(完整word版)高三一轮复习平面向量复习优秀教案

高三一轮复习--------专题研究 平面向量的综合应用学案一、考向分析1.以客观题形式命制考查向量的概念、线性运算、数量积及几何意义的题目，解答这类题目只需熟悉基本概念、运算、公式即可获解，一般为容易题，这是主要考查方式．2．向量与三角函数、函数、数列、解析几何等的综合．其中对向量的考查仍然是基本运算，通过向量运算，把题目从向量中“脱”出来，转化为其他知识解答．客观题、主观题都可能出，一般为容易题或中等题. 二、例题讲解题型一、向量与平面几何例1、已知ABC ∆的三边长345AC BC AB ===，，, P 为AB 边上任意一点，则()CP BA BC ⋅-u u r u u r u u u r的最大值为 ． 思考题1（1）已知直角梯形ABCD 中，//,90,21AD BC ADC AD BC P ∠===o ，，是腰DC上的动点，则|3|PA PB +u u r u u r的最小值为 ．（2）如图所示，在ABC ∆中，,,||1AD AB BC AD ⊥=u u u r u u r u u u r，则AC AD ⋅=uu u r uuu r ( )A.B.C.D.题型二、向量与三角函数例2、在平面直角坐标系xoy中，已知向量(sin ,cos ),(0,)2m n x x x π==∈u r r .（1） 若m n ⊥u r r ，求tan x 的值；(2)若m u r 与n r 的夹角为3π，求x 的值.题型三、向量与解三角形例3、在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，向量(2sin ,2cos2),m B B =-u r2(2sin (),1)42B n π=+-r ，m n ⊥u r r .（1） 求角B 的大小；(2)若1a b =，求c 的值.思考题3、在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，32,cos 4C A A ==. （1） 求cos ,cos C B 的值；（2）若272BA BC ⋅=uu r uu u r ,求边AC 的长.题型四、向量与解析几何例 4 、若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，则OP FP ⋅uu u r uu r的最大值为（ ）A.2B. 3C. 6D. 8思考题4 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线焦点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若,48AF FB BA BC =⋅=u u u r u u r u u r u u u r,则抛物线的方程为（ ）A. 28y x =B. 24y x =C. 216y x =D. 2y =自主阅读高考调研P97-98 对应训练:1、若O 为空间中一定点，动点P 在,,A B C 三点确定的平面内且满足 ()()0OP OA AB AC -⋅-=u u u r u u r u u u r u u u r,则点P 的轨迹一定过ABC ∆的（ ）A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心2、已知非零向量AB uu u r 与AC uuu r 满足()0||||AB AC BC AB AC +⋅=uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r 且12||||AB AC AB AC ⋅=uu u r uuu ruu u r uuu r ,则ABC ∆为（ ）A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形3、已知O 是平面上一点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++u u u r u u r u u u r u u u r,则点P 的轨迹一定过ABC ∆的（ ）A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 4、在ABC ∆中，动点P 满足222CA CB AB CP =-⋅u u r u u r u u u r u u r,则点P 的轨迹一定过ABC ∆的（ ）A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心。

高三数学一轮复习精品教案――平面向量一、本章知识结构：二、重点知识回顾1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。

任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得axi yj =+ ，),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)= 。

a =；若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=，A B =3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.就是单位向量）4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

②向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。

即：a -b = a+ (-b )；差向量的意义： OA = a, OB =b, 则BA =a- b③平面向量的坐标运算：若11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则a b +),(2121y y x x ++=，a b -),(2121y y x x --=，(,)a x y λλλ= 。

④向量加法的交换律：a +b =b +a ；向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )7．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa =0；（3）运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa +λb8． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa。

《平面向量》一轮复习（文科）教学设计一．考纲要求平面向量是高中数学的新增内容是高考命题的基本素材和主要背景之一，也是近几年高考的热点。

向量有着极其丰富的实际背景，是近代数学中重要和基本的概念之一。

向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它同时具有代数的运算性和几何的直观性，是数形结合的典范。

向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇。

（一）、2016考试说明及解读（二）近三年全国卷部分考题展示：平面向量与解三角形交汇的题目3个选择题和7个填空题，其中有3道题是平面向量与解三角形的交汇（四）考情分析1．考查题型主要是以选择、填空为主，分值为10分左右，基本属容易题，也可以为中档的解答题．2．考查内容主要是平面向量的共线与垂直的充要条件，平面向量的线性运算和数量积运算，平面向量的应用等．（五）高考预测1．预计本章在今后的高考中，还将以向量的线性运算、向量的夹角、模、数量积为命题热点，将更加注重向量与其他知识的交汇，以考查基础知识、基本技能为主．2．题型主要以选择、填空为主，因此训练题的难度多数应该控制在中档即可，要适当增加以向量为载体考查平面几何，三角函数，解析几何，数列，不等式等问题的综合训练．3．对于能力型高考题的准备，向量具有基础知识的特点，是一种工具性和方法性知识，更要立足基本知识，基本方法，基本技能。

二．复习目标1、通过平面向量的线性运算和数量积运算，强化对平面向量基本概念的理解及提高向量运算求解能力。

2、通过向量与其它知识交汇的题型，体会向量的工具性作用。

特别是要关注向量与三角函数、解三角形、解析几何的结合。

3、关注数学思想方法在本章中的渗透：思想方法：数形结合的思想、类比的思想、分类讨论的思想、化归的思想、函数与方程的思想等。

解题方法：基向量法、坐标法、待定系数法、几何作图法、函数法等。

三．专题知识体系构建的方法与总体构思（复习计划）（一）进度安排本专题共有四讲内容：第一讲平面向量的概念及其线性运算第二讲平面向量基本定理及坐标表示第三讲平面向量的数量积第四讲平面向量应用举例前三讲每讲3课时，第四讲4课时，包括作业评讲，测试及评讲，共需两周时间。

