下载文档原格式
二次型与正定性二次型是高等数学中的一个重要概念，正定性则是与二次型紧密相关的性质。
本文将介绍二次型及其性质，深入探讨正定性的定义、判别方法以及与正定矩阵的关系。
一、二次型的定义二次型是指形如\[Q(x_1,x_2,\dots,x_n) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j\]的函数，其中\(a_{ij}\)为实数或复数，称为二次型的系数。
\(x_1,x_2,\dots,x_n\)为实数或复数，称为二次型的变量。
二次型可以用矩阵的语言来表示，即\[Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}\]其中\(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \dots \\ x_n\end{bmatrix}\)为列向量，\(A\)为二次型的系数矩阵，其元素为\(a_{ij}\)。
二、正定性的定义对于任意非零向量 \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \dots \\ x_n \end{bmatrix}\)，如果对应的二次型 \(Q(\mathbf{x})\) 满足条件：1. 当 \(\mathbf{x} \neq \mathbf{0}\) 时， \(Q(\mathbf{x}) > 0\)；2. 当且仅当 \(\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 时， \(Q(\mathbf{x}) = 0\)。
则称二次型 \(Q(\mathbf{x})\) 是正定的。
三、正定性的判别方法判断一个二次型是否正定存在多种方法，下面介绍两种常见的方法：特征值判别法和合同变换法。
1. 特征值判别法设 \(A\) 为二次型的系数矩阵，将 \(A\) 进行对角化得到对角矩阵\(D\)，同时得到可逆矩阵 \(P\)，使得 \(A = PDP^{-1}\)。
二次型与正定矩阵在线性代数中，二次型是一种重要的数学工具，它与正定矩阵有着密切的联系。
本文将介绍二次型的定义、性质以及与正定矩阵之间的关系。
一、二次型的定义二次型是指一个关于n 个变量的多项式，其中每一项的次数都是2。
一个一般的二次型可以表示为：Q(x) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j其中，x = (x1, x2, ..., xn) 是变量向量，a_ij 是实数系数，对于所有的 i 和 j 都成立。
简单来说，二次型就是一个多项式，其每一项的次数都是 2。
二次型可以用矩阵的形式表示：Q(x) = x^TAx其中，A 是一个 n×n 的实对称矩阵，其元素 a_ij 对应于二次型中的系数。
二、二次型的性质1. 对称性：二次型的系数矩阵 A 是实对称矩阵，即 a_ij = a_ji。
这意味着 Q(x) 中的各项的次序不影响其值。
2. 齐次性：对任意非零实数 k，有 Q(kx) = k^2Q(x)。
这意味着二次型对于变量的放缩具有相应的放缩特性。
3. 加法性：对任意两个 n 维向量 x 和 y，有 Q(x+y) = Q(x) + Q(y) +2x^TAy。
这意味着二次型具有线性特性。
4. 正定性与负定性：一个二次型 Q(x) 是正定的（positive definite），如果对于任意非零的实向量 x，都有 Q(x) > 0。
类似地，如果对于任意非零的实向量 x，有 Q(x) < 0，那么二次型就是负定的（negative definite）。
如果既存在正值又存在负值的向量 x，那么二次型就是不定的（indefinite）。
5. 非负定性与非正定性：如果对于任意非零的实向量 x，都有 Q(x) ≥ 0，则二次型是非负定的（nonnegative definite）。
类似地，如果对于任意非零的实向量 x，有Q(x) ≤ 0，那么二次型是非正定的（nonpositive definite）。
