当前位置：文档之家 › 高等代数课件 第三节 正定二次型

高等代数课件 第三节 正定二次型

  • 格式：pptx
  • 大小：389.59 KB
  • 文档页数：13

下载文档原格式

  / 13

合集下载

高等代数 二次型PPT课件

高等代数 二次型PPT课件

y2 1
k2
y2 2
kn
y2 n
k1
y1
( y1, y2 ,, yn)
k2
y2
,
kn yn
也就是要使CT AC成为对角矩阵.
11
第11页/共32页
由 于 对 任 意 的 实 对 称 矩阵A, 总 有 正 交 矩 阵P ,
使 P1 AP ,即 PT AP .把此结论应用于二次
型,有
二、小结
将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用． 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩．
15
第15页/共32页
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
令
i
i i
,
i 1,2,3,
1 3 2 5 Fra bibliotek2 45
得 1 2 3, 2 1 5 , 3 4 45 .
2 3
0
5
45
所以
1 3
P 2 3
2
3
2 5 15
0
2 45
4 45 .
5
45
16
它的顺序主子式
5 2 4
5 0,
52 1 0,
2
1 2 1 0,
21
4 2 5
故上述二次型是正定的.

正定二次型

正定二次型

再证必要性。
nf xLeabharlann ki yi2 > 0 i1
用反证法：假设有 ks 0，则当 y es (单位坐标向量)
时，f Ces ks 0 。显然Ces 0 ，这与f 正定相矛盾。这就证明 了ki > 0i 1, 2, , n 。
推论
对称阵A 为正定的充分必要条件是A 的特征值全为正。
例1 判定二次型 f 2x2 6 y2 4z2 2xy 2xz 的正定性。
解 f 的矩阵为
2 1 1
A
1 1
6 0
0 4
,
a11
2
<
0,
a11 a21
a12 2 a22 1
1 11> 0,
6
A 38 < 0
根据定理3知，f 负定。
线性代数
这个定理称为惯性定理。
二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，
负系数的个数称为负惯性指数，若二次型f 的正惯性指数为p，秩 为r，则f 的规范形便可确定为
f y12
y
2 p
y2 p1
yr2
定义1
设有二次型 f x xT Ax ，如果对任何x≠0，都有f(x)>0(显然
f(0)=0)，则称f 为正定二次型，并称对称阵A 是正定的;如果对任何 x≠0都有f(x)<0，则称f 为负定二次型，并称对称阵A 是负定的。
定理3 对称阵A 为正定的充分必要条件是A 的各阶主子式都为正，即
a11
>
0,
a11 a21
a12 > 0, a22
a11 ,
an1
a1n >0
ann
对称阵A 为负定的充分必要条件是奇数阶主子式为负，而偶数 阶主子式为正，即

高等代数课件§6.3 正定二次型与正定矩阵

高等代数课件§6.3 正定二次型与正定矩阵

f

x2 1

x2 2

5
x2 3
2t x1x2
2x1x3 4x2 x3
为正定二次型?
解
二次型的矩阵为
A


1 t 1
t 1 2
251 ,
要使二次型为正定二次型 , 则A的各阶顺序 主子式均为正 , 即
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
1＞0
（1） xTAx ＞0 ，则称 f 为正定二次型，
相应地矩阵A称为正定矩阵；
（2） xTAx ＜0 ，则称 f 为负定二次型，相应
地矩阵A称为负定矩阵；
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
（3）xTAx≥ 0 ，则称 f 为半正定二次型，相应
地矩阵A称为半正定矩阵；
（4）xTAx ≤0 ，则称 f 为半负定二次型，相应
0 1 2
2

5 2

2 6
2 0
2 0 4
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
解 (1) 2＞0,
2 2
1 2
5＞0,
2 1 0
1 2 1 4＞0, ∴该矩阵为正定矩阵.
0 1 2
解 (2)∵-5＞0, 5 2 26 ＞0, 2 6
, 1t
t 1
1 t 2＞0,
1t t1
1
2 5t 2 4t ＞0,
1 2 5
1 t 2＞0
因此

