第四章 向量自回归过程的时间序列分析§1 向量自回归模型有时我们需要考虑多个时间序列过程的组合。
例如，宏观经济系统中，(,,,)t t t t y m p r 它们之间是一个相互联系的整体（IS —LM ）。
多变量的时间序列将会产生一些单变量不存在的问题。
本章主要讨论平稳的自回归形式的多变量随机过程V AR 。
给一般的向量平稳过程，12(,,,) 0,1,2,t t t mt Y Y Y Y t '==±±。
这里t Y 的协差矩阵定义为：()cov(,)[()()]t t k t t k k Y Y E Y Y μμ--'Γ==--仅依赖于k 。
设，111212122212()m m m m mm kk γγγγγγγγγ⎛⎫⎪ ⎪Γ= ⎪⎪⎝⎭，于是得到矩阵序列{()}k Γ。
又()()ij ji k k γγ=-，()()k k '∴Γ=Γ-。
设()k k +∞=-∞Ω=Γ∑，那么，1(0)[()()]k k k ∞='Ω=Γ+Γ+Γ∑。
称为tY 的长期协差阵。
且t Y 的谱定义为：0111()(){[()()]}22t i ki k i k Y k k f k ek e k e ωωωωππ+∞∞--=-∞='=Γ=Γ+Γ+Γ∑∑。
用11ˆ()()(), 0,1,2,Tt t k t k k Y Y Y Y k T -=+'Γ=--=∑作为()k Γ的估计，又M 是一个截断，满足,M →∞且0M T →。
再用1ˆˆˆˆ(0)(1)[()()]1Mk k k k M ='Ω=Γ+-Γ+Γ+∑作为Ω的一致估计。
相应于单变量平稳过程，我们同样定义向量的白噪声过程WN 和向量的鞅差分过程MDS 。
并进一步给出由它们的线性过程组成的其他的向量过程：(1)VAR 过程，1t t t Y Y φε-=+。
这里φ是一个m m ⨯的矩阵，t ε是向量WN 。
