2非线性方程的迭代法

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7、解非线性方程的迭代法

那么迭代过程在x * 附近是p阶收敛的. 特别地，当0 <| ϕ ′( x*) |< 1时, 迭代法线性收敛; 当ϕ ′( x*) = 0, ϕ ′′( x*) ≠ 0时, 平方收敛. 作业: P290, 2,4.
§3 迭代收敛的加速方法
一、埃特金加速收敛方法
对于收敛的迭代过程，由迭代公式校正一次得 x1 = ϕ ( x0 ),
二分法优、缺点；用途。
§2
一、不动点迭代
迭代法
将非线性方程f ( x) = 0化为等价形式 x = ϕ ( x).
(2.1)
f ( x*) = 0 ⇔ x* = ϕ ( x*) ; 称x * 为函数ϕ ( x)的一个不动点.
给定初始近似值x0 , 可以得到x1 = ϕ ( x0 ). 如此反复，构造迭代公式 xk +1 = ϕ ( xk ), k = 0,1,2,⋯. 称ϕ ( x)为迭代函数. (2.2)
(ϕ ( x) − x) 2 . ψ ( x) = x − ϕ (ϕ ( x)) − 2ϕ ( x) + x
(3.4)
(3.5)
定理5 定理5 若x * 为ψ ( x)的不动点, 则x * 为ϕ ( x)的不动点. 反之， x * 为ϕ ( x)的不动点，设ϕ ′′( x)存在, ϕ ′( x*) ≠ 1，则x * 为ψ ( x) 的不动点，且斯蒂芬森迭代法(3.3)是2阶收敛的.
k +1
.
(1.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
例2 求x3 − x − 1 = 0在[1.0,1.5]内的一个实根，准确到小数点后2位.
k ak 0 1.0 1 1.25 2 3 1.3125 4 5 6 1.3203 bk 1.5 1.375 1.3438 1.3281 xk 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242 f(xk)符号 − + − + + − −

求解非线性方程的三种新的迭代法

求解非线性方程的三种新的迭代法非线性方程是指未知数的高次幂或三角函数、指数函数等构成的方程。

非线性方程的求解是数值计算中的一个重要问题，常用的方法有迭代法、试位法、牛顿法等。

下面介绍三种新的迭代法。

1. 牛顿法的改进牛顿法是一种求解非线性方程的常用方法，通过选择合适的初始值，可以得到方程的一个根。

在某些情况下，牛顿法的收敛速度较慢，甚至可能发散。

为了克服这个问题，有人提出了牛顿法的改进方法。

改进的思想是在每一步的迭代中引入一个修正因子，使得每一步的迭代都能够加速收敛。

这个修正因子可以选择为方程导数的逆矩阵，或者通过数值计算方法来估计。

通过引入修正因子，可以使得牛顿法的收敛速度更快，提高求解非线性方程的效率。

2. 弦截法弦截法是一种求解非线性方程的迭代法，它可以看作是牛顿法的一种变形。

在牛顿法中，通过选择切线与x轴的交点作为新的逼近解，而在弦截法中，通过选择切线与两个初始逼近解的连线的交点作为新的逼近解。

弦截法的迭代公式为：Xn+1 = Xn - f(Xn) * (Xn - Xn-1) / (f(Xn) - f(Xn-1))在每一步迭代中，选择两个初始逼近解Xn和Xn-1，代入上述迭代公式即可求得新的逼近解Xn+1。

