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相依随机序列滑动平均的强偏差定理摘要本文主要研究任意相依连续型随机变量滑动平均的强偏差定理(即用不等式表示的强极限定理),全文共分四章.绪论部分,首先简明扼要地介绍了概率论极限理论背景以及发展现状.其次介绍了刘文创立的研究随机变量强偏差定理的基本思想与方法.最后引入了随机变量滑动平均,滑动似然比以及滑动相对熵概念.第二章.利用随机序列滑动似然比以及滑动相对熵概念作为任意随机序列联合分布与参考乘积分布(服从指数分布的独立随机变量序列)的偏差的随机性度量,并通过滑动相对熵给出了样本空间的一个子集.在此子集上得到了一类用不等式表示的强偏差定理,即小偏差定理.第三章.利用滑动似然比的概念和Laplace变换的方法,研究相依连续型非负随机变量序列滑动和的极限性质,得到了一类用不等式表示的强偏差定理,即小偏差定理.第四章.设{ξn,n≥1}是任意相依连续型随机变量序列,{B n,n≥1}是实直线上的Lebesgue可测集,1Bn (x)是B n的示性函数,本章研究{1Bn(ξn),n≥1}的极限性质,得到了一类用不等式表示的强偏差定理,并且得到关于{1Bn(ξn),n≥1}的强大数定律作为本节定理的推论.关键词:滑动平均;滑动似然比;滑动相对熵;指数分布;强偏差定理The Strong Deviation Theorems Concerning Moving Averageof Dependent Random VariablesAbstractThis dissertation makes a main study of strong deviation theorems of any con-tinuous random variable moving average(namely the strong limit theorem with the inequality).The article is divided into four chapters.Introduction:Wefirst briefly introduce probability theory limit theory background and development present situation.Secondly introduce the basic ideas and methods of small deviation theorems of random variable Liuwen founded.Finally this chapter introduces the random variable moving average、moving likelihood ratio and moving relative entropy concept.The second chapter:We use the concept of random sequence moving likelihood ratio and moving relative entropy to study the random measurement of the deviation of the random sequence joint distribution and the reference distribution.A subset of Sample space is constructed with the moving relative entropy and we get a class of strong deviation theorems represented with inequalities on this subset,that is the small deviation theorem.The third chapter is devoted to a study of the limit property of the moving sum of dependent continuous non-negative random variable sequences.With the concept of moving likelihood ratio and the method of Laplace transformation,we obtain a kind of strong deviation theorems represented with inequalities i.e.the Small Deviation Theorem In chapter4,we study the limit property of{1B(ξn),n≥1}for an arbitrary depen-ndent continuous random variable sequence{ξn,n≥1}where{B n,n≥1}is a sequence of Lebesgue sets of the real line and1Bis the characteristic of B n for each n∈ω.A classnof strong deviation theorem represented with inequalities is obtain.Moreover,we show that the strong law of large numbers of{1B(ξn),n≥1}is an immediate consequence ofnthe theorem in this section.