微专题16 解析几何中的“隐形圆”问题

圆中的重要几何模型-隐圆模型隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动，或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。

隐圆常见的有以下四种形式，动点定长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆(对角互补或等弦对等角)，上述四种动态问题的轨迹是圆。

题目具体表现为折叠问题、旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。

本专题就隐圆模型的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、动点定长模型(圆的定义)若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．例1.(2020·四川中考真题)已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC=2，则PM的最小值为()A.2B.22-2C.22+2D.22【答案】B【分析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB=42，由已知条件得到点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，于是得到结论．【详解】解：∵等腰直角三角形ABC的腰长为4，∴斜边AB=42，∵点P为该平面内一动点，且满足PC=2，∴点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，∵△ABC是等腰直角三角形，∴CM=12AB=22，∵PC=2，∴PM=CM-CP=22-2，故选：B．【点睛】本题考查线段最小值问题，涉及等腰三角形的性质和点到圆的距离，解题的关键是能够画出图形找到取最小值的状态然后求解．例2.(2020·江苏连云港市·中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的eO与x轴的正半轴交于点A，点B是eO上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为．【答案】2【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE 的面积最小．【详解】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC=CB，AM=OM，∴MC=12OB=1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D(4，0)，E(0，-3)，∴OD=4，OE=3，∴DE=OE2+OD2=32+42=5，∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴MNOE=DMDE，∴MN3=35，∴MN=95，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值=12×5×95-1，故答案为2．【点睛】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．例3.(2022·北京市·九年级专题练习)如图，四边形ABCD中，AE、AF分别是BC，CD的中垂线，∠EAF=80°，∠CBD=30°，则∠ABC=，∠ADC=．【答案】 40°； 60°【分析】连接AC，根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC=AD，从而得到B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上，根据圆周角定理可得∠DAC=2∠DBC=60°，再由等腰三角形的性质可得∠DAF=∠CAF=30°，即可求解．【详解】解：连接AC，∵AE、AF分别是BC、CD的中垂线，∴AB=AC=AD，∴B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上，∵∠CBD=30°，∴∠DAC=2∠DBC=60°，∵AF⊥CD，CF=DF，∴∠DAF=∠CAF=30°，∴∠ADC=60°，∵AB=AC,BE=CE，∴∠BAE=∠CAE，又∵∠EAC=∠EAF-∠CAF=80°-30°=50°，∴∠ABC=∠ACE=90°-50°=40°．故答案为：40°，60°．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题意得到B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上是解题的关键．例4.(2022·广东·汕头市一模)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，D是AC上一点，且CD =3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为．【答案】35-3##-3+35【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共线且F在B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可．【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示，可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，∵∠C=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=CD2+BC2=32+62=35，∴BF=BD-DF=35-3，故答案为：35-3．【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键．模型2、定边对直角模型(直角对直径)固定线段AB 所对动角∠C 恒为90°，则A 、B 、C 三点共圆，AB 为直径寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．例1.(2022·湖北·武汉九年级阶段练习)如图，AB 是⊙O 的直径，AB =4，C 为AB的三等分点(更靠近A 点)，点P 是⊙O 上一个动点，取弦AP 的中点D ，则线段CD 的最大值为．【答案】3+1【分析】如图，连接OD ，OC ，首先证明点D 的运动轨迹为以AO 为直径的⊙K ，连接CK ，当点D 在CK 的延长线上时，CD 的值最大，利用勾股定理求出CK 即可解决问题．【详解】解：如图，连接OD ，OC ，∵AD =DP ，∴OD ⊥PA ，∴∠ADO =90°，∴点D 的运动轨迹为以AO 为直径的⊙K ，连接CK ，AC ，当点D 在CK 的延长线上时，CD 的值最大，∵C 为AB的三等分点，∴∠AOC =60°，∴△AOC 是等边三角形，∴CK ⊥OA ，在Rt △OCK 中，∵∠COA =60°，OC =2，OK =1，∴CK =OC 2-OK 2=3，∵DK =12OA =1，∴CD =3+1，∴CD 的最大值为3+1，故答案为：3+1．【点睛】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点D 的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．例2.(2022·山东泰安·中考真题)如图，四边形ABCD 为矩形，AB =3，BC =4．点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点．∠ADM =∠BAP ，则BM 的最小值为()A.52B.125C.13-32D.13-2【答案】D【分析】证明∠AMD =90°，得出点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的园上，从而计算出答案．【详解】设AD 的中点为O ，以O 点为圆心，AO 为半径画圆∵四边形ABCD 为矩形∴∠BAP +∠MAD =90°∵∠ADM =∠BAP∴∠MAD +∠ADM =90°∴∠AMD =90°∴点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的园上连接OB 交圆O 与点N∵点B 为圆O 外一点∴当直线BM 过圆心O 时，BM 最短∵BO 2=AB 2+AO 2，AO =12AD =2∴BO 2=9+4=13∴BO =13∵BN =BO -AO =13-2故选：D ．【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．例3.(2022·内蒙古·中考真题)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，若AB =23，BC =3，点P 从B 点出发，在△ABC 内运动且始终保持∠CBP =∠BAP ，当C ，P 两点距离最小时，动点P 的运动路径长为．【答案】33π.【分析】根据题中的条件可先确定点P 的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP 的长最小时点P 的位置，进而求出点P 的运动路径长．【详解】解：∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ABC =90°.∴∠ABP +∠PBC =90°.∵∠PAB =∠PBC ,∴∠PAB +∠ABP =90°.∴∠APB =90°.∴点P 在以AB 为直径的圆上运动，且在△ABC 的内部，如图，记以AB 为直径的圆的圆心为O 1，连接O 1C 交⊙O 1于点P ，连接O 1P ,CP .∵CP ≥O 1C -O 1P ,∴当点O 1,P ,C 三点共线时，即点P 在点P 处时，CP 有最小值，∵AB =23∴O 1B =3在Rt ΔBCO 1中，tan ∠BO 1C =BC O 1B =33= 3.∴∠BO1C =60°.∴BP =60π×3180=33π.∴.C ,P 两点距离最小时，点P 的运动路径长为33π.【点睛】本题主要考查了直径所对圆周角是直角，弧长公式，由锐角正切值求角度，确定点P 的路径是解答本题的关键．模型3、定边对定角模型(定弦定角模型)固定线段AB 所对同侧动角∠P =∠C ，则A 、B 、C 、P 四点共圆根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．寻找隐圆技巧：AB 为定值，∠P 为定角，则P 点轨迹是一个圆．例1.(2021·广东·中考真题)在△ABC 中，∠ABC =90°,AB =2,BC =3．点D 为平面上一个动点，∠ADB =45°，则线段CD 长度的最小值为．【答案】5-2【分析】由已知∠ADB =45°，AB =2，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点D 在以O 为圆心OB 为半径的圆上，线段CD 长度的最小值为CO -OD ．【详解】如图：以12AB 为半径作圆，过圆心O 作ON ⊥AB ,OM⊥BC ，以O 为圆心OB 为半径作圆，则点D 在圆O 上，∵∠ADB =45°∴∠AOB =90°∵AB =2AN =BN =1∴AO =12+12=2∵ON =OM =12AB =1,BC =3∴OC =12+(3-1)2=5∴CO -OD =5-2线段CD 长度的最小值为:5-2．故答案为：5-2．【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．例2.(2022·浙江湖州·中考真题)在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，BC 上的格点，BM =4，BN =2．若点P 是这个网格图形中的格点，连接PM ，PN ，则所有满足∠MPN =45°的△PMN 中，边PM 的长的最大值是()A.42B.6C.210D.35【答案】C 【分析】根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，过点M 、N 作以点O 为圆心，∠MON =90°的圆，则点P 在所作的圆上，观察圆O 所经过的格点，找出到点M 距离最大的点即可求出．【详解】作线段MN 中点Q ，作MN 的垂直平分线OQ ，并使OQ =12MN ，以O 为圆心，OM 为半径作圆，如图，因为OQ 为MN 垂直平分线且OQ =12MN ，所以OQ =MQ =NQ ，∴∠OMQ =∠ONQ =45°，∴∠MON =90°，所以弦MN 所对的圆O 的圆周角为45°，所以点P 在圆O 上，PM 为圆O 的弦，通过图像可知，当点P 在P 位置时，恰好过格点且P M 经过圆心O ，所以此时P M 最大，等于圆O 的直径，∵BM =4，BN =2，∴MN =22+42=25，∴MQ =OQ =5，∴OM =2MQ =2×5=10，∴P M =2OM =210，故选C ．【点睛】此题考查了圆的相关知识，熟练掌握同弧所对的圆周角相等、直径是圆上最大的弦，会灵活用已知圆心角和弦作圆是解题的关键．例3.(2022·广西贵港·中考真题)如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC =60°，动点E 在AB 边上(与点A 、B 均不重合)，点F 在对角线AC 上，CE 与BF 相交于点G ，连接AG ,DF ，若AF =BE ，则下列结论错误的是()A.DF =CEB.∠BGC =120°C.AF 2=EG ⋅ECD.AG 的最小值为223【答案】D 【分析】先证明△BAF ≌△DAF ≌CBE ，△ABC 是等边三角形，得DF =CE ，判断A 项答案正确，由∠GCB +∠GBC =60゜，得∠BGC =120゜，判断B 项答案正确，证△BEG ∽△CEB 得BE GE=CE BE ，即可判断C 项答案正确，由∠BGC =120°，BC =1，得点G 在以线段BC 为弦的弧BC 上，易得当点G 在等边△ABC 的内心处时，AG 取最小值，由勾股定理求得AG =33，即可判断D 项错误．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，∴AB =AD =BC =CD ，∠BAC =∠DAC =12∠BAD =12×(180°-∠ABC )=60°=∠ABC ，∴△BAF ≌△DAF ≌CBE ，△ABC 是等边三角形，∴DF =CE ，故A 项答案正确，∠ABF =∠BCE ，∵∠ABC =∠ABF +∠CBF =60゜，∴∠GCB +∠GBC =60゜，∴∠BGC =180゜-60゜=180゜-(∠GCB +∠GBC )=120゜，故B 项答案正确，∵∠ABF =∠BCE ，∠BEG =∠CEB ，∴△BEG ∽△CEB ，∴BE GE=CE BE ，∴BE 2=GE ∙CE ，∵AF =BE ，∴AF 2=GE ∙CE ，故C 项答案正确，∵∠BGC =120°，BC =1，点G 在以线段BC 为弦的弧BC 上，∴当点G 在等边△ABC 的内心处时，AG 取最小值，如下图，∵△ABC 是等边三角形，BC =1，∴BF ⊥AC ，AF =12AC =12，∠GAF =30゜，∴AG =2GF ，AG 2=GF 2+AF 2，∴AG 2=12AG 2+12 2，解得AG =33，故D 项错误，故应选：D 【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、等边三角形的判定及性质、圆周角定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．模型4、四点共圆模型(对角互补模型与等弦对等角)1)若平面上A 、B 、C 、D 四个点满足∠ABC +∠ADC =180°，则A 、B 、C 、D 四点共圆．条件：1)四边形对角互补；2)四边形外角等于内对角．2)若平面上A、B、C、D四个点满足∠ADB=∠ACB，则A、B、C、D四点共圆．条件：线段同侧张角相等．例1.(2022·广东·九年级专题练习)如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ACD=30°，AD =2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为．【答案】3-1【分析】先判断出四边形ABCD是圆内接四边形，得到∠ACD=∠ABD=30°，根据题意知点E在以FG为直径的⊙P上，连接PD交⊙P于点E，此时DE长度取得最小值，证明∠APD=90°，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵∠BAD=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ACD=∠ABD=30°，∴∠ADB=60°，∵AD=2，∴BD=2AD=4，分别取AB、AD的中点F、G，并连接FG，EF，EG，∵E是AC的中点，∴EF∥BC，EG∥CD，∴∠AEF=∠ACB，∠AEG=∠ACD，∴∠AEF+∠AEG=∠ACB+∠ACD=90°，即∠FEG=90°，∴点E在以FG为直径的⊙P上，如图：当点E恰好在线段PD上，此时DE的长度取得最小值，连接PA，BD=2，∴∵F、G分别是AB、AD的中点∴FG∥BD，FG=12∠ADB=∠AGF=60°，∵PA=PG，∴△APG是等边三角形，∴∠APG=60°，∵PG=GD=GA，且∠AGF=60°，∴∠GPD=∠GDP=30°，∴∠APD=90°，∴PD=AD2-PA2=22-12=3，∴DE长度的最小值为(3-1)．故答案为：(3-1)．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，得到点E 在以FG 为直径的⊙P 上是解题的关键．例2.(2022陕西中考模拟)如图，在等边△ABC 中，AB =6，点P 为AB 上一动点，PD ⊥BC 于点D ，PE ⊥AC 于点E ，则DE 的最小值为．【答案】92【详解】如解图，∵∠PEC =∠PDC =90°，故四边形PDCE 对角互补，故P 、D 、C 、E 四点共圆，∠EOD =2∠ECD =120°，故ED =3R ，要使得DE 最小，则要使圆的半径R 最小，故直径PC 最小，当CP ⊥AB 时，PC 最短为33，故R =332，故DE =3R =3×332=92．例3.(2022江苏九年级期末)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =3，AC =4，点P 为平面内一点，且∠CPB =∠A ，过C 作CQ ⊥CP 交PB 的延长线于点Q ，则CQ 的最大值为()A.175B.154C.455D.655【答案】B【分析】根据题意可得A 、B 、C 、P 四点共圆，由AA 定理判定三角形相似，由此得到CQ 的值与PC 有关，当PC 最大时CQ 即取最大值．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠CPB =∠A ，BC =3，AC =4∴A 、B 、C 、P 四点共圆，AB 为圆的直径，AB =BC 2+AC 2=5∵CQ ⊥CP ∴∠ACB =∠PCQ =90°∴△ABC ∽△PQC∴AC BC =PC CQ ，43=PC CQ，即CQ =34PC ∴当PC 取得最大值时，CQ 即为最大值∴当PC =AB =5时，CQ 取得最大值为154故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键．课后专项训练例4.(2022·江苏无锡·中考真题)△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF=°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是．【答案】 80 4-3##-3+4【分析】利用SAS证明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可．