通过不断迭代，可以逐渐接近方程的根。

3. 牛顿-拉夫逊法牛顿-拉夫逊法是一种变步长的牛顿法，它的主要思想是通过动态调整迭代步长的大小来提高求解非线性方程的效率。

在牛顿-拉夫逊法中，首先根据初始解得到牛顿法的逼近解，然后根据逼近解和方程的误差，动态调整迭代步长。

如果逼近解接近方程的根，将步长增加，以加快收敛速度；如果逼近解偏离方程的根，将步长减小，以避免迭代发散。

λ为步长调整因子，可以根据迭代过程中的收敛情况进行动态调整。

牛顿法的改进、弦截法和牛顿-拉夫逊法是三种求解非线性方程的新的迭代法。

这些方法通过引入修正因子、变化逼近解和动态调整步长等方法，可以提高求解非线性方程的效率和收敛速度。

第7章.非线性方程迭代法

f
的重根
=
的单根。
➢ 正割法 / Secant Method / ：
Newton’s Method 一步要计算 f 和 f ’，相当于2个函数值，比较费时。现用 f 的值近似 f ’，可少算一个函数值。
割线
/ secant line /
收敛比Newton’s Method 慢，且对初值要求同样高。
牛顿迭代法的改进与推广
➢ 重根 / multiple root / 加速收敛法：
Q1: 若 f (x*) ，0 Newton’s Method 是否仍收敛？设 x* 是 f 的 n 重根，则：f ( x) ( x x*)n q( x) 且 q( x*) 0。
因为 Newton’s Method 事实上是一种特殊的不动点迭代，
④
|
x
*
xk
|
1
1
L
|
xk 1
xk
|
?
✓ | xk1 xk | | x * xk | | x * xk1 | | x * xk | L | x * xk |
⑤
|
x*
xk
|
Lk 1 L
|
x1
x0
|
?
可用 | xk1 xk |来控制收敛精度
| xk1 xk | | g( xk ) g( xk1 ) | | g(ξk )(xk xk1 ) |
3
| g( x) | | x2 | 1
现令 ( x) (1 K )x Kg( x) (1 K )x K ( x3 1)
3
希望 | ( x) | | 1 K Kx2 | 1，即
2 K 0 x2 1
在 (1, 2) 上可取任意 2 K，例0如K = 0.5，则对应

非线性方程求根—牛顿迭代法(新)

非线性方程求根——牛顿迭代法一、牛顿迭代法的基本思想基本思想：将非线性方程逐步归结为某种线性方程求解。

设方程f (x )=0有近似根x k （f `(x k )≠0），将f (x )在x k 展开：（ξ在x 和x k 之间）2()()()()()()2!k k k k f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-()()()()k k k f x f x f x x x '≈+-可设记该线性方程的根为x k +1，则()()()0k k k f x f x x x '+-=1()()k k k k f x x x f x +=-'故f (x )=0可近似表示为即为Newton 法迭代格式。

（k =0,1,……）例：用Newton 迭代法求方程310x x --=在x 0=1.5附近的近似实根。

解：32()1,()31f x x x f x x '=--=-迭代公式为312131kk k k k x x x x x +--=--计算步骤如下:（1）取初值x 0=1.5;（2）按照迭代公式计算x 1；（3）若|x 1-x 0|<=0.00001，终止迭代；否则，x 0=x 1；转(2)；（4）输出迭代次数和近似根.二、牛顿迭代法的实现MATLAB求解程序设计：方程及一阶导数函数：function[fun,dfun]=fun0(x)fun=x^3-x-1;%求原函数的值dfun=3*x^2-1;%求一阶导数的值计算主程序：clearx0=1.5;[fun,dfun]=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=1;while abs(x1-x0)>1e-5x0=x1;[fun,dfun]=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=i+1;enddisp('the solution is x1=')x1disp('the iter time is ')i计算结果为：the solution is x1=x1 =1.3247the iter time isi =4可见经过4次迭代即到达要求的精度，原方程的一个近似实数根为1.3247.三、牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代法的迭代函数：)()()(x f x f x x '-=ϕ222)]([)()()]([)()()]([1)(x f x f x f x f x f x f x f x '''='''-'-='ϕ设f (x *)=0，f `(x *)≠0，则ϕ`(x *)=0，故Newton 迭代法在x *附近至少平方收敛。

