高中数学苏教版必修4教案：第二章 平面向量 第10课时 2.4向量的数量积(3)

一、课题：向量的数量积二、教学目标：要求学生掌握平面向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件。

三、教学重、难点：向量数量积的运算律和运算律的理解； 四、教学过程： （一）复习：1．平面向量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质； 2．判断下列各题正确与否：①若0a =，则对任一向量b ，有0a b ⋅=； ( √ ) ②若0a ≠，则对任一非零向量b ，有0a b ⋅≠； ( × ) ③若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =； ( × ) ④若0a b ⋅=，则,a b 至少有一个为零向量； ( × ) ⑤若a b a c ⋅=⋅，则b c =当且仅当0a ≠时成立； ( × ) ⑥对任意向量a ，有22||a a =． ( √ ) （二）新课讲解： 1．交换律：a b b a ⋅=⋅证：设,a b 夹角为θ，则||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅，||||cos b a b a θ⋅=⋅⋅ ∴a b b a ⋅=⋅．2．()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ 证：若0λ>，()||||cos a b a b λλθ⋅=，()||||cos a b a b λλθ⋅=， ()||||cos a b a b λλθ⋅=，若0λ<，()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=，()||||cos a b a b λλθ⋅=，()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=．3．()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．在平面内取一点O ，作OA a =, AB b =，OC c =， ∵a b +（即OB ）在c 方向上的投影等于,a b在c 方向上的投影和，即：12||cos ||cos ||cos a b a b θθθ+=+ ∴12||||cos ||||cos ||||cos c a b c a c b θθθ+=+，∴()c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅ 即：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． 4． 例题分析：例1 已知,a b 都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 的夹角。

