13571,24816c c c c
+++=所以.3716
c
=
所求概率为
P {X <1| X }=.0≠258167852121
}0{}1{=
++=≠-=c
c c c X P X P 3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的二项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p 的二项分布, 若≥, 求≥.
{P X 5
1}9
=
{P Y 1}解 注意p{x=k}=,由题设≥k
k n k n C p q -5
{9
P X =21}1{0}1,
P X q =-==-故. 从而
213
q
p =-=
≥{P Y 3219
1}1{0}1(.327
P Y =-==-=
4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为
, 求每次试验成功的概率.19
27
解
设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是
，那么一次都27
19
没有成功的概率是
. 即, 故 =.278278)1(3
=-p p 3
15. 若X 服从参数为的泊松分布, 且, 求参数.
λ{1}{3}P X P X ===λ解 由泊松分布的分布律可知.
6=λ6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X 的分布律.
解 从1，2，3，4，5中随机取3个，以X 表示3个数中的最大值，X 的可能取值是
3，4，5，在5个数中取3个共有种取法.
103
5
=C {X =3}表示取出的3个数以3为最大值，P{X =3}==;
2235C C 10
1
{X =4}表示取出的3个数以4为最大值，P{X =4}=;
10
3
3523=C C {X =5}表示取出的3个数以5为最大值，P{X =5}=.
5
3
3524=C C X 的分布律是
X 3
4
5
P
11031035
习题2-31. 设X 的分布律为
X -1
1P
0.15
0.20
0.65
求分布函数F (x ), 并计算概率P {X <0}, P {X <2}, P {-2≤X <1}.
解 (1)
F (x )=0,1,
0.15,10,0.35,01,1,
1.
x x x x <-⎧⎪-<⎪⎨
<⎪⎪⎩≤≤≥ (2) P {X <0}=P {X =-1}=0.15;
(3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1; (4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=0.35.2. 设随机变量X 的分布函数为
F (x ) = A +B arctan x -∞试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率.
解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知
(0112
,.2()1
2A B A B A B πππ⎧
+-=⎪⎪⇒==⎨
⎪+=⎪⎩于是
11
()arctan ,.2F x x x π
=+-∞<<+∞(2) {11}(1)(1)
P X F F -<=--≤ 1111
(arctan1)(arctan(1))
22ππ=+-+- 11111().24242
ππππ=+⋅---=3. 设随机变量X 的分布函数为
F (x )=0, 0, 01,21,1,,x x
x x <<⎧⎪⎪⎨⎪
⎪⎩ ≤ ≥
求P {X ≤-1}, P {0.3 解 P {X ,
1}(1)0F -=
-=≤P {0.3P {05. 假设随机变量X 的绝对值不大于1;
; 在事件
11
{1},{1}84
P X P X =-===出现的条件下, X 在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成{11}X -<<正比. (1) 求的分布函数≤x }; (2) 求X 取负值的概率p .
X (){F x P X =解 (1) 由条件可知,
当时, ;1x <-()0F x =当时, ;
1x
=-1(1)8
F -=
当时, F (1)=P {X ≤1}=P (S )=1.
1x =所以
115
{11}(1)(1){1}1.
848
P X F F P X -<<=---==--=易见, 在X 的值属于的条件下, 事件的条件概率为
(1,1)-{1}X x -<<≤,
{1P X -<|11}[(1)]x X k x -<<=--