【详解】解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE =60°，∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB=∠ECA，在△BCD和△ACE中，CD=CE∠BCD=∠ACE BC=AC，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴∠EAC=∠DBC，∵∠DBC=20°，∴∠EAC=20°，∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；设BF与AC相交于点H，如图：∵△ACE≌△BCD∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，∴∠AFB=∠ACB=60°，∴A、B、C、F四个点在同一个圆上，∵点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，∴此时线段AF长度有最小值，在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，∴BD=52-32=4，即AE=4，∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，∵∠AFB=60°，∴∠FDE=∠FED=30°，∴FD=FE，过点F作FG⊥DE于点G，∴DG=GE=32，∴FE=DF=DGcos30°=3，∴AF=AE-FE=4-3，故答案为：80；4-3．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．例5.(2021·湖北鄂州·中考真题)如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =23，BC =3．点P 为ΔABC 内一点，且满足PA 2+PC 2=AC 2．当PB 的长度最小时，ΔACP 的面积是()A.3B.33C.334D.332【答案】D 【分析】由题意知∠APC =90°，又AC 长度一定，则点P 的运动轨迹是以AC 中点O 为圆心，12AC 长为半径的圆弧，所以当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短；在Rt ΔBCO 中，利用勾股定理可求BO 的长，并得到点P 是BO 的中点，由线段长度即可得到ΔPCO 是等边三角形，利用特殊Rt ΔAPC 三边关系即可求解．【详解】解：∵PA 2+PC 2=AC 2∴∠APC =90°取AC 中点O ，∴AO =PO =CO =12AC 点P 的轨迹为以O 为圆心，12AC 长为半径的圆弧上由题意知：当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短∵CO =12AC =12×23=3,BC =3∴BO =BC 2+CO 2=23∴BP =BO -PO =3∴点P 是BO 的中点∴在Rt ΔBCO 中，CP =12BO =3=PO ∴ΔPCO 是等边三角形∴∠ACP =60°∴在Rt ΔAPC 中，AP =CP ×tan60°=3∴S ΔAPC =12AP ×CP =3×32=332．【点睛】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P 的运动轨迹，即隐形圆．例6.(2020·西藏中考真题)如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为BC 边上的任意一点，把沿PE 折叠，得到，连接CF ．若AB =10，BC =12，则CF 的最小值为．【答案】8【分析】点F 在以E 为圆心、EA 为半径的圆上运动，当E 、F 、C 共线时时，此时FC 的值最小，根据勾股定理求出CE ，再根据折叠的性质得到BE =EF =5即可．【详解】如图所示，点F 在以E 为圆心EA 为半径的圆上运动，当E 、F 、C 共线时时，此时CF 的值最小，根据折叠的性质，△EBP ≌△EFP ，∴EF ⊥PF ，EB =EF ，∵E 是AB 边的中点，AB =10，∴AE =EF =5，∵AD =BC =12，∴CE ===13，∴CF =CE -EF =13-5=8．故答案为8．【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，灵活应用相关知识是解答本题的关键．例7.(2022·北京·清华附中九年级阶段练习)如图，四边形ABCD 中，DA =DB =DC ，∠BDC =72°，则∠BAC 的度数为．【答案】36°##36度【分析】根据题意可得A ,B ,C 三点在以D 为圆心DA 为半径的圆上，根据圆周角定理即可求解．【详解】解：如图，∵DA =DB =DC ，∴A ,B ,C 三点在以D 为圆心DA 为半径的圆上，∵∠BDC =72°，CB =CB ∴∠BAC =12∠BDC =36°．故答案为：36°．【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．例8.(2022·河北·唐山九年级阶段练习)如图所示，在四边形ABCD 中，AB =AC =AD ，∠BAC =26°，∠CAD =74°，则∠BCD =°，∠DBC °．【答案】 130 37【分析】根据题意可得点B，C，D在以A为圆心的圆上，根据圆周角定理求得∠BDC，∠DBC，根据三角形内角和定理求得∠BCD．【详解】∵AB=AC=AD，∴点B，C，D在以A为圆心的圆上，∵∠BAC=26°∴∠BDC=12∠BAC=13°，∵∠CAD=74°，∴∠DBC=12∠CAD=37°．∴∠BCD=180-∠DBC-∠BDC=180°-13°-37°=130°故答案为：130，37【点睛】此题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键．例9.(2022·安徽蚌埠·一模)如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=6，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为()A.325B.2C.213-6D.213-4【答案】D【分析】结合题意推导得∠APB=90°，取AB的中点O，以点O为圆心，AB为直径作圆，连接OP；根据直角三角形斜边中线的性质，得OP=OA=OB=12AB=4；根据圆的对称性，得点P在以AB为直径的⊙O上，根据两点之间直线段最短的性质，得当点O、点P、点C三点共线时，PC最小；根据勾股定理的性质计算得OC，通过线段和差计算即可得到答案．【详解】∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，取AB的中点O，以点O为圆心，AB为直径作圆，连接OP，∴OP=OA=OB=12AB=4∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，当点O、点P、点C三点共线时，PC最小在Rt△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=6，OB=4，∴OC=BO2+BC2=42+62=213，∴PC=OC-OP=213-4∴PC最小值为213-4故选：D．【点睛】本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．例10.(2022·成都市·九年级专题练习)如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB =Rt ∠，AC =8cm ，BC =3cm ．D 是BC 边上的一个动点，连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，连接BE ，在点D 变化的过程中，线段BE 的最小值是()A.1B.3C.2D.5【答案】A 【分析】由∠AEC =90°知，点E 在以AC 为直径的⊙M 的CN 上(不含点C 、可含点N )，从而得BE最短时，即为连接BM 与⊙M 的交点(图中点E ′点)，BE 长度的最小值BE ′=BM -ME ′．【详解】如图，由题意知，∠AEC =90°，∴E 在以AC 为直径的⊙M 的CN上(不含点C 、可含点N )，∴BE 最短时，即为连接BM 与⊙M 的交点(图中点E ′点)，在Rt ΔBCM 中，BC =3cm ，CM =12AC =4cm ，则BM =BC 2+CM 2=5cm ．∵ME ′=MC =4cm ，∴BE 长度的最小值BE ′=BM -ME ′=1cm ，故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．例11.(2022·广东·九年级课时练习)如图，△ACB 中，CA =CB =4，∠ACB =90°，点P 为CA 上的动点，连BP ，过点A 作AM ⊥BP 于M ．当点P 从点C 运动到点A 时，线段BM 的中点N 运动的路径长为()A.22πB.2πC.3πD.2π【答案】A【详解】解：设AB 的中点为Q ，连接NQ ，如图所示：∵N 为BM 的中点，Q 为AB 的中点，∴NQ 为△BAM 的中位线，∵AM ⊥BP ，∴QN ⊥BN ，∴∠QNB =90°，∴点N 的路径是以QB 的中点O 为圆心，14AB 长为半径的圆交CB 于D 的QD，∵CA =CB =4，∠ACB =90°，∴AB =2CA =42，∠QBD =45°，∴∠DOQ =90°，∴QD 为⊙O 的14周长，∴线段BM 的中点N 运动的路径长为：90π×14×42180=22π，故选：A ．例12.(2022·全国·九年级专题练习)如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，AB =4cm ，CD 是中线，点E 、F 同时从点D 出发，以相同的速度分别沿DC 、DB 方向移动，当点E 到达点C 时，运动停止，直线AE 分别与CF 、BC 相交于G 、H ，则在点E 、F 移动过程中，点G 移动路线的长度为()A.2B.πC.2πD.22π【答案】D【详解】解：如图，∵CA =CB ，∠ACB =90°，AD =DB ，∴CD ⊥AB ，∴∠ADE =∠CDF =90°，CD =AD =DB ，在△ADE 和△CDF 中AD =CD∠ADE =∠CDF DE =DF，∴△ADE ≌△CDF (SAS )，∴∠DAE =∠DCF ，∵∠AED =∠CEG ，∴∠ADE =∠CGE =90°，∴A 、C 、G 、D 四点共圆，∴点G 的运动轨迹为弧CD ，∵AB =4，AB =2AC ，∴AC =22，∴OA =OC =2，∵DA =DC ，OA =OC ，∴DO ⊥AC ，∴∠DOC =90°，∴点G 的运动轨迹的长为90π×2180=22π．故选：D ．例13.(2022·山西·九年级课时练习)如图，在等腰Rt ∆ABC 中，AC =BC =42，点P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点.当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长是()A.22π+4B.2πC.42+2D.4π【答案】B 【详解】分析：取AB 的中点O 、AC 的中点E 、BC 的中点F ，连结OC 、OP 、OM 、OE 、OF 、EF ，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB =2BC =8，则OC =12AB =4，OP =12AB =4，再根据等腰三角形的性质得OM ⊥PC ，则∠CMO =90°，于是根据圆周角定理得到点M 在以OC 为直径的圆上，由于点P 点在A 点时，M 点在E 点；点P 点在B 点时，M 点在F 点，则利用四边形CEOF 为正方得到EF =OC =4，所以M 点的路径为以EF 为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M 运动的路径长．详解：取AB 的中点O 、AC 的中点E 、BC 的中点F ，连结OC 、OP 、OM 、OE 、OF 、EF ，如图，∵在等腰Rt △ABC 中，AC =BC =42，∴AB =2BC =8，∴OC =12AB =4，OP =12AB =4． ∵M 为PC 的中点，∴OM ⊥PC ，∴∠CMO =90°，∴点M 在以OC为直径的圆上，点P 点在A 点时，M 点在E 点；点P 点在B 点时，M 点在F 点，易得四边形CEOF 为正方形，EF =OC =4，∴M 点运动的路径为以EF 为直径的半圆，∴点M 运动的路径长=12•4π=2π． 故选B ．点睛：本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M 点的轨迹为以EF 为直径的半圆．例14.(2022·山东·烟台九年级期中)如图，平面直角坐标系中，点A 、B 坐标分别为(3，0)、(0，4)，点C 是x 轴正半轴上一点，连接BC ．过点A 垂直于AB 的直线与过点C 垂直于BC 的直线交于点D ，连接BD ，则sin ∠BDC 的值是．【答案】45【分析】根据图形的特点证明∠BDC =∠BAO ，故可出sin ∠BDC 的值．【详解】∵BA ⊥AD ，BC ⊥CD ∴∠BAD =∠BCD =90°∴A 、B 、C 、D 四点共圆∴∠BDA =∠BCA∵∠BDA +∠DBA =∠BCA +∠CBO =90°∴∠DBA =∠CBO∴∠DBA -∠CBA =∠CBO -∠CBA 即∠DBC =∠ABO又∠DBC +∠BDC =∠ABO +∠BAO =90°∴∠BDC =∠BAO∵点A 、B 坐标分别为(3，0)、(0，4)，∴BO =4，OA =3，AB =42+32=5∴sin ∠BAO =BO AB=45∴sin ∠BDC =45故答案为：45．【点睛】此题主要考查三角函数的求解，解题的关键是熟知四点共圆的性质、勾股定理及三角函数的求解方法．例15.(2022·湖北·九年级期中)如图，△ABC 中，AC =BC =6，∠ACB =90°，若D 是与点C 在直线AB 异侧的一个动点，且∠ADB =45°，则CD 的最大值为．【答案】62+6##6+62【分析】以AB 为底边，在AB 的下方作等腰三角形AOB ，则OA =AC =6，根据∠ADB =45°，点与圆的位置关系可知，点D 在以O 为圆心，6为半径的圆上运动，当CD 过圆心时，CD 最大，根据OA =AC =6，∠CAO =90°，利用勾股定理可求出CO 的长，即可得．【详解】解：如图所示，以AB 为底边，在AB 的下方作等腰三角形AOB ，则OA =AC =6，∵∠ADB =45°，∴点D 在以O 为圆心，6为半径的圆上运动，当CD 过圆心时，CD 最大，∵OA =AC =6，∠CAO =90°，∴CO =62+62=62，∴CD 的最大值为：62+6，故答案为：62+6．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．例16.(2022·浙江·九年级专题练习)如图，AB 是Rt △ABC 和Rt △ABD 的公共斜边，AC =BC ，∠BAD =32°，E 是AB 的中点，联结DE 、CE 、CD ，那么∠ECD =°．【答案】13【分析】先证明A 、C 、B 、D 四点共圆，得到∠DCB 与∠BAD 的是同弧所对的圆周角的关系，得到∠DCB 的度数，再证∠ECB =45°，得出结论．【详解】解：∵AB 是Rt △ABC 和Rt △ABD 的公共斜边，E 是AB 中点，∴AE =EB =EC =ED ，∴A 、C 、B 、D 在以E 为圆心的圆上，∵∠BAD =32°，∴∠DCB =∠BAD =32°，又∵AC =BC ，E 是Rt △ABC 的中点，∴∠ECB =45°，∴∠ECD =∠ECB -∠DCB =13°．故答案为：13．【点睛】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形性质、圆周角定理和四点共圆问题，综合性较强．例17.(2022·黑龙江·九年级阶段练习)如图，等边△ABC 中，D 在BC 上，E 在AC 上，BD =CE ，连BE 、AD 交于F ，T 在EF 上，且DT =CE ，AF =50，TE =16，则FT =．【答案】17【分析】用“SAS ”可判定△ABD ≌△BCE ，得到∠AFE =60°，延长FE 至点G ，使得FG =FA ，连AG ，AT ，得到△AFG 是等边三角形，证明A 、B 、D 、T 四点共圆，设法证明△FAT ≌△GAE (ASA )，即可求得答案．【详解】∵△ABC 为等边三角形，∴AB =AC =BC ，∠ABD =∠BCE =60°，在△ABD 和△BCE 中，AB =BC∠ABD =∠BCE =60°BD =CE，∴△ABD ≌△BCE (SAS )，∴∠BAD =∠CBE ，∵∠ADC =∠CBE +∠BFD =∠BAD +∠B ，∴∠BFD =∠B =∠AFE =60°；延长FE 至点G ，使得FG =FA ，连AG ，AT ，∵∠AFE =60°，∴△AFG 是等边三角形，∴AG =AF =FG =50，∠AGF =∠FAG =60°，∵∠BAF +∠EAF =∠CAG +∠EAF =60°，∴∠BAF =∠CAG ，∵DT =CE ，∴∠DBT =∠BTD ，∵∠BAD =∠CBE ，∴∠BAD =∠BTD ，∴A 、B 、D 、T 四点共圆，∴∠BAD =∠DAT ，∴∠FAT =∠GAE ，在△FAT 和△GAE 中，∠FAT =∠GAEAF =AG ∠AFG =∠AGF =60°，∴△FAT ≌△GAE (ASA )，∴FT =GE ，∵FG =50，TE =16，∴FT =12(FG -TE )=17．故答案为：17．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等，作出辅助线，判断出△FAT ≌△GAE 是解本题的关键．例18.(2020·四川成都·二模)如图，在矩形ABCD 中，AB =9，AD =6，点O 为对角线AC 的中点，点E 在DC 的延长线上且CE =1.5，连接OE ，过点O 作OF ⊥OE 交CB 延长线于点F ，连接FE 并延长交AC 的延长线于点G ，则FG OG=．【答案】455【分析】作OM ⊥CD 于M ，ON ⊥BC 于N ，根据三角形中位线定理分别求出OM 、ON ，根据勾股定理求出OE ，根据相似三角形的性质求出FN ，得到FC 的长，证明△GFC ∽△GOE ，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．【详解】解：作OM ⊥CD 于M ，ON ⊥BC 于N ，∵四边形ABCD 为矩形，∴∠D =90°，∠ABC =90°，∴OM ∥AD ，ON ∥AB ，∵点O 为AC 的中点∴OM =12AD =3，ON =12AB =4.5，CM =4.5，CN =3，∵CE =1.5，∴ME =CM +CE =6在Rt △OME 中，OE =OM 2+ME 2=32+62=35，∵∠MON =90°，∠EOF =90°，∴∠MOE +∠NOE =∠NOF +∠NOE =90°，∴∠MOE =∠NOF ，又∠OME =∠ONF =90°，∴△OME ∽△ONF ，∴OM ON=ME FN ，即34.5=6FN ，解得，FN =9，∴FC =FN +NC =12，∵∠FOE =∠FCE =90°，∴F 、O 、C 、E 四点共圆，∴∠GFC =∠GOE ，又∠G =∠G ，∴△GFC ∽△GOE ，∴FG OG =FC OE =1235=455，故答案为：455．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．例19.(2022·成都市锦江区嘉祥外国语学校九年级阶段练习)如图，在△ABC 中，AC =6，BC =83，∠ACB =60°，过点A 作BC 的平行线l ，P 为直线l 上一动点，⊙O 为△APC 的外接圆，直线BP 交⊙O 于E 点，则AE 的最小值为．【答案】2【分析】如图，连接CE ．首先证明∠BEC =120°，根据定弦定角，可得点E 在以M 为圆心，MB 为半径的BC 上运动，连接MA 交BC 于E ′，此时AE ′的值最小．【详解】解：如图，连接CE ．∵AP ∥BC ，∴∠PAC =∠ACB =60°，∴∠CEP =∠CAP=60°，∴∠BEC =120°，∵BC =83,为定值，则点E 的运动轨迹为一段圆弧如图，点E 在以M 为圆心，MB 为半径的BC 上运动，过点M 作MN ⊥BC∴⊙M 中优弧BC 度数为2∠BEC =240°，则劣弧BC 度数为120°∴△BMC 是等腰三角形，∠BMC =120°，∵∠BCM =30°，BC =83，MB =MC∴BN =BM 2-MN 2==3MN =12BC =43∴MB =MC =8，∴连接MA 交BC 于E ′，此时AE ′的值。

