第四节 正定二次型

方法 1
方法 2
方法 3
11
例 2 用惯性指数法判断三元二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) x x x x1 x2 x2 x3
2 1 2 2 2 3
是否是正定二次型.
解法 解法 1 1 用配方法
解法 2 用初等变换法 解法 2
12
2. 顺序主子式法 有时我们需要直接从二次型的矩阵来判别这个 二次型是否正定， 为此，引入 定义 9 子式
T T
En 1 O
令
. T T ann GG O
C = C1C2 , ann - TGGT = a ,
28
1 T . 就有 C AC 1 a
两边取行列式， | C |2 | A | = a . 由条件 | A | > 0 得 a > 0 . 这就说明，矩阵 A 与单 位矩阵合同，所以，A 是正定矩阵，或者说二次 型
5
(2) 非退化实线性变换保持正定性不变. 证明 (2) 设实二次型 f = XTAX 是正定的. 作非退化线性变换 X = CY 得二次型 f = YT( CTAC )Y . ( 因为如果 对任意的 Y0 0，相应 X0 =CY0 0， X0 = 0，则 Y0 = C-1X0 = 0 ) 于是由 f = XTAX 的正定 性， 即得 f = Y0T( CTAC )Y0 = X0TAX0 > 0 .
i 1 j 1
k
k
f (c1 , c2 , , ck ,0x1 , x2 , , xk )
是正定的.
23
因此，由 “正定矩阵的行列式大于零” fk 的矩阵的行列式
0 , k 1, , n . ak1 akk
这就证明了矩阵 A 的顺序主子式全大于零. 再证充分性 对 n 作数学归纳法. 当 n = 1 时， f ( x1 ) = a11x12 , 由条件 a11 > 0 显然有 f ( x1 ) 是正定的.
30
2. 判别法 定理 8 对于实二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) =XTAX ， 其中 A 是实对称的，下列条件等价： (1) f ( x1 , x2 , … , xn ) 是半正定的， (2) 它的正惯性指数与秩相等， (3) 有可逆实矩阵 C,使 CTAC = diag ( d1 , d2 , … , dn ) , 其中 di 0，i =1, 2, … , n . 即A与矩阵
3
例如 二次型
f ( x1 , x2 , , xn ) x x x
2 1 2 2
2 n
是正定的，因为只有在 c1 = c2 = … = cn =0 时， c12 + c22 + … + cn2 才为零. 二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) x x x 2 x1 x2
证毕
二、实二次型正定性的判别方法 1. 惯性指数法 定理 6 n 元实二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 正定的 充分必要条件是它的正惯性指数等于 n . 证明 设二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 经过非退化 实线性变换变成标准形 d1x12 + d2x22 + … + dnxn2 由前面得到的基本结论 1 ，该标准形是正定的当 且仅当 di > 0 , i =1, 2, … , n , 即正惯性指数为 n . 再由基本结论 2 即得.
ann O
G O
1
En 1 G T . TG a nn
再作分块初等变换，令
En 1 C2 O
有
G , 1
T
27
C C AC1C2
T 2 T 1
En 1 O En1 G En 1 G G T 1 TG a O 1 nn
a11 a12 a1i a21 a22 a2i Pi ai 1 ai 2 aii
(i 1,2,, n)
称为矩阵 A = ( aij )nn 的顺序主子式.
13
例
2
二次型：
2 2
99 x1 12 x1 x2 48 x1 x3 130 x2 60 x2 x3 71 x3 的矩 阵 的 顺 序主子式是？
第四节
音 乐
§4
正定二次型
正定二次型的定义 实二次型正定性的判别方法 实二次型的其他类型及其判别法
2
一、正定二次型的定义
正定二次型在工程技术和最优化等问题中有着广泛 的应用， 讨论多元函数极值的充分条件也用到它. 在实二次型中，正定二次型占有特殊的地位. 我们将给出其定义及常用判别方法. 定义 7 设 f ( x1 , x2 , … , xn )为实二次型，如果对 任意一组不全为零的实数 c1 , c2 , … , cn ， 都有 f ( c1 , c2 , … , cn ) > 0 . 则称实二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 为正定的.
