概率统计复习2

【概率论与数理统计经典计算题题2】期末复习题含答案work Information Technology Company.2020YEAR概率论与数理统计计算题（含答案）计算题1.一个盒子中装有6只晶体管，其中2只是不合格品。

现作不放回抽样，接连取2次，每次随机地取1只，试求下列事件的概率：（1）2只都是合格品；（2）1只是合格品，1只是不合格品；（3）至少有1只是合格品。

1-2,9-2.设甲，乙，丙三个工厂生产同一种产品，三个厂的产量分别占总产量的20%，30%，50%，而每个工厂的成品中的次品率分别为5%，4%，2%，如果从全部成品中抽取一件，（1）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是甲，乙，丙工厂生产的概率。

3.设随机变量X 的分布函数为1(1), 0() 0, 0x x e x F x x -⎧-+>=⎨≤⎩，试求：（1）密度函数()f x ；（2）(1)P X ≥，(2)P X < 。

4.二维随机变量(,)X Y 只能取下列数组中的值：1(0,0),(1,1),(1,),(2,0)3--，且取这些组值的概率分别为1115,,,312612。

求这二维随机变量分布律，并写出关于X和关于Y 的边缘分布律。

5. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，试求下列事件的概率：（1）其中恰好有一位精通英语；（2）其中恰好有两位精通英语；（3）其中有人精通英语。

6.某大型体育运动会有1000名运动员参加，其中有100人服用了违禁药品。

在使用者中，假定有90人的药检呈阳性，而在未使用者中也有5人检查为阳性。

如果一个运动员的药检是阳性，则这名运动员确实使用违禁药品的概率是多少？7.设随机变量X 的密度函数为||(),x f x Ae x R -=∈，试求：（1）常数A ；（2）(01)P X << 。

8. 设二维随机变量(X ，Y)的分布律为求：(1)(X ，Y)关于X 的边缘分布律；(2)X+Y 的分布律．9． 已知A B ⊂，()0.36P A =，()0.79P B =，求()P A ,()P A B -,()P B A -。

