高中数学必修4第二章平面向量教案完整版93323

高中数学必修 4 第二章平面向量教课设计（ 12课时 )本章内容介绍向量这一看法是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具 .向量看法引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理即可转变为向量的加（减）法、数乘向量、数目积运算，从而把图形的基天性质转变为向量的运算系统.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实质背景.在本章中，学生将认识向量丰富的实质背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数目积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.而后介绍本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的看法，并说了然向量与数目的差别，了向量的一些基本看法 . （让学生对整章有个初步的、全面的认识 .）第 1课时§2.1 平面向量的实质背景及基本看法教课目标：1.认识向量的实质背景，理解平面向量的看法和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等看法；并会划分平行向量、相等向量和共线向量 .2.经过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数目的实质差别.3.经过学生对向量与数目的鉴别能力的训练，培育学生认识客观事物的数学实质的能力.教课要点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的看法，会表示向量.教课难点：平行向量、相等向量和共线向量的差别和联系.学法：本节是本章的入门课，看法许多，但难度不大.学生可依据在原有的位移、力等物理看法来学习向量的看法，联合图形实物划分平行向量、相等向量、共线向量等看法.教具：多媒体或实物投影仪，尺规讲课种类：新讲课教课思路：一、情形设置：如图，老鼠由 A 向西北逃跑，猫在 B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）C结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.A DB 解析：老鼠逃跑的路线AC 、猫追赶的路线BD 实质上都是有方向、有长短的量 .前言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：（一）向量的看法：我们把既有大小又有方向的量叫向量（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）1、数目与向量有何差别？2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何差别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为 1 的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向同样或相反，这组向量有什么关系？7、假如把一组平行向量的起点所有移到一点O，这是它们能否是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？（三）研究学习1、数目与向量的差别：数目只有大小，是一个代数目，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，两重性，不可以比较大小.2.向量的表示方法：a①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂA(起点)（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；B （终点）④向量 AB 的大小――长度称为向量的模，记作| AB |.3.有向线段：拥有方向的线段就叫做有向线段，三个因素：起点、方向、长度.向量与有向线段的差别：（1）向量只有大小和方向两个因素，与起点没关，只要大小和方向同样，则这两个向量就是同样的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个因素，起点不一样，尽管大小和方向同样，也是不一样的有向线段 .4、零向量、单位向量看法：①长度为 0 的向量叫零向量，记作0. 0 的方向是任意的.注意 0 与 0 的含义与书写差别.②长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都不过限制了大小.5、平行向量定义：①方向同样或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0 与任一直量平行.说明：（ 1）综合①、②才是平行向量的完好定义；（ 2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向同样的向量叫相等向量.说明：（ 1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（ 2）零向量与零向量相等；（ 3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，而且与有．．向线段的起点没关.．．．．．．．．7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同向来线上（与有向线段的．．．．．．起点没关）．．．．． .说明：（ 1）平行向量可以在同向来线上，要差别于两平行线的地点关系；（2）共线向量可以相互平行，要差别于在同向来线上的线段的地点关系.（四）理解和牢固：例1 书籍 86页例 1.例2判断：（1）平行向量能否必定方向同样？（不必定）（2）不相等的向量能否必定不平行？（不必定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同向来线上，则这两个向量必定是什么向量？（平行向量）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向同样）（7）共线向量必定在同向来线上吗？（不必定）例 3 以下命题正确的选项是（）A. ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与 c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四极点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有同样起点的两个非零向量不平行解：因为零向量与任一直量都共线，所以 A 不正确；因为数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同向来线上，而此时就构不行四边形，根本不行能是一个平行四边形的四个极点，所以 B 不正确；向量的平行只要方向同样或相反即可，与起点能否同样没关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来下手考虑，倘若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ最少有一个是零向量，而由零向量与任一直量都共线，可有ａ与ｂ共线，不吻合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选 C.例 4如图，设O是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA 、 OB 、 OC 相等的向量 .变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11 个）变式二：能否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（CB, DO, FE ）课堂练习：1．判断以下命题能否正确，若不正确，请简述原由.①向量 AB 与 CD 是共线向量，则A、 B、 C、D 四点必在向来线上；②单位向量都相等；③任一直量与它的相反向量不相等；④四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当AB ＝ DC⑤一个向量方向不确立当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不一样，则终点必定不一样.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向同样或相反即可，其实不要求两个向量AB 、 AC 在同向来线上.②不正确 .单位向量模均相等且为1，但方向其实不确立.③不正确 .零向量的相反向量还是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确 .⑥不正确 .如图AC与BC共线，虽起点不一样，但其终点却相同. 2．书籍 88 页练习三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.四、课后作业：书籍 88 页习题 2.1 第 3、5 题第 2课时§向量的加法运算及其几何意义教课目标：1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法规和平行四边形法规作两个向量的和向量，培育数形联合解决问题的能力；3、经过将向量运算与熟习的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，浸透类比的数学方法；教课要点：会用向量加法的三角形法规和平行四边形法规作两个向量的和向量.教课难点：理解向量加法的定义.学法：数能进行运算，向量能否也能进行运算呢？数的加法启示我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生理所应当接受向量的加法定义.联合图形掌握向量加法的三角形法规和平行四边形法规 .联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和联合律.教具：多媒体或实物投影仪，尺规讲课种类：新讲课教课思路：一、设置情形：1、复习：向量的定义以及相关看法重申：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向同样的向量相等.所以，我们研究的向量是与起点没关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移就任何地点2、情形设置：A B C（1）某人从 A 到 B ，再从 B 按原方向到C，则两次的位移和：AB BC AC（2）若上题改为从 A 到 B，再从 B 按反方向到 C， C A B 则两次的位移和：AB BC ACC （3）某车从 A 到 B ，再从 B 改变方向到 C，则两次的位移和：AB BC AC A BC （4）船速为AB，水速为BC，则两速度和：AB BC AC二、研究研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.A B２、三角形法规（“首尾相接，首尾连” ）如图，已知向量a、ｂ .在平面内任取一点 A ，作 AB ＝a，BC＝ｂ，则向量AC叫做a 与ｂ的和，记作a＋ｂ，即a＋ｂAB BC AC ，规定： a + 0-= 0 + aaaaC bbａa+ b ｂA a+ bｂaB研究：（ 1）两相向量的和还是一个向量；（ 2）当向量a与b不共线时， a + b 的方向不一样向，且|a + b |<|a |+| b |；（ 3）当a与b同向时，则a + b、a、b同向，O a A且| a + b |=| a |+|b |，当a与b反向时，若 | a |>|b |，bb b a则 a + b 的方向与 a 同样，且| a + b |=| a |-| b |；若a B | a |<| b |，则a + b的方向与b同样，且 | a +b|=| b |-| a |.（ 4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推行到n个向量连加３．例一、已知向量 a 、 b ，求作向量 a + b作法：在平面内取一点，作OA a AB b ，则 OB a b .４．加法的交换律和平行四边形法规问题：上题中 b + a 的结果与 a + b 能否同样？考据结果同样从而获得：１）向量加法的平行四边形法规（对于两个向量共线不适应）aa +b = b + a２）向量加法的交换律：５．向量加法的联合律：( a + b ) + c = a + ( b + c )证：如图：使AB a ，BC b ，CD c则( a + b ) + c = AC CD AD ， a + ( b + c ) =AB BD AD∴( a + b ) + c = a + ( b + c )从而，多个向量的加法运算可以依据任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例：例二（ P94— 95）略练习： P95四、小结1、向量加法的几何意义；２、交换律和联合律；３、注意： | a + b | ≤ | a | + | b |，当且仅当方向同样时取等号.五、课后作业：P103 第２、３题六、板书设计（略）七、备用习题1、一艘船从 A 点出发以23km/ h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实质航行的速度的大小为4km/ h ，求水流的速度.2、一艘船距对岸 4 3km ，以23km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实质航程为8km ，求河水的流速.3、一艘船从 A 点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v 2，船的实质航行的速度的大小为4km/ h ，方向与水流间的夹角是60，求v1和 v2.4、一艘船以5km/h的速度内行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实质航行速度大小最大是km/h ，最小是km/h５、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力 F 与F1的夹角是60，|F|=10N 求 F1和 F2的大小 .６、用向量加法证明：两条对角线相互均分的四边形是平行四边形第 3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教课目标：1.认知趣反向量的看法；2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3.经过论述向量的减法运算可以转变为向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转变的辩证思想 .教课要点：向量减法的看法和向量减法的作图法.教课难点：减法运算时方向的确定.学法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上联合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.教具：多媒体或实物投影仪，尺规讲课种类：新讲课教课思路：一、复习：向量加法的法规：三角形法规与平行四边形法规向量加法的运算定律：DCB BA BA例：在四边形中，.解： CB BA BA CB BA AD CDA B二、提出课题：向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法（ 1）“相反向量”的定义：与 a 长度同样、方向相反的向量.记作a（ 2）规定：零向量的相反向量还是零向量. ( a) = a.任一直量与它的相反向量的和是零向量.a + ( a) = 0假如 a、 b 互为相反向量，则 a =b， b = a， a + b = 0（ 3）向量减法的定义：向量 a 加上的 b 相反向量，叫做 a 与 b 的差 .即： a b = a + (b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若 b + x = a，则 x 叫做 a 与 b 的差，记作 a b3．求作差向量：已知向量a、 b，求作向量∵ (a b) + b = a + ( b) + b = a + 0 = a a O作法：在平面内取一点O，bba bBCa作 OA = a，AB = b则 BA = a b即 a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量 .注意： 1AB 表示a b.重申：差向量“箭头”指向被减数2 用“相反向量”定义法作差向量， a b = a + ( b)明显，此法作图较繁，但最后作图可一致.B’a bB a+ ( b)Ob ab bAB4．研究：１）假如从向量 a 的终点指向向量 b 的终点作向量，那么所得向量是 b a.a ab a bbO B A B’O BAa ab a bb O A b B BO A２）若 a∥b，如何作出 a b？三、例题：例一、（ P９７例三）已知向量a、b、 c、 d，求作向量 a b、 c d.解：在平面上取一点O，作OA = a，OB = b，OC = c，OD = d，作 BA ，DC ，则BA= a b，DC = c db aA BD dcCOD CA B例二、平行四边形ABCD 中，AB a，AD b ，用 a、 b 表示向量AC 、 DB .解：由平行四边形法规得：，DB= AB AD= a bAC = a + b变式一：当 a， b 满足什么条件时，a+b 与 a b 垂直？（ |a| = |b|）变式二：当 a， b 满足什么条件时，|a+b| = |a b|？（ a， b 相互垂直）变式三： a+b 与 a b 可能是相当向量吗？（不行能，∵对角线方向不一样）练习：Ｐ 98四、小结：向量减法的定义、作图法|五、作业： P103 第 4、５题六、板书设计（略）七、备用习题：1.在△ABC中，BC=a，CA=b ，则AB等于 ()A. a+bB.- a+(- b) D. b-a为平行四边形ABCD平面上的点，设OA=a，OB=b，OC=c，OD=d ，则A. a+b+c+d=0３ .如图，在四边形B.a-b+c-d=0 C.a+b -c-d=0ABCD 中，依据图示填空：D.a-b -c+d=0a+b=， b+c=，c-d=， a+b+c-d=.４、以以下图，O 是四边形ABCD内任一点，试依据图中给出的向量，确立a、b 、 c、d 的方向（用箭头表示），使a+b=AB ，c-d=DC，并画出 b -c 和a+d.