安徽工业大学硕士毕业论文5Keywords:moving average;moving likelihood ratio;moving relative entropy;expo-nential distribution;strong deviation theorem文中部分缩写与符号说明µ, µ———概率测度a.s.———几乎必然µ−a.s.———依概率µ几乎必然L n(ω)———滑动似然比———滑动相对熵h µµ1(.)———示性函数log———自然对数R+———正实数R−———负实数↗———单调递增↘———单调递减目录第一章绪论 (1)第二章基于指数分布的随机序列滑动平均的强偏差定理 (5)第三章Laplace变换与随机变量滑动和的一类强偏差定理 (10)第四章连续型随机变量滑动平均的一类强偏差定理 (17)第五章总结与展望 (24)参考文献 (25)致谢 (28)附录 (29)安徽工业大学硕士毕业论文第一章绪论概率论是研究大量随机现象的统计规律性的数学学科。
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沈阳工业大学硕士学位论文焊接温度场和应力场的数值模拟姓名：王长利申请学位级别：硕士专业：材料加工工程指导教师：董晓强 20050310沈阳工业大学硕士学位论文摘要焊接是一个涉及电弧物理、传热、冶金和力学的复杂过程。
焊接现象包括焊接时的电磁、传热过程、金属的熔化和凝固、冷却时的相变、焊接应力和变形等。
一旦能够实现对各种焊接现象的计算机模拟，我们就可以通过计算机系统来确定焊接各种结构和材料的最佳设计、最佳工艺方法和焊接参数。
本文在总结前人的工作基础上系统地论述了焊接过程的有限元分析理论，并结合数值计算的方法，对焊接过程产生的温度场、应力场进行了实时动态模拟研究，提出了基于ＡＮＳＹＳ软件为平台的焊接温度场和应力场的模拟分析方法，并针对平板堆焊问题进行了实例计算，而且计算结果与传统结果和理论值相吻合。
本文研究的主要内容包括：在计算过程中材料性能随温度变化而变化，属于材料非线性问题；选用高斯函数分布的热源模型，利用函数功能实现热源的移动。
建立了焊接瞬态温度分布数学模型，解决了焊接热源移动的数学模拟问题；通过改变单元属性的方法，解决材料的熔化、凝固问题；对焊缝金属的熔化和凝固进行了有效模拟，解决了进行热应力计算收敛困难或不收敛的问题；对焊接过程产生的应力进行了实时动态模拟，利用本文模拟分析方法，可以对焊接过程的热应力及残余应力进行预测。
本文建立了可行的三维焊接温度场、应力场的动态模拟分析方法，为优化焊接结构工艺和焊接规范参数，提供了理论依据和指导。
关键词：焊接，数值模拟，有限元，温度场，应力场沈阳工业大学硕士学位论文ＳｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆｗｅｌｄｉｎｇｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄａｎｄｓｔｒｅｓｓｆｉｅｌｄＡｂｓｔｒａｃｔＷｅｌｄｉｎｇｉｓａｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄｐｈｙｓｉｃｏｃｈｅｍｉｃａ／ｐｒｏｃｅｓｓｗｌｆｉｅｈｉｎｖｏｌｖｅｓｉｎｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｓｍ，Ｍａｔｔｒａｎｓｆｅｒｒｉｎｇ，ｍｅｔａｌｍｅｌｔｉｎｇａｎｄｆｒｅｅｚｉｎｇ，ｐｈａｓｅ?ｃｈａｎｇｅｗｅｌｄｉｎｇＳＯｓｔｒｅｓｓａｎｄｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄｏｎ，Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｇｅｔｈｉｇｈｑｕａｆｉｔｙｗｅｌｄｉｎｇｓｔｍｃｔｔｌｒｅ，ｔｈｅｓｅｆａｃｔｏｒｓｈａｖｅｔｏｂｅｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ．Ｉｆｃａｎｗｅｌｄｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓｂｅｓｉｍｕｌａｔｅｄｗｉｔｈｃｏｍｐｕｔｅｒ，ｔｈｅｂｅｓｔｄｅｓｉｇｎ，ｐｍｃｅｄｕｒｅｍｅｔｈｏｄａｎｄｏｐｔｉｍｕｍｗｅｌｄｉｎｇｐａｒａｍｅｔｅｒｃａｎｂｅｏｂｔａｉｎｅｄ．ＢａｓｅｄＯｉｌｓｕｍｍｉｎｇｕｐｏｔｈｅｒ’Ｓｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅ，ｅｍｐｌｏｙｉｎｇｎｕｍｅｒｉｃａｌｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｒｅｓｅａｒｃｈｅｒｓｙｓｔｅｍｉｃａｌｌｙｄｉｓｃｕｓｓｅｓｔｈｅｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔａｎａｌ删ｓｙｓｔｅｍｏｆｔｈｅｗｅｌｄｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓｂｙｒｅａｌｉｚｉｎｇｔｈｅ３Ｄｄｙｎａｍｉｃｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆｗｅｌｄｉｎｇｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄａｎｄｓｔｒｅｓｓｆｉｅｌｄ，ｔｈｅｎｕｓｅｓｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｒｅｓｕｌｔｔｏｓｉｍｕｌａｔｅｔｈｅｗｅｌｄｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓｏｆｂｏａｒｄｓｕｒｆａｃｉｎｇｂｙＦＥＭｓｏｆｔＡＮＳＹＳ．