第2课 二阶矩阵与平面列向量的乘法

第2课 二阶矩阵与平面列向量的乘法【教材解读】1. 行矩阵[]1112a a 与列矩阵1121b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的乘法规则为：[]1112a a 1121b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=[]11111221a b a b ⨯+⨯ 2. 二阶矩阵11122122a a a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦与列向量00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的乘法规则：11122122a a a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=[]110120210220a a x a y x a y ⨯+⨯⨯+⨯ 例1. 计算：100157-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦例2. 计算：2001x y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3. 二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义 如例2中，列向量x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦左乘矩阵2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦后，得到一个新的列向量2x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，如果列向量x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示平面上的点(,)P x y ，那么左乘矩阵2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦后，得到一个新的点(2,)P x y '. 注：矩阵写在左边，向量写右边，即左乘.矩阵中，数与数之间不能加标点符号4. 矩阵的变换一般地，对于平面上的任意一个点（向量）(,)x y ，按照对应法则T ，总能对应唯一的一个平面点（向量）(,)x y ''，则称T 为一个变换，简记为：:(,)(,)T x y x y ''→或:x x T y y '⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦如在例2中，20012x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，矩阵2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦确定一个变换，将该变换记作：:(,)(,)(2,)T x y x y x y ''→=或2:x x x T y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦规律方法与总结：（1） 一般地，对于平面向量的变换T ，如果变换规则为:x x ax by T y y cx dy '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，那么根据二阶矩阵与列向量的乘法规则可以改写为:x x a b x T y y c d y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，反之亦然. （2） 由矩阵M 确定的变换T ，通常记作M T .根据变换的定义，它是平面内点集到其自身的一个映射，当x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦表示某个平面图形F 上任意一点时，这些点就组成了图形F ，它在M T 的作用下，将得到一个新的图形F '——原像集F 的象集F '.例3.（1）已知变换1432x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，试将它改写成坐标变换的形式. （2）已知变换3x x x y y y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，试将它改写为矩阵乘法的形式.【典例剖析】考查点1：二阶矩阵与平面列向量的乘法例1. 计算3214x y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦考查点2：矩阵的变换例2. 已知变换T ：平面上的点(2,1),(1,2)P Q --分别变换成(5,6),(2,0)P Q ''-，求变换矩阵A .例3. 设201,120A α⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求A α.例4. 求在矩阵3213-⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点(5,2)-的平面上的点P 的坐标.例5. 设1123,,1134A X Y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，求AX 和AY .【自我评价】 1. []2344⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ . 2. 124331-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ . 3. 已知变换25:31x x x T y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，试将它写成坐标变换的形式.4. 已知变换5:2x x x T y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，试将它改写成矩阵的乘法形式.5. 已知点(,)x y 在矩阵1024⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点(1,1)-，试求,x y 的值.6. 求在矩阵3123--⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点(5,1)的平面上的点P 的坐标.。

