第四章 二次型 第三节 正定二次型

正定二次型的判别方法正定二次型是指一个实数域上的二次齐次多项式，并且其对任意非零向量都有正的二次型值。

判断一个二次型是否为正定二次型，可以使用以下方法。

二次型可以表示为矩阵形式，即二次型矩阵。

设二次型为\[ q(x) = x^T A x \]x为n维列向量，A为对称矩阵。

A称为二次型矩阵。

判断一个二次型是否为正定，可以使用以下方法：1. 判断A的特征值是否全为正数。

A的特征值全为正数时，二次型为正定二次型。

证明：设A的特征值分别为λ1, λ2, ..., λn，对应的特征向量为v1, v2, ..., vn。

则对于任意非零向量x，有\[ x^T A x = x^T Q \Lambda Q^T x = (Q^T x)^T \Lambda (Q^T x) \]Q为特征向量构成的正交矩阵，Λ为对角矩阵，对角元素为特征值λ1, λ2, ..., λn。

令y=Q^T x，则有\[ x^T A x = y^T \Lambda y = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_i^2 \]由于A的特征值全为正数，因此对于任意非零向量y，都有\[ \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_i^2 > 0 \]所以x^T A x > 0，即二次型为正定二次型。

定义：A的顺序主子式是指A的各个阶数（1到n）的主子式。

证明：设A的顺序主子式分别为detA1, detA2, ..., detAn，其中1<=i<=n。

若A的顺序主子式全为正数，则A为正定矩阵。

由于A为对称矩阵，所以A的特征值全为实数，且A可以分解为正交矩阵和对角矩阵的乘积，即\[ A = Q \Lambda Q^T \]Q为正交矩阵，Λ为对角矩阵，对角元素为A的特征值。

以上就是判断正定二次型的方法，通常直接使用特征值或顺序主子式来判断即可。

需要注意的是，当A为实对称矩阵时，其特征值都是实数，所以可以直接判断特征值是否为正数来判断正定性。

正定二次型的判别方法一、正定二次型的定义二次型是一个n元变量的二次多项式，即$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j$$其中$x_1,x_2,\cdots,x_n\in\mathbb{R}$，$a_{ij}\in\mathbb{R}$是常数。

1. 对于任意的列向量$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T\in\mathbb{R}^n$，有$x^TAx>0$；3. 矩阵$A$的特征值全部为正数。

正定矩阵的判别方法有以下三种：1. 首项主子式判别法定义：$A$的第$k$阶主子式指的是$A$的$k$阶行列式，即$$D_k=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1k}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2k}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kk}\end{vmatrix}$$$(1)$ 如果$A$的所有$n$个主子式都大于零，即$D_1>0,D_2>0,\cdots,D_n>0$，则$A$为正定矩阵。

$(2)$ 如果$A$的任意$k$个连续的主子式的符号交替，即$D_1>0,D_2<0,D_3>0,\cdots,D_{2k-1}>0,D_{2k}<0$，则$A$为负定矩阵。

$(3)$ 如果存在$h$个主子式大于零，$i$个主子式小于零，则$A$的正负性取决于$h-i$的奇偶性。

2. 特征值判别法定义：对于矩阵$A$，如果存在数$k$和非零向量$x$，使得$Ax=kx$，则称$k$为$A$的特征值，$x$为$k$的特征向量。

定理：如果矩阵$A$的所有特征值都大于零，则$A$为正定矩阵。

正定二次型的判别方法正定二次型是数学领域中重要的概念，它在矩阵、线性代数、数学分析等领域都有重要的应用。

在实际问题中，判别一个二次型是否为正定是非常重要的，因为它关系到了二次型的性质和应用。

本文将介绍正定二次型的定义、性质，以及判别正定二次型的方法。

正定二次型的定义我们来看一下正定二次型的定义。

对于一个n维向量x=(x1, x2, ..., xn)^T，它的二次型可以表示为：Q(x) = x^TAx = ∑∑(a_ijxi*xj)其中A是一个n×n实对称矩阵，a_ij表示矩阵A的元素，xi和xj表示向量x的元素。