Ａｔｔｈｅｔｈｅｏｒｙｒｅｓｕｌｔ．ｓａｍｅｔｉｍｅ．ｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔａｃｃｏｒｄｓｗｉｔｈｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌａｎａｌｙｓｉｓｒｅｓｕｌｔａｎｄＴｈｅｍａｉｎｃｏｎｔｅｎｔｓｏｆｔｈｅｐａｐｅｒａｒｅａｓｆｏｌｌｏｗｉｎｇ：ｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｉｎｗｅｌｄｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓｉｓａｍａｔｅｒｉａｌｎｏｎｌｉｎｅａｒｐｒｏｃｅｄｕｒｅｔｈａｔｔｈｅｍａｔｅｒｉａｌｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｃｈａｎｇｅｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆＧａｕｓｓａｓｗｉｔｈｔｈｅｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ；ｃｈｏｏｓｅｈｅａｔｓｏｕｒｃｅｍｏｄｅｌ．ｕｓｅｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎｃｏｍｍａｎｄｔｏａｐｐｌｙｌｏａｄｏｆｍｏｖｉｎｇｈｅａｔＳ０１２Ｉｅ－２．ＡｍａｔｈｅｍａｔｉｃｍｏｄｅｌｏｆｔｒａｎｓｉｅｎｔｔｈｅｒｍａｌｐｒｏｃｅｓｓｉｎｗｅｌｄｉｎｇｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｔｏｓｉｍｕｌａｔｅｔｈｅｍｏｖｉｎｇｏｆｔｈｅｈｅａｔｓｏＢｒｃｅ．Ｔｈｅｅｆｆｅｃｔｓｏｆｍｅｓｈｓｉｚｅ，ｗｅｌｄｉｎｇｓｐｅｅｄ，ｗｅｌｄｉｎｇｃｕｒｒｅｎｔａｎｄｅｆｆｅｃｔｉｖｅｒａｄｉｕｓｅｌｅｃｔｒｉｃａｒｃｏｎｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄａ比ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｔｈｅｆｕｓｉｏｎａｎｄｓｏｌｉｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｏｆｍａｔｅｒｉａｌｈａｓｂｅｅｎｓｏｌｖｅｄｂｙｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｃｈａｎｇｉｎｇｔｈｅｅｌｅｍｅｎｔｍａｔｅｒｉａｌ．Ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｔｈｅｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙｏｒｔｈｅｕｎ—ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｄｕｒｉｎｇｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇｏｆｔｈｅｔｈｅｒｍａｌｓｌＴｅｓｓｉｓｓｏｌｖｅｄ；ｔｈｒｏｕｇｈｒｅａｌ－ｔｉｍｅｄｙｎａｍｉｃｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｓｔｒｅｓｓｐｒｏｄｕｃｅｄｉｎｗｅｌｄｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓ，ｔｈｅｔｈｅｒｍａｌｓｔｒｅｓｓａｎｄｒｅｓｉｄｕａｌＳｌｌ℃ＳＳｉｎｗｅｌｄｉｎｇｃａｎｂｅｐｒｅｄｉｃｔｅｄｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｖｅａｎａｌｙｓｉｓｍｅｔｈｏｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ａｆｅａｓｉｂｌｅｓｌＩｅｓｓｄｙｎ黜ｆｉｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｏｎ３Ｄｗｅｌｄｉｎｇｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄ，ｏｎｆｉｅｌｄｈａｄｂｅｅｎｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ，ｗｈｉｃｈｐｒｏｖｉｄｅｓｔｈｅｏｒｙｆｏｕｎｄａｔｉｏｎａｎｄｉｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｏｐｔｉｍｉｚｉｎｇｔｈｅｗｅｌｄｉｎｇｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙａｎｄｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．ＫＥＹＷＯＲＤ：Ｗｅｌｄｉｎｇ，ＮｕｍｅｒｉｃａｌＳｉｍｕｌａｔｉｏｎ，Ｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔ，Ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄ，Ｓｔｒｅｓｓｆｉｅｌｄ．２．独创性说明本人郑重声明：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
