2019中考数学复习 隐形圆问题大全(后有专题练习无答案)

专题：隐形的圆——“道是无圆却有圆”方法技巧常见的隐圆有两类：(1)到定点的距离等于定长的点在同一个圆上(圆的定义)；(2)若定长线段的张角是定角(定弦定角)，则定角的顶点在定弦所对的一条弧上运动．利用“辅助圆”的丰富性质转换角，求线段的长或最值是隐圆类问题的基本模式．题型一利用“定点定长”构隐圆【例1】如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝60°，点E为平面内的一动点，点P为CE的中点，若AE＝1，求BP的最大值．【例2】如图，O是长度为4的线段AB上的一点，且OA＝1，以OA为半径作⊙O，点M是⊙O上的一动点，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC＝90°(M，B，C三点为逆时针顺序)，连接AC．求AC长度的取值范围．题型二 利用“定弦定角”构隐圆【例3】如图，在正方形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，点P 为对角线BD 上的一点，作PE ⊥AP 交BC 于点E ．若∠CAE ＝15°，求PBPE的值．【例4】如图，⊙O 的半径为1，AB 为⊙O 的弦，将弦AB 绕点A 逆时针旋转120°，得到AC ，连接OC ，求OC 长度的最大值．针对练习61．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦(CD 与AB 不平行)，点M 是CD 的中点，CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AB 于点F ．①当∠EMF ＝60°时，求CDAB的值；②当∠EMF ＝90°时，CD AB 的值为 ；当∠EMF ＝120°时，CDAB的值为 ．AC上的一动点，PEAB上的一点，且∠AOC＝120°，点P是⌒2．如图，AB是半圆⊙O的直径，点C是⌒⊥OA于点E，PF⊥OC于点F，CD⊥OB于点D，求证：EF＝CD．3．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB＝1，BC＝2，点P为射线DA上的一动点，过B，D，P三点的圆交PC于点Q．求DQ的最小值．4．如图，△ABC的两个顶点A，B在半径为6的⊙O上，∠A＝30°，∠B＝90°，点C在⊙O内．当点A在圆上运动，且OC的长最小时，求弦AB的长．。

隐形圆(4大模型与6类题型)第一部分【模型梳理与题型目录】隐形圆模型是初中数学中的重要知识点，常用于解决一些看似没有直接使用圆的知识但实际上需要运用圆的性质来解决的问题，隐形圆常常用于解决最值问题.本专题梳理了隐形圆四大模型，供大家参考使用.【模型1】 定点定长模型【模型分析】(1)出现共端点、等线段时，可以利用圆的定义构造辅助圆；(2)如图1，若OA=OB =OC，则A、B、C在以O为圆心，OA为半径的圆上.由圆周角定理可得：∠ABC= 1∠AOC,∠ACB=12∠AOB,∠BAC=12∠BOC.2图1【模型2】 90°圆周角模型【模型分析】如图2，在△ABC中，∠C=90°，点C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的⊙O (不包含A、B两点)．注：作出辅助圆是关键，计算时结合求点圆、线圆、最值等方法进行相关计算．图2应用：常用于解决直角三角形中动点的轨迹问题。