5.1 平面向量的概念及线性运算『课前 考点引领』考情分析考点新知① 了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义. ② 掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理. ③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义． 掌握向量加、减法、数乘的运算，以及两个向量共线的充要条件.『知识清单』1. 向量的有关概念(1) 向量：既有 又有 的量叫做向量，向量AB →的大小叫做向量的 (或模)，记作|AB →|.(2) 零向量： 的向量叫做零向量，其方向是 的． (3) 单位向量：长度等于 的向量叫做单位向量．(4) 平行向量：方向 或 的 向量叫做平行向量．平行向量又称为 ，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量 ．(5) 相等向量：长度 且方向 的向量叫做相等向量．(6) 相反向量：与向量a 长度 且方向 的向量叫做a 的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．2. 向量加法与减法运算 (1) 向量的加法① 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． ② 法则：三角形法则；平行四边形法则． ③ 运算律：a ＋b ＝b ＋a ；(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (2) 向量的减法① 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法． ② 法则：三角形法则． 3. 向量的数乘运算及其几何意义(1) 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ① |λa |＝ ；② 当 时，λa 与a 的方向相同；当 时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0. (2) 运算律：设λ、μ∈R ，则：① λ(μa )＝ ；② (λ＋μ)a ＝ ；③ λ(a ＋b )＝ ． 4. 向量共线定理向量b 与a (a≠0)共线的充要条件是 一个实数λ，使得 ．『课中 技巧点拨』『题型精选』题型1 平面向量的基本概念 例1 给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a |＝|b |，则a ＝b ；③ 若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形； ④ 在ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤ 若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号)备选变式（教师专享）设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |·a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题个数是________．题型2 向量的线性表示例2 平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.变式训练在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.题型3 共线向量例3 设两个非零向量a 与b 不共线．(1) 若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2) 试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．备选变式（教师专享）已知a 、b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )，当A 、B 、C 三点共线时λ、μ满足的条件为________．题型4 向量共线的应用例4 如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．备选变式（教师专享）如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP→＝QA →，试确定λ的值．『疑难指津』1. 解决与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：①模相等；②方向相同．2. 在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例得平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．3. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．答案『知识清单』1. (1)大小 方向 长度 (2) 长度为0 任意 (3) 1个单位长度(4) 相同 相反 非零 共线向量 平行 (5) 相等 相同 (6) 相等 相反3. (1)① |λ||a| ②λ>0 λ<0 (2)① (λμ)a ②λa ＋μa ；③λa ＋λb4.有且只有 b ＝λa 例1『答案』①②③⑥『解析』两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a 、b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A 、B 、C 、D 在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．备选变式（教师专享） 『答案』3『解析』向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②、③也是假命题，填3.例2解：BA →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .OD →＝a ＋b ，ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b .MN →＝ON →－OM →＝12a －16b .变式训练解：AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝⎝⎛⎭⎫1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2b . 又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋m CF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m2a ＋(1－m )b ，∴ ⎩⎨⎧1－λ＝m2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴ AG →＝13a ＋13b .例3备选变式（教师专享） 『答案』λμ＝1『解析』由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得AB →＝t AC →，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1.例4 『答案』12『解析』如图所示，设M 是AC 的中点，则 OA →＋OC →＝2OM →. 又OA →＋OC →＝－2OB →， ∴ OM →＝－OB →， 即O 是BM 的中点， ∴ S △AOB ＝S △AOM ＝12S △AOC ，即S △AOB S △AOC ＝12. 备选变式（教师专享）解：∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋CN →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.。

高三数学一轮复习 2.3 平面向量学案第三讲平面向量【最新考纲透析】1．平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景。

（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。

（3）理解向量的几何意义。

2．向量的线性运算（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。

（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。

（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。

3．平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义。

（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。

（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。

（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

4．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。

（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。

（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

5．向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。

（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。

【核心要点突破】要点考向1：向量的有关概念及运算考情聚焦：1．向量的有关概念及运算，在近几年的高考中年年都会出现。

2．该类问题多数是单独命题，考查有关概念及其基本运算；有时作为一种数学工具，在解答题中与其他知识点交汇在一起考查。

3．多以选择、填空题的形式出现，有关会渗透在解答题中。

考向链接：向量的有关概念及运算要注意以下几点：（1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。

（2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻（3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。

例1：（2010·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b p,q)=（，令a ⊙b mq np =-，下面说法错误的是（ ） A.若a 与b 共线，则a ⊙b 0= B. a ⊙b = b ⊙a C.对任意的R λ∈，有()a λ⊙b = (a λ⊙)b D. (a ⊙b )2222()a b a b +⋅= 【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.【思路点拨】根据所给定义逐个验证.【规范解答】选B ，若a 与b 共线，则有a ⊙b 0mq np =-=，故A 正确；因为b ⊙apn qm =-,，而a ⊙b mq np =-，所以有a ⊙b ≠ b ⊙a ，故选项B 错误，故选B.【方法技巧】自定义型信息题1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型.2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性要点考向2：与平面向量数量积有关的问题考情聚焦：1．与平面向量数量积有关的问题（如向量共线、垂直及夹角等问题）是高考考查的重点。