第３题平面向量的基本定理及坐标表示第 4课时§ 2.3.1 平面向量基本定理教课目标：（1）认识平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实质问题的重要思想方法；（3）可以在详尽问题中合适地采用基底，使其余向量都可以用基底来表达.教课要点：平面向量基本定理.教课难点：平面向量基本定理的理解与应用.讲课种类：新讲课教具：多媒体、实物投影仪教课过程：一、复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ ||a |；（ 2）λ >0 时λa与a方向同样；λ <0 时λa与a方向相反；λ =0 时λa =02．运算定律联合律：λ ( μa )=( λ μ)；分配律： (λ +μ)=λa +μ，λ ( a +b)= λa+λba a a3. 向量共线定理向量 b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa.二、讲解新课：平面向量基本定理：假如e1， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一直量 a ，有且只有一对实数λ1，λ 2 使a=λ 1e1+λ2e2.研究：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，要点是不共线；(3)由定理可将任一直量 a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给准时，分解形式唯一 . 1λ，λ2是被a，e1，e2独一确立的数目三、讲解模范：例 1 已知向量e1，e2求作向量 2.5 e1 +3 e2 .例 2如图ABCD的两条对角线交于点M ，且AB = a，AD = b ，用a， b 表示 MA ， MB ， MC 和 MD例 3 已知 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E， O 是任意一点，求证： OA + OB + OC + OD =4 OE例 4（ 1）如图，OA，OB不共线，AP =t AB(t R)用OA，OB表示OP.uuur uur（ 2 ）设OA、OB不共线，点P 在 O、A、B所在的平面内，且uuur uuur uuurR) .求证：A、B、P三点共线.OP(1t )OA tOB (t例 5已知 a=2 e121212不共线，向量12-3e ， b= 2e +3e ，此中 e ， e c=2e -9e，问能否存在这样的ur r r实数、 ,使 d a b 与c共线.四、课堂练习：1.设 e 、 e 是同一平面内的两个向量，则有()12A. e1、 e2必定平行1、 e2的模相等C.同一平面内的任一直量 a 都有 a =λe1+μe2 (λ、μ∈ R )D.若 e1、 e2不共线，则同一平面内的任一直量 a 都有 a =λe1+ue2(λ、 u∈R )2.已知矢量 a = e1-2e2， b =2e1+e2，此中 e1、 e2不共线，则a+b 与 c =6 e1-2e2的关系A. 不共线B.共线C.相等D. 没法确立3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y 满足 (3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则 x-y 的值等于 ( )4.已知 a、b 不共线，且 c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈ R)，若 c 与 b 共线，则λ1=.5.已知λ1＞ 0，λ2＞ 0，e1、e2是一组基底，且 a =λ1e1+λ2e2，则 a 与 e1_____，a 与 e2_________( 填共线或不共线 ).五、小结（略）六、课后作业（略）：七、板书设计（略）八、课后记：第 5课时§—§ 2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算教课目标：（1）理解平面向量的坐标的看法；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会依据向量的坐标，判断向量能否共线.教课要点：平面向量的坐标运算教课难点：向量的坐标表示的理解及运算的正确性.讲课种类：新讲课教具：多媒体、实物投影仪教课过程：一、复习引入：1．平面向量基本定理：假如e1， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一直量 a ，有且只有一对实数λ1，λ 2 使a=λ 1 e1+λ2e2(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，要点是不共线；(3)由定理可将任一直量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给准时，分解形式唯一 . λ1，λ2是被a，e1，e2独一确立的数目二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y轴方向同样的两个单位向量基底 .任作一个向量 a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y，使得i 、j 作为a xi yj ○1我们把 ( x, y) 叫做向量 a 的（直角）坐标，记作a ( x, y) ○2此中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做a在 y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示 .与a相等的向量的坐标也为( x, y).．．．．．．．．．．．特别地， i(1,0) ， j(0,1)， 0 (0,0) .如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA a ，则点A的地点由 a 独一确立.设 OA xi yj ，则向量OA的坐标(x, y)就是点 A 的坐标；反过来，点 A 的坐标(x, y)也就是向量 OA 的坐标.所以，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数独一表示 .2．平面向量的坐标运算（1）若a ( x1 , y1 )，b ( x2 , y2 )，则 a b(x1x2 , y1y2 )，a b( x1x2 , y1y2 )两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为 i 、 j ，则 a b( x1i y1 j ) ( x2 i y2 j ) ( x1x2 )i ( y1y2 ) j即 a b(x1x2 , y1y2 ) ，同理可得a b(x1x2 , y1y2 )（2）若A (x1,y1)， B( x2 , y2 ) ，则AB x2x1 , y2y1一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB= OB OA=( x 2，y2)(x1， y1)= (x2x1，y2y1)（3）若a(x, y)和实数，则a(x,y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘本来向量的相应坐标.设基底为 i 、j ，则a( xi yj )xi yj ，即 a ( x, y)三、讲解模范：uuur例 1 已知 A(x 1， y1)， B(x 2， y2)，求AB的坐标 .r r r r r r r r例 2 已知a =(2 ，1)，b =(-3 ，4) ，求a + b，a - b，3 a +4 b的坐标.例 3 已知平面上三点的坐标分别为 A( 2， 1)， B( 1， 3)， C(3， 4)，求点 D 的坐标使这四点构成平行四边形四个极点 .解：当平行四边形为 ABCD 时，由 AB DC 得 D 1=(2， 2)当平行四边形为ACDB 时，得 D 2=(4 ， 6)，当平行四边形为 DACB 时，得 D 3=( 6， 0)例 4 已知三个力 F 1 (3， 4)， F 2 (2， 5)， F 3 (x ， y)的合力 F 1 + F 2 + F 3 = 0 ，求 F 3 的坐标 .解：由题设 F 1 + F 2 +F 3=0得： (3， 4)+ (2 ， 5)+(x ， y)=(0 ， 0)32 x 0x 5 ∴ F 3 ( 5，1)即：5 y∴14 y四、课堂练习 ：1．若 M(3 ， -2)N(-5 ， -1) 且 MP1MN ，求 P 点的坐标22．若 A(0 ， 1)， B(1， 2)，C(3 ， 4) ，则AB 2BC = .3．已知：四点 A(5 ， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)，D(5 ， -3)， 求证：四边形 ABCD是梯形 .五、小结 （略）六、课后作业 （略）七、板书设计 （略）八、课后记：第 6课时§ 2.3.4 平面向量共线的坐标表示教课目标：（ 1）理解平面向量的坐标的看法；（ 2）掌握平面向量的坐标运算；（ 3）会依据向量的坐标，判断向量能否共线.教课要点： 平面向量的坐标运算教课难点： 向量的坐标表示的理解及运算的正确性讲课种类： 新讲课教 具：多媒体、实物投影仪教课过程 ：一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与 x 轴、 y轴方向同样的两个单位向量 i、 j.a ，由平面作为基底 任作一个向量 向量基本定理知，有且只有一对实数x 、 y ，使得 axiyj把 (x, y) 叫做向量 a 的（直角）坐标，记作 a ( x, y)此中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，特别地，i (1,0) ， j (0,1) ， 0(0,0) .2．平面向量的坐标运算若 a ( x 1 , y 1 ) ， b ( x 2 , y 2 ) ，则 a b(x1x , y1y ) ，a b(x1x , yy ) ，a ( x, y).22212若 A( x 1 , y 1 ) ， B(x 2 , y 2 ) ，则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1二、讲解新课：a ∥b ( b 0 )的充要条件是 x 1y 2-x 2y 1=0设a =(x 1，y )， b=(x 2，y )此中 b a.12x 1 x 2 由 a =λ b 得， (x 1， y 1) = λ (x 2， y 2)消去λ， x 1y 2-x 2y 1=0y 1y 2研究：（ 1）消去λ时不可以两式相除，∵y 1， y 2 有可能为0， ∵ b 0∴ x 2， y 2 中最少有一个不为 0（ 2）充要条件不可以写成y 1 y 2 ∵ x 1， x 2 有可能为 0x 1x 2(3) 从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥ b( b 0ab)x 1 y 2 x 2 y 1 0三、讲解模范：例 1 已知 a =(4 ，2) ， b =(6 ， y)，且 a ∥ b ，求 y.例 2 已知 A(-1 ， -1) ， B(1 ，3) ， C(2 ， 5)，试判断 A ， B ， C 三点之间的地点关系 .例 3 设点 P 是线段 P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是 (x1， y1)， (x2， y2).(1)当点 P 是线段 P1P2的中点时，求点 P 的坐标；(2) 当点 P 是线段 P1P2的一个三均分点时，求点P 的坐标 .例 4 若向量a =(-1 ，x) 与b =(-x ， 2)共线且方向同样，求x解：∵ a =(-1，x)与b=(-x，2)共线∴ (-1)×2- x?(-x)=0∴ x=±2∵ a与b方向同样∴ x=2例 5 已知A(-1 ， -1)， B(1 ， 3)， C(1， 5) ， D(2 ， 7) ，向量AB与CD平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？解：∵AB =(1-(-1)，3-(-1))=(2 ，4)，CD=(2-1 ， 7-5)=(1 ， 2)又∵ 2× 2-4× 1=0∴ AB∥ CD又∵AC =(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)， AB =(2，平行∴A ，B，C 不共线∴AB与CD不重合四、课堂练习：1.若 a=(2 ， 3)， b=(4， -1+ y) ，且 a∥ b，则 y=（）4)，2× 4-2× 6 0∴AB ∥ CD∴ AC与AB不2.若A(x， -1) ， B(1，3) ，C(2，5)三点共线，则x 的值为（）3.若AB=i+2 j ，DC=(3- x)i+(4- y)j(此中i 、j的方向分别与x、y 轴正方向同样且为单位向量). AB与 DC共线，则x、 y的值可能分别为（）A.1 ， 2， 24.已知 a=(4 ， 2)，b=(6， y)，且5.已知 a=(1 ， 2)，b=( x， 1)，若6.已知□ABCD 四个极点的坐标为， 2 D.2 ，4a∥b，则 y=.a+2b 与 2a-b 平行，则x 的值为.A(5， 7)，B(3， x)，C(2，3)， D(4， x)，则x=.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：§ 平面向量的数目积第7课时一、 平面向量的数目积的物理背景及其含义教课目标：1.掌握平面向量的数目积及其几何意义；2.掌握平面向量数目积的重要性质及运算律；3.认识用平面向量的数目积可以办理相关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件 .教课要点：平面向量的数目积定义教课难点：平面向量数目积的定义及运算律的理解和平面向量数目积的应用讲课种类：新讲课教具：多媒体、实物投影仪内容解析：本节学习的要点是启示学生理解平面向量数目积的定义，理解定义以后即可指引学生推 导数目积的运算律， 而后经过看法辨析题加深学生对于平面向量数目积的认识 .主要知识点： 平面向量数目积的定义及几何意义； 平面向量数目积的5 个重要性质； 平面向量数目积的运算律 .教课过程：一、复习引入：1． 向量共线定理向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ， 使b =λ a .2．平面向量基本定理：假如e 1 ， e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一直量 a ，有且只有一对实数λ 1，λ 2 使a =λ 1 e 1 +λ 2 e 23．平面向量的坐标表示分别取与 x 轴、 y 轴方向同样的两个单位向量 i 、 j.a ，由平面向作为基底 任作一个向量 量基本定理知，有且只有一对实数x 、 y ，使得 a xi yj把 (x, y)叫做向量 a 的（直角）坐标，记作 a ( x, y)4．平面向量的坐标运算若 a( x1 , y1 )， b( x2, y2 ) ，则a b(x1x2 , y1y2 ) ，a b( x1x2 , y1y2 )，a (x,y).若 A( x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则AB x2x1 , y2y15．a∥b( b0 )的充要条件是x1y2-x2y1=06．线段的定比分点及λP1，P2是直线l 上的两点，P 是l 上不一样于P1，P2的任一点，存在实数λ，使P1 P= λPP2，λ 叫做点P分P1 P2所成的比，有三种情况：λ>0( 内分 )(外分 ) λ <0 ( λ <-1)( 外分 )λ <0(-1<λ <0)7.定比分点坐标公式：若点P １ (x1， y1 ) ，Ｐ２ (x2， y2) ，λ为实数，且P1P ＝λPP2，则点P 的坐标为（x1x2 ,y1y2），我们称λ为点P分P1P2所成的比. 118.点 P 的地点与λ的范围的关系：①当λ＞０时， P1 P 与 PP2同向共线，这时称点P 为P1P2的内分点 .②当λ＜０ (1)时， P1P 与 PP2反向共线，这时称点P 为P1P2的外分点 .9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O，设OP1＝ａ，OP2＝ｂ，a b1b .可得OP=a11110．力做的功：W = |F| |s|cos ，是 F 与 s 的夹角 .二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的看法已知非零向量ａ与ｂ，作 OA ＝ａ， OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角 .说明：（ 1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（ 2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（ 3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；2（ 4）注意在两向量的夹角定义，两向量一定是同起点的.范围0 ≤ ≤180C2．平面向量数目积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数目|a||b|cos叫ａ与ｂ的数目积，记作 a b，即有 a b = |a||b|cos，（０≤θ≤π） .并规定0 与任何向量的数目积为0.研究：两个向量的数目积与向量同实数积有很大差别（1）两个向量的数目积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数目积称为内积，写成个向量的数目的积，书写时要严格划分也不可以用“×”取代.a b；今后要学到两个向量的外积a× b，而 ab 是两.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不可以省略，（3）在实数中，若b=0.因为此中cosa 0，且有可能为a b=0，则0.b=0；但是在数目积中，若 a 0，且 a b=0，不可以推出（4）已知实数a、 b、 c(b0)，则ab=bc a=c .但是 a b = b c a = c如右图： a b = |a||b|cos= |b||OA|， b c = |b||c|cos = |b||OA|a b = b c但a c(5) 在实数中，有( a b)c = a(b c)，但是 (a b)c a(b c)明显，这是因为左端是与 c 共线的向量，而右端是与 a 共线的向量，而一般 a 与c 不共线.3．“投影”的看法：作图。