第2课时数量积的坐标表示(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握平面向量的数量积的坐标表示．(2)掌握用数量积表示线段长及两向量垂直的条件．(3)会用平面向量数量积的坐标表示解决具体问题．2．过程与方法通过学习数量积的坐标运算与度量公式，提高分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)用坐标表示向量，体现了代数与几何的完美结合，说明事物可以相互联系与转化．(2)用向量的坐标反映向量的数量积，为研究数量积开创了一个新天地．通过学习本节，使学生感受到同一事物的不同表示形式不会改变其本质规律．说明事物的变化形式是丰富多彩的，激发学生热爱科学的高尚情怀．●重点难点重点：用向量的坐标求数量积、向量的模及两个向量的夹角，会判断两向量间的垂直关系．难点：运用向量法与坐标法解决有关问题．(教师用书独具)●教学建议1．关于向量数量积的坐标运算的教学教学时，建议教师从向量的坐标概念出发，类比数的乘法运算，由学生自主推导出数量积的运算，并就数量积的坐标形式同向量加减及数乘运算的坐标加以比较，在熟悉的同时，记忆并熟练应用．2．关于向量的模、夹角及垂直关系的教学教学时，建议教师让学生结合数量积的定义及性质，完成对向量的模、夹角及垂直关系的坐标运算的推导，并通过题组训练，以便让学生熟练应用，为下节——向量的应用奠定基础．●教学流程创设问题情境，引入向量数量积的坐标运算.⇒引导学生类比数的乘法运算，推导出向量数量积的坐标运算法则.⇒结合数量积的定义及性质，引导学生对向量的模、夹角及垂直关系的坐标运算的推导.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握向量数量积的坐标运算.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握用坐标运算解决向量垂直问题的求解思路及方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握用坐标运算解决向量夹角问题的求解思路及方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.理解平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两个向量的夹角．(重点)2.会用两个向量的坐标判断它们的垂直关系．3.增强运用向量法与坐标法处理向量问题的意识．(难点)平面向量数量积的坐标表示 【问题导思】i ，j 分别是x 轴、y 轴上的单位向量，a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，如何求a ·b?【提示】 a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )·(x 2i ＋y 2j )＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1i ·j ＋y 1y 2j 2＝x 1x 2＋y 1y 2.若两个向量为a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.长度、夹角、垂直的坐标表示 (1)向量的模：设a ＝(x ，y )，则a 2＝x 2＋y 2，即|a |＝x 2＋y 2.(2)向量的夹角公式：设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，它们的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 特别地，若a ⊥b ，则x 1x 2＋y 1y 2＝0，反之亦成立．数量积的坐标运算已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，求|c |.【思路探究】 由已知条件求出c 的坐标，再根据公式|c |＝x 2＋y 2求解． 【自主解答】 ∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)， ∴a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝a －(a ·b )·b ＝(2,4)－6(－1,2) ＝(2,4)－(－6,12)＝(2＋6,4－12)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋－82＝8 2.1．进行数量积运算时，要正确使用公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系：|a |2＝a ·a .(a ＋b )(a －b )＝|a |2－|b |2.(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.2．利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程组来进行求解．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，求a ·b ，(a －b )·(2a ＋3b )． 【解】 法一 ∵a ＝(1,2)，b ＝(3,4)， ∴a ·b ＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11，(a －b )·(2a ＋3b )＝2a 2＋a ·b －3b 2＝2|a |2＋a ·b －3|b |2＝2(12＋22)＋11－3(32＋42)＝－54.法二 ∵a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，∴a ·b ＝11， ∵a －b ＝(1,2)－(3,4)＝(－2，－2)，2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(3,4)＝(2×1＋3×3,2×2＋3×4)＝(11,16)，∴(a －b )·(2a ＋3b )＝(－2，－2)·(11,16)＝－2×11＋(－2)×16＝－54.向量垂直的坐标表示的应用 已知a ＝(－12，32)，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b .【思路探究】 题目中给出了向量a 的坐标，而欲求的向量b 满足：OA →＝a －b ，OB →＝a＋b 且三角形AOB 且以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则可先设出b ＝(x ，y )，由OA →⊥OB →，列出方程组求出向量b .【自主解答】 法一 设向量b ＝(x ，y )，则OA →＝a －b ＝(－12－x ，32－y )，OB →＝a ＋b ＝(－12＋x ，32＋y )，由题意可知，OA →·OB →＝0，|OA →|＝|OB →|， 从而有：⎩⎪⎨⎪⎧－12－x －12＋x ＋32－y 32＋y ＝0，－12－x 2＋32－y 2＝－12＋x2＋32＋y 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝－12.所以b ＝(32，12)或b ＝(－32，－12)． 法二 设向量b ＝(x ，y )，依题意，OA →·OB →＝0， |OA →|＝|OB →|，则(a －b )·(a ＋b )＝0， |a －b |＝|a ＋b |，所以|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0.所以向量b 是与向量a 相互垂直的单位向量，即有⎩⎪⎨⎪⎧－12x ＋32y ＝0，x 2＋y 2＝1，解得b ＝(32，12)或b ＝(－32，－12)．1．向量的垂直问题主要借助于结论：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，把几何问题转化为代数问题．它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．2．两个向量共线的坐标表示与两个向量垂直的坐标表示截然不同，不能混淆．设a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，若(a ＋b )⊥(a －b )，求实数m 的值． 【解】 由题设，a ＋b ＝(m ＋2，m －4)，a －b ＝(m ，－m －2)． ∵(a ＋b )⊥(a －b )， ∴(a ＋b )·(a －b )＝0.即(m ＋2)m ＋(m －4)(－m －2)＝0. ∴m 2＋2m －m 2＋2m ＋8＝0，即4m ＋8＝0， ∴m ＝－2.向量夹角问题 已知点A (2,2)，B (4,1)，O 为坐标原点，P 为x 轴上一动点，当AP →·BP →取最小值时，求向量PA →与PB →的夹角的余弦值．【思路探究】 设点P (x,0)，将AP →·BP →表示成x 的函数，即可求得相应的最小值及x 的值，再由夹角公式即得结论．【自主解答】 设点P (x,0)， 则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． ∴AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.∴当x ＝3时，AP →·BP →取最小值1.此时，PA →＝(2,2)－(3,0)＝(－1,2)． PB →＝(4,1)－(3,0)＝(1,1)， ∴|PA →|＝5，|PB →|＝2，∴cos ∠APB ＝PA →·PB →|PA →||PB →|＝1010.利用向量的坐标运算求出两向量的数量积和模的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值．利用函数思想处理最值问题，是一种常用方法，需切实掌握．已知△ABC 顶点的坐标分别为A (3,4)，B (0,0)，C (c,0)． (1)若c ＝5，求cos A 的值；(2)若A 为钝角，求c 的取值范围．【解】 (1)AB →＝(－3，－4)，AC →＝(c －3，－4)，当c ＝5时，AC →＝(2，－4)．∴cos A ＝AB →·AC→|AB →|·|AC →|＝－6＋16520＝15＝55. (2)若A 为钝角，则AB →·AC →＝－3(c －3)＋16＝25－3c ＜0，解得c ＞253.显然此时有AB →和AC →不共线，故当A 为钝角时，c 的取值范围为(253，＋∞).由夹角范围求参数范围时 忽视向量共线情况致误已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(t,1)，且a 与b 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．【错解】 ∵a 与b 的夹角为钝角，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＜0，即a ·b ＝(－2，－1)·(t,1)＝－2t －1＜0，∴t ＞－12，∴t 的取值范围为(－12，＋∞) .【错因分析】 错解忽视了a 与b 反向共线时，也有a ·b ＜0成立，应排除使a 与b 反向的t 值．【防范措施】 两非零向量夹角θ的范围满足0°≤θ≤180°，因此，仅依靠cos θ的正负不能判定θ为锐角或钝角．cos θ＜0且cos θ≠－1时，θ为钝角，cos θ＞0且cos θ≠1时，θ为锐角． 【正解】 ∵a 与b 的夹角为钝角，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＜0，即a ·b ＝(－2，－1)·(t,1)＝－2t －1＜0，∴t ＞－12.若a ∥b ，可设a ＝λb ，则(－2，－1)＝λ(t,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2＝λt ，－1＝λ.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1， t ＝2.此时a ＝－b ，a 与b 反向，所成角为180°，故t ＝2不合题意．∴t 的取值范围是(－12，2)∪(2，＋∞)．1．向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来．本节主要应用有：(1)求两点间的距离(求向量的模)． (2)求两向量的夹角． (3)证明两向量垂直．2．利用数量积求两向量夹角的步骤(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．(2)利用|a |＝x 2＋y 2计算出这两个向量的模．(3)由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22直接求出cos θ的值． (4)在0≤θ≤π内，由cos θ的值求角θ.1．已知A (1,2)，B (2,1)，则|AB →|＝________.【解析】 ∵AB →＝(1，－1)，∴|AB →|＝12＋－12＝ 2. 【答案】 22．已知a ＝(－5,5)，b ＝(0，－3)，则a 与b 的夹角为________．【解析】 ∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1552×3＝－22，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.【答案】3π43．已知向量a ＝(x －5,3)，b ＝(2，x )，且a ⊥b ，则x 的值等于________． 【解析】 由a ⊥b 得a ·b ＝0，即2(x －5)＋3x ＝0，解得x ＝2. 【答案】 24．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)，B (4,1)，C (0，－1)，求AB →·AC →和∠ACB 的大小，并判断△ABC 的形状．【解】 ∵AB →＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)， ∴AB →·AC →＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0. ∴AB →⊥AC →.又∵tan ∠ACB ＝|AB →||AC →|＝1010＝1.∴∠ACB ＝45°.∴△ABC 是等腰直角三角形，其中∠A ＝90°.一、填空题1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝________. 【解析】 ∵a ＋2b ＝(－5,6)，∴(a ＋2b )·c ＝－15＋12＝－3. 【答案】 －32．已知a ＝(1，3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋b |＝________. 【解析】 ∵a ＋b ＝(－1，3)， ∴|a ＋b |＝－12＋32＝2.【答案】 23．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．【解析】 ∵∠ABO ＝90°，∴AB →⊥OB →，∴OB →·AB →＝0. 又AB →＝OB →－OA →＝(2,2)－(－1，t )＝(3,2－t )， ∴(2,2)·(3,2－t )＝6＋2(2－t )＝0. ∴t ＝5. 【答案】 54．设向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，当向量a ＋2b 与2a －b 平行时，a ·b 等于________． 【解析】 a ＋2b ＝(1＋2x,4)，2a －b ＝(2－x,3)，∵a ＋2b 与2a －b 平行，∴(1＋2x )×3－4×(2－x )＝0，∴x ＝12，a ·b ＝(1,2)·(12，1)＝1×12＋2×1＝52.【答案】 525．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角是________．【解析】 设c ＝(x ，y )，则(a ＋b )·c ＝(－1，－2)·(x ，y )＝－x －2y ＝52，∴x ＋2y＝－52.又|a |＝|c |＝5，且a ·c ＝x ＋2y ＝|a ||c |·cos α，故cos α＝－12，α∈[0，π]，α＝23π.【答案】 23π6．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，O 为坐标原点，在x 轴上取一点P 使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是________．【解析】 设点P 坐标为(x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，AP →·BP →＝(x－2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1.∴点P 的坐标为(3,0)． 【答案】 (3,0)7．若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b ＝________. 【解析】 a 与b 共线且方向相反，∴b ＝λa (λ＜0)，设b ＝(x ，y )，则(x ，y )＝λ(1，－2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，y ＝－2λ.由|b |＝35，得x 2＋y 2＝45，即λ2＋4λ2＝45， 解得λ＝－3，∴b ＝(－3,6)． 【答案】 (－3,6)8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝________.【解析】 设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，因为(c ＋a )∥b ， 所以－3(1＋m )＝2(2＋n )．① 又c ⊥(a ＋b )，所以3m －n ＝0.②联立①②，解得m ＝－79，n ＝－73，则c ＝(－79，－73)．【答案】 (－79，－73)二、解答题9．在▱ABCD 中，A 点坐标为(1,0)，B 点坐标为(3,2)，C 点坐标为(4，－1)，求AB →与BD →夹角的余弦值．【解】 ∵A 点坐标为(1,0)，B 点坐标为(3,2)，C 点坐标为(4，－1)， ∴AB →＝(2,2)，AC →＝(3，－1)， ∴BC →＝AC →－AB →＝(1，－3)．又由题意可知BC →＝AD →， ∴BD →＝AD →－AB →＝(1，－3)－(2,2)＝(－1，－5)． 设AB →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AB →·BD →|AB →||BD →|＝－12413＝－31313.10．(2013·南昌高一检测)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.【解】 (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x 2＋2x ＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，则|a －b |＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝2. 当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，则|a －b |＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝2 5. ∴|a －b |＝2或2 5.11．已知a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求k ＋t 2t的最小值．【解】 ∵a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)，∴|a |＝32＋－12＝2，|b |＝122＋322＝1.又∵a ·b ＝3×12＋(－1)×32＝0，∴a ⊥b .由x ⊥y 得[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，即－k a 2＋(t 3－3t )b 2＋(t －kt 2＋3k )a ·b ＝0，∴－k |a |2＋(t 3－3t )|b |2＝0.将|a |＝2，|b |＝1代入上式，得－4k ＋t 3－3t ＝0，解得k ＝t 3－3t4.∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74.故当t ＝－2时，k ＋t 2t 取得最小值，为－74.(教师用书独具)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．【思路探究】 (1)分别求出AB →，AC →的坐标，通过向量的坐标运算得到AB →＋AC →，AB →－AC →，代入向量长度公式即得对角线的长度；(2)利用向量数量积的坐标运算，建立关于t 的方程，解方程即得．【自主解答】 (1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)， 则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)，所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线的长分别为210，4 2.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，即5t ＝－11，解得t ＝－115.1．熟练地运用向量的平行四边形法则，写出表示对角线的向量是关键．11 2．涉及方程思想的应用，一般地，求参数的值时，通常根据题意列出方程进行求解．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．(1)求证：AB ⊥AD ；(2)若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值．【解】 (1)∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)．∴AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)∵AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →.设点C 坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5. ∴点C 坐标为(0,5)．从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，且|AC →|＝25，|BD →|＝2 5.AC →·BD →＝8＋8＝16.设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45.∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。

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2.4 向量的数量积典题精讲例 1 若向量a，b，c满足a+b+c=0，且｜a｜=3,｜b｜=1，｜c|=4，则a·b+b·c+a·c=_____________.思路解析:本题可以利用数量积公式两边平方求解；也可由已知条件,得出三个向量之间的两两夹角,再用数量积公式求解。

方法一：∵a+b+c=0，∴（a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=0。

∴2(a·b+b·c+a·c)=—（a2+b2+c2）=—（｜a｜2+|b｜2+｜c｜2）=—（32+12+42）=-26.∴a·b+b·c+a·c=-13。

方法二:根据已知条件可知｜c|=｜a|+｜b｜，c=-a-b,所以a与b同向,c与a+b反向.所以有a·b+b·c+a·c=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4—12=-13。