专题八 概率与统计 第二讲 概率，随机变量及分布列1.为了援助湖北抗击疫情,全国各地的白衣天使走上战场的第一线,他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机,编号分别为1,2,3,4,5,6,同时到达武汉天河飞机场,每五分钟降落一架,其中1号与6号相邻降落的概率为( ) A.112B.16C.15D.132.一个不透明的袋子中装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0，1，2，3.现甲从中摸出1个球后放回，乙再从中摸出1个球，谁摸出的球上的数字大谁获胜，则甲、乙各摸一次球后，甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数的概率为( ) A.14B.13C.49D.3163.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A.110B.15C.310D.254.某次战役中，狙击手A 受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A 至多射击2次，则他能击落敌机的概率为( ) A.0.23B.0.2C.0.16D.0.15.设两个相互独立事件A ，B 都不发生的概率为19，则A 与B 都发生的概率的取值范围是( )A.80,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.15,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.28,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.40,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.一个旅行团到漳州旅游，有百花村与云洞岩两个景点可选择，该旅行团选择去哪个景点相互独立.若旅行团选择两个景点都去的概率是49，只去百花村不去云洞岩与只去云洞岩不去百花村的概率相等，则旅行团选择去百花村的概率是( ) A.23B.13C.49D.197.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师各自分别将活动通知的信息独立且随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为( )A.25B.1225C.1625D.458.（多选）从甲袋中摸出1个红球的概率是13，从乙袋中摸出1个红球的概率是12.从甲袋、乙袋各摸出1个球，则下列结论正确的是( )A.2个球都是红球的概率为16B.2个球不都是红球的概率为13C.至少有1个红球的概率为23D.2个球中恰有1个红球的概率为129. （多选）在4件产品中,有一等品2件,二等品1件(一等品与二等品都是正品),次品1件,现从中任取2件,则下列说法正确的是( )A.两件都是一等品的概率是13B.两件中有1件是次品的概率是12C.两件都是正品的概率是13D.两件中至少有1件是一等品的概率是5610. （多选）在一次随机试验中，A,B,C,D是彼此互斥的事件，且A B C D+++是必然事件，则下列说法正确的是( )A.A B+与C是互斥事件，也是对立事件B.B+C与D是互斥事件，但不是对立事件C.A C+与B D+是互斥事件，但不是对立事件D.A与B C D++是互斥事件，也是对立事件11.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为__________.12.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.13.从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为_____________.14.一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率.(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求2n m<+的概率..假定甲、乙两位同学15.设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为23到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.答案以及解析1.答案：D解析：6架飞机的降落顺序有66A 种,而1号与6号相邻降落的顺序有2525A A 种,所以所求事件的概率252566A A 1A 3P ==.故选D.2.答案：A解析：甲、乙各摸一次球，有可能的结果有4416⨯=（种），甲摸的数字在前，乙摸的数字在后，则甲获胜的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种. 其中甲、乙各摸一次球后，甲获胜且乙摸出的球上数字为偶数有4种，则所求概率41164P ==. 3.答案：D解析：先后有放回地抽取2张卡片的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25种.其中满足条件的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10种情况.因此所求的概率102255P ==.故选D. 4.答案：A解析：A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A 射击1次就击落敌机，则他击中了敌机的机尾，概率为0.1；若A 射击2次就击落敌机，则他2次都击中了敌机的机首，概率为0.20.20.04⨯=或者第1次没有击中机尾且第2次击中了机尾，概率为0.90.10.09⨯=，因此若A 至多射击2次，则他能击落敌机的概率为0.10.040.090.23++=.故选A. 5.答案：D解析：设事件A ，B 发生的概率分别为()P A x =，()P B y =，则1()()()(1)(1)9P AB P A P B x y ==-⋅-=，即11199xy x y +=++≥+x y =时取“=”，211)9∴≥23≤43（舍去），409xy ∴≤≤.4()()()0,9P AB P A P B xy ⎡⎤∴==∈⎢⎥⎣⎦.6.答案：A解析：用事件A 表示“旅行团选择去百花村”，事件B 表示“旅行团选择去云洞岩”，A ，B 相互独立，则4()9P AB =，()()P AB P AB =.设()P A x =，()P B y =，则4,9(1)(1),xy x y x y ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩解得2,323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍去），故旅行团选择去百花村的概率是23.故选A.7.答案：C解析：设“甲同学收到李老师的信息”为事件A ，“收到张老师的信息”为事件B ，A ，B 相互独立，42()()105P A P B ===，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=.故选C. 8.答案：ACD解析：设“从甲袋中摸出1个红球”为事件1A ，“从乙袋中摸出1个红球为事件2A ，则()113P A =，()212P A =，且1A ，2A 独立.对于A 选项，2个球都是红球为12A A ，其概率为111326⨯=，故A 正确；对于B 选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为15166-=，故B 错误；对于C 选项，2个球中至少有1个红球的概率为()()1221211323P A P A -=-⨯=，故C 正确；对于D 选项，2个球中恰有1个红球的概率为1121132322⨯+⨯=，故D 正确.故选ACD. 9.答案：BD解析：由题意设一等品编号为a ,b ，二等品编号为c ，次品编号为d ，从中任取2件的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，(,)c d ，共6种. 对于A ，两件都是一等品的基本情况有(,)a b ，共1种，故两件都是一等品的概率116P =，故A 错误； 对于B ，两件中有1件是次品的基本情况有(,)a d ，(,)b d ，(,)c d ，共3种，故两件中有1件是次品的概率23162P ==，故B 正确；对于C ，两件都是正品的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)b c ，共3种，故两件都是正品的概率33162P ==，故C 错误；对于D ，两件中至少有1件是一等品的基本情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率456P =，故D 正确. 10.答案：BD解析：由于A ,B ,C ,D 彼此互斥，且A B C D +++是必然事件，故事件的关系如图所示.由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立，任何两个事件的和事件与其余两个事件中任何一个是互斥事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立，故B,D 中的说法正确.11.答案：35解析：设此队员每次罚球的命中率为p ，则216125p -=，所以35p =. 12.答案：16；23解析：甲，乙两球都落入盒子的概率为111236⨯=.方法一：甲、乙两球至少有一个落入盒子的情形包括：①甲落入、乙未落入的概率为121233⨯=；②甲未落入，乙落入的概率为111236⨯=；③甲，乙均落入的概率为111236⨯=.所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为11123663++=.方法二：甲，乙两球均未落入盒子的概率为121233⨯=，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为12133-=.13.答案：23解析：从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人，有{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}，共6种结果；其中甲、乙两人中有且只有一人被选取，有甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，共4种结果. 故甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为4263=. 14.答案：(1)13. (2)概率为1316. 解析：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的样本点有：1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个.从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2，1和3，共2个， 因此所求事件的概率为2163P ==.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为m ， 试验的样本空间{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),Ω=(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}，共16个样本点.又满足条件2n m ≥+的样本点有：(1,3),(1,4),(2,4)，共3个. 所以满足条件2n m ≥+的事件的概率为1316P =，故满足条件2n m <+的事件的概率为1313111616P -=-=. 15.答案：（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概均为23，故2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而3321()C ,0,1,2,333kkk P X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以随机变量X的分布列为随机变量X 的数学期望2()323E X =⨯=.（2）设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y ，则2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，且{3,1}{2,0}M X Y X Y ===⋃==.由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{3}X =与{}1Y =，事件{}2X =与{}0Y =均相互独立，从而由（1）知()P M =({3,1}{2,0})(3,1)(2,P X Y X Y P X Y P X ==⋃=====+=8240)(3)(1)(2)(0)2799Y P X P Y P X P Y ====+===⨯+⨯12027243=.。