专题复习-“隐形圆”问题O2 ， ⎪注：直线 l ：(x -x 0)cos α＋(y - y 0)sin α＝R 为圆 M ： (x - x )2 + (x - y )2 = R 2的切线系．例 2（2017 年南通市一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B ，C 为圆 x 2+ y 2= 4 上两点， 点A (1，1) ，且AB ⊥AC ，则线段 BC 的长的取值范围为 ． 解：法一（标解）：设 BC 的中点为 M ( x , y ) ，因为 OB 2= OM 2+ BM 2= + AM ，y所以 4 = x2+ y 2+ ( x - 1)2 + ( y - 1)2，B MC 22化简得 ⎛ x - 1 ⎫ + ⎛ y - 1 ⎫ = 3 ， A2 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以点 M 的轨迹是以 ⎛ 1 1 ⎫ 为圆心，3 2 为半径的 2 ⎝ ⎭⎡ 6 - 圆，所以 AM 的取值范围是 2 2 ， 6 +2 ⎤ ，所 ⎢ 2 2 ⎥ 例 2⎣ ⎦以 BC 的取值范围是 ⎡ 6 - 2 ， 6 + 2 ⎤ ． ⎣法二：以 AB 、AC 为邻边作矩形 BACN ，则 BC＝AN ， 由矩形的几何性质（矩形所在平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方和相等），有 OB 2+ OC 2= 2+ ON 2，所以 ON ＝ 6 ，故 N 在以 O 半径为 6 上，所以BC ⎡ 6 - ⎤ ．变式 1 （2014 年常州高三期末卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 O : x 2+ y 2= 16 ，点P (1, 2) ，M 、N 为圆 O 上两个不同的点，且 PM ⋅PN = 0 ，若 PQ = PM + PN ，则PQ 的3 3 - 2222变式 2 C 1： x + y C 2： x + y= 4P (1, 0) ，动点 A , B 分别在圆 C 1和圆 C 2上，满足 ∠APB = 90 ，则线段 AB 的取值范围 ． [2 3 - 1, 2 3 + 1]变式 3已知向量 a 、b 、c 满足 a = 3, b = 2, c = 1, (a - c ) ⋅ (b - c ) = 0 ，则 a - b 范围为 ．[2 3 - 1, 2 3 + 1]策略二 动点 P 对两定点 A 、B 张角是 900（ k PA⋅ k PB= -1 ，或 PA ⋅ PB = 0）确定隐形圆例 3 （1）（2014 年北京卷）已知圆 C ： (x - 3)2+ ( y - 4)2= 1 和两点 A (-m , 0) ， B (m , 0) ，若圆上存在点 P ，使得 ∠APB = 90 ，则 m 的取值范围是 ．[4, 6]略解：由已知以 AB 为直径的圆与圆 C 有公共点． （2）（海安 2016 届高三上期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P (−1，0) ，Q (2 ，1) ，直线 l ：ax + by + c = 0 其中实数 a ，b ，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上 的射影为 H ，则线段 QH 的取值范围是 ．[ 2, 3 2 ] 解：由题意，圆心C (1，－2)在直线 ax ＋by ＋c ＝0 上，可得a －2b ＋c ＝0，即 c ＝2b －a ． 直线l ：(2a －b )x ＋(2b －c )y ＋(2c －a )＝0，即 a (2x ＋y －3)＋b (4－x )＝0，⎧2x + y - 3 = 0, 由 ⎨ ⎩4 - x = 0 ，可得 x ＝4，y ＝－5，即直线过定点 M (4，－5)，由题意，H 在以PM 为直径的圆上，圆心为 A (5，2)，方程为(x －5)2＋(y －2)2＝50，∵|CA |＝4 2 ，∴CH 最小为5 2 －4 2 ＝ 2 ，CH 最大为4 2 ＋5 2 ＝9 2 ，∴线段 CH [ 2 ，9 2 ]．（3）（通州区 2017 届高三下开学初检测）设m ∈ R ，直线 l 1： x + my = 0 与直线l2 ：mx -y - 2m - 4 = 0 交于点P(x0 ,y0 ) ，则x0 2 +y 2+2x0的取值范围是．4+410]略解：l1 过定点O(0，0)，l2 过定点A(2，-4)，则P 在以OA 为直径的圆上（除去一点），变式（2017 年南京二模）在平面直角坐标系xOy 中，直线l1：kx－y＋2＝0 与直线l2：x＋ky－2＝0 相交于点P，则当实数k 变化时，点P 到直线x－y－4＝0 的距离的最大值为．3 2策略三两定点A、B，动点P 满足PA⋅PB=λ确定隐形圆例4 （1）（2017 年南通密卷3）已知点A(2, 3) ，点B(6, -3)，点P 在直线3x -4y + 3 = 0 上，若满足等式AP ⋅BP + 2λ= 0 的点P 有两个，则实数λ的取值范围是．解：设P（x，y），则AP=(x-2,y-3)，BP =(x-6,y+3)，根据AP⋅BP+2λ=0，有(x-4)2 +y2 =13-2λ⎛λ<13⎫.由题意2⎝ ⎭心， 圆： ( x - 4)2+ y 2= 13 - 2λ ⎛λ < 13 ⎫ 圆与直线 3x - 4 y + 3 = 0相交，2 ⎪⎝ ⎭<32+ 422λ ，所以 λ < 2 .（2）（2016 年盐城三模）已知线段 AB 的长为 2，动点 C 满足 CA ⋅ CB = λ （ λ 为常数），且点 C 总不在以点B 为圆 1 2 为半径的圆内，则负数 λ 的最大值是 . - 3 4略解：动点 C 满足方程 x 2+ y 2= λ + 1 .策略四 两定点 A 、B ，动点 P 满足 PA 2+ PB 2是定值确定隐形圆例 5 （1）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1，点 A (0，2)，若圆 C 上存在点 M ，满足 MA 2＋MO 2＝10，则实数 a 的取值范围是 ．[0，3]略解：M 满足的方程为 x 2+ ( y -1)2= 4 ，转化为两圆有公共点（2）（2017 年南京、盐城一模）在 ∆ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ，若a 2+ b 2+ 2c 2= 8 ，则 ∆ABC 面积的最大值为 ．2 55解：以 AB 的中点为原点，AB 所在直线为 x 轴，建系.设 A (- c , 0) ， B ( c , 0) ， C (x , y ) ，则由 a 2 + b 2+ 2c 2= 8 ，2 2得 (x - c )2+ y 2+ ( x + c ) + y 2+ 2c 2= 8 ，即 x 2+ y2= 4 - 5 c 2， 2 2 所以点 C 在此圆上，S ≤ c r = 42≤ 2 52 5策略五 两定点 A 、B ，动点 P 满足 PA = λ(λ > 0, λ ≠ 1) 确定隐形圆（阿波罗尼斯圆） P B例 6（1）略解：点 P 满足圆的方程为 x 2+ y 2= 4 ，转化到直线与圆相交.（2）（2016 届常州一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点 P 在直线 x + 3 y - b = 0 上，过点 P 作圆 O ，O 1的两条切线，切点分别为 A ，B ，若满足 PB = 2PA 的点 P 有且仅有两个，则 b 的取值范围． ⎛－ 20 ,4 ⎫3 ⎪⎝ ⎭ 例 7（2017 年南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线 l （一条南北方向的直线）3.8 海里的 A 处，发现在其北偏东 30°方向相距 4 海里的 B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追 击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的 3 倍．假设缉私艇和走私船均按直线方 向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据： sin17 °≈3 ， 33 ≈ 5.7446 ）6（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．北 领海 B30°A解：（1）略 (例 7)（2）如图乙，以 A 为原点，正北方向所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系 xOy ．则 B ，2 3) ，设缉私艇在 P (x ，y ) 处（缉2( )3 私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则PA = 3 ，即= 3 PB ( x - 2)2+ ( y - 2 3)整理得， ( 9 ) ( 9 3) 9 22x - 4 + y - 4= 4 ，所以点 P (x ，y ) 的轨迹是以点 9 ，9 3 为圆心， 602为半径的圆．A x 图乙 因为圆心 ( ，9 3) 到领海边界线l ： x = 3.8 的距离为 1.55，大于圆半径 3 ， 4 42所以缉私艇能在领海内截住走私船． 策略六 由圆周角的性质确定隐形圆 例 8 （1）已知 a , b , c 分别为 ∆ABC 的三个内角 A , B , C 的对边， a = 2 ，(a +b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C 则 ∆ABC 面积的最大值为 ． 3略解：cos ∠A ＝ 1 ，∠A ＝60°，设 ∆ABC 的圆心为 O ，外接圆的半径为 2 3 ，则 2 3O 到 BC 3 ， h 的最大值为+ 2 3 = 3 3 3 3为 3 ． （2）（2017 年常州一模）在△ ABC 中，∠C ＝45o，O 是△ ABC 的外心，若 OC = mOA + nOB (m ，n ∈R)，则 m ＋n 的取值范围是 ．[- 2,1)略解： ∠AOB ＝2∠C ＝90°，点 C 在以 O 为圆心，半径 OA 的圆上（在优弧 AB 上）．三、同步练习1．已知直线 l : x - 2 y + m = 0 上存在点 M 满足与两点 A (-2, 0) , B (2, 0) 连线的斜率之积为 -1 ，则实数 m 的取值范围是 ．[-2 5 , 2 5 ] 2．(2016 年泰州一模)已知实数 a ，b ，c 满足 a 2 + b 2 = c 2，c ≠ 0 ，则b a -2c的取值范围为 ．[-3 , 3] 3 33． 已知θ , t ∈ R ，则 (cos θ - t - 2)2+ (sin θ - t + 2)2的取值范围是 ．[2 2 - 1, 2 2 + 1]4． 已知圆 C : ( x - 3)2+ ( y - 4)2= 1 和两点 A (-m ,0), B (m , 0) (m > 0) ．若圆 P ，使 得 PA ⋅ PB = 1 ，则 m 的取值范围是 ．[ 15,35]7．（2016 年无锡一模）已知圆C : ( x - 2)2 +y2 = 4 ，线段EF 在直线l : y =x + 1 上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A、B，使得⋅PB ≤0 ，则线段EF 长度的最大值是．148．如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C 是圆x2＋y2＝1 上的动点(与点A,B 不重合)，连接BC 并延长至D，使得|CD|1＝|BC |，则线段 PD 的取值范围 ． ( 2 , 2) 39．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A ( - t ，0)(t > 0) ， B (t ，0) ，点 C 满足 AC ⋅ BC = 8 ，且点 C 到直线 l ： 3x - 4y + 24 = 0 的最小距离为 9 ，则实数 t 的值是 ．1510．（2013 年江苏卷第 17 题改编）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 O (0, 0) ， A (0, 3) 如果 圆 C : ( x - a )2+ ( y - 2a + 4)2= 1 上总存在点 M使得 MA = 2MO ，则圆心 C 的横坐标 a 的 取值范围是 ．[0, 12 ] 511．已知向量 a 、b 、c 满足 2 ， b = a ⋅ b = 3 ，若 (c - 2a )(2 b -3c ) =0 ，则 b - c 的最大值是 ．1 + 212．设点 A , B 是圆 x 2+ y 2= 4 上的两点，点 C (1, 0) ，如果 ∠ACB = 90 ，则线段 AB 长度的取值范围为 ．[ 7 - 1, 7 + 1]13．在 ∆ABC 中，BC ＝ 2，AC ＝1，以 AB 为边作等腰直角三角形 ABD (B 为直角顶点，C 、D 两点在直线 AB 的两侧)．当∠C 变化时，线段 CD 长的最大值为 ． 314．（2016 年南通三模）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C : ( x - 1)2+ y 2= 2 ，圆 C : ( x - m )2 + ( y + m )2= m 2，若圆 C 上存在点 P 满足：过点 P 向圆 作两条切线 1 2 C 1PA 、PB ，切点为 A 、B ， ∆ABP 的面积为 1，则正数 m 的取值范围是 ．解：设 P (x ，y ) ，设 PA ，PB 的夹角为2θ ．△ABP 的面积 S = PA 2 sin 2θ = PA 2⋅ ⋅ PA= 1． 2 PC1PC1322= PC 1= P A+ 2 PA = 2 ，所以 PC 1= 2 ，所以点 P 在圆 (x - 1) 2+y2= 4 上．所以 m - 2 ≤ (m -1)2+ (-m )2≤m + 2 ，解得1≤ m ≤3 +2 3 ．。

隐形圆(4大模型与6类题型)第一部分【模型梳理与题型目录】隐形圆模型是初中数学中的重要知识点，常用于解决一些看似没有直接使用圆的知识但实际上需要运用圆的性质来解决的问题，隐形圆常常用于解决最值问题.本专题梳理了隐形圆四大模型，供大家参考使用.【模型1】 定点定长模型【模型分析】(1)出现共端点、等线段时，可以利用圆的定义构造辅助圆；(2)如图1，若OA=OB =OC，则A、B、C在以O为圆心，OA为半径的圆上.由圆周角定理可得：∠ABC= 1∠AOC,∠ACB=12∠AOB,∠BAC=12∠BOC.2图1【模型2】 90°圆周角模型【模型分析】如图2，在△ABC中，∠C=90°，点C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的⊙O (不包含A、B两点)．注：作出辅助圆是关键，计算时结合求点圆、线圆、最值等方法进行相关计算．图2应用：常用于解决直角三角形中动点的轨迹问题。