Peskin 量子场论: Chapter1湮灭中的对乘积：QED 是关于电子和光子的量子理论，它可能是我们现有的最好的基本物理理论，由Dirac 方程和Maxwell 方程组成，它们主要由相对论不变性决定，这些方程的量子力学解给出了宏观的和微观（比质子小几百倍）的电磁现象细致预测。
Feynman 图提供了一种优美的计算程序，通常通过Feynman 图来写出相应过程的量子力学振幅数学表达式。
考虑在质心系中，多数粒子物理实验涉及散射，QFT 中最一般计算的量就散射截面，反粒子的存在实际上是QFT 的预言，实验中为了测量湮灭概率，将一束电子射向正电子束，散射截面作为可测量量是质心能量，入射与出射夹角的函数，质心系中有，假定射束能量（动能？）远大于电子或者μ子的质能（黑体表示3动量，斜体表示4动量），因为，自旋都是1/2，我们必须具体表示出它们的自旋取向，将自旋量子化轴的方向定义为每个粒子运动的方向，粒子的自旋极化可以平行或反平行于这个轴，实际中电子束或者正电子束通常都是非极化的，μ子探测器一般也不能分辨μ的极化（螺旋度？），因此最后得到的散射截面将对正电子和电子的自旋取向取平均，对μ子的自旋求和，对于任何给定的自旋取向，可以方便地写出微分散射截面，例如对于在立体角d Ω中的μ,.(应用简化公式，因此对于2个有限态的质心微分散射截面是，在4个粒子都具有相同质量的特例下（取极限m->0），有近似（）。
)，因子为散射截面提供了正确的量纲，因为在自然单位制中，跃迁振幅M 是无量纲的，它是量子力学过程发生的振幅（类似于非相对论量子力学中的散射振幅f ），表达式的另一部分因子是纯粹的约定问题，实际上是一个特例，仅对终态包含2个无质量的粒子的质心系散射是合理的，更一般的定理的形式并不能从量纲分析得到。
一个坏消息是即使对于最简单的QED 过程，M 矩阵的恰当表达式也是未知的，实际上这个事实并不令人惊讶，因为即使在非相对论量子力学，散射问题的恰当解也是很少的，最好是我们能得到M 的正规表达式，它作为电磁作用强度的微扰级数，我们将会估计级数的前几项，Feynman 发明了一种奇妙的方法组织并形象化了微扰级数：Feynman 图，简要地说这些图显示了散射过程中电子和光子的流动，对于特定的计算（？），微扰级数的零头阶可以用单个Feynman 图表示（这个图中的唯一可能中间态是γ光子），Feynman 图由3部分组成：1.外线（代表2个入射粒子和出射粒子）。
数学: 科学的王后和仆人Mathematics: Queen and Servant of Science北京理工大学叶其孝本文的题目是已故的美国科学院院士、著名数学家、数学史学家和科普作家Eric Temple Bell(贝尔, 1883, 02, 07 ~ 1960, 12, 21)于1951年写的一本书的书名Mathematics: Queen and Servant of Science (数学: 科学的王后和仆人). 该书主要是为大学生和非数学领域的人士写的, 介绍纯粹和应用数学的各个方面, 更着重在说明数学科学的极端重要性.The Mathematical Association of America, 1996, 463 pages实际上这是他1931年写的The Queen of the Sciences (科学的王后)和1937年写的The Handmaiden of the Sciences (科学的女仆)这两本通俗数学论著的合一修订扩大版.Eric Temple Bell Alexander Graham Bell (1847 ~ 1922) 按常识的理解, 女王是优美、高雅、无懈可击、至尊至贵的, 在科学中只有纯粹数学才具有这样的特点, 简洁明了的数学定理一经证明就是永恒的真理, 极其优美而且无懈可击;另一方面, 科学和工程的各个分支都在不同程度上大量应用数学, 这时数学科学就是仆人, 这些仆人是否强有力, 用起来是否得心应手是雇佣这些仆人的主人最为关心的事. 事实上, servant这个字本身就有“供人们利用之物, 有用的服务工具”的意思. 毫无疑问, 我们的目的不是为数学争一个好的名分, 而是想说明数学是怎样通过数学建模来解决各种实际问题的; 数学(数学建模)的极端重要性, 以及探讨正确认识和理解数学科学的作用对于发展我国科学技术、经济以及教育, 从而争取在21世纪把我国真正建设成为屹立于世界民族之林的强国，乃至个人事业发展的至关重要性. 当然, 我们也希望说明王后和仆人集于一身并不矛盾. 历史上, 很多特别受人尊敬的科学家, 不仅仅是由于他们的科学成就, 更因为他们的科学成就能够服务于人类.数学是科学的王后, 算术是数学的王后. 