答案：-13绿色通道:由向量数量积定义及其运算律可推导出如下常用性质：a2=｜a｜2,(a+b）（c+d)=a·c+a·d+b·c+b·d，（a+b)2=a2+2a·b+b2,(a+b+c）2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.变式训练已知｜a｜=5,|b|=12，当且仅当m为何值时,向量a+m b与a-m b互相垂直?思路分析：（a+m b)⊥（a-m b) (a+m b）·(a-m b）=0.根据这一点可以很容易寻找到解题突破口。

疱丁巧解牛知识·巧学1.平面向量数量积(内积)的定义已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角是θ,我们把数量|a ||b |cosθ叫向量a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cosθ.我们规定零向量与任一向量的数量积为0.误区警示 两个向量的数量积称为内积,写成a ·b ;今后要学到两个向量的外积a ×b ,而a ·b 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替,用a ×b 或ab 表示两个向量的数量积都是错误的.辨析比较 (1)在实数中,若a ≠0,且a ·b =0,则b =0;但是在数量积中,若a ≠0,且a ·b =0,不能推出b =0,因为其中cosθ有可能为0.(2)已知实数a 、b 、c (b ≠0),则ab =bc ⇒a =c .但是a ·b =b ·c 并不一定能得到a =c .两向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积,其符号由夹角的余弦值决定.2.两个非零向量的夹角已知非零向量a 与b ,作OA =a ,OB =b ,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a 与b 的夹角.当θ=0时,a 与b 同向;当θ=π时,a 与b 反向;当θ=2π时,a 与b 垂直,记作a ⊥b . 学法一得 在利用两向量的夹角定义求两个向量的夹角时,两个向量必须是同起点的,当起点不同时可通过平移移到同一个起点.3.两个向量的数量积的性质(1)当a 与b 同向时,a ·b =|a ||b |;当a 与b 反向时,a ·b =-|a ||b |;特别地,a ·a =|a |2或|a |=a a ∙.该条性质实现了实数与向量的联系,我们在求向量模时,往往先求模的平方,借助向量的数量积运算进行.设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量.(2)a ⊥b ⇔a ·b =0.若a ⊥b ,则a 与b 的夹角θ=90°,所以a ·b =|a ||b |cos90°=0;反过来,a ·b =|a ||b |cosθ=0,因|a |≠0,|b |≠0,所以cosθ=0.所以θ=90°,则a ⊥b .数量积的这条性质,是解决代数、几何问题中的垂直关系的基本方法.深化升华 利用性质(2)把平面中几何关系问题转化成向量的计算问题,数与形结合起来. (3)cosθ=||||b a b a ∙. 这条性质是数量积定义式a ·b =|a ||b |cosθ的等价变形式,侧重于两向量的夹角问题.(4)|a ·b |≤|a ||b |.由数量积的定义a ·b =|a ||b |cosθ可知|a ·b |=|a ||b ||cosθ|.∵0≤θ≤180°,∴|cosθ|≤1.∴|a ·b |=|a ||b ||cosθ|≤|a ||b |,当且仅当两个向量共线时“等号”成立.特别地,对于(1)、(2)、(3)三条性质,用向量的数量积可以处理有关长度、角度、垂直的问题.辨析比较(1)在实数中|ab|=|a||b|,而在向量中|a·b|≤|a||b|,这是向量与实数的区别.(2)在实数中a2=|a|2,在向量中也有a2=|a|2,这是向量和实数类似的一个性质.4.平面向量数量积的运算律(1)交换律:a·b=b·a.证明:设a、b夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ,b·a=|b||a|cosθ,∴a·b=b·a.(2)数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).证明:若λ＞0,(λa)·b=λ|a||b|cosθ,λ(a·b)=λ|a||b|cosθ,a(λb)=λ|a||b|cosθ,若λ＜0,(λa)·b=|λa||b|cos(π-θ)=-λ|a||b|(-cosθ)=λ|a||b|cosθ,λ(a·b)=λ|a||b|cosθ,a·(λb)=|a||λb|cos(π-θ)=-λ|a||b|(-cosθ)=λ|a||b|cosθ.(3)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.如图2-4-2,在平面内取一点O,作=a,=b,=c,图2-4-2∵a+b(即OB)在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和,即|a+b|cosθ=|a|cosθ1+|b|cosθ2,∴|c||a+b|cosθ=|c||a|cosθ1+|c||b|cosθ2.∴c·(a+b)=c·a+c·b,即(a+b)·c=a·c+b·c.误区警示在实数中,有(a·b)c=a(b·c),但是(a·b)c=a(b·c)不一定成立.因为左端是与c共线的向量,而右端是与a共线的向量,而一般a与c不共线.学法一得平面向量数量积的运算就类似于多项式的乘法,展开后再合并同类项.这样就可以很好地理解公式的来龙去脉.从系统的角度讲,我们所学的知识都是紧密联系的.把我们未知的东西转化到已知内容上去,这是我们学习的一种方法.5.平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),试用a和b的坐标表示a·b.设i是x轴上的单位向量,j是y轴上的单位向量,它们的方向分别和x、y轴的正向相同,那么a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,所以a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2,又i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0,所以a·b=x1x2+y1y2.这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a·b=x1x2+y1y2.深化升华引入坐标后,实现了向量的数量积的运算与两个向量的坐标的运算的转化,从而将它们联系起来,为计算和证明带来了方便,实现了数与形的结合.6.平面内两点间的距离公式(1)设a =(x,y),则|a |2=x 2+y 2,或|a |=22y x +.当平面向量用坐标表示而求模时可代此公式.深化升华 求向量的模通常有两种方法:一是通过数量积的坐标表示推导向量的模;二是向量的模的平方等于向量的平方,即利用向量的数量积来求.(2)如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),那么|AB |=221221)()(y y x x -+-(平面内两点间的距离公式).这是因为,若表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则a =(x 2,y 2)-(x 1,y 1)=(x 2-x 1,y 2-y 1),由(1)可得|a |=221221)()(y y x x -+-.即平面内两点之间的距离等于相应坐标的差的平方和的算术平方根.向量a 的模也具有一定的几何意义,即|a |=2222)0()0(-+-=+y x y x ,通过简单的构造,体现点(x,y)到原点(0,0)的距离.联想发散 有关二次式的平方和问题,大部分可考虑转化为两点间距离问题,借“形”直观理解“数”的问题.7.两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)都是非零向量,若设它们的夹角为θ,则有 cosθ=||||b a b a ∙=222221212121y x y x y y x x +++. 利用此公式,可直接求出两向量的夹角.利用向量的数量积来求两向量夹角的方法是:先利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积,再利用|a |=22y x +计算出这两个向量的模,然后由公式cosθ=||||b a b a ∙直接求出cosθ的值,进一步求出θ的值.求几何图形中的内角也常用类似的方法. 深化升华 运用向量知识求解几何问题的方法称为向量法.向量是沟通数和形内在联系的有力工具,具有多方面的功能.用向量解几何题的主要思想是:将直线形的各边视为向量,把线段的关系式化为向量的关系式,从而把几何问题转化为向量问题,运用向量运算法则,通过向量的化简与计算,推出结论完成解题.8.向量垂直的判定由于两个非零向量垂直的充要条件是这两个向量的数量积为零,若设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)都是非零向量,则可得a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.向量垂直的坐标表示是判定两个向量垂直的非常好用的条件,在实际中应通过训练达到灵活运用它来证明两个向量垂直或三角形为直角三角形或四边形为矩形.误区警示 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)都是非零向量,则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0;a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0.对于初学者来说,这两个充要条件极易混淆,因此对于这两个充要条件要对比记忆,关键是从公式的推导过程记忆.典题·热题知识点1 向量的数量积例1 判断正误,并简要说明理由.①a ·0=0;②0·a =0;③0-=;④|a ·b |=|a ||b |;⑤若a ≠0,则对任一非零b 有a ·b ≠0;⑥a ·b =0,则a 与b 中至少有一个为0;⑦对任意向量a ,b ,c 都有(a ·b )c =a (b ·c );⑧a 与b 是两个单位向量,则a 2=b 2.