【公开课教案】“隐形圆”的探析

第6节 隐形圆知识与方法在解析几何问题中，若题干中某个动点的轨迹是圆，这类问题我们称之为隐形圆问题，解题的关键是发现隐形圆，运用圆的性质来求解答案.本专题后续内容将详细归纳隐形圆常见的几类题型.典型例题【例1】若圆()()2214x a y a -+-+=上存在点P ，使得P 点到原点的距离为3，则实数a 的取值范围为________.【解析】问题等价于圆22:9O x y +=与圆()()22:14C x a y a -+-+=有交点，所以2121r r OC r r -≤≤+，易求得()221OC a a =+-()22115a a ≤+-≤，解得：30a -≤≤或14a ≤≤. 【答案】[3,01,4-【例2】已知圆()22:44C x y +-=和两点(),0A m -、(),0B m ，若圆上存在点P ，使得0PA PB ⋅=，则正实数m 的取值范围为______.【解析】0PA PB ⋅=⇒点P 的轨迹方程是圆222:O x y m +=，问题等价于圆O 与圆C 有交点，所以2121r r OC r r -≤≤+，从而242m m -≤≤+，结合0m >可解得：26m ≤≤.【答案】[]2,6【反思】设A 、B 为两个定点，则由PA PB ⊥或0PA PB ⋅=所确定的点P 的轨迹是圆.【例3】在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2M 和()0,1N ，若直线20x y a -+=上存在点P 使2PM PN =，则实数a 的取值范围为______.【解析】设(),P x y ，则由|2PM PN =()()2222221x y x y +-+-222439x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以问题等价于直线20x y a -+=与圆222439x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭有交点，故222335a d -⨯+≤，425425a -+≤≤. 【答案】425425⎡-+⎢⎣⎦ 【反思】若动点P 满足PAPBλ=()01λλ>≠且，其中A 、B 是两个定点，则点P 的轨迹是圆. 变式 在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2b =，2a c =，则ABC 的面积的最大值为______.【解析】以AC 中点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则()1,0A -，()1,0C ，设(),B x y , 因为2a c =，所以2BC AB =()()2222121x y x y -+=++化简得：()22516039x y y ⎛⎫++=≠ ⎪⎝⎭，所以点B 的轨迹是以5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，43为半径的圆（不含x 轴上的两个点），如图，由图可知，()max 1442233ABC S =⨯⨯=.【答案】43【例4】已知点()2,2A ，()4,2B m ，点P 在直线20x y -+=上，若满足2PA PB ⋅=的点P 有两个，则实数m 的取值范围为______.【解析】设(),P x y ，则()2,2PA x y =--，()4,2PB x m y =--， ()()()()224222PA PB x x y m y ⋅=⇒--+--=，整理得点P 的轨迹方程为圆()()222:3124C x y m m m -+--=-+， 所以问题等价于直线20x y -+=与圆C ()2312242m m m -++<-+，解得：223m <--232m >. 【答案】()(),223232,-∞---+∞【反思】由PA PB λ⋅=可确定隐形圆，其中A 、B 是两定点.【例5】设点()0,2A ，圆()()22:24C x m y m -++-=，若圆C 上存在点M ，使得2220MA MO +=，其中O 为原点，则实数m 的取值范围为______.【解析】设(),M x y ，则由2220MA MO +=可得()2222220x y x y +-++=，化简得：()2219x y +-=，所以问题等价于圆C 与圆()2219x y +-=有公共点， 故()()221215m m ≤-+-，解得：21m -≤≤或25m ≤≤. 【答案】[][]2,12,5-【反思】22PA PB +是定值可确定隐形圆，其中A 、B 是两定点.【例6】在平面直角坐标系xOy 中，已知B 、C 为圆229x y +=上两点，点()2,2A ，且AB AC ⊥，则线段BC 的长的取值范围为______.【解析】如图1，设BC 中点为(),M x y ，则2BC AM =，OM BC ⊥，所以222OM MB OB +=，又MB AM =，所以222OM AM OB +=，故()()2222229x y x y ++-+-=，整理得：()()225112x y -+-=，从而点M 的轨迹是圆，圆心为()1,1T ，且点A 在该圆内，2AT =101022AM ≤≤因为2BC AM =，1021022BC -≤解法2：如图2，作矩形ABQC ，设(),Q x y ，由矩形性质知，2222OA OQ OB OC +=+，所以22899x y ++=+，化简得：2210x y +=，从而点Q 102OA =10221022AQ ≤+，又BC AQ =，1021022BC -≤【答案】10221022⎡⎣，【反思】矩形性质：设P 是矩形ABCD 所在平面内任意一点，则2222PA PC PB PD +=+.【例7】设a ∈R ，直线1:10l x ay -+=与直线2:20l ax y a +-+=交于点()00,P x y ，则2200021x y y +--的取值范围为______.【解析】如图，1l 过定点()1,0A -，2l 过定点()1,2B -且12l l ⊥，故点P 在以AB 为直径的圆()2212x y ++=上，设()22001d x y +-()222220000021122x y y x y d +--=+--=-，记()0,1T ，则d PT =，易求得圆上动点P 到定点T 的距离满足2222PT -≤+2222d ≤+，所以2642642d -≤+，故24422442d --≤+，即220021x y y +--的取值范围为44242⎡-+⎣,.【答案】44242⎡-+⎣,强化训练1.