【模型3】 定弦定角模型【模型分析】固定的线段只要对应固定的角度，那么这个角的顶点轨迹为圆的一部分．如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等；(注意：弦AB所对的劣弧(AB)上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)如图②，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知点C不唯一．当∠C<90°时，点C在优弧上运动；当∠C=90°时，点C在半圆上运动，且线段AB是⊙O的直径；当∠C >90°时，点C在劣弧上运动．【模型4】‌四点共圆模型【模型分析】在四边形ABCD中，若∠A+∠C=1800，则A、B、C、D在圆O上，称之为A、B、C、D四点共圆.图3应用：常用于解决四点共圆的问题，如角度相等、线段最值等问题.【题型1】‌定点定长模型......................................................3;【模型2】 90°圆周角模型...................................................6;【题型3】‌定弦定角模型.....................................................11；【题型4】‌四点共圆模型.....................................................15；【题型5】直通中考.........................................................20；【题型6】拓展延伸.........................................................23.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】 定点定长模型1.(23-24九年级上·福建福州·期末)如图，在等边△ABC中，AB=4，D，E分别是边AB,BC上的动点(不与△ABC的顶点重合)，连接AE,CD相交于点F，连接BF，若∠BDF+∠BEF=180°，则BF的最小值为．【433/433【∠BDF +∠BEF =180°，∠DFE =120°，∠AFC =120°，F 在以O 为圆心OA 的长为半径∠AOC =120°的圆弧上运动OA ,OC ,OB ,OF ，OA =OC =OF ,BF ≥OB -OF ，△AOB ≌△COB ，△AOB 为含30度角的直角三角形进行求解即可．解∵等边△ABC ，∴∠ABC =60°，AB =BC ，∵∠BDF +∠BEF =180°，∴∠DFE +∠ABC =360°-∠BDF +∠BEF =180°，∴∠DFE =120°，∴∠AFC =120°，∴点F 在以O 为圆心OA 的长为半径∠AOC =120°的圆弧上运动OA ,OC ,OB ,OF ，OA =OC =OF ,BF ≥OB -OF ，∵AB =BC ，OB =OB ,OA =OC ，∴△AOB ≌△COB ，∴∠ABO =∠CBO =12∠ABC =30°，∠AOB =∠BOC =12∠AOC =60°，∴∠BAO =90°，∴BO =2AO ，AB =3AO =4，∴AO =433，∴BO =2OA =833，OF =AO =433，∴BF ≤433，BF 的最小值为433；故答案为433．【30度角的直角三角形一点到圆上一点的最值F 的运动轨迹．2.(24-25九年级上·全国·课后作业)如图，P 是边长为1的正方形ABCD 内的一个动点，且满足∠PBC +∠PDC =45°，则CP 的最小值是()A.2-2B.12C.22D.2-1【答案】D【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理，在凹四边形BCDP中，求出∠BPD=135°，得点P在运动过程中，使得∠BPD=135°，即点P在正方形ABCD内，以A为圆心，AB长为半径的圆弧上，如解图，连接AP，AC，当A、P、C三点共线时，CP取得最小值，最小值为AC-AP，求出AC和AP的长度，即可得到结果，解本题的关键是证明∠BPD是定值，从而得到点P的轨迹．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，在凹四边形BCDP中，∵∠BCD=90°，∠PBC+∠PDC=45°，∴∠BPC+∠CPD=360°-∠BCD-(∠PBC+∠PDC)=225°，∴∠BPD=360°-(∠BPC+∠CPD)始终为135°，得点P在运动过程中，使得∠BPD=135°，即点P在正方形ABCD内，以A为圆心，AB长为半径的圆弧上，如解图，连接AP，AC，，由解图可得AP+CP≥AC，当A、P、C三点共线时，CP取得最小值，最小值为AC-AP，在Rt△ABC中，∵AB=BC=1，∴AC=AB2+BC2=2，∵AP=AB=1，∴CP最小=AC-AP=2-1，故选：D．3.(24-25九年级上·江苏宿迁)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF=4，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为()A.30B.32C.35D.38【答案】D【分析】首先连接AC，BG，证明G在以B为圆心，2为半径的圆弧上，过B作BH⊥AC于H，当G在BH 上时，△ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，再进一步解答即可．解：连接AC，BG，∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，S矩形=48，∵EF=4，G为EF的中点，∴BG=12EF=2，∴G在以B为圆心，2为半径的圆弧上，过B作BH⊥AC于H，当G在BH上时，△ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，四边形AGCD面积=三角形ACG面积+三角形ACD面积，即四边形AGCD面积=三角形ACG面积+24．设圆弧交BH于G ，此时四边形AGCD面积取最小值，由勾股定理得：AC=62+82=10，∵1 2AC⋅BH=12AB⋅BC，∴BH=4.8，∴G H=2.8，即四边形AGCD面积的最小值=12×10×2.8+24=38．故选：D．【点拨】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，圆的确定，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出G点的运动轨迹．【题型2】 90°圆周角模型4.(2024·湖南娄底·一模)如图，正方形ABCD的边长为a，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，AE与BF相交于点G，连接CG，则CG的最小值为．【答案】5-1 a2【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握90°的圆周角所对的弦是直径是解答本题的关键．通过证明△ABE ≌△BCF SAS ，可证∠AGB =90°，则点G 在以AB 为直径的一段弧上运动，当点G 在OC 与弧的交点处时，CG 最短，然后根据勾股定理求出OC 的长即可求解．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =∠BCF =90°，AB =BC =a ，∴在△ABE 和△BCF 中，AB =BC∠ABC =∠BCFBE =CF∴△ABE ≌△BCF SAS ，∴∠BAE =∠CBF ，∵∠ABF +∠CBF =90°，∴∠ABF +∠BAE =90°，∴∠AGB =90°，∴点G 在以AB 为直径的一段弧上运动，设AB 的中点为O ，则当点G 在OC 与弧的交点处时，CG 最短，∵AB =a ，∴OB =OG =a 2，∴OC =a 2 2+a 2=52a ，∴CG=OC -OG =5-1 a 2，故答案为：5-1 a 2．5.(23-24九年级下·山东日照)如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点F 是正方形内一点，连接CF ,DF ，且∠ADF =∠DCF ，点E 是AD 边上一动点，连接EB ,EF ，则EB +EF 长度的最小值为()A.13-1B.10-1C.10D.5+1【答案】A【分析】根据正方形的性质得到∠ADC=90°，推出∠DFC=90°，得到点F在以CD为直径的半圆上移动，如图，设CD的中点为O，正方形ABCD关于直线AD对称的正方形ADC B ，则点B 的对应点是B，连接B O交AD于E，交半圆O于F，线段B F的长即为EB+EF的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∴∠ADF+∠CDF=90°，∵∠ADF=∠DCF，∴∠DCF+∠CDF=90°，∴∠DFC=90°，∴点F在以CD为直径的半圆上移动，如图，设CD的中点为O，正方形ABCD关于直线AD对称的正方形ADC B ，则点B 的对应点是B，连接B O交AD于E，交半圆O于F，线段B F的长即为EB+EF的长度最小值，OF=1，∵∠C =90°,B C =C D =CD=2，∴OC =3，∴OB =B C 2+OC 2=13，∴B F=13-1，∴FD+FE的长度最小值为13-1，故选：A．【点拨】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，点的运动轨迹，勾股定理，最小值问题，正确理解点的运动轨迹是解题的关键．6.(24-25九年级上·广东深圳·开学考试)如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE= DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为1，则线段DH长度的最小值是()A.52-1 B.5-12C.52D.5-1【答案】B【分析】由SAS可判定△ABE≌△DCF，由全等三角形的性质得∠ABE=∠DCF，同理可证∠DCG=∠DAG，由角的和差得∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH，H的运动轨迹为以O为圆心，OH=1 2AB=12为半径的半圆，当O、H、D三点共线时，DH最小，即可求解．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=CD=1，∠BAE=∠CDF=90°，∠ADG=∠CDG，∵∠BAH+∠DAG=90°，在△ABE和△DCF中，AB=CD∠BAE=∠CDFAE=DF，∴△ABE≌△DCF(SAS)，∴∠ABE=∠DCF，在△ADG和△CDG中，AD=CD∠ADG=∠CDGDG=DG，∴△ADG≌△CDG(SAS)，∴∠DCG=∠DAG，∴∠ABE=∠DAG，∴∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，如下图，取AB的中点O，连接OH，∴OA=12，∴H的运动轨迹为以O为圆心，OH=12AB=12为半径的半圆，如图，当O、H、D三点共线时，DH最小，∴OD=OA2+AD2=122+12=52，∴DH=OD-OH=52-1 2=5-12；故选：B．【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，圆外一点到圆上任一点距离的最值等；能找出动点的运动轨迹及取得最小值的条件，熟练利用勾股定咯求解是解题的关键．【题型3】 定弦定角模型7.(22-23九年级上·江苏南京·阶段练习)如图，CD是△ABC的高，若AB=2，∠ACB=45°，则CD长的最大值为()A.1+2B.4-2C.2D.4【答案】A【分析】在AB上方作以AB为斜边的等腰直角三角形△AOB，根据“定线段对定角度”确定点C在以O为圆心，OA长为半径的圆上运动，当CD经过圆心时CD最长，再计算即可．解：在AB上方作以AB为斜边的等腰直角三角形△AOB，∵∠ACB=45°∴点C在以O为圆心，OA长为半径的圆上运动，∵AB=2，∴OA=OC=2，当CD经过圆心时CD最长∵CD是△ABC的高，∴AD=BD=OD=1AB=12此时CD=OC+OD=2+1，故选：A．【点拨】本题考查几何最值问题，解题的关键是确定点C在以O为圆心，OA长为半径的圆上运动．8.(20-21九年级上·江苏无锡·期末)如图，在平面直角坐标系中，动点A、B分别在x轴上和函数y=x的图象上，AB=4，CB⊥AB，BC=2，则OC的最大值为()A.22+2B.22+4C.25D.25+2【答案】A【分析】根据y=x与x轴的夹角为45°，以AB为斜边作等腰直角三角形，连接AD,CD,OD，则∠DBC= 45°，根据勾股定理求得DB的长，进而证明△DCB是直角三角形，求得DC的长，根据OD+DC≥OC，即可求得OC的最大值解：如图，以AB为斜边作等腰直角三角形，连接AD,CD,OD，∵y=x与x轴的夹角为45°，∴∠AOB=45°=1∠ADB2∴A,O,B在⊙D上，∵AB=4，∠ADB=90°，∴BD=AD=22，∴∠ABD=45°∵BC⊥AB∴∠CBA=90°∴∠CBD=45°∴△BCD中BC=2,BD=22,∠CBD=45°过点C作CE⊥BD于点E，如图则BE=CE=2=DE∴CD=CB=2∵OD+DC≥OC∴当O,D,C三点共线时，OC取得最大值，最大值为OD+DC=DB+DC=22+2故选A【点拨】本题主要考查了勾股定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，找到⊙D是解决本题的关键．9.(19-20九年级上·浙江宁波·期末)如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=2，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PBC=∠PCA，则线段AP长的最小值为()A.0.5B.2-1C.2-2D.13【答案】C 【分析】先计算出∠PBC +∠PCB =45°，则∠BPC =135°，利用圆周角定理可判断点P 在以BC 为弦的⊙O 上，如图，连接OA 交BC 于P ′，作BC 所对的圆周角∠BQC ，利用圆周角定理计算出∠BOC =90°，从而得到△OBC 为等腰直角三角形，四边形ABOC 为正方形，所以OA =BC =2，OB =2，根据三角形三边关系得到AP ≥OA -OP (当且仅当A 、P 、O 共线时取等号，即P 点在P ′位置)，于是得到AP 的最小值.解：解：∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ACB =45°，即∠PCB +∠PCA =45°，∵∠PBC =∠PCA ，∴∠PBC +∠PCB =45°，∴∠BPC =135°，∴点P 在以BC 为弦的⊙O 上，如图，连接OA 交BC于P ′，作BC 所对的圆周角∠BQC ，则∠BCQ =180°-∠BPC =45°，∴∠BOC =2∠BQC =90°，∴△OBC 为等腰直角三角形，∴四边形ABOC 为正方形，∴OA =BC =2，∴OB =22BC =2，∵AP ≥OA -OP (当且仅当A 、P 、O 共线时取等号，即P 点在P ′位置)，∴AP 的最小值为2-2．故选：C ．【点拨】本题考查了圆周角定理及等腰直角三角形的性质.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.【题型4】四点共圆模型10.(22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠D =90°，连接AC ，点F 为边CD 上一点，连接BF 交AC 于点E ，AB =AE ，∠FGC +∠FBG =90°，∠BFG +2∠GFC =180°，若AD =722，BG =4，则CG 的长为．【答案】8【分析】延长BA 与CD 的延长线相交于点H ，证明∠FGC =∠ABF ，∠GFC =∠BFD ，由三角形内角和定理得到∠H=∠ACB，BH=BC，进一步得到∠H=∠DAH=45°，则AD=DH=722，由勾股定理得到AH=AD2+DH2=7，证明点C、G、E、F四点共圆，如图，连接EG，证明CE=CG，设CE=CG=x，则BH=BC=4+x，AE=AB=x-3，AC=2x-3，由勾股定理得AB2+BC2=AC2，即x-32+x+42 =2x-32，解方程即可得到答案．解：延长BA与CD的延长线相交于点H，∵∠FGC+∠FBG=90°，∠FBG+∠ABF=∠ABC=90°∴∠FGC=∠ABF，∵∠BFG+2∠GFC=180°，∠BFG+∠BFD+∠CFG=180°，∴2∠GFC=∠BFD+∠CFG，∴∠GFC=∠BFD，∵∠H+∠ABF+∠BFD=180°=∠ACB+∠FGC+∠GFC，∴∠H=∠ACB，∵∠ABC=90°，∴∠H=∠ACB=45°，BH=BC，∵∠ADH=90°，∴∠H=∠DAH=45°，∴AD=DH=722，∴AH=AD2+DH2=7，∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∵∠FGC=∠ABE，∠CEF=∠AEB，∴∠FGC=∠CEF，∴点C、G、E、F四点共圆，如图，连接EG，∴∠GFC=∠CEG，∠BFD=∠CGE，∵∠GFC=∠BFD，∴∠CGE=∠CEG，∴CE=CG，设CE=CG=x，则BH=BC=BG+CG=4+x，∴AE=AB=BH-AH=x+4-7=x-3，∴AC=AE+CE=x-3+x=2x-3，由勾股定理得，AB2+BC2=AC2，∴x-32+x+42=2x-32，解得x=-1(不合题意，舍去)或x=8，∴CG=8，故答案为：8【点拨】此题考查了等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、四点共圆、圆周角定理、圆内接四边形的性质、解一元二次方程等知识，关键在于等腰直角三角形的判定和性质与证明四点共圆．11.(24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习)如图，等边三角形ABC中，AB=5,P为AB边上一动点，PD⊥BC ,PE ⊥AC ，垂足分别为D ,E 则DE 的最小值为．【答案】154【分析】如图，连接PC ，取CP 的中点O ，连接OE ，OD ，过点O 作OH ⊥DE 于H ，首先证明△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，当OE 的值最小时，DE 的值最小，即可求出PC 的最小值．解：如图，连接PC ，取CP 的中点O ，连接OE ，OD ，过点O 作OH ⊥DE 于H ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，AB =BC =AC =5，∵PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，∴∠PEC =∠PDC =90°，∵OP =OC ，∴OE =OP =OC =OD ，∴C 、D 、P 、E 四点共圆，∴∠EOD =2∠ECD =120°，∴当OE 的值最小时，DE 的值最小，根据垂线段最短可得，当CP ⊥AB 时，PC =532，此时OE 最小，OE =534，∵OE =OD ，OH ⊥DE ，∴DH =EH ，∠DOH =∠EOH =60°，∴∠OEH =30°，∴OH =12OE =538，∴DH =EH =OE 2-OH 2=158，∴DE =2DH =154，∴DE 的值最小为154，故答案为：154．【点拨】本题考查了四点共圆、垂线段最短、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；正确判断当CP ⊥AB 时OE 最小是解题的关键．12.(23-24九年级下·江苏南京·阶段练习)如图，在△ABC 中，∠ACB =90°,AC =BC =2，点P 是射线AB 上一动点，∠CPD =90°，且PC =PD ，连接AD 、CD ，则AD +CD 的最小值是．【答案】25【分析】取AC中点H，连接DH交AB于点G，连接BD,PH，当DH⊥AC时，DH有最小值，此时易得△ACD是等腰三角形，推出AD=CD，即AD,CD有最小值，则AD+CD有最小值，此时根据∠AHD=∠CHD=∠ACB=90°，推出DH∥BC，设CD中点为O，根据∠CHD=∠CPD=90°，易得点C,H,P,D在以点O为圆心CD为直径的圆上，易得∠CHP+∠PDC=180°，由∠ABC=45°，易得此时点B在圆O上，进而推出∠CBD+∠CPD=180°，则∠CBD=90°，得到四边形BCHD是矩形，即HD=BC=2，利用勾股定理即可计算出CD的最小值，进而得出结果．解：取AC中点H，连接DH交AB于点G，连接BD,PH，当DH⊥AC时，DH有最小值，∵点H是AC中点，DH⊥AC，∴△ACD是等腰三角形，∴AD=CD，∵AH,CH是定值，DH有最小值时，即AD,CD有最小值，则AD+CD有最小值，∵∠AHD=∠CHD=∠ACB=90°，∴DH∥BC，设CD中点为O，∵∠CHD=∠CPD=90°，∴点C,H,P,D在以点O为圆心CD为直径的圆上，∴∠CHP+∠PDC=180°，∵∠ABC=45°，∴此时点B在圆O上，∴∠CBD+∠CPD=180°，∴∠CBD=90°，∵DH∥BC，∴四边形BCHD是矩形，∴HD=BC=2，∵HC=1AC=1，2在Rt△CHD中，∴CD=CH2+HD2=5，∴AD+CD的最小值为2CD=25，故答案为：25．【点拨】本题考查勾股定理求最短距离，圆周角定理，四点共圆，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正确作出辅助线，证明四点共圆是解题的关键．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考1.(2023·山东泰安·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，点A 的坐标为(-6，4)；Rt △COD 中，∠COD =90°，OD =43，∠D =30°，连接BC ，点M 是BC 中点，连接AM ．将Rt △COD 以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM 的最小值是()A.3B.62-4C.213-2D.2【答案】A【分析】如图所示，延长BA 到E ，使得AE =AB ，连接OE ，CE ，根据点A 的坐标为(-6，4)得到BE =8，再证明AM 是△BCE 的中位线，得到AM =12CE ；解Rt △COD 得到OC =4，进一步求出点C 在以O 为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M 在线段OE 上时，CE 有最小值，即此时AM 有最小值，据此求出CE 的最小值，即可得到答案．解：如图所示，延长BA 到E ，使得AE =AB ，连接OE ，CE ，∵Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，点A 的坐标为(-6，4)，∴AB =4，OB =6，∴AE =AB =4，∴BE =8，∵点M 为BC 中点，点A 为BE 中点，∴AM 是△BCE 的中位线，∴AM =12CE ；在Rt △COD 中，∠COD =90°，OD =43，∠D =30°，∴OC =33OD =4，∵将Rt △COD 以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点C 在以O 为圆心，半径为4的圆上运动，∴当点M 在线段OE 上时，CE 有最小值，即此时AM 有最小值，∵OE =BE 2+OB 2=10，∴CE 的最小值为10-4=6，∴AM 的最小值为3，故选A ．【点拨】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．2.(2022·广西柳州·中考真题)如图，在正方形ABCD中，AB=4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为．【答案】25-2【分析】如图，由EG=2，确定E在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE，再证明△ADE≌△CDF (SAS)，可得AE=CF，可得当A，E，G三点共线时，AE最短，则CF最短，再利用勾股定理可得答案．解：如图，由EG=2，可得E在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE，∵正方形ABCD，∴AD=CD,∠ADC=90°，∴∠ADC=∠EDF=90°，∴∠ADE=∠CDF，∵DE=DF，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴AE=CF，∴当A，E，G三点共线时，AE最短，则CF最短，∵G位BC中点，BC=AB=4，∴BG=2，此时AG=BG2+AB2=22+42=25，此时AE=25-2，所以CF的最小值为：25-2.故答案为：25-2【点拨】本题考查的是正方形的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利用圆的基本性质求解线段的最小值是解本题的关键．2、拓展延伸3.(2022·辽宁抚顺·中考真题)如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF．当GF最小时，AE的长是．【答案】55-5【分析】根据动点最值问题的求解步骤：①分析所求线段端点(谁动谁定)；②动点轨迹；③最值模型(比如将军饮马模型)；④定线段；⑤求线段长(勾股定理、相似或三角函数)，结合题意求解即可得到结论．解：①分析所求线段GF端点：G是定点、F是动点；②动点F的轨迹：正方形ABCD的边长为10，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，则BF=BA=10，因此动点轨迹是以B为圆心，BA=10为半径的圆周上，如图所示：③最值模型为点圆模型；④GF最小值对应的线段为GB-10；⑤求线段长，连接GB，如图所示：在RtΔBCG中，∠C=90°，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，则CG=5,BC=10，根据勾股定理可得BG=CG2+BC2=52+102=55，当G、F、B三点共线时，GF最小为55-10，接下来，求AE的长：连接EG，如图所示=SΔEDG+SΔBCG+根据翻折可知EF=EA,∠EFB=∠EAB=90°，设AE=x，则根据等面积法可知S正方形SΔBAE+SΔBEG，即100=12DE⋅DG+12BC⋅CG+12AB⋅AE+12BG⋅EF=1 2510-x+5×10+10x+55x整理得5+1x=20，解得x=AE=205+1=205-15+15-1=55-5，故答案为：55-5．【点拨】本题考查动点最值下求线段长，涉及到动点最值问题的求解方法步骤，熟练掌握动点最值问题的相关模型是解决问题的关键．4.(2024·内蒙古兴安盟·二模)如图，在正方形ABCD中，点M，N分别为AB，BC上的动点，且AM= BN，DM，AN交于点E，点F为AB的中点，点P为BC上一个动点，连接PE，PF，若AB=4，则PE +PF的最小值为．【答案】210-2【分析】证明△DAM≌△ABN SAS，则∠ADM=∠BAN，∠AED=90°，如图，取AD的中点O，则E在以O为圆心，AD为直径的圆上运动，作F关于BC对称的点F ，连接PF ，连接OF 交⊙O于E ，则PF = PF，由PE+PF=PE+PF ，可知当O、E 、P、F 四点共线时，PE+PF最小为E F ，由勾股定理得，OF =AF 2+OA2=210，根据E F =OF -OE ，求解作答即可．解：∵正方形ABCD，∴AD=AB，∠DAM=∠ABN=90°，又∵AM=BN，∴△DAM≌△ABN SAS，∴∠ADM=∠BAN，∴∠ADM+∠DAE=∠BAN+∠DAE=90°，∴∠AED=90°，如图，取AD的中点O，则E在以O为圆心，AD为直径的圆上运动，作F关于BC对称的点F ，连接PF ，连接OF 交⊙O于E ，∴PF =PF，∴PE+PF=PE+PF ，∴当O、E 、P、F 四点共线时，PE+PF最小为E F ，由勾股定理得，OF =AF 2+OA2=62+22=210，∴E F =OF -OE =210-2，故答案为：210-2．【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，90°圆周角所对的弦为直径，轴对称的性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，90°圆周角所对的弦为直径，轴对称的性质，勾股定理是解题的关键．。