她常常放下架子为天文学和其他科学效劳, 但是在所有情况下, 第一位的是她(数学)应尽的责任. (高斯)Mathematics is the Queen of the Sciences, and Arithmetic the Queen of Mathematics. She often condescends to render service to astronomy and other natural sciences, but under all circumstance the first place is her due.— Carl Friedrich Gauss (卡尔·弗里德里希·高斯, 1777, 4, 30 ~ 1855, 2, 23)From: Bell, Eric T., Mathematics: Queen and Servant of Science, MAA, 1951, p.1;Men of Mathematics, Simon and Schuster, New York, 1937, p. xv.***************************************************自古以来，数学的发展始终与科学技术的发展紧密相连，反之亦然. 首先, 我们来看一下导致我们现在这个飞速发展的信息社会的19、20世纪几乎所有重大科学理论的发展和完善过程中数学(数学建模)所起到的不可勿缺的作用.数学研究的成果往往是重大科学发明的催生素(仅就19、20世纪而言, 流体力学、电磁理论、相对论、量子力学、计算机、信息论、控制论、现代经济学、万维网和互联网搜索引擎、生物学、CT、甚至社会政治学领域等). 但是20世纪上半世纪, 数学虽然也直接为工程技术提供一些工具, 但基本方式是间接的: 先促进其他科学的发展, 再由这些科学提供工程原理和设计的基础. 数学是幕后的无名英雄.现在, 数学无处不在, 数学和工程技术之间,在更广阔的范围内和更深刻的程度上, 直接地相互作用着, 极大地推动了科学和工程科学的发展, 也极大地推动了技术的发展. 数学不仅是幕后的无名英雄, 很多方面开始走向“前台”. 但是对数学的极端重要性迄今尚未有共识, 取得共识对加强一个国家的竞争力来说是至关重要的.硬能力―一位美国朋友谈及对未来中国人的看法: 20年后, 中国年轻人会丢了中国人现在的硬能力, 他们崇拜各种明星, 不愿献身科学, 不再以学术研究为荣, 聪明拔尖的学生都去学金融、法律等赚钱的专业; 而美国人因为认识到其硬能力(例如数学)不行, 进行教育改革, 20年后, 不但保持了其软实力即非专业能力的优势, 而且在硬能力上赶上中国人.‖“正在丢失的硬实力”, 鲁鸣, 《青年文摘》2011年第5期动向：美国很多州新办STEM高中, 一些大学开始开设STEM课程等.STEM = Science + Technology + Engineering + Mathematics2012年2月7日公布的美国总统科技顾问委员会给总统的报告，参与超越：培养额外的100万具有科学、技术、工程和数学学位的大学生(Engage to Excel: Producing One Million Additional College Graduates with Degrees in Science, Technology, Engineering, and Mathematics)The Mathematical Sciences in 2025, the National Academies Press, 2013人们使用的数学科学思想、概念和方法的范围在不断扩大的同时，数学科学的用途也在不断扩展. 21世纪的大部分科学与工程将建立在数学科学的基础上.This major expansion in the uses of the mathematical sciences has been paralleled by a broadening in the range of mathematical science ideas and techniques being used. Much of twenty-first century science and engineering is going to be built on a mathematical science foundation, and that foundation must continue to evolve and expand.数学科学是日常生活的几乎每个方面的组成部分.互联网搜索、医疗成像、电脑动画、数值天气预报和其他计算机模拟、所有类型的数字通信、商业和军事中的优化问题以及金融风险的分析——普通公民都从支撑这些应用功能的数学科学的各种进展中获益，这样的例子不胜枚举.The mathematical sciences are part of almost every aspect of everyday life. Internet search, medical imaging, computer animation, numerical weather predictions and othercomputer simulations, digital communications of all types, optimization in business and the military, analyses of financial risks —average citizens all benefit from the mathematical science advances that underpin these capabilities, and the list goes on and on.