（★★★）若圆()()2214x y m -+-=上存在点P ，使得点P 到点()2,0Q 的距离为1，则实数m 的取值范围为______.【解析】问题等价于已知的圆与圆()22:21Q x y -+=有交点，所以2113m ≤+，解得：2222m -≤≤【答案】22,22⎡⎤-⎣⎦2.（★★★）已知圆()222:4C x y r +-=()0r >，点()2,0A -、()2,0B ，若圆C 上有且仅有一个点P ，使得0PA PB ⋅=，则r 的值为______.【解析】设(),P x y ，则P ()2,PA x y =---，()2,PB x y =--，因为0PA PB ⋅=，所以()()()2220x x y ---+-=，整理得点P 的轨迹方程为224x y +=，故问题等价于圆C 和圆22:4O x y +=相切，从而24r -=或24r +=，结合0r >可解得：6r =或2.【答案】6或23.（★★★）在平面直角坐标系xOy 中，已知()2,0A -，()1,1B ，若直线30x y a -+=上存在点P 使2PA PB =，则实数a 的取值范围为______.【解析】设(),P x y ，则由2PA PB =可得()()()22222211x y x y ++=-+-，化简得：()22440239x y ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭，故问题等价于直线30x y a -+=与圆()22440239x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭有交点， 423210310a-⋅+，解得：142633a -≤≤. 【答案】1426,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4.（★★★★）在ABC 中，若2AB =，2AC BC ，则ABC S 的最大值为______. 【解析】以AB 中点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则()1,0A -，()1,0B ，设(),C x y ， 由2AC BC ()()2222121x y x y ++=-+整理得：()22:38M x y -+=()0y ≠ 所以点C 的轨迹是以()3,0M 为圆心，2x 轴的交点），如图，由图可知，()max 1222222ABC S=⨯⨯= .【答案】25.（★★★）设点()2,0Q ，圆()()22:21C x y a -+-=，若圆C 上存在点P ，使得2210PQ PO +=，其中O 为原点，则实数a 的取值范围为______. 【解析】设(),P x y ，则由2210PQ PO +=可得()2222210x y x y -+++=， 化简得：()2214x y -+=由题意，圆()22:14M x y -+=与圆C 有交点，所以13MC ≤≤ 而()()2221201MC a a -+-+2113a ≤+≤，解得：2222a -≤≤【答案】2222⎡⎤-⎣⎦,6.（★★★）已知AB 是圆()()22:224C x y -+-=的弦，且3AB =，若存在线段AB 的中点P ，使得P 关于x 轴的对称点Q 在直线30kx y ++=上，则实数k 的取值范围为______. 【解析】31AB PC ==⇒点P 的轨迹是圆()()22221x y -+-=， 因为P 、Q 关于x 轴对称，所以点Q 的轨迹方程为()()22221x y -++=， 从而问题等价于此圆与直线30kx y ++=有交点，222311k k -+≤+，解得：403k -≤≤【答案】4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7.（★★★）已知直线1:0l kx y +=()k ∈R 与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆()()22:232N x y +++=上的动点，则AB 的最大值为（ ）A.32B.52C.522+D.322+【解析】由题意，直线过1l 原点，直线2l 过定点()2,2P ，且12l l ⊥，所以点A 的轨迹是以OP 为直径的圆，即圆()()22:112M x y -+-=如图，由图可知，max 22522AB MN =+【答案】C8.（★★★★）已知圆22:16Q x y +=，点()1,2P ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且0PM PN ⋅=若PQ PM PN =+，则PQ 的最小值为______.【解析】如图，因为0PM PN ⋅=，所以PM PN ⊥，故四边形PMQN 为矩形， 设MN 的中点为S ，连接OS ，则OS MN ⊥，所以222216OS OM MS MS =-=-， 又PMN 为直角三角形，所以MS PS =，故2216OS PS =-①，设(),S x y ，则由①可得()()22221612x y x y ⎡⎤+=--+-⎣⎦，整理得：()22127124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，从而点S 的轨迹为以1,12T ⎛⎫⎪⎝⎭33为半径的圆，显然点P 在该圆内部，所以min 33335PS PT =， 因为2PQ PS =，所以min335PQ=解法2：如图，因为0PM PN ⋅=所以PM PN ⊥，故四边形PMON 为矩形，由矩形性质，2222OM ON OP OQ +=+， 所以216165OQ +=+，从而33OQ = 故Q 点的轨迹是以O 为圆心，33 显然点P 在该圆内，所以min33335PQOP ==【答案】3359.（★★★★）在平面直角坐标系xOy 中，已知两个圆224x y +=和229x y +=，定点()1,0P ，动点A 、B 分别在两个圆上，满足90APB ∠=︒，则AB 的取值范围为______. 【解析】（用矩形性质）：如图，以P A 、PB 为邻边作矩形PAQB ， 由矩形性质，有2222OA OB OP OQ +=+即2491OQ +=+，所以3OQ =故点Q 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，显然点P 在圆内，易知AB PQ =， 所以min min 23231AB PQ OP ===，max max 23231AB PQ OP ==+=.【答案】231,231⎡⎤⎣⎦。