思路分析:利用向量数量积的定义、性质和运算律.解:上述8个命题中只有③⑧正确;对于①,两个向量的数量积是一个实数,应有a ·0=0;对于②,应有0·a =0;对于④,由数量积定义有|a ·b |=|a |·|b |·|cosθ|≤|a ||b |,这里θ是a 与b 的夹角,只有θ=0或θ=π时,才有|a ·b |=|a |·|b |;对于⑤,若非零向量a 、b 垂直,有a ·b =0;对于⑥,由a ·b =0可知a ⊥b ,可以都是非零向量;对于⑦,若a 与c 共线,记a =λc ,则a ·b =(λc )·b =λ(c ·b )=λ(b ·c ),∴(a ·b )c =λ(b ·c )c =(b ·c )λc =(b ·c )a .若a 与c 不共线,则(a ·b )c ≠(b ·c )a .方法归纳 这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.误区警示 如果不注意零向量与实数零的区别,则易出现“①②正确”的错误结论.例2 已知a 、b 都是非零向量,且a +3b 与7a -5b 垂直,a -4b 与7a -2b 垂直,求a 与b 的夹角. 思路分析:利用两个向量垂直及两向量夹角公式.解:因为a +3b 与7a -5b 垂直,则有(a +3b )·(7a -5b )=0,即7a 2+16a ·b -15b 2=0. ①又a -4b 与7a -2b 垂直,则有(a -4b )·(7a -2b )=0,即7a 2-30a ·b +8b 2=0. ②两式相减2a ·b =b 2,代入①或②得a 2=b 2,设a 、b 的夹角为θ,则cosθ=22||2||||b b b a b a =∙=21, ∴θ=60°.方法归纳 向量的数量积是一个实数,充分利用两向量垂直的条件,把问题转化到实数集中去求解是解本题的关键.误区警示 由于a -4b 与7a -2b 都是向量,在求它们数量积时不能书写成(a -4b )(7a -2b ),这种表示方法是错误的,应书写为(a -4b )·(7a -2b ).例3 已知|a |=|b |=5,a 与b 的夹角为3π,求|a +b |,|a -b |的值. 思路分析:先求|a ±b |2,再求|a ±b |.解:∵|a +b |2=a 2+2a ·b +b 2=25+25+2|a ||b |cos3π=75, ∴|a +b |=35.同理|a -b |2=a 2-2a ·b +b 2=25+25-2|a ||b |cos 3=25. ∴|a -b |=5.方法归纳 求向量模的问题往往先求模的平方,这样绝对值号就去掉了,也与向量的模以及向量的数量积联系起来了.例4 已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1,它们相互之间的夹角为120°.(1)求证:(a -b )⊥c ;(2)若|k a +b +c |＞1(k ∈R ),求k 的取值范围.思路分析:证明向量垂直问题,一般考虑利用向量的数量积为零.要解决模的问题,往往转化成与模平方有关的问题来解决.(1)证法一:∵|a |=|b |=|c |=1且a 、b 、c 之间的夹角均为120°,∴(a -b )·c =a ·c -b ·c=|a ||c |cos120°-|b ||c |cos120°=0.∴(a -b )⊥c .证法二:如图2-4-3,设OA =a ,OB =b ,OC =c ,图2-4-3由题意可知,连结AB 、AC 、BC 的三条线段围成正三角形ABC,O 为△ABC 中心. ∴OC ⊥AB.又∵=a -b ,∴(a -b )⊥c .(2)解:∵|k a +b +c |＞1,∴(k a +b +c )·(k a +b +c )＞1,即k 2a 2+b 2+c 2+2k a ·b +2k a ·c +2b ·c ＞1.∵a ·b =a ·c =b ·c =cos120°=-21, ∴k 2-2k ＞0.解得k ＜0或k ＞2,即k 的取值范围是k ＜0或k ＞2.方法归纳 证明向量的垂直或判定几何图形中线的垂直关系,往往转化成向量的数量积等于零来证明.与模有关的问题,常先考虑模的平方.深化升华 利用向量的有关知识,可以通过数形结合,提供平面几何中许多问题的新颖、直观、简捷的解法.知识点2 平面两向量数量积的坐标表示例5 设a =(m+1,-3),b =(1,m-1),若(a +b )⊥(a -b ),求m 的值.思路分析:解题时可根据已知条件求出a +b 与a -b ,再利用垂直求得m 的值即可.解:∵a +b =(m+2,m-4),a -b =(m,-m-2),又∵(a +b )⊥(a -b ),∴(a +b )·(a -b )=0,即m(m+2)+(m-4)(-m-2)=0.∴m=-2.方法归纳 解题时可利用向量的坐标运算和向量垂直的坐标表示,列出方程解方程即可求解. 例6 已知a =(4,2),求与a 垂直的单位向量的坐标.思路分析:本题利用向量垂直的坐标表示,设出向量的坐标,利用已知条件建立方程组解之即可.解法一:设e =(x,y),据题意x 2+y 2=1. ①又a ⊥e ,∴a ·e =0,即4x+2y=0. ②解由①②组成的方程组⎩⎨⎧=+=+,024,122y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==552,5511y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=552,5522y x ,即e=(55,-552)或(-55,552). 解法二:如图2-4-4,OA =a =(4,2).过圆点与OA 垂直的直线与单位圆交于B 、C 两点,则OB 与即为所求.图2-4-4cosα2=sinα1=55,sinα2=cosα1=552. 依据三角函数的定义,可求得B(-55,552), 即=(-55,552). ∵与互为相反向量, ∴=(55,-552).方法归纳 要求的单位向量即为以与a 垂直的直线与单位圆相交的交点为终点,原点为起点的两向量,可通过解直角三角形或三角函数的定义求解.例7 已知a =(1,3),b =(3+1,3-1),则a 与b 的夹角是多少?思路分析:要求a 与b 夹角,需先求a ·b 及|a ||b |,再结合夹角θ的范围确定其值.解:由a =(1,3),b =(3+1,3-1),则a ·b =3+1+3(3-1)=４,|a |=2,|b |=22,记a 与b 的夹角为θ,则cosθ=||||b a b a ∙=22, 又∵0≤θ≤π,∴θ=4π. 方法归纳 已知三角函数值求角时,应注重角的范围的确定.例8 在△ABC 中,=(3,3),AC =(1,k),且△ABC 的一个内角为直角,求k 的值.思路分析:由于没指出哪个内角是直角,故需分别讨论,借助向量减法的运算法则求出△ABC 是一边BC 对应的向量,再用两个向量垂直的充要条件,构造出k 的方程,从而求出k 的值. 解:(1)当∠A=90°时,图2-4-5 ∵·=0,∴3×1+3k=0,解得k=-1.(2)当∠B=90°时,AB AC BC -==(1-3,k-3)=(-2,k-3), ∵AB ·BC =0, ∴2×(-2)+3(k-3)=0,解得k=313. (3)当∠C=90°时, ∵AC ·BC =0, ∴-2+k(k-3)=0,即k 2-3k-2=0,解得k 1=2173-或k 2=2173+.综合(1)(2)(3)可知k 的值为k=-1或k=313或k=2173±. 方法归纳 本题在△ABC 的一个内角为直角,但不知道哪个角为直角的情况下,进行分类讨论,分类讨论的数学思想贯穿于中学数学的各门具体课程,在不断总结的基础上,根据具体情况,把握分类的标准.例9 如图2-4-6,在Rt △ABC 中,已知BC=a ,若长为2a 的线段PQ 以A 为中点,问与的夹角θ取何值时,·CQ 的值最大？并求出这个最大值.图2-4-6思路分析:本小题主要考查向量的概念、平面向量的运算法则,考查运用向量及函数知识的能力.注意图形与坐标的转化,与向量的联系.解法一:∵⊥,∴·=0. ∵-=,-=,-=, ∴·=(-)·(-) =·-·-·+·=-a 2-·+·=-a 2+(-)=-a 2+21PQ · =-a 2+a 2cosθ.故当cosθ=1,即θ=0(PQ 与BC 方向相同)时,BP ·CQ 最大,其最大值为0.解法二:以直角顶点A 为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图2-4-7所示的平面直角坐标系.图2-4-7设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0)、B(c,0)、C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.设点P 的坐标为(x,y),则Q(-x,-y),∴=(x-c,y),=(-x,-y-b),=(-c,b),=(-2x,-2y). ∴·=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.∵2a bycx-,∴cx-by=a2cosθ.∴·CQ=-a2+a2cosθ.故当cosθ=1,即θ=0(与方向相同)时,·最大,其最大值为0.方法归纳设定OM的坐标(x,y),用坐标表示出MA与MB的数量积,整理成MA·MB是OM的纵坐标的二次函数,通过二次函数知识求·的最小值.深化升华与最值有关的问题,往往是先选取适当的变量,建立关于取定变量的目标关系式(或函数关系式),通过求最值的基本方法求解.如转化成二次函数或三角函数问题等.问题·探究思维发散探究问题设a、b是不相等的实数,试探求证明不等式(a4+b4)(a2+b2)＞(a3+b3)2的方法.探究思路:对于不等式的证明比较常见的方法是作差法,即求出不等式两边式子的差,再根据差与零的关系来达到证明不等式的目的.现在我们又学习了向量数量积的坐标表示,因此可以根据不等式结构构造向量利用向量知识来达到证明不等式的目的.方法一:(a4+b4)(a2+b2)-(a3+b3)2=a6+b6+a4b2+a2b4-a6-b6-2a3b3=a4b2+a2b4-2a3b3=a2b2(a2-ab)+a2b2(b2-ab)=a2b2(a-b)2.由于a、b是不相等的实数,则(a4+b4)(a2+b2)-(a3+b3)2=a2b2(a-b)2＞0,即(a4+b4)(a2+b2)＞(a3+b3)2.方法二:设m=(a2,b2),n=(a,b),则m·n=a3+b3,又a、b是不相等的实数,则a2b-ab2≠0,即向量m、n不共线,所以有|m·n|＜|m||n|,即(a4+b4)(a2+b2)＞(a3+b3)2.。