人教版必修四第二章平面向量教课设计教课目的：三目1、知识与技术（1）认识向量的实质背景，理解平面向量的观点和向量的几何表示；（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等观点；并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系（3）经过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数目的实质差别.2、过程与方法指引发现法与议论相联合。

这是向量的第一节课，观点与知识点许多，在对学生进行适合的指引以后，应让学生清清楚楚得理解其观点，这是学生进一步获得向量知识的前提；经过学生主动地参加到讲堂教课中，提升学生学习的踊跃性。

表现了在老师的指引下，学生的的主体地位和作用。

3、感情目标与价值观经过对向量与数目的比较，培育学生认识客观事物的数学实质的能力，而且意识到数学与现实生活是密不行分的，是源于生活，用于生活的。

教课要点：理解向量、相等向量等有关的观点，向量的几何表示等是本的要点。

教课点：点是学生向量的观点和共向量的观点的理解。

学情和教材剖析：向量是近代数学中重要和基本的观点之一，有深刻的几何背景及代数意，所以向量拥有数形合的特色，是深入学数学及解决各数学的有效工具，在其余学科中也有宽泛用。

所以向量是年高考的必考内容，本是向量的第一，是新知的一个起点，所以是十分关、重要的一。

本教课内容的特色是：观点多，有向量、平行向量、相等向量、位向量等有关观点及向量的几何表示。

学生在学程中，多观点简单混杂，它之关系不易理清，些是学中的点。

教法：引启式教课学法：指学生自主学划：一教具学具：多媒体、彩笔、三角板教课程一、情形、入新1.我知道物理中的力、速度，位移等都是矢量，不一样与行程、量等量，他拥有什么的共同特色？⋯⋯⋯ （学生作答）2.你能出几个拥有以上特色的量？年、身高、体重、度等拥有些特色？（学生思虑作答）3.在数学上，我把拥有种特色的量称向量，（教在黑板上写，而后大屏幕展现，学生本 P74）二、推新1.定：既有大小又有方向的量叫向量。

§ 平面向量的实际背景及基本概念1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：；④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段．．．．．的起点无关．．．．．. 7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.A(起点)B（终点）aO ABaaab b b§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作＝a ，＝ｂ，则向量叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a + 0-= 0 + a探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||； （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||. （4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作= =，则+=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）aABCa +ba +baa bbaｂｂ ａa２）向量加法的交换律：a +b =b +a ５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) =AD BD AB =+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.第3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1． 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (a ) = 0如果a 、b 互为相反向量，则a = b ， b = a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a b = a + (b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a b ) + b = a + (b ) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ， 作OA = a ， AB = b则BA = a b 即a b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.4． 探究：１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b a.O abBa ba b２）若a ∥b ， 如何作出ab§2.3.1 平面向量基本定理复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ（1）|λa ρ|=|λ||a ρ|；（2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=0 2．运算定律结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ；分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ， λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ3. 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ.平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e . 探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量a bAABBB ’Oa baa b bOAOBa ba bBA Ob§2.3.2—§ 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量 二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相．等的向量的坐标也为．．．．．．．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则ba +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= （2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB OA =( x 2， y 2) (x 1，y 1)= (x 2 x 1， y 2 y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=第6课时§2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、复习引入： 1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=二、讲解新课：a ρ∥b ρ (bρ0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a ρ=(x 1， y 1) ，b ρ=(x 2， y 2) 其中bρa ρ.由a ρ=λb ρ得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵bρ0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y =∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ρ∥b ρ (bρ)01221=-=⇔y x y x λ§平面向量的数量积一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ.2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=5．a ρ∥b ρ (bρ0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ， 使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得OP =b a b a λλλλλ+++=++1111.10．力做的功：W = |F ||s |cos ，是F 与s 的夹角. 二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a 0，且a b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a b =0，不能推出b =0.因为其中cos 有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc a=c .但是a b = b c a = c 如右图：a b = |a ||b |cos = |b ||OA|，bc = |b ||c |cos = |b ||OA|a b = b c 但a c(5)在实数中，有(a b )c = a (b c )，但是(a b )ca (bc )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos 叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b |；当 = 180时投影为 |b |. 4．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos 2 a b a b = 03 当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ⋅=||4 cos =||||b a ba ⋅5 |ab | ≤ |a ||b |C二、平面向量数量积的运算律一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos 叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b |；当 = 180时投影为 |b |. 4．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos ； 2 ab a b = 03 当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ⋅=||4cos =||||b a ba ⋅ ；5|ab | ≤ |a ||b |二、讲解新课： 平面向量数量积的运算律1．交换律：a b = b a 证：设a ，b 夹角为，则a b = |a ||b |cos ，ba = |b ||a |cos ∴a b = b a 2．数乘结合律：(λa )b =λ(a b ) = a (λb ) 证：若λ> 0，(λa )b =λ|a ||b |cos， λ(a b ) =λ|a ||b |cos ，a (λb )=λ|a ||b |cos ，若λ< 0，(λa )b =|λa ||b |cos() =λ|a ||b |(cos ) =λ|a ||b |cos ，λ(a b ) =λ|a ||b |cos ，a (λb ) =|a ||λb |cos() =λ|a ||b |(cos ) =λ|a ||b |cos .C3．分配律：(a + b )c = a c + b c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos = |a | cos1 + |b | cos2 ∴| c | |a + b | cos =|c | |a | cos1 + |c | |b | cos 2， ∴c (a + b ) = c a + c b即：(a + b )c = a c + b c 说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２ 三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积.4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1 e a = a e =|a |cos ；2 a b a b = 03 当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ⋅=||4 cos =||||b a b a ⋅ ；5|a b | ≤ |a ||b | 5．平面向量数量积的运算律交换律：a b = ba 数乘结合律：(λa )b =λ(a b ) = a (λb ) 分配律：(a + b )c = a c + b c二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅. 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+= 又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x += 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s =||||b a b a ⋅⋅。

北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》全部教案扶风县法门高中姚连省第一课时 2.1从位移、速度、力到向量一、教学目标1.知识与技能：（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。

2.过程与方法：通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重、难点：重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.难点: 向量及向量的有关概念、表示方法.三.学法与教法学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教法:探究交流法.四.教学过程（一）、创设情境实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去。

问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.（二）、探究新知1．学生阅读教材思考如下问题A B[展示投影]（学生先讲，教师提示或适当补充）（1）. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？既有大小又有方向的量叫向量。

例：力、速度、加速度、冲量等。

注意：①数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

2.向量的表示方法有哪些？①几何表示法：有向线段有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。

§2.1 平面向量的实际背景及基本概念1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．向线段的起点无关．．．．．．．．. 7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.A(起点) B （终点）aO A B a a a b b b §2.2.1 向量的加法运算及其几何意义二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a + 0-= 0 + a探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |；（3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加 ３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=.４．加法的交换律和平行四边形法则 问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）aA B C a +b a +b a a b b a ｂ ｂ ａa２）向量加法的交换律：a +b =b +a５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) =AD BD AB =+∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.第3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1． 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0（3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差.即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2． 用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b 则BA = a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.4． 探究：１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b -a. O ab B a b a -b２）若a ∥b ， 如何作出a - b§2.3.1 平面向量基本定理复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a方向相反；λ=0时λa =02．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e .探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量a -b A A B B B’ O a -b a a b b O A O B a -b a -b B A O -b§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=. 如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则ba +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=第6课时§2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=二、讲解新课：a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a .由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0 探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)01221=-=⇔y x y x b a λ§2.4平面向量的数量积一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=5．a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比. 8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点.9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ，可得OP =b a b a λλλλλ+++=++1111. 10．力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅ca = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.C4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |二、平面向量数量积的运算律一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0C3︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a 证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a = |b ||a |cos θ ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ，λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ， a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ.3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos θ = |a | cos θ1 + |b | cos θ2∴| c | |a + b | cos θ =|c | |a | cos θ1 + |c | |b | cos θ2， ∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b 即：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 5．平面向量数量积的运算律交换律：a ⋅ b = b ⋅ a 数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅.设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=。