解非线性方程的牛顿迭代法及其应用

解非线性方程的牛顿迭代法及其应用一、本文概述非线性方程是数学领域中的一个重要研究对象，其在实际应用中广泛存在，如物理学、工程学、经济学等领域。

求解非线性方程是一个具有挑战性的问题，因为这类方程往往没有简单的解析解，需要通过数值方法进行求解。

牛顿迭代法作为一种古老而有效的数值求解方法，对于求解非线性方程具有重要的应用价值。

本文旨在介绍牛顿迭代法的基本原理、实现步骤以及在实际问题中的应用。

我们将详细阐述牛顿迭代法的基本思想，包括其历史背景、数学原理以及收敛性分析。

我们将通过具体实例，展示牛顿迭代法的计算步骤和实际操作过程，以便读者能够更好地理解和掌握该方法。

我们将探讨牛顿迭代法在各个领域中的实际应用，包括其在物理学、工程学、经济学等领域中的典型应用案例，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方法。

通过本文的介绍，读者可以深入了解牛顿迭代法的基本原理和应用技巧，掌握其在求解非线性方程中的实际应用方法，为进一步的研究和应用提供有力支持。

二、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫森方法，是一种在实数或复数域上近似求解方程的方法。

其基本原理是利用泰勒级数的前几项来寻找方程的根。

如果函数f(x)在x0点的导数f'(x0)不为零，那么函数f(x)在x0点附近可以用一阶泰勒级数来近似表示，即：这就是牛顿迭代法的基本迭代公式。

给定一个初始值x0，我们可以通过不断迭代这个公式来逼近f(x)的根。

每次迭代，我们都用当前的近似值x0来更新x0，即：这个过程一直持续到满足某个停止条件，例如迭代次数达到预设的上限，或者连续两次迭代的结果之间的差小于某个预设的阈值。

牛顿迭代法的收敛速度通常比线性搜索方法快，因为它利用了函数的导数信息。

然而，这种方法也有其局限性。

它要求函数在其迭代点处可导，且导数不为零。

牛顿迭代法可能不收敛，如果初始点选择不当，或者函数有多个根，或者根是重根。

因此，在使用牛顿迭代法时，需要谨慎选择初始点，并对迭代过程进行适当的监控和调整。

【文献综述】非线性方程组的迭代解法

文献综述信息与计算科学非线性方程组的迭代解法一、国内外状况　近年来，国内外专家学者非线性方程组的迭代解法的研究兴趣与日俱增，他们多方面、多途径地对非线性方程组进行了广泛的领域性拓展（科学、物理、生产、农业等），取得了一系列研究成果。

这些研究，既丰富了非线性方程组的内容，又进一步完善了非线性方程组的研究体系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了数值计算教学研究工作的开展，推动了课程教学改革的深入进行。

非线性问题是数值分析中一种研究并解决数值计算问题的近似解的数学方法之一。

数值是各高校信息与计算科学专业的一门核心基础课程。

它既有数学专业课理论上的抽象性和严谨性，又有解决实际问题的实用性。

80年代以前，数值分析课程只在计算数学专业和计算机专业开设，限于计算机的发展，课程的重心在数学方法理论分析方面，是一门理论性较强的课程。

近年来，随着计算机技术的迅速发展，以及计算机的普及和应用，数值分析课程也在国内外各大高校得到了迅速的推广。

特别是Mathworks公司对Matlab软件的研发，给数值分析课程注入了新的活力。

利用Matlab 所含的数值分析计算工具箱，可以进行数值计算方法的程序设计，同时利用图形图像处理功能，可以对数值分析的近似解及误差进行可视化分析，特别是对非线性问题的求解，利用软件计算求解的方法简单多了。

