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隐圆问题一【问题背景】有些数学问题，将圆隐藏在已知条件里，隐晦地考查点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系．解题时，需要我们通过分析探索，发现这些隐藏的圆（简称隐圆），再利用和圆有关的一些知识进行求解．二、【范例】1.点和隐圆例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22650x y x +-+=，点,A B 在圆C 上，且AB =OA OB +的最大值是 ．分析与解：圆C 即22(3)4x y -+=，圆心为(3,0)，半径为2如图，取AB 中点D ，连结CD ，则结合垂径定理和勾股定理 易得1CD =．因此动点D 在以(3,0)C 为圆心，1为半径的圆上运 动，此圆方程为：22(3)1x y -+=．另一方面，由于D 为AB 的中点，所以2OA OB OD +=，则2OA OB OD +=，因而只要求圆22(3)1x y -+=上一动点D 到定点O 距离的最大值，易知此最大值为14OC +=，故OA OB +的最大值是8． 说明：OA OB +的最小值是2(1)4OC -=．例2 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:16O x y +=，点(1,2)P ，,M N 为圆O 上的不同的两点，且0PM PN ⋅=，若PQ PM PN =+，则PQ 的最小值为 ．解：如图，取MN 中点A ，连结OA ，ON ， 则2PQ PM PN PA =+=，设(,)A x y ，因为A 为MN 的中点，所以OA MN ⊥， 则2222216()AN ON OA x y =-=-+，又因为0PM PN ⋅=，所以PA AN =，即2222(1)(2)16()x y x y -+-=-+，所以 22127()(1)24x y -+-=， 故点A 在以1(,1)2B为圆心，半径R = 显然定点(1,2)P 在此圆内，因而求PA 的最小值即为求定点(1,2)P 与圆B ：22127()(1)24x y -+-=上一点距离的最2BP =，故PQ的最小值为- 说明：PQ的最大值为．2.直线和隐圆例3 已知动点M 与两个定点)0,3(),0,0(A O 的距离之比为21，那么直线AM 的斜率的取值范围是 ．解：先求动点M 的轨迹方程．设),(y x M ，由21=MA MO 得21)3(2222=+-+y x y x ， 整理得4)1(22=++y x ，即动点M 在以(1,0)B -为圆心，2为半径的圆上运动． 当直线AM 与圆B 相切时，设斜率为k ，则其方程为(3)y k x =-，根据2=得3k =±，结合图形可知，直线AM 的斜率的取值范围是[． 说明：到两定点距离之比（不为1）等于已知数的动点轨迹为圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆．例4在平面直角坐标系xOy 中，设点(1,0),(3,0),(0,),(0,2)A B C a D a +，若存在点P ，使得,PA PC PD ==，则实数a 的取值范围是 ．解：设(,)P x y=，整理得22(5)8x y -+=，即动点P 在以(5,0)为圆心，为半径的圆上运动． 另一方面，由PC PD =知动点P 在线段CD 的垂直平分线1y a =+上运动，因而问题就转化为直线1y a =+与圆22(5)8x y -+=有交点，所以1a +≤a的取值范围是[1,1]-．3.圆和隐圆例5在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆的半径为1 ，圆心在l 上.若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解： 设(),24C a a -，则圆方程为()()22241x a y a -+-+= 又设00(,)M x y ，2MA MO = ()22220000344x y x y ∴+-=+， 即()220014x y ++=这说明M 既在圆()()22241x a y a -+-+=上，又在圆()2214x y ++=上，因而这两个圆必有交点，即两圆相交或相切，2121∴-≤≤+，解得1205a ≤≤，即a 的取值范围是12[0,]5． 例6 已知22(1)(4)4M x y -+-=：，若过x 轴上的一点(0)P a ，可以作一直线与M相交于,A B 两点，且满足PA BA =，求a 的取值范围． 解法1：如图3，过点B 作M 的直径BD ，连结,DA DP ， 要存在满足条件的点P ，只要M 存在点D 即可．由于90BAD ∠=，PA BA =，所以4DP DB ==， 因而点D 在以(0)P a ，为圆心，4为半径的:P 22()16x a y -+=上运动，这说明点D 同时在M 和P 上，因而两个圆必有交点，042∴≤+，解得a的取值范围是1⎡-+⎣． 解法2：设(,)A x y ，则(2,2)B x a y -． 因为点B在M上，所以22(21)(24)4x a y --+-=，即221()(2)12a x y +-+-=(*)， 这表明点A 在方程(*)表示的圆上，又点A 在M 上，因此这两个圆有公共点，2112∴-≤≤+，解得a 的取值范围是1⎡-+⎣．三、【练习】1．在平面直角坐标系xOy 中，若满足)()(y k y k x x -≤-的点),(y x 都在以坐标原点为圆心，2 为半径的圆及其内部，则实数k 的取值范围是________答案：[2．若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为,则直线l 斜率的取值范围是___________.答案：[223. 在平面直角坐标系xOy 中，若与点)2,2(A 的距离为1且与点)0,(m B 的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围为__________答案：()322,2)2,322(+-4. 若实数,,a b c 成等差数列，点(1,0)P -到动直线0=++c by ax 上的射影为M ，已知点(3,3)N ，则线段MN 长度的最大值为____________答案：105. 已知1l 和2l 是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点是A ，动点C B ,分别在1l 和2l 上，且23=BC ，过C B A ,,三点的动圆所形成的区域的面积为__________ 答案：π18解析：,,A B C 三点的动圆在以BC 为直径的圆上，以AB 的中点M 为圆心，M 点的轨迹是以A 为圆心，223为半径的圆，所以动圆所形成的区域是是以A 为圆心，23为半径的圆．。
微专题6 隐形圆问题题型一 与圆的切线有关的隐性圆例1 已知圆O :x 2+y 2=1,直线l :ax +y =3,若直线l 上存在点P ,过点P 作圆O 的两条切线,切点为A ,B ,使得∠APB =60°,则实数a 的取值范围是 .答案 ∪ 5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭解析 由∠APB =60°,得∠APO =30°,PO =2OA =2,则点P 的轨迹是以点O 为圆心,2为半径的圆,方程为x 2+y 2=4.又直线l 上存在点P ,所以直线l :ax +y =3与圆x 2+y 2=4相切或相交, ≤2.解得a ≤- 或a ≥ .21a 5252【方法归纳】 与圆的切线相关的问题,一般连接圆心与切点,在直角三角形中利用边角关系转化,最终求出动点的轨迹方程(即隐性圆),将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系求解.1-1 已知圆O :x 2+y 2=1,直线l :ax +y =3,若直线l 上存在点P ,过点P 作圆O 的两条切线,切点为A ,B ,使得四边形OAPB 为正方形,则实数a 的取值范围是 .答案 ∪ 14,2⎛-∞- ⎥⎝⎦14,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭解析 由四边形OAPB 为正方形,得∠APB =90°.所以∠APO =45°,PO = 所以点P 的轨迹是以点O 为圆心 ,方程为x 2+y 2=2.又直线l 上存在点P ,所以直线l :ax +y =3与圆x 2+y 2=2相切或相交, 解得a ≤- 或a ≥ .22221a +2142142题型三 与相交弦有关的隐性圆例2 (2017连云港高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,圆C:(x+2)2+(y-m)2=3.若圆C存在以G为中点的弦AB,且AB=2GO,则实数m的取值范围是 .22答案 解析 由AB GO ,得GO 2+CG 2=3.设点G (x ,y ),则x 2+y 2+(x +2)2+(y -m )2=3.整理,得(x +1)2+ = ,m 2≤2,此即为点G 的轨迹方程.又点G 在圆C 的内部, 两边平方并化简,得 - 恒成立.所以只要m 2≤2即可.故m 的取值范围是[- , ].23CG -22m y ⎛⎫- ⎪⎝⎭224m -214m +3224m -22m 5223(2)m -22【方法归纳】 当直线与圆相交时,特征三角形(由弦心距、半弦长、半径构成)的应用是最普遍的,在特征三角形中应用边角关系求出动点的条件是解题的关键.2-1 已知A ,B 是圆O :x 2+y 2=1上的动点,满足AB = P 是圆C :(x -3)2+(y -4)2=1上的动点,则| + |的取值范围是 .3PA →PB →答案 [7,13]解析 设AB 的中点为Q ,则OQ = ,点Q 的轨迹方程是x 2+y 2= .