一．课题：向量与向量的初等运算二．教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 三．教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则． 四．教学过程： （一）主要知识：1．向量的概念及向量的表示；2．向量的加法、减法与实数乘向量概念与运算律； 3．两向量共线定理与平面向量基本定理． （二）主要方法：1．充分理解向量的概念和向量的表示； 2．数形结合的方法的应用；3．用基底向量表示任一向量唯一性； 4．向量的特例0和单位向量，要考虑周全．（三）基础训练：1．下列个命题中，真命题的个数为 （ ） ①若||||a b =，则a b =或a b =- ②若AB CD =，则,,,A B C D 是一个平行四边形的四个顶点 ③若,a b b c ==，则a c = ④若//,//a b b c ，则//a c()A 4 ()B 3 ()C 2 ()D 12．在ABC ∆中，已知3BC BD =，则AD = （ ）()A 1(2)3AC AB + ()B 1(2)3AB AC + ()C 1(3)4AC AB + ()D 1(2)4AC AB + 3．化简AB AC BC --= 。

4．边长为1的正方形ABCD 中，设,,AB a AD b AC c ===，则||a b c -+＝ 。

5．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底； ③零向量不可为基底中的向量。

其中正确的说法是：（ ） A ．①，②；B ．②，③；C ．①，③；D ．①，②，③。

（四）例题分析：例1．已知梯形ABCD 中，||2||AB DC =，M ，NAM D CNB分别是DC 、AB 的中点，若AB 1e =，2AD e =，用1e ，2e 表示DC 、BC 、MN ．解：（1）1122eDC AB == （2）211122BC BA AC AB AC AD DC AB AD AB e e =+=-+=+-=-=- （3）1211114244MN MD DA AN AB AD AB AB AD e e =++=--+=-=-例2．（1）设两个非零向量1e 、2e 不共线，如果1223AB e e =+,12623BC e e =+1248CD e e =-,求证：,,A B D 三点共线.（2）设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+,12123,2CB e e CD e e =+=-,若,,A B D 三点共线，求k 的值. （1）证明：因为1212623,48BC e e CD e e =+=-所以121015BD e e =+,又因为1223AB e e =+,得5BD AB = 即//BD AB ,又因为公共点B ,所以,,A B D 三点共线； （2）解：121221324DB CB CD e e e e e e =-=+-+=-122AB e ke =+,因为,,A B D 共线,所以//AB DB设DB AB λ=,所以212k λ=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 即12k =-； 例3． 经过OAB ∆重心G 的直线与,OA OB 分别交于点P ，Q ，设,OP mOA OQ nOB ==，,m n R ∈，求11n m+的值。

