微专题2：隐形圆

专题二隐圆问题-【问背景】) 有些数学问题，将圆隐藏在已知条件里，隐晦地考查点和圆、直线和圆、圆和圆的位程关系•解题时，需要我们通过分析探索，发现这些隐藏的圆(简称隐圆)，再利用和圆有关的一些知识进行求解.二、【范例】1 •点和隐圆例1在平而直角坐标系xOy中，已知圆C： X? +严.6x + 5 = 0 ,点在圆C上，且AB二2书,则网+闵的最大值是 _______________ •例2在平而直角坐标系xOy屮，已知圆O:x2 + y2=16t点P(l,2), M,N为圆。

上的不同的两点，且兩•兩=0,若殛二PM+PN ,则网丨的最小值为.2. 直线和隐圆例3已知动点M与两个定点O(0Q),A(3Q)的距离之比为丄，那么直线AM的斜率的2 取值范围是例4在平而直角坐标系冲，设点A(l,0),B(3,0),C(0,d),D(04 + 2),若存在点P ,使得PA二®B、PC二PD ,则实数〃的取值范围是________________3. 圆和隐圆例5在平而直角坐标系xOy中，点4(0,3),直线/：y = 2x-4.设圆的半径为1，圆心在/上•若圆C上存在点A/,使MA = 2M0.求圆心C的横坐标〃的取值范用.例6已知0M： (x-1 )2 + (y -4)2 = 4，若过x轴上的一点P(GO)可以作一直线与OW 相交于A3两点，且满足刊二场.求〃的取值范围.三、【练习】1. 在平而直角坐标系xOy屮，若满足x(x-k)<y伙-y)的点(x,y)都在以坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，则实数k的取值范用是_____________2. 若圆x2 + /-4x-4y-10 = 0上至少有三个不同点到直线1 : cix + by - 0的距离为2>/2 •则直线/斜率的取值范圉是 __________ •3. 在平面直角坐标系丸匕中，若与点A(2,2)的距离为1且与点3(心0)的距离为3的直线恰有两条，则实数山的取值范围为____________4. 若实数白丿2成等差数列，点P(70)到动直线ax + by + c二。

微专题22 “隐形圆”问题 考题导航 题组一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆

1. －65，0 解析：由题意得圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4与圆x2＋y2＝1相交，所以2

－1<（2a）2＋（a＋3）2<1＋2，1<5a2＋6a＋9<9，5a2＋6a＋8>0，5a2＋6a<0，解得a∈－65，0. 2. 2－22≤a≤2＋22 解析：因为PA、PB与O相切，且∠APB＝60°，则∠APO＝30°，所以OP＝OAsin 30°＝2，则存在使∠APB＝60°的点P等价于在圆M上存在与点O距离为2的点．圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1的圆心M(a，a－4)在直线y＝x－4上，所以OM＝a2＋（a－4）2，所以圆M上到点O的最小距离为OM－1＝a2＋（a－4）2－1，最大距离为OM＋1＝a2＋（a－4）2＋1，存在满足题意有点P即OM－1≤2≤OM＋1，解不等式

得2－22≤a≤2＋22.

1. 8 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x′，y′)．因为x′＝x1＋x22，y′＝y1＋y22，所以OA→＋OB→＝(x1＋x2，y1＋y2)＝2OM→，因为C：x2＋y2－6x＋5＝0，所以(x－3)2＋y2＝4.圆心C(3，0)，半径CA＝2，因为点A，B在圆C上，AB＝23，所以CA2－CM2＝12AB2，即CM＝1.点M在以C为圆心，半径r＝1的圆上，所以OM≤OC＋r＝3＋1＝4，所以|OA→＋OB→|≤8. 题组二 已知定点A，B，动点P满足PA→·PB→＝λ确定隐形圆 1. []4，6 解析：圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心C(3，4)，半径r＝1，设P(a，b)

在圆C上，则AP→＝(a＋m，b)，BP→＝(a－m，b)，因为∠APB＝90°，所以AP→⊥BP→，所以AP→·BP→＝(a＋m)(a－m)＋b2＝0，所以m2＝a2＋b2＝OP2，所以m的最大值即为OP的最大值，等于OC＋r＝5＋1＝6，最小值为OC－r＝5－1＝4，所以m的取值范围是[4，6]．