所以 =2 .又点P 在圆C 上,OC =5,所以 ∈ .所以 ∈[7,13].1214PA PB →→+PQ →PQ →713,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦PA PB →→+2-2 已知A ,B 是圆O :x 2+y 2=9上的动点,且直线AB 过定点M (2,0),P 是圆C :(x -3)2+(y -4)2=1上的动点,则 的取值范围是 .PA PB →→+答案 +8]55解析 设AB 的中点为Q ,则OQ ⊥QM ,即点Q 在以OM 为直径的圆上,点Q 的轨迹方程是(x -1)2+y 2=1.所以 =2 .又点P 在圆C 上,圆心距为 ,则 ∈ 所以 ∈ +8].PA PB →→+PQ →5PQ →55PA PB →→+552-3 (2018泰州中学高三月考)已知动直线y =kx +4-3k 与函数f (x )= 的图象交于A ,B 两点,点P (x , y ) 是平面上的动点,且满足| + |=2,则x 2+y 2的取值范围为 .4113x x --PA →PB →答案 [16,36]解析 函数f (x )的图象关于点C (3,4)对称,直线y =k (x -3)+4也经过点C (3,4),所以A ,B 两点关于点C 对称, =2 =2, =1,即点P 的轨迹是以C 为圆心、1为半径的圆,圆心C 到原点的距离是5.所以圆C ∈[4,6],则x 2+y 2∈[16,36].PA PB →→+PC →PC →22x y +1.(2018扬州中学高三模拟)若直线kx-y-k+2=0与直线x+ky-2k-3=0交于点P,则OP长度的最大值为 .答案 2解析 直线kx-y-k+2=0恒过点A(1,2),直线x+ky-2k-3=0恒过点B(3,2),且两直线垂直,则它们的交点P的轨迹是以AB为直径的圆,方程是(x-2)2+(y-2)2=1.又圆心(2,2)到原点O的距离为 所以OP长度的最大值为 +1.222.(2017南京、盐城高三模拟)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 1:kx -y +2=0与直线l 2:x +ky -2=0相交于点P ,则当实数k 变化时,点P 到直线x -y -4=0的距离的最大值为 .答案 2解析 由题意可得,直线l 1恒过定点(0,2),直线l 2恒过定点(2,0),且l 1⊥l 2,则点P 的轨迹是以(0,2)和(2,0)为直径两端点的圆,方程为(x -1)2+(y -1)2=2.又圆心(1,1)到直线x -y -4=0 所以点P 到直线x -y -4=0的距离的最大值为 2--223.(2017江苏扬州高三期末)已知△ABC 是边长为3的等边三角形,点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点,点Q 满足 = + ,则| |的最小值是 .AQ →23AP →13AC →BQ →答案 - 723解析 以点A 为坐标原点,AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,设P (x 0,y 0),Q (x ,y ),则x 02+y 02=1, 所以 代入 + =1,得(x -1)2+y 2= ,此即为点Q 的轨迹方程.又B ,则点B 到圆心(1,0) 所以| | - .0021,32.3x x y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩003(1),23.2x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩20x 20y 49333,22⎛⎫ ⎪⎝⎭7BQ →723。
专题58 隐形圆问题专题知识梳理隐形圆也就是题目中给出的条件不是给出一个圆，而是要通过设点、列式、化简得到动点的轨迹是一个圆.本专题分四个方面讲了隐形圆问题.1． 利用圆的定义：在平面内到定点的距离等于常数，则这个点的轨迹是一个圆.解决这类问题只要抓住两个关键词：定点，定长.然后再化归为圆中的有关问题去解.2． 是利用几何特征，直径所对的圆周角是直角，得到了隐形圆，有时两个定点所张的角也不一定是90o，可以是其他的定角，则动点的轨迹是两段圆弧.3． 动点到两个定点的距离的平方和是定值，则这个点的轨迹也是一个圆，当然这个定值会有一定的范围，否则轨迹不存在，如果在某一距离前加其他系数也可以.4． 是著名的阿波罗尼斯圆：到两个定点的距离之比是一个不为1的定值，这类题可能给出的背景也不在解析几何中，是要自己建系后，才能看出点的轨迹.所以在解题时要当心给出的条件.5． 化归思想在本专题的作用很重要，因为给出的条件不是圆，是需要大家在解题分析得出的，另外得到圆以后，要合理用好点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系.考点探究【例1】(1)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则a 的取值范围为____．(2)如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是____．【解析】（1）连OP ，则30OPA ∠=o，∵1OA =，∴2OP =，即P 点的轨迹方程为224x y +=，又点P在圆M 22()(4)1x a y a -+-+=上，∴两圆有交点，即221(4)9a a ≤+-≤，解得：2222a -≤≤+．（2）到原点的距离为1的点的轨迹方程为221x y +=，如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1等价于两圆相交，即2214(3)9a a ≤++≤，解得605a -≤≤． 【例2】(1)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0) 0m >，若圆上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的取值范围是____．(2)（2019·南通一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2＋y 2＝4上两点，点A (1，1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为_ ___．【解析】（1）∵∠APB ＝90°，∴点P 在以AB 为直径的圆上，其方程为222x y m +=，又点P 在圆C ：(x－3)2＋(y －4)2＝1上，且有两个，∴两圆相交，即11m m -≤+，解得46m ≤≤.（2）∵AB ⊥AC ，设D 为AB 的中点，D 点坐标为(,)x y ，BC 的长为2m ，∴DA m =，在三角形OCD 中，有224m OD +=，即2222(1)(1)4x y x y -+-++=，化简得22113()()222x y -+-=，∴DA 的取值范围为,22．∴BC 的取值范围为． 【例3】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A ，直线:4l y x =-，圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ,使2210MA MO +=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围．【解析】设(,)M x y ，∵2210MA MO +=，∴2222(2)10x y x y -+++=，即2223x y x +-=，又圆C 的半径为1，圆心在l 上，∴圆C 的方程为22()(4)1x a y a -+-+=．∵点M也在圆C 上，∴两圆有交点，即221(1)(4)9a a ≤-+-≤，∴2540a a -+≥或250a a -≤，解得4a ≥或1a ≤或05a ≤≤，综上横坐标a 的取值范围为45a ≤≤或01a ≤≤．【例4】已知点A(-2,0)，B(4,0),圆C: 16)4(22=++y x ,P 为圆C 上任意一点，问是否存在常数λ，使λ=PBPA，若存在，求出常数λ的值，若不存在，请说明理由．【解析】假设存在，设P 的坐标为(,)x y ，∵λ=PB PAλ=， ∴22222(2)[(4)]x y x y λ++=-+，即222222(1)(1)(48)4160x y x λλλλ-+-+++-=，又∵P 为圆C 上任意一点，∴16)4(22=++y x ，即228x y x +=-，∴22(164)4160x λλ-+-=对于圆上的任意一点均成立，∴21640λ-=，即12λ=．题组训练1.(2018·扬州一模)已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，点P 到点A 的距离为1，点Q 满足2133AQ AP AC =+u u u r u u u r u u u r，则BQ uuu r 的最小值为 ．【解析】以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则33(,0),(,0),22B C A -，∵点P 到点A 的距离为1，∴2200(1x y +=，设00(,),(,)Q x y P x y ，∵2133AQ AP AC =+u u u r u u u r u u u r ，∴00213(,)(,(,232322x y x y -=-+-，则00333,242x x y y =-=，∴2214()(29x y -+=，令212cos ,sin 323x y αα=+=∴33(,(,(,)2222BQ BA AQ x y x y =+=+-=+u u u r u u u r u u u r ，∴BQ ==u u u r23≥=. 