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正定二次型与正定矩阵

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正定二次型和正定矩阵

正定二次型和正定矩阵

正定二次型和正定矩阵
根据正定矩阵的定义，若要判别一个对称矩阵A是否正定，按照前 面的讨论，可以利用一个非退化的线性替换X=PY，将二次型XTAX化成 标准型（与其具有同样正定性）
YTBY=YT(PTAP)Y=d1y21+d2y22+…+dny2n 从而，利用正定二次型的判别定c 理，判别XTAX的正定性，也就得 到了A的正定性.但是，更希望从矩阵的本身，直接判别其是否正定. 由于标准形式的二次型
正定二次型和正定矩阵
定理7-5
二次型 f(x1,x2,…,xn)=d1x21+d2x22+…+dnx2n 是正定的当且仅当di>0,i=1,2,…,n. 证明充分性： 显然，对于任意的非零实向量α=(a1,a2,…,an)T， 均有 αTAα=d1a21+d2a22+…+dna2n>0 因此，原二次型是正定的.
正定二次型和正定矩阵
（2）如果二次型f(x1,x2,…,xn)不是标准形式，那么可以经 过一次非退化的线性替换X=PY将其化成标准形式
d1y21+d2y22+…+dny2n
（7-22
这个二次型与原二次型f(x1,x2,…,xn)具有相同的正定性，从
而可以判别原二次型是否正定.
由于f(x1,x2,…,xn)的标准型式（7-16）中大于0的di的个数， 即为f(x1,x2,…,xn)的正惯性指数，因此，得到以下的定理.
|A|=|PT||P|=|P|2>0 证法二由定理的等价条件（5），A的特征值λ1,λ2,…,λn全大于0， 于是
|A|=λ1λ2…λn>0 为了给出一个更方便的判别矩阵正定的方法，引入如下定义.

线性代数 二次型与正定矩阵

线性代数 二次型与正定矩阵

0 1 2 A 2 2 3 . 0 3 3
也可以做以下表示
0 x1 1 2 f x1 , x2 , x3 x1 , x2 , x3 2 2 3 x2 . 0 3 3 x 3
即形如
只含变量的平方项，不含交叉项，
2 1 1 2 2 2 2 n n
b y b y b y
的二次型，称为二次型的标准形。
下面要论如何将一般的二次形化为标准形
一般地，二次型可写成
f X X T AX
6.2.1
定义6.2.2 设 x1 , x2 , , xn y1 , y2 ,, yn 是两 与 组变量，称下组公式 x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x c y c y c y 2 21 1 22 2 2n n xn cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn 为 x1 , x2 ,, xn到 y1 , y2 ,, yn 的线性替换。 令
x1 x 2 X xn
y1 y 2 Y yn
C [ci j ]nn
则上组公式可表为
X CY
若 | C | 0 ，则称此线性替换是可逆的(或满秩的或非 退化的)。若 C 为复(实)方阵，则称此线性替换是复 (实)线性替换
第六章
二次型与正定矩阵
§6.1 二次型的定义和矩阵表示
定义 1 含有 n 个变量 x 1 , x 2 , , x n的二次齐次函数
2 2 2 f x1 , x2 , , xn a11 x1 a22 x2 ann xn
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an 1, n xn 1 xn

正定矩阵

正定矩阵

5.4 正定矩阵 5.4.1 正定矩阵[1] 二次型的分类n 个变数的二次型∑===nj i T j iij n x A x x x ax x q 1,1),,( ，其实就是定义在nR 的一个二次齐次函数，对nR 的每个特定向量q x ,0对应一个函数值)(0x q ，依据)(x q 值的符号，在教材184页上给出了二次型的分类定义：1．正定二次型。