第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量1．1 位移、速度和力1．2 向量的概念(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解、掌握向量的概念．(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念．2．过程与方法在理解向量等有关概念的基础上，充分联系实际，培养学生解决生活实际问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过对向量的学习，使学生对现实生活中的向量和标量有一个清楚的认识，培养学生对现实生活中的真善美的识别能力．(2)对学生进行辨证思想的教育．●重点难点重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．难点：向量的概念，平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．(教师用书独具)●教学建议1．本节的教学应当特别注意从向量的物理背景、几何背景入手，从学生熟悉的矢量概念引出向量概念，还可以要求学生自己举出一些“既有大小，又有方向的量”，从而使学生更好地把握向量的特点．2．本节介绍了两种向量的表示方法：几何表示和字母表示．几何表示为用向量处理几何问题打下了基础，而字母表示则利于向量运算，这两种方法需要学生熟练掌握．教科书用黑体字母表示向量，如a ，在手写时可用a →表示．用有向线段表示向量时，要提醒学生注意AB →的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点．3．相等向量是长度相等且方向相同的向量，相等向量是一类向量的集合．任何一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量与共线向量是等价的，这一点值得特别注意．还要注意平行向量与平行线段的区别．共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量，当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆，教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．教学中，可以借助信息技术，通过向量的平移来说明向量的相等与起点无关．讲解中要求学生辨析“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法是否正确，目的是引导学生体会向量只与方向及模的大小有关而与起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．●教学流程创设问题情境，引出问题：位移是既有大小，又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？引入向量概念．⇒通过引导学生回答相关问题，引出有向线段、向量的构成要素，向量的长度(模)、零向量、单位向量等相关概念，并加深对向量的理解，熟悉其几何表示方法．⇒引导学生探究相等向量、共线向量的含义与性质，深刻领会相等向量是一类向量的集合，共线(平行)向量所在线段不一定平行等性质，避免与平面几何中直线平行相混淆．⇒通过例1及其变式训练，强化对向量相关概念的理解，深刻把握好各概念的内涵和外延．⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握向量的表示方法及其应用策略．⇒引导学生探究相等向量、共线向量等概念，并完成例3及其互动探究，掌握解此类问题的方法．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)2．掌握共线向量、相等向量的概念．(难点)3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)向量及其表示【问题导思】1．在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？ 【提示】 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向． 2．对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？ 【提示】 利用有向线段来表示． 1．定义既有大小又有方向的量叫作向量． 2．有向线段具有方向和长度的线段叫作有向线段．其方向是由起点指向终点，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度．记作|AB →|.3．向量的长度|AB →|(或|a |)表示向量AB →(或a )的大小，即长度(也称模)． 4．向量的表示法(1)向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．(2)向量也可以用黑体小写字母如a ，b ，c …来表示，书写用a →，b →，c →…来表示．向量的有关概念名称 定义 表示方法零向量 长度为零的向量 0单位向量与向量a 同方向，且长度为1a 0(向量a方向上)的向量，叫作a方向上的单位向量相等向量长度相等且方向相同的向量若a等于b，记作a＝b向量平行或共线表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合a与b平行或共线，记作a∥b向量的有关概念下列说法正确的是( )A ．若向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上 B ．若向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反 C ．向量AB →的长度与向量BA →的长度相等 D ．单位向量都相等【思路探究】 利用共线(平行)向量、单位向量、相等向量、向量的长度等概念逐项判断正确与否．【自主解答】 对于A ，考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一直线上．对于B ，由于零向量与任一向量平行，因此若a ，b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的．对于C ，向量AB →与BA →方向相反，但长度相等．对于D ，需要强调的是：单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同．【答案】 C1．对共线向量的理解是本题的关键点．向量共线即表示共线向量的有向线段在同一条直线上或平行．2．熟知向量的基本概念，弄清基本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的基础．下列说法正确的是( )A.AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线 B ．长度相等的向量叫相等向量 C ．零向量的长度等于0D ．共线向量是在同一条直线上的向量【解析】 AB →∥CD →包含AB →所在的直线与CD →所在的直线平行和重合两种情况，故选项A 错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故选项B 错；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故选项D 错．【答案】 C向量的表示一辆汽车从A 点出发向西行驶了100km 到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.【思路探究】 先作出表示东南西北的方位图及100 km 长度的线段，然后解答问题．【自主解答】 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线， 又∵|AB →|＝|CD →|.∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD .∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200(km)．1．在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．2．用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，为以后学习向量提供了几何方法，这也体现了数形结合的数学思想．应注意的是有向线段是向量的表示方法，并不是说向量就是有向线段．3．要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型．“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向．图2－1－1在如图的方格纸中，画出下列向量．(每个小正方形的边长为1) (1)|OA →|＝4，点A 在点O 正北方向；(2)|OB →|＝22，点B 在点O 东偏南45°方向；(3)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么？ 【解】 (1)(2)(3)的图像如图所示．(3)c 的终点轨迹是以C 为圆心半径为2的圆．相等向量与共线向量图2－1－2如图2－1－2所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →的模相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．【思路探究】 解答本题可依据相等向量及共线向量的定义求解． 【自主解答】 ∵E 、F 分别是AC 、AB 的中点， ∴EF ∥BC ，且EF ＝12BC .又∵D 是BC 的中点，∴EF ＝BD ＝DC .(1)与EF →共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →. (2)与EF →的模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有：DB →，CD →.1．本题以三角形中位线与底边的关系为载体，融相等向量及共线向量的知识于其中，求解时可充分借助于几何图形的相关性质，使向量与几何有机地结合起来，用共线向量反映几何图形中的位置关系，用向量模的关系，反映几何图形中的长度关系．2．判断一组向量是否相等，关键看向量是否方向相同和长度相等，与起点和终点位置无关．对于共线向量，则只要同向或反向即可．在本例条件不变的情况下，写出与AC →共线的向量和与CE →相等的向量． 【解】与AC →共线的向量有：CA →，FD →，DF →，CE →，EC →，AE →，EA →； 与CE →相等的向量有：EA →，DF →.忽视零向量方向致误给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同、终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则ABCD 是平行四边形； ④在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ； ⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中不正确的命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 【错解】 选B.【错因分析】 ⑥中若b ＝0则结论不成立，因为0的方向不确定．【防范措施】 对于向量的概念要认真理解，尤其是零向量一定要记住其特殊性．【正解】 两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定起点相同，终点相同，故①不正确．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确．③也不正确，因为A ，B ，C ，D 可能落在同一条直线上．零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中若b ＝0，则a 与c 就不一定平行了．因此⑥也不正确．【答案】 C1．学习了向量的概念及其表示，明确了有向线段与向量之间的关系． 2．掌握了特殊向量及向量之间的关系，以及它们的性质特点． 3．能在具体图形中找出相等向量与共线向量．1．下列命题中，正确的是( ) A ．|a |＝|b |⇒a ＝b B ．|a |＞|b |⇒a ＞b C ．a ＝b ⇒a ∥bD ．|a |＝0⇒a ＝0【解析】 如果两个向量相等，则这两个向量必定平行． 【答案】 C2．如图2－1－3，AB →＝DC →，AC 与BD 相交于点O ，则相等的向量是( )A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB →图2－1－3【解析】 |DO →|＝|OB →|，且DO →与OB →方向相同，则DO →＝OB →，故选D. 【答案】 D 3．给出下列命题：①若|a |>|b |，则a >b ；②若a ＝b ，则a ∥b ；③若|a |＝0，则a ＝0；④0＝0；⑤向量AB →大于向量CD →；⑥方向不同的两个向量一定不平行．其中，正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)【解析】 ①不正确．|a |>|b |知模的大小，而不能确定方向，向量不能比较大小；②正确．共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线；③正确；④不正确.0是一个向量，而0是一个数量，应|0|＝0；⑤不正确．因为向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别，向量的模可以比较大小；⑥不正确．因为平行向量包括方向相同和方向相反两种情况．【答案】 ②③图2－1－44．如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，EF 是过点O 且平行于AB 的线段．(1)写出图中的各组共线向量； (2)写出图中的各对同向向量； (3)写出图中的各对反向向量．【解】 (1)向量DC →，BA →，EO →，OF →为一组共线向量； 向量AO →与OC →为一组共线向量； 向量OD →与OB →为一组共线向量； 向量AE →与ED →为一组共线向量； 向量BF →与FC →为一组共线向量．(2)向量DC →与EO →，OF →为同向向量，向量AO →与OC →，AE →与ED →，BF →与FC →分别为同向向量． (3)DC →与BA →，BA →与EO →，BA →与OF →，OD →与OB →为反向向量.一、选择题1．如图2－1－5，在正方形ABCD 中，可以用同一条有向线段表示的向量是( )图2－1－5A.DA →与BC →B.AB →与DC →C.DC →与DA →D.BC →与AB →【解析】 ∵AB →＝DC →，∴AB →与DC →可用同一条有向线段表示． 【答案】 B图2－1－62．如图2－1－6所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC →的关系是( ) A.AB →＝DC → B ．|AB →|＝|DC →| C.AB →＞DC → D.AB →＜DC →【解析】 |AB →|与|DC →|表示等腰梯形两腰的长度，故相等． 【答案】 B图2－1－73．如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点，则与E F →的模相等的向量共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【解析】 ∵E 、F 、D 分别是边AC 、AB 和BC 的中点， ∴EF ＝12BC ，BD ＝DC ＝12BC .又∵AB ，BC ，AC 均不相等，从而与EF →的模相等的向量是：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. 【答案】 B图2－1－84．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中A ，B ，C ，D ，E ，F ，O 中任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA →外，与向量OA →共线的向量共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【解析】 由共线向量的定义及正六边形的性质，与向量OA →共线的向量有AO →，OD →，DO →，AD →，DA →，EF →，FE →，BC →，CB →，共有9个．