2.已知直线l ：x －2y ＋m ＝0上存在点M 满足与两点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率之积为－1，则实数m 的取值范围是____．【解析】[]－25，25设点(,)M x y ，∵点M 满足与两点A (－2，0)，B (2，0)连线的斜率之积为－1，∵122y yx x ⋅=-+-，∵224x y +=（2x ≠±），又点M 在直线l ：x －2y ＋m ＝0上，∵2≤，即m -≤≤3.已知点(2,2),(0,2)A B -，若直线3x ＋4y －m ＝0上一动点P 满足224PA PB +=，则实数m 的取值范围是________．【解析】设点(,)P x y ，由题意知2222(2)(2)(2)4x y x y ++-++-=，化简得222440x y x y ++-+=，又点P 在直线3x ＋4y －m ＝0上，即直线与圆有公共点，∴3815m-+-≤，解得010m ≤≤．4.（2008·江苏卷）在△ABC 中，2AB =，AC =，则△ABC 面积的最大值是 .【解析】以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则(1,0),(1,0)A B -，设(,)C x y，∵AC ==即2222(1)2(1)2x y x y ++=-+，22(3)8x y -+=，∴点C 到x轴距离的最大值为3+，则△ABC面积的最大值是12332⨯⨯+=+5.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是____．【解析】∵圆C 方程为22(4)1x y -+=，∴圆心为(4,0)，半径为1，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，即两圆有公共点，2≤，化简得2340k k -≤，解得403k ≤≤，∴k 的最大值为43403k ≤≤6.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,2)A -，(1,1)B -，P 为圆222x y +=上一动点，则PBPA的最大值为 ．【解析】设(,)P x y ，PBt PA =t =， 化简得222222(1)(24)2(24)240t x t y x t y t -+-++-+-=， ∵222x y +=，∴22(12)230x t y t --+-=， ∴圆心(0,0)O到直线的距离d =≤，∵0t >，∴02t <≤，即PBPA的最大值为2．7.已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，线段EF 在直线l ：y ＝x ＋1上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A 、B ，使得PA →·PB →≤0，则线段EF 长度的最大值是___． 【解析】设点P 的坐标为(x ，y )，则x 2+y 2=50，∴=(－12－x ，－y )，=(－x ，6－y )，∴=x 2+12x +y 2－6y =12x －6y +50≤20，即2x －y ≤－5，直线2x －y =－5与圆x 2+y 2=50的交点坐标为M (－5，－5)，N (1，7)，圆x 2+y 2=50与x 轴负半轴的交点坐标为(，0)，∴点P 的横坐标的取值范围是≤x ≤1，故答案为.8.设P 在圆O ：224x y +=上运动，点(4,0)A ，直线:1l y kx =+上总存在点Q ，使Q 恒为AP 的中点，求实数k 的取值范围.【解析】设P (,)x y ，11(,)Q x y ，则114,2,2x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵点Q 在直线:1l y kx =+上，∴4122y x k +=+，即(4)2y k x =++，代入224x y +=中得：22(42)4x kx k +++=，即222(1)2(42)16160k x k k x k k +++++=，∴22224(42)4(1)(1616)0k k k k k ∆=+-++≥，即2340k k +≤，403k -≤≤. ∴实数k 的取值范围为：403k -≤≤. 9.在平面直角坐标系xoy 中，直线02:1=+-y kx l 与直线02:2=-+ky x l 相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线04=--y x 距离的最大值为___________.【解析】设P (,)x y ，∵直线1:20l kx y -+=与直线02:2=-+ky x l 垂直，且直线02:1=+-y kx l 过定点(0,2)，直线2:20l x ky +-=过定点(2,0)，∴P 点轨迹方程为22(1)(1)2x y -+-=， ∴点P 到直线04=--y x=10. (2018·苏北四市期末)已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则PA PB +u u u r u u u r的取值范围为________．【解析】因为A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，所以线段AB 的中点H 满足221122AB OH ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,∴H 在圆O ：x 2＋y 2＝41上，且2PA PB PH +=u u u r u u u r u u u r 因为点P 是圆C 2：(x －3)2＋(y－4)2＝1上的动点，所以335522PH -≤≤+u u u r ，即71322PH ≤≤u u ur ，所以7213PH ≤≤u u u r ，从而PA PB +u u u r u u u r 的取值范围是[7,13]．。
“隐形圆”问题省通州高级中学一、问题概述省高考考试说明中圆的方程是c级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没有直接给出圆方而的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为"隐形圆”问题.二、求解策略如何发现隐形圆(或圆的方程)是关键，常见的有以下策略.策略一利用圆的左义(到左点的距离等于立长的点的轨迹)确左隐形圆例1 (1)如果圆仪一2“)2+0,—“一3)2=4上总存在两个点到原点的距离为1,则实数“的取值围是__________ -_6<“<05略解：到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知圆相交求解.(2)(2016年二模)已知圆O：异+)2=1,圆M：匕一")2+0—“+4)2=1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A, B,使得ZAPB = 60第则“的取值围为•解：由题意得O P = 2,所以P在以O为圆心2为半径的圆上，即此圆与圆M有公共点.因此有2-lvOM <2 + lnlW/+(" —4尸 W9=>2 —z+ 乙.2 2(3)(2017年北四市一模)已知A、B是圆C -.x2+y2=i上的动点，AB= 3, P是圆C2：(x-3)2+(y-4)2=l±的动点，则PA + PB的取值围是________________ . [7,13]略解：取的中点则GM二所以M在以G圆心，半径为[的圆上，且2 2PA + PB =2PM ,转化为两圆上动点的距离的最值.(4)若对任意aeR> 直线人 xcosa+ysina=2sin(a+ 71 )+4 与圆 C：(入一加)’+($— 3m)26=1均无公共点，则实数加的取值围是・(-1, 5)-------- 2 2略解：直线/的方程为：(Ll)cosa+(y- 3)sina=4, M(l, 3)到/距离为4,所以/是以M为圆心半径为4的定圆的切线系，转化为圆M与圆C含.注：直线/： （x-Mj ）cosa+（〉iyo ）sincc=R 为圆 M ： （x-x ）+（x-= F 的切线系.例2 （2017年市一模）在平面直角坐标系“Oy 中，已知B ，C 为圆x 2+y 2=4上两点.点A （l,l ）,且AB1AC.则线段BC 的长的取值弗]为 ________________解：法一（标解）：设BC 的中点为M （儿y ）,以的取值围是「|6- 2, 6+ 2~ .法二：以AB. AC 为邻边作矩形BACN,则BC=AN ,由矩形的几何性质（矩形所在 平而上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方和相等），WOB 2 +OC 2 =OA 2 +ON 2.所以 ON= 6,故N 在以O 为圆心，半径为6的圆上，所以BC 的取值围是「丫- 2, 6+ 2*变式1 （2014年髙三期末卷）在平而直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2+y 2=16,点 P （l,2）, M 、N 为圆O 上两个不同的点，且丽顾=0,若匝=丽+丽,则PQ 的最小值为 _________ ・3 3 - 5v 变式2 已知圆G ： X 2 + y 2 =9 ,圆C Q ： x'+y'=4,定点A P （l, 0）,动点A.B 分别在圆G 和圆G 上，满足4PB =90 \则线段A3的取值围 _____________ . [2 3-1,2 3 + 1] BO P X变式 3 已知向量 a 、b 、c 满足 a =3, D =2, c = l,(a-c)・(b-c) = 0 ,则 a-〃围为 __________ ・[2 3-L2 3 + 1|因为0炉=OM 2+BM 2 =0M 2 +AM 2,所以4 =十 +)' +(A -1)2 +(y _1)・, r 6- 2 圆，所以AM 的取值围是|2 B 耐CA3 ?