高中数学必修4第二章平面向量教案(12课时)本章内容介绍向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一,有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后,全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算,从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景.在本章中,学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.本节从物理上的力和位移出发,抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. (让学生对整章有个初步的、全面的了解.)第1课时§２.1 平面向量的实际背景及基本概念教学目标:1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．学法：本节是本章的入门课,概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路:一、情景设置：如图,老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去,设问：猫能否追到老鼠?(画图)结论:猫的速度再快也没用，因为方向错了．分析：老鼠逃窜的路线AＣ、猫追逐的路线ＢD实际上都是有方向、ABCD有长短的量.引言:请同学指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方向? 二、新课学习：（一）向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量 (二)请同学阅读课本后回答:（可制作成幻灯片) 1、数量与向量有何区别？ 2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么？ ４、长度为零的向量叫什么向量?长度为1的向量叫什么向量? 5、满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗? 6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系?7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,这是它们是不是平行向量?这时各向量的终点之间有什么关系? （三)探究学习１、数量与向量的区别:数量只有大小，是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小． ２.向量的表示方法： ①用有向线段表示; ②用字母a 、b（黑体，印刷用)等表示；③用有向线段的起点与终点字母:AB ;④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：(1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;（２）有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同，尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为０的向量叫零向量，记作０. 0的方向是任意的． 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.A(起点)B（终点）a说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行．说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义;（2）向量ａ、ｂ、c平行，记作a∥ｂ∥c．6、相等向量定义:长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明:（1）向量a与b相等，记作a=b；（２）零向量与零向量相等;（３)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示，并且与有向．．．线段的起点无关．．．．．．．.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关．．．．)．．说明：(1）平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;（２）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.(四）理解和巩固:例1 书本86页例1．例2判断:（１)平行向量是否一定方向相同?(不一定）(２)不相等的向量是否一定不平行？(不一定）(3)与零向量相等的向量必定是什么向量?(零向量）（４）与任意向量都平行的向量是什么向量?(零向量)(5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量)（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同)（7）共线向量一定在同一直线上吗？(不一定）例3下列命题正确的是( )Ａ.a与ｂ共线,b与ｃ共线,则a与c也共线B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与b不共线,则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确;对于C,其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑,假若ａ与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与b 共线，不符合已知条件，所以有ａ与b 都是非零向量,所以应选C ．例4 如图,设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA 、OB 、OC 相等的向量.变式一:与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?（存在） 变式三:与向量共线的向量有哪些？（FE DO CB ,,) 课堂练习：1.判断下列命题是否正确,若不正确，请简述理由.①向量AB 与CD 是共线向量,则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②单位向量都相等;③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB ＝DC ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0； ⑥共线的向量，若起点不同,则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、AC 在同一直线上．②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确．⑥不正确．如图AC 与BC 共线，虽起点不同,但其终点却相同.２．书本８8页练习 三、小结 :1、 描述向量的两个指标：模和方向.2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、 向量的图示，要标上箭头和始点、终点. 四、课后作业：书本8８页习题2．1第3、5题第2课时§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义教学目标：1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义;2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点:会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学 法：数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法．借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路: 一、设置情景:1、 复习：向量的定义以及有关概念强调:向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等．因此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下,移到任何位置 2、 情景设置:（1)某人从A 到B ，再从Ｂ按原方向到Ｃ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ (2)若上题改为从Ａ到Ｂ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （3)某车从A 到Ｂ,再从B 改变方向到Ｃ， 则两次的位移和：AC BC AB =+（４)船速为AB ,水速为BC ，则两速度和:AC BC AB =+二、探索研究：１、向量的加法:求两个向量和的运算，叫做向量的加法.A B CA BCA BCOABaaa bb b2、三角形法则（“首尾相接,首尾连”)如图,已知向量a 、ｂ．在平面内任取一点A ,作AB =a ，BC ＝ｂ,则向量AC 叫做a 与ｂ的和,记作a ＋ｂ,即 ａ＋ｂAC BC AB =+=，规定: a + 0-＝ 0 + a探究:（１)两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a ＋b 的方向不同向,且|a +b |＜|a |＋|b |; （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向,且｜a ＋b |=|a ｜+｜b |，当a 与b 反向时,若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同,且|a +b ｜=|a |-|b |;若｜a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a ＋b|=｜b ｜-|a ｜.(4)“向量平移”(自由向量)：使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到ｎ个向量连加３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a ＋b作法：在平面内取一点,作a OA = b AB =,则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题:上题中b ＋a 的结果与a +b 是否相同? 验证结果相同 从而得到:１）向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应）2)向量加法的交换律：a +b =b +a 5.向量加法的结合律：(a +b ） +c =a ＋ (b ＋c )aA BCa +ba +baa b b aｂｂ ａa证:如图:使a AB =, b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+,a + （b +c ) =AD BD AB =+ ∴（a +b ） ＋c =a + (b ＋c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 三、应用举例:例二（P9４—９5）略 练习:Ｐ９5 四、小结１、向量加法的几何意义； ２、交换律和结合律；3、注意：｜a +b | ≤ |a | + |b ｜，当且仅当方向相同时取等号． 五、课后作业：Ｐ１0３第2、３题 六、板书设计（略) 七、备用习题1、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4,求水流的速度．2、一艘船距对岸,以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶,到达对岸时，船的实际航程为8k ｍ,求河水的流速.3、一艘船从Ａ点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60︒，求1v 和2v .4、一艘船以5km ／h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是km/h,最小是ｋm/h5、已知两个力F 1,F ２的夹角是直角，且已知它们的合力Ｆ与F 1的夹角是6０︒，｜F|＝１0N 求F 1和F 2的大小.６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形第3课时§2.2.２ 向量的减法运算及其几何意义教学目标:1. 了解相反向量的概念；2. 掌握向量的减法,会作两个向量的减向量，并理解其几何意义;3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点:减法运算时方向的确定.学 法:减法运算是加法运算的逆运算,学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算;并利用三角形做出减向量． 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型:新授课 教学思路：一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律：例：在四边形中,=++BA BA CB ． 解：CD AD BA CB BA BA CB =++=++ 二、 提出课题：向量的减法1． 用“相反向量”定义向量的减法（1) “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ） ＝ a ． 任一向量与它的相反向量的和是零向量．ａ + (-a ) = 0 如果a 、ｂ互为相反向量,则a = -b , b ＝ -a ， a + b ＝ 0 （3) 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量,叫做a 与ｂ的差. 即:ａ - b = ａ + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法． 2． 用加法的逆运算定义向量的减法: 向量的减法是向量加法的逆运算:若b + x = a ,则x 叫做a 与b 的差,记作a - b 3． 求作差向量:已知向量ａ、b ，求作向量∵(a -b ) ＋ b = a + (-b ） + ｂ ＝ ａ + ０ = ａ作法：在平面内取一点O ，A BD COaba ba -b作OA = a ， AB ＝ ｂ 则BA = a - b即ａ - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量． 注意:1︒AB 表示ａ - b ．强调：差向量“箭头”指向被减数2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = ａ ＋ (-ｂ) 显然,此法作图较繁,但最后作图可统一.4． 探究：１）如果从向量ａ的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a.2）若ａ∥b ， 如何作出a - b ？ 三、 例题:例一、(P97 例三)已知向量ａ、ｂ、c 、d ,求作向量ａ-b 、c -d . 解:在平面上取一点O,作OA = ａ, OB = ｂ, OC ＝ c , OD = d ， 作BA , DC , 则BA = ａ-ｂ, DC = ｃ-dO ABa B’b-b bBa + (-b )a b ABCbad cDOa -bA ABBB’Oa -b a a bbO AOBa -ba -b BA O-b例二、平行四边形ABCD 中，=AB ａ,=AD b ， 用a 、b 表示向量AC 、DB ． 解:由平行四边形法则得:AC = ａ + b ， DB = AD AB - = a -b变式一：当a ， ｂ满足什么条件时，a +ｂ与a -b 垂直?（|ａ| = |b |) 变式二：当a , b 满足什么条件时，|a +b ｜ = |a -b |？（a ， b 互相垂直） 变式三:ａ+b 与a -ｂ可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同） 练习：Ｐ９8四、 小结:向量减法的定义、作图法| 五、 作业:Ｐ１03第４、５题 六、 板书设计(略） 七、 备用习题:1．在△ABC 中， BC ＝ａ, CA ＝b ，则AB 等于( ) A.a ＋bＢ.－a +(-b ）Ｃ．a -bD.b -ａ2.Ｏ为平行四边形ABC Ｄ平面上的点,设OA =a , OB ＝ｂ, OC =ｃ， OD ＝d ,则 Ａ．ａ+ｂ+c +d =0 Ｂ.a -b +ｃ－d ＝０ Ｃ.a +ｂ-ｃ-d =0 D.a -b -c +d =0 ３.如图,在四边形ＡB ＣD 中,根据图示填空：a +b = ，b +c = ，c -d ＝ ,ａ+b +ｃ-d = .4、如图所示,O 是四边形AB ＣＤ内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向(用箭头表示)，使a +b =AB ,c －d =DC ，并画出b －ｃ和ａ+d .2.３平面向量的基本定理及坐标表示第３题第４课时§２.３.1 平面向量基本定理教学目的:(1)了解平面向量基本定理；(2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法;(３）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达．