“圆”形毕露（二）考纲要求：江苏省高考考试说明中圆的方程是C 级考点,近几年在各地模考和高考中出现频率较高,在题设中没有明确给出圆的相关信息,而是隐含在题目中的,要通过分析、转化,发现圆(或圆的方程),从而最终利用圆的知识来求解,我们称这类问题为“隐形圆”问题． 考点解读：在平面上给定相异两点B A ,,设点P 在同一平面上且满足λ=⋅(或22PB PA +是定值),则点P 的轨迹是个圆.小题热身(1)平面内到原点距离为1的点的轨迹方程为 .(2)从圆1:22=+y x O 外一点P 向圆引两条切线,切点分别是A 、B ,使得∠APB ＝60°,则点P 的轨迹方程为 .(3)已知两点)0,2(),0,2(B A ,若存在点P ,使得∠APB =90°,则点P 的轨迹方程为 .(4)已知两点),0,2(),0,2(B A -若存在点P ,使得 20AP BP λ+=,则点P 的轨迹方程为 .(5)已知两点),0,2(),0,2(B A -若存在点P ,使得1022=+PB PA ,则点P 的轨迹方程为 .题型一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆例 1(1)如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1,则实数a 的取值范围是 ．056<<a（2）(2016南京二模)已知圆1:22=+y x O ,圆()()14:22=+-+-a y a x M ．若圆M 上存在点P ,过点P 作圆O 的两条切线,切点为A ,B ,使得∠APB ＝60°,则a 的取值范围为 ．题型二 动点P 对两定点B A ,张角是90°(1PA PB k k =-,或 0PA PB =)确定隐形圆 例 2 已知圆()()143:22=-+-y x C 和两点()0),0,(),0,(>-m m B m A ,若圆上存在点P ,使得∠APB =90°,则m 的取值范围是 ．题型三 两定点B A ,,动点P 满足λ=⋅确定隐形圆例 3 (2017南通密卷3)已知点)3,2(A ,点)3,6(B 点P 在直线 3430x y -+=上,若满足等式 20AP BP λ+=的点P 有两个,则实数λ的取值范围是 ．题型四 两定点B A ,,动点P 满足22PB PA +是定值确定隐形圆例 4 (1)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1,点)2,0(A ,若圆C 上存在点P ,满足1022=+PO PA ,则实数a 的取值范围是 ．(2)(2017.12南京十校联考12)已知,A B 为直线l ：y x =-上两动点,且4AB =，圆C ：226620x y x y +--+=,圆C 上存在点P ,使2210PA PB +=,则线段AB 中点M 的横坐标取]214,214-提升练习(1)(2017苏北四市一模)已知B A ,是圆1:221=+y x C 上的动点, AB P 是圆()()143:222=-+-y x C 上的动点,则 PA PB +的取值范围是 ．(2)(2017南通市一模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知C B ,为圆22 4x y +=上两点,点 A(1,1) ,且AC AB ⊥,则线BC 段的长的取值范围为 ．一．阿波罗尼斯圆1. 在直角坐标系中，()30，A ，直线42;-=x y l ，圆C 的半径为1，圆心C 在l 上 圆心C 也在直线1-=x y 上，过A 点作作圆C 的切线，求切线的方程（1）圆心C 也在直线1-=x y 上，过A 点作圆C 的切线，求切线的方程。

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2019年中考初三数学专题系列辅助圆模型一: “隐形圆"解点的存在性模型分析“定边、定角”圆上找。

具体来说:当边长一定，其所对角度也一定时，该角顶点在两段弧上.1. 如图，已知线段AB。

(1）请你在图①中画出使∠APB＝90°的所有满足条件的点P；（2)请你在图②中画出使∠APB＝60°的所有满足条件的点P；（3）请你在图③中画出使∠APB＝45°的所有满足条件的点P。

2。

（1）如图①,在矩形ABCD中，AB＝2,BC＝5。

请你在图①中矩形ABCD的边上画出使∠BPC ＝90°的点P；(2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝ .请你在图②中矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝60°的点P；(3）如图③，在正方形ABCD中，AB＝2,BC＝。