4.2 平面向量的坐标表示教学内容：平面向量的坐标表示（2课时）教学目标：掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的线性运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件．教学重点：用坐标表示平面向量、平面向量的线性运算和平面向量共线的条件． 教学难点：平面向量运算的代数化． 教学用具：三角板教学设计：一、知识要点1. 平面向量的坐标表示：),(y x y i x =+=.注：要把点的坐标与向量的坐标区别开来，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才与 该向量终点的坐标一致；当向量的起点不在原点时，向量的坐标是用终点坐标减去起点坐标， 即：若),(11y x A ，),(22y x B ，则),(),(),(12121122y y x x y x y x --=-=.AB OA OB =- 0时, a λ与, a a λ与异向；0a =.)()a a μλμ=向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，从而可使向量的运算代数化，将数与形紧密结合起来．3.重要定理、公式的坐标表示（1）向量长度（模）的坐标表示：若),(11y x =，则22||y x a +=.（2）相等向量的坐标表示：),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x . 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量相等.（3）向量共线定理：若),(11y x a =，),(22y x b =，则∥⇔01221=-y x y x . （4）两点的距离：若),(11y x A ，),(22y x B ，则212212)()(||y y x x -+-=.二、典型例示例1 （1）已知)4,2(-A 、)6,0(B 、)10,8(-C ，求2+，AC BC 21-的坐标. （2）已知 ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为)1,2(-、)3,1(-、)4,3(，求顶点D 、AC 、DB 的坐标．注：运用向量的坐标表示将向量的运算代数化，使得运算更加简捷流畅．例2 （1）若)3,2(=，)1,4(-=y ，且∥，求实数y 的值.（2）若)12,(k =，)5,4(=，)10,(k -=，若A ，B ，C 三点共线， 求实数k 的值.注：本例（2）的切入点是将三点共线的条件转化成向量共线的条件，然后再运用向量共 线定理的坐标表现形式求解.例3平面内给定三个向量)2,3(=，)2,1(-=，)1,4(=， （1）求满足c n b m a +=的实数m 、n 的值； （2）若)(k +∥)2(-，求实数k 的值；（3）若满足)(-∥)(+，且5||=-，求.注：由向量的坐标表示确定向量线性运算的结果，再根据条件列出方程（组）求解． 例4已知)3,2(A 、)4,5(B 、)10,7(C ，若)(R AC AB AP ∈+=λλ，试问λ取何值时，点P 在第三象限？解：设),(y x P ，则)3,2(--=y x AP ，)1,3(=AB ，)7,5(=AC ，由条件有)71,53()7,5()1,3()3,2(λλλ++=+=--y x ，∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x ，即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x ，要使点P 在第三象限，必须有⎩⎨⎧<+<+074055λλ，解得1-<λ，即为所求.注：由向量的坐标表示确定向量线性运算的结果，再根据条件列出不等式（组）求解．三、课堂练习1．已知向量)2,3(=a ，)2,1(-=b ，则b a -2的坐标是（ ） A ．)2,5( B ．)2,7( C ．)6,5( D ．)6,7( 2. 若)2,4(=，)3,(x =，且∥，则x 的值是（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．93．已知向量)4,3(=，)cos ,(sin αα=，且∥，则tan α=（ ） A ．34 B ．34- C ． 43 D ． 43- 4. 设向量)3,1(-=a ，)4,2(-=b ，若表示向量4，23-，的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为（ ）A ．)1,1(-B ．)1,1(-C ．)6,4(-D ．)6,4(-4．已知点O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，)3,2(-=，)5,2(=，则的 坐标为 ；的坐标为 ；的坐标为 ．5．已知)2,1(--A ，)8,4(B ，),5(x C ，若A ，B ，C 三点共线，则x 的值是 .四、课堂小结 五、课外作业1．若)1,1(=a ，)1,1(-=b ，)2,1(-=c ，则= （ ）A ．1322a b -+B ．1322a b - C ． 3122a b - D ． 3122a b -+2. 设)3,2(A ，)5,1(-B ，且AB AC 31=，3=，则C 、D 的坐标分别是（ ） A ．)311,1(，)9,7(- B ．)35,1(，)8,5(-- C ．)37,21(，)7,5(- D ．)38,1(，)9,7(-3. 若三点)1,1(A ，)4,2(-B ，)9,(-x C 共线，则x 的值是 （ ）A ．1-B ．3C ．92D ．51 4. 已知向量)3,2(=a ，)6,(x b =，且a ∥b ，则x 的值为__________．5. 已知向量)12,(k OA =，)5,4(=OB ，)10,(k OC -=，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是 ．6. 已知向量)2,2(-=，),5(k =，若||+不超过5，则k 的取值范围是7. 已知点)2,1(-A ，若向量AB 与)3,2(=同向, ||AB =则点B 的坐标为 . 8. 若)2,1(-A ，)1,2(B ，)2,3(C 和)3,2(-D ，以，为基底表示++. 9. 已知)3,2(--A ，)1,2(B ，)4,1(C 和)4,7(--D ，试问： （1）与是否共线？（2）线段AB 与CD 有怎样的位置关系？ 10. 已知)0,1(=a ，)1,2(=b ， （1）求|3|b a +；（2）当k 为何值时，k -与3+平行，平行时它们是同向还是反向？ 11. 已知向量),(y x u =与)2,(x y y v -=的对应关系用)(f =表示，（1）证明：对于任意向量a ，b 及常数m ，n 恒有)()()(b nf a mf b n a m f +=+成立； （2）设)1,1(=a ，)0,1(=b ，求向量)(f 及)(f 的坐标；（3）求使),()(q p c f =（p ，q 为常数）的向量c 的坐标.。

平面向量复习〔一〕【复习目标】1掌握向量的相关概念:2会进行向量的根本运算3理解平面向量之间关系及平面向量的根本定理【复习重点】向量的根本运算【复习难点】理解平面向量之间关系及平面向量的根本定理复习内容一、向量的相关概念: 1)定义2)重要概念：〔1〕零向量：〔2〕单位向量：〔3〕平行向量：〔4〕相等向量：〔5〕相反向量：3)向量的表示4)向量的模〔长度〕二、向量的运算1）加法：①两个法则②坐标表示减法:①法则②坐标表示，运算律2)实数λ与向量a 的积3)平面向量的数量积：(1)两向量的夹角定义(2)平面向量数量积的定义(3)a在b上的投影(4)平面向量数量积的几何意义〔5〕平面向量数量积的运算律三、平面向量之间关系〔1〕向量平行(共线)条件的两种形式:〔2〕向量垂直条件的两种形式:〔3〕两个向量相等的条件是两个向量的坐标相等.四、平面向量的根本定理注:满足什么条件的向量可作为基底?向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。

重要概念：零向量：长度为0的向量，记作0.〔2〕单位向量：长度为1个单位长度的向量.〔3〕平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量.〔4〕相等向量：长度相等且方向相同的向量.〔5〕相反向量：长度相等且方向相反的向量.一、向量的相关概念〔一〕、向量表示及运算：几何表示，字母表示，坐标表示1、向量的模〔长度〕即向量的大小,记作|a| ；向量的表示方法: _________2、向量的加法: 平行四边形法则；三角形法则(首尾相接)，平行四边形法则，坐标表示:a + b = (x1+ x2，y1+ y2)．运算律：交换律；结合律。

