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第四章向量自回归模型介绍向量自回归模型（Vector Autoregression，VAR）是一种时间序列分析模型，常用于分析多个相关变量之间的动态关系。
VAR模型可以看作是多个单变量自回归模型的组合，它对多个变量的信息进行了同时处理，能够更全面地捕捉变量之间的相互作用和影响。
VAR模型的基本假设是，当前时间点的所有变量值与过去时间点的所有变量值相关。
假设我们有p个变量，那么VAR(p)模型定义了每个变量在当前时间点的取值都是过去p个时间点的线性组合，同时还考虑了随机误差项。
数学表示为：Yt=A1*Yt-1+A2*Yt-2+...+Ap*Yt-p+εt其中Yt是一个p维列向量，包含当前时间点p个变量的取值；Yt-1至Yt-p是过去p个时间点的p维列向量；A1至Ap是p个p×p维矩阵，表示每个变量与过去时间点的线性关系；εt是一个p维列向量，表示随机误差项。
VAR模型的参数估计可以使用最小二乘法进行，通过最小化模型产生的残差平方和来求解参数。
可以使用矩阵形式进行计算，将所有时间点的变量值和延迟值堆叠成矩阵，并将所有误差项堆叠成矩阵，然后通过对应的矩阵运算求解参数矩阵。
VAR模型的参数估计结果可以用于分析变量之间的动态关系和相互影响。
通过观察参数矩阵中的元素值，可以了解到不同变量之间的关系类型（正相关还是负相关）、强度（系数大小）和延迟效应（系数所对应的时间点）。
同时，还可以利用VAR模型进行变量预测和冲击响应分析。
变量预测是VAR模型的一个常用功能，在给定过去时间点的变量值后，使用估计得到的参数矩阵可以预测未来时间点的变量取值。
这对于经济领域的预测和政策制定非常有用，可以根据变量之间的关系和历史数据进行未来变量值的估计。
冲击响应分析是指在VAR模型中引入一个外部冲击，观察该冲击对其他变量的影响。
冲击响应分析能够量化不同变量之间的直接和间接关系，帮助研究人员了解系统中各个变量对于一个特定冲击因素变化的反应情况。
第四章向量自回归过程的时间序列分析§1向量自回归模型有时我们需要考虑多个时间序列过程的组合。
例如，宏观经济系统中，（x ，〃s ，p ，D 它 们之间是一个相互联系的整体（IS —LM ）。
多变量的时间序列将会产生一些单变量不存在的 问题。
本章主要讨论平稳的自回归形式的多变虽:随机过程VAR 。
给一般的向量平稳过程,X=（人必门…比/ / = 0,±1,±2,……。
这里X 的协差矩阵定义为：厂伙）= covVr ）= E ［a —〃）（Xr 仅依赖于&。
设,:.r （k ）=r （-k ）a 设n= f ；r 伙），那么，。
=厂（0）+£山伙）+厂伙）'］。
称为x 的长X 2期协差阵。
且乙的谱泄义为:人9）= ^-E=丄｛几+却伙严+r （肪严］｝。
2/T A .YO2兀^-1A 1 丄 一 一用厂伙）=—工（乙一丫）（匚一丫）； &=0丄2,…作为r 伙）的估计，又M 是一个截断，满T 心+］M 八 . 时 k足M T s,且一to 。
再用c = r （o ）+y （i ------------------- ）［T 伙）+r‘伙）］作为。
的一致估计。
T 台 A/+1相应于单变量平稳过程，我们同样定义向量的白噪声过程WN 和向量的鞅差分过程MDS O 并进一步给岀由它们的线性过程组成的其他的向量过程：匕4尺（1）过程，Y t =（l ）Y t _｝+s ｛。
这里0是一个mxm 的矩阵，£是向量WN 。
平稳性要 求0的特征值的绝对值小于1。
UMA （l ）过程，Y’这里&是一个mxm 的矩阵，£是向量WN 。
可逆性要求&的特征值的绝对值小于1。
又，UMA （l ）过程总是平稳的。
VARMA(p^)^程，乙=空}^+・・・+ 0上-“+£+&适1+・・・+ &庐1，这里0和0都 是mxmZu厂伙）=/21Z12…YxmY11 • (i)于是得到矩阵序列⑴伙）｝ o 又I %•伙）=，的矩阵。