故选D.【答案】 D5．下列说法中，不正确的是( ) A ．0与任意一个向量都平行B ．任何一个非零向量都可以平行移动C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D ．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同【解析】 易知A 、B 、C 均正确，D 不正确，它们的终点可能相同，故选D. 【答案】 D 二、填空题6．已知边长为3的等边△ABC ，则BC 边上的中线向量AD →的模等于________． 【解析】 由于AD ＝32AB ＝332.∴|AD →|＝3 32.【答案】3 32图2－1－97．如图，设O 是正方形ABCD 的中心，则：①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.其中，所有正确的序号为________．【解析】 根据正方形的几何性质以及向量的相等和共线的条件知①②③正确，AO →与BO →的方向不相同，故④不正确．【答案】 ①②③图2－1－108．如图2－1－10所示，四边形ABCD 是边长为3的正方形，把各边三等分后，连接相应分点，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与AC →平行且长度为2 2的向量个数是________．【解析】 图中共有4个边长为2的正方形，每个正方形中有符合条件的向量2个(它们分别是连接左下和右上顶点的向量，方向相反)，故满足条件的向量共有8个．【答案】 8 三、解答题9．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与BC →相等的向量； (2)与OB →长度相等的向量； (3)与DA →共线的向量．【解】 如图可知，(1)易知BC ＝AD ，所以与BC →相等的向量为AD →.(2)由O 是正方形ABCD 对角线的交点可知OB ＝OD ＝OA ＝OC ，所以与OB →长度相等的向量有BO →，OC →，CO →，OA →，AO →，OD →，DO →.(3)与DA →共线的向量有AD →，BC →，CB →.图2－1－1110．如图2－1－11所示，四边形ABCD 中AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.【证明】 ∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB . 又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形，∴CM →＝NA →. ∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|，∴|MB →|＝|DN →|， 又∵DN →与MB →的方向相同，∴DN →＝MB →.图2－1－1211．如图2－1－12，A 、B 、C 三点的坐标依次是(－1,0)、(0,1)、(x ，y )，其中x 、y ∈R .当x 、y 满足什么条件时，向量OC →与AB →共线(其中O 为坐标原点)?【解】 由已知，A 、B 的坐标是(－1,0)、(0,1)，所以∠BAO ＝45°. 当点C (x ，y )的坐标满足x ＝y ＝0时，OC →＝0， 这时OC →与AB →共线(零向量与任意向量都共线)； 当xy ≠0，且x ＝y ，即点C 在一、三象限角平分线上时， 有AB ∥OC ，这时OC →与AB →共线．综上，当x ＝y 时，OC →与AB →共线．(教师用书独具)如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是中国象棋的走法，“马”可以从A 跳到A 1或A 2，用向量AA 1→、AA 2→表示“马”走了一步．试在图中画出“马”在B 、C 分别走了一步的所有情况．【解】如图所示，在B处有3种走法；在C处有8种走法．如图，在4×5的方格图中，有一个向量AB →，分别以图中的格点为起点和终点作向量．(1)与向量AB →相等的向量有多少个？ (2)与向量AB →长度相等的向量有多少个？【解】 (1)结合向量相等的定义及方格的特征可知与向量AB →相等的向量有3个． (2)与向量AB →长度相等的向量有39个，因为对角线长度与AB →长度相等的每个矩形中有4个与向量AB →长度相等的向量．而这样的矩形共有10个，所以共有4×10－1＝39个．§2从位移的合成到向量的加法2．1 向量的加法 2．2 向量的减法(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量．(2)能结合图形进行向量计算．(3)能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算．2．过程与方法由概念的形成过程和解题的思维过程，体验数形结合思想的指导作用．3．情感、态度与价值观通过阐述向量的减法运算可以转化为向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想．●重点难点重点：向量的加法、减法运算．难点：向量加法、减法的几何意义．(教师用书独具)●教学建议几何中的向量加法是用几何作图来定义的，教科书给出了两个向量求和的三角形法则和平行四边形法则，多个向量求和的多边形法则．教科书采用三角形法则来定义向量的加法，这种定义对两向量共线时同样适用，而当两个向量共线时，平行四边形法则就不适用了．当两向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的．当求两个或多个不共线向量的和时，和向量是从第一个向量的始点指向最后一个向量的终点．类比数的运算中减法是加法的逆运算，将向量的减法定义为向量加法的逆运算．教学时，要结合三角形法则认真体会其含义．两个向量的减法是把两个向量的始点放在一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．●教学流程创设问题情境：对比实数的加法运算，如何求出两向量的和呢？⇒引导学生结合物理中力的合成，类比发现向量加法的定义及其运算性质．⇒引导学生探究向量减法的定义及向量减法的几何意义．⇒通过例1及变式训练，使学生熟练掌握向量的加、减运算．⇒通过例2及变式训练，使学生熟练掌握利用向量加、减法的几何意义作用．⇒通过例3及变式训练，掌握向量加、减法的综合应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．课标解读1.掌握向量的加法、减法运算．(重点)2．理解向量加法与减法的几何意义及加、减法的关系．(难点)向量求和法则及运算律【问题导思】一架飞机要从A地经B地运物资到C地，问从A地到B地，与从B地到C地这两次位移之和是什么？【提示】 如图所示，这两次位移之和为AB →＋BC →，而实际位移为AC →. 由此可以看出AB →＋BC →＝AC →. 类别图示几何意义向量求和 的法则平行 四边 形法则已知向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，再作平行AD →的BC →＝b ，连接DC ，则四边形ABCD 为平行四边形，向量AC →叫作向量a 与b 的和，表示为AC →＝a ＋b向量加 法的运 算律交换律 a ＋b ＝b ＋a结合律(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )相反向量【问题导思】向量AB →与向量BA →是一对特殊的向量，它们的长度和方向之间有什么关系？ 【提示】 向量AB →与向量BA →长度相等，但方向相反，即AB →＝－BA →. 定义把与a 长度相等、方向相反的向量，叫作a 的相反向量，记作－a性质(1)零向量的相反向量仍是零向量，于是－(－a )＝a ；(2)互为相反向量的两个向量的和为0，即a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0；(3)若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，b ＝－a向量的减法【问题导思】1．两个相反数的和为零，那么两个相反向量的和也为零向量吗？ 【提示】 是零向量．2．根据向量的加法，如何求作a －b?【提示】 先作出－b ，再按三角形或平行四边形法则作出a ＋(－b )．定义向量a 加上b 的相反向量叫作a 与b 的差，即a －b ＝a ＋(－b )，求两个向量差的运算，叫作向量的减法几何 意义如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量向量的加法、减法运算(1)在平行四边形ABCD 中，AB →＋CB →－DC →＝( )A.BC →B.AC →C.DA →D.BD →(2)化简AB →＋DA →＋BD →－BC →－CA →＝________. 【思路探究】 (1)利用平行四边形法则和性质；(2)可用三角形法则，即所谓“首尾相连”；也可以引入空间一点O ，转化成以O 为起点的向量进行化简．【自主解答】 (1)在▱ABCD 中，AB →＝DC →，CB →＝DA →， ∴AB →＋CB →－DC →＝(AB →－DC →)＋CB →＝DA →. (2)法一 原式＝AB →＋BD →＋DA →－(BC →＋CA →) ＝0－BA →＝AB →.法二 在平面内任取一点O ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，则 原式＝(OB →－OA →)＋(OA →－OD →)＋(OD →－OB →)－(OC →－OB →)－(OA →－OC →) ＝OB →－OA →＋OA →－OD →＋OD →－OB →－OC →＋OB →－OA →＋OC →＝OB →－OA →＝AB →. 【答案】 (1)C (2)AB →1．求解这类问题，一定要灵活应用向量加法、减法的三角形与平行四边形法则，并注意向量的起点和终点，当向量首尾相连且为和时，用加法；运用向量减法的三角形法则时，一定有两向量起点相同．2．运用向量减法法则时，常考虑方法：(1)通过相反向量，把向量减法转化为加法；(2)引入点O ，将向量起点统一．化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)； (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)． 【解】 (1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →) ＝CA →－CD →＝DA →.(2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋DB → ＝BC →－DC →＋DB → ＝BC →＋CD →＋DB → ＝BC →＋CB →＝0.利用向量加法、减法的几何意义作图图2－2－1如图2－2－1所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .求作b ＋c －a .【思路探究】 解答本题可用平行四边形法则作b ＋c ，再作b ＋c －a .【自主解答】 法一 以OB →、OC →为邻边作▱OBDC ，连接OD →、AD →，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，AD →＝OD →－OA →＝b ＋c －a .法二 作CD →＝OB →＝b ，连接AD ，则AC →＝OC →－OA →＝c －a ，AD →＝AC →＋CD →＝c －a ＋b ＝b ＋c －a .1．运用三角形法则，作两个向量和的关键是作平移，首尾连．作两个向量差的关键是作平移，共起点，两尾连，指被减．2．当两向量不共线时，也可采用平行四边形法则，多个向量相加减时要注意灵活运用运算律．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.图2－2－2图(1)【解】 法一 如图(1)所示，在平面内任取一点O ， 作OA →＝a ，AB →＝b ， 则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ， 则CB →＝a ＋b －c .图(2)法二 如图(2)所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ， 则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，则BC →＝－c 连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .向量加减法的综合应用图2－2－3如图2－2－3所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，求证：b ＋c －a ＝OA →.【思路探究】 要证明b ＋c －a ＝OA →，可转化为证明b ＋c ＝OA →＋a ，从而利用向量加法证明；也可以从c －a 入手，利用向量减法证明．【自主解答】 在▱ABCD 中，DA →＝CB →＝b ，OC →＝c 法一 ∵b ＋c ＝DA →＋OC →＝OC →＋CB →＝OB →， 又∵OA →＋a ＝OA →＋AB →＝OB →.∴b ＋c ＝OA →＋a ，即b ＋c －a ＝OA →. 法二 ∵c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OD →， OD →＝OA →＋AD →＝OA →－b ，∴c －a ＝OA →－b ，即b ＋c －a ＝OA →.1．法一是利用三角形加法法则证明两个向量的和相等；法二是利用向量减法法则证明两个向量的差相等，证明时可灵活选择方法．2．灵活选择方法，优化思维过程，通过恒等变形来证明等价命题是常用的证明恒等式的方法．P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP →＝QC →，求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →. 【证明】 ∵AP →＝AB →＋BP →， AQ →＝AC →＋CQ →，∴AP →＋AQ →＝AB →＋BP →＋AC →＋CQ →， 又∵BP →＝QC →，∴BP →＋CQ →＝0， ∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →.错用向量减法法则致误如图所示，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为r 1、r 2、r 3，求OD →.图2－2－4【错解】 因为OD →＝OC →＋CD →， CD →＝BA →＝OB →－OA →，所以OD →＝OC →＋OB →－OA →＝r 3＋r 2－r 1.【错因分析】 错误使用了向量的减法法则导致解错．【防范措施】 减法口决：始点相同，连接终点，箭头指向被减向量．应把首尾相接的放在一起计算，始点相同的放在一起计算．必要时，可画出图像，结合图像观察将使问题更为直观．【正解】 OD →＝OC →＋CD →＝OC →＋BA →＝OC →＋OA →－OB →＝r 3＋r 1－r 2.1．学习了向量加法的三角形法则和平行四边形法则．2．学习了相反向量的概念，知道向量的减法是向量加法的逆运算． 3．学习了向量减法运算并且掌握了它的几何意义．4．掌握了利用向量的加、减法进行化简、作图、表示其他向量，体会了数形结合的应用．1．正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋AD →|为( ) A ．1 B. 2 C ．3D ．2 2【解析】 ∵AB →＋AD →＝AC →，∴|AB →＋AD →|＝|AC →|＝2，故选B. 【答案】 B2．下列说法正确的是( ) A ．0＋0＝0B ．对任意向量a ，b ，都有a ＋b ＝b ＋aC ．对任意向量a ，b ，有|a ＋b |>0D ．等式|a ＋b |＝|a |＋|b |不可能成立【解析】 ∵0＋0＝0，∴A 不正确；|a ＋b |≥0，∴C 不正确；当a ，b 同向共线时，|a ＋b |＝|a |＋|b |成立，∴D 不正确；B 正确，故选B. 【答案】 B3．化简AB →－DC →－AD →＝________. 【解析】 原式＝AB →－(AD →＋DC →) ＝AB →－AC →＝CB →. 【答案】 CB →图2－2－54．如图2－2－5，已知一点O 到平行四边形ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别为a 、b 、c ，试用a ，b ，c 表示向量OD →.【解】 OD →＝OA →＋AD →。