二、进展情况经过多年的不断研究探索，非线性问题的理论性质得到了更多的认证，我们通过对理论的学习，将它融入其他知识体系中比如：动力学，农业学等等。

非线性问题在经过人们不断的探索努力下发现了很多定理定义，比如不动点迭代法，牛顿法，拟牛顿法，以及各种迭代法。

并且对于各种迭代法的收敛性质和收敛速度进行了深入的研究，从而了解了迭代法的构造、几何解释、并对它的收敛性（全部收敛和局部收敛）、收敛阶、误差估计等。

由于迭代法的计算步骤比较多，计算量大且复杂，很多学者对迭代法的加速方法进行了研究。

而对非线性方程组的迭代解法也初步有了研究的进展。

非线性方程的二分法-迭代法-松弛迭代法-Aitken迭代法-Steffensen迭代法

N=input('请输入最大迭代次数N=\n');
err=input('请输入最大极限err=\n');
k=0;
y=fun(x0)
z=fun(y)
x1=x0-(y-x0)^2/(z-2*y+x0)
cha=abs(y2-y1);
y1=y2;
x2=x3;
ifk>N
disp('超过迭代次数！');
break;
end
end
x=x2;
k;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function[x,k]=Steffensen()
x0=input('输入初值x0=\n');
b=c;
elseifyb*yc>0
b=c;
yb=yc;
else
a3;b)/2;
k;
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function[x,k]=diedai1()
x0=input('输入初值x0=\n');
N=input('请输入最大迭代次数N=\n');
【实验内容】
1、二分法
假定方程在区间内有唯一的实根。此时，即为有根区间。
1.1基本思想：
首先确定有根区间，然后平分有根区间，通过判断区间端点处的函数值符号，逐步将有根区间缩小，直至有根区间足够地小，便可求出满足给定精度要求的根的近似值。
1.2算法过程：
取，将代入方程，判断它的正负号，并用替换与它同方向的区间端点，依次循环得到：
2、迭代法
2.1基本思想：

非线性方程的二分法-迭代法

数学软件实验任务书实验一非线性方程的二分法 1 实验原理对于实函数方程()0f x =设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，而且()()0f a f b <，则()f x 在区间[,]a b 上至少有一个根。

记11[,][,]a b a b =，设1p 为11[,]a b 中点，1112a b p +=，事先给定一个误差容限Tol （足够小），如果()f x Tol <，则1p 是原方程()0f x =一个很不错的近似根。

如果()f x Tol >，那么我们并不满足于1p 作为近似的方程的根。

二分法的思想是：我们在11[,]a p 与11[,]p b 中更细一步的寻找根，具体在哪个区间是很容易实现的。

如果11()()0f p f b <则表明则两点异号，则根必然在11[,]p b 这个区间里。

如果11()()0f p f b >则根必然在11[,]a p 这个区间里。

这样我们就把原来的我们对根的寻找由11[,]a b 区间缩小了一半，如此反复，不断缩小区间，当区间缩小到我们可以接受的范围内，我们就用区间里的近似值代替真值。

2 实验数据来源使用二分法计算方程3()(1)32f x x x =--+在区间[2，4]上的根，并把通过数值方法绘制函数比较计算结果是否正确。

3 实验步骤步骤一：编写二分法计算的函数文件。

打开 Editor 编辑器，输入以下语句：%二分法计算非线形方程function gen=Erfen(f,a,b,tol)%f为方程f(x)=0中的f(x)%如果输入变量缺省则默认误差为1E-3if(nargin==3)tol=1.0e-3;endgen=compute_gen(f,a,b,tol);function r=compute_gen(f,a,b,tol)%计算左端点函数值fa=subs(f,a);%右端函数值fb=subs(f,b);%区间中点函数值fzd=subs(f,(a+b)/2);%sub 函数R = subs(S,old,new)%其中S为符号表达式，old为老变量，new为新变量%sub 把老变量替换为新变量if(fa*fzd>0)t=(a+b)/2;%采用递归方法r=compute_gen(f,t,b,tol);elseif(fa*fzd==0)r=(a+b)/2;elseif(abs(b-a)<=tol)r=(b+3*a)/4;elses=(a+b)/2;%结果r=compute_gen(f,a,s,tol);endendend以文件名字Erfen.m保存。