【模型3】 定弦定角模型【模型分析】固定的线段只要对应固定的角度，那么这个角的顶点轨迹为圆的一部分．如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等；(注意：弦AB所对的劣弧(AB)上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)如图②，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知点C不唯一．当∠C<90°时，点C在优弧上运动；当∠C=90°时，点C在半圆上运动，且线段AB是⊙O的直径；当∠C >90°时，点C在劣弧上运动．【模型4】‌四点共圆模型【模型分析】在四边形ABCD中，若∠A+∠C=1800，则A、B、C、D在圆O上，称之为A、B、C、D四点共圆.图3应用：常用于解决四点共圆的问题，如角度相等、线段最值等问题.【题型1】‌定点定长模型......................................................3;【模型2】 90°圆周角模型...................................................6;【题型3】‌定弦定角模型.....................................................11；【题型4】‌四点共圆模型.....................................................15；【题型5】直通中考.........................................................20；【题型6】拓展延伸.........................................................23.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】 定点定长模型1.(23-24九年级上·福建福州·期末)如图，在等边△ABC中，AB=4，D，E分别是边AB,BC上的动点(不与△ABC的顶点重合)，连接AE,CD相交于点F，连接BF，若∠BDF+∠BEF=180°，则BF的最小值为．【433/433【∠BDF +∠BEF =180°，∠DFE =120°，∠AFC =120°，F 在以O 为圆心OA 的长为半径∠AOC =120°的圆弧上运动OA ,OC ,OB ,OF ，OA =OC =OF ,BF ≥OB -OF ，△AOB ≌△COB ，△AOB 为含30度角的直角三角形进行求解即可．解∵等边△ABC ，∴∠ABC =60°，AB =BC ，∵∠BDF +∠BEF =180°，∴∠DFE +∠ABC =360°-∠BDF +∠BEF =180°，∴∠DFE =120°，∴∠AFC =120°，∴点F 在以O 为圆心OA 的长为半径∠AOC =120°的圆弧上运动OA ,OC ,OB ,OF ，OA =OC =OF ,BF ≥OB -OF ，∵AB =BC ，OB =OB ,OA =OC ，∴△AOB ≌△COB ，∴∠ABO =∠CBO =12∠ABC =30°，∠AOB =∠BOC =12∠AOC =60°，∴∠BAO =90°，∴BO =2AO ，AB =3AO =4，∴AO =433，∴BO =2OA =833，OF =AO =433，∴BF ≤433，BF 的最小值为433；故答案为433．【30度角的直角三角形一点到圆上一点的最值F 的运动轨迹．2.(24-25九年级上·全国·课后作业)如图，P 是边长为1的正方形ABCD 内的一个动点，且满足∠PBC +∠PDC =45°，则CP 的最小值是()A.2-2B.12C.22D.2-1【答案】D【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理，在凹四边形BCDP中，求出∠BPD=135°，得点P在运动过程中，使得∠BPD=135°，即点P在正方形ABCD内，以A为圆心，AB长为半径的圆弧上，如解图，连接AP，AC，当A、P、C三点共线时，CP取得最小值，最小值为AC-AP，求出AC和AP的长度，即可得到结果，解本题的关键是证明∠BPD是定值，从而得到点P的轨迹．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，在凹四边形BCDP中，∵∠BCD=90°，∠PBC+∠PDC=45°，∴∠BPC+∠CPD=360°-∠BCD-(∠PBC+∠PDC)=225°，∴∠BPD=360°-(∠BPC+∠CPD)始终为135°，得点P在运动过程中，使得∠BPD=135°，即点P在正方形ABCD内，以A为圆心，AB长为半径的圆弧上，如解图，连接AP，AC，，由解图可得AP+CP≥AC，当A、P、C三点共线时，CP取得最小值，最小值为AC-AP，在Rt△ABC中，∵AB=BC=1，∴AC=AB2+BC2=2，∵AP=AB=1，∴CP最小=AC-AP=2-1，故选：D．3.(24-25九年级上·江苏宿迁)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF=4，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为()A.30B.32C.35D.38【答案】D【分析】首先连接AC，BG，证明G在以B为圆心，2为半径的圆弧上，过B作BH⊥AC于H，当G在BH 上时，△ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，再进一步解答即可．解：连接AC，BG，∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，S矩形=48，∵EF=4，G为EF的中点，∴BG=12EF=2，∴G在以B为圆心，2为半径的圆弧上，过B作BH⊥AC于H，当G在BH上时，△ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，四边形AGCD面积=三角形ACG面积+三角形ACD面积，即四边形AGCD面积=三角形ACG面积+24．设圆弧交BH于G ，此时四边形AGCD面积取最小值，由勾股定理得：AC=62+82=10，∵1 2AC⋅BH=12AB⋅BC，∴BH=4.8，∴G H=2.8，即四边形AGCD面积的最小值=12×10×2.8+24=38．故选：D．【点拨】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，圆的确定，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出G点的运动轨迹．【题型2】 90°圆周角模型4.(2024·湖南娄底·一模)如图，正方形ABCD的边长为a，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，AE与BF相交于点G，连接CG，则CG的最小值为．【答案】5-1 a2【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握90°的圆周角所对的弦是直径是解答本题的关键．通过证明△ABE ≌△BCF SAS ，可证∠AGB =90°，则点G 在以AB 为直径的一段弧上运动，当点G 在OC 与弧的交点处时，CG 最短，然后根据勾股定理求出OC 的长即可求解．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =∠BCF =90°，AB =BC =a ，∴在△ABE 和△BCF 中，AB =BC∠ABC =∠BCFBE =CF∴△ABE ≌△BCF SAS ，∴∠BAE =∠CBF ，∵∠ABF +∠CBF =90°，∴∠ABF +∠BAE =90°，∴∠AGB =90°，∴点G 在以AB 为直径的一段弧上运动，设AB 的中点为O ，则当点G 在OC 与弧的交点处时，CG 最短，∵AB =a ，∴OB =OG =a 2，∴OC =a 2 2+a 2=52a ，∴CG=OC -OG =5-1 a 2，故答案为：5-1 a 2．5.(23-24九年级下·山东日照)如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点F 是正方形内一点，连接CF ,DF ，且∠ADF =∠DCF ，点E 是AD 边上一动点，连接EB ,EF ，则EB +EF 长度的最小值为()A.13-1B.10-1C.10D.5+1【答案】A【分析】根据正方形的性质得到∠ADC=90°，推出∠DFC=90°，得到点F在以CD为直径的半圆上移动，如图，设CD的中点为O，正方形ABCD关于直线AD对称的正方形ADC B ，则点B 的对应点是B，连接B O交AD于E，交半圆O于F，线段B F的长即为EB+EF的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∴∠ADF+∠CDF=90°，∵∠ADF=∠DCF，∴∠DCF+∠CDF=90°，∴∠DFC=90°，∴点F在以CD为直径的半圆上移动，如图，设CD的中点为O，正方形ABCD关于直线AD对称的正方形ADC B ，则点B 的对应点是B，连接B O交AD于E，交半圆O于F，线段B F的长即为EB+EF的长度最小值，OF=1，∵∠C =90°,B C =C D =CD=2，∴OC =3，∴OB =B C 2+OC 2=13，∴B F=13-1，∴FD+FE的长度最小值为13-1，故选：A．【点拨】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，点的运动轨迹，勾股定理，最小值问题，正确理解点的运动轨迹是解题的关键．