3、向量的减法: 三角形法则(指向被减数)．坐标表示: a - b = (x1- x2，y1- y2)．4、(1)实数与向量的积:λa．规定:1) |λa| =|λ||a| ;2) λ＞0时与a同向; λ＜0时与a反向; λ=0时, λa = 0;坐标表示:λa=(λx，λy)．运算律：λ(μa ) = (λμ)a ; (λ+μ)a = λa +μa ;λ(a + b ) = λa +λ b.5、平面向量的数量积1〕、（1）a与b的夹角：共同的起点（2）向量夹角的范围：[00，1800]〔3〕向量垂直：〔4〕两个非零向量的数量积：• 规定：零向量与任一向量的数量积为0几何意义：数量积a·b等于：2〕、数量积的运算律：⑴交换律：a⋅b=b⋅a⑵对数乘的结合律：(λa)⋅b= λ(a⋅b)=a⋅(λb)⑶分配律：(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c数量积不满足结合律即: (a⋅b)⋅c≠a⋅(b⋅c)3〕、平面向量数量积的重要性质a,b为非零向量，e为单位向量•〔1〕e · a=a·e=|a |cosθ•〔2〕a⊥b的条件是a·b=0(3) 当a与b同向时，a· b = |a | | b | ;当a与b反向时，a·b= - |a | | b特别地：a·a=| a |2或| a | =_____________〔4〕cosθ=〔5〕|a·b| ≤ | a | | b|二、平面向量之间关系向量平行(共线)条件的两种形式:(1)a // b(b≠ 0) ⇔a= λb;(2)a // b(a= (x1 , y1 ), b= (x2 , y2 ), b≠ 0)⇔ x1 y2- x2 y1=0向量垂直条件的两种形式:(1) a⊥b⇔a•b= 0( 2 ) a⊥b⇔a•b=x1x2+y1y2= 0〔3〕两个向量相等的条件是两个向量的坐标相等.那么a=b⇔x1=x2且y1=y2三、平面向量的根本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，则______________例1. a = (1, 2),b = (-3, 2),当k为何值时,( 1) k a + b与a-3 b垂直;(2)k a + b与a-3 b平行, 平行时它们是同向还是反向? 例2.向量a,b 不共线．(1)假设A → B = a -b, B → C= 2 a -8 b, C → B=(a +b ), 求证A 、 B 、D 共线;(2)假设 k a - b 与 a -k b 共线,求实数 k 的值。

专题八平面向量一、考试内容：向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移．二、考试要求：（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．（2）掌握向量的加法和减法．（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式．三、命题热点高考对解析几何的考查主要包括以下内容：平面向量的概念和线性运算、平面向量的数量积、平面向量的应用。