请你在图③正方形ABCD的边上画出使∠BPC＝45°的点P.3。

如图，线段AB和动点C构成△ABC,AB＝2,∠ACB＝120°,则△ABC周长的最大值为___________。

.模型二：“隐形圆”解角的最值模型分析同弧所对的圆周角相等，其所对的“圆外角”小于圆周角，“圆内角”大于圆周角。

如图①，∠B＝∠D＝∠E；如图②，∠F＞∠B＞∠G.4。

类型一：定点到动点定长点A为定点，点B为动点，AB为定长，则点B的轨迹为圆心为点A，半径为AB的圆。

【经典例题1】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F 是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是___.【解析】如图所示：当∠BFE=∠B′EF，点B′在DE上时，此时B′D的值最小，根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥B′F，∴EB′=EB，∵E是AB边的中点，AB=4，∴AE=EB′=2，∵AD=6，∴DE=1022622=+，∴B′D=102−2.练习1-1如图③，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是AB 边上一点，且AE=2，点F 是BC 边上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG 、CG ，四边形AGCD 的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF 的长度。

若不存在，请说明理由。

【解析】（3）如图3，△四边形ABCD 是矩形，△CD=AB=3，AD=BC=4，△ABC=△D=90°，根据勾股定理得，AC=5， △AB=3，AE=2，△点F 在BC 上的任何位置时，点G 始终在AC 的下方，设点G 到AC 的距离为h ，△S 四边形AGCD =S △ACD +S △ACG =21AD×CD+21AC×h=21×4×3+21×5×h=25h+6， △要四边形AGCD 的面积最小，即：h 最小，△点G 是以点E 为圆心，BE=1为半径的圆上在矩形ABCD 内部的一部分点， △EG△AC 时，h 最小，由折叠知△EGF=△ABC=90°，延长EG 交AC 于H ，则EH△AC ，在Rt△ABC 中，sin△BAC=AC BC =54， 在Rt△AEH 中，AE=2，sin△BAC=AE EH =54， △EH=54AE=58，△h=EH -EG=58-1=53 △S 四边形AGCD 最小=25h+6=25×53+6=215． 练习1-2如图，等边△ABC 的边AB=8，D 是AB 上一点，BD=3，P 是AC 边上一动点，将△ADP 沿直线DP 折叠，A 的对应点为A'，则CA'的长度最小值是 .【解析】2练习1-3如图，在平行四边形ABCD 中，△BCD =30°，BC =4，CD=M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△AMN ，连接A'C ，则A'C 长度的最小值是 .【解析】如图，连接MC ；过点M 作ME△CD ，交CD 的延长线于点E ；△四边形ABCD 为平行四边形，△AD△BC ，AD=BC=4，△点M 为AD 的中点，△BCD=30△，△DM=MA=2，△MDE=△BCD=30△， △ME=21DM=1，DE=3， △CE=CD+DE=43，由勾股定理得：CM 2=ME 2+CE 2，第4题图AB C DA'M N△CM=7;由翻折变换的性质得：MA′=MA=2，显然，当折线MA′C 与线段MC 重合时，线段A′C 的长度最短，此时A′C=7−2=5，故答案为5.练习1-4如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60∘，点M 是AD 边的中点，点N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连结A′C ，则A′C 长度的最小值是( ) A. 7 B. 7−1 C. 3 D. 2【解析】如图所示：∵MA′是定值，A′C 长度取最小值时，即A′在MC 上时， 过点M 作MF ⊥DC 于点F ，∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60∘，M 为AD 中点，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60∘，∴∠FMD=30∘，∴FD=21MD=21，∴FM=DM×cos30∘=23， ∴MC=722=+CF FM ，∴A′C=MC−MA′=7−1.故选：B.变式：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F 在边AC 上，并且CF=2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是_____解题思路：同上题，不难看出点P 的运动轨迹为以点F 为圆心，PF 为半径的圆上运动，求点P 到AB 的距离最小，可过点F 作AB 的垂线于点M ，交圆 F 于点P ，此时，最小值为PM 。