6.(24-25九年级上·广东深圳·开学考试)如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE= DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为1，则线段DH长度的最小值是()A.52-1 B.5-12C.52D.5-1【答案】B【分析】由SAS可判定△ABE≌△DCF，由全等三角形的性质得∠ABE=∠DCF，同理可证∠DCG=∠DAG，由角的和差得∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH，H的运动轨迹为以O为圆心，OH=1 2AB=12为半径的半圆，当O、H、D三点共线时，DH最小，即可求解．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=CD=1，∠BAE=∠CDF=90°，∠ADG=∠CDG，∵∠BAH+∠DAG=90°，在△ABE和△DCF中，AB=CD∠BAE=∠CDFAE=DF，∴△ABE≌△DCF(SAS)，∴∠ABE=∠DCF，在△ADG和△CDG中，AD=CD∠ADG=∠CDGDG=DG，∴△ADG≌△CDG(SAS)，∴∠DCG=∠DAG，∴∠ABE=∠DAG，∴∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，如下图，取AB的中点O，连接OH，∴OA=12，∴H的运动轨迹为以O为圆心，OH=12AB=12为半径的半圆，如图，当O、H、D三点共线时，DH最小，∴OD=OA2+AD2=122+12=52，∴DH=OD-OH=52-1 2=5-12；故选：B．【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，圆外一点到圆上任一点距离的最值等；能找出动点的运动轨迹及取得最小值的条件，熟练利用勾股定咯求解是解题的关键．【题型3】 定弦定角模型7.(22-23九年级上·江苏南京·阶段练习)如图，CD是△ABC的高，若AB=2，∠ACB=45°，则CD长的最大值为()A.1+2B.4-2C.2D.4【答案】A【分析】在AB上方作以AB为斜边的等腰直角三角形△AOB，根据“定线段对定角度”确定点C在以O为圆心，OA长为半径的圆上运动，当CD经过圆心时CD最长，再计算即可．解：在AB上方作以AB为斜边的等腰直角三角形△AOB，∵∠ACB=45°∴点C在以O为圆心，OA长为半径的圆上运动，∵AB=2，∴OA=OC=2，当CD经过圆心时CD最长∵CD是△ABC的高，∴AD=BD=OD=1AB=12此时CD=OC+OD=2+1，故选：A．【点拨】本题考查几何最值问题，解题的关键是确定点C在以O为圆心，OA长为半径的圆上运动．8.(20-21九年级上·江苏无锡·期末)如图，在平面直角坐标系中，动点A、B分别在x轴上和函数y=x的图象上，AB=4，CB⊥AB，BC=2，则OC的最大值为()A.22+2B.22+4C.25D.25+2【答案】A【分析】根据y=x与x轴的夹角为45°，以AB为斜边作等腰直角三角形，连接AD,CD,OD，则∠DBC= 45°，根据勾股定理求得DB的长，进而证明△DCB是直角三角形，求得DC的长，根据OD+DC≥OC，即可求得OC的最大值解：如图，以AB为斜边作等腰直角三角形，连接AD,CD,OD，∵y=x与x轴的夹角为45°，∴∠AOB=45°=1∠ADB2∴A,O,B在⊙D上，∵AB=4，∠ADB=90°，∴BD=AD=22，∴∠ABD=45°∵BC⊥AB∴∠CBA=90°∴∠CBD=45°∴△BCD中BC=2,BD=22,∠CBD=45°过点C作CE⊥BD于点E，如图则BE=CE=2=DE∴CD=CB=2∵OD+DC≥OC∴当O,D,C三点共线时，OC取得最大值，最大值为OD+DC=DB+DC=22+2故选A【点拨】本题主要考查了勾股定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，找到⊙D是解决本题的关键．9.(19-20九年级上·浙江宁波·期末)如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=2，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PBC=∠PCA，则线段AP长的最小值为()A.0.5B.2-1C.2-2D.13【答案】C 【分析】先计算出∠PBC +∠PCB =45°，则∠BPC =135°，利用圆周角定理可判断点P 在以BC 为弦的⊙O 上，如图，连接OA 交BC 于P ′，作BC 所对的圆周角∠BQC ，利用圆周角定理计算出∠BOC =90°，从而得到△OBC 为等腰直角三角形，四边形ABOC 为正方形，所以OA =BC =2，OB =2，根据三角形三边关系得到AP ≥OA -OP (当且仅当A 、P 、O 共线时取等号，即P 点在P ′位置)，于是得到AP 的最小值.解：解：∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ACB =45°，即∠PCB +∠PCA =45°，∵∠PBC =∠PCA ，∴∠PBC +∠PCB =45°，∴∠BPC =135°，∴点P 在以BC 为弦的⊙O 上，如图，连接OA 交BC于P ′，作BC 所对的圆周角∠BQC ，则∠BCQ =180°-∠BPC =45°，∴∠BOC =2∠BQC =90°，∴△OBC 为等腰直角三角形，∴四边形ABOC 为正方形，∴OA =BC =2，∴OB =22BC =2，∵AP ≥OA -OP (当且仅当A 、P 、O 共线时取等号，即P 点在P ′位置)，∴AP 的最小值为2-2．故选：C ．【点拨】本题考查了圆周角定理及等腰直角三角形的性质.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.【题型4】四点共圆模型10.(22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠D =90°，连接AC ，点F 为边CD 上一点，连接BF 交AC 于点E ，AB =AE ，∠FGC +∠FBG =90°，∠BFG +2∠GFC =180°，若AD =722，BG =4，则CG 的长为．【答案】8【分析】延长BA 与CD 的延长线相交于点H ，证明∠FGC =∠ABF ，∠GFC =∠BFD ，由三角形内角和定理得到∠H=∠ACB，BH=BC，进一步得到∠H=∠DAH=45°，则AD=DH=722，由勾股定理得到AH=AD2+DH2=7，证明点C、G、E、F四点共圆，如图，连接EG，证明CE=CG，设CE=CG=x，则BH=BC=4+x，AE=AB=x-3，AC=2x-3，由勾股定理得AB2+BC2=AC2，即x-32+x+42 =2x-32，解方程即可得到答案．解：延长BA与CD的延长线相交于点H，∵∠FGC+∠FBG=90°，∠FBG+∠ABF=∠ABC=90°∴∠FGC=∠ABF，∵∠BFG+2∠GFC=180°，∠BFG+∠BFD+∠CFG=180°，∴2∠GFC=∠BFD+∠CFG，∴∠GFC=∠BFD，∵∠H+∠ABF+∠BFD=180°=∠ACB+∠FGC+∠GFC，∴∠H=∠ACB，∵∠ABC=90°，∴∠H=∠ACB=45°，BH=BC，∵∠ADH=90°，∴∠H=∠DAH=45°，∴AD=DH=722，∴AH=AD2+DH2=7，∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∵∠FGC=∠ABE，∠CEF=∠AEB，∴∠FGC=∠CEF，∴点C、G、E、F四点共圆，如图，连接EG，∴∠GFC=∠CEG，∠BFD=∠CGE，∵∠GFC=∠BFD，∴∠CGE=∠CEG，∴CE=CG，设CE=CG=x，则BH=BC=BG+CG=4+x，∴AE=AB=BH-AH=x+4-7=x-3，∴AC=AE+CE=x-3+x=2x-3，由勾股定理得，AB2+BC2=AC2，∴x-32+x+42=2x-32，解得x=-1(不合题意，舍去)或x=8，∴CG=8，故答案为：8【点拨】此题考查了等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、四点共圆、圆周角定理、圆内接四边形的性质、解一元二次方程等知识，关键在于等腰直角三角形的判定和性质与证明四点共圆．11.(24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习)如图，等边三角形ABC中，AB=5,P为AB边上一动点，PD⊥BC ,PE ⊥AC ，垂足分别为D ,E 则DE 的最小值为．【答案】154【分析】如图，连接PC ，取CP 的中点O ，连接OE ，OD ，过点O 作OH ⊥DE 于H ，首先证明△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，当OE 的值最小时，DE 的值最小，即可求出PC 的最小值．解：如图，连接PC ，取CP 的中点O ，连接OE ，OD ，过点O 作OH ⊥DE 于H ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，AB =BC =AC =5，∵PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，∴∠PEC =∠PDC =90°，∵OP =OC ，∴OE =OP =OC =OD ，∴C 、D 、P 、E 四点共圆，∴∠EOD =2∠ECD =120°，∴当OE 的值最小时，DE 的值最小，根据垂线段最短可得，当CP ⊥AB 时，PC =532，此时OE 最小，OE =534，∵OE =OD ，OH ⊥DE ，∴DH =EH ，∠DOH =∠EOH =60°，∴∠OEH =30°，∴OH =12OE =538，∴DH =EH =OE 2-OH 2=158，∴DE =2DH =154，∴DE 的值最小为154，故答案为：154．