初中数学隐圆的教案教学目标：1. 理解隐圆问题的概念，掌握解决隐圆问题的基本方法；2. 培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力；3. 引导学生运用数学知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

教学内容：1. 隐圆问题的定义和特点；2. 解决隐圆问题的基本方法；3. 隐圆问题在实际中的应用。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过向学生展示一些生活中的圆形物体，如硬币、篮球等，引导学生关注圆形的特征和性质；2. 教师提出隐圆问题的定义，让学生初步了解隐圆问题。

二、探究隐圆问题的基本方法（15分钟）1. 教师引导学生观察一些隐圆问题，如在三角形中构造一个圆，使得该圆与三角形的三个顶点相切；2. 教师引导学生思考如何解决这个问题，学生可以通过画图、讨论等方式尝试解决这个问题；3. 教师引导学生总结解决隐圆问题的基本方法，如构造辅助线、利用圆的性质等。

三、解决实际问题（15分钟）1. 教师提出一个实际问题，如在一条固定直线上，如何构造一个圆，使得该圆与直线上的两个点相切；2. 教师引导学生应用隐圆问题的解决方法，尝试解决这个问题；3. 教师引导学生总结解决实际问题的方法和步骤。

四、巩固练习（10分钟）1. 教师给出一些隐圆问题的练习题，让学生独立解决；2. 教师引导学生互相交流解题思路和解题方法，共同提高解题能力。

五、总结和反思（5分钟）1. 教师引导学生总结本节课所学的内容，让学生明确隐圆问题的定义和解决方法；2. 教师引导学生反思自己在解决隐圆问题时的思考过程和解决问题的能力，鼓励学生积极思考和探索。

教学评价：1. 教师通过课堂讲解、练习和实际问题解决等方式，评价学生对隐圆问题的理解和掌握程度；2. 教师通过学生的课堂表现、练习和总结反思等方式，评价学生的思考能力和解决问题的能力。

教学资源：1. 教师准备一些隐圆问题的图片和实例，用于引导学生观察和思考；2. 教师准备一些隐圆问题的练习题，用于巩固学生所学知识。

2020年第9期中学数学研究•51•例析四类“隐形圆”问题福建省福安市第一中学(355000)叶珊近年来，随着对圆的方程加大的考查力度，许多“隐形圆”的问题不断呈现.所谓的“隐形圆”，就是在条件中没有直接给出有关圆的信息，而是隐藏在题目的信息中，要通过分析和转化，才能发现圆(或圆的方程)，从而可以利用圆的知识来解决问题.下面举例介绍四类常见类型，供参考.一、隐含着圆的定义或圆的方程例1若圆C：(x-2a)2+(y-a-3)2=4上，总存在两个点到原点的距离为1,则实数a的取值范围是________•解析:设P(%,y。

)为圆上一点，且PO=1,则有%o+To=1,即点P在以原点为圆心，1为半径的圆上，而点P又在圆C：(x-2a)2+(y-a-3)2=4上，依题意，这样的P点有两个，即两圆相交，所以2 -1W y(2a)2+(a+3)2W2+1,解得-务W aW0,即实数a的取值范围是[-务,0].评注:从题设中找到了动点到定点的距离为定长，这就是圆的定义，抓住它建立圆的方程，从而再利用两圆相交的性质列出不等式求出参数范围就变得很容易了.例2已知A,B,C,D四点共面,BC=2,AB2+ AC2=20,CD=3C4,4t I BD\的最大值.解析：以DC所在的直线为％轴，以线段BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，又BC=2,可设B(-1,O),C(1,O).设A(衍，yj,由4於 +AC2=20得[+I)2+j)]+[(«：!-I)2+ji]=20,化简得+y2=9戾).设D(x,y),^CD=3莎得(％-1,y)=3(冋-1,刃)，所以％i=*(%+2)且九=将它们代入X)式得仏+2)2+y2=81,即D点在以(-2,0)为圆心,9为半径的圆上，而I BD\就是圆上的动点D到点B(-1,O)的距离，根据圆的性质可知丨丽I的最大值就是圆心(-2,0)到点-1,0)加上半径，即1+9=10,所以⑷—=10.评注:依据题设中的平方和的条件得到了点A 在一个已知圆上运动，再由给出的向量的线性关系，使问题转化D点在另一个已知圆上运动，如果点B 固定，则就变成一个非常熟悉的问题了.二、含有线段长的比式例3已知圆C：(%-2)2+y2=2,直线l.y= k(x+2)与％轴交于点A,过Z上一点P作圆C的切线，切点为T,若PA=#PT,则实数％的取值范围是解析：由于直线l-.y=k(x+2)与％轴交于点A(_2,0),则刃=g设P(%,y),由PA=匹PT得/(X+2)2+y2=#V(x-2)2+y2-2,化简得仏-6)2+y2=36,即点P在以(6,0)为圆心,6为半径的圆上，又点P在直线Z上，所以直线Z 与圆相交或相切，则d W r,即I§律+「丄w6,化简得7號W9,解得-導導，所以实数％的取值范围是[-昭，昭].点评：这是一个“阿波罗斯尼圆”的问题，解题中抓住了给出的线段长等式，通过设动点，建立方程，然后再化简方程找到了一个隐含圆，这就将问题转化为直线与圆有交点问题了.例4已知点P到两定点M(_1,O)JV(.距离的比为点N到直线PM的距离为1,求直线PN的方程.解析:设P的坐标为仏,y),由题意有■^十=Q,即a/(%+1)2+j2=-J1•a/(%-1)2+j2,整理得/+y2_6%+1=0,因为点N到PM的距离为1,I MN\=2,所以厶PMN=30。