如果对于任意非零向量x，都有Q(x)>0，那么我们称二次型Q(x)是正定的。

如果Q(x)<0，则称为负定；如果Q(x)的值在0附近变化，则称为不定。

我们还定义半正定和半负定二次型，即当Q(x)≥0时称为半正定，当Q(x)≤0时称为半负定。

正定二次型具有一些重要的性质，这些性质对于判别一个二次型是否正定非常重要。

下面我们来介绍一些常见的性质：1. 正定二次型的特征值全为正数。

设A为一个n×n实对称矩阵，它的特征值为λ1, λ2, ..., λn，那么A是正定的当且仅当所有的特征值都是正数。

2. 正定二次型的主对角元素全为正数。

对于一个正定矩阵A，它的主对角元素a_ii都是正数。

3. 正定方阵的行列式大于0。

对于一个n×n的正定矩阵A，它的行列式det(A)>0。

1. 利用主元法利用主元法判别一个二次型是否正定是一种非常直观的方法。

我们将二次型的矩阵表示成阶梯型，然后判断主对角元素是否都大于0，如果是，则该二次型是正定的。

举个例子，对于一个二次型Q(x) = x^T Ax，A是一个实对称矩阵，如果我们可以将A 化成阶梯型：| a11 a12 a13 || a12 a22 a23 || a13 a23 a33 |然后判断a11, a22, a33是否都大于0，如果是，则二次型Q(x)是正定的。

正定二次型的判别方法正定二次型是线性代数中的一个重要概念，它在各个数学领域中都有着广泛的应用。

正定二次型在优化问题、矩阵分解、信号处理等领域都有着重要的作用。

了解正定二次型的性质和判别方法对于深入理解和应用线性代数具有重要意义。

本文将介绍正定二次型的定义、性质以及判别方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用正定二次型。

一、正定二次型的定义我们来看一下正定二次型的定义。

设f(x_1,x_2,...,x_n)是关于n个变量的二次齐次多项式，即f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j其中a_{ij}是常数。

如果对任意非零向量x=(x_1,x_2,...,x_n)^T，都有f(x)>0，那么我们称f(x)是正定二次型。

简单来说，正定二次型就是一个对于任意非零向量都是正的二次齐次多项式。

正定二次型具有许多重要的性质，下面我们来介绍其中的一些。

1. 正定二次型的矩阵表示设f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j是一个正定二次型，那么我们可以把这个二次型表示为矩阵的形式，即A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}这个矩阵就是正定二次型对应的矩阵表示，通常我们把这个矩阵记作A。

而矩阵A是一个对称矩阵，它的对角元素就是二次型中的系数a_{ij}。

正定二次型和对称矩阵之间有着密切的关系。

正定二次型一、惯性定理 一个实二次型,其标准形不是唯一的,但标准形中所含项数是确定的,等于二次型的秩.二次型f的标准形中正平方项的个数(称为f 的正惯性指数)和负平方项的个数(称为负惯性指数)也是不变的,而且二次型f 的正惯性指数与负惯性指数之和等于f 的秩.惯性定理设实二次型f=X 'AX的秩为r,有两个实可逆变换X=PY及X=CZ,使f=λ1y12+λ2y22+⋅⋅⋅+λr y r2 (λi≠0)f=k1z12+k2z22+⋅⋅⋅+k r z r2 (k i≠0),则λ1,λ2,⋅⋅⋅,λr中正数的个数与k1,k2,⋅⋅⋅,k r中正数的个数相等.二、正（负）定二次型的概念定义设有实二次型f=X 'AX,如果∀X≠0, 都有f >0, 则称f是正定二次型, A是正定矩阵; 如果∀X≠0,都有f<0,则称f是负定二次型, A是负定矩阵.正定二次型负定二次型f =x 2+2y 2+8z 2f = -3x 12-2x 22例1.判别法1: 用定义设A ,B 均为n 阶正定阵,证明A +B 也为n 阶正定阵.[证]因为A ,B 为n 阶正定阵所以∀X ≠0,有X 'AX >0, X 'BX >0即 X '(A+B )X 也即A +B 为n 阶正定阵.>0=X 'AX +X 'BX 例2.三、正(负)定二次型的判别判别法2:用标准形定理n元实二次型f=X 'AX为正定的⇔f 的正惯性指数为n判别法3: 用特征值推论实二次型f=X 'AX正定⇔A的特征值全为正例3.设A为正定阵,证明A-1, A*都是正定阵.[证]因为A为正定阵，所以A的特征值全大于零，从而A-1, A*的特征值也全大于零，所以A-1, A*都是正定阵.判别法4: 用霍尔维茨定理霍尔维茨定理实二次型f=X 'AX正定⇔A的各阶顺序主子式都为正,即实二次型f=X 'AX负定⇔A的奇数阶顺序主子式为负,偶数阶主子式为正,即t为何值时,二次型例4.f=5x12+4x1x2-2x1x3+x22-2x2x3+tx32正定?解:5>0,=t-2⇒t>2时,|A|>0所以当t>2 时, 二次型正定.A 为正定阵⇔A 的特征值均大于0⇔A 的各阶顺序主子式大于f (x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )为正定⇔如果∀X ≠0,都有f >0⇔f 的标准形的系数k i >0 (i =1,2,⋅⋅⋅,n )⇔f 的正惯性指数为n ⇔-f 为负定二次型小 结.正定二次型的判别方法：(1)定义法；(2)特征值判别法；(3)顺序主子式判别法.。