【点拨】本题考查了四点共圆、垂线段最短、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；正确判断当CP ⊥AB 时OE 最小是解题的关键．12.(23-24九年级下·江苏南京·阶段练习)如图，在△ABC 中，∠ACB =90°,AC =BC =2，点P 是射线AB 上一动点，∠CPD =90°，且PC =PD ，连接AD 、CD ，则AD +CD 的最小值是．【答案】25【分析】取AC中点H，连接DH交AB于点G，连接BD,PH，当DH⊥AC时，DH有最小值，此时易得△ACD是等腰三角形，推出AD=CD，即AD,CD有最小值，则AD+CD有最小值，此时根据∠AHD=∠CHD=∠ACB=90°，推出DH∥BC，设CD中点为O，根据∠CHD=∠CPD=90°，易得点C,H,P,D在以点O为圆心CD为直径的圆上，易得∠CHP+∠PDC=180°，由∠ABC=45°，易得此时点B在圆O上，进而推出∠CBD+∠CPD=180°，则∠CBD=90°，得到四边形BCHD是矩形，即HD=BC=2，利用勾股定理即可计算出CD的最小值，进而得出结果．解：取AC中点H，连接DH交AB于点G，连接BD,PH，当DH⊥AC时，DH有最小值，∵点H是AC中点，DH⊥AC，∴△ACD是等腰三角形，∴AD=CD，∵AH,CH是定值，DH有最小值时，即AD,CD有最小值，则AD+CD有最小值，∵∠AHD=∠CHD=∠ACB=90°，∴DH∥BC，设CD中点为O，∵∠CHD=∠CPD=90°，∴点C,H,P,D在以点O为圆心CD为直径的圆上，∴∠CHP+∠PDC=180°，∵∠ABC=45°，∴此时点B在圆O上，∴∠CBD+∠CPD=180°，∴∠CBD=90°，∵DH∥BC，∴四边形BCHD是矩形，∴HD=BC=2，∵HC=1AC=1，2在Rt△CHD中，∴CD=CH2+HD2=5，∴AD+CD的最小值为2CD=25，故答案为：25．【点拨】本题考查勾股定理求最短距离，圆周角定理，四点共圆，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正确作出辅助线，证明四点共圆是解题的关键．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考1.(2023·山东泰安·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，点A 的坐标为(-6，4)；Rt △COD 中，∠COD =90°，OD =43，∠D =30°，连接BC ，点M 是BC 中点，连接AM ．将Rt △COD 以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM 的最小值是()A.3B.62-4C.213-2D.2【答案】A【分析】如图所示，延长BA 到E ，使得AE =AB ，连接OE ，CE ，根据点A 的坐标为(-6，4)得到BE =8，再证明AM 是△BCE 的中位线，得到AM =12CE ；解Rt △COD 得到OC =4，进一步求出点C 在以O 为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M 在线段OE 上时，CE 有最小值，即此时AM 有最小值，据此求出CE 的最小值，即可得到答案．解：如图所示，延长BA 到E ，使得AE =AB ，连接OE ，CE ，∵Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，点A 的坐标为(-6，4)，∴AB =4，OB =6，∴AE =AB =4，∴BE =8，∵点M 为BC 中点，点A 为BE 中点，∴AM 是△BCE 的中位线，∴AM =12CE ；在Rt △COD 中，∠COD =90°，OD =43，∠D =30°，∴OC =33OD =4，∵将Rt △COD 以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点C 在以O 为圆心，半径为4的圆上运动，∴当点M 在线段OE 上时，CE 有最小值，即此时AM 有最小值，∵OE =BE 2+OB 2=10，∴CE 的最小值为10-4=6，∴AM 的最小值为3，故选A ．【点拨】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．2.(2022·广西柳州·中考真题)如图，在正方形ABCD中，AB=4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为．【答案】25-2【分析】如图，由EG=2，确定E在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE，再证明△ADE≌△CDF (SAS)，可得AE=CF，可得当A，E，G三点共线时，AE最短，则CF最短，再利用勾股定理可得答案．解：如图，由EG=2，可得E在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE，∵正方形ABCD，∴AD=CD,∠ADC=90°，∴∠ADC=∠EDF=90°，∴∠ADE=∠CDF，∵DE=DF，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴AE=CF，∴当A，E，G三点共线时，AE最短，则CF最短，∵G位BC中点，BC=AB=4，∴BG=2，此时AG=BG2+AB2=22+42=25，此时AE=25-2，所以CF的最小值为：25-2.故答案为：25-2【点拨】本题考查的是正方形的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利用圆的基本性质求解线段的最小值是解本题的关键．2、拓展延伸3.(2022·辽宁抚顺·中考真题)如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF．当GF最小时，AE的长是．【答案】55-5【分析】根据动点最值问题的求解步骤：①分析所求线段端点(谁动谁定)；②动点轨迹；③最值模型(比如将军饮马模型)；④定线段；⑤求线段长(勾股定理、相似或三角函数)，结合题意求解即可得到结论．解：①分析所求线段GF端点：G是定点、F是动点；②动点F的轨迹：正方形ABCD的边长为10，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，则BF=BA=10，因此动点轨迹是以B为圆心，BA=10为半径的圆周上，如图所示：③最值模型为点圆模型；④GF最小值对应的线段为GB-10；⑤求线段长，连接GB，如图所示：在RtΔBCG中，∠C=90°，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，则CG=5,BC=10，根据勾股定理可得BG=CG2+BC2=52+102=55，当G、F、B三点共线时，GF最小为55-10，接下来，求AE的长：连接EG，如图所示=SΔEDG+SΔBCG+根据翻折可知EF=EA,∠EFB=∠EAB=90°，设AE=x，则根据等面积法可知S正方形SΔBAE+SΔBEG，即100=12DE⋅DG+12BC⋅CG+12AB⋅AE+12BG⋅EF=1 2510-x+5×10+10x+55x整理得5+1x=20，解得x=AE=205+1=205-15+15-1=55-5，故答案为：55-5．【点拨】本题考查动点最值下求线段长，涉及到动点最值问题的求解方法步骤，熟练掌握动点最值问题的相关模型是解决问题的关键．4.(2024·内蒙古兴安盟·二模)如图，在正方形ABCD中，点M，N分别为AB，BC上的动点，且AM= BN，DM，AN交于点E，点F为AB的中点，点P为BC上一个动点，连接PE，PF，若AB=4，则PE +PF的最小值为．【答案】210-2【分析】证明△DAM≌△ABN SAS，则∠ADM=∠BAN，∠AED=90°，如图，取AD的中点O，则E在以O为圆心，AD为直径的圆上运动，作F关于BC对称的点F ，连接PF ，连接OF 交⊙O于E ，则PF = PF，由PE+PF=PE+PF ，可知当O、E 、P、F 四点共线时，PE+PF最小为E F ，由勾股定理得，OF =AF 2+OA2=210，根据E F =OF -OE ，求解作答即可．解：∵正方形ABCD，∴AD=AB，∠DAM=∠ABN=90°，又∵AM=BN，∴△DAM≌△ABN SAS，∴∠ADM=∠BAN，∴∠ADM+∠DAE=∠BAN+∠DAE=90°，∴∠AED=90°，如图，取AD的中点O，则E在以O为圆心，AD为直径的圆上运动，作F关于BC对称的点F ，连接PF ，连接OF 交⊙O于E ，∴PF =PF，∴PE+PF=PE+PF ，∴当O、E 、P、F 四点共线时，PE+PF最小为E F ，由勾股定理得，OF =AF 2+OA2=62+22=210，∴E F =OF -OE =210-2，故答案为：210-2．【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，90°圆周角所对的弦为直径，轴对称的性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，90°圆周角所对的弦为直径，轴对称的性质，勾股定理是解题的关键．。

