其中一个面的长是2.3分米，宽是2.1分米，它的体积是_____立方分米.【分析与解】长方体的高是(33.66-2.1×2.3×2)÷2÷(2.1+2.3)= 1130(分米). 长方体的体积是2.1×2.3 × 1130=1101913(立方分米)．【例2】（难度等级 ※※）右图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上面的正中向下挖一个棱长为1厘米的正方形小洞；接着在小洞的底面正中再挖一个棱长为21厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，棱长为41厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是 平方厘米．【分析与解】 2×2×6+1×1×4+21×21×4+41×41×4=29．25(平方厘米)．【例3】（难度等级 ※※）把一个长25厘米，宽10厘米，高4厘米的长方体木块锯成若干个大小相等的正方体，然后拼成一个大的正方体．这个大正方体的表面积是_____平方厘米。