教学重点:平面向量基本定理.教学难点:平面向量基本定理的理解与应用．授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪教学过程:一、 复习引入：1．实数与向量的积:实数λ与向量a 的积是一个向量，记作:λa（１）|λa ｜=|λ||a |；(2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反;λ=0时λa =02．运算定律 结合律:λ（μa )=(λμ)a ；分配律：（λ+μ)a ＝λa +μa , λ(a +b )=λa +λb３． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使b =λa .二、讲解新课:平面向量基本定理:如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ１,λ2使a =λ11e ＋λ22e .探究：(1) 我们把不共线向量ｅ1、ｅ2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2） 基底不惟一,关键是不共线;(３） 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、e 2的条件下进行分解;(4） 基底给定时，分解形式惟一. λ1,λ2是被a ,1e ，2e 唯一确定的数量三、讲解范例:例１ 已知向量1e ,2e 求作向量-２．51e ＋32e . 例２ 如图 AB ＣD 的两条对角线交于点M,且AB =a,AD ＝b ，用a ，b 表示MA ,MB ,MC 和MD 例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于Ｅ，Ｏ是任意一点，求证：OA +OB +OC ＋OD ＝４OE例4(1)如图，OA ，OB 不共线,AP =t AB (t ∈Ｒ)用OA ,OB 表示OP .（2）设OA 、OB 不共线,点P 在O 、Ａ、Ｂ所在的平面内,且(1)()OP t OA tOB t R =-+∈．求证：A 、Ｂ、P 三点共线.例5 已知 a =２ｅ1-３e ２，b = 2e １+3e 2,其中e 1，e 2不共线,向量c =2e 1－9e 2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+、使与c 共线．四、课堂练习:1．设ｅ1、ｅ2是同一平面内的两个向量,则有( )Ａ.e 1、e 2一定平行Ｂ.ｅ1、e 2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μｅ2（λ、μ∈R ）D ．若e 1、e 2不共线,则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ）2.已知矢量ａ = e 1-2e 2，b =2e １+e ２,其中e 1、e 2不共线,则a +b 与c =6ｅ1-2ｅ2的关系A.不共线 B .共线 C.相等 D ．无法确定３.已知向量e 1、e 2不共线,实数ｘ、y 满足(3x －4y )ｅ1+（2x -３y ）ｅ2=6ｅ1＋3e ２，则x -y 的值等于( )A.3 B ．－3 C.0 D.24.已知a 、ｂ不共线，且c =λ1a +λ２ｂ(λ１，λ2∈R ），若c 与b 共线，则λ１= .5.已知λ1>０,λ2>0,e 1、e 2是一组基底,且ａ ＝λ1e 1+λ2e 2,则a 与ｅ１_＿__＿，ａ与ｅ2__＿__＿___(填共线或不共线)．五、小结（略）六、课后作业（略)：七、板书设计(略）八、课后记：第5课时§2.3．２—§2.3．3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算教学目的:(１）理解平面向量的坐标的概念；(2）掌握平面向量的坐标运算；（３)会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性.授课类型：新授课教 具:多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：１.平面向量基本定理：如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1,λ2使a =λ11e +λ２2e(1)我们把不共线向量e １、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2）基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e １、e 2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ,2e 唯一确定的数量二、讲解新课：１．平面向量的坐标表示如图,在直角坐标系内,我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ,使得yj xi a +=…………○１ 我们把),(y x 叫做向量a 的(直角)坐标,记作 ),(y x a =…………错误!其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标,＼o ＼a ｃ(○,2)式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地,)0,1(=i ，)1,0(=j ,)0,0(0=．如图,在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定.设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标;反过来,点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．设基底为i 、j ,则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=(2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标．AB ＝OB -OA ＝( x 2, y 2) - (x 1,ｙ1)= （x 2- x 1， ｙ2- y １）(3)若),(y x a =和实数λ,则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=,即),(y x a λλλ=三、讲解范例:例1 已知A(x 1，y １)，B （x 2,y ２)，求AB 的坐标．例2 已知a ＝(2,1）, b ＝(-3，４),求a +b ,a -b ,３a +４b 的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-１, ３)， C(3, 4),求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解:当平行四边形为ABCD 时,由DC AB =得D 1=(2， 2)当平行四边形为ACDB 时,得D ２=(４， 6),当平行四边形为DACB 时，得D ３=(-6, ０）例4已知三个力1F (３， 4)， 2F (2， -5), 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =0，求3F 的坐标． 解：由题设1F ＋2F +3F =0 得:(3, 4)+ (2, -5）+(x ， ｙ)=(0, 0)即:⎩⎨⎧=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=15y x ∴3F (-5,1) 四、课堂练习：1．若M(3, -2) N （-５， -1） 且 21=MP MN , 求P 点的坐标 2．若Ａ（0， 1)， Ｂ(1, 2), C （３, ４) , 则AB -２BC ＝ ．3.已知：四点A(５, 1）， B(3， ４), C(1, ３), Ｄ(5， -3) ， 求证:四边形AB ＣＤ是梯形.五、小结(略)六、课后作业(略)七、板书设计(略)八、课后记：第6课时§２.3．4 平面向量共线的坐标表示教学目的：(1）理解平面向量的坐标的概念;(2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标,判断向量是否共线．教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的(直角）坐标,记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标, 特别地,)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=．2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =,则b a +),(2121y y x x ++=,b a -),(2121y y x x --=,),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ,则()1212,y y x x AB --=二、讲解新课：a ∥b (b ≠0)的充要条件是ｘ1y 2-x ２ｙ1=0设a =(x 1， y 1) ，b =(x ２, y 2) 其中b ≠a .由a =λb 得, (x 1, ｙ1) ＝λ（x 2， y 2） ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ,x 1y 2-x ２y 1=０ 探究:（1）消去λ时不能两式相除,∵y 1， y ２有可能为0, ∵b ≠0 ∴ｘ2, ｙ２中至少有一个不为0（２)充要条件不能写成2211x y x y = ∵ｘ1, x ２有可能为0 （3）从而向量共线的充要条件有两种形式:a ∥b (b ≠0)01221=-=⇔y x y x b a λ 三、讲解范例：例1已知a =(４,2),b =(６， ｙ)，且a ∥b ，求ｙ.例2已知A(-1, －1), B(１,3)， Ｃ(2,５),试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系.例3设点Ｐ是线段P １P 2上的一点, P 1、P 2的坐标分别是(x 1,ｙ1),(ｘ２，y 2).(1) 当点P 是线段P 1P ２的中点时，求点P 的坐标;(2) 当点P 是线段P 1P ２的一个三等分点时，求点P 的坐标.例４若向量a =(－1,x)与b ＝(-ｘ, 2)共线且方向相同,求x解：∵a =(-1,x ）与b =(-ｘ， 2) 共线 ∴(-１）×2－ x •(－x ）=0∴ｘ=±2 ∵a 与b 方向相同 ∴x=2例5 已知A （-1, -1）， B(1，3）， Ｃ（1，5) ，D(2,7） ，向量AB 与CD 平行吗?直线AB 与平行于直线ＣD 吗?解:∵AB =（1－(-1）， 3－(-1)）=(2, 4) ， CD =(2-1,7-5)＝(1，2)又 ∵２×2-4×１＝０ ∴AB ∥CD又 ∵ AC =(1－(－1), 5-(-1))=(2，６) ，AB =(２, 4),２×4-２×6 ０ ∴AC 与AB 不平行∴A,Ｂ,C 不共线 ∴AB 与CD 不重合 ∴AB ∥C Ｄ四、课堂练习：１．若a =(2，3),b ＝（４,-1+y ）,且a ∥b ，则y ＝( ）Ａ.6 B .５ C.7 D.82.若A （x ,－1),B (1,３），C (2，5)三点共线,则x 的值为（ )A ．-３B .－1 Ｃ.１ D.３3.若AB =i +2j , DC =(3-x ）i +(4-ｙ)ｊ(其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). AB 与DC 共线,则x 、y 的值可能分别为（ ）A.1,2 B .２，2 Ｃ.３，２ D.２，4４．已知ａ=(4，2),ｂ=（６,y ），且a ∥b ，则y = .5.已知ａ=（１,2)，ｂ＝（ｘ，1),若a +２ｂ与２a -ｂ平行,则x 的值为 .6．已知□ＡＢCD 四个顶点的坐标为Ａ(5,７),B (3，x)，C （2,3)，D (4，x ),则x = ．五、小结 （略)六、课后作业(略）七、板书设计(略）八、课后记:§2.4平面向量的数量积第7课时一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：１．掌握平面向量的数量积及其几何意义;2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;3．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4．掌握向量垂直的条件．教学重点:平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课教 具:多媒体、实物投影仪内容分析:本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义;平面向量数量积的５个重要性质；平面向量数量积的运算律.教学过程:一、复习引入:1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ,使b =λa .2.平面向量基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ１1e +λ22e3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．任作一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y ,使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的(直角）坐标，记作),(y x a =4.平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =,则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ,),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 5.a ∥b （b ≠0)的充要条件是x １y 2－x ２ｙ1=06．线段的定比分点及λP 1, P 2是直线ｌ上的两点，P 是l 上不同于Ｐ1， Ｐ２的任一点,存在实数λ,使 P P 1=λ2PP ,λ叫做点P 分21P P 所成的比,有三种情况:λ>０(内分） (外分) λ<0 (λ＜－1) ( 外分）λ<0 (-1<λ<０)7. 定比分点坐标公式:若点P １（ｘ１,ｙ1） ,Ｐ2（x 2,y 2）,λ为实数，且P P 1＝λ2PP，则点Ｐ的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ),我们称λ为点P 分21P P 所成的比. ８. 点P 的位置与λ的范围的关系:①当λ>０时,P P 1与2PP同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点. ②当λ＜０（1-≠λ)时,P P 1与2PP反向共线,这时称点Ｐ为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP=b ， 可得OP =b a b a λλλλλ+++=++1111. 10.力做的功:W = |F |⋅|ｓ|cos θ，θ是Ｆ与s 的夹角．二、讲解新课：1.两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ,作OA ＝a ，OB =ｂ,则∠ＡO Ｂ＝θ(０≤θ≤π)叫ａ与b 的夹角.说明:(１）当θ=０时,ａ与b 同向；（２)当θ＝π时，a 与b 反向；(3)当θ=2π时，ａ与ｂ垂直，记a ⊥b ; (4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围０︒≤θ≤1８0︒2.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量ａ与b ,它们的夹角是θ,则数量|ａ||ｂ｜cos θ叫a 与ｂ的数量积,记作a ⋅b ，即有a ⋅b = ｜a ｜|b |co ｓθ,(０≤θ≤π)．并规定0与任何向量的数量积为0.⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量,符号由ｃos θ的符号所决定.（2)两个向量的数量积称为内积,写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积ａ×ｂ,而a ⋅ｂ是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略,也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0,且a ⋅b =0,则ｂ=０;但是在数量积中，若a ≠0,且ａ⋅b ＝0，不能推出b =0．因为其中c ｏｓθ有可能为0.（4)已知实数a 、b 、c (b ≠０)，则a ｂ=ｂc ⇒ a=ｃ.但是a ⋅b = b ⋅ca =ｃ 如右图:a ⋅b = ｜a ||b |ｃos β ＝ |b |｜ＯＡ｜,b ⋅ｃ = ｜ｂ|｜c |cos α = ｜ｂ｜|OA|⇒ a ⋅b ＝ b ⋅c 但a ≠ c（5）在实数中,有（ａ⋅b )c = ａ(b ⋅ｃ)，但是(a ⋅b )c ≠ a (ｂ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量,而一般a 与c 不共线．３.“投影”的概念：作图C。