初三隐形圆练习题题目一：已知圆心坐标为O(2, -1)，点A(5, 4)为圆上一点，求圆的方程。

解题思路：首先，我们知道圆的方程一般形式为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。

已知圆心坐标为O(2, -1)，可以得到方程为(x-2)² + (y+1)² = r²。

接下来，我们需要确定半径的值。

已知点A(5, 4)为圆上一点，代入圆的方程，得到(5-2)² + (4+1)² = r²，化简得到9 + 25 = r²，即34 = r²。

综上所述，根据已知条件，圆的方程为(x-2)² + (y+1)² = 34。

题目二：已知圆心坐标为O(3, -2)，圆的半径为5，求圆上一点的坐标。

解题思路：我们可以利用圆的一般方程(x-a)² + (y-b)² = r²，将圆心坐标代入方程，得到(x-3)² + (y+2)² = 5²，即(x-3)² + (y+2)² = 25。

我们需要确定圆上的一点坐标，代入坐标(x, y)后，方程变为(x-3)² + (y+2)² = 25。

在此方程中，我们可以取x = 3+5cosθ，y = -2+5s inθ作为点的坐标，其中θ为任意实数。

综上所述，根据已知条件，圆上一点的坐标可以表示为(x, y) = (3+5cosθ, -2+5sinθ)。

注意：练习题中的具体要求可能会涉及到更为复杂的计算和推导，此处仅提供了基本的求解思路。

实际解题时，应根据具体情况进行推导和计算。

2019中考数学复习隐形圆问题大全(后有专题练习无答案)2019中考数学复：隐形圆问题大全一定点+定长根据到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆的原理，可以应用到以下问题中：1.在四边形ABCD中，AB=AC=AD=2，BC=1，且AB∥CD，求BD的长度。

解析：因为AB=AC=AD=2，所以B、C、D在以A为圆心、2为半径的圆上。

又因为AB∥CD，所以DE=BC=1.根据勾股定理，易得BD=√15.2.在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是多少？解析：因为E是定点，EB′是定长，所以B′点路径为以E为圆心、EB′为半径的圆。

