高一函数的奇偶性复习课教案
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高一函数的奇偶性复习课教案
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高一函数的奇偶性复习课
教学目标：
1、巩固偶函数和奇函数的定义；
2、学会判断简单函数的奇偶性和利用函数奇偶性解决有关问题，进一步理解偶函
数和奇函数的性质。
教学重点：函数的奇偶性的判断和应用。
教学难点：函数的奇偶性的应用。
教学过程：
一、知识回顾：
1．偶函数定义;
2．奇函数定义;
3.奇偶性：如果函数()fx是奇函数或偶函数，那么就说函数()fx具有奇
偶性.
注：①函数()yfx是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数
轴上所对应的区间关于原点对称;
②若奇函数在原点处有定义，则有(0)0f;
③若函数()yfx是偶函数，则对于定义域内的每个x，都有()()fxfx;
④既是奇函数又是偶函数的函数是()0fx，xA,定义域A是关于原点对称的
非空数集;
⑤函数的奇偶性与单调性的差异：奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是
反映函数在某一区间上的函数值的变化趋势.函数的奇偶性是函数的整体性质，而
单调性是函数的局部性质.
4.奇函数、偶函数的图象的性质：
一个函数是奇（偶）函数当且仅当它的图像关于原点（或y轴）对称.
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二、函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：
1.定义法：定义域（关于原点对称）→验证()()fxfx或
()()0fxfx
或()1(()0)()fxfxfx→下结论.
2.图像法：一个函数是奇（偶）函数当且仅当它的图像关于原点（或y轴）
对称.
3.性质法：两个奇函数的和为奇函数；
两个偶函数的和为奇函数；
两个奇函数的积是偶函数；
两个偶函数的积是偶函数；
一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
注：以上函数都定义在同一个关于原点对称的定义域上.
练习1
（1） 已知()()fxgx、分别是[-10,10]上的奇函数和偶函数，则函数
()()()Fxfxgx
的图象关于________对称.
（2） 函数2()2fxaxbxab是定义在[1,2aa]上的偶函数，则
ab
_____.
练习2 判断下列各函数的奇偶性：
（1）1()(1)1xfxxx
（2）22(0)()(0)xxxfxxxx
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练习3 函数2()1axbfxx是定义在（-1,1）上的奇函数，且12()25f，求函数
()fx
的解析式.
三、函数奇偶性的应用
函数的奇偶性的应用主要体现在以下几个方面：
1.求函数值.
例1 已知32()8fxaxbxcx,且(2)10f，求(2)f.
解：设32()gxaxbxcx，则()gx为奇函数.
依题意可得(2)(2)810fg,则(2)18g. ∴(2)(2)18gg
∴(2)(2)818826fg.
2.求解析式.
例2 已知()fx是定义在R上的奇函数,且当0x时,3()1fxx,求0x
时,()fx的解析式.
解：设0x，则0x.
由已知0x时,3()1fxx,有33()11fxxx.
又()fx为奇函数，∴()()fxfx, ∴3()1fxx,
∴3()1fxx.
∴当0x时，3()1fxx.
注：此类题型的解题步骤如下：
①在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间里;
②利用()fx的奇偶性把()()fxfx或()fx；
③将()fx中的x代入已知解析式中，从而解出()fx.
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3.解抽象函数不等式
例3 设()fx在R上是偶函数，在区间（-∞，0）上递增，且有
22
(21)(321)faafaa
，求a的取值范围.
解：由()fx在R上是偶函数，在区间（-∞，0）上递增知()fx在区间（0，
+∞）上递减.
∵2217212()+048aaa，22123213()033aaa，且
22
(21)(321)faafaa
，
∴2221321aaaa，即230aa，解得03a.
注：在此用到以下结论：
① 若函数()fx为奇函数，当()fx在区间[,ab]上是单调函数时，则()fx在
区间[,ba]上也是单调的，且单调性相同；
② 若函数()fx为偶函数，当()fx在区间[,ab]上是单调函数时，则()fx在
区间[,ba]上也是单调的，且单调性相反.
4.函数的综合问题
例4 已知()fx是定义在[-1,1]上的奇函数，且(1)1f，若
,ab
[-1,1],0ab时，有()()0fafbab成立.
(1)判断()fx在[-1,1]上的单调性，并证明；
(2)解不等式：11()()21fxfx；
(3)若2()21fxmam对所有的a[-1,1]恒成立，求实数m的取值范围.
解：(1)任取12,[1,1]xx，且12xx，则2[1,1]x，由()fx为奇函数，有
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1212
12
12
12
()()()()()()()()fxfxfxfxfxfxxxxx
∵1212()()0()fxfxxx，120xx， ∴12()()0fxfx，即12()()fxfx.
∴()fx在[-1,1]上单调递增.
(2) ∵()fx在[-1,1]上单调递增,
∴11,21111,2111.1xxxx ∴312x.
(3) ∵(1)1f,()fx在[-1,1]上单调递增, ∴在[-1,1]上()1fx.
问题转化为2211mam，即220mam对[1,1]a恒成立.
设2()20gamam，
若0m，则()00ga，自然对[1,1]a恒成立.
若0m，则2()2gamam为a的一次函数,当0m时，若()0ga对
[1,1]a恒成立，则必须(1)0g，解得2m；当0m时，若()0ga
对
[1,1]a恒成立，则必须(1)0g
，解得2m.
∴m的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）∪{0}.
练习4 已知定义域为R的奇函数()fx，求证：若在区间[,ab](0ba)上
()fx
有最大值M，那么()fx在区间[,ba]上必有最小值-M.
练习5
（1）已知()yfx是R上的奇函数，且0x时，2()2fxxx，求()yfx的
解析式；
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（2）已知奇函数()fx有最大值7，试问它有无最小值？若有，求出最小值；
练习6已知函数()fx是偶函数，其定义域为（-1,1），且在[0,1）上为增函数，
若2(2)(4)0fafa，试求a的取值范围.