5t
2

4t ＜0
解之得 4＜t＜0 5
故当 4 ＜t＜0 时,该二次型为正定二次型. 5

高等代数正定二次型

高等代数正定二次型

g(k1, k2, · · · , kn) = f(c1, c2, · · · , cn) > 0.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
正定二次型与非退化线性替换
因为二次型 (3) 也可以经非退化线性替换 Y = C−1X
是正定的当且仅当 di > 0, i = 1, 2, · · · , n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .... .... .... . .
. ..
正定二次型与非退化线性替换
设实二次型
∑n ∑n
f(x1, x2, · · · , xn) =
n = 1 时，1 级矩阵 (a)，已知 a > 0，从而 (a) 正定.
假设对于 n − 1 级实对称阵命题为真. 现在来看 n 级实对称矩阵
A = (aij). 把 A 写成分块矩阵：
(
)
A = An−1 α ,
(6)
α′ ann
其中 An−1 是 n − 1 级实对称矩阵. 显然 An−1 的所有顺序主子
. .. . . ..
正定矩阵
定理 实二次型
∑n ∑n
f(x1, x2, · · · , xn) =
aijxixj = X′AX
i=1 j=1
是正定的充分必要条件为矩阵 A 的顺序主子式全大于零.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
正定矩阵
定理 实二次型
∑n ∑n
f(x1, x2, · · · , xn) =

正定二次型

正定二次型
0 1 3
它的各阶顺序主子式
D1 a11 1 0,
D2
a11 a21
a12 1 a22 1
1 0
2
1 1 0 1 1 0
D3 1 2 1 0 1 1 3 1 2 0 0 1 3 0 1 3
根据定理 5.5 可知所给二次型 f 是正定二次型。
1 1 0 解法 2 二次型 f 的矩阵为 A 1 2 1 ，矩阵 A 的特征多项式为
解法 3 将所给二次型配方，得
f x12 2x22 3x32 2x1x2 2x2 x3 (x12 2x1x2 x22 ) (x22 2x2 x3 x32 ) 2x32
(x1 - x2 ) 2 (x2 - x3 ) 2 2x32 0
而上式等号成立的充分必要条件是 x1 x2 x3 0
0 1 3
0 1 3
0 1 3
1 0 0
1 0 0
c3 c2 0
1
0
r3r2
0
1
0
0 1 2
0 0 2
于是已知的二次型经过合用变换后，所得标准形的正惯性指数分别为 1，1，2，
根据惯性定理可知，所给二次型 f 是正定二次型。
1 t 1 例 5.12 设矩阵 A t 1 2 是正定矩阵，求其中 t 的取值范围。
实用线性代数
正定二次型
正定二次型的概念 正定二次型的判定
1.1 正定二次型的概念
定定义义55..6 设 有 二 次 型 f (x1, x2 ,, xn ) xT Ax ， 若 对 任 何
0 x Rn , 都有 f xT Ax 0 ，则称 f 为正定二次型。
正定二次型所对应的矩阵称为正定矩阵。
f (x) f (Cy) k1 y12 k2 y22 kn yn2

正定二次型和正定矩阵.ppt

正定二次型和正定矩阵.ppt
24
detA := 832176
a 2 2ab b 2 (a b) 2 0, 1 2 ab (a b 2 ). 2
f f 99 x 130 x 71x
2 1 2 2
2 3
1 2 1 2 1 2 2 2 2 12 ( x1 x2 ) 48 ( x1 x3 ) 60 ( x2 x3 ) 2 2 2 2 2 2 99 x1 130 x2 71x3 6( x x ) 24( x x ) 30( x x )
6 2 | A2 | 30 4 26 0, 2 5 6 | A3 | 2 2 2 2 5 0 0 210 20 28 162 0. 7
22
故A正定.
实对称矩阵A正定的充分必要条件是 1.其特征值都是正数. 2.A合同于 E n .
3. A P T P , P 可逆.
17
a11 As a s1
的行列式.
a1 s , a ss
a11 , An a n1
a1n A . ann
定理 实对称矩阵 A (aij )nn 正定的充分必要条件 是其顺序主子式全大于零. 证明 必要性
f X T AX (QY )T AQY Y T (Q T AQ )Y Y T Y i yi2 0.
n i 1
这就证明了条件的充分性.
4
设A是正定矩阵,而 是其任意特征值, X是 属于 的特征向量, 则有 AX X , 于是
X AX X X 0, X X 0, 故 0.
T T T
必要性得证.
推论 若A是正定矩阵,则|A|>0.