作穿心线DE可得B′D的最小值为2√10.3.在ΔABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在ΔABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为多少？解析：首先确定A、B点的位置，因为AC=2，所以C点在以A为圆心、2为半径的圆上。

因为点O是点C以点B为中心顺时针旋转45度并1：√2缩小而得，所以将圆A旋转45度再1：2缩小即可得到O点路径。

转化为求定点A到定圆F的最长路径，即AF+FO=3+2√2.二定线+定角根据与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧的原理，可以应用到以下问题中：1.在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是CD上的动点，当∠APB=90°时求DP的长度。

解析：因为AB为定线，∠APB为定角（90°），所以P点路径为以AB为弦（直径）的弧。

根据勾股定理，可得DP为2或8.2.在等边三角形ABC中，∠XOY = 45°，点A、B分别在OX、OY上移动，且AB = 2，那么OC的最大值为多少？解析：因为AB为定线，∠XOY为定角，所以O点路径为以AB为弦所含圆周角为45°的弧。

爱“躲猫猫”的圆之“圆”形毕露几何求最值是初中数学难点之一，而“隐圆”问题便是常见的一类考题，此类问题综合性强（常常会牵扯到三角形、四边形、甚至坐标系等问题），隐蔽性强（不容易想到），加上部分题目的计算量很大，很容易造成同学们的丢分。

近年来在全国各地的中考或名校的模拟考试中经常会出现“隐圆”求最值的问题(2014、2015、2016、2017、2018连续五年陕西中考的压轴题的最后一问都牵扯到了隐圆）。

此类题目出现的位置一般是在填空的最后一题或是压轴题，基本都是难题。

广大学生在此问题上经常丢分，甚至已经到了谈“隐圆”变色的地步。

为此宁老师和靳老师针对此类问题进行归类整理，希望对同学们有所帮助。

何谓“隐圆”？所谓“隐圆”就是题目中明明有圆或者牵扯到圆但做题的人就是看不见的圆，需要通过对题目的分析，找到题目条件隐藏下的圆。

然后利用圆中的性质使得模糊问题清晰化、复杂问题简单化。

那么哪些条件就会隐藏圆呢？方案一：当题目中出现到定点的距离等于定长的点（或动点）即可考虑“隐圆”。

此即“定点定长存隐圆”。

例1：如图在四边形OABC中，AB=OA=OB=OC，则∠ACB的大小为______度。

例1题图分析：此题若直接从四边形问题入手可能会比较棘手，甚至无从下手；但若观察到题目中A、B 、C 三点到O 点的长度相等，想到“定点定长存隐圆”。

那么A 、B 、C 三点就在以O 为圆心以OA 为半径的圆上，此时问题就很容易解决了。

例2：如图，地面OB 与墙OA 垂直，在墙与地面斜放一根8米长的竹竿MN ，当竹竿的N 端点由O 点开始向右平移直至竹竿的M 端点与O 点重合时结束，此时竹竿的中点P 的运动长度是分析：要想求出P 点运动的长度首先要知道P 点是怎么走的也就是要知道P 点的运动轨迹，观察到题目中P 点到O 点的距离始终不变（直角三角形斜边中线等于斜边一半），即可确定P 点的运动轨迹为以O 为圆心以OP 长为半径的弧，那么所求问题也就随之解决。

2019年中考初三数学专题系列辅助圆模型一：“隐形圆”解点的存在性模型分析“定边、定角”圆上找.具体来说：当边长一定，其所对角度也一定时，该角顶点在两段弧上.1. 如图，已知线段AB.（1）请你在图①中画出使∠APB＝90°的所有满足条件的点P；（2）请你在图②中画出使∠APB＝60°的所有满足条件的点P；（3）请你在图③中画出使∠APB＝45°的所有满足条件的点P.2. （1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5.请你在图①中矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的点P；（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝.请你在图②中矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝60°的点P；（3）如图③，在正方形ABCD中，AB＝2，BC＝.请你在图③正方形ABCD的边上画出使∠BPC＝45°的点P.3. 如图，线段AB和动点C构成△ABC，AB＝2，∠ACB＝120°，则△ABC周长的最大值为___________..模型二：“隐形圆”解角的最值模型分析同弧所对的圆周角相等，其所对的“圆外角”小于圆周角，“圆内角”大于圆周角. 如图①，∠B＝∠D ＝∠E；如图②，∠F＞∠B＞∠G.4. 如图，线段AB是球门的宽，球员（前锋）在距球门前一定距离的直线b上，在直线b上是否存在一点P，使得球员在P点射门更易进球？若存在这样的点，请找出；若不存在，请说明理由.5. 如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点.（1）使∠APB＝30°的点P有________个；（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，请说明理由.模型三：“隐形圆”解线段的最值模型分析平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小值. 具体分以下三种情况讨论（规定OD＝d，⊙O半径为r）：第一种：当点D在⊙O外时，d>r，如图①、②：当D，E，O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为（d＋r），DE的最小值为（d－r）；第二种：当点D在圆上时，d＝r，如图③：当D，E，O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为d＋r＝2r （即为⊙O的直径），DE的最小值为d－r＝0（点D，E重合）；第三种：当点D在⊙O内时，d<r，如图④、⑤：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为d＋r，DE的最小值为r－d.6. 如图，已知⊙O及其圆外一点C，请在⊙O上找一点P，使其到点C的距离最近.7. 如图，已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CD方向向终点C和D运动.连接AM和BN，交于点P，则PC长的最小值为_________（请在图中画出点P的运动路径）8. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB上一个动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值为___________.（请在图中画出点A′的运动路径）9. 如图，∠AOB＝45°，边OA，OB上分别有两个动点C，D，连接CD，以CD为直角边作等腰直角△CDE，当CD长保持不变且等于2 cm时，则OE的最大值为___________..模型四：“隐形圆”解面积的最值模型分析三角形中，若一边长为定值，这一边所对的角度也为定值，则满足条件的点在两段弧上运动，当这个角的顶点在其对边的中垂线与弧的交点处时该三角形的面积达到最大，此时该三角形为等腰三角形.例：如图，AB＝2，∠APB＝90°，要求S△APB的最大值，当且仅当PO⊥AB时，△APB的面积最大.10. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，若AD＝2，BC＝4，则四边形ABCD面积的最大值是___________..11. 如图，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，AC＝4，则四边形ABCD面积的最小值是___________.12. 如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝45°，分别以AC，BC为边向外作正方形ACED，正方形CBMN，连接EN，则△ECN面积的最大值为___________.___..13.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）A. B. C. D.13.如图,在Rt△ABC中,∠B=60∘,BC=3,D为BC边上的三等分点,BD=2CD,E为AB边上一动点,将△DBE沿DE折叠到△DB′E的位置,连接AB′,则线段AB′的最小值为：___________.14.如图,O 的直径为4,C 为O 上一个定点,∠ABC =30∘,动点P 从A 点出发沿半圆弧AB ˆ向B 点运动(点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点。