一．填空题1。

设A ，B,C 为三事件，用A ，B,C 的运算关系表示“事件A 发生，B 与C 不发生" 为 C B A .2．设 事 件 A ， B 的 概 率 分 别 为 0.6与 0。

8， 且 A ⊂ B ，则)()()()(A P B P A B P A B P -=-== 0.2 。

3。

设事件A ， B 的概率分别为51 与 41,且 A 与 B 互 斥， 则 =-=)()()(AB P A P B A P =51。

4。

设A ，B 为二事件,()0.6,()0.3P A P B ==。

若A ， B 互不相容,则()P A B ⋃= 0。

95。

设 A ， B 两 事 件 相 互 独 立 ， 且 P （B) = 0。

6，P(A B ） = 0。

9 ， 则 P(A ）= 43。

)()())(1)(()()()()()()()()()(B P B A P B P A P B P A P B P B A P A P AB P B P A P B A P -=-+-=-+= 6. 一 只 袋 中 有 4 只 白 球 ， 2 只 黑 球 ， 另 一 只 袋 中 有 3 只 白 球 和 5 只 黑 球 , 如 果 从 每 只 袋 中 各 摸 一 只 球 ， 则 摸 到 的 一 只 是 白 球 ,一 只 是 黑 球 的 事 件 的 概 率 为 1324 .7。

设 A1 ， A2 , A3 是随机试验E 的三个相互独立的事件， 已知P(A1) = α , P(A2） = β，P(A3） = γ ，则A1 ， A2 ， A3 至少有一个发生的概率是 1- （1- α)(1- β）（1- γ) 。

8。

设随机变量ξ的分布律是 {}4,3,2,1,21=⎪⎭⎫⎝⎛==k A k P kξ则 A = 。

解:()A A k P k 161516181412141=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++==∑=ξ 令 11615=A 得 1516=A 9. 已 知 离 散 型 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为 ,201}{+==K K X P K = 1, 2， 3， 4， 5， 则 概 率 {}=≤<41X P _______（53）。