第二章平面向量教学设计人教A版数学必修4一、教材分析向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景和深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具. 在数学和物理中都有广泛的应用．在本单元中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学及物理中的一些问题.发展运算能力和解决实际问题的能力．1．本单元的教学内容的范围（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。

（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。

②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。

③了解向量的线性运算性质及其几何意义。

（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义。

②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。

③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。

④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

（4）平面向量的数量积①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。

④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

（5）向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

本章知识结构如下：平面向量、实际背景向量及其基本概念线性运算向量的数量积基本定理坐标表示向量的应用根据数学知识的发展过程与学生的认知过程安排内容向量是高中数学课程近年来引进的新内容，为了保证其科学性，同时又易于被学生接受，根据向量知识的发展过程和学生的思维规律，根据“标准”对向量内容的定位，并考虑到学生在数及其运算中建立起来的经验，本章按照如下次序来编排：向量的实际背景及基本概念一向量的线性运算一平面向量基本定理及坐标表示一向量的数量积一向量应用举例.课标要求的具体化和深广度分析①平面向量的实际背景及基本概念《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．如：用向量a，则-a表示____．一辆汽车从A地出发向西行驶了100km，到达B地，可以用向量a表示，那么从B地出发到A达地应如何表示？向量a，b都是非零向量，下面说法不正确的是（）（A）向量a与b反向，则向量a+b与向量a的方向可能相同（B）向量a与b反向，则向量a+b与向量b的方向可能相同（C）向量a与b反向，且a b>，则向量a+b与向量a的方向可能相同（D）向量a与b反向，且a b<，则向量a+b与向量a的方向可能相同理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量②向量的线性运算《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义．②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义．③了解向量的①如：若向量a表示向东走了2km，b表示向南走了1km，则a-b表示___________．已知下列各式①AB BC CA++；②AB MB BO OM+++；③OA OB BO CO+++；④AB AC BD CD-+-；①掌握向量的加法与减法，并理解其几何意义．②掌握实数与向量的积的运算，理解两个向量共线的充要条件．③会进行向量的线性运算．线性运算性质及其几何意义．其中结果为零向量的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）4②已知向量a，b满足AB =a+2b，BC =-5a+6b，CD =7a-2b，则一定共线的三点是（）（A）A，B，D （B）A，B，C（C）B，C，D （D）A，C，D③如：在ABC∆中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于O，设AB =a，AC =b，用a，b表示向量AO．③平面向量的基本定理及坐标表示《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．①如：某人在静水中游泳，速度为每小时3km，水流的速度为每小时4km，如果他要垂直游到对岸，则他的实际速度是多少？②如：已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(-2，1)，B（3，4），C（-1，3），则顶点D的坐标为___________．③如：已知(0,1)A，(3,4)B-且点C在AOB∠的平分线上，若2OC=，则向量OC=_________．④已知向量(,12)OA k=，(4,5)OB=，(,10)OC k=-且A，B，C三点共线，则k=_________．①了解平面向量的基本定理②理解平面向量的坐标的概念③掌握平面向量的坐标运算④理解两个向量共线的充要条件④平面向量的数量积《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②体会平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．①如：用两根夹角为120角的等长的绳子悬挂一个灯具，若灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力大小是_________．②如：已知点(0,1)A-，(2,2)B，(4,6)C-，则AB在AC上的投影的值为_________．③如：a=（-3，2），b=（-4，k），若（5a-b）⋅（3a-b）=55，求实数k的值．④如：两单位向量a，b的夹角为60，则两向量p=2a+b与q=3a+2b的夹角为_________．换垂直的题①明确平面向量数量积的定义、数学表达式及其几何意义②明确向量b在向量a的方向上的投影③掌握数量积的公式，能进行数量积的运算④明确两向量夹角的意义，掌握两向量垂直的充要条件，能用两种形式表示向量垂直的充要条件．⑤向量的应用《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算如图，在平行四边形ABCD中，13DE DC=，AE与BD交于F，用向量的方法证明：14DF DB=．掌握平面两点间的距离公式、掌握线段的定比分点和中点坐标公式、平移公式，并能熟练运用，会用平面向量数量积处理长度、角度等有关问题能力和解决实际问题的能力．ABCD E F实际问题如：一条河的两岸平行，河的宽度为0.4km ，一艘船从一岸边的A 处出发驶向对岸，已知船速为15kmv h =，水速为23kmv h =，欲使航行最短，则所用时间为_________．（2）本单元变化之处①删繁就简，降低了知识的难度 ②调整章节，凸显了知识的框架 ③贴近生活，重视了知识的应用 （3）人教B 版向量一章的教材特点强调向量法的基本思想，明确向量运算及运算律的核心地位向量具有明确的几何背景，向量的运算及运算律具有明显的几何意义，因此涉及长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决.另外，向量及其运算(运算律)与几何图形 的性质紧密相联，向量的运算(包括运算律)可以用图形直观表示，图形的一些性质也可以用向量的运算(运算律)来表示.例如，平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，而向量的加法及其交换律(=+a b b +a )又可以表示平行四边形的性质(在平行四边形AB ∥CD 中，AD ∥BC ，AB ∥CD ，ABD ∆≌CBD ∆).这样，建立了向量运算(包括运算律)与几何图形之间的关系后，可以使图形的研究推进到有效能算的水平，向量运算(运算律)把向量与几何、代数有机地联系在一起.几何中的向量方法与解析几何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量运算”来代替解析几何中的“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.如果把解析几何的方法简单地表述为 [形到数]——[数的运算]——[数到形]， 则向量方法可简单地表述为[形到向量]——[向量的运算]——[向量和数到形].教科书特别强调了向量法的上述基本思想，并根据上述基本思想明确提出了用向量法解决几何问题的“三步曲”.为了使学生体会向量运算及运算律的重要性，教科书注意引导学生在解决具体问题时及时进行归纳，同时还明确使用了“因为有了运算，向量的力量无限；如果没有运算，向量只是示意方向的路标”的提示语.说明：由于我们按照必修1，必修4的顺序进行教学，因此向量法这种解决问题的方法就显得尤其重要，他为今后学习解析法奠定了基础。

第二章平面向量第1课时平面向量的实际背景及基础概念【知识与技能】1.理解平面向量、有向线段的概念，掌握向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量共线向量等概念3.会辨认图形中的相等向量;4.清楚认识现实生活中的向量和数量两个不同概念，把握其本质区别，提高辨识能力. 【过程与方法】向量的概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量关系的运算.向量不同于数量，它是一种新的量，既有大小又有方向，关于数量的运算在向量范围内不一定适用.因此，本章在介绍向量概念时，说明了向量与数量的区别.本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念.本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形来区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.一、教学目标1．理解向量、零向量、单位向量、相等向量的意义，并能用数学符号表示向量；2．理解向量的几何表示，会用字母表示向量；3．了解平行向量、共线向量、和相等向量的意义，并会判断向量的平行、相等、共线；4．通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生进行唯物辩证思想.二、教学重点⑴向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示．⑵向量是一种新的量，其特征有两个:既有大小,又有方向.让学生认识到方向性的存在是认识向量概念的关键，还要让学生理解向量和数量的区别联系，建立一种新的量的思维体系．⑶相等向量只与方向、大小有关，与位置没有关系，进一步理了解学习的向量是自由向量，为以后运用向量解决平面数形问题奠定基础．三、教学难点⑴向量概念的理解．由于向量是一种新的量，与以前的数量是不同的体系，两者之间既有联系又有区别；⑵引入向量概念之后,随之带来一系列相关概念是比较多的,如零向量,单位向量,相等向量,平行向量,共线向量.对于它们要抓住本质特征,让学生在比较中找出相近概念的区别与联系,而且由于向量同时具有几何图象的特征,在学习时还要在图形中辩清它们相等、平行,且图形还可以从简单到复杂逐步分清向量所对应的有向线段的身份、地位和作用.四、教学具准备直尺、投影仪．五、教学过程㈠设置情境问：（边画图边讲解）美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹（精度10米左右，射程超过2000公里），试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标？答：不能，因为没有给定发射的方向．问：现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？答：力、速度、加速度等有大小也有方向，温度和长度只有大小没有方向．㈡向量的概念：力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量，我们把既有大小又有方向的量叫做向量．数学中用点表示位置，用射线表示方向．常用一条有向线段表示向量．在数学中，通常用点表示位置，用射线表示方向．（1）意义：既有大小又有方向的量叫向量。

第1课时§2.1 平面向量的实际背景及基本概念1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．向线段的起点无关．．．．．．．．. A(起点)B（终点）aOABaaa bb b7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.第2课时§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=，规定： a + 0-= 0 + a探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到A BCa +ba +baa b b aｂｂ ａan 个向量连加３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：a +b =b +a ５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) =AD BD AB =+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.第3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1． 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = aOabBa ba -b作法：在平面内取一点O ， 作= a ， = b 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒AB 表示a - b .强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.4． 探究：１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a.２）若a ∥b ， 如何作出a - b ？2.3平面向量的基本定理及坐标表示第4课时§2.3.1 平面向量基本定理复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ（1）|λa ρ|=|λ||a ρ|；（2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λO ABa B’b-b bBa + (-b )a b a -bA ABBB’Oa -b a a bbO AOBa -ba -b BA O-ba ρ=2．运算定律结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ；分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ， λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ3. 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ.平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e . 探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量第5课时§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量 二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x . 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定.设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则ba +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= （2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=第6课时§2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、复习引入： 1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 二、讲解新课：a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a ρ=(x 1， y 1) ，b ρ=(x 2， y 2) 其中b ρ≠a ρ.由a ρ=λb ρ得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ρ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ρ∥b ρ (b ρ≠0)01221=-=⇔y x y x ba λ§2.4平面向量的数量积第7课时一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ.2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=5．a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得OP =b a b a λλλλλ+++=++1111.10．力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角. 二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. ⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两C个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅c a = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |. 4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a ba ⋅5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |第8课时二、平面向量数量积的运算律一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a = |b ||a |cos θ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )C证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ，λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ， a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ.3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos θ = |a | cos θ1 + |b | cos θ2∴| c | |a + b | cos θ =|c | |a | cos θ1 + |c | |b | cos θ2， ∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b 即：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | C5．平面向量数量积的运算律交换律：a ⋅ b = b ⋅ a数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅. 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+= 又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x += 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=。