初中隐圆问题经典题型
1. 有一圆心角为60°的圆，半径为5cm，求圆心角所对的弧长。

解析：由圆心角的定义可知，它所对应的弧长等于圆周长的60/360，即1/6。

所以弧长为1/6 × 2πr = 5π/3 ≈ 5.24cm。

2.若一圆的圆心角A比B小90°，则弧AB的长度是弧BC的的2倍，求A的大小。

解析：设圆心角A的大小为x，则圆心角B的大小为x+90°。

又因为
弧AB的长度是弧BC的2倍，所以：
2x/360×2πr=(x+90)/360×2πr/3。

化简得：
4x=x+90。

x=22.5°。

所以圆心角A的大小为22.5°。

3.垂直于直线AB，在其上选一点C，将圆O截得弧AC和弧BC。

若
AC=BC，则圆心O在直线AB上。

解析：考虑圆O的直径线段DE与直线AB的交点F，连接OF。

可知弧AC和弧BC所对圆心角相等，即∠AOC=∠BOC。

又因为AC=BC，所以OF垂
直于AC、BC的平分线，即OF为圆O的切线。

由切线定理可得，DE垂直
于OF，所以DE//AB。

而圆O的直径线段DE必过圆心O，所以圆心O在直
线AB上。

2.应用：（1）如图，四边形ABCD二定线+定角1.依据：与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。

2.应用：（1）矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是CD上的动点，当∠APB=90°时求DP的长.简析：AB为定线，∠APB为定角（90°），P点路径为以AB为弦（直径）的弧，如下图，易得DP为2或8。

（2）如图，∠XOY = 45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB = 2，那么OC的最大值为.简析：作ΔABC的处接圆（4）如图,在平面直角坐标系中三三点定圆1.依据：不在同一直线上的三点确定一个圆。

2.应用：ΔABC中，∠A＝45°，AD⊥BC于D，BD=4，CD=6，求AD的长。

简析：作ΔABC的外接圆，如下图，易得AD=7+5=12。

四四点共圆1.依据：对角互补的四边形四个顶点共圆（或一边所对两个角相等）。

2.应用：如图，在矩形ABCD中， AB=6，AD=8，P、E分别是线段AC、BC上的点，四边形PEFD为矩形，若AP=2，求CF的长。

简析：因∠PEF=∠PDF=∠DCE=90°，知D、F、C、E、P共圆，如下图，由∠1=∠2、∠4=∠5，易得ΔAPD∼ΔDCF，CF：AP＝CD：AD，得CF＝1.5。

五旋转生圆1.如图，圆O的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB=6，以为AB边作正方形ABCD（点D、P在直线两侧），若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为_____ 。

简析：CD旋转一周扫过的图形可以用两点确定，一是最远点距离为PC，二是最近点距离为P到直线CD的垂线段，从而确定两个圆，CD即为两圆之间的圆环，如下图。

2.如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=5cm，AC=2cm，将ΔABC绕顶点C按顺时针方向旋转至ΔA'B'C的位置，则线段AB扫过区域的面积为_____。