正定二次型及正定矩阵.ppt

1 4 为半正定矩阵 6 0
2 2 ( 3) f x1 , x 2 x1 3 x 2 为负定二次型
1 为负定矩阵。 3 2 2 (4) f x1 , x2 , x3 x1 3 x2 为半负定二次型
交矩阵P，使得P T AP , 其中 diag(1 , 2 , , n )
对于任意非零向量 x x T Ax x T ( P 1 )T P 1 x ( P 1 x )T ( P 1 x )
T 设y P 1 x （y1 , y2 ,, yn） , 则y为非零向量
1
1
2
1
E n
设C PQ, 则C T AC E , 所以A与单位阵合同。
若A与单位阵合同，则存在可逆矩阵C,使A=
CTEC= CTC，则对于非零向量x xT Ax xT C T Cx (Cx )T (Cx )
C可逆，x 0, 故Cx 0，则(Cx )T (Cx ) 0 所以f正定。
1 3 为半负定矩阵。 0 2 2 (5) f x1 , x 2 x1 3 x2 为不定二次型
1 为不定矩阵。 3
二、正(负)定二次型的判别
准则1 对称矩阵A为正定的充分必要条件是： A的 特征值全为正． 证明 必要性 假设i ( i 1,2 , n)为A的特征值， i 为对应于i的
第六章
二次型
中南财经政法大学信息系
一、正(负)定二次型的概念
定义6.6 具有实对称矩阵A的n元二次型为
f X X AX
T
x1 x 1) 如果对于任意的非零向量 X＝ 2 ，都有 xn

第三节 正定二次型

rank A rank B.
任意二次型f X T AX总可以经可逆线性变换X CY 化为标准形
f 1 y12 L n yn2.
其中非零项的项数是确定的，等于二次型矩阵A的秩．
定义 二次型f 的矩阵的秩称为二次型f 的秩．
设实二次型f X T AX的秩为r,则存在可逆线性变换X CY ,
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例3 t 取何值时 , 二次型
f x2 y2 5z2 2txy 2xz 4 yz
解
正定? f的矩阵为
1 A t
t 1 1 2 ,
1 2 5
由 a11 1 0, 1 t 1 t 2 0, 1 t 1 t 1
A t 1 2 5t 2 4t 0, 解得 4 t 0 . 5
型,并称对称矩阵A是正定的;如果对任何 0都有
f (x) 0,则称 f 为负定二次型,并称对称矩阵A是负定的.
例如 f x2 4 y2 16z2 为正定二次型
f x12 3x22
为负定二次型
三、正(负)定二次型的判别
定理7.3.1实二次型 f X T AX 为正定的充要条件
是 : 它的标准形的n个系数全为正 , 即它的正惯 性指数等于 n .
四、小结
1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系．
2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法.
作业 P141 5(1),(3),6,7
思考题
设A, B分别为m阶, n阶正定矩阵, 试判定分块 矩阵C A 0 是否为正定矩阵.
0 B
思考题解答
解 C是正定的. 因为,设Z (xT , yT )T 为m n维向量,其中x, y分