隐圆问题的十大类型：高考数学微专题隐圆问题是高中数学中难度较大的一个跨单元主题，它承接于初中的圆，融入了高中的平面向量，解三角形，解析几何等内容，综合性很高，更是学生学习的难点之一！当然，这部分内容在课本上也多有涉及，比如阿波罗尼斯圆，圆的参数方程等，基于此，本节将系统梳理相关内容，力争做成一份全面，完整的隐圆资料.类型1.利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆例1.如果圆4)3()2(22=--+-a y a x 上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围为________.类型2.动点P 满足对两个定点B A ,的张角是90（1-=⋅PB P A k k 或者0=⋅→→PB P A ）确定隐形圆.该类型实质就是直径所对的圆周角为直角的应用.例2.已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A．3B．2C．1D．0例3.已知点()3,0P -在动直线()30mx ny m n +-+=上的投影为点M ，若点32,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则MN 的最大值为（）A．1B．32C．2D．1124．已知点P 是圆C ：222430x y x y +--+=的动点，直线l ：30x y --=上存在两点A ，B ，使得π2APB ∠=恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A．B．C．D．5．已知EF 是圆22:2430C x y x y +--+=的一条弦，且CE CF ⊥，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A．1B．C．D．2+6．若对于圆22:2220C x y x y +---=上任意的点A ，直线:4380l x y ++=上总存在不同两点M ，N ，使得90MAN ∠≥︒，则MN 的最小值为______.类型3.正弦定理对边对角模型.由正弦定理可知，当已知三角形任意一边和该边所对角大小时，即可得到外接圆半径，即AaR sin 2=.7.（2020年全国2卷）在ABC ∆中，C B C B A sin sin sin sin sin 222⋅=--（1）求A ；（2）若3=BC ，求ABC ∆周长的最大值.8．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．点P 在正方形ABCD 的边AD 或BC 上运动，若1PE PF ⋅=，则满足条件的点P 的个数是（）A．0B．2C．4D．6类型5.动点P 满足对两个定点B A ,满足：)0(||||22>=+λλPB P A .类型6.阿波罗尼斯圆定义：已知平面上两点B A ,，则所有满足1,||||≠=λλPB P A 的动点P 的轨迹是一个以定比为n m :内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆.若)0,(),0,(b B a A ,则圆的半径为|||1|2AB ⋅-λλ，圆心为)0|,|11(22AB ⋅-+λλ.解析：设(,0),(,0),(,)A c B c P x y -．因为(0,0AP BP c λλ=>>且1)λ≠由两点间距离=，化简得2222221211x c y c λλλλ⎛⎫+⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．所以点P 的轨迹是以221,01c λλ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为圆心，以221c λλ-为半径的圆．9.ABC ∆中，2=AB ，BC AC 2=，则ABC ∆的面积最大值为_______.类型7.“从动点圆”，若A 为定点，点P 在圆上运动，则线段AP 的中点也在一个圆上.10.已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB的中点M 的轨迹方程是__________.类型8.圆的内接四边形与托勒密定理若四边形ABCD 对角互补，或者BC AD CD AB DB AC ⋅+⋅=⋅，则D C B A ,,,四点共圆.11．在平面四边形ABCD 中，,AB AC AC ⊥=，AD =3，BD =则CD 的最小值为（）B．2C．2类型9.向量隐圆12.已知向量→→→c b a ,,满足12||,1||-=⋅==→→→→b a b a ，且向量→→→→--c b c a ,的夹角为4π，则||→c 的最大值为_________.13.（2018年浙江高考）已知a 、b 、e 是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+= ，则a b - 的最小值是（）11C．2D．214已知平面向量a 、b 、c 满足0a b ⋅= ，1a b == ，()()12c a c b -⋅-= ，则c a - 的最大值为（）B．12+C．32D．2类型10.米勒圆与最大视角米勒定理1：已知点B A ,是MON ∠的边ON 上的两个定点，点P 是边OM 上的动点，则当且仅当ABP ∆的外接圆与边OM 相切于点P 时，APB ∠最大.13.（2022南昌一模）已知点)0,3(),0,1(B A -.点P 为圆45:22=+y x O 上一个动点，则APB ∠sin 的最大值为__________.隐圆问题的十大类型（解析版）隐圆问题是高中数学中难度较大的一个跨单元主题，它承接于初中的圆，融入了高中的平面向量，解三角形，解析几何等内容，综合性很高，更是学生学习的难点之一！当然，这部分内容在课本上也多有涉及，比如阿波罗尼斯圆，圆的参数方程等，基于此，本节将系统梳理相关内容，力争做成一份全面，完整的隐圆资料.类型1.利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆例1.如果圆4)3()2(22=--+-a y a x 上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围为________.解析：转化为4)3()2(22=--+-a y a x 与圆122=+y x 有两个交点，求a 的取值范围问题，由两圆相交的条件可知：)0,56(-∈a .类型2.动点P 满足对两个定点B A ,的张角是90（1-=⋅PB P A k k 或者0=⋅→→PB P A ）确定隐形圆.该类型实质就是直径所对的圆周角为直角的应用.例2.已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A．3B．2C．1D．0解析：设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=-，，由AP BP ⊥，得22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-= ，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-，半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个.故选B.例3.已知点()3,0P -在动直线()30mx ny m n +-+=上的投影为点M ，若点32,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则MN 的最大值为（）A．1B．32C．2D．112解析：由动直线方程()30mx ny m n +-+=得()()130m x n y -+-=，所以该直线过定点Q（1,3），所以动点M 在以PQ 为直径的圆上，5,2=圆心的坐标为3(1,)2-，所以点N 3=，所以MN 的最大值为5113+22=.故选：D.4．已知点P 是圆C ：222430x y x y +--+=的动点，直线l ：30x y --=上存在两点A ，B ，使得π2APB ∠=恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A．B．C．D．解析：圆()()22:122C x y -+-=，圆心为()1,2C ，半径为1r 依题意，P 是圆C 上任意一点，直线l 上存在两点,A B ，使得π2APB ∠=恒成立，故以AB 为直径的圆D 始终与圆C 相切，即圆D 的半径2r 的最小值是P 到直线l 距离的最1r ==AB 的最小值是2⨯=.故选：A5．已知EF 是圆22:2430C x y x y +--+=的一条弦，且CE CF ⊥，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A．1B．C．D．2+解析：由题可知：22:(1)(2)2C x y -+-= ，圆心()1,2C ，半径r =又CE CF ⊥，P 是EF 的中点，所以112CP EF ==，所以点P 的轨迹方程22(1)(2)1x y -+-=，圆心为点()1,2C ，半径为1R =，若直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则以AB 为直径的圆要包括圆22(1)(2)1x y -+-=，点()1,2C 到直线l 的距离为d =，所以AB 长度的最小值为()212d +=+，故选：B．6．若对于圆22:2220C x y x y +---=上任意的点A ，直线:4380l x y ++=上总存在不同两点M ，N ，使得90MAN ∠≥︒，则MN 的最小值为______.解析：由题设圆22:(1)(1)4C x y -+-=，故圆心(1,1)C ，半径为2r =，所以C 到:4380l x y ++=的距离3d r ==>，故直线与圆相离，故圆C 上点到直线:4380l x y ++=的距离范围为[1,5]，圆C 上任意的点A ，直线:4380l x ++=上总存在不同两点M 、N ，使90MAN ∠≥︒，即以MN 为直径的圆包含圆C ，至少要保证直线上与圆C 最近的点，与圆上点距离最大值为半径的圆包含圆C ，所以10MN ≥.故答案为：10类型3.正弦定理对边对角模型.由正弦定理可知，当已知三角形任意一边和该边所对角大小时，即可得到外接圆半径，即AaR sin 2=.7.（2020年全国2卷）在ABC ∆中，C B C B A sin sin sin sin sin 222⋅=--（1）求A ；（2）若3=BC ，求ABC ∆周长的最大值.解析：（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅()0,A π∈ ，23A π∴=.（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴ 周长3L AC AB BC =++≤+，ABC ∴ 周长的最大值为3+类型4.动点P 满足对两个定点B A ,满足：)0(≠=⋅→→λλPB P A .分析：由于||AB 定值，设AB 中点为M ，根据平面向量部分极化恒等式可得：222||41||)0(41AB PM AB PM PB P A +=⇒≠=-=⋅→→→→λλλ，故动点P 是以AB 中点M为圆心，半径为2||41AB +λ的圆.8．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =．点P 在正方形ABCD 的边AD 或BC 上运动，若1PE PF ⋅=，则满足条件的点P 的个数是（）A．0B．2C．4D．6解析：由上述分析可知，故动点P 是以EF 中点M 为圆心，半径为2||41EF +λ的圆.故此题中点P 以EF 中点M 为圆心，半径为10的圆，所以，共有4个点满足条件.故选：C类型5.动点P 满足对两个定点B A ,满足：)0(||||22>=+λλPB P A .解析：由于→→→→⋅-+=+PB P A PB P A PB P A 2)(||||222，设AB 中点为M ，则由向量关系与极化恒等式可知：λ=--=⋅-+→→→→→→→)41(242)(2222AB PM PM PB P A PB P A ，整理可得：→→+=22412AB PM λ，显然动点P 以M 为圆心，→+2412AB λ为半径的圆.类型6.阿波罗尼斯圆定义：已知平面上两点B A ,，则所有满足1,||||≠=λλPB P A 的动点P 的轨迹是一个以定比为n m :内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆.若)0,(),0,(b B a A ,则圆的半径为|||1|2AB ⋅-λλ，圆心为)0|,|11(22AB ⋅-+λλ.解析：设(,0),(,0),(,)A c B c P x y -．因为(0,0AP BP c λλ=>>且1)λ≠由两点间距离=，化简得2222221211x c y c λλλλ⎛⎫+⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．所以点P 的轨迹是以221,01c λλ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为圆心，以221c λλ-为半径的圆．9.ABC ∆中，2=AB ，BC AC 2=，则ABC ∆的面积最大值为_______.解析：由2,AB AC ==，见系代入得22(3)8x y -+=．设圆心为M ，显然当CM x ⊥轴时，ABC 面积最大，此时||CM =．所以()122ABC mx S ∆=⋅⋅=．类型7.“从动点圆”，若A 为定点，点P 在圆上运动，则线段AP 的中点也在一个圆上.10.已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是__________.解析：设点M 的坐标为(,)x y ，点00(,)A x y ，M 为AB 的中点，B 的坐标为(4,3)，004232x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得002423x x y y =-⎧⎨=-⎩，点00(,)A x y 满足2200(1)4x y ++=22(241)(23)4x y ∴-++-=，即2233122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故点M 的轨迹是以33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，以1为半径的圆，点M 的轨迹方程为：2233122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．类型8.圆的内接四边形与托勒密定理若四边形ABCD 对角互补，或者BC AD CD AB DB AC ⋅+⋅=⋅，则D C B A ,,,四点共圆.11．在平面四边形ABCD中，,AB AC AC ⊥=，AD =3，BD=则CD 的最小值为（）解析：如图，可设x AB =，则x BC x AC 3,2==，则由托勒密不等式可得：BD AC AB CD BC AD ⋅≥⋅+⋅，代值可得：362233≥⇒⋅≥⋅+⋅CD x x CD ，等号成立当且仅当D C B A ,,,四点共圆.B．2C．2类型9.向量隐圆12.已知向量→→→c b a ,,满足12||,1||-=⋅==→→→→b a b a ，且向量→→→→--c b c a ,的夹角为4π，则||→c 的最大值为_________.解析：依题→→b a ,夹角为43π，而向量→→→→--c b c a ,的夹角为4π，故由四点共圆结论可知，向量→c 的终点C 与B A O ,,四点共圆，则||→c 的最大值即为圆的直径，由于5||||=-=→→b a AB 则由正弦定理：1043sin||||max ==→πAB c .13.（2018年浙江高考）已知a 、b 、e 是平面向量，e是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+= ，则a b - 的最小值是（）11C．2D．2解析：设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===，则由π,3a e =得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴= ，由2430be b -⋅+= 得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=因此，a b - 的最小值为圆心()2,0到直线y =的距离2321，为1.-选A.14已知平面向量a 、b 、c 满足0a b ⋅= ，1a b == ，()()12c a c b -⋅-= ，则c a - 的最大值为（）B．12+C．32D．2解析：在平面内一点O ，作OA a = ，OB b = ，OC c = ，则0a b OA OB ⋅=⋅=，则OA OB ⊥，因为1a b ==，则1== OA OB ，故AOB为等腰直角三角形，则AB =uu u r取AB 的中点E ，则()()()11112222OE OA AE OA AB OA OB OA OA OB a b =+=+=+-=+=+，所以，()22222a ba b a b +=++⋅=，所以，2122a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()()()212c a c b c c a b -⋅-=-⋅+= ，所以，()()()22222142a b a b c c a b c OC OE EC +⎛⎫+-⋅++=-=-== ⎝⎭，则1EC = ，所以，12c a OC OA AC AE EC AE EC -=-==+≤+=+.11当且仅当AE 、EC 同向时，等号成立，故c a -1.故选：B.类型10.米勒圆与最大视角米勒定理1：已知点B A ,是MON ∠的边ON 上的两个定点，点P 是边OM 上的动点，则当且仅当ABP ∆的外接圆与边OM 相切于点P 时，APB ∠最大.13.（2022南昌一模）已知点)0,3(),0,1(B A -.点P 为圆45:22=+y x O 上一个动点，则APB ∠sin 的最大值为__________.解析：如图，设D 是圆O 上不同于点P 的任意一点，连结DA 与圆O 交于点E ，连接EC ，由三角形外角的性质，可知ADC AEC ∠>∠，由圆周角定理：=∠APC AEC ∠，因此ADC APC ∠>∠，当且仅当ACP ∆的外接圆与圆O 相切于点P 时，APC ∠最大.此时，可设ACP ∆的外接圆圆心),1(t M ，由于此时P M O ,,三点共线且MP OM OP +=，而42+==t MC MP ，则531422=+++t t ，解得：5442=t ，于是58=M R ，由正弦定理，则APB ∠sin 的最大值为45.。