发现发现““隐形隐形””圆 巧求最小值在近几年的中考数学试题中，常有一些涉及到求线段最小值的问题.这些题目入手较难，得分率很低，分析其原因不难发现，学生对题目中运动变化的本质没有搞清楚.在这些蕴含运动变化的问题中，并没有显性的圆，但是仔细分析题目的条件，如果能发现某个点的运动路径是一个圆(或是一段弧)，可谓是“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，将会对问题的解决起着重要的作用.下面举例说明.一、翻折中的“隐形”圆例1 如图1，在Rt ABC ∆中，90,6,8C AC BC ∠=°==，点F在边AC 上，并且2CF =，点E 为边BC 上的动点，将CEF ∆沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是 .解 如图2，当点E 在BC 上运动时, PF 的长固定不变，即2PF CF ==.所以点P 在 以点F 为圆心，以2为半径的圆上运动.过点F 作FH AB ⊥交⊙F 于点P ，垂足为H ，此时PH 最短.由AFH ABC ∆∆:，得FH FA BC AB=.又由已知易得4,10AF AB ==.所以4810FH =，即165FH =.所以P 到AB 距离的最小值166255PH FH FP =−=−=.点评 本题关键的地方在于抓住无论点E 的位置在哪，翻折,FCE PF ∆的长度始终等 于FC 的长度，即2PF =.也就是说动点P 到定点F 的距离是定值2，所以点F 的运动路径是以点F 为圆心，2为半径的圆(或部分).如此，这个问题就最终转化为在圆上找一个到定直线距离最短的点.我们可以利用图3的模型1来作出直观解释.模型1 如图3，直线m 与⊙O 相离，过D 点O 作直线m 的垂线，垂足为点H ，交⊙O 与点P 、点Q ，则⊙O 上点P 到直线m 的距离最短，点Q 到直线m 的距离最长理由简述 在⊙O 上任意找一点P ′，过P ′作P H ′′⊥直线m ，垂足为点H ′.由三角形三边关系及直角三角形斜边大于直角边可得:OP P H OH OH ′′′′+>>，而OH OP PH =+,OP OP ′=，所以P H PH ′′>，所以点P 到直线m 的距离最短.类似的方法可以说明点P 到直线m 的距离最长.例2如图4，在边长为2的菱形ABCD 中，60,A M ∠=°对是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点.将AMN ∆沿MN 所在的直线翻折得到A MN ′∆，连结A C ′，则A C ′长度的最小值是 .解 当点N 在AB 边上运动时，MA ′的长度固定不变，即1MA MA ′==，所以点A ′在以点M 为圆心，1为半径的圆上运动，如图5，连接CM ，与⊙M 交于点A ′，此时CA ′最短.过点C 作CG AD ⊥交AD 的延长线于点G .因为2,60CD CDG A =∠=∠=°，所以1,DG CG ==，在Rt CMG ∆中，由勾股定理，得CM == 点评 同例1，无论N 点在何处，沿MN 翻折后，线段MA ′的长度(1MA MA ′==)保持不变，而且点M 是定点，所以点A ′的运动轨迹是以M 为圆心，1为半径的圆(部分).要求A C ′的最小值，回归到模型1中，连结圆外定点C 与圆心M 与圆M 交于点A ′，此时A C ′的长度即为最小值.我们可以借助图6利用模型2来作出直观解释.模型2 如图6，点P 为⊙O 外一定点，连结PO 交⊙O 于点A ，延长线与⊙O 交于另一点B ，则PA 的长度为⊙O 外一点P 到⊙O 的最短距离，PB 的长度为⊙O 外一点P 到⊙O 的最长距离.理由简述 在⊙O 上再任意找一点A ′ ,连接PA ′，由三角形三边关系，可得OA PA OP ′′+>.又,OP OA AP OA OA ′=+=，所以PA PA ′>.类似的方法可以说明PB 的长度为⊙O 外一点P 到⊙O 的最长距离.例3 如图7，菱形ABCD 的边8,60AB B =∠=°,P 是AB 上一点，3,BP Q =是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠, A 的对应点为A ′.当 CA ′的长度最小时，CQ 的长为 .解 如图8，过C 作CE AB ⊥，连结AC .因为ABCD 是菱形，60B ∠=°，所以ABC ∆为等边三角形，所以84,3,12AE EB BP EP =====.要使CA ′的长度最小，则梯形APQD 沿直线PQ 折叠后A 的对应点A ′应落在CP 上，且对称轴PQ 应满足//PQ DE .由作图知，DEPQ 为平行四边形，所以1,817DQ EP CQ CD DQ ===−=−=.点评 点Q 在线段CD 上无论运动到何处，梯形APQD 沿直线PQ 折叠后PA ′的长度始终保持不变，因此A ′点的运动路径就是以点P 为圆心，PA 长为半径的圆.借助模型2，可知，当点A ′落在线段CP 与⊙P 的交点时，CA ′的长度最小.由PQ 平分,//APC CD AB ∠，可得CQ CP =.作CE AB ⊥，构造Rt CEP ∆，从而可以求出CP 的长.二、直角中的“隐形”圆例4 如图9，在正方形ABCD 中，动点,E F 分别从,D C 两点同时出发，以相同的速度在直线,DC CB 上移动.连结AE 和DF 交于点P ,由于点,E F 的移动，使得点P 也随之运动，请你画出点P 运动路径的草图.若2AD =,试求出线段CP 的最小值.解 由题意，可得DE CF =.又因为,90AD CD ADC DCB =∠=∠=°,所以ADE DCF ∆≅∆,所以DAE CDF ∠=∠.因为90ADP CDF ∠+∠=°，所以90DAE ADP ∠+∠=°.由于点P 在运动中保持90APD ∠=°.听以点P 的路径是一段以AD 为直径的弧.设AD 的中点为O ，连结OC 交弧于点P ，此时CP 的长度最小.在Rt ODC ∆中，OC ===，所以1CP OC OP =−=−. 点评 此题的本质是抓住动点,E F 在运动过程中，始终保持AE DF ⊥，即90APD ∠=°,这样点P 的运动路径就确定了，即点P 在以AD 为直径的圆弧上，再根据模型2求解即可.例5如图10, Rt ABC ∆中，,6,4,AB BC AB BC P ⊥==是ABC ∆内部的一个动点，且满足PAB PBC ∠=∠，则线段CP 长的最小值为 .解 因为90ABC ∠=°,所以90ABP PBC ∠+∠=°.又因为PAB PBC ∠=∠,所以90BAP ABP ∠+∠=°，即90APB ∠=°，所以点P 在以AB 为直径的⊙O 上.连结OC 交⊙O 于点P ，此时PC 最小，在Rt BCO ∆中，90,4,3OBC BC OB ∠=°==，可得5OC =,所以532PC OC OP =−=−=，即PC 最小值为2.点评 首先，根据题目的条件不难得出90APB ∠=°，从而可以证明点P 在以AB 直径的⊙O 上.利用模型2，连结OC ，与⊙O 交于点P ，此时PC 最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题.以上例题说明，在求一类线段最值问题中，如果遇到动点的运动路径是圆时，只需利用上面提到的模型1或模型2就可以解决.然而难点在于如何知道动点的运动路径是圆，如何将这个隐身“圆”找出来?从以上例子中可以得出以下两种方法:①观察到定点的距离，即圆是到定点距离等于定长的点的集合;②“定弦对定张角”，如例5中线段AB是定值，当动点P在运动过程中，APB∠的大小不变等于90°(当然不一定为直角)，点P的运动路径也是圆(或弧).因此，教师在教学时，要让学生理解概念的本质，还要培养学生对常见模型的敏感性，从而在有限的考试时间内，能快速获得破解难题的策略.。