2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法主备人：吕金勇 检查人：李海明 行政审核人： 李才林【教学目标】掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则，了解变换与矩阵之间的联系．【教学重点】将矩阵所对应的变换的坐标形式和矩阵乘法形式进行转换．【教学难点】二阶矩阵与列向量的乘法规则．【教学过程】一、引入：问题规定比赛的最后成绩由初赛和复赛综合裁定,其中初赛占40%,复赛占60%．则甲和乙的综合成绩分别是多少?二、新授内容：1．行矩阵[]1112a a 与列矩阵1121b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的乘法规则：[]1112a a 1121b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=___________________． 2．二阶矩阵11122122a a a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦与列向量00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的乘法规则：11122122a a a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=________________． 一般地两个矩阵只有当____________________________________时才能进行乘法运算．3．一个列向量x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦左乘一个2×2矩阵M 后得到_________________，如果列向量x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示一个点 P （x ，y ）,那么列向量x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦左乘矩阵M 后的列向量就____________________． 4．对于平面上的任意一个点（向量）（x ，y ）,若按照对应法则T ，__________________，则称T 为一个变换，简记为：T ：(,)(,)x y x y ''→或T ：x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦→x y ''⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 5．一般地，对于平面向量变换T ，如果变换规则为T ：x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦→x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦=ax by cx dy +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，那么根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则可以改写为T ：__________________________的矩阵形式，反之亦然（a 、b 、c 、d ∈R ）．6．由矩阵M 确定的变换，通常记为T M ，根据变换的定义，它是______________________的一个映射，平面内的一个图形它在T M 的作用下得到一个新的图形．例1．计算： （1）20-⎡⎢⎣ 21⎤⎥⎦32⎡⎤⎢⎥-⎣⎦； （2）10⎡⎢⎣ 01⎤⎥⎦ 1020⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （3）20⎡⎢⎣ 01⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 反思：例2．求点A （2，3）在矩阵11 3311 33⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的点的坐标．【变式拓展】已知点P 在矩阵 3 12 -3⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下得到点(2,5)P '-，求点P 的坐标．例3．（1）已知变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x 2341''，试将它写成坐标变换的形式；（2）已知变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y y x y x y x 3''，试将它写成矩阵乘法的形式．【变式拓展】（1）求△ABC 在矩阵10⎡⎢⎣ 21⎤⎥-⎦对应的变换作用下得到的几何图形，其中A (1 , 2)，B (0 , 3)，C(2 , 4)．（2）直线l ：x + 2y + 3 = 0在矩阵1201M =⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下为l ′，求l ′ 的方程．三、课堂反馈：1．（1）已知'32'0.54x x x y y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，试将它写成坐标变换的形式；（2）已知'5'6x x y y y x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，试将它写成矩阵乘法的形式．2．已知变换T ：平面上的点P (2，－1)，Q (－1，2)分别变换成P 1(3，－4)，Q 1(0，5)，求变换矩阵A ．四、课后作业： 学生姓名：___________1．计算：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡121011 （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡120110 （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡3211102．已知矩阵P =11203⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，Q =230-⎡⎤⎢⎥⎣⎦且PX =Q ，求列矩阵X ．3．点A （1，2）在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1022对应的变换作用下得到的点的坐标是__________．4．在矩阵34⎡⎢⎣ 15⎤⎥-⎦对应的变换作用下得到点P ')19,9(-的平面上点P 的坐标为 ． 5．若点A 在矩阵1222-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下下得到的点为A '（2，4），求点A 的坐标．6．（1）已知x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦→10x y '⎡⎤⎡=⎢⎥⎢'⎣⎦⎣ 32x y ⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎦⎣⎦，试将它写成坐标变换形式；（2）已知x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦→2345x x y y x y '+⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦，试将它写成矩阵的乘法形式．7．已知△ABO 的顶点坐标分别是A （4，2），B （2，4），O （0，0），计算在变换M T =1111⎡⎤⎢⎥-⎣⎦作用下的三个顶点A 、B 、O 对应的点的坐标．8．求直线x +y =1在矩阵12⎡⎢⎣01⎤⎥-⎦作用下变换所得图形．作业评价： ．。

高二数学第二学期二阶矩阵与平面列向
量的乘法教案
教学目标：
1.掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法法则。

2．理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射。

教学重点：
二阶矩阵与平面列向量的乘法法则。

教学过程：
一、问题情境
问题1：某电视台举办歌唱比赛，甲乙两名选手初、复赛成绩如下表，
如果规定歌唱比赛最后成绩由初赛和复赛综合裁定,其中初赛占40℅,复赛占60℅,则甲的最后成绩是多少?能否用矩阵来表示?
二、建构数学
1.二阶矩阵与平面列向量的乘法法则:
2. 变换：
3. 二阶矩阵与平面列向量的乘法法则可改写为:
三、数学应用
1．例题
例1:计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡y x 例2
(1)已知变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡2341''y x M y x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡y x ,试将它写成坐标变换的形式;
(2) 已知变换⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y y x y x y x 3'',试将它写成矩阵乘法的形式;
2．课堂练习
P10 3,4,5
四、回顾小结
1. 二阶矩阵与平面列向量的乘法法则
2. 理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射
五、课外作业
同步导学。

选修4－2矩阵与变换 2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法编写人： 编号：002学习目标1、 掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则。

2、 理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射。

学习过程：一、预习：（一）阅读教材，解决下列问题：规定比赛的最后成绩由初赛和复赛综合裁定,其中初赛占40%,复赛占60%.则甲和乙的综合成绩分别是多少?（二）一般地，我们规定行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b b 的乘法规则为：二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a 与列向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x 的乘法规则为：（三）一般地，对于 则称T 为一个变换。