虽然该部分内容在试卷中试题数量多、占有的分值较多，但是试题以考查基础为主，试题的难度一般是中等偏下。

在高考中重点考查：平面向量的数量积、平面向量的几何意义等。

四、知识回顾（一）本章知识网络结构（二）向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法AB ；字母表示：a ；坐标表示法a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜.(4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O .单位向量a O 为单位向量⇔｜a O ｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）⎩⎨⎧==⇔2121y y x x (6)相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量.3.向量的运算运算类型几何方法坐标方法运算性质4.重要定理、公式(1)平面向量基本定理e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)两个向量平行的充要条件a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝O.(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝O.(4)线段的定比分点公式设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ，即P P 1＝λ2PP ，则OP ＝λ+111OP ＋λ+112OP (线段的定比分点的向量公式)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式)当λ＝1时，得中点公式：OP ＝21（1OP ＋2OP ）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x (5)平移公式设点P (x ，y )按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P ′（x ′，y ′），则P O ＝OP +a 或⎩⎨⎧+='+='.,k y y h x x 曲线y ＝f （x ）按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：y －ｋ＝f （x －ｈ)(6)正、余弦定理正弦定理：.2sin sin sin R CcB b A a ===余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .（7）三角形面积计算公式：设△ABC 的三边为a ，b ，c ，其高分别为h a ，h b ，h c ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r .①S △=1/2ah a =1/2bh b =1/2ch c ②S △=Pr ③S △=abc/4R ④S △=1/2sin C ·ab=1/2ac ·sin B=1/2cb ·sin A⑤S △=()()()c P b P a P P ---[海伦公式]⑥S △=1/2（b+c-a ）r a [如下图]=1/2（b+a-c ）r c =1/2（a+c-b ）r b[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3如图：图1图2图3图4图1中的I 为S △ABC 的内心，S △=Pr图2中的I 为S △ABC 的一个旁心，S △=1/2（b+c-a ）r aBIABCDF IAB CDEFr ar ar abca abc C附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.⑸已知⊙O 是△ABC 的内切圆，若BC =a ，AC =b ，AB =c [注：s 为△ABC 的半周长,即2cb a ++]则：①AE=a s -=1/2（b+c-a ）②BN=b s -=1/2（a+c-b ）③FC=c s -=1/2（a+b-c ）综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）.特例：已知在Rt △ABC ，c 为斜边，则内切圆半径r =cb a abc b a ++=-+2（如图3）.⑹在△ABC 中，有下列等式成立C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++.证明：因为,C B A -=+π所以()()C B A -=+πtan tan ，所以C BA BA tan tan tan 1tan tan -=-+，∴结论！⑺在△ABC 中，D 是BC 上任意一点，则DC BD BCBCAB BD AC AD ⋅-+=222.证明：在△ABCD 中，由余弦定理，有 B BD AB BD AB AD cos 2222⋅⋅-+=①在△ABC 中，由余弦定理有 BC AB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222②，②代入①，化简可得，DC BD BCBCAB BD AC AD ⋅-+=222（斯德瓦定理）①若AD 是BC 上的中线，2222221a cb m a -+=；②若AD 是∠A 的平分线，()a p p bc cb t a -⋅+=2，其中p为半周长；③若AD 是BC 上的高，()()()c p b p a p p ah a ---=2，其中p 为半周长.⑻△ABC 的判定：⇔+=222b a c △ABC 为直角△⇔∠A +∠B =2π2c ＜⇔+22b a △ABC 为钝角△⇔∠A +∠B＜2π2c ＞⇔+22b a △ABC 为锐角△⇔∠A +∠B＞2π附：证明：abc b a C 2cos 222-+=，得在钝角△ABC 中，222222,00cos c b a c b a C +⇔-+⇔⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.)2=DACB图5空间向量1．空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下b a AB OA OB+=+=b a OB OA BA-=-=)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：ba b aλλλ+=+)(3共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．4．共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式t OA OP +=a．其中向量a叫做直线l 的方向向量.5．向量与平面平行：已知平面α和向量a，作OA a = ，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的6．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb=+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+ 或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB=++①①式叫做平面MAB 的向量表达式7空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc=++推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC=++8空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b，在空间任取一点O ，作,OA a OB b == ，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <> ；且规定0,a b π≤<>≤ ，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>= ，则称a 与b互相垂直，记作：a b ⊥ .9．向量的模：设OA a = ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a .10．向量的数量积：a b ⋅= ||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a = 和轴l ，e是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B '' 叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影.可以证明A B '' 的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅．11．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<> ．（2）0a b a b ⊥⇔⋅=．（3）2||a a a =⋅．12．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ．（2）a b b a ⋅=⋅ （交换律）（3）()a b c a b a c⋅+=⋅+⋅ （分配律）．空间向量的坐标运算一．