若对一切nR x ∈，当0)(0>=⇒≠Ax x x q x T 称二次型)(x q 正定。

显然，正定二次型也就是函数值定正的二次型（当然有唯一的例外，0=x 时，0=q ）。

2．正半定（或半正定）二次型。

若对一切nR x ∈，皆有0)(≥=Ax x x q T ，且至少有一 00≠x 能使0)(0=x q .3．负定。

对二次型Ax x x q T =)(，当(-q )为正定时，称q 为负定二次型。

4．负半定（或半负定）。

对二次型Ax x x q T =)(，当(-q )为正半定时，称q 为负半定二次型。

5．不定二次型。

若二次型Ax x q T =既能取正值，又能取负值，称为不定二次型。

容易明白，对标准形的二次型（以下给出的均为充要条件）。

若系数全正为正定二次型；若系数全为非负，且至少有一为0，则为正半定二次型； 若系数全负为负定二次型；若系数全为非正，且至少有一为0，则为负半定二次型； 若系数有正、有负，则为不定二次型。

对于不是标准形的二次型，为确定其类型，可通过化成标准形，并依据惯性律而作出判断。

例19 设n a a a ,,,21 是n 个实数，问它们满足什么条件时，二次型212322221121)()()(),,,(x a x x a x x a x x x x q n n n ++++++= 是正定二次型。

解 乍一看，这是n 个带正系数1的平方项之和，应明显是正定的。

但与定义一对照，发现这并非是二次型的标准形，每一项都是线性型而非单独变换的平方。

正定二次型及正定矩阵.ppt

正定二次型及正定矩阵.ppt
1 4 为半正定矩阵 6 0
2 2 ( 3) f x1 , x 2 x1 3 x 2 为负定二次型
1 为负定矩阵。 3 2 2 (4) f x1 , x2 , x3 x1 3 x2 为半负定二次型
交矩阵P，使得P T AP , 其中 diag(1 , 2 , , n )
对于任意非零向量 x x T Ax x T ( P 1 )T P 1 x ( P 1 x )T ( P 1 x )
T 设y P 1 x （y1 , y2 ,, yn） , 则y为非零向量
1
1
2
1
E n
设C PQ, 则C T AC E , 所以A与单位阵合同。
若A与单位阵合同，则存在可逆矩阵C,使A=
CTEC= CTC，则对于非零向量x xT Ax xT C T Cx (Cx )T (Cx )
C可逆，x 0, 故Cx 0，则(Cx )T (Cx ) 0 所以f正定。
1 3 为半负定矩阵。 0 2 2 (5) f x1 , x 2 x1 3 x2 为不定二次型
1 为不定矩阵。 3
二、正(负)定二次型的判别
准则1 对称矩阵A为正定的充分必要条件是： A的 特征值全为正． 证明 必要性 假设i ( i 1,2 , n)为A的特征值， i 为对应于i的
第六章
二次型
中南财经政法大学信息系
一、正(负)定二次型的概念
定义6.6 具有实对称矩阵A的n元二次型为
f X X AX
T
x1 x 1) 如果对于任意的非零向量 X＝ 2 ，都有 xn

线性代数 6-3二次型的正定性

线性代数 6-3二次型的正定性

结束
4. 定理：An×n实对称，则 (X TAX正定)
A 正定
惯性指数p＝n,即 A ≃ E. 的正惯性指数 ⇔ A的正 ⇔ 存在可逆阵P,使A(=P EP)= P P . 全为正数. ⇔ A的特征值 λ , λ ,⋯, λ 全为正数 . 个顺序主子式均为正值. ⇔ A的n个顺序主子式均为正值
T T
1 2
n
: A=(aij)n×n正定 推论 推论:
) (其逆否命题可判非正定 其逆否命题可判非正定)
⇒ (1) a
ii >0
(aii = ε iT Aε i )
(2) A > 0 ( A = λ1λ2 ⋯ λn )
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定理（4）的证明
T f ( x , x , … , x ) = a x x = X AX 正定 实二次型 ∑∑ ij i j 1 2 n i =1 j =1 n n
2 2 2 f ( x , x , … , x ) = d y + d y + ⋯ + d y 变成标准形： 1 2 n 1 1 2 2 n n
由于 f 正定 ⇔ di > 0, i = 1,2,⋯, n 即，f 的正惯性指数p＝n＝秩 f .
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3、顺序主子式、主子式 设矩阵 A = (aij ) ∈ R
⎛ 1 −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 2 −1 ⎟ ⎜ 0 −1 3 ⎟ ⎝ ⎠
x1 = x2 = x3 = 0
故 f 正定.
λ1 = 2, λ2 = 2 + 3, λ3 = 2 − 3
,故 f 正定 . 特征值均大于零 特征值均大于零, 正定.
顺序主子式法 法3. 3.顺序主子式法