为半径的0 26+ 21 rr 2 例2策略二动点P对两定点A、B角是90° (R PA k rB=-\，或PA PB=0)确左隐形圆例3 (1) (2014 年卷)已知圆 C： (x-3)2+(y-4)2=l 和两点A(-m, 0) , B 血 0), 若圆上存在点P，使得Z4P5 =90 ,则加的取值围是__________________ . [4,6]略解:由已知以A3为直径的圆与圆C有公共点.(2)(海安2016届高三上期末)在平而直角坐标系xOy中，已知点P(T, 0),Q(2 , 1),直线I： ax + by + c = 0其中实数a, b, c成等差数列，若点P在直线/上的射影为H,则线段QH的取值围是 _______________________ . [ 2,3 2]解：由题意，圆心C(l, 一2)在直线ax+by+c=0上，可得“一2b+c=0,即c=2b-a, 直线/：(加一b)x+(2b—c)y+(2c—")=0,即 a(2*+y—3)+b(4—x)=0,2x + y - 3 = 0.由k ' n ，可得x=4, y= — 5,即直线过定点M(4, —5),4-x = 0由题意，H在以PM为直径的圆上，圆心为4(5, 2),方程为(x-5)2+(y~2)2=50, VICAI=4 2 ,・・.CH 最小为 5 2 -4 2 = 2 , CH 最大为 4 2 +5 2 =9 2 ,.・.线段CH长度的取值围是[2, 9 2].(3)(通州区2017届髙三下开学初检测)设meR,直线厶：x + ^= 0与直线12: mx -y-2/n -4 = 0 交于点 P(x0,y0),则 x02 + y02 + 2x0的取值围是___________ . [12-4 10J2 + 4 10]略解:h过泄点0(0, 0), /2过泄点A(2, -4),则P在以04为直径的圆上(除去一点)，变式(2017年二模)在平而直角坐标系xOy中，直线厶：Mp+2=0与直线/2： x+灯一2=0相交于点P,则当实数k变化时，点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为______________________ . 3 2策略三两泄点A、B,动点P满足PA PB = k确定隐形圆例4 (1) (2017年密卷3)已知点A(2,3)，点B(6 9 ，点P在直线3x-4y + 3 = 0上, 若满足等式丽•丽+ 2九=0的点P有两个，贝IJ实数九的取值围是______________________ .解：设 P (x, y),则AP = (x-2,y-3)t BF = (x — 6.y+ 3),根据AP BP + 2X = 0»有(x-4)‘ +尸=13-2九仏 < 号].由题意圆：(X-4)2+/=13-2X^< 2 j圆与直线3x-4y + 3 = 0相交, 13、圆心到直线的距离」二:；J 心，所以2.(2) (2016年三模)已知线段AB的长为2,动点C满足G4 -CB =V(X为常数)，且点C总不在以点B为圆心，1为半径的圆，则负数入的最大值是・-彳2 4略解:动点c满足方程x2 + r=k + i.策略四两泄点A、B,动点P满足PA2 + PB2是泄值确泄隐形圆例5 (1)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C： (X—a)2+(y—a4-2)2= 1,点A(0, 2),若圆C上存在点M,满足MA2+MO~10,则实数"的取值围是________________________________ . [0, 3]略解：M满足的方程为A2+(y-l)2=4,转化为两圆有公共点(2) (2017年.一模)在MBC中，A, B, C所对的边分别为仏,若0 5tr+^+2c2=8,则SABC而积的最大值为_______________ ・5解：以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建系.设 A(-'\0), B(° ,0) , C(x,y),则由a2+b2+^2 =8 t2 2得(x-C)2 +y2 +(x+ C) + y2 + 2c2=8 » 即x2 + y2 = 4- c2,2 ' 2 ' 4所以点(7 在此圆上，SW'U 4-5C2=1(4-5c2)5c2 52 2 4 5 4 4 5策略五两楚点A、B,动点P满足PA=X(X>OA*1)确左隐形圆邙可波罗尼斯圆) PB例6 (1)略解：点P满足圆的方程为x2 + y2=4,转化到直线与圆相交.(2 ) (2016届一模)在平而直角坐标系xOy中，已知圆O： ?+y2=l,0)： (x-4)2+y2=4.动点P在直线x+ 3〉，-方=0上，过点P作圆O, 0】的两条切线,切点分别为A ，B,若满足PB = 2PA 的点P 有且仅有两个，则b 的取值围例7 （2017年二模）一缉私艇巡航至距领海边界线/ （一条南北方向的宜线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追 击.已知缉私艇的最大航速是龙私船最大航速的3倍.假设缉私艇和走私船均按直线方 向以最大航速航行.（1） 若定私船沿正向逃离，试确怎缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海拦截 成功；（参考数据：sin 17° « 3 , 33 "7446 ）6（2） 问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海成功拦截？并说明理由.北 /领海公海B30°解：（1）略 （例7）（2）如图乙，以A 为原点，正北方向所在的直线为y 轴建立平而直角坐标系X 。
“隐形圆”问题【问题概述】江苏省高考考试说明中圆的方程是 C 级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题． 【求解策略】策略一 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆例 1（1）如果圆(x －2a)2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数a 的取值范围是（2）（2016 年南京二模）已知圆 O ：x 2＋y 2＝1，圆 M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1,若圆 M 上存在点 P ，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A ，B ，使得∠APB ＝60°，则a 的取值范围是（3）（2017 年苏北四市一模）已知 A 、B 是圆 1:221=+y x C 上的动点，3AB =, P 是圆1)4()3(:222=-+-y x C +的取值范围是(4) 若对任意R ∈α,直线4)6sin(2sin cos :++=+παααy x l 与圆1)3()(:22=-+-m y m x C 均无公共点,则实数m 的取值范围是注：直线l ：R y y x x =-+-ααsin )(cos )(00为圆 M ：的切线系．22020)()(R y y x x =-+-例 2 （2017 年南通市一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B ，C 为圆 x 2+ y 2= 4 上两点，点 A(1, 1)，且 AB ⊥AC ，则线段 BC 的长的取值范围为 ．变式 1 （2017 年常州高三期末卷）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O : x 2 + y 2= 16 ，点P (1, 2) ，M 、N 为圆 O 上两个不同的点，且0=⋅，若PN PM PQ +=PQ 的最小值是变式 2 已知圆 C1 ：922=+y x ，圆 C2 ：422=+y x ,定点)0,1(P ,动点B A ,分别在圆 C1 和圆 C2 上，满足 090=∠APB ,则线段 AB 的取值范围 ． AB0 P变式 3 已知向量 a 、b 、c 3=a 2=b 1=c ,()()0=-⋅-c b c a ,则b a -的取值范围是策略二 动点 P 对两定点 A 、B 张角是 090，()0,1=⋅-=⋅PB PA k k PB PA 或确定隐形圆。
高三数学隐形圆例练习题隐形圆是数学中的一个重要概念，它在几何形状的判断和计算中起到了关键作用。
为了帮助高三学生更好地理解和掌握隐形圆的相关知识，本文将提供一些隐形圆的例练习题，并附有解答，供大家参考和实践。
1. 问题描述：已知平面上一圆心为P，点A、B、C分别位于这个平面上的圆周上。
如果角ABC为锐角，且角ABC的度数为30°，则这个圆的方程是什么？解答：首先根据题意，可以知道角ABC为锐角，所以弧AB小于半圆，也即弧AB的度数小于180°。
由题意可知角ABC的度数为30°，所以弧AB的度数也应为30°。
而根据圆的定义，半圆对应的弧度为π，所以弧AB的弧度应为π/6。
由于P为圆心，所以PA、PB、PC为半径，可以用r表示。
根据三角函数的定义，可以得到：cos(π/6) = (PC - PA) / r根据余弦函数的性质，可以知道cos(π/6)等于根号3/2，将其代入上式，得到：根号3/2 = (PC - PA) / r由于PB为半径，所以PA和PC的长度都应等于半径r，所以上式可以转化为：根号3/2 = (r - r) / r化简后可得：根号3/2 = 0 / r根据数学中的定义，当等式两边的值相等时，这个等式为恒等式，即对于任意的r都成立。