§2、1 平面向量得实际背景及基本概念1、数量与向量得区别:数量只有大小,就是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小、 2、向量得表示方法:①用有向线段表示;②用字母ａ、ｂ(黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段得起点与终点字母:;④向量得大小――长度称为向量得模,记作||、3、有向线段:具有方向得线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度、 向量与有向线段得区别:(1)向量只有大小与方向两个要素,与起点无关,只要大小与方向相同,则这两个向量就就是相同得向量;(2)有向线段有起点、大小与方向三个要素,起点不同,尽管大小与方向相同,也就是不同得有向线段、4、零向量、单位向量概念:①长度为0得向量叫零向量,记作0、 0得方向就是任意得、 注意0与0得含义与书写区别、②长度为1个单位长度得向量,叫单位向量、说明:零向量、单位向量得定义都只就是限制了大小、 5、平行向量定义:①方向相同或相反得非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行、说明:(1)综合①、②才就是平行向量得完整定义;(2)向量ａ、ｂ、ｃ平行,记作ａ∥ｂ∥ｃ、6、相等向量定义:长度相等且方向相同得向量叫相等向量、说明:(1)向量ａ与ｂ相等,记作ａ＝ｂ;(2)零向量与零向量相等;(3)任意两个相等得非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段得起．．．．．．．点无关．．．、 7、共线向量与平行向量关系:平行向量就就是共线向量,这就是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线．．．．段得起点无关．．．．．．)．、 说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线得位置关系;(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上得线段得位置关系、§2、2、1 向量得加法运算及其几何意义A(起点)B(终点)aO ABaaa bb b二、探索研究:１、向量得加法:求两个向量与得运算,叫做向量得加法、 ２、三角形法则(“首尾相接,首尾连”)如图,已知向量a 、ｂ、在平面内任取一点,作＝a ,＝ｂ,则向量叫做a 与ｂ得与,记作a ＋ｂ,即 a ＋ｂ,规定: a + 0-= 0 + a探究:(1)两相向量得与仍就是一个向量;(2)当向量与不共线时,+得方向不同向,且|+|<||+||;(3)当与同向时,则+、、同向,且|+|=||+||,当与反向时,若||>||,则+得方向与相同,且|+|=||-||;若||<||,则+得方向与相同,且|+b|=||-||、(4)“向量平移”(自由向量):使前一个向量得终点为后一个向量得起点,可以推广到n 个向量连加 ３.例一、已知向量、,求作向量+ 作法:在平面内取一点,作 ,则、 ４.加法得交换律与平行四边形法则问题:上题中+得结果与+就是否相同？ 验证结果相同从而得到:１)向量加法得平行四边形法则(对于两个向量共线不适应)２)向量加法得交换律:+=+ ５.向量加法得结合律:(+) +=+ (+) 证:如图:使, , 则(+) +=,+ (+) = ∴(+) +=+ (+)从而,多个向量得加法运算可以按照任意得次序、任意得组合来进行、第3课时§2、2、2 向量得减法运算及其几何意义1． 用“相反向量”定义向量得减法aA BCa +ba +baab b aｂｂ ａa(1) “相反向量”得定义:与a 长度相同、方向相反得向量、记作 -a (2) 规定:零向量得相反向量仍就是零向量、-(-a ) = a 、 任一向量与它得相反向量得与就是零向量、a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量,则a = -b , b = -a , a + b = 0 (3) 向量减法得定义:向量a 加上得b 相反向量,叫做a 与b 得差、 即:a - b = a + (-b ) 求两个向量差得运算叫做向量得减法、 2． 用加法得逆运算定义向量得减法: 向量得减法就是向量加法得逆运算: 若b + x = a ,则x 叫做a 与b 得差,记作a - b 3． 求作差向量:已知向量a 、b ,求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法:在平面内取一点O , 作= a , = b则= a - b 即a - b 可以表示为从向量b 得终点指向向量a 得终点得向量、4． 探究:１）如果从向量a 得终点指向向量b 得终点作向量,那么所得向量就是b - a 、２)若a ∥b, 如何作出a - b §2、3、1平面向量基本定理复习引入:1.实数与向量得积:实数λ与向量得积就是一个向量,记作:λ(1)|λ|=|λ|||;(2)λ>0时λ与方向相同;λ<0时λ与方向相反;λ=0时λ= 2.运算定律结合律:λ(μ)=(λμ) ;分配律:(λ+μ)=λ+μ, λ(+)=λ+λ3、 向量共线定理 向量与非零向量共线得充要条件就是:有且只有一个非零实数λ,使=λ、平面向量基本定理:如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2、 探究:OabBa ba -b a -bA ABBB’Oa -b a ab bO AOBa -ba -b BA O-b(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量得一组基底;(2) 基底不惟一,关键就是不共线;(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２得条件下进行分解;(4) 基底给定时,分解形式惟一、λ1,λ2就是被,,唯一确定得数量§2、3、2—§2、3、3 平面向量得正交分解与坐标表示及运算一、复习引入:1.平面向量基本定理:如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量得一组基底;(2)基底不惟一,关键就是不共线;(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２得条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式惟一、λ1,λ2就是被,,唯一确定得数量二、讲解新课:1.平面向量得坐标表示如图,在直角坐标系内,我们分别取与轴、轴方向相同得两个单位向量、作为基底、任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得…………○1我们把叫做向量得(直角)坐标,记作…………○2其中叫做在轴上得坐标,叫做在轴上得坐标,○2式叫做向量得坐标表示、与相等得向量得坐标也为．．．．．．．．．．．、特别地,,,、如图,在直角坐标平面内,以原点O为起点作,则点得位置由唯一确定、设,则向量得坐标就就是点得坐标;反过来,点得坐标也就就是向量得坐标、因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都就是可以用一对实数唯一表示、2.平面向量得坐标运算(1) 若,,则,两个向量与与差得坐标分别等于这两个向量相应坐标得与与差、设基底为、,则即,同理可得(2)若,,则一个向量得坐标等于表示此向量得有向线段得终点坐标减去始点得坐标、=-=( x2, y2) - (x1,y1)= (x2- x1, y2- y1)(3)若与实数,则、实数与向量得积得坐标等于用这个实数乘原来向量得相应坐标、设基底为、,则,即第6课时§2、3、4 平面向量共线得坐标表示一、复习引入:1.平面向量得坐标表示分别取与轴、轴方向相同得两个单位向量、作为基底、任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得把叫做向量得(直角)坐标,记作其中叫做在轴上得坐标,叫做在轴上得坐标, 特别地,,,、2.平面向量得坐标运算若,,则,,、若,,则二、讲解新课:∥(≠)得充要条件就是x1y2-x2y1=0设=(x1, y1) ,=(x2, y2) 其中≠、由=λ得, (x1, y1) =λ(x2, y2) 消去λ,x1y2-x2y1=0探究:(1)消去λ时不能两式相除,∵y1, y2有可能为0, ∵≠∴x2, y2中至少有一个不为0(2)充要条件不能写成∵x1, x2有可能为0(3)从而向量共线得充要条件有两种形式:∥(≠)§2、4平面向量得数量积一、平面向量得数量积得物理背景及其含义一、复习引入:1. 向量共线定理向量与非零向量共线得充要条件就是:有且只有一个非零实数λ,使=λ、2.平面向量基本定理:如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ23.平面向量得坐标表示分别取与轴、轴方向相同得两个单位向量、作为基底、任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得把叫做向量得(直角)坐标,记作4.平面向量得坐标运算若,,则,,、若,,则5.∥(≠)得充要条件就是x1y2-x2y1=06.线段得定比分点及λP1, P2就是直线l上得两点,P就是l上不同于P1, P2得任一点,存在实数λ,使=λ,λ叫做点P分所成得比,有三种情况:λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7、定比分点坐标公式:若点P１(x1,y1) ,Ｐ２(x2,y2),λ为实数,且＝λ,则点P得坐标为(),我们称λ为点P分所成得比、8、点P得位置与λ得范围得关系:①当λ＞０时,与同向共线,这时称点P为得内分点、②当λ＜０()时,与反向共线,这时称点P为得外分点、9、线段定比分点坐标公式得向量形式:在平面内任取一点O,设＝ａ,＝ｂ,可得=、10.力做得功:W = |F|⋅|s|cosθ,θ就是F与s得夹角、二、讲解新课:1.两个非零向量夹角得概念已知非零向量ａ与ｂ,作＝ａ,＝ｂ,则∠ＡＯＢ＝θ(０≤θ≤π)叫ａ与ｂ得夹角、说明:(1)当θ＝０时,ａ与ｂ同向;(2)当θ＝π时,ａ与ｂ反向;(3)当θ＝时,ａ与ｂ垂直,记ａ⊥ｂ;(4)注意在两向量得夹角定义,两向量必须就是同起点得、范围0︒≤θ≤180︒C2.平面向量数量积(内积)得定义:已知两个非零向量ａ与ｂ,它们得夹角就是θ,则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ得数量积,记作a⋅b,即有a⋅b= |a||b|cosθ,(０≤θ≤π)、并规定0与任何向量得数量积为0、⋅探究:两个向量得数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量得数量积就是一个实数,不就是向量,符号由cosθ得符号所决定、(2)两个向量得数量积称为内积,写成a⋅b;今后要学到两个向量得外积a×b,而a⋅b就是两个向量得数量得积,书写时要严格区分、符号“·”在向量运算中不就是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替、(3)在实数中,若a≠0,且a⋅b=0,则b=0;但就是在数量积中,若a≠0,且a⋅b=0,不能推出b=0、因为其中cosθ有可能为0、(4)已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bc ⇒ a=c、但就是a⋅b = b⋅c a = c如右图:a⋅b = |a||b|cosβ = |b||OA|,b⋅c = |b||c|cosα = |b||OA|⇒ a⋅b = b⋅c但a≠c(5)在实数中,有(a⋅b)c = a(b⋅c),但就是(a⋅b)c≠a(b⋅c)显然,这就是因为左端就是与c共线得向量,而右端就是与a共线得向量,而一般a与c不共线、3.“投影”得概念:作图定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上得投影、投影也就是一个数量,不就是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ = 0︒时投影为|b|;当θ = 180︒时投影为-|b|、4.向量得数量积得几何意义:数量积a⋅b等于a得长度与b在a方向上投影|b|cosθ得乘积、5.两个向量得数量积得性质:设a、b为两个非零向量,e就是与b同向得单位向量、1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a与b同向时,a⋅b = |a||b|;当a与b反向时,a⋅b = -|a||b|、特别得a⋅a = |a|2或4︒cosθ =5︒|a⋅b| ≤|a||b|二、平面向量数量积得运算律一、复习引入:1.两个非零向量夹角得概念已知非零向量ａ与ｂ,作＝ａ,＝ｂ,则∠ＡＯＢ＝θ(０≤θ≤π)叫ａ与ｂ得夹角、2.平面向量数量积(内积)得定义:已知两个非零向量ａ与ｂ,它们得夹角就是θ,则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ得数量积,记作a⋅b,即有a⋅b = |a||b|cosθ,(０≤θ≤π)、并规定0与任何向量得数量积为0、3.“投影”得概念:作图C 定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上得投影、投影也就是一个数量,不就是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ = 0︒时投影为|b|;当θ = 180︒时投影为-|b|、4.向量得数量积得几何意义:数量积a⋅b等于a得长度与b在a方向上投影|b|cosθ得乘积、5.两个向量得数量积得性质:设a、b为两个非零向量,e就是与b同向得单位向量、1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ; 2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a与b同向时,a⋅b = |a||b|;当a与b反向时,a⋅b = -|a||b|、特别得a⋅a = |a|2或4︒cosθ = ;5︒|a⋅b| ≤|a||b|二、讲解新课:平面向量数量积得运算律1.交换律:a⋅b = b⋅a证:设a,b夹角为θ,则a⋅b = |a||b|cosθ,b⋅a = |b||a|cosθ∴a⋅b = b⋅a2.数乘结合律:(a)⋅b =(a⋅b) = a⋅(b)证:若> 0,(a)⋅b =|a||b|cosθ, (a⋅b) =|a||b|cosθ,a⋅(b) =|a||b|cosθ,若< 0,(a)⋅b =|a||b|cos(π-θ) = -|a||b|(-cosθ) =|a||b|cosθ,(a⋅b) =|a||b|cosθ,a⋅(b) =|a||b|cos(π-θ) = -|a||b|(-cosθ) =|a||b|cosθ、3.分配律:(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c在平面内取一点O,作= a, = b,= c, ∵a + b (即)在c方向上得投影等于a、b在c方向上得投影与,即|a + b| cosθ = |a| cosθ1 + |b| cosθ2∴| c | |a + b| cosθ =|c| |a| cosθ1 + |c| |b| cosθ2, ∴c⋅(a + b) = c⋅a + c⋅b即:(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c说明:(1)一般地,(ａ·ｂ)с≠ａ(ｂ·с)(2)ａ·с＝ｂ·с,с≠0ａ＝ｂ(3)有如下常用性质:ａ２＝｜ａ｜２,(ａ＋ｂ)(с＋ｄ)＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、平面向量数量积得坐标表示、模、夹角一、复习引入:1.两个非零向量夹角得概念已知非零向量ａ与ｂ,作＝ａ,＝ｂ,则∠ＡＯＢ＝θ(０≤θ≤π)叫ａ与ｂ得夹角、2.平面向量数量积(内积)得定义:已知两个非零向量ａ与ｂ,它们得夹角就是θ,则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ得数量积,记作a⋅b,即有a⋅b = |a||b|cosθ,(０≤θ≤π)、并规定0与任何向量得数量积为0、3.向量得数量积得几何意义:数量积a⋅b等于a得长度与b在a方向上投影|b|cosθ得乘积、4.两个向量得数量积得性质:设a、b为两个非零向量,e就是与b同向得单位向量、1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ; 2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a与b同向时,a⋅b = |a||b|;当a与b反向时,a⋅b = -|a||b|、特别得a⋅a = |a|2或4︒cosθ = ;5︒|a⋅b| ≤|a||b|5.平面向量数量积得运算律交换律:a⋅b = b⋅a数乘结合律:(a)⋅b =(a⋅b) = a⋅(b)分配律:(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c二、讲解新课:⒈平面两向量数量积得坐标表示已知两个非零向量,,试用与得坐标表示、设就是轴上得单位向量,就是轴上得单位向量,那么,所以又,,,所以这就就是说:两个向量得数量积等于它们对应坐标得乘积得与、即2、平面内两点间得距离公式一、设,则或、(2)如果表示向量得有向线段得起点与终点得坐标分别为、,那么(平面内两点间得距离公式)二、向量垂直得判定设,,则三、两向量夹角得余弦()co sθ =。

aaa平面向量复习教案一、教学目标1．知识与技能：通过复习本章知识点，提高综合运用知识的能力”. 2．过程与方法：通过知识回顾，例题分析，强化训练，体现向量的工具作用. 3．情感态度与价值观：通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段. 三、重点难点教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题. 教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题. 四、教学设想一、基础知识：（一）平面向量的计算及其性质： （1）+=+；（2）（-+=-；平行四边形法则三角形法则（3）)(,≠=λ⇔和共线；（4的模（即长度）0≥（5+≤+≤-+≤-≤-。