知识回顾：（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b b =，则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅a ∥)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔0332211=++⇔⊥b a b a b a222321a a a ++==(a a =⇒⋅=)232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a b a b a ++⋅++++=⋅⋅>=<②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α||||n n AB ②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.A B 五、典型例题例1在下列各命题中为真命题的是()①若=(x 1,y 1)、b =(x 2,y 2)，则a ·b =x 1y 1+x 2y 2②若A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则｜AB ｜=221221)()(y y x x -+-③若a =(x 1,y 1)、b =(x 2,y 2),则a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0④若=(x 1,y 1)、b =(x 2,y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0A 、①②B 、②③C 、③④D 、①④解：根据向量数量积的坐标表示；若=(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)，则a ·b =x 1x 2+y 1y 2，对照命题(1)的结论可知，它是一个假命题、于是对照选择支的结论、可以排除(A)与(D)，而在(B)与(C)中均含有(3)、故不必对(3)进行判定，它一定是正确的、对命题(2)而言，它就是两点间距离公式，故它是真命题，这样就以排除了(C)，应选择(B)、说明：对于命题(3)而言，由于·=0⇔=或=或⊥⇔x 1x 2+y 1y 2=0，故它是一个真命题、而对于命题(4)来讲，⊥⇒x 1x 2+y 1y 2=0、但反过来，当x 1x 2+y 1y 2=0时，可以是x 1=y 1=0，即=，而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定，因此x 1x 2+y 1y 2=0⇒/a ⊥b )，所以命题(4)是个假命题、例2已知a =(－3,－1),b =(1,3)，那么a ，b 的夹角θ=()A 、30°B 、60°C 、120°D 、150°解：a ·b =(－3,－1)·(1，3)=－23｜｜=22)1()3(-+-=2｜｜=22)3(1+=2∴b a =2232⨯-=23-例3已知=(2,1),=(－1,3),若存在向量使得：·=4,·=－9，试求向量的坐标、解：设c =(x ,y ),则由a ·c =4可得：2x +y =4；又由b ·c =－9可得：－x +3y =－9于是有：⎩⎨⎧=+-=+9342y x y x )2()1(由(1)+2(2)得7y =－14,∴y =－2,将它代入(1)可得：x =3∴=(3,－2)、说明：已知两向量，可以求出它们的数量积·，但是反过来，若已知向量及数量积a ·b ，却不能确定b 、例4求向量a =(1,2)在向量b =(2，－2)方向上的投影、解：设向量与的夹角θ、有b a =2222)2(221)2(221-++-⨯+⨯=－1010∴在方向上的投影=｜｜cosθ=5×(－1010)=－22例5已知△ABC 的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC 边上的高AD ，求及点D 的坐标、解：设点D 的坐标为(x ,y )∵AD 是边BC 上的高，∴AD ⊥BC ，∴⊥又∵C 、B 、D 三点共线，∴∥又=(x －2,y －1),=(－6,－3)BD =(x －3,y －2)∴⎩⎨⎧=-+--=----0)3(3)2(60)1(3)2(6x y y x 解方程组，得x =59,y =57∴点D 的坐标为(59，57)，AD 的坐标为(－51，52)例6设向量、满足：｜｜＝｜｜=1，且+=(1，0)，求，、解：∵｜a ｜＝｜b ｜=1，∴可设a =(cosα,sinα),b =(cosβ,sinβ)、∵+=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(1,0)，⎩⎨⎧=+=+)2(0βsin αsin )1(1βcos αcos 由(1)得：cosα=1－cosβ……(3)由(2)得：sinα=－sinβ……(4)∴cosα=1－cosβ=21∴sinα=±23,sinβ= 23⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,2123,21b a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,2123,21b a 例7对于向量的集合A={v =(x ,y )｜x 2+y 2≤1}中的任意两个向量1v 、2v 与两个非负实数α、β；求证：向量α1v +β2v 的大小不超过α+β、证明：设1v =(x 1,y 1)，2v =(x 2,y 2)根据已知条件有：x 21+y 21≤1,x 22+y 22≤1又因为｜α1v +β2v ｜=221221)βα()βα(y y x x ++=)(αβ2)(β)(α21212222221212y y x x y x y x +++++其中x 1x 2+y 1y 2≤2121y x +2222y x +≤1所以｜α1v +β2v ｜≤αβ2βα22++=｜α+β｜=α+β例8已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=21AB 、求证：AC ⊥BC证明：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系、如图，设AD=1则A(0，0)、B(2，0)、C(1，1)、D(0，1)∴BC =(－1,1),AC=(1,1)BC ·AC=－1×1+1×1=0∴BC ⊥AC 、例9已知A(0，a ),B(0,b),(0＜a ＜b)，在x 轴的正半轴上求点C ，使∠ACB最大，并求出最大值、解，设C(x ,0)(x ＞0)则CA =(－x ,a ),CB =(－x ,b)则CA ·CB =x 2+a b 、cos ∠ACB=CBCA CB CA ∙=22222b x a x ab x +++令t=x 2+a b 故cos ∠ACB=11)(1)(1222+∙-+--t b a t b a ab 当t 1=ab 21即t=2a b 时，cos ∠ACB 最大值为ba ab +2、当C 的坐标为(ab ,0)时，∠ACB 最大值为arccosba ab+2、例10如图，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量法证明(1)PA=EF(2)PA ⊥EF证明：建立如图所示坐标系，设正方形边长为1，｜OP ｜=λ,则A(0，1)，P(22λ，22λ)，E(1，22λ)，F(22λ，0)∴PA =(－22λ,1－22λ),EF =(22λ－1,－22λ)(1)｜PA ｜2=(－22λ)2+(1－22λ)2=λ2－2λ+1｜EF ｜2=(22λ－1)2+(－22λ)2=λ2－2λ+1∴｜PA ｜2=｜EF ｜2,故PA=EF (2)PA ·EF =(－22λ)(22λ－1)+(1－22λ)(－22λ)=0∴PA ⊥EF∴PA ⊥EF 、例11已知).1,2(),0,1(==b a1求|3|b a+；②当k 为何实数时,k -ab与b a3+平行,平行时它们是同向还是反向？解：①b a3+=(1,0)+3(2,1)=(7,3),∴|3|b a +=2237+=58.②k -a b=k(1,0)－(2,1)=(k －2,－1).设k -ab=λ(b a3+),即(k －2,－1)=λ(7,3),∴⎩⎨⎧=-=-λ31λ72k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒31λ31k .故k=31-时,它们反向平行.例12已知,1||,2||==b aa与b的夹角为3π,若向量b k a +2与b a +垂直,求k.解：3πcos||||b a b a=⋅=2×1×21=1.∵b k a+2与b a +垂直,∴(b k a+2))(b a +⋅=0 ,∴20222=++⋅+b k b a k b a a ⇒k =－5.例13如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2+c 2=5a 2,BE 、CF 分别为AC 边与AB 上的中线,求证：BE ⊥CF.解：22222222211(),()221()41111[()()(4222BE BA BC CF CB CA BE CF BA BC AB AC BC CB CA BA BC AC AB AC BC BC CA C =+=+∴⋅=-⋅+⋅--⋅=-+-++---+22222222)]11(5)(5)0,88B BA AB AC BC b c a -=+-=+-=∴BE ⊥CF,即BE ⊥CF .例14是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?解：如图所示，在正△ABC 中，O 为其内心，P 为圆周上一点，满足PA ，PB ，，两两不共线，有(PA +PB )·(PC +PO )=(PO +OA +PO +OB )·(PO +OC +PO )=(2PO +OA +OB )·(2PO +OC )=(2PO －OC )·(2PO +OC )=4PO 2－2=4PO 2－2=0有(+)与(+)垂直、同理证其他情况、从而PA ，PB ，PC ，PO 满足题意、故存在这样4个平面向量、利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题例15已知向量321,,OP OP OP 满足条件0321=++OP OP OP1===，求证：321P P P ∆是正三角形解：令O 为坐标原点，可设()()()333222111sin ,cos ,sin ,cos ,sin ,cos θθθθθθP P P 由321OP OP OP -=+，即()()()332211θsin θcos θsin ,θcos θsin ,θcos --=+⎩⎨⎧-=+-=+321321θsin θsin θsin θcos θcos θcos 两式平方和为()11θθcos 2121=+-+，()21θθcos 21-=-，由此可知21θθ-的最小正角为0120，即1OP 与2OP 的夹角为0120，同理可得1OP 与3OP 的夹角为0120，2O P 与3OP 的夹角为0120，这说明321,,P P P 三点均匀分部在一个单位圆上，所以321P P P ∆为等腰三角形.