因此，这个圆的方程是恒等式。
2. 问题描述：已知平面上一圆心为O，点A、B、C分别位于这个平面上的圆周上，且O为三角形ABC的外心。
如果AB=5，BC=6，AC=7，则这个圆的半径是多少？解答：根据题意，可以知道O为三角形ABC的外心，即三角形的三条边的中垂线交于一点，这个点就是圆心O。
根据中垂线的性质，可以知道中垂线的长度等于对应边的一半。
因此，BO的长度等于AB的一半，即BO=5/2。
类似地，AO和CO的长度分别等于AC和BC的一半，即AO=7/2，CO=6/2=3。
由于O为圆心，所以OA、OB、OC为半径，可以用r表示。
定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。
【题目类型】图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。
（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。
）【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。
②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。
④确定圆心位置，计算隐形圆半径。
⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。
⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。
典型例题讲解1.如图，△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）A．1 B．2 C．2D．2414解：∵∠CDP＝∠ACB＝45°∴∠BDC＝135°（定弦定角最值）如图，当AD过O′时，AD有最小值∵∠BDC＝135°∴∠BO′C＝90°∴△BO′C为等腰直角三角形∴∠ACO′＝45°＋45°＝90°∴AO′＝5又O′B＝O′C＝4 ∴AD＝5－4＝12.如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）16A．213+C．5 D．13-B．29解：连接AE∵AD为⊙O的直径∴∠AEB＝∠AED＝90°∴E点在以AB为直径的圆上运动当CE过圆心O′时，CE有最小值为213-3.如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）A．1 B．2C．2D．34-2解：连接CD∴∠PAC＝∠PDC＝∠ACB＝45°∴∠BDC＝135°如图，当AD过圆心O′时，AD有最小值∵∠BDC＝135°∴∠BO′C＝90°∴O′B＝O′C＝4又∵∠ACO′＝90°∴AO′＝5 ∴AD的最小值为5－4＝14.如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为32，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB 于点C，则△ABC的面积的最大值是（）A．312+D．346+6312+B．336+C．35.如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（ ）A ．21 B ．22 C ．23 D ．436.如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB 为直径作⊙M ，射线OF 交⊙M 于E 、F 两点，C 为弧AB 的中点，D 为EF 的中点．当射线绕O 点旋转时，CD 的最小值为__________解：连接DM∵D 是弦EF 的中点 ∴DM ⊥EF ∴点D 在以A 为圆心的，OM 为直径的圆上运动当CD 过圆心A 时，CD 有最小值，连接CM∵C 为弧AB 的中点∴CM ⊥AB ∴CD 的最小值为127.如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，∠ABC ＝60°，P 是上一动点，D 是AP 的中点，连接CD ，则CD 的最小值为__________解：连接OD ∵D 为弦AP 的中点∴OD ⊥AP ∴点D 在以AO 为直径的圆上运动当CD 过圆心O ′时，CD 有最小值，过点C 作CM ⊥AB 于M∵OB ＝OC ，∠ABC ＝60°∴△OBC 为等边三角形∴OM ＝21，CM ＝23∴O ′C ＝47∴CD 的最小值为2147- 8.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ′F ，连结B ′D ，则B ′D 的最小值是（ ）．A． B.6 C. D.4【思路探究】根据E 为AB 中点，BE ＝B ′E 可知，点A 、B 、B ′在以点E 为圆心，AE 长为半径的圆上，D 、E 为定点，B ′是动点，当E 、B ′、D 三点共线时，B ′D 的长最小，此时B ′D ＝DE －EB ′，问题得解.【解析】∵AE ＝BE ，BE ＝B ′E ，由圆的定义可知，A 、B 、B ′在以点E 为圆心，AB 长为直径的圆上，如图所示. B ′D 的长最小值= DE －EB.故选A．【启示】此题属于动点（B ′）到一定点（E ）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E 为圆心，EB ′为半径的定圆，当点D 到圆上的最小距离为点D 到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如，当且仅当点E 、B ′、D 三点共线时，等号成立.9.如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H ，若正方形的边长是2，则线段DH 长度的最小值是 .【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆上.取AB 中点O ，当D 、H 、O 三点共线时，DH 的值最小，此时DH ＝OD －OH ，问题得解.【解析】由△ABE ≌△DCF ，得∠ABE ＝∠DCF ，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF ＝∠DAG ，∠ABE ＝∠DAG ，所以∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆弧上.取AB 中点O ，OD交⊙O 于点H ，此时DH 最小，∵OH ＝，OD ，∴DH 的最小值为OD －OH . 22=B D DE B E ''≤-HGB A 112AB =1【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H 在以AB 为直径的圆上，点D 在圆外，DH 的最小值为DO －OH.当然此题也可利用的基本模型解决.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB′F ，连结B′D ，则B′D 的最小值是（ ）．A． B .6 C . D .4【思路探究】根据E 为AB 中点，BE ＝B′E 可知，点A 、B 、B′在以点E 为圆心，AE 长为半径的圆上，D 、E 为定点，B′是动点，当E 、B′、D 三点共线时，B′D 的长最小，此时B′D ＝DE －EB′，问题得解.【解析】∵AE ＝BE ，BE ＝B′E ，由圆的定义可知，A 、B 、B′在以点E 为圆心，AB 长为直径的圆上，如图所示. B′D 的长最小值= DE －EB′.故选A ．【启示】此题属于动点（B′）到一定点（E ）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E 为圆心，EB′为半径的定圆，当点D 到圆上的最小距离为点D 到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如，当且仅当点E 、B′、D 三点共线时，等号成立.【典例2】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ，连接CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H ，若正方形的边长是2，则线段DH 长度的最小值是.【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆上.取AB 中点O ，当D 、H 、O 三点共线时，DH 的值最小，此时DH ＝OD －OH ，问题得解.【解析】由△ABE ≌△DCF ，得∠ABE ＝∠DCF ，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF ＝∠DAG ，∠ABE ＝∠DAG ，所以∠AHB ＝90°，故点H 在以AB 为直径的圆弧上.取AB 中点O ，OD 交⊙O 于点H ，此时DH 最小，∵OH ＝，OD ，∴DH 的最小值为OD －OH .【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H 在以AB 为直径的圆上，点D 在圆外，DH 的最小值为DO －OH .当然此题也可利用的基本模型解决.DH OD OH ≤-22=B D DE B E ''≤-HGA 112AB =1DH OD OH ≤-【针对训练 】1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，当点A 在轴正半轴上运动时，点C 随之在轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大距离为（ ）.A． B ． C ． D ．