线性代数6.6 二次型与正定矩阵

线性代数6.6 二次型与正定矩阵

| A2 | = 1 1 = 1 > 0;
1 2
1
2
| B2 | =
= −2 < 0;
2 2
|A|=
1
1
1
所以A正定.
1
2
0
1
0
3
所以B非正定.
= 1 > 0;
f (x1, x2, … , xn) = a11x12+a22x22 + …+annxn2
+2a12x1x2 + 2a13x1x3 +…+ 2an-1, n xn-1xn


= ෍ ෍ ,
=
=1 =1
则二次型的矩阵为
a11
a21
A= …
an1
a12 … a1n
结论1
对角矩阵是正定矩阵当且仅当对角线元素均为正数.
定理 设A是实对称矩阵, 且存在可逆矩阵 P, 使得PTAP = B，
若B正定，则A也正定.
结论2
实对称矩阵是正定矩阵当且仅当所有特征值都是正数.
例5
设 A和B 是正定矩阵，求证: A2，A+B 也是正定矩阵.
思考：AB 是否正定矩阵？
例6
设A=PTP，求证：若P可逆，则A是正定矩阵.
f (x) = xTAx
yTQTAQy = yTDy = g(y)
QTAQ = D
✿ 化二次型为标准形的思路： 寻找正交矩阵Q,
将二次型的矩阵A (实对称矩阵) 通过正交矩阵Q将它对角化成D.
这样得到的标准形的系数就是矩阵A的所有特征值.
例3
设二次型 f (x1, x2) = 3x12 − 2x1x2+3x22 ，寻找正交变换将之化为标准形.

线性代数 6-3 正定二次型与正定矩阵

下面求 A 5E .
方法一
令g( A) A 5 E ,
因为A的所有特征值为 1 1, 2 1, 3 2,

所以g( A)的所有特征值为 g( 1), g( 2), g( 3),
A 5 E g( A) g(1) g(1) g(2) 4 6 3 72.
A 80 0,
根据定理4知f为负定.
例5（矩阵正定的必要条件）
则其对角线元aii 0. 若A为正定矩阵，
证明： 因为A正定，所以对非零向量
x ei [0,,1,0]T , 有
f x Ax ei Aei aii 0 ( i 1, 2,, n)
T T
成立.
证明 设可逆变换x Cy使 f x f Cy ki yi2 .
充分性：设 k i 0 i 1,, n. 任给 x 0,
i 1
n
则 y C x 0, 故
-1
2 f x k i yi 0. i 1
n
必要性： f x f Cy ki yi2 0.
3
2 用方阵A的特征值, 来讨论kE A的可逆性
方法二
因为A的所有特征值为 1 1, 2 1, 3 2,
所以 f A ( ) E A ( 1)( 1)( 2),
5 E A f A (5) (5 1)(5 1)(5 2) 72,
A 5 E ( 1) 5 E A 72.
解
A与P1 AP有相同的特征值 .
1 是 P i P AP属于 i 的特征向量. 1
P