迭代法解非线性方程

则对一个任意接近 x*的初始值，迭代公式
xk1 ( xk )是 p阶收敛的，且有
lim
k
xk1 x * ( xk x*)p
( p)( x*)
p!
定理3可以利用泰勒展开式加以证明
二、弦截法
1. 弦截法的算法过程
(1)过两点(a,f (a)),(b,f (b))作一直线,它与x轴有一个交点,记为x1; (2)如果f (a)f (x1)<0,过两点(a,f (a)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点记为x2, 否则过两点(b,f (b)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点记为x2； (3)如此下去,直到|xn-xn-1|< , 就可认为xn为 f (x)=0在区间[a,b]上的一个根。
2. 弦截法的迭代公式
x1
a
ba f (b) f (a)
f (a),
xk
1
xk
1
a b
xk a f ( xk ) f (a)
xk b f ( xk ) f (b)
f (a), f (b),
f (a) f ( xk ) 0 f (a) f ( xk ) 0
3.弦截法的Matlab编程实现
function root=chord_cut(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点
function [root,n]=chord_cut2(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点,n迭代次数
2. 迭代法的收敛性

非线性方程迭代法的一般理论

提出了一系列加速迭代法收敛的技术，如松弛法、外推法等，有效提高了计算效率。
未来发展趋势预测
1 2
高性能计算的应用
随着计算机性能的不断提高，未来迭代法将更加注重并行化和优化，以适应大规模计算的需求。
智能化算法的发展
结合人工智能和机器学习技术，未来迭代法有望实现自适应参数调整和智能化求解。
3
跨学科交叉融合
04
针对某些特殊类型的非线性方程，可能需要设计专门的迭代法以提高求解效率。
05
迭代法在实际问题中应用
工程领域应用举例
结构优化
在结构工程中，迭代法被用于求解复杂的结构优化问题，通过不断迭代计算，找到满足设计要求的最优结构形状和材料分布。
流体动力学
迭代法在流体动力学中用于求解非线性偏微分方程，如Navier-Stokes方程，以描述流体的运动状态。
不同类型非线性方程求解示例
多项式型非线性方程
如$x^3 - x - 1 = 0$，可以采用牛顿迭代法等进行求解。
指数型非线性方程
如$e^x - x - 2 = 0$，可以尝试使用割线法或二分法进行求解。
对数型非线性方程
如$log(x) + x - 3 = 0$，可以考虑使用牛顿迭代法或幂级数法进行求解。
参数调整方法
固定参数法
在迭代过程中保持参数不变。这种方法简单易行，但可能不适用于所有问题。
自适应参数法
根据迭代过程中的信息（如残差、梯度等）动态调整参数。这种方法可以适应不同问题的特性，但需要设计合适的自适应策略。
参数优化法
将参数作为优化变量，通过求解一个优化问题来确定最佳参数。这种方法可以得到较好的参数选择，但计算成本可能较高。