“隐形圆”问题江苏省通州高级中学一、问题概述江苏省高考考试说明中圆的方程是C 级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．二、求解策略如何发现隐形圆（或圆的方程）是关键，常见的有以下策略．策略一利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆例1（1）如果圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4 上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是 ．? 6 ? a ? 0 5略解：到原点的距离为 1 的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知 圆相交求解．（2）（2016 年南京二模）已知圆 O ：x 2＋y 2＝1，圆 M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆 M 上存在点 P ，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A ，B ，使得∠APB ＝60°，则 a 的取值范 围为 ．解： 由题意得 OP ? 2 ，所以 P 在以 O 为圆心 2 为半径的圆上，即此圆与圆 M 有公共点，因此有 2 ? 1 ? OM ? 2 ? 1 ? 1≤ a ? (a ? 4)≤9 ? 2 ?a ≤ 2 ?? 2 2（3）（2017 年苏北四市一模）已知 A 、B 是圆 C : x ? y ? 1 上的动点， AB = 是圆C : (x ? 3）? ( y ? 4) ? 1 上的动点，则 PA ? PB 的取值范围是 ．1 略解：取 AB 的中点 M ，则 C 1M =2 1 ，所以 M 在以 C 1 圆心，半径为 2的圆上，且PA ? PB ? 2PM ，转化为两圆上动点的距离的最值．（4）若对任意??R ，直线 l ：x cos ?＋y sin ?＝2sin(?＋ ?)＋4 与圆 C ：(x －m )2＋(y －6＝1 均无公共点，则实数 m 的取值范围是 ． (? 1 , 5 )2略解：直线 l 的方程为：(x -1)cos ?＋(y ?＝4，M l 距离为 4，所以 l 是 以 M 为圆心半径为 4 M 与圆O?2 ，?注：直线l：(x-x0)cos?＋(y- y0)sin?＝R 为圆M：(x ?x )? (x ?y )?R的切线系．例2（2017 年南通市一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知B，C 为圆x?y? 4 上两点，点A(1，1) ，且AB⊥AC，则线段BC 的长的取值范围为．解：法一（标解）：设BC 的中点为M?x,y?，因为OB?OM ?BM ?OM ?AM ，所以4 ?x?y??x?1???y ?1?， B MC 化简得?x ?1 ? ??y ?1 ? ?3 ，A? 2 ?? 2 2????所以点M 的轨迹是以?1 1 ?为圆心，为半径的2?圆，所以AM 的取值范围是，所2 2??例2???以BC 的取值范围是．法二：以AB、AC 为邻边作矩形BACN，则BC＝AN ，由矩形的几何性质（矩形所在平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方和相等），有OB?OC?OA?O N ，所以ON＝ 6 ，故N 在以O 为圆心，半径为BC 的取值范围是 ．变式1 （2014 年常州高三期末卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O : x?y?16 ，点P (1, 2) ，M、N 为圆O PM ?PN ? 0 ，若PQ 的最小值为．y变式2 已知圆C：x ?y? 9 ，圆C：x ?y? 4 ，定点P(1, 0) ，动点A, B 分别在圆C和圆C上，满足?APB ? 90 ，则线段AB 的取值范围．11]变式3 已知向量a、b、c 3, b ? 2, c ?1,(a ?c) ?(b ?c) ?为．11]策略二 动点 P 对两定点 A 、B 张角是 90（ k ? k ? ?1 ，或 PA ? PB ? 0）确定隐形圆例 3 （1）（2014 年北京卷）已知圆 C ： (x ? 3)? ( y ? 4)? 1 和两点 A (?m , 0) ， B (m , 0) ，若圆上存在点 P ，使得 ?APB ? 90 ，则 m 的取值范围是．?4, 6? 略解：由已知以 AB 为直径的圆与圆 C 有公共点．（2）（海安 2016 届高三上期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P (?1，0) ，Q (2 ，1) ，直线 l ：ax ? by ? c ? 0 其中实数 a ，b ，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上 的射影为 H ，则线段 QH 的取值范围是 ．解：由题意，圆心C (1，－2)在直线 ax ＋by ＋c ＝0 上，可得 a －2b ＋c ＝0，即 c ＝2b －a ． 直线l ：(2a －b )x ＋(2b －c )y ＋(2c －a )＝0，即 a (2x ＋y －3)＋b (4－x )＝0， ?2x ? y ? 3 ? 0,由 ? ?4 ? x ? 0，可得 x ＝4，y ＝－5，即直线过定点 M (4，－5)，由题意，H 在以PM 为直径的圆上，圆心为 A (5，2)，方程为(x －5)2＋(y －2)2＝50， ∵|CA |＝CH 最小为CH 最大为 ∴线段 （3）（通州区 2017 ? R ，直线 l ： x ? my ? 0 与直线l ： mx ? y ? 2m ? 4 ? 0 交于点 P (x , y ) ，则 x? y ? 2x 的取值范围是 ．[12 ??略解：l 1 过定点 O (0，0) 2 -4)， 则 P 在以 OA 为直径的圆上（除去一点）， 变式 （2017 年南京二模）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 1：kx －y ＋2＝0 与直线 l 2： x ＋ky －2＝0 相交于点 P ，则当实数 k 变化时，点 P 到直线 x －y －4＝0 的距 离的最大值为 ．3 2策略三 两定点 A 、B ，动点 P 满足 PA ? PB ? ? 确定隐形圆 例 4 （1）（2017 年南通密卷 3）已知点 A (2, 3) ，点 B (6, ?3)，点 P 在直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 上，若满足等式 AP ? BP ? 2? ? 0 的点P 有两个，则实数 ? 的取值范围是 ．解：设P （x ，y ），则 AP ? (x ? 2, y ? 3) ， BP ? ( x ? 6, y ? 3) ，根据 AP ? BP ? 2? ? 0 ，有 ? x ? 4?? y ? 13 ? 2? ? ? ? 13 ? .由题意 ?? 2 ?? ?心，圆： ? x ? 4?? y ? 13 ? 2? ? ? ? 13 ? 圆与直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 相交， ?? 2 圆心到直线的距离 d 3 ?? ? 2 . （2）（2016 2，动点 C 满足 CA ? C B ? ? （? 为常数），且点 C 总不在以点 B 为圆 1 2 为半径的圆内，则负数 ? 的最大值是 . ? 34略解：动点 C 满足方程 x ? y ? ? ? 1 .策略四 两定点 A 、B ，动点 P 满足PA ? PB 是定值确定隐形圆 例 5 （1）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1，点 A (0，2)，若圆 C 上存在点 M ，满足 MA 2＋MO 2＝10，则实数 a 的取值范围是 ．[0，3]略解：M 满足的方程为 x ? ( y ?1)? 4 ，转化为两圆有公共点（2）（2017 年南京、盐城一模）在 ?ABC 中，A ，B ，Ca ,b ,c ，若 a ? b ? 2c ? 8 ，则 ?ABC 面积的最大值为 ．解：以 AB 的中点为原点，AB 所在直线为 x 轴，建系.设 A (? c , 0) ， B ( c , 0) ， C (x , y ) ，则由 a ? b ? 2c ? 8 ，2 2得 (x ? c )? y ? ( x ? c ) ? y ? 2c ? 8 ，即 x ? y ? 4 ? 5 c ，2 2 所以点 C 在此圆上，S ≤ c r ?2 策略五 两定点 A 、B ，动点 P 满足 PA ? ?(? ? 0, ? ? 1) 确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）PB例 6（1）略解：点 P 满足圆的方程为 x ? y ? 4 ，转化到直线与圆相交.（2）（2016 届常州一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点 P 在直线 x ? ? b ? 0 上，过点 P 作圆 O ，O 1 的两条切线，?3 切点分别为 A ，B ，若满足 PB ? 2PA 的点 P 有且仅有两个，则 b 的取值范围． ?－ 20 ,4 ??? 3 ? ?? ? 例 7（2017 年南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线 l （一条南北方向的直线）3.8 海里的A 处，发现在其北偏东 30°方向相距 4 海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追 击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的 3 倍．假设缉私艇和走私船均按直线方 向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据： sin17 °? 5.7446 ） （2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．北解：（1）略7（2）如图乙，以 A 为原点，正北方向所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系则 B ?2 ， 船相遇，则 PA ? 3 ，即 ? 3 ． PB 整理得， ? 9 ? ?9 3? 9x ? 4 ? y ? 4 ? 4 ， 所以点 P (x ，y ) 的轨迹是以点 9 ，为圆心， 4 2 为半径的圆． A x图乙 因为圆心 ?9到领海边界线 l ： x ? 3.8 的距离为 1.55，大于圆半径 3 ， 4 2 所以缉私艇能在领海内截住走私船． 策略六 由圆周角的性质确定隐形圆例 8 （1）已知 a , b , c 分别为 ?ABC 的三个内角 A , B , C 的对边， a ? 2 ，(a +b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C 则 ?ABC 面积的最大值为 ．略解：cos∠A＝1，∠A＝60°，设?ABC 的外接圆的圆心为O，外接圆的半径为2O 到BC 则边BC 上的高h 的最大值为则面积的最大值（2）（2017 年常州一模）在△ABC 中，∠C＝45o，O 是△ABC 的外心，若OC ?mOA ?nOB (m，n∈R)，则m＋n 的取值范围是．[略解：∠AOB＝2∠C＝90°，点C 在以O OA 的圆上（在优弧AB 上）．三、同步练习1．已知直线l : x ?2y?m ? 0 上存在点M 2, 0) , B(2, 0) 连线的斜率之积为?1 ，则实数m 的取值范围是．[?2．(2016 年泰州一模)已知实数a，b，c 满足a? 0 ，则ba ? 2c的取值范围为．[?3．已知?,t?R ，则(cos??t ? 2)? (sin??t ? 2)的取值范围是．1, 1] 4．已知圆C :(x? 3)?(y ? 4)?1和两点A(?m, 0), B(m, 0) (m ? 0) ．若圆C P PA ?PB ?1，则m 的取值范围是．7．（2016 年无锡一模）已知圆C : ( x? 2)?y? 4 ，线段EF 在直线l : y ?x ?1 上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A、B，使得PA ?PB ≤0 ，则线段EF 长度的最大值是．8．如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C 是圆x2＋y2＝1 上的动点(与点A,B 不重合)，连接BC 并延长至D，使得|CD|＝|BC |，则线段 PD 的取值范围 ． ( 2 , 2) 39．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A ( ? t ，0)(t ? 0) ， B (t ，0) ，点 C 满足 AC ? BC ? 8 ，且点 C 到直线 l ： 3x ? 4y ? 24 ? 0 的最小距离为 9 ，则实数 t 的值是 ．1 510．（2013 年江苏卷第 17 题改编）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 O (0, 0) ， A (0, 3) 如果圆 C : ( x ? a )? ( y ? 2a ? 4)? 1 上总存在点 M 使得 MA ? 2MO ，则圆心C 的横坐标 a 的 取值范围是．[0, 12 ] 511．已知向量 a 、b 、c 满足 a b ? a ? b = 3 ，若 (c ? 2a )(2 b ?3c ) ?0 ，则 b ? c 的最大值是 ．1 12．设点 A , B 是圆 x ? y ? 4 上的两点，点 C (1, 0) ，如果 ?ACB ? 90 ，则线段 AB 长度的取1 1]13．在 ?ABC 为边作等腰直角三角形 ABD (B 为直角顶点，C 、D )．当∠C 变化时，线段 CD 长的最大值为 ． 3 14．（2016 年南通三模）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C : ? x ? 1?? y ? 2 ，圆 C : ? x ? m ?? ? y ? m ?? m ，若圆 C 上存在点 P 满足：过点 P 向圆 作两条切线C PA 、PB ，切点为 A 、B ， ?ABP 的面积为 1，则正数 m 的取值范围是． 解：设 P (x ，y ) ，设 PA ，PB 2? ．△ABP 的面积 S = 1 PA sin 2? ? PA ?? PA ? 1．2 PC PC? PC ? PA ? 2 ，解得 PA ?所以 PC ? 2 ，所以点 P 在圆 (x ? 1) ? y ? 4 上．所以 m ? 2 ? 2 ，解得1≤ m ≤3 ? 2 3。