1
AP i I X 0 P 1 A i I PX 0

正定二次型和正定矩阵


5 2
2 5
21 0 ，D3
2
5 1 88 0 ，
2 1 5
故 A 是正定矩阵．
此题也可求出
A
的 全部 特征 值 1
4 ， 2
11 2
33
，
3
11 2
33
， 因为 i
0
(i 1，2，3) ，所以 A 是正定矩阵．
1.2 判别方法
定义
例 4 设二次型 f (x1 ，x2 ，x3 ) x12 x22 x32 2ax1x2 2bx2 x3 (a R ，b R) ，判断 f 的正
1.2 判别方法
定义
推论 1 二次型 f xT Ax 正定的充要条件是它的矩阵 A 的特征值都是正数． 推论 2 对称阵 A 正定的充要条件是它的特征值都是正数． 定理 2 实对称矩阵 A (aij )nn 正定的充要条件是 A 的各阶顺序主子式都大于 0，即
a11 0 ，
a11 a21
a12 0 ， a22
1.2 判别方法
定义
例 5 设二次型 f 5x2 6y2 4z2 4xy 4xz ，判断 f 的正定性．
5 2 2
解：二次型
f
的矩阵
A
2
6
0
，各阶顺序主子式为
2 0 45 2 2D Nhomakorabea 5 0 ，D2
5 2
2 6
26 0 ，D3
2 6
0 80 0 ，
2 0 4
由定理 2 知， f 是负定二次型．
解：二次型的矩阵为
A
2
0
4 2
2
，A
的顺序主子式
D1
3
0 ，D2
5

d第四章 二次型和正定矩阵


x′Ax = y′Q′AQy = y ′Dy
{λ δ }
j ij
其中 为对角矩阵 引言所提第二个问题，我们有如下定理： 引言所提第二个问题，我们有如下定理： A x′Ax定理 的每个特征值都为正（ （i）当且仅当 的每个特征值都为正（负）时，二 次型
A 的所有特征值都非负（非正） （ii）当且仅当 ii） 的所有特征值都非负（非正）且至 少一个为零时， x′Ax 为半正（半负） 少一个为零时，二次型 为半正（半负）定 A iii） 的特征值有正有负时， x′Ax （iii）当且仅当的 的特征值有正有负时，二次型 不定 例 2 2 A 的特征值为0和3， 的特征值为0 A= 2 1 故 为半正定的，因此 为半正定的，
B = C −1 AC
定理 如果A 是相似矩阵，其具有相同的特征值。 如果A和B是相似矩阵，其具有相同的特征值。 证明 相似， 令A和B相似，考虑
B − λ I = C −1 AC − λ C −1C
= C −1 ( A − λ I )C
= 1 A − λI C C
= A − λI
B− 因此 λ I = 0 同一方程。 同一方程。
定理 如果A为对称矩阵， 如果A为对称矩阵，那么对应着不同特征值的特征向量 正交。 正交。
• 证明 λi λ j 和 是两个不同特征值，分别对应于特征向量 是两个不同特征值， 令 xi x j 和 。那么有 Ax j = λ j x j Axi = λi xi x′j 分别左乘 xi′ 和 ` ，有
第8节 另一种方法：运用行列式
• 定义
A
的顺序主子式为
a11 a12
a11 a12 a13
a11 ，a21 a22 a23 a21 a22 a31 ， ， 。 a32 a33

线性代数§6.4


小结
1. 正定二次型的概念, 正定二次型与正定矩阵的 区别与联系.
2. 正定二次型(正定矩阵)的判别方法: (1) 定义法; (2) 主子式判别法; (3) 特征值判别法.
yT (CT AC) y
任取 y0 0, 由x＝Cy得到与 y0 对应的 x0
0 x0 Cy0
正定.
因为 xT Ax 正定，所以 x0T Ax0 0 即 y0T (CT AC) y0 0 故 yT (CT AC) y 正定.
另一方面，由 yT (CT AC) y 正定
xT Ax 正定.
任取 x0 0, 由 x＝Cy 得到与 x0对应的 y0
(1) 二次型 f ( y1, y2, , yn ) d1 y12 d2 y22 dn yn2
正定
di 0 (i 1, 2, , n)
充分性，若 di 0 (i 1, 2, , n),y ( y1, y2, , yn) 0 则 f ( y1, y2, , yn ) d1 y12 d2 y22 dn yn2 0
定义1: 设有实二次型 f(x)=xTAx,显然 f (0)=0.
如果对任意的 x 0, 都有 f(x)>0, 则称 f 为正定二
次型, 并称对称矩阵A为正定矩阵.
如果对任意的 x 0, 都有 f(x)<0, 则称 f 为负定二
次型, 并称对称矩阵A为负定矩阵. 注意：正定矩阵一定是对称矩阵. 例如: f = x2 + 4y2 + 16z2 为正定二次型。
故 A1 正定.
A *的特征值为：| A | 由|A|>0，所以 A * 全部
特征值大于零所以 A*正定
正定矩阵具有以下一些简单性质: 1. 若A为正定的, 则AT, A-1, kA（k为正数），A*
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对称阵 A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为 负，而偶数阶主子式为正。即
a11 ( 1)
r