隐圆专题（1）一、问题概述江苏省高考考试说明中圆的方程是C 级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化、发现圆（或圆的方 程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．二、求解策略题型一、利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆1．如果圆4)3()2(22=--+-a y a x 上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范 围是 ．2．已知圆1:22=+y x O ，圆()()14:22=+-+-a y a x M ．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为B A 、，使得060=∠APB ，则a 的取值范围为 ．3．已知B A 、是圆1:221=+y x C 上的动点，3=AB ，P 是圆222)4()3(:-+-y x C1=+4．在平面直角坐标系xoy 中，已知C B ,为圆422=+y x 上两点，点)1,1(A ，且AC AB ⊥， 则线段BC 的长的取值范围为______________．题型二、动点对两定点B A 、的张角是090（1-=⋅PB PA k k 或0=⋅PB PA ）确定隐形圆 1．已知圆C ：1)4()3(22=-+-y x 和两点)0,(m A -，)0,(m B ，若圆C 上存在点P ，使 得090=∠APB ，则m 的取值范围是______________．2．已知直线l ：02=+-m y x 上存在点M 满足与两点)0,2(-A ，)0,2(B 连线的斜率之积 为1-，则m 的取值范围是______________．3．在平面直角坐标系xOy 中，直线021=+-y kx l ：与直线02:2=-+ky x l 相交于点P ， 则当实数k 变化时，点P 到直线04=--y x 的最大值为____________．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点)0,1(-P ，点)1,2(Q ，直线l ：0=++c by ax ，（其 中c b a ,,成等差数列），点P 在直线l 上的射影为H ，则线段QH 的取值范围是________．题型三、两定点B A 、，动点P 满足λ=⋅PB PA 确定隐形圆1．已知圆C ：1)4()3(22=-+-y x 和两点)0,(m A -，)0,(m B （0>m ），若圆C 上存 在点P ，使得1=⋅PB PA ，则m 的取值范围是___________．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点)0,(t A -（0>t ），)0,(t B ，点C 满足8=⋅→-→-BC AC ， 且点C 到直线l ：02443=+-y x 的最小距离为59，则实数t 的值为___________．3．已知点)3,2(A ，点)3,6(-B ，点P 在直线0343=+-y x 上，若满足等式λ2+⋅BP AP0=的点P 有两个，则实数λ的取值范围是___________．题型四 两定点B A 、，动点P 满足22PB PA +是定值确定隐形圆1．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：1)2()(22=+-+-a y a x ，点)2,0(A ，若圆C 上存在点P ，满足1022=+PO PA ，则实数a 的取值范围是___________．2．已知B A ,为直线x y l -=:上两动点，且4=AB ，圆026622=+--+y x y x C ：，圆C 上存在点P ，满足1022=+PB PA ，则线段AB 中点M 的横坐标取值范围为 ___________．3．在ABC ∆中，C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若82222=++c b a ，则ABC ∆面积的 最大值为___________．三、强化练习1．已知线段AB 的长为2,动点C 满足λ=⋅→-→-CB CA （0<λ），且点C 总不在以点B 为圆心,21为半径的圆内，则负数λ的最大值是___________．2．在平面中，)0,12(-A ，)6,0(B ，点P 在圆O :5022=+y x 上．若20≤⋅→-→-PB PA ，则点P 的横坐标的取值范围是________．3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点)2,0(-A ，点)1,1(-B ，P 为圆222=+y x 上一动点， 则PAPB的最大值是_________．隐圆专题（2）策略五 两定点B A 、动点P 满足λ=PBPA（0>λ且1≠λ）确定隐形圆（阿波罗尼斯圆） 1．