第 10 课时：§2.4 向量的数量积（二）【三维目标】：一、知识与技能1. 掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题.2. 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题 二、过程与方法1.通过师生互动，学生自主探究、交流与合作培养学生探求新知及合作能力；2.通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力；3.让学生充分经历，体验数量积的运算律以及解题的规律。

三、情感、态度与价值观1.让学生进一步领悟数形结合的思想；2.让学生进一步理解向量的数量积，进一步激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.【教学重点与难点】：重点：运算律的理解和平面向量数量积的应用 难点：平面向量的数量积运算律的理解 【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题【复习提问】：1.（1）两个非零向量夹角的概念； （2）平面向量数量积（内积）的定义； （3）“投影”的概念；（4）向量数量积的几何意义； （5）两个向量的数量积的性质。

2．判断下列各题正确与否：①若0a =r r ，则对任一向量b r ，有0a b ⋅=r r； ( √ ) ②若0a ≠r r ，则对任一非零向量b r ，有0a b ⋅≠r r； ( × ) ③若0a ≠r r ，0a b ⋅=r r ，则0b =r r； ( × )④若0a b ⋅=r r ，则,a b r r至少有一个为零向量； ( × ) ⑤若a b a c ⋅=⋅r r r r ，则b c =r r 当且仅当0a ≠r r时成立； ( × )⑥对任意向量a r ，有22||a a =r r ． ( √ )二、研探新知1.数量积的运算律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）（1）交换律：a b b a ⋅=⋅r r r r证明：设,a b r r 夹角为θ，则||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅r r r r ，||||cos b a b a θ⋅=⋅⋅r r r r，∴a b b a ⋅=⋅r r r r ． （2）数乘结合律：()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r证明：若0=λ，此式显然成立.若0λ>，()||||cos a b a b λλθ⋅=r r r r ， ()||||cos a b a b λλθ⋅=r r r r，()||||cos a b a b λλθ⋅=r r r r ，∴()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r若0λ<，()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=r r r r r r r r，()||||cos a b a b λλθ⋅=r r r r，()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=r r r r r r r r．∴()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r综上可知()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r成立.（3）分配律：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r．在平面内取一点O ，作−→−OA =a r , −→−AB =b r，−→−OC =c r ，∵a b +r r （即−→−OB ）在c r 方向上的投影等于,a b r r 在c r 方向上的投影和，即：12||cos ||cos ||cos a b a b θθθ+=+r r r r∴12||||cos ||||cos ||||cos c a b c a c b θθθ+=+r r r r r r r ，∴()c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅r r r r r r r即：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r ．【说明】：（1）一般地，(a b ⋅r r)·c r ≠a r ·（b r ·c r ）（2）a r ·c r ＝b r ·c r ，c r ≠0ra r ＝b r（3）有如下常用性质：a r 2＝|a r |2,(a r ＋b r )2＝a r 2＋２a b ⋅r r ＋b r 2θθ1θ2a rb rABO Cc r（a r ＋b r ）·（c r ＋d u r ）＝a r ·c r ＋a r ·d u r ＋b r ·c r ＋b r ·d u r,2 向量的数量积不满足结合律分析：若有（a b ⋅r r ）c r ＝a r （b r ·c r ），设a r 、b r 夹角为σ，b r 、c r 夹角为β，则(a b ⋅r r )c r＝|a r |·|b r |cos α·c r ，a r ·(b r ·c r )＝a r ·|b r ||c r |cos β，∴若a r ＝c r ，α＝β，则|a r |＝|c r |，进而有：（a b ⋅r r ）c r ＝a r ·(b r •c r )，这是一种特殊情形，一般情况下不成立。