微专题22“隐形圆”问题1．能用探究轨迹的思想挖掘题目中的隐形圆问题．2．能通过圆的几何意义等思想方法解决与圆有关的范围(最值)问题．3．深刻体会“等价转化”、“数形结合”等数学思想方法，能用代数方法处理几何问题．考题导航题组一利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆1．如果圆(x－2a)．2．已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则a的取值范围为__________．→＋OB→的1．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝23，则||OA 最大值是________．1．已知圆C：(x－3)，则正数m的取值范围是________．2．已知点A (2，3)，B (6，－3)，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足等式AP →·BP →＋2λ＝0的点P 有两个，则实数λ的取值范围是________．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (－1，0)，Q (2，1)，直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，其中实数a ，b ，c 成等差数列，若点P 在直线l 上的射影为H ，则线段QH 的取值范围是________．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a )MA 2＋MO 2＝10，则实数a 的取值范围是________．1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1，0)，B (1，2)． (1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2)在圆C 上是否存在点P ，使得P A 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．1．已知点M (x ，y )与两个定点O (0，0)，A (3，0)的距离之比为12，那么点M 的坐标满足的关系为_____．2．已知点A (0，1)，B (1，0)，C (t ，0)，D 是直线AC 上的动点，若AD ≤2BD 恒成立，则最小正整数t 的值为________．1．如图，已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5，0)，在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B (不同于点A )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有PBP A为一常数，则满足条件的点B 的坐标为________．冲刺强化训练(22)1．已知点A (－1，0)，B (1，0)，动点M (x ，y )满足MA ＝2MB ，则动点M 的轨迹方程是_________． 2．若圆O 1与圆O 2的半径都是1，O 1O 2＝4，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，过动点P 分别作圆O 1与圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得PM ＝2PN ，则动点P 的轨迹方程是______________．3．已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|P A →＋PB →|的取值范围为____________．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，0)，B (1，0)均在圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝r 2外，且圆C 上存在唯一一点P 满足AP ⊥BP ，则半径r 的值为________．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为________．6．已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ(λ<0)，若点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值是________．7．已知点A (－1，0)，B (1，0)，过定点M (0，2)的直线l 上存在点P ，使得P A →·PB →<0，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1，点A (0，2)，若圆C 上的点M 均满足MA 2＋MO 2>10，则实数a 的取值范围是________．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a )2＝16上的两个动点，且AB ＝211．若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得P A →＋PB →＝OC →，则实数a 的值为 ________．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2＋y 2＝4上两点，点A (1，1)，且AB ⊥AC ，则线段BC的长的取值范围是________．11．已知定点O (0，0)，M 是圆(x ＋1)2＋y 2＝4上的任意一点，问：是否存在不同于点O 的定点A ，使得MOMA为常数？若存在，试求出所有满足条件的点A 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图所示，A ，B 是两个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16千米处，AB 的南面为居民生活区． 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面建一个垃圾发电厂P ． 垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求(A ，B ，P 可看成三个点)：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点P 到直线AB 的距离要尽可能大)． 现估测得A ，B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？。

隐圆的教学设计教材分析：何谓隐圆？有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解.苏教版高中数学新教材对圆的方程这节教学内容中较老教材大量加入了隐圆的相关知识点，阿波罗尼斯圆出现在例题中，定义出现在思考中。

而且课后习题中也见多种形式的隐圆，圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.而圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对接下来直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义.直线与圆位置关系是直线、圆几何关系中最重要的内容，也是高考的热点内容之一.学情分析：圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的.虽然学生在前一章“直线与方程”中初步体会了解析几何研究问题的一般思路和数形结合的思想方法。