正定二次型


定义 设n阶方阵 A （aij）nn
A1 a11
A2
a11 a21
a12 a22
L
都叫做矩阵的顺序主子式。
我们把n个行列式
a11 L a1n An L L L
an1 L ann
定理 (hurwitz定理）
二次型 f (x) xAx 为正定的充分必要条件是：
二次型的矩阵的所有顺序主子式大于０．
●判别正定二次型（矩阵）的三种方法 1.将二次型化为标准形 2.求出二次型矩阵的特征值 3.计算二次型矩阵的顺序主子式
作业
• 4.12 • 4.13
半正定 负定
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 3x32 2x1x2 半负定 f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 3x32 2x1x2 不定
●判定二次型的正定性
性质4.5
若A是n阶实对称矩阵，则下列命题是等价的： （1）xTAx是正定二次型（或A是正定矩阵）； （2）A的n个特征值全为正； （3）f的标准形的n个系数全为正； （4）A的正惯性指标为n； （5）A与单位矩阵I 合同； （6）存在可逆矩阵P，使得A=PTP；
所以 f 为负定二次型。
例 当 t 为何值时, 下列二次型是正定的
f (x1, x2 , x3 ) tx12 5x22 2x32 2x1x2
t 1 0
解
二次型的矩阵为
A
1
5
0
0 0 2
A的三个顺序主子式为
t1
A1 t,
A2 1
5t 1, 5
要使A正定,则应有 t 1 5
A3 A 25t 1
推论
二次型 f (x) xAx 为负定的充分必要条件是：

线性代数课件-正定二次型 15页PPT文档


是否正定.
解
fx1,x2,x3的矩阵 52 为 12

4 2

,
4 2 5
它的顺序主子式
50,
5
2 10,
5 2
2 4 1 2 10,
2 1
4 2 5
故上述二次型是正定的.
例2 判别二次型 f 5 x 2 6 y 2 4 z 2 4 x 4 y xz
第二节 正定二次型
一、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次f型 (x) xTAx,如果对任何
x 0,都有fx0显然f00,则称f为正定二
次 型,并 称对 称 矩 A是 阵正定;的 如 果对 任x何 0 都有f(x) 0,则称f为负定二次 ,并型称对称矩阵 A是负定.的
例如 fx24y21z6 2 为正定二次型
fx1 23x2 2
为负定二次型
二、正(负)定二次型的判别
定理 1 实二次f 型xT Ax为正定的充分必要条
件是 :它的标准n形 个的 系数全.为正
定理2 对称矩阵 A为正定的充分必要条件是：A
的各阶主子式为正，即
a11 a1n
, a110,
a11 a21
a12 0, a22