3作AC 的中点D ，连接OD 、BD ，∵OB ≤OD+BD ，∴当O 、D 、B 三点共线时OB 取得最大值，∵BD=2，OD=AD=21AC=1， ∴点B 到原点O 的最大距离为1+2．故选C2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，E 是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE ，则线段CE 的最小值为（ ）.A ．B .C .D .4 3. 如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P 、Q 分别是边BC 和半圆上的运点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是（ ）.A .6B .C .9D .优质解答如图，设 O 与AC 相切于点E ，连接OE ，作OP 1⊥BC 垂足为P 1交 O 于Q 1，此时垂线段OP 1最短，P 1Q 1最小值为OP 1-OQ 1，∵AB=10，AC=8，BC=6，∴AB 2=AC 2+BC 2，∴∠C=90°，∵∠OP 1B=90°，∴OP 1∥AC ∵AO=OB ，∴P 1C=P 1B ，∴OP 1=21AC=4，∴P 1Q 1最小值为OP 1-OQ 1=1， x y 5612+32210-2213-22131+322如图，当Q 2在AB 边上时，P 2与B 重合时，P 2Q 2经过圆心，经过圆心的弦最长， P 2Q 2最大值=5+3=8，∴PQ 长的最大值与最小值的和是9．故答案为：9．4.如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（ ）.A. B . C .5 D .5．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 边上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ，则CG 的最小值为（ ）．A ．B ．C .D .6．如图，△ABC 、△EFG 是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FG 相交于点M ，当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是A ．B ．C .D .7．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连结A′C ，则A′C 长度的最小值是 .8．（2017威海）如图，△ABC 为等边三角形，AB =2，若点P 为△ABC 内一动点，且满足∠PAB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为 ．解答 解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=2，∵∠PAB=∠ACP ，∴∠PAC+∠ACP=60°，∴∠APC=120°，∴点P 的运动轨迹是弧AC ， 当O 、P 、B 共线时，PB 长度最小，设OB 交AC 于D ，如图所示：213-213+91651-31-21-21+23-31+231-此时PA=PC，OB⊥AC，。
隐形圆问题圆是高中数学中一种简单但又非常重要的曲线，近几年高考题和高考模拟题中，经常会出现一类有关圆的题目，这类题目在条件中没有直接给出有关圆方面的信息，而是以隐性的形式出现，但我们通过分析和转化，最终都可以利用圆的知识求解．这类题目构思巧妙，综合性强,，充分考查了学生的数形结合、转化和化归等数学思想方法，处理这类题目关键在于能否把"隐形圆"找出来．策略一由圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆例1（1）如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________．65a -<<【解】到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知圆相交，从而有13<<，解得605a -<<．（2）（2016年南京二模）已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则a 的取值范围为_________．222222a -+≤≤【解】由题意得2OP =，所以P 在以O 为圆心2为半径的圆上，即此圆与圆M 有公共点，因此有2221211(4)92222OM a a a -+⇒+-⇒-+≤≤≤≤≤≤．（3）（2017年苏北四市一模）已知A B 、是圆221:1C x y +=上的动点，AB ，P 是圆O xy例1（1）O xy例1(2)A PBM222:(3(4)1C x y -+-=）上的动点，则PA PB +uur uur的取值范围是_________．[7,13]【解】取AB 的中点M，由AB ，则C 1M =12，所以M 在以C 1圆心，半径为12的圆上，且2PA PB PM +=uur uur uuur，转化为两圆上动点的距离的最值，PM min ＝C 1C 2－1－12＝5－1－12＝72，PM max ＝C 1C 2＋1＋12＝5＋1＋12＝132，所以PA PB +uuruur的取值范围是[7,13]．策略二由动点P 对两定点A 、B 张角是090（1PA PB k k ⋅=-，或PA PB ⋅=uur uur0）确定隐形圆例2（1）（2014年北京卷）已知圆C ：22(3)(4)1x y -+-=和两点(,0)A m -，(,0)B m (0)m >，若圆上存在点P ，使得∠APB =90°，则m 的取值范围是_________．[]4,6【解】由90APB ∠= 可知，若点P 存在，则点P 在以AB 为直径的圆O 上，其半径为m ，所以圆O 与圆C 有公共点，从而151m m -≤≤+则m 的取值范围是[]4,6．（2）（通州区2017届高三下开学初检测）设m ∈R ，直线1l ：0x my +=与直线2l ：240mx y m ---=交于点00(,)P x y ，则220002x y x ++的取值范围是_________．[12-+【解】由2222000002(+1)1x y x x y ++=+-，可知其表示00(,)P x y 到定点B (-1，0)的距离的平方减1．因为l 1过定点O (0，0)，l 2过定点A (2，-4)，且l 1⊥l 2，则P 在以OA 为直径的圆上，但是由于直线l 1不能表示斜率为0的直线，直线l 2不能表示斜率不存在的直线，所以要除去一点(2，0)．而上述圆的圆心为C (1，-2)，半径为12OA =，由BC＝，PB min ＝BC＝，PB max ＝BC＝222222000002(+1)111x y x x y ,⎡⎤++=+-∈---⎣⎦即[12-+．策略三由圆周角的性质确定隐形圆例3（1）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2a =，(a +b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C 则ABC ∆面积的最大值为_________【解】原式即为222a b c bc =+-，由余弦定理得cos A ＝12，所以A ＝60°，再由正弦定理，得外接圆的半径为ABC ∆的外接圆的圆心为O ，则O 到BC，则边BC 上的高h的最大值为3+3例3(1)例2（3）（2）（2017年常州一模）在△ABC 中，∠C ＝45o ，O 是△ABC 的外心，若OC mOA nOB =+uuu r uur uuu r(m ，n ∈R )，则m ＋n 的取值范围是_________．[【解】由圆周角的性质，∠AOB ＝2∠C ＝90°，点C 在以O 为圆心，半径OA 的圆上（在优弧AB 上）．不妨以O 为圆心，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，设(1,0)A ，(0,1)B ，(cos ,sin )(2)2C θθθπ<<π，由OC mOA nOB=+uuu r uur uuu r 得到cos sin m n θθ=⎧⎨=⎩，所以m ＋n＝cos sin )4θθθπ+=+，结合22θπ<<π，得到2sin()[1,)42θπ+∈-，故m ＋n的取值范围是[．当圆周角是直角时，即为策略二的情形．策略四由四点共圆的定理来确定隐形圆（如一个四边形的对角互补，则该四边形四点共圆）1．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝20与x 轴交于A 、B （点A 在点B 的左侧），圆C 的弦MN 过点T （3，4），分别过M 、N 作圆C 的切线，交点为P ，则线段AP的最小值为．解：由圆的方程可得：A （﹣2，0），B （6，0），设P 点坐标为（（m ，n ），则（m ﹣2）2+（n ﹣2）2＞20，例3（2）xO yCBA以PC 为直径的圆Q 的方程为：（x ﹣2）（x ﹣m ）+（y ﹣2）（y ﹣n ）＝0，所以圆Q 和圆C 的公共弦MN 方程为：（m ﹣2）x +（n ﹣2）y ﹣（2m +2n +12）＝0，MN 过（3，4），所以m ＝26﹣2n ，所以|PA |＝＝＝，当n＝﹣＝时，|PA |有最小值，故答案为：．解析几何中，找“隐形圆”的另一个角度可以从“数”的角度（求出其方程）来发现．策略五直接由圆（半圆）的方程确定隐形圆例5（1）(2016年泰州一模)已知实数a ，b ，c 满足222a b c +=，0c ≠，则2ba c-的取值范围为__________．