但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.圆的方程这一章就是解决两大问题：（1）如何建立圆的方程？（2）如何利用圆的方程研究圆的性质？通过本节隐圆模式的探索与学习,能使学生从题干中提取出有效的隐形圆的信息,进行加工处理,从而解决问题.1.学习目标1.根据确定圆的几何要素，掌握圆的方程；2.能使用代数的方法导出阿波罗尼斯圆的方程，并能对其做出几何解释；依此用代数及几何的方法归纳与总结其它几种类型的隐性圆；3.识别隐性圆，并能利用几何法简化研究直线与圆及圆与圆的位置关系，让学生充分体会解析几何的特点“代数的方法研究几何性质，利用几何性质可简化运算”。

2.教学重点与难点教学重点：归纳总结隐圆的几种类型。

教学难点：利用隐圆解决有关直线与圆及圆与圆有关的网络交汇问题。

3.教学过程3.1 类型一：利用圆的定义(到定点O的距离等于定长r的动点P的轨迹即OP=r)确定隐形圆书本57页第13题：如图，长为2（是正常数）的线段的两个端点A，B分别在互相垂直的两条直线上滑动，求线段的中点M的轨迹.分析：以两个互相垂直的直线作为轴，其交点为坐标原点M，则可得,取的中点，从而由圆的定义知线段的中点M的轨迹就是以为圆心，为半径的一个圆.书本57页第14题：已知点，若点P是圆 =4上的一个动点，点是线段AP的中点，求点的轨迹方程。

初中隐圆问题专题教案1. 知识与技能：（1）理解隐圆问题的概念，认识隐圆问题在初中数学中的重要性；（2）掌握解决隐圆问题的基本方法和技巧；（3）能够运用圆的有关性质和定理解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳，培养学生的逻辑思维能力；（2）运用数形结合的思想，提高学生解决问题的能力；（3）培养学生合作交流、解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和自信心；（2）培养学生克服困难的意志和团队合作的精神；（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 隐圆问题的概念及分类2. 隐圆问题的解决方法（1）利用圆的性质解决隐圆问题；（2）利用圆的定理解决隐圆问题；（3）利用数形结合解决隐圆问题。

3. 典型隐圆问题分析（1）三角形内切圆问题；（2）四边形外接圆问题；（3）圆与圆的位置关系问题。

三、教学过程1. 导入新课通过展示一些生活中的隐圆问题，引导学生关注隐圆问题，激发学生的学习兴趣。

2. 自主学习让学生通过阅读教材，理解隐圆问题的概念，了解隐圆问题的分类。

3. 合作交流让学生分组讨论，总结解决隐圆问题的基本方法和技巧。

4. 课堂讲解讲解典型隐圆问题，引导学生运用圆的性质和定理解决问题。

5. 练习巩固布置一些相关的练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固所学内容。

6. 总结反思让学生总结本节课所学内容，反思自己在解决问题中的不足之处。

四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考问题的方式、合作交流的能力等。

2. 练习反馈：检查学生在练习中的解答情况，了解学生对知识的掌握程度。

3. 课后总结：收集学生的课后总结，了解学生的学习效果和反思情况。

五、教学资源1. 教材：初中数学教材相关章节；2. 课件：隐圆问题相关的课件；3. 练习题：隐圆问题相关的练习题；4. 生活中的隐圆问题案例：例如自行车轮胎、篮球等。

六、教学建议1. 注重引导学生观察、分析、归纳，培养学生的逻辑思维能力；2. 注重培养学生的数形结合思想，提高学生解决问题的能力；3. 鼓励学生合作交流，培养学生的团队合作精神；4. 关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在课堂上得到锻炼和提高。

初中数学隐圆模型教案教学目标：1. 了解隐圆模型的概念及其在几何中的应用。

2. 学会通过观察和分析图形，识别隐圆模型并运用相关知识解决问题。

3. 培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 隐圆模型的概念及识别。

2. 隐圆模型在几何问题中的应用。

教学难点：1. 隐圆模型的识别。

2. 灵活运用隐圆模型解决实际问题。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 相关例题和练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 向学生介绍隐圆模型的概念，引导学生思考在日常生活中是否遇到过类似的现象。