调查发现:数学科学研究工作正日益成为生物学、医学、社会科学、商业、先进设计、气候、金融、先进材料等许多研究领域不可或缺的重要组成部分. 这种研究工作涉及最广泛意义下数学、统计学和计算综合，以及这些领域与潜在应用领域的相互作用. 所有这些活动对于经济增长、国家竞争力和国家安全都是至关重要的，而且这种事实应该对作为整体的数学科学的资助性质和资助规模产生影响. 数学科学的教育也应该反映数学科学领域的新的状况.Finding: Mathematical sciences work is becoming an increasingly integral and essential component of a growing array of areas of investigation in biology, medicine, social sciences, business, advanced design, climate, finance, advanced materials, and many more. This work involves the integration of mathematics, statistics, and computation in the broadest sense and the interplay of these areas withareas of potential application. All of these activities are crucial to economic growth, national competitiveness, and national security, and this fact should inform both the nature and scale of funding for the mathematical sciences as a whole. Education in the mathematical sciences should also reflect this new stature of the field.****************************************************************为了以下讲述的方便, 我们先来了解一下什么是数学建模.数学模型(Mathematical Model)是用数学符号对一类实际问题或实际发生的现象的(近似的)描述.数学建模(Mathematical Modeling)则是获得该模型并对之求解、验证并得到结论的全过程.数学建模不仅是了解基本规律, 而且从应用的观点来看更重要的是预测和控制所建模的系统的行为的强有力的工具.数学建模是数学用来解决各种实际问题的桥梁.↑→→→→→→→→↓↑↓↑↓↓↑↓←←←←←通不过↓↓通过)定义：数学建模就是上述框图多次执行的过程数学建模的难点观察、分析实际问题, 作出合理的假设, 明确变量和参数, 形成明确的数学问题. 不仅仅是翻译的问题; 涉及的数学问题可能是复杂、困难的, 求解也许涉及深刻的数学方法. 如何作出正确的判断, 寻找合适、简洁的(解析或近似) 解法; 如何验证模型.简言之:合理假设、模型建立、模型求解、解释验证.记住这16个字, 将会终生受用.数学建模的重要作用：源头创新当然数学建模也有局限性, 不能单独包打天下, 因为实际问题是非常复杂的, 需要多学科协同解决.在图灵(A. M. Turing)的文章: The Chemical Basis of Morphogenesis (形态生成的化学基础), Philosophical Transactions of the Royal Society of London (伦敦皇家学会哲学公报), Series B (Biological Sciences),v.237(1952), 37-72.1. 一个胚胎的模型. 成形素本节将描述一个正在生长的胚胎的数学模型. 该模型是一种简化和理想化, 因此是对原问题的篡改. 希望本文论述中保留的一些特征, 就现今的知识状况而言, 是那些最重要的特征.1. A model of the embryo. MorphogensIn this section a mathematical model of the growing embryo will be described. This model will be asimplification and an idealization, and consequently a falsification. It is to be hoped that the features retained for discussion are those of greatest importance in the present state of knowledge.想单靠数学建模本身来解决重大的生物学问题是不可能的，另一方面，想仅仅依靠实验来获得对生物学的合理、完整的理解也是极不可能的. There is no way mathematical modeling can solve major biological problems on its own. On the other hand, it ishighly unlikely that even a reasonably complete understanding could come solely from experiment.