例16求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数①②解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x 轴、y 轴建立直角坐标系，设()()a B a A 2,0,0,2，则()()a C a D ,0,0,，从而可求：()()a a BD a a AC 2,,,2-=-=,()()aa a a a a BDAC BD AC 552,,2θcos ⋅-⋅-===545422-=-a a .⎪⎭⎫⎝⎛-=∴54arccos θ.利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题例17已知ABC ∆，AD 为中线，求证()2222221⎪⎭⎫⎝⎛-+=BC AC AB AD 证明：以B 为坐标原点，以BC 所在的直线为x 轴建立如图2直角坐标系，设()()0,,,c C b a A ，⎪⎭⎫⎝⎛0,2c D ，()22222402b a ac c b a c AD++-=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，221⎪⎭⎝-⎪⎭⎫+BC AC AB .=()442122222222c ac b a c b a c b a +-+=⎦⎤⎢⎣⎡-+-++，=AD 221⎪⎭ ⎝-⎪⎭⎫+BC AC AB ，()2222221⎪⎭⎫⎝⎛-+=BC AC AB AD .利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量例18已知点O 是，，内的一点，090BOC 150AOB =∠=∠∆ABC ,,,OA c OC b OB a ===设,312===c b a 试用.,c b a 表示和解：以O 为原点，OC ，OB 所在的直线为x 轴和y 轴建立如图3所示的坐标系.由OA=2，0120=∠AOx ，所以()(),31-A ,120sin 2,120cos 200，即A ，易求()()3,0C 1-0B ，，，设()()()12121212OA ,-130-13,0-3-1313--3OB OC λλλλλλλλ=+=+⎧==⎧⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩即，，，，133a b c =-- .例19如图，001,OB 120OC OA 30,OC 5OA OB OA === 与的夹角为，与的夹角为，用OA OB ，表示.OC解：以O 为坐标原点，以OA 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，则()0,1A ，()，，即，所以由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∠25235C ,30sin 5,5cos30C 30COA 000⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21B 同理可求()121253513OC ,10-,2222OA OB λλλλ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，，.335λ3310λλ2325λ21-λ23521221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==，OB OA OC 3353310+=∴.利用向量的数量积解决两直线垂直问题例20如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD .(1)求证：C 1C ⊥BD .(2)当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明.(1)证明：设CD =a ,CD =b ,1CC =c ,依题意，|a |=|b |，CD 、CB、1CC中两两所成夹角为θ，于是DB CD BD -==a －b ，BD CC ⋅1=c (a －b )=c ·a －c ·b =|c |·|a |cos θ－|c |·|b |cos θ=0,∴C 1C ⊥BD .(2)解：若使A 1C ⊥平面C 1BD ，只须证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1，由)()(1111CC CD AA CA D C CA -⋅+=⋅=(a +b +c )·(a －c )=|a |2+a ·b －b ·c －|c |2=|a |2－|c |2+|b |·|a |cos θ－|b |·|c |·cos θ=0,得当|a |=|c |时，A 1C ⊥DC 1，同理可证当|a |=|c |时，A 1C ⊥BD ，∴1CC CD=1时，A 1C ⊥平面C 1BD .例21如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.(1)求BN 的长；(2)求cos<11,CB BA >的值；(3)求证：A 1B ⊥C 1M .解：(1)如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O －xyz .依题意得：B (0，1，0)，N (1，0，1)∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.(2)解：依题意得：A 1(1，0，2)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2).∴1BA =1),2,1,1(CB -=(0，1，2)11CB BA ⋅=1×0+(－1)×1+2×2=3|1BA |=6)02()10()01(222=-+-+-5)02()01()00(||2221=-+-+-=CB .1030563||||,cos 111111=⋅=⋅>=<∴CB BC CB BA CB BA(3)证明：依题意得：C 1(0，0，2)，M (2,21,21))2,1,1(),0,21,21(11--==A C ∴,,00)2(21121)1(1111M C B A M C B A ⊥∴=⨯-+⨯+⨯-=⋅∴A 1B ⊥C 1M .利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离.例22求平面内两点),(),,(2211y x B y x A 间的距离公式解：设点),(),,(2211y x B y x A ，),(1212y y x x AB --=∴212212)()(||y y x x AB -+-=∴,而||||AB AB =∴点A 与点B 之间的距离为：212212)()(||y y x x AB -+-=利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题.例23证明:βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-证明：在单位圆O 上任取两点B A ,，以Ox 为始边，以OB OA ,为终边的角分别为αβ,，则A 点坐标为),sin ,(cos ββB 点坐标为)sin ,(cos αα；则向量=),sin ,(cos ββ=)sin ,(cos αα，它们的夹角为βα-，,1||||==OB OA βαβαsin sin cos cos +=⋅OB OA ,由向量夹角公式得：==-||||)βαcos(OB OA OB OA βαβαsin sin cos cos +,从而得证.注：用同样的方法可证明=+)cos(βαβαβαsin sin cos cos -利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题.例24证明柯西不等式2212122222121)()()(y y x x y x y x +≥+⋅+证明：令),(),,(2211y x b y x a ==（1）当0 =a 或0=b 时，02121=+=⋅y y x x b a ，结论显然成立；（2）当0 ≠a 且0≠b 时，令θ为b a ,的夹角，则],0[πθ∈ θcos ||||2121b a y y x x b a=+=⋅.又 1|cos |≤θ||||||b a b a ≤⋅∴（当且仅当b a//时等号成立）222221212121||y x y x y y x x +⋅+≤+∴∴2212122222121)()()(y y x x y x y x +≥+⋅+.（当且仅当2211y x y x =时等号成立）平面向量的坐标运算1、已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn＝________.解析m a ＋n b ＝(2m,3m )＋(－n,2n )＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．由于m a ＋n b 与a －2b 共线，则有2m －n 4＝3m ＋2n－1，∴n －2m ＝12m ＋8n ，∴m n ＝－12.答案－12六、近几年高考试题分析(2009·湖南文)如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若,y x +=则x ＝___________________________，y ＝__________.解析,y x += 又,+=.)1(,AC y AB x BD AC y AB x BD AB +-=∴+=+∴又,⊥ .)1(2AB x AB BD -=⋅∴设,1||=则由题意知.2||||==又∵∠BED =60°,,26||=∴BD 显然与的夹角为45°.∴由2)1(AB x AB BD -=⋅得62×1×cos 45°＝(x －1)×12.∴x ＝32＋1.同理,在y x +-=)1(两边与数量积可得y ＝32.答案1＋3232（2011湖南文科）14、在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则________AD BE ⋅=。