2. 展示一些隐圆模型的图片，让学生观察并尝试解释。

二、新课讲解（15分钟）1. 讲解隐圆模型的定义和特点，引导学生通过观察和分析图形，识别隐圆模型。

2. 讲解隐圆模型在几何中的应用，如动点定长模型、定弦定角模型等。

3. 通过示例题目，讲解如何运用隐圆模型解决问题，引导学生掌握解题思路和方法。

三、课堂练习（15分钟）1. 提供一些有关隐圆模型的练习题，让学生独立解答。

2. 引导学生相互讨论，共同解决问题，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

四、总结与拓展（10分钟）1. 对本节课的内容进行总结，强调隐圆模型的识别和应用。

2. 提供一些拓展题目，引导学生课后思考和探究，提高学生的学习能力。

教学反思：本节课通过引入隐圆模型的概念，让学生了解和认识隐圆模型在几何中的应用。

通过讲解和练习，让学生掌握隐圆模型的识别和解题方法。

在教学过程中，要注意引导学生观察和分析图形，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

同时，要鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的合作意识和解决问题的能力。

初中数学隐圆教学设计博客一、引言隐圆作为初中数学中的重要内容之一，是学生在初中数学学习过程中比较难以理解和掌握的知识点之一。

因此，合理的教学设计对于学生的学习效果起着至关重要的作用。

本文将从教学目标、教学内容、教学方法、教学评价等方面，对初中数学隐圆教学进行设计，旨在提高学生对隐圆的理解和应用能力。

二、教学目标1. 知识目标：通过隐圆教学，使学生掌握隐圆的定义、性质和基本判定方法，能够正确应用隐圆解决与其相关的数学问题。

2. 能力目标：通过隐圆的学习和实践，培养学生的观察力、逻辑思维能力和问题解决能力。

3. 过程目标：通过合作学习和讨论，培养学生的有效沟通和团队合作能力。

三、教学内容1. 隐圆的定义：明确隐圆的定义，让学生了解到隐圆是一个具有特定性质的曲线。

2. 隐圆的性质：介绍隐圆的基本性质，如离心率、直径、焦点等，并通过示例让学生理解和记忆。

3. 隐圆的判定方法：介绍隐圆的判定方法，如利用圆锥曲线定义的判定方法和利用方程判定方法等。

4. 隐圆的应用：通过具体的问题例题，让学生了解隐圆在实际生活中的应用，如车轮、建筑物等。

四、教学方法1. 探究式学习：为了激发学生对隐圆的兴趣，教师可以设计一些探究性的问题，引导学生通过观察和实践来发现隐圆的性质和判定方法。

2. 合作学习：通过小组合作学习，让学生相互讨论和交流，提高学习效果，培养团队合作能力。

3. 案例分析：通过实际问题的案例分析，加深学生对隐圆的应用认识，培养学生解决实际问题的能力。

4. 归纳总结：在教学过程中，及时归纳总结隐圆的定义、性质和判定方法，帮助学生理清思路，加深记忆。

五、教学评价1. 课堂表现评价：通过观察学生的课堂表现，包括主动参与、提问和回答问题的能力等，评价学生的学习积极性和主动性。

2. 作业评价：布置相应的练习作业，包括选择题、解答题等形式，评价学生的掌握程度和应用能力。

3. 项目评价：设计一些有挑战性的项目，让学生在实践中运用隐圆的知识解决问题，并评价学生的创新能力和解决问题的能力。

探寻隐形圆教案教学目标：1.灵活运用圆的一些重要定理、圆中的基本图形解决隐圆中的最值问题．2.通过探索形成5个隐圆模型.教学重点难点：隐圆问题，三角形底边、顶角不变和外接圆相关问题教学过程：一、引入从下一题作业本中的题进行引入，得出两个模型：1.定点定长；2.直角对直径1.如图，BD,CE分别是△ABC的两条高，求证：点E,B,C,D在同一个圆上.二、悟中学从下一题，进行巩固。

2.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD.若∠CAD=76°，则∠CBD=____度.从下一题，进行巩固的同时，引出新的模型，四点共圆。

3.如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B，C同时出发，以相同的速度沿BC,CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN交于点P.（1）找出图中的隐形圆，并该圆的直径.（2）求CP长的最小值.继续探究，从下一题引出第三种方法，1.定弦定角；2.四点共圆.4.如图，正方形ABCD的边长为4，E为正方形外的一动点，且∠AED=45°.（1）图中哪些点在同一个圆上？（2）点P在线段AB上，若AP=1，则PE的最大值是_______.三、拓展定弦定角，进一步应用.5.如图，已知等边△ABC的边长为2√(6)，D,E分别为BC,AC上的两个动点，且AE=CD,连接BE,AD交于点P.（1）∠APB=______;（2）CP的最小值是_____.四、小结作业：1.如图所示，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A.1B.1.6C.13-2D.22.如图所示，在正方形ABCD中，BC＝2，E，F分别为射线BC，CD上两个动点，且满足BE＝CF，设AE，BF交于点G，连接DG，则DG的最小值为__________.（第1题图）（第2题图）（第3题图）3.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E是AB边上一点，且AE＝3，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为___________.4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60∘，点M是AD边的中点，点N 是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连结A′C，则A′C长度的最小值是( )A. 7B. 7−1C. 3D. 2（第4题图）（第5题图）（第6题图）5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_____6.如图，∠x Oy=45∘，一把直角三角尺△ABC的两个顶点A. B分别在OX，OY 上移动，其中AB=10，则点O到顶点A的距离的最大值为，点O到AB的距离的最大值为.。

隐形圆评课稿11月5日上午第二节，我们裴主任上了一堂《隐形圆》，让听课老师和六年级同学一起认识了圆，认识了什么是有效教学。

一、在小学数学大纲里，关于圆的教学相关要求有以下一些：（一）使学生理解、掌握数量关系和几何图形的最基础的知识。

（二）使学生具有进行整数、小数、分数四则计算的能力，培养初步的逻辑思维能力和空间观念，能够运用所学的知识解决简单的实际问题。

（三）使学生受到思想品德教育。

二、教学要求：使学生获得有关整数、小数、分数、百分数和比例的基础知识；常见的一些数量关系和解答应用题的方法；用字母表示数和简易方程、量与计量、简单几何图形、珠算、统计的一些初步知识。