—— J. D. Murray, Why Are There No 3-Headed Monsters? Mathematical Modeling in Biology, Notices of the AMS,v. 59 (2012), no. 6, p.793.自古以来公平、公正的竞赛都是培养、选拔人才的重要手段, 科学和数学也不例外.中学生IMO (国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad), 1959 ～)北美的大学生Putnbam数学竞赛(1938 ～)全国大学生数学竞赛(2010 ～)Mathematical Contest in Modeling (MCM, 1985 ～)美国大学生数学建模竞赛Interdisciplinary Contest in Modeling (ICM, 1999～)美国大学生跨学科建模竞赛China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling (CUMCM, 1992～) 中国大学生数学建模竞赛中国大学生参加美国大学生数学建模竞赛情况中国大学生数学建模竞赛情况在以下讲述中涉及物理方面的具体的数学模型 (问题)的叙述和初步讨论可参考《物理学与偏微分方程》, 李大潜、秦铁虎编著, (上册, 1997; 下册, 2000), 高等教育出版社.Seven equations that rule your world (主宰你生活的七个方程式), by Ian Stewart, NewScientist, 13 February 2012.Fourier transformation 2ˆ()()ix f f x e dx πξξ∞--∞=⎰Wave equation 22222u u c t x ∂∂=∂∂ Ma xwell‘s equation110, , 0, H E E E H H c t c t∂∂∇⋅=∇⨯=-∇⋅=∇⨯=∂∂Schrödinger‘s equation ˆψH ψi t∂=∂Ian Stewart, In Pursuit of the Unknown:17 Equations That Changed the World (追求对未知的认识：改变世界的17个方程), Basic Books, March 13, 2012.目录(Contents)Why Equations? /viii1. The squaw on the hippopotamus ——Pythagoras‘sTheorem/12. Shortening the proceedings —— Logarithms/213. Ghosts of departed quantities —— Calculus/354. The system of the world ——Newton‘s Law ofGravity/535. Portent of the ideal world —— The Square Root ofMinus One/736. Much ado about knotting ——Euler‘s Formula forPolyhedra/837. Patterns of chance —— Normal Distribution/1078. Good vibrations —— Wave Equation/1319. Ripples and blips —— Fourier Transform/14910. The ascent of humanity —— Navier-StokesEquation/16511. Wave in the ether ——Maxwell‘s Equations/17912. Law and disorder —— Second Law ofThermodynamics /19513. One thing is absolute —— Relativity/21714. Quantum weirdness —— Schrödinger Equation/24515. Codes, communications, and computers ——Information Theory/26516. The imbalance of nature —— Chaos Theory/28317. The Midas formula —— Black-Scholes Equation/195Where Next?/317Notes/321Illustration Credits/330Index/331相对论Albert Einstein(1879, 3, 14 ～1955, 4, 18)20世纪最伟大的科学成就莫过于Einstein(爱因斯坦)的狭义和广义相对论了, 但是如果没有Minkowski (闵可夫斯基)几何、Riemann(黎曼)于1854年发明的Riemann几何, 以及Cayley(凯莱), Sylvester(西勒维斯特)和Noether(诺特)等数学家发展的不变量理论, Einstein的广义相对论和引力理论就不可能有如此完善的数学表述. Einstein自己也不止一次地说过.早在1905年, 年仅26岁的爱因斯坦就已提出了狭义相对论. 狭义相对论推倒了牛顿力学的质量守恒、能量守恒、质量能量互不相关、时空永恒不变的基本命题. 