已知)0,0(O ，)3,0(A ，如果圆C ：1)42()(22=+-+-a y a x 上总存在点M 使得MO MA 2=，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是___________．2．在平面直角坐标系xOy 中，圆122=+y x 交x 轴于B A ,两点，且点A 在点B 左边， 若直线03=++m y x 上存在P 使得PB PA 2=，则实数m 的取值范围为_________．3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点)01(，A ，)04(，B ，若直线0=+-m y x 上存在点P 使得PB PA 21=,则实数m 的取值范围是___________．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1:22=+y x O ，()44221=+-y x O ：，动点P 在 直线03=-+b y x 上，过点P 作圆1,O O 的两条切线，切点分别为B A ,，若满足PA PB 2=的点P 有且仅有两个，则实数b 的取值范围为___________．5．在ABC ∆中，若2=AB ，BC AC 2=，则ABC S ∆的最大值为___________．6．在ABC ∆中，2=BC ，1=AC ，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点， D C ,两点在直线AB 的两侧）．当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为________．7．已知点)1,0(A ，)0,1(B ，)0,(t C ，点D 是直线AC 上的动点，若BD AD 2≤恒成立，则最小正整数t 的值为_______．题型六、相关点法确定隐形圆1．在平面直角坐标系xOy 中，若直线)33(-=x k y 上存在一点P ，圆1)1(22=-+y x 上存在一点Q ，满足→-→-=OQ OP 3，则实数k 的最小值为___________．2．已知D C B A ,,,四点共面，2=BC ,2022=+AC AB ,→-→-=CA CD 3，则||→-BD 的最大值为_________．3．已知ABC ∆是边长为3的等边三角形,点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足→-→-→-+=AC AP AQ 3132，则||→-BQ 的最小值是__________．4．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆16:22=+y x O ，点)2,1(P ，N M ,为圆O 上两个 不同的点，且0=⋅PN PM ,若PN PM PQ +=,则||PQ 的最小值为___________．强化练习1．已知圆9221=+y x C ：，与圆4222=+y x C ：，定点)0,1(P ，动点B A ,分别在圆1C 与圆2C 上，满足090=∠APB ，则线段AB 的取值范围______________．2．已知圆O ：122=+y x ，圆M ：1)2()3(22=-+++a y a x (a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点Q P ,，使得030=∠OQP ，则a 的取值范围是__________．3．设R m ∈，直线0:1=+my x l 与直线042:2=---m y mx l 交于),(00y x P ，则020202x y x ++的取值范围_______.4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：2)1(22=++y x ，点)0,2(A ，若圆C 上存在 点M 满足1022≤+MO MA ，则点M 的纵坐标的取值范围是______________．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知B A ,为圆C ：16)()4(22=-++a y x 上两个动点，且112=AB ．若直线l ：x y 2=上存在唯一的一个点P ，使得→-→-→-=+OC PB PA ，则实数 a 的值为______________．6．在平面四边形ABCD 中，4=AB ，2=AD ，060=∠DAB ，CB CA 3=，则边CD 长的 最小值为______________．7．在平面直角坐标系xOy 中，圆()221:12C x y -+=，圆()()2221:C x m y m m -++=，若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条切线,,PA PB 切点为,A B ，ABP ∆的面积为 1，则正数m 的取值范围是 ．。