简记为：或练习1、计算：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡121011 （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201102、已知平面上一个正方形ABCD （顺时针）的四个顶点用矩阵表示为⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a 4000，求a ，b ，c ，d 的值及正方形ABCD 的面积.3、已知变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x y x 252，试将它写成矩阵的乘法形式.二、课堂训练：例1．计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 1002思考：二阶矩阵M 与列向量的乘法⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x M y x 和函数)(x f x →的定义有什么异同？例2．（1）已知变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x 2341''，试将它写成坐标变换的形式； （2）已知变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y y x y x y x 3''，试将它写成矩阵乘法的形式；例3．已知变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x y x 252，试将它写成矩阵的乘法形式.例4. 已知矩阵[])(x f A =，[]x x B -=1，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a 2x C ，若A=BC ，求函数)x (f 在[1,2] 上的最小值.三、课后巩固：1、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组⎩⎨⎧-=-=+1y 2x 2y 3x 2其中正确的是（ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122132y xB 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122312y x C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122132y x D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121223y x 2、计算:⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡321110=__________ 3、点A （1，2）在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1022对应的变换作用下得到的点的坐标是___________ 4、设矩阵A 为二阶矩阵，且规定其元素，0=+ji ij a a i=1，2，j=1，2，且2a a 2112=-，试求A.5. 若点A 在矩阵1222-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下下得到的点为（2，4），求点A 的坐标.6、已知△ABO 的顶点坐标分别是A （4，2），B （2，4），O （0，0）,计算在变换T M =1111⎡⎤⎢⎥-⎣⎦之下三个顶点ABO 的对应点的坐标.。

第02课时 二阶矩阵与平面列向量的乘法一、要点讲解1．二阶矩阵与平面列向量在乘法规则：2．二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义：二、知识梳理1．行矩阵[]1112a a 与列矩阵1121b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的乘法规则：[]1112a a 1121b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=___________________． 2．二阶矩阵11122122a a a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦与列向量00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的乘法规则：11122122a a a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=________________． 一般地两个矩阵只有当____________________________________时才能进行乘法运算．3．一个列向量x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦左乘一个2×2矩阵M 后得到_________________，如果列向量x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示一个点P （x ，y ）,那么列向量x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦左乘矩阵M 后的列向量就____________________． 4．对于平面上的任意一个点（向量）（x ，y ）,若按照对应法则T ，__________________，则称T 为一个变换，简记为：T ：(,)(,)x y x y ''→或T ：x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦→x y ''⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 5．一般地，对于平面向量变换T ，如果变换规则为T ：x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦→x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦=ax by cx dy +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，那么根据二阶矩阵与平面列向量在乘法规则可以改写为T ：__________________________的矩阵形式，反之亦然（a 、b 、c 、d ∈R ）．6．由矩阵M 确定的变换，通常记为T M ，根据变换的定义，它是______________________的一个映射，平面内的一个图形它在T M 的作用下得到一个新的图形．三、例题讲解例1． 分别计算下列乘法运算的结果．（1）122234⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）102014⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （3）012104⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （4）0011⎡⎤⎢⎥⎣⎦24⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 例2． (1)已知变换1432x x x y y y '→='⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，试将它写成坐标变换的形式． (2)已知变换3x x x y y y y '-→='⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，试将它写成矩阵的乘法形式．例3． 已知变换T ：平面上的点P (2，－1)，Q (－1，2)分别变换成P 1(3，－4)，Q 1(0，5)，求变换矩阵A ．四、巩固练习6．(1)已知'32'0.54x x x y y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，试将它写成坐标变换的形式；(2) 已知'5'6x x y y y x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，试将它写成矩阵乘法的形式．1. 求点(x ，y )在矩阵1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下对应点的坐标．2. 已知变换T 把平面上的点(2，－1)，(0，1)分别变换成点(0，－1)，(2，－1) ，试求变换T 对应的矩阵．3. 直线l ：x + 2y + 3 = 0在矩阵1201M =⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下为l ′，求l ′ 的方程．4. 已知a ，b ∈R ，若13a M b -=⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T M 把直线l ：3x - 2y = 1变换为自身，试求a ，b 的值．。