西南科技大学*******学期《概率论与数理统计 B 》本科期末考试试卷（B 卷）一、填空题（共5题，每小题3分，共15分）1、设事件A B 、相互独立，()0.2,()0.7,==P A P B 则()=P A B .2、袋中有红球2个，白球8个，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则两人都取得白球的概率是 .3、若随机变量ξ在(0,6)上服从均匀分布，则方程210x x ξ++= 无．实根的概率是 . 4、若随机变量1X ,2X 相互独立，且2212(2,3),(1,4)X N X N ，则12()D X X += .5、设2()0111<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩x F x xx x 是随机变量X 的分布函数，则1(1)2-<≤=P X .二、单项选择题（共5题，每小题3分，共15分） 1、设()f x 是连续型随机变量X 的概率密度函数，则+()f x dx ∞-∞=⎰( ).A. ()F x B. ()E xC. ()D xD. 12、设两个随机事件,A B 相互独立，则下列选项中错误的是( ).A ．AB 、不相互独立 B ．()()()P AB P A P B =C ．()()()P AB P A P B =D ．A B 、相互独立3、某人向目标独立重复射击，每次击中目标的概率为(01)p p <<，则此人第10次射击恰好第4次命中目标的概率是 ( ).A. 44610(1)C p p -B. 3469(1)C p p -C. 3459(1)C p p -D. 3369(1)C p p -4、设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数0.2502,02(,)0x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它，则(1 1.8,12)P X Y <<<<= ( ).A ．0.8B ．1C ．0.2D ．0 5、设总体2(,)XN μσ，1X 、2X 、3X 是来自总体的一个样本，则下列关于μ的无偏估计量是（ ）.A. 12+X XB. 1231()3X X X ++ C. 121277X X + D. 1231()2X X X ++ 三、（8分）设,A B 为两事件，()0.4,()0.7,P A P AB ==求下列三种情况下()P B 的值.(1) A B 、互不相容；（2）A B ⊂；（3）A B 、相互独立.四、（8分）国家生育政策改变若干年后调查发现，有40%的新生来自有两个孩子的家庭（简称二孩家庭），60%的新生来自独生子女家庭.已知二孩家庭中女孩出生率为50%，独生子女家庭中女孩出生率为30%.现从新生中任抽出一名女生，问该女生来自二孩家庭的概率是多少？五、（10分）设随机变量X 的概率密度为：101()2⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其它ax x f x ，求：（1）参数a 的值；（5分） (2)12()33<<P X .（5分） 六、（8分）已知X 服从[0,]π上的均匀分布，（1）写出X 的密度函数（4分）；（2）求3Y X =的数学期望()E Y .（4分）七、（10分）设随机变量X 的分布律如下表， 求：（1）X 的期望和分布函数()F x ；（5分）（2）X 的方差()D x ；（5分）八、（6分）设二维离散型随机变量(,)X Y 的概率分布律如右：（1）求关于,X Y 的边缘分布律；（4分） （2）说明,X Y 是否相互独立. （2分）九、（10分）设总体X 的概率密度函数为101(;)0θθθ-⎧<<=⎨⎩x x f x 其它，其中0θ>且未知.12,nX X X 是来自总体的简单随机样本.试求θ的矩估计量与极大似然估计量.十、（10分）化工厂用自动包装机包装化肥，每包重量X 服从正态分布2(,)N μσ，其中=100μ， =0.05σ. 某日开工后，为了确定包装机这天的工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得平均重量为=99.978x （单 位：公斤）.已知方差不变，问在显著水平=0.05α下，能否认为这天的包装机工作正常？0.050.0250.050.050.0250.025=1.65,=1.96,(9)=(8)=1.86,(9)=2.261.(8)=281,.33z z t t t t一、填空题（每题3分，共15分） 1、0.44；2、2845；3、13；4、2255或者；5、14.二、选择题（每题3分，共15分） 1、D ； 2、A ；3 、B ；4、C ；5、B三、解答题（共8分）解：()()()0.7+-=P A P B P AB ,()0.4=P A 知()=0.3()+P B P AB ……（2分） （1）()=0()0.3⇒=P AB P B ……（2分）（2）()=()()0.30.40.7⇒=+=P AB P A P B ……（2分）（3）()=()()()0.3()()()0.5⇒=+⇒=P AB P A P B P B P A P B P B ……（2分）四、（共8分）解：设A 表示“抽到的学生来自二孩家庭”，B 表示“抽到的学生来自独生家庭”, C 表示 “抽到的学生是女生”. …（1分）()()()()()()()P C A P A P A C P C A P A P C B P B =+…（4分）0.50.40.50.40.30.6⨯=⨯+⨯52.63%1019==…（3分）五、（10分）解：（1）+111()()1222∞-∞=+=+=⎰⎰a f x dx ax dx ……（3分）=1⇒a ……（2分）（2）101()=20⎧+<<⎪⎨⎪⎩其它x x f x ……（2分）223132121113()()()1332233<<=+=+=⎰P X x dx x x …（3分） 六、（8分）解：（1）1[0,]()=0ππ⎧∈⎪⎨⎪⎩其它x f x ……（4分）（2）3+331()()4πππ∞-∞=⋅==⎰⎰E Y x f x dx x dx ……（4分）七、（10分）解()=()F x P X x ≤（1）010.110()=0.3010.71212<-⎧⎪-≤<⎪⎪≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩x x F x x x x ……（5分）(2) ()0.10.40.60.9=-++=E X ，2()0.5 1.2 1.7=+=E X ……（2分）22()()(()) 1.70.810.89=-=-=D X E X E X ……（3分）八、（6分）解：（1） ……（4分）（2）因为121122(1,2)93927=≠⋅=⋅=P P P ，所以X,Y 不相互独立. ……（2分） 九、（10分）解：（1）+1110()();1θθθθθθ∞--∞=⋅===+⎰⎰⎰E X x f x dx x x dx x dx ……（2分）()ˆ(),=1()1θθθ==--，令的矩估计量为E X X E X X E X X……（3分） （2）似然函数为：111111(;)()(01)θθθθθθθ---======<<∏∏∏nnnnni i i i i i i L x x x x x ……（2分）对数似然函数为：11ln (;)ln (1)ln n (;)ln (1)ln()θθθθθθ===+-=+-∑∏或者nni i i i L x n x L x n x ……（1分）对数似然方程为：11ln (;)ln (;)ln 0ln()0θθθθθθ===+==+=∑∏或者n n i i i i d L x n d L x n x x d d …（1分） 解得θ的极大似然估计量为：11ˆˆln ln()θθ===-=-∑∏或者nnii i i n n x x ……（1分）十、（10分）解：每包重量2(,)X N μσ，且方差不变σ2=0.052，要对均值进行检验，故采用Z 检验法。