a1r 0, ( r 1,2, , n). a rr
ar 1
这个定理称为霍尔维兹定理。
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注意：对于二次型，除了有正定和负定以外， 还有半正定和半负定及不定二次型等概念。
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第五章小结
本章通过向量的内积，从而给n维向量建立了度 量的概念，结合方阵的特征值理论，给出了判定矩 阵是否可以对角化的判定方法；通过对实对称矩阵 所具有的特点，说明实对称矩阵不仅可以相似对角 化，而且可以正交对角化；从而为二次型化标准型 提供了一种重要方法：正交变换法。由二次型与实 对称矩阵的一一对应关系，将二次型的讨论转化为 矩阵的讨论，并讨论了正定二次型。
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第五章主要方法
一) 方阵的特征值与特征向量的求法
(1).计算A的特征多项式 ( ) | A E |; f (2).求出f ( ) 0的全部根 即A的全部特征值 , ;
( 3).把A的特征值逐个代入齐次 线性方程组 ( A E ) x 0, 并求出这个方程组的一 个基础解 系, 则这个基础解系的非零 线性组合就是 的属 A 于特征值的全部特征向量 .
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例16 判定对称矩阵
3 A 1 0
1 3 0
0 0 3
正定性。
解
a11 a 21
方法一
a12 a 22 3 1 1 3
因为a11 3 0,
3 1 3 0 0 0 24 0, 3
8 0, | A | 1
0
所以A 是正定的。
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f ( x ) f (Cy )
ky
i 1
n
2 i
.
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1 设k i 0( i 1,2, , n).任给x 0, 则C x 0, 故 f ( x)
先证充分性
k
i 1
n
i
y 0.
2 i
再证必要性：用反证法。假设有 ks ≤0 , 则 f 当y e s时, ( 单位坐标向量 ) 时， (Ce s ) k s 0,
即C TAC是正定的。
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Ex.12 证明：若实对称矩阵A = ( aij ) 为正定矩阵， 则 aii > 0 ( i =1, 2, …, n ).
证 因为A 为正定，所以对任意 x 0, T T 有f x Ax 0, 取x ei (0, ,1,,0), T 则x Ax aii 0( i 1,2, , n).
它的秩是 r ，有两个实的可逆变换x Cy与x Pz ,
使 及 k1 y1 k 2 y2 k r y r ,
2 2 2
T 定理11 ( 惯性定理 ) 设有实二次型 f x Ax ,
( k i 0) ( i 0)
z 2 z r z ,
返回
例19 设C 是满秩矩阵，实对称矩阵A 是正定的， 则C TAC是正定的。
证 因为A 为正定，所以对任意 x 0, T T T 有f x Ax 0, 作x Cy, 则f y (C AC ) y, 1 由x 0及C可逆, 得y C x 0, T T T 从而 f x Ax y (C AC ) y 0,
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判别矩阵正定的方法
根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A 的正定性有两种方法。 一是求出A 的所有特征值。若A 的特征值均为 正数，则A 是正定的；若A 的特征值均为负数，则A 为负定的。 二是计算A 的各阶主子式。若A 的各阶主子式 均大于零，则A 是正定的；若A 的各阶主子式中， 奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A 为负定的。
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三) 化二次型为标准型的方法
(1).正交变换法 1 .写出二次型对应的矩阵A . 2 .将A化为对角阵，求出正交阵P . 3 .写出标准型，且正交变换为X=PY .
(2).配方法 1.含有平方项，直接配方； 2.不含有平方项,化成含有平方项,再配方;
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四 判定矩阵与二次型为正定的方法
解
f
的矩阵是 A 1 2
0 0
0 , 1
A 的各阶主子式为：
1 0
a11 1 0, 1 A 1 2 1 0 0
a11 a 21 2
a12 a 22