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求根第2章非线性方程非线性方程求根
石家庄经济学院信息工程学院马丽 malimail@
1
§2. 1 方程求根与二分法 2.1 方程求根与二分法
一、引言
考虑单变量非线性方程 f ( x) = 0 的求根问题，其中 x ∈ R, f ( x) ∈ C[a, b].
k 0 1 2 3 ‫׃‬ xk x0 x1 x2 x3 ‫׃‬ 迭代法(1) 迭代法(2) 迭代法(3) 迭代法(4) 2 3 9 87 ‫׃‬ 2 1.5 2 1.5 ‫׃‬ 2 1.75 1.73475 1.732631 ‫׃‬ 2 1.75 1.732143 1.732051 ‫׃‬
24
定义2 设迭代过程 xk +1 = ϕ( xk )收敛于 x*, 误差 ek = xk − x*,
16
推论如果迭代函数ϕ ( x) ∈ C1[a, b] , 并且 (1) ∀x ∈ [a, b], 都有ϕ ( x) ∈ [a, b], (2) ∃0 ≤ L < 1, 使得∀x ∈ [a, b], 都有 | ϕ ′( x) |≤ L < 1; 那么 1) 方程f ( x) = 0在[a, b]上有唯一的根x*, 2) 对任意初值x0 ∈ [a, b], 迭代序列(2.2)均收敛于x*,
+ ⋯ + xk +1 − xk ≤ ( Lp −1 + Lp − 2 ⋯ + L + 1) xk +1 − xk 1 ≤ xk +1 − xk 1− L Lk ≤ x1 − x0 1− L L越小越好，L称为渐进收敛因子。
21
迭代法的突出优点是算法的逻辑结构简单,且在计算时,中间结果若有扰动,仍不会影响计算结果。其计算步骤为: (1)确定方程f(x)=0的等价形式x=g(x),为确保迭代过程的收敛,要求g(x)满足李普希茨条件(或｜g′(x)｜≤q＜1); (2)选取初始值x0,按公式 x k+1=g(xk), k=0,1,2,… 进行迭代; (3)若｜x k+1-xk｜＜ε,则停止计算,x≈x k+1。
6
计算框图
7
例2 求x3 − x − 1 = 0在[1.0,1.5]内的一个实根，准确到小数点后2位.
k ak bk 1.5 1.375 1.3438 1.3281 xk 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242 f(xk)符号 − + − + + − − 0 1.0 1 1.25 2 3 1.3125 4 5 6 1.3203
ek +1 若 lim p = C , C 是不为零的常数 , 则= 1时迭代法为线性收敛；当 p > 1时为超线性收敛；当 p = 2时为平方收敛 .
25
定理4 如果迭代函数ϕ ( x)在x = ϕ ( x )的根x * 邻近具有p阶连续导数, 并且
即
x∗ = ϕ ( x∗ ) y∗ = ϕ ( y∗ )
于是,由李普希茨条件得
∗ x = y 若也是方程的根,即
x∗ − y∗ = ϕ ( x∗ ) − ϕ ( y ∗ ) = ϕ ′(ξ ) x∗ − y∗
≤ L x∗ − y ∗
∗ ∗ x = y 因为L＜1,所以上式矛盾,故必有
亦即方程在(a,b)内有唯一的根。
一、不动点迭代
将非线性方程f ( x) = 0化为等价形式 x = ϕ( x). f ( x*) = 0 ⇔ x* = ϕ ( x*) ; 称 x * 为函数 ϕ ( x )的一个不动点 .
给定初始近似值x0 , 可以得到x1 = ϕ ( x0 ).
如此反复，构造迭代公式 xk +1 = ϕ( xk ), k = 0,1,2,⋯ . 称ϕ( x )为迭代函数 .
Lk 3) | xk − x* |≤ | x1 − x0 |, 1− L 1 4) | xk − x* |≤ | xk +1 − xk | . 1− L
3 例：在 [1,2]内考查： 1 ）xk +1 = 3 xk + 1; 2 ）xk +1 = xk − 1.
17
�
证明：由已知条件知,x*为方程的根,
4
二、二分法简述设f (a ) ⋅ f (b) < 0, 取x0 = (a + b) / 2. 假如f ( x0 )是f ( x)的零点，那么输出x0 , 停止. 假若不然，若f (a )与f ( x0 )同号，则a1 = x0 , b1 = b; 否则a1 = a, b1 = x0 .
⋯⋯ 故[a, b] ⊃ [a1, b1 ] ⊃ ⋯ ⊃ [ak , bk ] ⊃ ⋯,
1 2 x 3 （ 3 ）xk +1 = xk − ( xk − 3)，ϕ′( x) = 1 − ，ϕ′( x*) = 1 − ≈ 0.134; 4 2 2 1 3 1 3 ′ （ 4 ）xk +1 = ( xk + )，ϕ ( x) = (1 − 2 )，ϕ′( x*) = 0. 2 xk 2 x
3
例1 求方程x − e − x = 0的有根区间. x