使学生逐步形成简单几何形体的形状、大小和相互位置关系的表象，能够识别所学的几何形体，并能根据几何形体的名称再现它们的表象，培养初步的空间观念。

培养学生观察和认识周围事物间的数量关系和形体特征的兴趣和意识；使学生初步学会运用所学的数学知识和方法解决一些简单的实际问题。

根据数学的学科特点，对学生进行学习目的教育，爱祖国、爱社会主义、爱科学的教育，辩证唯物主义观点的启蒙教育，培养学生良好的学习习惯和独立思考、克服困难的精神。

三、教学内容的确定和安排根据九年义务教育的性质和任务，适应现代科学技术发展的趋势和社会需要，为了大面积提高教学质量，小学数学要选择日常生活和进一步学习所必需的、学生能够接受的、最基础的数学知识作为教学内容。

通过直观学习一些几何初步知识，认识常见的简单几何形体的特征，学会计算它们的周长、面积和体积，对于培养学生初步的空间观念和进一步学习几何都是有益的。

在安排内容时，要注意加强测量、拼摆、画图等实际操作方面的训练，求积计算的数据不应过繁。

组合图形作为选学内容，只限于两个图形的组合。

几何形体要从低年级起逐步认识，合理安排。

认识圆，会画圆。

本堂课的教学任务归纳起来主要集中在以下几点：1、让学生对几何图形——“圆”建立最基础的认识（当然是在一年级的圆的认识的基础上）；2、认识事物间——圆的特征、直径和半径的数量关系和基本特征；3、学会用字母表示圆的有关知识，主要是指：2r=d；4、会画圆；5、培养学生观察和认识周围事物间的数量关系和形体特征的兴趣和意识；6、增强民族自豪感：祖冲之和圆周率。

“圆”形毕露（二）考纲要求：江苏省高考考试说明中圆的方程是C 级考点,近几年在各地模考和高考中出现频率较高,在题设中没有明确给出圆的相关信息,而是隐含在题目中的,要通过分析、转化,发现圆(或圆的方程),从而最终利用圆的知识来求解,我们称这类问题为“隐形圆”问题． 考点解读：在平面上给定相异两点B A ,,设点P 在同一平面上且满足λ=⋅(或22PB PA +是定值),则点P 的轨迹是个圆.小题热身(1)平面内到原点距离为1的点的轨迹方程为 .(2)从圆1:22=+y x O 外一点P 向圆引两条切线,切点分别是A 、B ,使得∠APB ＝60°,则点P 的轨迹方程为 .(3)已知两点)0,2(),0,2(B A ,若存在点P ,使得∠APB =90°,则点P 的轨迹方程为 .(4)已知两点),0,2(),0,2(B A -若存在点P ,使得 20AP BP λ+=,则点P 的轨迹方程为 .(5)已知两点),0,2(),0,2(B A -若存在点P ,使得1022=+PB PA ,则点P 的轨迹方程为 .题型一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆例 1(1)如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1,则实数a 的取值范围是 ．056<<a（2）(2016南京二模)已知圆1:22=+y x O ,圆()()14:22=+-+-a y a x M ．若圆M 上存在点P ,过点P 作圆O 的两条切线,切点为A ,B ,使得∠APB ＝60°,则a 的取值范围为 ．题型二 动点P 对两定点B A ,张角是90°(1PA PB k k =-,或 0PA PB =)确定隐形圆 例 2 已知圆()()143:22=-+-y x C 和两点()0),0,(),0,(>-m m B m A ,若圆上存在点P ,使得∠APB =90°,则m 的取值范围是 ．题型三 两定点B A ,,动点P 满足λ=⋅确定隐形圆例 3 (2017南通密卷3)已知点)3,2(A ,点)3,6(B 点P 在直线 3430x y -+=上,若满足等式 20AP BP λ+=的点P 有两个,则实数λ的取值范围是 ．题型四 两定点B A ,,动点P 满足22PB PA +是定值确定隐形圆例 4 (1)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1,点)2,0(A ,若圆C 上存在点P ,满足1022=+PO PA ,则实数a 的取值范围是 ．(2)(2017.12南京十校联考12)已知,A B 为直线l ：y x =-上两动点,且4AB =，圆C ：226620x y x y +--+=,圆C 上存在点P ,使2210PA PB +=,则线段AB 中点M 的横坐标取]214,214-提升练习(1)(2017苏北四市一模)已知B A ,是圆1:221=+y x C 上的动点, AB P 是圆()()143:222=-+-y x C 上的动点,则 PA PB +的取值范围是 ．(2)(2017南通市一模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知C B ,为圆22 4x y +=上两点,点 A(1,1) ,且AC AB ⊥,则线BC 段的长的取值范围为 ．一．阿波罗尼斯圆1. 在直角坐标系中，()30，A ，直线42;-=x y l ，圆C 的半径为1，圆心C 在l 上 圆心C 也在直线1-=x y 上，过A 点作作圆C 的切线，求切线的方程（1）圆心C 也在直线1-=x y 上，过A 点作圆C 的切线，求切线的方程。

