2019中考数学复习 隐形圆问题大全(后有专题练习无答案)

2019中考数学复习隐形圆问题大全

一定点+定长

1.依据：到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆。

2.应用：

（1）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD=2，BC=1，AB∥CD，求BD的长。

简析：因AB=AC=AD=2，知B、C、D在以A为圆2为半径的圆上，由AB∥CD 得DE=BC=1，易求BD=15。

（2）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC 边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是.

简析：E为定点，EB′为定长，B′点路径为以E为圆心EB′为半径的圆，作穿心线DE得最小值为210。

（3）ΔABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在ΔABC外作正方形BCDE，BD、CE 交于点O，则线段AO的最大值为.

简析：先确定A、B点的位置，因AC=2，所以C点在以A为圆心，2为半径的圆上；因点O是点C以点B为中心顺时针旋转45度并1：√2缩小而得，所以把圆A旋转45度再1：2缩小即得O点路径。如下图，转化为求定点A到定圆F的最长路径，即AF+FO=32。

二定线+定角

1.依据：与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。

2.应用：

（1）矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是CD上的动点，当∠APB=90°时求DP的长.

简析：AB为定线，∠APB为定角（90°），P点路径为以AB为弦（直径）的弧，如下图，易得DP为2或8。

（2）如图，∠XOY = 45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB = 2，那么OC的最大值为.

简析：AB为定线，∠XOY为定角，O点路径为以AB为弦所含圆周角为45°的弧，如下图，转化为求定点C到定圆M的最长路径，即CM+MO=3+1+2。

（3）已知A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当∠ACB最大时，则点C的坐标为_____．

简析：作ΔABC的处接圆M，当∠ACB最大时，圆心角∠AMB最大，当圆M 半径最小时∠AMB最大，即当圆M与y轴相切时∠ACB最大。

如下图，易得C点坐标为（0，22）或（0，-22）。

（4）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax^2-3ax-4a的图象经过点C(0,

2),交轴于点A、B，(A点在点左侧),顶点为D.

①求抛物线的解析式及点A、B的坐标;

②将ΔABC沿直线BC对折,点A的对称点为A',试求A'的坐标;

③抛物线的对称轴上是否存在点P,使∠BPC=∠BAC？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

简析③：定线BC对定角∠BPC=∠BAC，则P点在以BC为弦的双弧上（关于BC对称），如下图所示。

三三点定圆

1.依据：不在同一直线上的三点确定一个圆。

2.应用：

ΔABC中，∠A＝45°，AD⊥BC于D，BD=4，CD=6，求AD的长。

简析：作ΔABC的外接圆，如下图，易得AD=7+5=12。

四四点共圆

1.依据：对角互补的四边形四个顶点共圆（或一边所对两个角相等）。

2.应用：

如图，在矩形ABCD中， AB=6，AD=8，P、E分别是线段AC、BC上的点，四边形PEFD为矩形，若AP=2，求CF的长。

简析：因∠PEF=∠PDF=∠DCE=90°，知D、F、C、E、P共圆，如下图，由∠1=∠2、∠4=∠5，易得ΔAPD∼ΔDCF，CF：AP＝CD：AD，得CF＝1.5。

五旋转生圆

1.如图，圆O的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB=6，以为AB边作正方形ABCD（点D、P在直线两侧），若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为_____ 。

简析：CD旋转一周扫过的图形可以用两点确定，一是最远点距离为PC，二是最近点距离为P到直线CD的垂线段，从而确定两个圆，CD即为两圆之间的圆环，如下图。

2.如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=5cm，AC=2cm，将ΔABC绕顶点C按顺时针方向旋转至ΔA'B'C的位置，则线段AB扫过区域的面积为_____。

简析：扫过的阴影部分旋转拼合成如下圆心角为45度的扇环。

六动圆综合

1.动圆+定弦：依据直径是圆中最长的弦，知此弦为直径时，圆最小。

如图, △ABC中, ∠ABC＝90°, AB＝6, BC＝8, O为AC的中点, 过O作OE⊥OF, OE、OF分别交射线AB、BC于E、F, 则EF的最小值为.

简析：图中显然O、E、F、B共圆，圆是动的，但弦BO＝5，当BO为直径时最小，所以EF最小为5.

2.动圆+定线：相切时为临界值。

如图, Rt△ABC中, ∠C＝90°, ∠ABC＝30°, AB＝6, 点D在AB边上, 点E是BC边上一点 (不与点B、C重合), 且DA＝DE, 则AD的取值范围是。

简析：因DA=DE，可以D点为圆心以DA为半径作圆，则圆D与BC相切时，半径DE最小。E向B点移动半径增大直至D到B处（不含B点），得2≤AD<3。

3.动弦+定角：圆中动弦所对的角一定，则当圆的直径最小时此弦长最小。已知：△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，D、E分别为AB、AC边上的一个动点，过D分别作DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，过E作EH⊥AB于H，EI⊥BC 于I，连FG、HI，

求证：FG与HI的最小值相等。

简析：可以看HI何时最小，因B、H、E、I共圆，且弦HI所对圆周角一定，所以当此圆直径最小时弦HI最小，即当BE最小时，此时BE⊥AC，解△OHI 可得HI的最小长度。同样可求FG的最小长度。

此题可归纳一般结论：当∠ABC=α，∠ACB=β，BC=m时，FG和HI的最小值均为m*sinα*sinβ。