[【解】方法一令a x c =，b y c =，则原题转化为实数x 、y 满足221x y +=，求2yx -的取值范围，归结为以原点为圆心的单位圆上的动点M ()x y ，与定点(20)P ，的斜率的取值范围．方法二令cos a c θ=，sin b c θ=，原题转化为求sin cos 2θθ-的取值范围，而动点(cos sin )θθ，在以原点为圆心的单位圆上，以下同方法一．（2）若方程3＝x ＋b 有解，则b 的取值范围是．[1－22，3]【解】令y ＝3，其方程可化简为(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆．当直线l ：y ＝x ＋b 与此半圆相切时，满足圆心(2,3)到直线y ＝x ＋b 距离等于2，例1(1)解得b ＝1＋或b ＝1－，因为是下半圆，故可得b ＝1＋．当直线过(0,3)时，解得b ＝3，故1－≤b ≤3．（3）已知实数x 、y满足x y -=-，则x +y 的最大值是__________．0s =≥0t =≥，则21x s =-,23y t =-，代入原式并整理，得22119()()222s t -+-=．因此动点()P s t ，的轨迹是圆位于第一象限的一段圆弧（含与x 轴、y 轴的正半轴的交点），此圆的圆心为11(22C ，，半径为r =，而x +y 224s t =+-，所以（x +y ）max 22()444OC r =+-=-=．另法：（基本不等式）原式化为x y +=22()2(13)x y x y +=++++≤即2()2()80x y x y ++--≤，解得x +y ≤4（当且仅当31x y =⎧⎨=⎩时取“＝”）．策略六直接由圆（半圆）的参数方程确定隐形圆例6（1）已知,t R θ∈，则22(cos 2)(sin 2)t t θθ--+-+的取值范围是__________．[9)-+∞【解】点(cos sin )P θθ，在以原点为圆心的单位圆上，(22)Q t t +-，在直线40x y --=上，转化为圆上的动点与直线上的动点的距离的平方的取值范围，圆心到直线的距离为所以，圆上的动点与直线上的动点的距离的最小值为1，其平方为9-．例1(3)例1(1)xyOP M Q策略七由两定点A 、B ，动点P 满足PA PB λ⋅=uur uur（λ是常数）,求出动点P 的轨迹方程确定隐形圆例7已知圆22341:()()C x y -+-=和两点00(,),(,)A m B m -0()m >．若圆C 上存在点P ，使得1PA PB ⋅=uur uur，则m 的取值范围是__________．【解】设点()P x y ，，满足1PA PB ⋅=uur uur，得2221x y m +=+，这是一个圆的方程，从而转化为151≤，解得m的取值范围是．注若0PA PB ⋅=uur uur，则点P 在以AB 为直径的圆上．变式1（2017年南通密卷3）已知点(2,3)A ，(6,3)B -，点P 在直线3430x y -+=上，若满足等式20AP BP λ⋅+=的点P 有两个，则实数λ的取值范围是__________．【解】设P (x ，y )，则(2,3)AP x y =-- ，(6,3)BP x y =-+，根据20AP BP λ⋅+= ，有()221341322x y λλ⎛⎫-+=-< ⎪⎝⎭.由题意圆：()221341322x y λλ⎛⎫-+=-< ⎪⎝⎭与直线3430x y -+=相交，圆心到直线的距离3d =<2λ<.变式2（2017年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，(120)A -，，(06)B ，，点P 在圆2250O x y +=：上，若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是__________．【解】设点()P x y ，，由20PA PB ⋅≤，即22(6)(3)65x y ++-≤，表示点P 在此圆内部（含边界），又在圆O 上，故联立2222(6)(3)6550x y x y ⎧++-=⎪⎨+=⎪⎩，得55x y =-⎧⎨=-⎩或17x y =⎧⎨=⎩，结合圆O的最左边点为(-，所以的横坐标的取值范围是[-．变式3在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （﹣1，0），B （5，0）．若圆M ：（x ﹣4）2+（y ﹣m ）2＝4上存在唯一点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为±或±．解：根据题意，设P 的坐标为（a ，b ），直线PA 的方程为y＝（x +1），其在y轴上的截距为，直线PB 的方程为y＝（x ﹣5），其在y轴上的截距为﹣，若点P 满足使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则有（）×（﹣）＝5，变形可得b 2+（a ﹣2）2＝9，则点P 在圆（x ﹣2）2+y 2＝9上，（y ≠0）若圆M ：（x ﹣4）2+（y ﹣m ）2＝4上存在唯一点P ，则圆M 与（x ﹣2）2+y 2＝9有且只有一个公共点，即两圆内切或外切或圆（x ﹣2）2+y 2＝9与圆M （x ﹣4）2+（y ﹣m ）2＝4相交与点B ，若两圆内切或外切，又由圆心距为≥2，则两圆只能外切，例3变式2O xyP 1P 2则有4+m 2＝25，解可得：m＝±，验证可得：连个圆的切点不是A 、B 点，故m ＝±，若圆（x ﹣2）2+y 2＝9与圆M （x ﹣4）2+（y ﹣m ）2＝4相交与点B ，则B 在圆M 上，则有（5﹣4）2+m 2＝4，解可得m ＝±，综合可得：m ＝±或m ＝±，故答案为：±或±．策略八由两定点A 、B ，动点P 满足22PA PB +是定值确定隐形圆例8（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1，点A (0，2)，若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2＝10，则实数a 的取值范围是__________．[0，3]【解】设M (x ，y )，由MA 2＋MO 2＝10，A (0，2)，得x 2＋(y －1)2＝4，而M 又在圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1上，故它们有公共点，则1≤a 2＋(a －3)2≤9，解得实数a 的取值范围是[0，3]．（2）（2017届盐城三模）已知A B C D ，，，四点共面，2BC =，2220AB AC +=，3CD CA =，则||BD的最大值为．10【解】以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系．设()A x y ，，则(10)B -，，(10)C ，，由2220AB AC +=，得229x y +=，所以OA ＝3．取(20)E -，，故3CE CO = ，所以ED ＝3OA ＝9，所以点D 在以E 为圆心，半径为9的圆上，故||BD的最大值为EB＋9＝10．例4（2）变式在直角坐标系xOy 中，已知A (－1，0)、B (0，1)，则满足PA 2－PB 2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为________．2【解】设P (x ，y )，由PA 2－PB 2＝4知[(x ＋1)2＋y 2]－[x 2＋(y －1)2]＝4，整理，得x ＋y －2＝0．又圆心(0，0)到直线x ＋y －2＝0距离d ＝22＝2＜2，因此直线与圆有两个交点，故符合条件的点P 有2个．策略九由两定点A 、B ，动点P 满足01PAPBλλλ=>≠(,)确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）例9（1）（2016年南通一模）在平面直角坐标xOy 中，已知点(1,0),(4,0)A B ，若直线0x y m -+=上存在点P 使得12PA PB =,则实数m的取值范围是________．[-【解】点P 满足圆的方程为224x y +=，转化到直线与圆有交点的问题.变式1若12PA PB ≤呢？【解】点P 在圆：224x y +=的内部（含边界），仍然转化到直线与圆有交点的问题.变式2（2013年江苏卷第17题改编）在平面直角坐标系xOy 中，已知点00(,)O ，03(,)A ．如果圆22241:()()C x a y a -+-+=上总存在点M 使得2MA MO =，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是________．1205[,例5（1）O xy例5（1）变式1O xy【解】设(,)M x y ，由2MA MO ==22(1)4x y ++=，其表示以(0,1)D -为圆心，半径为2的圆，则圆D 与圆C 有公共点，得13，解得a 的取值范围是1205[,]．（2）（2016届常州一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P在直线0x b +-=上，过点P 作圆O ，O 1的两条切线，切点分别为A ，B ，若满足2PB PA =的点P 有且仅有两个，则b 的取值范围_________．20,43⎛⎫⎪⎝⎭－【解】由2PB PA =平方得224PB PA =，故21PO -设(,)P x y ，代入上式得22464()39x y ++=，其表示以4(,0)3Q -为圆心，半径为83的圆，由题意，则直线0x b +-=与圆Q 由两个不同的交点，故48323bd --=<，解出b 的取值范围为20,43⎛⎫⎪⎝⎭－．