隐圆模型教案教案标题：隐圆模型教案教案目标：1. 理解隐圆模型的定义和特性。

2. 学会使用隐圆模型解决相关问题。

3. 提高学生的数学建模和问题解决能力。

教案内容和步骤：第一步：导入1. 引入隐圆模型的概念和应用背景，例如在几何学、物理学和工程学中的应用。

2. 引发学生对隐圆模型的兴趣和好奇心。

第二步：讲解隐圆模型的定义和特性1. 解释隐圆模型的定义：隐圆模型是一个二次方程，表示平面上所有满足该方程的点构成的集合。

2. 介绍隐圆模型的一般形式：Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D、E为实数常数。

3. 解释隐圆模型的特性，例如：- 如果A和B相等且不为零，则方程表示一个圆。

- 如果A和B不相等，则方程表示一个椭圆。

- 如果A和B都为零，则方程表示一条直线。

第三步：示例和练习1. 给出几个实际问题，要求学生利用隐圆模型解决。

2. 提供示例和步骤，引导学生进行问题分析和解决过程。

3. 鼓励学生自主思考和讨论，帮助他们建立解决问题的数学模型。

第四步：拓展应用1. 引导学生思考隐圆模型在不同学科领域的应用，例如在物理学中描述天体运动、在工程学中描述机械运动等。

2. 提供相关案例和问题，让学生应用隐圆模型进行解决。

第五步：总结和评价1. 总结隐圆模型的定义、特性和应用领域。

2. 鼓励学生分享他们的学习心得和解决问题的方法。

3. 对学生的表现进行评价和反馈，鼓励他们继续探索和应用隐圆模型。

教学资源和评估方式：1. 提供教材、教辅书和相关练习题，供学生参考和练习。

2. 利用投影仪或电子白板展示隐圆模型的示例和解题步骤。

3. 通过课堂讨论、小组合作和个人练习等形式，评估学生对隐圆模型的理解和应用能力。

教案扩展：1. 鼓励学生进行实地观察和实验，寻找隐圆模型的实际应用案例。

2. 引导学生进行更复杂的隐圆模型问题的解决，例如求解多个隐圆模型的交点等。

3. 探索隐圆模型在三维空间中的应用，引入椭球和圆锥曲线等概念。

初中隐圆教案教案标题：初中隐圆教案教案目标：1. 了解隐圆的定义和性质。

2. 掌握隐圆的方程与图像的关系。

3. 能够根据给定的隐圆方程，确定其图像的特征。

4. 运用隐圆的性质解决相关的几何问题。

教学步骤：引入活动：1. 利用幻灯片或实物示例引起学生对隐圆的兴趣，让学生观察并描述不同形状的圆。

2. 提出问题：如何确定一个圆的方程？引导学生思考。

知识讲解：3. 介绍隐圆的定义：在平面直角坐标系中，满足方程x^2 + y^2 + Dx + Ey + F= 0的点的集合为隐圆。

4. 解释隐圆方程中各项的含义，并与标准圆方程进行比较。

5. 讲解隐圆的图像特征：圆心坐标为(-D/2, -E/2)，半径为√(D^2 + E^2 - 4F)/2。

示例演练：6. 给出一些隐圆方程的示例，引导学生根据方程确定圆心和半径，并绘制出相应的图像。

7. 引导学生观察不同形式的隐圆方程，分析其图像特征，如圆心位置、半径大小等。

综合应用：8. 提供一些综合应用题，要求学生根据给定的隐圆方程解决几何问题，如求两个隐圆的交点坐标、判断直线与隐圆的位置关系等。

9. 引导学生运用隐圆的性质解决实际问题，如在平面地图上确定两个地点之间的最短路径等。

拓展延伸：10. 鼓励学生自主学习更多关于隐圆的性质和应用，如椭圆、双曲线等。

11. 提供一些拓展问题，让学生进行思考和探究，如如何确定一个点是否在给定的隐圆上等。

总结回顾：12. 总结隐圆的定义、性质和图像特征，并与学生一起回顾所学内容。

13. 检查学生对隐圆的理解情况，解答他们可能存在的疑问。

教学资源：- 幻灯片或实物示例- 教科书或教学参考资料- 练习题和答案- 计算器（可选）评估方式：- 练习题的完成情况和答案的准确性。

- 学生对隐圆相关问题的解决能力和思维能力的展示。

教学反思：在教学过程中，要注重引导学生思考和发现，激发他们的学习兴趣。

通过示例演练和综合应用，帮助学生将所学知识运用到实际问题中，培养他们的问题解决能力和创新思维。