“隐形圆”与圆有关问题第一讲“形”现“圆”形问题如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，点P为等腰直角三角形ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围是__________．APB C圆是高中数学中一种简单但又非常重要的曲线，近几年高考题和高考模拟题中，经常会出现一类有关圆的题目，这类题目在条件中没有直接给出有关圆方面的信息，而是以隐性的形式出现，但我们通过分析和转化，最终都可以利用圆的知识求解．这类题目构思巧妙，综合性强,，充分考查了学生的数形结合、转化和化归等数学思想方法，处理这类题目关键在于能否把"隐形圆"找出来．圆作为几何图形，找“隐形圆”的一个角度可以从“形”的角度来发现．策略一由圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆例1（1）如果圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是________．（2）（2016年南京二模）已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则a 的取值范围为_________．（3）（2017年苏北四市一模）已知A B 、是圆221:1C x y +=上的动点，AB P 是圆222:(3(4)1C x y -+-=）上的动点，则PA PB +u u u r u u u r的取值范围是_________．（4）若对任意α∈R ，直线l ：x cos α＋y sin α＝2sin(α＋6π)＋4与圆C ：(x －m )2＋(y －)2＝1均无公共点，则实数m 的取值范围是_________．（5）（2016年南通三模）在平面直角坐标系xOy 中，圆()221:12C x y -+=，圆()()2222:C x m y m m -++=，若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，ABP ∆的面积为1，则正数m 的取值范围是_________．策略二 由动点P 对两定点A 、B 张角是090（1PA PB k k ⋅=-，或PA PB ⋅=uu r uu r0）确定隐形圆例2 （1）已知圆C ：22(3)(4)1x y -+-=和两点(,0)A m -，(,0)B m (0)m >， 若圆上存在点P ，使得∠APB =90°，则m 的取值范围是_________．（2）（海安2016届高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (−1，0)， Q (2，1)，直线l ：0ax by c ++=其中实数a ，b ，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上的射影为 H ，则线段 QH 的取值范围是_________．（3）设m ∈R ，直线1l ：0x my +=与直线2l ：240mx y m ---=交于点00(,)P x y ，则220002x y x ++的取值范围是_________．策略三 由圆周角的性质确定隐形圆例3 （1）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2a =，(a +b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C 则ABC ∆面积的最大值为_________．（2）（2017年常州一模）在△ABC 中，∠C ＝45o ，O 是△ABC 的外心，若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(m ，n ∈R )，则m ＋n 的取值范围是_________．策略四 由四点共圆的定理来确定隐形圆（如一个四边形的对角互补，则该四边形四点共圆）例4 设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，若a －c 与b －c 的夹角为60°，则|c |的最大值等于 ．【同步练习】1.点A ，B 分别在x 轴与y 轴的正半轴上移动，且AB ＝2，若点A 从(3，0)移动到(2，0)，则AB 中点D 经过的路程为 ．2．已知O 为坐标原点，向量20(,)OB =uu u r，22(,)OC =uuu r,)CA αα=uu r，则OA uu r 与OB uu u r夹角的范围为 ．3．已知直线20:l x y m -+=上存在点M 满足与两点(2,0)A -,(2,0)B 连线的斜率之积为1-，则实数m 的取值范围是 ．4．已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点P (x 0，y 0)在直线x －y －2＝0上，O 为坐标原点，若圆C 上存在一点Q ，使得∠OPQ ＝30°，则x 0的取值范围是________．5．如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点(与点A ,B 不重合)，连接BC 并延长至D ，使得|CD |＝|BC |，则线段PD 的取值范围 ．题第二讲 “数”现“圆”形解析几何中，找“隐形圆”的另一个角度可以从“数”的角度（求出其方程）来发现．策略五 直接由圆（半圆）的方程确定隐形圆例1 （1）(2016年泰州一模)已知实数a ，b ，c 满足222a b c +=，0c ≠，则2b a c-的取值范围为__________．（2）若方程3x ＋b 有解，则b 的取值范围是 ．（3）已知实数x 、y 满足x y -=，则x +y 的最大值是__________．策略六 直接由圆（半圆）的参数方程确定隐形圆例2（1） 已知,t R θ∈，则22(cos 2)(sin 2)t t θθ--+-+的取值范围是__________．（2）函数f (x02x π≤≤) 的值域是________．策略七 由两定点A 、B ，动点P 满足PA PB λ⋅=uu r uu r（λ是常数）,求出动点P 的轨迹方程确定隐形圆例3 已知圆22341:()()C x y -+-=和两点00(,),(,)A m B m -0()m >．若圆C 上存在点P ，使得1PA PB ⋅=u u r u u r，则m 的取值范围是__________．策略八 由两定点A 、B ，动点P 满足22PA PB +是定值确定隐形圆例4（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1，点A (0，2)，若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2＝10，则实数a 的取值范围是__________．（2） （2017届盐城三模）已知A B C D ，，，四点共面，2BC =，2220AB AC +=，3CD CA =u u u r u u u r ，则||BD u u u r的最大值为 ．策略九 由两定点A 、B ，动点P 满足01PAPBλλλ=>≠(,)确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）例5（1）（2016年南通一模）在平面直角坐标xOy 中，已知点(1,0),(4,0)A B ，若直线0x y m -+=上存在点P 使得12PA PB =,则实数m 的取值范围是________．（2）（2016届常州一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线0x b +-=上，过点P 作圆O ，O 1的两条切线，切点分别为A ，B ，若满足2PB PA =的点P 有且仅有两个，则b 的取值范围_________．（3）已知曲线C 的方程221x y +=，()2,0A -，存在一定点()(),02B b b ≠-和常数λ，对曲线C 上的任意一点(),M x y ，都有MA MB λ=成立，则点(),P b λ到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为_________．例6（2017年南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°5.7446） （2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．(例6)【同步练习】1．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0,1)．P 是圆C 上的动点，当|P A |2＋|PB |2取最大值时，点P 的坐标是 ．2．（2016年盐城三模）已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA CB λ⋅=u u u r u u u r（λ为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值是__________．3．（2016年苏北四市一模）已知)1,0(A，)0,1(B，)0,(tC，点D是直线AC上的动点，若2≤恒成立，则最小正整数t的值为．AD BD4．在平面直角坐标系xOy中，M为直线x＝3上一动点，以M为圆心的圆记为圆M，若圆M截x轴所得的弦长恒为4．过点O作圆M的一条切线，切点为P，则点P到直线2x＋y－10＝0距离的最大值为．5．已知x y ∈R 、且满足22246x xy y ++=，则224z x y =+的取值范围是 ．第三讲 “隐圆”综合隐藏圆问题可以和很多知识点结合，在三角形、向量、圆锥曲线等背景的一些问题中看上去和圆无关，但却隐藏着圆． 一、三角形中的隐形圆例1（1）（2017年南京、盐城一模）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为__________．（2）（2008年高考江苏卷）若=2AB AC ，，则ABC S ∆的最大值是__________．例2 （1）在ABC ∆中，BC ＝2，AC ＝1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD (B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧)．当∠C 变化时，线段CD 长的最大值为 ．（2）在ABC ∆中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ．二、向量中的隐形圆例3 （1）已知向量a 、b 、c 满足=a ，3==⋅b a b ，若()()0--=c a c b ，则-b c 的最大值是__________．（2）在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA u u u r=DB u u u r=DC u u u r，DA u u u r ⋅DB u u u r =DB u u u r ⋅DC u u u r =DC u u u r ⋅DA u u u r = -2，动点P ，M 满足AP u u u r=1，PM u u u u r =MC u u u u r ，则2BM u u u u r 的最大值是__________．例4 已知OA u u u r ，OB u u u r 为非零的不共线的向量，设111r OC OA OB r r=+++u u u r u u u r u u ur ．定义点集{|}||||KA KC KB KCM K KA KB ⋅⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．当1K 、2K M ∈时，若对任意的2r ≥，不等式12||||K K c AB u u u u u r u u u r≤恒成立，则实数c 的最小值为__________．例5 （2014年常州高三期末卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2216:O x y +=，点P 12(,)，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且0PM PN ⋅=uuu r uuu r，若PQ PM PN =+uu u r uuu r uuu r，则PQ uu u r 的最小值为__________．三、圆锥曲线中的隐形圆例6 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1O ，圆2O 均与x 轴相切且圆心1O ，2O 与原点O 共线，1O ，2O 两点的横坐标之积为6，设圆1O 与圆2O 相交于P ，Q 两点，直线l ：280x y --=，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为__________．例7 设椭圆E ：x 28＋y 24＝1，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A ，B ，且OA u u u r ⊥OB u u u r？【同步练习】1． 若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为_________．2．已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6，若对于点A (m ，0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP u u u r＋AQ u u u r ＝0，则m 的取值范围为 ．3．已知圆()22:11C x y -+=，点(3,0)D ，过动点P 作圆C 的切线PQ ，切点为Q ，若PD =，则△PCD 面积的最大值为__________．4．设点,A B 是圆224x y +=上的两点，点(1,0)C ，如果90ACB ∠=o ，则线段AB 长度的取值范围为__________．精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除5．已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足2133AQ AP AC =+u u u r u u u r u u u r ，则BQ u u u r 的最小值是__________．。

微专题08.02 “隐形圆”问题一、问题概述江苏高考考试说明中圆的方程是C 级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没有直接给出圆的相关信息，而是将圆隐藏于题目中的，隐晦地考查点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系。

要通过分析和转化，发现圆（或是圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称此类问题为“隐形圆”问题．如何发现“隐形圆”（或圆的方程）是本讲内容的关键，常见的有以下策略： 二、释疑拓展策略一 利用圆的定义（到定点距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆1．如果圆()()43222=--+-a y a x 上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是_________．2．【2016南京二模】已知圆O :122=+y x ，圆M ：()()1422=+-+-a y a x ，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得ο60=∠APB ，则a 的取值范围为_________．3．【2017苏北四市一模.13题】已知B A 、是圆1:221=+y x C 上的动点，3=AB ，P是圆()()143:222=-+-y x C 的取值范围是_________．策略二 动点对两定点A 、B 的张角是ο90()01=•-=•K K PB PA 或确定隐形圆1．【2014.北京高考】已知圆()()14322=-+-y x C ：和两点()()0,,0,m B m A -若圆上存在点P ，使得∠APB =90°则m 的取值范围是_________．2．（2017南京二模）在平面直角坐标系xoy 中，直线021=+-y kx l ：与直线02:2=-+ky x l 相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线04=--y x 的最大值为_________．3．【南通市通州区2017届高三下学期开初检测】设R m ∈，直线0:1=+my x l 与直线042:2=---m y mx l 交于),(00y x P ，则020202x y x ++的取值范围_________．策略三 两定点A 、B ，动点P 满足λ=•确定隐形圆1．（2017南通密卷3）已知点A （2，3），点B （6，-3），点P 在直线0343=+-y x 上，若满足不等式02.=+λ的点P 有两个，则实数λ的取值范围是_________．2．【盐城市2016届高三三模.11题】已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA CB λ⋅=u u u r u u u r（λ为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值是_________．策略四 两定点A 、B ，动点P 满足22PB PA +是定值确定隐形圆1．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆()()1222=+-+-a y a x C ：，点A(0,2),若圆C 上存在点M ，满足1022=+MO MA ，则实数a 的取值范围是_________．2．（徐州市2017届高三考前模拟卷）已知,,,A B C D 四点共面，2BC =，2220AB AC +=，3CD CA=u u u r u u u r，则||BD uuu r 的最大值为 ．延伸：到两个动点A 、B （A 、B 间距离定），动点P 满足22PB PA +是定值确定隐形圆 3．已知A 、B 为直线x y l -=:上两动点，且AB=4圆026622=+--+y x y x C ：满足1022=+PB PA 则线段AB 中点M 的横坐标取值范围为_________．策略五 已知两定点A 、B ，动点P 满足()10≠>=λλλ且PBPA确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）1．（2008江苏高考）满足条件AB = 2，AC = 2BC 的∆ABC 的面积的最大值是______． 2．【南通市2016届高三下学期第一次调研测试11题】在平面直角坐标系xOy 中，点)0,4(),0,1(B A .若直线0=+-m y x 上存在点P ，使得PB PA 21=，则实数m 的取值范围是 ．3．【常州市2016届高三第一学期期末考试】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋3y －b ＝0上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B ，若满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．策略六 相关点法确定隐形圆1．在平面直角坐标系xOy 中，若直线(y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =u u u r u u u r，则实数k 的最小值为_________．2．【苏北四市2018届高三第一次调研检测12题】在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是 ．策略七 利用圆周角的性质确定隐形圆1．已知，a ,b ,c 是△ABC 的三角内角A,B,C 的对边，2=a ，C b c B A b a sin )()sin )(sin (-=-+，则△ABC 面积的最大值是 ．2．【2017年常州一模】在△ABC 中，∠C=45。