这是一场真正的科学革命.为了导出狭义相对论，爱因斯坦作出了两个假设：运动的相对性(所有匀速运动都是相对的)和光速为常数(光的运动例外, 它是绝对的). (1)狭义相对性原理,即在所有惯性系中, 物理学定律具有相同的数学表达形式;(2)光速不变原理,真空中光沿各个方向传播的速率都相等，与光源和观察者的运动状态无关.时空不是绝对独立的.由此可以导出一些推论: 相对论坐标变换式和速度变换式, 同时的相对性, 钟慢尺缩效应和质能关系式等.他的好友物理学家P.Ehrenfest指出实际上还蕴涵着第三个假设, 即这两个假设是不矛盾的. 物体运动的相对性和光速的绝对性, 两者之间的相互制约和作用乃是相对论里一切我们不熟悉的时空特征的根源.(部分参阅李新洲:《寻找自然之律--- 20世纪物理学革命》, 上海科技教育出版社, 2001.)1907 年德国数学家H. Minkowski (1864 ～1909) 提出了―Minkowski 空间‖,即把时间和空间融合在一起的四维空间1,3R. Minkowski 几何为Einstein 狭义相对论提供了合适的数学模型.“没有任何客观合理的方法能够把四维连续统分离成三维空间连续统和一维时间连续统. 因此从逻辑上讲, 在四维时空连续统(space- time continuum)中表述自然定律会更令人满意. 相对论在方法上的巨大进步正是建立在这个基础之上的, 这种进步归功于闵可夫斯基(Minkowski).”—Albert Einstein, The Meaning of Relativity, 1922, Princeton University Press. 中译本, 阿尔伯特·爱因斯坦著, 相对论的意义, (普林斯顿科学文库(Princeton Science Library) 1), 郝建纲、刘道军译, 上海科技教育出版社, 2001, p. 27.有了Minkowski 时空模型后, Einstein 又进一步研究引力场理论以建立广义相对论. 1912 年夏他已经概括出新的引力理论的基本物理原理, 但是为了实现广义相对论的目标, 还必须寻求理论的数学结构, Einstein 为此花了 3 年的时间, 最后, 在数学家M. Grossmann 的介绍下学习掌握了发展相对论引力学说所必需的数学工具—以Riemann几何和Ricci, Levi - Civita的绝对微分学, 也就是Einstein 后来所称的张量分析.“根据前面的讨论, 很显然, 如果要表达广义相对论, 就需要对不变量理论以及张量理论加以推广. 这就产生了一个问题, 即要求方程的形式必须对于任意的点变换都是协变的. 在相对论产生以前很久, 数学家们就已经建立了推广的张量演算理论. 黎曼(Riemann)首先把高斯(Gauss)的思路推广到了任意维连续统, 他很有预见性地看到了……进行这种推广的物理意义. 随后, 这个理论以张量微积分的形式得到了发展, 对此里奇(Ricci)和莱维·齐维塔(Tulio Levi-Civita, 1873～1941)做出了重要贡献. ”—阿尔伯特·爱因斯坦著, 相对论的意义, 郝建纲、刘道军译, 上海科技教育出版社, 2001, p. 57.从数学建模的角度看, 广义相对论讨论的中心问题是引力理论, 其基础是以下两个假设: 1. (等效原理)惯性力场与引力场的动力学效应是局部不可分辨的，(或说引力和非惯性系中的惯性力等效)；2. (广义相对性原理) 一切参考系都是平权的，换言之，客观的真实的物理规律应该在任意坐标变换下形式不变——广义协变性(即一切物理定律在所有参考系[无论是惯性的或非惯性的]中都具有相同的形式)。
布朗运动43 布朗运动华东理⼯⼤学化学系胡英43.1 引⾔1827年，英国植物学家布朗(Brown R)在光学显微镜下发现了悬浮在⽔中的花粉颗粒进⾏着⽆休⽌的不规则运动，他正确地将这种以后被称为布朗运动的起因归结于物质的分⼦本性。
但争论⼀直延续，直到1888年古艾(Gouy G)做了排除了其它可能原因如机械振动、对流和光照的实验后，才告消除。
正如佩兰(Perrin J)在1910年指出的，颗粒的独⽴运动并不受到密度和组成的影响。
在《物理化学》6.4中对布朗运动已有了初步的讨论，导得了爱因斯坦(Einstein A)-斯莫鲁霍夫斯基(Smoluchowski M von)⽅程，Dt z 22>=<，其中><2z 是颗粒在t 时的均⽅位移，D 是扩散系数；⼜导得斯托克斯(Stokes G G)-爱因斯坦⽅程，) π6/(L r RT D η=，r 是颗粒半径，η是粘度。
在本章中将进⾏更深⼊的介绍。
我们将从计⼊随机⼒的朗之万(Langevin P)⽅程开始，⾸先对单个粒⼦的运动解出其速度和位移，并引⼊时间相关函数；然后讨论在位形和速度相空间中找到颗粒的概率，导出其随时间的演变，得出扩散⽅程。
最后在结语中简要提及不同颗粒运动间的相关。
对布朗运动的进⼀步了解，将为研究稠密流体包括⾼分⼦熔体中的传递打下良好的基础。
43.2 朗之万⽅程设在粘度为η、密度为ρ的流体中，有⼀半径为a 质量为m 的中性球体颗粒漂浮着，颗粒密度可视为与流体密度相同，因此有3/43ρa m π=。
如果时间尺度⽐起ηρ/2a ⾜够长(后者称为粘滞弛豫viscous relaxation ，来源见后)，运动的幅度⼜⽐a ⼩时，这时流体的粘滞响应可⽤准稳态的斯托克斯拖曳⼒来表⽰，可以应⽤斯托克斯定律u f a ηπ=6，f 即拖曳⼒或摩擦⼒，t d /d r u =是颗粒的运动速度，r 是位置，f 、u 、r 均为⽮量。