24
a11 a1k
假设充分性的论断对于 n - 1 元二次型已成立, 现在来证 n 元的情形. 令
a1n a11 a1,n 1 A1 , , a an 1,n n 1,1 an 1,n 1
14
例
2
二次型：
2 2
99 x1 12 x1 x2 48 x1 x3 130 x2 60 x2 x3 71 x3 的矩 阵 的 顺 序主子式是？
99 -6 130 -30 99 -6 24 24 -30 71 -6 130 -30
二次型的矩阵为： A =
-6 24
三个顺序主子式分别如下：
于是矩阵 A 可以分块成
A1 A T
. ann

25
既然 A 的顺序主子式全大于零，当然 A1 的顺序 主子式也全大于零. 由归纳法假设，A1 是正定 矩阵，即，有可逆的 n - 1 级矩阵 G 使 GTA1G = En - 1 , 这里 En - 1 代表 n - 1 级单位矩阵. 令
证毕
由此，正定二次型的规范形为 y12 + y22 + … + y7n2 .
定义 8 设 A 为实对称矩阵， 若二次型 XTAX 正定， 则称 A 为正定矩阵. 由二次型 x12 + x22 + … + xn2 的矩阵是单位矩阵 ， 则一实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同. 由此得： 推论 1 实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是 存在可逆矩阵 C，使得 A = CTC.
10 -1 2 2 -3 2 12
A=
-1 -3
17
例 3 判别矩阵的正定性
10 -1 2 2 -3 2 12
A=
-1 -3
三个顺序主子式分别计算如下：
10 = 10 > 0 10 -1 = 19 > 0 -1 2 10 -1 -3 = 182 > 0 -1 2 2 -3 2 12
例 4 判别二次型
2 1 2 2 2 3
不是正定的，因为
f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 x2 ) x
2
2 3
所以，有 f (1, -1, 0) = 0.
2. 两个基本结论
(1) 实二次型
f ( x1 , x2 , , xn ) d x d x d x
2 1 1 2 2 2
G O C1 O 1 ,
于是
T G T C1 AC1 O
O A1 T 1
O ann
G O
1
26
T G T C1 AC1 O
O A1 T 1
8
证明 设 A 为实对称矩阵，则由惯性指数定理， 有 实对称矩阵 A 正定 等价 实二次型 XTAX 正定 等价 实二次型 XTAX 的规范 型是 x12 + x22 + … + xn2 实二次型 XTAX 的规范 型是 x12 + x22 + … + xn2 等价 矩阵 A 与 E 合同 等价 存在可逆矩阵 C，使 A = CTEC = CTC .
99 99 -6 -6 130 24 -30 71
15
定理 7 实二次型
f ( x1 , x2 , , xn ) aij xi x j X AX
T i 1 j 1
n
n
是正定的充分必要条件为矩阵 A 的顺序主子式 全大于零.
在证明该定理前，先算两个例子.
16
例 3 判别矩阵的正定性
证毕 9
推论 2 正定矩阵的行列式大于零. 证明 设 A 是一正定矩阵，则由推论 1 知， 存在可逆矩阵 C，使 A = CTC . 两边取行列式，就有 | A | = | CT | | C | = | C |2 > 0 .
证毕
10
例 1 证明：若 A 是正定矩阵，则 A-1 也正定. 证明 由正定矩阵的定义知，正定矩阵是实对 称矩阵，由推论 2 知，正定矩阵 A 是可逆的， 且 ( A-1 )T = ( AT )-1 = A-1 ， 所以 A-1 也是实对称矩阵. 正定性的证明方法很多.
由此可知二次型是正定的.
21
下面，我们证明判别定理 定理 7 实二次型
n n T i 1 j 1
f ( x1 , x2 , , xn ) aij xi x j X AX
正定的充分必要条件是矩阵 A 的顺序主子式全 大于零. 证明 先证必要性 设有正定二次型