“隐形圆”问题省通州高级中学一、问题概述省高考考试说明中圆的方程是c级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没有直接给出圆方而的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为"隐形圆”问题.二、求解策略如何发现隐形圆(或圆的方程)是关键，常见的有以下策略.策略一利用圆的左义(到左点的距离等于立长的点的轨迹)确左隐形圆例1 (1)如果圆仪一2“)2+0,—“一3)2=4上总存在两个点到原点的距离为1,则实数“的取值围是__________ -_6<“<05略解：到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知圆相交求解.(2)(2016年二模)已知圆O：异+)2=1,圆M：匕一")2+0—“+4)2=1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A, B,使得ZAPB = 60第则“的取值围为•解：由题意得O P = 2,所以P在以O为圆心2为半径的圆上，即此圆与圆M有公共点.因此有2-lvOM <2 + lnlW/+(" —4尸 W9=>2 —z+ 乙.2 2(3)(2017年北四市一模)已知A、B是圆C -.x2+y2=i上的动点，AB= 3, P是圆C2：(x-3)2+(y-4)2=l±的动点，则PA + PB的取值围是________________ . [7,13]略解：取的中点则GM二所以M在以G圆心，半径为[的圆上，且2 2PA + PB =2PM ,转化为两圆上动点的距离的最值.(4)若对任意aeR> 直线人 xcosa+ysina=2sin(a+ 71 )+4 与圆 C：(入一加)’+($— 3m)26=1均无公共点，则实数加的取值围是・(-1, 5)-------- 2 2略解：直线/的方程为：(Ll)cosa+(y- 3)sina=4, M(l, 3)到/距离为4,所以/是以M为圆心半径为4的定圆的切线系，转化为圆M与圆C含.注：直线/： （x-Mj ）cosa+（〉iyo ）sincc=R 为圆 M ： （x-x ）+（x-= F 的切线系.例2 （2017年市一模）在平面直角坐标系“Oy 中，已知B ，C 为圆x 2+y 2=4上两点.点A （l,l ）,且AB1AC.则线段BC 的长的取值弗]为 ________________解：法一（标解）：设BC 的中点为M （儿y ）,以的取值围是「|6- 2, 6+ 2~ .法二：以AB. AC 为邻边作矩形BACN,则BC=AN ,由矩形的几何性质（矩形所在 平而上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方和相等），WOB 2 +OC 2 =OA 2 +ON 2.所以 ON= 6,故N 在以O 为圆心，半径为6的圆上，所以BC 的取值围是「丫- 2, 6+ 2*变式1 （2014年髙三期末卷）在平而直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2+y 2=16,点 P （l,2）, M 、N 为圆O 上两个不同的点，且丽顾=0,若匝=丽+丽,则PQ 的最小值为 _________ ・3 3 - 5v 变式2 已知圆G ： X 2 + y 2 =9 ,圆C Q ： x'+y'=4,定点A P （l, 0）,动点A.B 分别在圆G 和圆G 上，满足4PB =90 \则线段A3的取值围 _____________ . [2 3-1,2 3 + 1] BO P X变式 3 已知向量 a 、b 、c 满足 a =3, D =2, c = l,(a-c)・(b-c) = 0 ,则 a-〃围为 __________ ・[2 3-L2 3 + 1|因为0炉=OM 2+BM 2 =0M 2 +AM 2,所以4 =十 +)' +(A -1)2 +(y _1)・, r 6- 2 圆，所以AM 的取值围是|2 B 耐CA3 ?为半径的0 26+ 21 rr 2 例2策略二动点P对两定点A、B角是90° (R PA k rB=-\，或PA PB=0)确左隐形圆例3 (1) (2014 年卷)已知圆 C： (x-3)2+(y-4)2=l 和两点A(-m, 0) , B 血 0), 若圆上存在点P，使得Z4P5 =90 ,则加的取值围是__________________ . [4,6]略解:由已知以A3为直径的圆与圆C有公共点.(2)(海安2016届高三上期末)在平而直角坐标系xOy中，已知点P(T, 0),Q(2 , 1),直线I： ax + by + c = 0其中实数a, b, c成等差数列，若点P在直线/上的射影为H,则线段QH的取值围是 _______________________ . [ 2,3 2]解：由题意，圆心C(l, 一2)在直线ax+by+c=0上，可得“一2b+c=0,即c=2b-a, 直线/：(加一b)x+(2b—c)y+(2c—")=0,即 a(2*+y—3)+b(4—x)=0,2x + y - 3 = 0.由k ' n ，可得x=4, y= — 5,即直线过定点M(4, —5),4-x = 0由题意，H在以PM为直径的圆上，圆心为4(5, 2),方程为(x-5)2+(y~2)2=50, VICAI=4 2 ,・・.CH 最小为 5 2 -4 2 = 2 , CH 最大为 4 2 +5 2 =9 2 ,.・.线段CH长度的取值围是[2, 9 2].(3)(通州区2017届髙三下开学初检测)设meR,直线厶：x + ^= 0与直线12: mx -y-2/n -4 = 0 交于点 P(x0,y0),则 x02 + y02 + 2x0的取值围是___________ . [12-4 10J2 + 4 10]略解:h过泄点0(0, 0), /2过泄点A(2, -4),则P在以04为直径的圆上(除去一点)，变式(2017年二模)在平而直角坐标系xOy中，直线厶：Mp+2=0与直线/2： x+灯一2=0相交于点P,则当实数k变化时，点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为______________________ . 3 2策略三两泄点A、B,动点P满足PA PB = k确定隐形圆例4 (1) (2017年密卷3)已知点A(2,3)，点B(6 9 ，点P在直线3x-4y + 3 = 0上, 若满足等式丽•丽+ 2九=0的点P有两个，贝IJ实数九的取值围是______________________ .解：设 P (x, y),则AP = (x-2,y-3)t BF = (x — 6.y+ 3),根据AP BP + 2X = 0»有(x-4)‘ +尸=13-2九仏 < 号].由题意圆：(X-4)2+/=13-2X^< 2 j圆与直线3x-4y + 3 = 0相交, 13、圆心到直线的距离」二:；J 心，所以2.(2) (2016年三模)已知线段AB的长为2,动点C满足G4 -CB =V(X为常数)，且点C总不在以点B为圆心，1为半径的圆，则负数入的最大值是・-彳2 4略解:动点c满足方程x2 + r=k + i.策略四两泄点A、B,动点P满足PA2 + PB2是泄值确泄隐形圆例5 (1)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C： (X—a)2+(y—a4-2)2= 1,点A(0, 2),若圆C上存在点M,满足MA2+MO~10,则实数"的取值围是________________________________ . [0, 3]略解：M满足的方程为A2+(y-l)2=4,转化为两圆有公共点(2) (2017年.一模)在MBC中，A, B, C所对的边分别为仏,若0 5tr+^+2c2=8,则SABC而积的最大值为_______________ ・5解：以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建系.设 A(-'\0), B(° ,0) , C(x,y),则由a2+b2+^2 =8 t2 2得(x-C)2 +y2 +(x+ C) + y2 + 2c2=8 » 即x2 + y2 = 4- c2,2 ' 2 ' 4所以点(7 在此圆上，SW'U 4-5C2=1(4-5c2)5c2 52 2 4 5 4 4 5策略五两楚点A、B,动点P满足PA=X(X>OA*1)确左隐形圆邙可波罗尼斯圆) PB例6 (1)略解：点P满足圆的方程为x2 + y2=4,转化到直线与圆相交.(2 ) (2016届一模)在平而直角坐标系xOy中，已知圆O： ?+y2=l,0)： (x-4)2+y2=4.动点P在直线x+ 3〉，-方=0上，过点P作圆O, 0】的两条切线,切点分别为A ，B,若满足PB = 2PA 的点P 有且仅有两个，则b 的取值围例7 （2017年二模）一缉私艇巡航至距领海边界线/ （一条南北方向的宜线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追 击.已知缉私艇的最大航速是龙私船最大航速的3倍.假设缉私艇和走私船均按直线方 向以最大航速航行.（1） 若定私船沿正向逃离，试确怎缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海拦截 成功；（参考数据：sin 17° « 3 , 33 "7446 ）6（2） 问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海成功拦截？并说明理由.北 /领海公海B30°解：（1）略 （例7）（2）如图乙，以A 为原点，正北方向所在的直线为y 轴建立平而直角坐标系X 。

隐形圆（引圆）最值问题：我们首先要知道圆上一动点到平面内一定点距离的何时取得最小值和最大值；1》当定点在圆外时，如图所示动点P是在圆o上运动，定点C在圆o外，连接CO并延长，连接OP；我们令OC=d，OP=r；（1）当P，O，C三点不共线时P，O，C三点围成三角形，OC-OP<PC<OC+OP；即d-r<PC<d+r;（2）当P，O，C三点共线时，①P在P’处时，OC-OP=PC,即d-r=PC；②P在P1处时，OC+OP=PC,即d+r=PC；综上可得d-r≤PC≤d+r，PC min=d-r，PC max=d+r.2》当定点在圆内时（不与圆心重合）如图所示：动点P是在圆o上运动，定点C在圆o内，连接CO并双向延长，连接OP；我们令OC=d，OP=r；（1）当P，O，C三点不共线时P，O，C三点围成三角形，OP-OC<PC<OC+OP；即r-d<PC<d+r;（2）当P，O，C三点共线时，①P在P’处时，OP-OC=PC,即r-d=PC；②P在P1处时，OC+OP=PC,即d+r=PC；综上可得r-d≤PC≤d+r，PC min=r-d，PC max=d+r.1.折叠引圆：如图所示在矩形ABCD中，AB=4，AD=6.点E为AB边中点，F为边BC上一动点，以EF为折痕将三角形BEF折叠点B落在B’处，求线段DB’最小值.解析：由题中条件可知折痕EF 满足一定一动的特点，所以满足折叠引圆，根据折叠的性质我们可得到EB=EB ’=21AB=2,根据圆的定义可知，动点B ’是以E 为圆心，2为半径的圆上运动，而B ’的运动又与动点F 有关，我们如果我们将F 看成是从点B →C 的运动可得到B ’的轨迹，如下图所示，B ’的运动并不是完整的圆，而是一部分圆弧。

根据圆上一动点到圆外一定点的最小值分析可知，B ’D 取得最小值时，B ’，D ，E 三点共线，B ’在G 处；所以B ’D min =DE-EG,在直角三角形ADE 中，DE=，因为EG=EB=2，所以B ’D min =-2例1. 如图所示，四边形ABCD 是菱形，∠A=60o，AB=6，点E 是边AD 中点，动点F 是在线段AB 上由A →B 运动,到达B 点停止运动，102AE AD 22=+102连接EF，以EF为折痕将△AEF折叠，点A落在A’处.(1)求A’C长度最小值.(2)求A’的路径长.例2.如图所示矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E是AD边上的中点，点F是AB边上的动点，连接EF，以EF为折痕将△AEF折叠，点A落在A’处，求△A’BC的面积最小值.定角定弦引圆（隐圆）：如图所示，在平面内存在定点A，B.点P是平面内的一动点，且点∠P=a.像这类动点处存在一个角度恒为定角，且该角能放在一个三角形内，所对边为定边，那么该动点就是在圆上运动；这个定角就可以理解为圆周角，它所对的定边就是该圆周角所对的弦.（1）直角类型：如图1所示，在平面内存在定点A，B.点P是平面内的一动点，且点∠P=90o，根据上面定角定弦可知，∠P是圆周角，AB是它所对弦，因为∠P=90o，图1 图2（2）锐角类型:如图1所示，在平面内存在定点A，B.点P是平面内的一动点，且点∠P=a,且a<90o，根据上面定角定弦可知，∠P是圆周角，AB是它所对弦，此时的AB并不是直径，我们知道想要画出这个P所在的圆我们需要圆心和半径，或者找到直径；因为A，P，B三点都是圆上的点，∠A，∠B也是圆周角，点P在运动的时候∠A，∠B的大小是会发生改变的，，如图2所示.图1 图2（3）钝角类型：如图1所示，在平面内存在定点A，B.点P是平面内的一动点，且点∠P=a,且a>90o，根据上面定角定弦可知，∠P是圆周角，AB是它所对弦,此时我们发现钝角是无法构造到直角三角形中去的，那么我们就要想办法去转化，我们可以通过四点共圆的特点去转化，我们可以图1 图2图3例1. 如图所示，在矩形ABCD 中AB=8，AD=6，点Q 是边AD 边上一动点，连接CQ ，过点D 作DP ⊥CQ ，交CQ 于点P .(1) 求线段BP 最小值.(2) 如图2所示，点M 也是边AD 上的动点，求BM+PM 最小值.(3) 如图2所示，点M 是边AD 上的动点，求AM+PM 最小值21图1 图2例2.在三角形ABP中，AB=6，∠P=60o，求AP+BP最大值.例3.在等边三角形ABC中，D、E分别为边AC，AB上的动点，且AD=BE；BC=6，连接CE、BD交于点F.（1）.求∠CFD.（2）.求AF最小值.2.瓜豆原理引圆：瓜豆原理：从动点的运动状态与主动点吻合（主动点在直线上运动，从动点就会在直线上运动；主动点在圆上运动，从动点就会在圆上运动）(1)如图所示点A 、B 都是定点，点D 是圆B 上一动点，连接AD ，取AD 上一点E ，使=k ，此时点D 在圆B 上运动的时候就会带着点E 一起运动，那么点D 就是主动点，点E 就是从动点；（圆B 大小不变，k 为定值）∵=k （主动点与从动点之间的关联所在）∵点A 是定点∴我们可以将点E 所在图形是点D 所在图形关于点A 位似得到的如下图：圆的位似可以对其半径进行位似，即取AB 上一点C ，使=k ∵∠A=∠A ，==k ，∴△ABD ∽△ACE ，∴==k∴CE=kBD 为定值；所以点E 就是以点C 为圆心CE 为半径的圆上运动AD AEAD AEAB ACAD AE AB AC BD CE ABAC(2).如图所示，点A 、B 是平面内定点，点D 是圆B 上一动点，∠DAE=a ，=k ，此时点D 在圆B 上运动的时候就会带着点E 一起运动，那么点D 就是主动点，点E 就是从动点；（圆B 大小不变，k 为定值，a 角度为定值）这个可以看成（1）中图形旋转得到的；取AB 上一点C ，使=k ，将AC 以点A 为旋转中心逆时针旋转a得到C ’,易证△ACE ’∽△ABD ，所以==k ，即C ’E=kBD 所以点E 为C ’为圆心C ’E 为半径的圆上运动例1．如图，点A ，B 的坐标分别为(60)(06)A B C ，，，，为坐标平面内一点，BC M 为线段AC 的中点，连接OM ，当OM 取最大值时，点M 的坐标为__________________． AD AEAB ACBD E C'ABAC2．如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A 时，线段BM的中点N运动的路径长为。

隐形圆的5种情况
隐形圆的5种情况是对角互补，四点共圆；定弦定角，点在圆上；定点定长。

隐形圆的应用是中考中的常见题目，这类题目在条件中没有直接给出有关圆的信息，但我们通过分析和转化，最终都可以利用圆的知识求解。

这类题目构思巧妙，综合性强，它将复杂的多边形求角问题转化为圆内的求角问题，体现了转化和化归的数学思想，处理这类题目，关键在于能否把“隐形圆”找出来。

考情分析：
圆是初中数学几何中最重要的知识点之一，也是难点之一。

常考的知识点有：直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系（部分地区已经删除该知识点）；垂径定理；弦、弧、圆心角、圆周角的关系；弧长公式；扇形的面积公式等。

除了小题中常考的面积问题以及解答题中的证明问题外，常常会以压轴题的形式来考察圆的各种性质。

而“隐形圆”近年来也颇受出题者的青睐，可以解决最值问题等相关类型的题目。

“隐形圆”模型有两种最基本的模型图。