1 1
1 0,
0 1 0, 1
所以 f 既不是正定的，也不是负定的，即不定二次 型。
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二 ) 用正交方阵将方阵化为对角阵的方法
(1).求A 的特征值； (2).求A 的特征值对应的n 个线性无关的特征向量； (3). 将重特征值所对应的特征向量正交化，连同单 特征值所对应的特征向量一起就得到两两正交的特征 向量； (4). 将 (3) 中 n 个特征向量单位化，得到 n 个两两 正交的单位特征向量； (5). 以这些特征向量作为列向量的矩阵就是所求的 正交矩阵，且有 P 1 AP .
返回
方法二：A 的特征多项式为
3 | A E | 1 0 1 3 0 0 0 3 ( 2 )( 3 )( 4 ),
故A的特征值为 1 2, 2 3, 3 4.从而知A是 正定的.
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判别二次型正定的方法
由实二次型的矩阵表示及对称矩阵的正定性判 别法知，判断二次型的正定性也有两种方法。 一是利用对称矩阵A 的正定性。若二次型 f 的 对称矩阵A 是正定的，则f 是正定二次型；若A 是 负定的，则 f 也是负定二次型。 二是将 f 化为标准形。若其标准形的 n 个系数 全为正，则 f 是正定的；若 f 的标准形的 n 个系数 全为负，则 f 是负定的。 由于将 f 化为标准形非常复杂，因此第二种方 法一般不用。
A 的各阶主子式为：
a11 0, a11 a 21 a12 a 22 1

4

4 0,
2
A 4( 1)( 2) 0,
解得 2 1时, 二次型为正定的 .
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2 2 Ex.11 判别二次型 f x1 2 x1 x2 4 x1 x3 x3 的正定性。 1 1 2
二次型，并称对称阵 A 是正定的。记作 A > 0 ；如果
T 设有实二次型 f x Ax , 如果对于任何
对任何 x ≠ 0 , 都有 f(x) < 0 , 则称 f 为负定二次型， 并称对称阵 A 是负定的 ，记作 A < 0 。 T 定理12 实二次型 f x Ax 为正定的充分 必要条件是：它的标准形的 n 个系数全为正。 证 设可逆变换 x Cy使
A 80 0,
所以 f 是负定的。
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例18 设二次型
f x1 4 x 2 4 x 3 2x1 x 2 2 x1 x 3 4 x 2 x 3
2 2 2
问取何值时, f为正定二次型 .
解
f 的矩阵是
1 A 1

4 2
1 2 , 4
显然Ces 0.这与假设
故 f 正定矛盾， ki 0.
推论 对称阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特 征值全为正。
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定理13 对称阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正。即
a11 0, a11 a 21 a12 a 22 a11 0, , a n1 a1n 0; a nn
2 1 1 2 2 2 r
则k1 , k 2 , , k r中正数的个数与 1 , 2 , , r中正数的 个数相等. 正数的个数称为正惯性指数，负数的个数
称为负惯性指数
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定义9 x ≠ 0 , 都有 f(x) > 0,（显然 f(0) = 0 ），则称 f 为正定
1.定义法： 2. 用霍尔维兹定理： A 的各阶主子式都为正， 则A 是正定的; 3. 用A的特征值： A 的特征值全为正，则A 是正定的; 4. 化A所对应的二次型为标准形,根据标准形 中的正平方项个数判断;
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§7
正定二次型
★正定二次型和正定矩阵的概念 ★判别二次型或矩阵正定的方法
正定二次型是二次型中讨论最多的类型，本节 结合二次型的标准型中系数给出正定二次型的概念， 并给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几种方法。
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关是唯一的。 标准形中所含项数是确定的( 即是二次型的秩 )。 限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是 不变的。
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例17
的正定性。 解
判别二次型
f 5 x 6 y 4 z 4 xy 4 xz
2 2 2
f 的矩阵是
5 A 2 2
2 6 0
2 0 , 4
A 的各阶主子式为：
a11 5 0, a11 a 21 a12 a 22 5 2 2 6 26 0,