（3）已知曲线C 的方程221x y +=，()2,0A -，存在一定点()(),02B b b ≠-和常数λ，对曲线C 上的任意一点(),M x y ，都有MA MB λ=成立，则点(),P b λ到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为_________．【解】方法一：由MA MB λ=得()()222222x y x b y λ⎡⎤++=-+⎣⎦即()()()222222211244x y b x b λλλλ-+--+=-故2222240411b b λλλ⎧+=⎪⎨-=⎪-⎩，将22b λ=-代入22241b λλ-=-得22520b b ++=，得12b =-，2b =-（舍去），故2λ=．又直线()220m n x ny n m ++++=恒过定点()2,0-，所以由几何性质知点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为点()2,0-与1,22P ⎛⎫-⎪⎝⎭的距离为52．方法二：作为小题，由MA MB λ=知是阿氏圆轨迹，故取圆22:1C x y +=直径上的两个点()()1,0,1,0-，即可得1311b b λ==+-，解得12b =-，2b =-（舍去），故2λ=，以下同方法一．例10（2017年南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）略；（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．【解】（1）略（2）如图乙，以A 为原点，正北方向所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系xOy ．则(2B ，，设缉私艇在()P x y ，处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则3PA PB=3=．整理得，((229944x y -+=，所以点()P x y，的轨迹是以点(94为圆心，32为半径的圆．y公海领海AB60l x领海AB 北(例6)30°公海l因为圆心(94到领海边界线l ： 3.8x =的距离为1.55，大于圆半径32，所以缉私艇能在领海内截住走私船．应用在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为__________．5【解】以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴，建系.设(,0)2c A -，(,0)2cB ，(,)C x y ，则由22228a b c ++=，得22222()(2822c c x y x y c -+++++=，即222544x y c +=-，所以点C 在此圆上，S≤2c r ==（2）（2008年高考江苏卷）若=2AB AC ，，则ABC S ∆的最大值是__________．【解】以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴，建系.则(1,0)A -，(1,0)B ，设(,)C x y，由题意得22(3)=8x y -+，从而C 到AB的距离最大值为ABC S ∆的最大值是O xyABC O xy ABC变式已知ACD ∆中，B 为CD 的中点，且=2AB CD ，，则ACD S ∆的最大值是_____【解】ACD S ∆是ABC S ∆的两倍，从而转化为上题．Oxy 例1（2）变式AB C D。
微专题22 “隐形圆”问题考题导航题组一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆1. ⎝⎛⎭⎫－65，0 解析：由题意得圆(x －2a)2＋(y －a －3)2＝4与圆x 2＋y 2＝1相交，所以2－1<（2a ）2＋（a ＋3）2<1＋2，1<5a 2＋6a ＋9<9，⎩⎪⎨⎪⎧5a 2＋6a ＋8>0，5a 2＋6a<0，解得a ∈⎝⎛⎭⎫－65，0. 2. 2－22≤a ≤2＋22解析：因为PA 、PB 与O 相切，且∠APB ＝60°，则∠APO ＝30°，所以OP ＝OA sin 30°＝2，则存在使∠APB ＝60°的点P 等价于在圆M 上存在与点O 距离为2的点．圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1的圆心M(a ，a －4)在直线y ＝x －4上，所以OM ＝a 2＋（a －4）2，所以圆M 上到点O 的最小距离为OM －1＝a 2＋（a －4）2－1，最大距离为OM ＋1＝a 2＋（a －4）2＋1，存在满足题意有点P 即OM －1≤2≤OM ＋1，解不等式得2－22≤a ≤2＋22.1. 8 解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点M(x′，y′)．因为x′＝x 1＋x 22，y′＝y 1＋y 22，所以OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝2OM →，因为C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0，所以(x －3)2＋y 2＝4.圆心C(3，0)，半径CA ＝2，因为点A ，B 在圆C 上，AB ＝23，所以CA 2－CM 2＝⎝⎛⎭⎫12AB 2，即CM ＝1.点M 在以C 为圆心，半径r ＝1的圆上，所以OM ≤OC ＋r ＝3＋1＝4，所以|OA →＋OB →|≤8.题组二 已知定点A ，B ，动点P 满足PA →·PB →＝λ确定隐形圆1. []4，6 解析：圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1的圆心C(3，4)，半径r ＝1，设P(a ，b)在圆C 上，则AP →＝(a ＋m ，b)，BP →＝(a －m ，b)，因为∠APB ＝90°，所以AP →⊥BP →，所以AP →·BP→＝(a ＋m)(a －m)＋b 2＝0，所以m 2＝a 2＋b 2＝OP 2，所以m 的最大值即为OP 的最大值，等于OC ＋r ＝5＋1＝6，最小值为OC －r ＝5－1＝4，所以m 的取值范围是[4，6]．2. (－∞，2) 解析：由点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，设P ⎝⎛⎭⎫x ，3x ＋34，AP →＝⎝⎛⎭⎫x －2，3x ＋34－3，BP →＝⎝⎛⎭⎫x －6，3x ＋34＋3，所以AP →·BP →＝(x －2)(x －6)＋⎝⎛⎭⎫3x ＋342－9＝116(25x 2－110x ＋57)．又AP →·BP →＋2λ＝0，所以116(25x 2－110x ＋57)＋2λ＝0，所以Δ＝(－110)2－4×25×(57＋32λ)>0，解得λ<2，所以实数λ的取值范围是(－∞，2)．1. [2，32] 解析：由题意得ax ＋a ＋c 2y ＋c ＝0，所以a(2x ＋y)＋c(y ＋2)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，y ＋2＝0，解得x ＝1，y ＝－2，所以直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，恒经过定点M(1，－2)．因为PH ⊥l ，点H 在以PM 为直径的圆上，其圆心C(0，－1)，圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝2.QC ＝22，所以QC －r ≤QH ≤QC ＋r ，线段QH 的取值范围是[2，32]．题组三 两定点A ，B ，动点P 满足PA 2＋PB 2是定值确定隐形圆1. [0，3] 解析：设M(x ，y)，因为MA 2＋MO 2＝10，所以x 2＋(y －2)2＋x 2＋y 2＝10，所以x 2＋(y －1)2＝4，因为圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2＝10，所以两圆相交或相切，所以1≤a 2＋（a －3）2≤3，所以0≤a ≤3.1. 解析：(1) 圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C(2，0)，半径为2.因为l ∥AB ，A(－1，0)，B(1，2)，所以直线l 的斜率为2－01－（－1）＝1， 设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2－0＋m|2＝|2＋m|2. 因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，CM 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫MN 22，所以4＝（2＋m ）22＋2， 解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(2) 假设圆C 上存在点P ，设点P(x ，y)，则(x －2)2＋y 2＝4，PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4，因为|2－2|<（2－0）2＋（0－1）2<2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交，所以点P 的个数为2.题组四 两定点A ，B ，动点P 满足PA PB＝λ(λ>0，λ≠1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆) 1. (x ＋1)2＋y 2＝4 解析：点M(x ，y)到O 点距离为x 2＋y 2，到A 点距离为（x －3）2＋y 2，因为到两点的距离比为12所以有x 2＋y 2（x －3）2＋y 2＝12，化简得(x ＋1)2＋y 2。