第4讲 隐形圆知识与方法在解析几何问题中，若题干中某个动点的轨迹是圆，这类问题我们称之为隐形圆问题，解题的关键是发现隐形圆，运用圆的性质来求解答案.本专题后续内容将详细归纳隐形圆常见的几类题型.典型例题【例1】若圆()()2214x a y a −+−+=上存在点P ，使得P 点到原点的距离为3，则实数a 的取值范围为________.【解析】问题等价于圆22:9O x y +=与圆()()22:14C x a y a −+−+=有交点，所以2121r r OC r r −≤≤+，易求得OC =，所以15≤≤，解得：30a −≤≤或14a ≤≤.【答案】[][]3,01,4−【例2】已知圆()22:44C x y +−=和两点(),0A m −、(),0B m ，若圆上存在点P ，使得0PA PB ⋅=，则正实数m 的取值范围为______.【解析】0PA PB ⋅=⇒点P 的轨迹方程是圆222:O x y m +=，问题等价于圆O 与圆C 有交点，所以2121r r OC r r −≤≤+，从而242m m −≤≤+，结合0m >可解得：26m ≤≤. 【答案】[]2,6【反思】设A 、B 为两个定点，则由PA PB ⊥或0PA PB ⋅=所确定的点P 的轨迹是圆. 【例3】在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2M 和()0,1N ，若直线20x y a −+=上存在点P 使2PM PN =，则实数a 的取值范围为______.【解析】设(),P x y ，则由|2PM PN =可得=，化简得：222439x y ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭，所以问题等价于直线20x y a −+=与圆222439x y ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭有交点，故23d =≤，a ≤≤【答案】4433⎡−+⎢⎣⎦【反思】若动点P 满足PA PBλ=()01λλ>≠且，其中A 、B 是两个定点，则点P 的轨迹是圆.变式 在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2b =，2a c =，则ABC 的面积的最大值为______.【解析】以AC 中点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则()1,0A −，()1,0C ，设(),B x y ,因为2a c =，所以2BC AB ==化简得：()22516039x y y ⎛⎫++=≠ ⎪⎝⎭， 所以点B 的轨迹是以5,03⎛⎫− ⎪⎝⎭为圆心，43为半径的圆（不含x 轴上的两个点），如图，由图可知，()max1442233ABCS=⨯⨯=.【答案】43【例4】已知点()2,2A ，()4,2B m ，点P 在直线20x y −+=上，若满足2PA PB ⋅=的点P 有两个，则实数m 的取值范围为______.【解析】设(),P x y ，则()2,2PA x y =−−，()4,2PB x m y =−−， ()()()()224222PA PB x x y m y ⋅=⇒−−+−−=，整理得点P 的轨迹方程为圆()()222:3124C x y m m m −+−−=−+，所以问题等价于直线20x y −+=与圆C <，解得：2m <−−或2m >.【答案】((),2232,−∞−−−+∞【反思】由PA PB λ⋅=可确定隐形圆，其中A 、B 是两定点.【例5】设点()0,2A ，圆()()22:24C x m y m −++−=，若圆C 上存在点M ，使得2220MA MO +=，其中O 为原点，则实数m 的取值范围为______.【解析】设(),M x y ，则由2220MA MO +=可得()2222220x y x y +−++=，化简得：()2219x y +−=，所以问题等价于圆C 与圆()2219x y +−=有公共点，故15≤，解得：21m −≤≤或25m ≤≤. 【答案】[][]2,12,5−【反思】22PA PB +是定值可确定隐形圆，其中A 、B 是两定点.【例6】在平面直角坐标系xOy 中，已知B 、C 为圆229x y +=上两点，点()2,2A ，且AB AC ⊥，则线段BC 的长的取值范围为______.【解析】如图1，设BC 中点为(),M x y ，则2BC AM =，OM BC ⊥，所以222OM MB OB +=，又MB AM =，所以222OM AM OB +=，故()()2222229x y x y ++−+−=，整理得：()()225112x y −+−=，从而点M 的轨迹是圆，圆心为()1,1T ，且点A 在该圆内，AT ，故22AM ≤≤+，因为2BC AM =BC −≤≤ 解法2：如图2，作矩形ABQC ，设(),Q x y ，由矩形性质知，2222OA OQ OB OC +=+，所以22899x y ++=+，化简得：2210x y +=，从而点Q径的圆，因为OA =AQ ≤≤+，又BC AQ =，BC −≤≤【答案】【反思】矩形性质：设P 是矩形ABCD 所在平面内任意一点，则2222PA PC PB PD +=+. 【例7】设a ∈R ，直线1:10l x ay −+=与直线2:20l ax y a +−+=交于点()00,P x y ，则2200021x y y +−−的取值范围为______.【解析】如图，1l 过定点()1,0A −，2l 过定点()1,2B −且12l l ⊥，故点P 在以AB 为直径的圆()2212x y ++=上，设d =则()222220000021122x y y x y d +−−=+−−=−，记()0,1T ，则d PT =，易求得圆上动点P 到定点T 的距离满足22PT −≤+22d −≤，所以266d −≤≤+，故2424d −≤−≤+即2200021x y y +−−的取值范围为44⎡−+⎣.