0;
an1 ann
正定矩阵具有以下一些简单性质
1.设 A 为正定,则 实 A T,A 对 1,A 称 均阵 为 定矩 ; 阵
2.若 A ,B 均n 阶 为正,则 定 A B 也 矩是 阵正 矩. 阵
例1 判别二次型
f x 1 , x 2 , x 3 5 x 1 2 x 2 2 5 x 3 2 4 x 1 x 2 8 x 1 x 3 4 x 2 x 3
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三节 正定二次型
1 定义 2 性质 3 练习
定义: 设实二次型f(x) = xTAx 满足对Rn中任何 非零向量x, 有f(x) > 0, 则称之为正定二 次型, 称A为正定矩阵. 若对Rn中任何非零向量x, 有f(x) < 0, 则 称之为负定二次型, 称A为负定矩阵.
注1. 正定(负定)矩阵必为实对称矩阵.
命题2. 相合矩阵的正定性也相同.
命题3. 同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵. 设A,B正定, 则x0, xTAx>0, xTBx>0, (A+B)T=AT+BT=A+B, A+B为实对称的
x0, xT(A+B)x= xTAx+xTBx>0 A+B正定
定理. 设A为n阶实对称阵, 则下列命题等价:
(1) A是正定矩阵;
e1 e2 T Ae1 e2 a d c d 0 b c 0
•已知 A, aE A 是正定矩阵, 且A满足条件 A2 3A 4E O,则实数a满足条件 a > 1.
= 4,1 =1 a+>0 a+1>0
•若A
1 b
a
c
是正交矩阵,
1 b2 1
a
2
c2
1
则a,b,c满足条件 a = b = 0, c = 1.
注2. 对任何x0, x0 xi 0 ,并不是 xi 0
注3. f(x)=a11x12 + a22x22 + …+annxn2 正定 aii>0, i=1,2,…,n.
命题1. 可逆线性变换不改变二次型的正定性. x0, f(x) = xTAx >0, x=Py, P可逆 y=P1x 0, g(y)= yT(PTAP)y = xTAx >0
f x x12 x22 5x32 2ax1x2 2x1x3 4x2 x3
1 a 1
解：
f(x)对应的矩阵为A
a
1
2
1 2 5
A正定 A的各阶顺序主子式 i > 0
1 = 1>0,
2 =
1 a
a 1
= 1a2>0,
3 = |A|= a(5a+4) >0
故A正定 4/5 < a < 0.
n
并且特征值1,
则P1(AaE)P =
…, n均大于1aa. aE =
,
n a
于是 1a,…na > 0. 所以 AaE 是正定阵.
(04-05) 四2. 假设A, B都是n阶实对称矩阵, 并且A的特征值均大于a, B的特征值均大于b, 证明: A+B的特征值均大于a+b. 证明(续): AaE 是正定阵. 同理, BbE 是正定阵. 因为同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵. 所以 A+B(a+b)E 也是正定阵.其特征值均大于0.
将问题转化为对角阵的关系求解或证明。
|A+E| = |+E|=(1+1)…(n+1)
(04-05) 四2. 假设A, B都是n阶实对称矩阵,
并且A的特征值均大于a, B的特征值均大于b,
证明: A+B的特征值均大于a+b.
证明: A是n阶实对称阵, 则存在n阶可逆阵P使得
P1AP = = 1
,
1. 正定二次型f(x) = xTAx 满足x0, 有f(x) >0. 2. 性质 可逆线性变换不改变二次型的正定性.
同阶正定矩阵的和仍为正定矩阵.
A正定 p=n A的特征值均大于零 A与E相合 存在可逆阵P, 使得A = PTP.
A正定 A的各阶顺序主子式
均大Байду номын сангаас零.
解题思想：利用实对称阵的正交相似对角化，
因此A的所有可能特征值均大于零.
所以A是正定的.
例10. 设A是正定的n阶实对称矩阵, 证明A+E的
行列式大于1.
证明: 因为A是正定的n阶实对称矩阵,
所以A的n个1, …, n均大于零.
设QTAQ = Q1AQ = = 1
,
n
则Q 1(A+E)Q = +E = 1+1
,
n+1
所以|A+E| = (1+1)…(n+1) > 1.
定理. n阶实对称矩阵A是正定矩阵
A的各阶顺序主子式 均大于零.
1 = a11,
2 =
a11 a21
a12 a22
, …,
n = |A|
实对称阵A负定各阶顺序主子式负正相间
2 6 4 例如A = 6 3 1 中二阶顺序主子式
41 4
2 =
2 6
6 3
= 30,
故A不是正定的.
例11. 问a为何值时, 二次型是正定的？
(负定)
(2) A的正惯性指数为n; (q = n)
(3) A的特征值均大于零; (i < 0)
(4) A与E相合;
(A与E相合)
(5) 存在可逆阵P, 使得A = PTP. (A = PTP)
例9. 设实对称矩阵A满足A23A+2E = O, 证明 A是正定的.
证明: 设为A的特征值, 则23+2=0, = 1或2,
设为 A+B 的任一特征值, 则 (a+b)是A+B(a+b)E的特征值.
于是 (a+b) > 0, 即 > a+b.
(03-04)一8.
有TA =
0已, 则知aAb=cd满ac 足db条 ,件若对a 任= d意=的0,2b维=列向c. 量
e1T Ae1 a 0; e2T Ae2 d 0;
a
bc
0