随机过程习题解答,

习题1

1. 令X(t)为二阶矩存在的随机过程，试证它是宽平稳的当且仅当EX(s)与E[X(s)X(s+t)]

都不依赖s.

证明：充分性：若X(t)为宽平稳的，则由定义知

EX(t)=μ， EX(s)X(s+t)=r(t) 均与s 无关

必要性：若EX(s)与EX(s)X(s+t)都与s 无关，说明

EX(t)=常数， EX(s)X(s+t)为t 的函数

2. 记1U ，．．．，n U 为在（０,１）中均匀分布的独立随机变量，对0 < t , x < 1

定义

I( t , x)=⎩

⎨⎧>≤，，，，t x t x 01

并记X(t)=),(11

∑=n

k k U t I n ，10≤≤t ，这是1U ，．．．，n U 的经验分布函数。 试求过程X （t ）的均值和协方差函数。

解： EI ()k U t ,= P ()t U k ≤= t ， D

()),(k U t I = EI ()k

U t ,－()2

),(k

U t EI

= t －2

t = t(1－t)

j k ≠， cov ()

),(),(j k U s I U t I ，=EI(t,k U )I(s,j U )－EI(t, k U )EI(s, j U ) = st －st=0

k = j ， cov ()

),(),(j k U s I U t I ，= EI(t,k U )I(s,j U )－st = min(t,s)－st

EX(t)=),(11∑=n k k U t EI n =∑=n

k t

n 11= t

cov ())(),(s X t X =()())

,(),,(cov 1),(),,(cov 12

1

2

j k

j

k n

k k k U s I U

t I n U s I U t I n

∑∑≠=+

=[]∑=n

k st t s n

1

2

),min(1

－

=()st t s n

－),min(1

3.令1Z ，2Z 为独立的正态分布随机变量，均值为0，方差为2σ，λ为实数，定义过程()t Sin Z t Cos Z t X λλ21+=.试求()t X 的均值函数和协方差函数，它是宽平稳的吗？Solution: ()221,0~,σN Z Z . 02

2

21==EZ EZ . ()()2

21σ==Z D Z D ，

()0

,21=Z Z Cov ,

()0

=t EX ，

()()()()()[]s Sin Z s Cos Z t Sin Z t Cos Z E s X t X Cov λλλλ2121,+⋅+=

[]

s tCos Sin Z Z s tSin Cos Z Z s tSin Sin Z s tCos Cos Z E λλλλλλλλ12212

2

21+++= ()02++=s tSin Sin s tCos Cos λλλλσ =()[]λσs t Cos -2

(){}t X 为宽平稳过程.

4.Poisson 过程()0,≥t t X 满足（i ）()00=X ；(ii)对s t >，()()s X t X -服从均值为

()s t -λ的Poisson 分布；（iii ）过程是有独立增量的.试求其均值函数和协方差函数.它是宽平稳的吗？Solution ()()()()t X t X E t EX λ=-=0，()()t t X D λ= ()()()()()s t s X t EX s X t X Cov λλ⋅-=,

()()()()()ts s EX s X s X t X E 22λ-+-= ()()()()ts s EX s X D 22

0λ-++=

()ts s s 22

λλλ-+=

()t s s λλλ-+=1 显然()t X 不是宽平稳的.

5. ()t X 为第4题中的Poisson 过程，记()()()t X t X t y -+=1，试求过程()t y 的均值函数和协方差函数，并研究其平稳性. Solution ()λλ=⋅=1t Ey , ()()λ=t y D

Cov(y(t),y(s))=Ey(t)y(s)-Ey(t)y(s)

=E(x(t+1)-x(t))(x(s+1)-x(s))-λ2

(1)若s+1

(2)若ts>t-1, 则

Cov(y(t),y(s))=E[x(t+1)-x(s+1)+x(s+1)-x(t)][x(s+1)-x(t)+x(t)-x(s)] -λ2

=E(x(t+1)-x(s+1))(x(s+1)-x(t))+E(x(t+1)-x(s+1))(x(t)-x(s))

+E(x(s+1)-x(t))+E(x(s+1)-x(t))(x(t)-x(s))- λ2

=λ(s+1-t)= λ-λ(t-s)- λ2

(3) 若t

Cov(y(t),y(s))= E [x(t+1)-x(s)+x(s)-x(t)] [x(s+1)-x(t+1)+x(t+1)-x(s)]- λ2 =(x(t+1)-x(s))(x(s+1)-x(t+1))+E(x(t+1)-x(s))(x(t+1)-x(s))

+E(x(s)-x(t))(x(s+1)-x(t+1))+E(x(s)-x(t))(x(t+1)-x(s))- λ2

=0+λ(t+1-s)+0-λ2

=λ+λ(t-s)- λ2

(4) 若s>t+1 Cov(y(t),y(s))=0-λ2=-λ2

由此知，故方差只与t-s有关，与t,s无关

故此过程为宽平稳的。

6，令z

1和z

2

是独立同分布的随机变量，P(z

1

=-1)=P(z

2

=1)=1/2

记x(t)=z

1

cosλt+z2sinλt, t∈R,试证：x(t)是宽平稳的，它是严平稳吗？

证明：Ez

1=0, Ez

1

2=(-1)2×1/2+12×1/2=1/2+1/2=1=D(z

1

)

Cov(z

1,z

2

)=0

Ex

t

=0

cov(x

t ,x

s

)=E(x

t

,x

s

)=E(z

1

2cosλtcosλs+z

2

2sinλtsinλs+z

1

z

2

cosλtsinλs+z1z2sin

λtcosλs)