f(x)的符号
−1 −
0 −
1 +
2 +
方程根的数值计算大致可分三个步骤进行: (1) 判定根的存在性。 (2)确定根的分布范围,即将每一个根用区间隔离开来。 (3)根的精确化,即根据根的初始近似值按某种方法逐步精确化,直至满足预先要求的精度为止。
二分法优、缺点；用途。
8
2 迭代法 §2. 2.2
迭代法的基本思想: 首先将方程f（x）=0改写成某种等价形式,由等价形式构造相应的迭代公式 , 然后选取方程的某个初始近似根 x0, 代入迭代公式反复校正根的近似值 , 直到满足精度要求为止。迭代法是一种数值计算中重要的逐次逼近方法。
9
22
三、局部收敛性与收敛阶
迭代序列{xk }在[a, b]上的收敛性通常称为全局收敛性；不容易由定理作出判断。应用上经常只在不动点x * 附近考察收敛性，称为局部收敛性. 定义1 如果∃U ( x*,δ ), 使得∀x0 ∈ U ( x*,δ )迭代序列(2.2) 均收敛于x* = ϕ ( x*), 则称迭代序列局部收敛. 定理3 若x * 为迭代函数ϕ ( x)的不动点,ϕ ( x)在x *的某邻域内有连续导数, 且 | ϕ ′( x*) |< 1, 则迭代法(2.2)是局部收敛的.
解：（ 1 ）x0 = 1.5，xk +1 = 3 xk + 1, (k = 0,1,2,⋯).
k 0 1 2 3 4 5 6 7 xk 1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 1.32476 1.32473 1.32472
虽然迭代法的基本思想简单, 但效果并不总是令人满意的。对于上例,若按方程写成另一种等价形式：
作业: P22 1，2，3
26
3 迭代收敛的加速方法 §2. 2.3
一、埃特金加速收敛方法对于收敛的迭代过程，由迭代公式校正一次得
x1 = ϕ ( x0 ),
再校正一次得 x2 = ϕ ( x1 ). 如果ϕ ′( x )变化不大, ϕ ′( x) ≈ L, 则 ⎧ x1 − x* = ϕ ( x0 ) − ϕ ( x*) ≈ L( x0 - x*), ⎨ ⎩ x2 − x* = ϕ ( x1 ) − ϕ ( x*) ≈ L( x1 - x*). (3.1)
f ( x) = ( x − x*)m g ( x),
其中0 <| g ( x*) |< ∞, m为正整数. 则称x * 为f ( x)的m重零点. 此时 f ( x*) = f ′( x*) = ⋯ = f ( m −1) ( x*) = 0, f ( m) ( x*) ≠ 0. 若f ( x) ∈ C[a, b], f (a ) ⋅ f (b) < 0, 则可用搜索法求有根区间.
x1 − x * x0 − x * ⇒ ≈ x2 − x * x1 − x *
xk +1 − x ∗ → 0
所以
lim xk = x ∗
k →∞
也就是对任意初始值x0迭代公式收敛。利用李普希茨条件
xk +1 − xk = ϕ （xk） − ϕ ( xk −1 )
≤ L xk − xk −1
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对任意正整数p有：
xk + p − xk ≤ xk + p − xk + p −1 + xk + p −1 − xk + p − 2
非线性方程的分两类： 1. 代数方程,
a0 x n + a1x n −1 + ⋯ + an −1x + an = 0,
其中a0 ≠ 0, ai ∈ R (i = 0,1,⋯, n). 如 : x3 − x − 1 = 0. 2. 超越方程, 如 : x − e − x = 0.
2
如果f ( x)可以分解为
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再考虑迭代公式
xk +1 = ϕ ( xk ) k = 0,1, 2⋯
由李普希茨条件
xk +1 − x∗ = ϕ ( xk ) − ϕ ( x∗ )
≤ L xk − x∗
(*)
由(*)可得
xk +1 − x∗ = Lk +1 x0 − x∗
(**)
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因为L＜1,当k→∞时,Lk→0,即有
| ϕ( x ) − ϕ( y ) |≤ L | x − y |;
满足李普希茨 (Lipschitz)条件
（2.4）
那么 ϕ( x ) 在[ a , b ]上存在唯一的不动点 x * .
定理2 在定理1的条件下, 对任意初值x0 ∈ [a, b], 迭代序列 (2.2)均收敛于ϕ ( x)的不动点x*, 并有误差估计 Lk | xk − x* |≤ | x1 − x0 | . 1− L 1 还有 | xk − x* |≤ | xk +1 − xk | . 1− L (2.5)