【答案】44⎡−+⎣强化训练1.（★★★）若圆()()2214x y m −+−=上存在点P ，使得点P 到点()2,0Q 的距离为1，则实数m 的取值范围为______.【解析】问题等价于已知的圆与圆()22:21Q x y −+=有交点，所以13≤≤，解得：m −≤≤【答案】⎡−⎣2.（★★★）已知圆()222:4C x y r +−=()0r >，点()2,0A −、()2,0B ，若圆C 上有且仅有一个点P ，使得0PA PB ⋅=，则r 的值为______.【解析】设(),P x y ，则P ()2,PA x y =−−−，()2,PB x y =−−，因为0PA PB ⋅=，所以()()()2220x x y −−−+−=，整理得点P 的轨迹方程为224x y +=，故问题等价于圆C 和圆22:4O x y +=相切，从而24r −=或24r +=，结合0r >可解得：6r =或2. 【答案】6或23.（★★★）在平面直角坐标系xOy 中，已知()2,0A −，()1,1B ，若直线30x y a −+=上存在点P 使2PA PB =，则实数a 的取值范围为______. 【解析】设(),P x y ，则由2PA PB =可得=，化简得：()22440239x y ⎛⎫−+−=⎪⎝⎭，故问题等价于直线30x y a −+=与圆()22440239x y ⎛⎫−+−= ⎪⎝⎭有交点，，解得：142633a −≤≤.【答案】1426,33⎡⎤−⎢⎥⎣⎦4.（★★★★）在ABC中，若2AB =，AC ，则ABCS的最大值为______.【解析】以AB 中点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则()1,0A −，()1,0B ，设(),Cx y ， 由AC==，整理得：()22:38M x y −+=()0y ≠ 所以点C 的轨迹是以()3,0M 为圆心，x 轴的交点），如图，由图可知，()max 122ABC S=⨯⨯=.【答案】5.（★★★）设点()2,0Q ，圆()()22:21C x y a −+−=，若圆C 上存在点P ，使得2210PQ PO +=，其中O 为原点，则实数a 的取值范围为______. 【解析】设(),P x y ，则由2210PQ PO +=可得()2222210x y x y −+++=， 化简得：()2214x y −+=由题意，圆()22:14M x y −+=与圆C 有交点，所以13MC ≤≤而MC ==13≤≤，解得：a −≤≤【答案】⎡−⎣6.（★★★）已知AB 是圆()()22:224C x y −+−=的弦，且AB =AB 的中点P ，使得P 关于x 轴的对称点Q 在直线30kx y ++=上，则实数k 的取值范围为______.【解析】1AB PC ==⇒点P 的轨迹是圆()()22221x y −+−=， 因为P 、Q 关于x 轴对称，所以点Q 的轨迹方程为()()22221x y −++=， 从而问题等价于此圆与直线30kx y ++=有交点，1≤，解得：403k −≤≤【答案】4,03⎡⎤−⎢⎥⎣⎦7.（★★★）已知直线1:0l kx y +=()k ∈R 与直线2:220l x ky k −+−=相交于点A ，点B 是圆()()22:232N x y +++=上的动点，则AB 的最大值为（ ）A.B.C.5+D.3+【解析】由题意，直线过1l 原点，直线2l 过定点()2,2P ，且12l l ⊥，所以点A 的轨迹是以OP为直径的圆，即圆()()22:112M x y −+−=如图，由图可知，max 5AB MN =+=+【答案】C8.（★★★★）已知圆22:16Q x y +=，点()1,2P ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且0PM PN ⋅=若PQ PM PN =+，则PQ 的最小值为______.【解析】如图，因为0PM PN ⋅=，所以PM PN ⊥，故四边形PMQN 为矩形， 设MN 的中点为S ，连接OS ，则OS MN ⊥，所以222216OS OM MS MS =−=−， 又PMN 为直角三角形，所以MS PS =，故2216OS PS =−①，设(),S x y ，则由①可得()()22221612x y x y ⎡⎤+=−−+−⎣⎦，整理得：()22127124x y ⎛⎫−+−= ⎪⎝⎭，从而点S 的轨迹为以1,12T ⎛⎫⎪⎝⎭为半径的圆，显然点P 在该圆内部，所以min PS PT =−=因为2PQ PS =，所以minPQ=解法2：如图，因为0PM PN ⋅=所以PM PN ⊥，故四边形PMON 为矩形，由矩形性质，2222OM ON OP OQ +=+，所以216165OQ +=+，从而OQ =故Q 点的轨迹是以O 为圆心，为半径的圆，显然点P 在该圆内，所以minPQOP ==.【答案】9.（★★★★）在平面直角坐标系xOy 中，已知两个圆224x y +=和229x y +=，定点()1,0P ，动点A 、B 分别在两个圆上，满足90APB ∠=︒，则AB 的取值范围为______. 【解析】（用矩形性质）：如图，以P A 、PB 为邻边作矩形PAQB ， 由矩形性质，有2222OA OB OP OQ +=+即2491OQ +=+，所以OQ =故点Q 的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，显然点P 在圆内，易知AB PQ =，所以min min 1AB PQ OP ===，max max 1AB PQ OP ==+=+.【答案】⎣⎡1⎤⎦。