（6）θcos =⋅，其中θ为向量a 和b 的夹角。

==（7）()()⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+；那么()()___=+⋅- （8）⊥⇔=⋅0 （二）向量的坐标表示和运算：在平面中，若,不共线（可作为平面的一组基底），则任意向量，有且只有一组数（y x ,）使得y x +=当我们选定的一组基为直角坐标系上两互相垂直的单位向量和j ，则平面任意向量c 可以表示成j y i x c +=，那么任意向量和坐标平面上的一个点坐标相对应，如图所示，即),(y x =， （1）设),(),,(2211y x y x ==则=+=-=λ=⋅=；若//，则；⊥，则；（填坐标关系）（2）已知点),(11y x A 、),(22y x B 则向量==； 二、例题选讲 （一）加减运算例1、（1）在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（）A ．2133b c + B ．5233c b -C ．2133b c - D ．1233b c +（2）已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC --→--→--→+=+.若存在实数m 使得AB AC AM m --→--→--→+=成立，则m=（）A ．2B ．3C ．4D ．5（3）已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =，则顶点D 的坐标为（） A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)，练习：1、如图1所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD = A.12BC BA -+B. 12BC BA -- C. 12BC BA - D. 12BC BA + 2、在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =_______。

人教版高中必修4 第二章平面向量课程设计课程目标通过该课程的学习，学生将会了解和掌握以下内容：1.平面向量的概念和性质；2.平面向量的运算；3.使用平面向量解决几何问题。

课程重点平面向量的运算和几何应用是本章的重点。

课程难点学生在学习本章时可能会遇到如下难点：1.对平面向量的概念和性质不够熟悉；2.平面向量的运算理论较多，需要认真掌握；3.平面向量的几何应用需要理论和实际操作相结合。

课程过程第一节：平面向量的概念和性质1.引导学生认识平面向量的概念；2.讲解平面向量的性质，并给出相关例题进行巩固；3.通过小组合作方式，帮助学生理解和运用平面向量的概念和性质。

第二节：平面向量的运算1.讲解平面向量的加法和减法运算，以及相关的性质和规律；2.给出相关的例题进行巩固；3.引导学生理解平面向量在平面上的几何意义。

第三节：平面向量的数乘运算1.引导学生认识平面向量的数乘运算；2.讲解平面向量的数乘运算规律和性质，并给出相关例题进行巩固。

第四节：平面向量的数量积与向量积1.讲解平面向量的数量积和向量积的概念和性质；2.给出相关的例题进行巩固；3.引导学生理解平面向量的数量积和向量积在几何中的应用。

第五节：平面向量在几何中的应用1.通过一些实际问题，引导学生理解平面向量在几何中的应用；2.帮助学生掌握使用平面向量解决几何问题的方法；3.给出相关例题进行巩固，并加强学生的实际操作能力。

课程方式本课程将采用以下方式进行教学：1.讲授：教师讲解理论知识，引导学生思考；2.合作：学生以小组为单位进行合作，互相交流、讨论和解决问题；3.实践：通过一些实际问题，帮助学生掌握平面向量在几何中的应用；4.检测：通过测试、练习、作业等方式对学生的学习情况进行检测。

考核方式本章的考核方式包括以下几个方面：1.思考问题：学生需要对某些问题展开思考；2.作业：针对本章的知识点布置作业；3.测试：对学生本章知识点进行测试；4.课堂表现：学生能否认真听课、积极发言、参与合作等。

人教版高中必修4第二章平面向量教学设计一、教学目标1.理解平面向量的概念和性质；2.掌握平面向量的加法、减法及数量积运算；3.熟练掌握平面向量在几何问题中的应用。

二、教学内容1. 平面向量的概念和性质1.平面向量的定义；2.平面向量的模长、方向和单位向量；3.平行向量和相等向量；4.平面向量的线性运算。

2. 平面向量的加法和减法1.平面向量加法的定义和性质；2.平面向量减法的定义和性质；3.平面向量的加法和减法规律。

3. 平面向量的数量积1.平面向量的数量积的定义；2.平面向量的数量积的性质；3.平面向量的数量积计算方法。

4. 平面向量的应用1.平面向量在几何中的应用，如向量的坐标、向量的共线和平行、向量的垂直、向量的夹角等；2.平面向量在物理力学中的应用。

三、教学方法1.示范法教学，通过举例进行说明；2.对比法教学，让学生了解和区分各概念之间的关系；3.互动式教学，促进学生的参与和主动性；4.实践性教学，通过练习和应用提高学生的能力。

四、教学重点和难点1. 教学重点1.平面向量的概念和性质；2.平面向量的加法、减法及数量积运算；3.平面向量在几何问题中的应用。

2. 教学难点1.平面向量在实际应用中的抽象概念；2.平面向量的加法、减法及数量积的计算。

五、教学步骤1. 导入环节通过举一些实际问题引入平面向量的概念，让学生了解平面向量在实际生活中的应用。

2. 知识讲解1.平面向量的概念和性质；2.平面向量的加法、减法及数量积运算；3.平面向量在几何问题中的应用。

3. 实例讲解分别给出一些实例，让学生通过举例进行了解和习题练习。

4. 练习检验通过课堂练习来检验学生的掌握程度，同时也可以在课后留下作业来进一步巩固学生的知识点。

六、教学资源1.人教版高中数学必修4教材；2.数学教学PPT和实例练习；3.数学教学视频和在线练习。

七、教学评估1.通过平时练习成绩的评测来检验学生的理论掌握和计算能力；2.通过单元测试和模拟考试来评估学生的整体学习效果。

第二章平面向量第12课时复习课一、教学目标1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。

2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

4. 了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a|2+|b|2)=|a－b|2+|a+b|2.5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向量的坐标概念和坐标表示法7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）8. 数量积（点乘或内积）的概念，a·b=|a||b|cos =x1x2+y1y2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、知识与方法向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直三、典型例题例1.对于任意非零向量a与b，求证：｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜证明：(1)两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a，b的方向都不同，并且｜a｜-｜b｜＜｜a±b｜＜｜a｜+｜b｜(3)两个非零向量a与b共线时，①a与b同向，则a+b的方向与a.b相同且｜a+b｜=｜a｜＋｜b｜.②a与b异向时，则a+b的方向与模较大的向量方向相同，设|a|＞|b|，则|a+b|=|a|-|b|.同理可证另一种情况也成立。

例2 已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA=a，OB=b，OC=c，且|a|=2，|b|=1，| c|=3，用a与b表示c i j解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中i, j是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），设A （x ，y ），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A （1，-3），也就是a =i －3j , b =j ， c =-3i 所以-3a =33b +c |即c =3a －33b例3.下面5个命题：①|a ·b |=|a |·|b |②(a ·b )2=a 2·b 2③a ⊥(b －c )，则a ·c =b ·c ④a ·b =0，则|a +b |=|a －b |⑤a ·b =0，则a =0或b =0，其中真命题是（ ） A ①②⑤ B ③④ C ①③ D ②④⑤巩固训练1.下面5个命题中正确的有（ ） ①a =b ⇒a ·c =b ·c ； ②a ·c =b ·c ⇒a =b ；③a ·（b +c ）=a ·c +b ·c ； ④a ·（b ·c ）=（a ·b ）·c ； ⑤b a a ba 2=⋅.A..①②⑤B.①③⑤C. ②③④D. ①③2.下列命题中，正确命题的个数为（ A ） ①若a 与b 是非零向量 ，且a 与b 共线时，则a 与b 必与a 或b 中之一方向相同；②若e 为单位向量，且a ∥e 则a =|a |e ③a ·a ·a =|a |3④若a 与b 共线，a 与c 共线，则c 与b 共线；⑤若平面内四点A.B.C.D ，必有AC +BD =BC +ADA 1B 2C 3D 43.下列5个命题中正确的是①对于实数p,q 和向量a ,若p a =q a 则p=q ②对于向量a 与b ，若|a |a =|b |b 则a =b ③对于两个单位向量a 与b ，若|a +b |=2则a =b ④对于两个单位向量a 与b ，若k a =b ，则a =b4.已知四边形ABCD 的顶点分别为A(2,1)，B(5,4)，C(2,7)，D(-1,4),求证：四边形ABCD 为正方形。

第1课时§2。

1 平面向量的实际背景及基本概念1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用)等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ;④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB ｜.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：(1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量; （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0。

0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。

说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。

5、平行向量定义:①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行。

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义;（2)向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：(1)向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段．．．．．的起点无关．．．．．. 7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．)．。

说明:（1)平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系;（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系。

A(起点)B（终点）aOABaaa bb b第2课时§2。

2.1 向量的加法运算及其几何意义二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

高中数学平面向量教案（精选6篇）为大家收集的高中数学平面向量教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

高中数学平面向量教案精选篇1教学目标1、了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理。

会用基底表示平面内任一向量。

2、掌握向量夹角的定义以及两向量垂直的定义。

学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。

如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备重点难点重点：对平面向量基本定理的探究难点：对平面向量基本定理的理解及其应用教学过程4.1第一学时教学活动活动1【导入】情景设置火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度v＝vx＋vy＝6i＋4j。

活动2【活动】探究已知平面中两个不共线向量e1，e2，c是平面内任意向量，求向量c＝___e1＋___e2（课堂上准备好几张带格子的纸张，上面有三个向量，e1，e2，c）做法：作OA＝e1，OB＝e2，OC＝c，过点C作平行于OB的直线，交直线OA于M；过点C作平行于OA的直线，交OB于N，则有且只有一对实数l1，l2，使得OM＝l1e1，ON＝l2e2。

因为OC＝OM＋ON，所以c＝6 e1＋6e2。

向量c＝__6__e1＋___6__e2活动3【练习】动手做一做请同学们自己作出一向量a，并把向量a表示成：a＝31;31;31;31;____e1＋_____（做完后，思考一下，这样的一组实数是否是唯一的呢？）（是唯一的）由刚才的几个实例，可以得出结论：如果给定向量e1，e2，平面内的任一向量a，都可以表示成a＝入1e1＋入2e2。

活动4【活动】思考问题2：如果e1，e2是平面内任意两向量，那么平面内的任一向量a还可以表示成a＝入1e1＋入2e2的形式吗?生：不行，e1，e2必须是平面内两不共线向量活动5【讲授】平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数l1，l2，使a＝l1e1＋l2e2。