平面向量数量积的再研究
教学目标
1.理解平面向量的数量积的含义及几何意义
2.掌握向量的数量积的坐标表示，会进行平面向量的数量积的运算。

3.培养学生的观察能力、化归能力、运算能力以及灵活运用的实践能力。

【诊断练习】
1.，,，那么
2.菱形的边长为2，，那么
【探究1】
正方形的边长为6，是以为直径的圆上任一点，那么的取值范围是。

【变式1】
1.如图,在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB = 60︒，C为弧上的动点, AB与OC 交于点P ,那么的取值范围是．
【探究2】
2.圆是的外接圆，点是的中点，假设,那么
【变式2】
2.是锐角的外接圆的圆心，且,假设,
那么。

〔用表示〕
总结：
【当堂反应】
1.是圆的直径，长为，是圆上异于、的一点，是圆内一点〔含圆周〕，那么的最小值为。

2.点是的重心，且，，那么。

【课后检测】
1、直角中，，、是线段的动点，且，那么的取值范围为。

2、正边长为，点在其外接圆上运动，那么的取值范围是。

3、中，是的中点，，，，，那么。

4、假设点和点分别是双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上任意一点，那么的取值范围是。

5、中，，，。

假设是所在平面内任意一点，且，那么的最大值为。

6、在锐角中，，，那么的取值范围是。

7、在平面直角坐标系中，O为原点，,动点满足,那么的最大值是。

2.4 平面向量的数量积教案 A第1课时教学目标一、知识与技能1．掌握平面向量的数量积及其几何意义；2．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；二、过程与方法本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识．三、情感、态度与价值观通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力．教学重点、难点教学重点：平面向量数量积的定义．教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用.教学关键：平面向量数量积的定义的理解．教学方法本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识．学习方法通过类比物理中功的定义，来推导数量积的运算．教学准备教师准备: 多媒体、尺规.学生准备: 练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入新课在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W可由下式计算：W=| F | | s | cosθ，其中θ是F与s的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量（数量）．故从力所做的功出发，我们就顺其自然地引入向量数量积的概念．二、主题探究，合作交流提出问题①a ·b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么？②由所学知识可以知道，任何一种运算都有其相应的运算律，数量积是一种向量的乘法运算，它是否满足实数的乘法运算律？师生活动:已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a ||b |cosθ叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cosθ（0≤θ≤π）．其中θ是a 与b 的夹角，|a |cosθ（|b |cosθ）叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影．在教师与学生一起探究的活动中，应特别点拨引导学生注意:（1）两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积；（2）零向量与任一向量的数量积为0，即a ·0=0； （3）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；（4）当0≤θ<2π时cosθ>0，从而a ·b >0；当2π<θ≤π时，cosθ<0，从而a ·b <0．与学生共同探究并证明数量积的运算律．已知a 、b 、c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律: ①a ·b =b ·a （交换律）； ②（λa ）·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ）（数乘结合律）； ③（a +b ）·c =a ·c +b ·c （分配律）． 特别是:（1）当a ≠0时，由a ·b =0不能推出b 一定是零向量．这是因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有a ·b =0．注意：已知实数a 、b 、c （b ≠0），则ab =bc ⇒a =c ．但对向量的数量积，该推理不正确，即a ·b =b ·c 不能推出a =c ．由上图很容易看出，虽然a ·b =b ·c ，但a ≠c ．对于实数a 、b 、c 有（a ·b ）c =a （b ·c ）；但对于向量a 、b 、c ，（a ·b ）c =a （b ·c ）不成立．这是因为（a ·b ）c 表示一个与c 共线的向量，而a （b ·c ）表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以（a ·b ）c =a （b ·c ）不成立．提出问题①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？ ②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？师生活动:教师引导学生来总结投影的概念，可以结合“探究”，让学生用平面向量的数量积的定义，从数与形两个角度进行探索研究．教师给出图形并作结论性的总结，提出注意点“投影”的概念，如下图．定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影．并引导学生思考. A . 投影也是一个数量，不是向量；B . 当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ=0°时投影为|b |；当θ=180°时投影为-|b |．教师结合学生对“投影”的理解，让学生总结出向量的数量积的几何意义： 数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积．让学生思考:这个投影值可正、可负，也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数．教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质:设a 、b 为两个非零向量，θ为两向量的夹角，e 是与b 同向的单位向量． A . e ·a =a ·e =|a |cos θ． B . a ⊥b ⇔a ·b =0．C . 当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b =-|a ||b |．特别地a ·a =|a |2或|a |=a a ∙． D . cosθ=||||a ba b ∙． E . |a ·b |≤|a ||b |．上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证，教师给予必要的补充和提示，在推导过程中理解并记忆这些性质．讨论结果: ①略．②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cosθ的乘积．三、拓展创新，应用提高例1 已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为120°，求a ·b活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解．解: a ·b =|a ||b |cosθ=5×4 ×cos120°=5×4×（21-） =-10．点评: 确定两个向量的夹角，利用数量积的定义求解．例2 我们知道，对任意a ，b ∈R ，恒有（a +b ）2=a 2+2ab +b 2，（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2．对任意向量a 、b ，是否也有下面类似的结论？（1）（a +b ）2=a 2+2a ·b +b 2； （2）（a +b ）·（a -b ）=a 2-b 2． 解：（1）（a +b ）2=（a +b ）·（a +b ）=a ·b +a ·b +b ·a +b ·b =a 2+2a ·b +b 2；（2）（a +b ）·（a -b ）=a ·a -a ·b +b ·a -b ·b=a 2-b 2．例3 已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为60°，求（a +2b ）·（a -3b ）． 解: （a +2b ）·（a -3b ）=a ·a -a ·b -6b ·b=|a |2-a ·b -6|b |2=|a |2-|a ||b |cosθ-6|b |2 =62-6×4×cos60°-6×42 =-72．例4 已知|a |=3，|b |=4，且a 与b 不共线，当k 为何值时，向量a +k b 与a -k b 互相垂直？解: a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是（a +k b ）·（a -k b ）=0， 即a 2-k 2b 2=0．∵a 2=32=9，b 2=42=16， ∴9-16k 2=0．∴k =±43．也就是说，当k =±43时，a +k b 与a -k b 互相垂直．点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件．四、小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识，数量积的定义、几何意义，数量积的重要性质，数量积的运算律．2．教师与学生总结本节学习的数学方法，归纳类比、定义法、数形结合等．在领悟数学思想方法的同时，鼓励学生多角度、发散性地思考问题，并鼓励学生进行一题多解．课堂作业1．已知a ，b ，c 是非零向量，则下列四个命题中正确的个数为（ ） ①|a ·b |=|a ||b |⇔a ∥b ②a 与b 反向⇔a ·b =-|a ||b | ③a ⊥b ⇔|a +b |=|a -b | ④|a |=|b |⇔|a ·c |=|b ·c |A ．1B ．2C ．3D ．4 2．有下列四个命题:①在△ABC 中，若AB ·BC >0，则△ABC 是锐角三角形；②在△ABC 中，若AB ·BC >0，则△ABC 为钝角三角形； ③△ABC 为直角三角形的充要条件是AB ·BC =0； ④△ABC 为斜三角形的充要条件是AB ·BC ≠0． 其中为真命题的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④ 3．设|a |=8，e 为单位向量，a 与e 的夹角为60°，则a 在e 方向上的投影为（ ） A ．43 B ．4C ．42D ．8+234．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，有下列四个命题: ①（a ·b ）c -（c ·a ）b =0； ②|a |-|b |<|a -b |； ③（b ·c ）a -（c ·a ）b 不与c 垂直； ④（3a +2b ）·（3a -2b ）=9|a |2-4|b |2． 其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 5．在△ABC 中，设AB =b ，AC =c ，则22(|||)()b c b c ∙-等于（ ） A ．0 B ．21S △ABC C ．S △ABC D ．2S △ABC 6．设i ，j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量，且a =（m+1）i -3j ，b =i +（m -1）j ，如果（a +b ）⊥（a -b ），则实数m=_____________．7．若向量a 、b 、c 满足a +b +c =0，且|a |=3，|b |=1，|c |=4，则a ·b +b ·c +c ·a =_________． 参考答案:1．C 2．B 3．B 4．D 5．D 6．-2 7．-13第2课时教学目标一、知识与技能1．掌握平面向量数量积运算规律.2．能利用数量积的性质及数量积运算规律解决有关问题.3．掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题．二、过程与方法教师应在坐标基底向量的数量积的基础上，推导向量数量积的坐标表示．通过例题分析、课堂训练，让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素，知道其中一些因素，求出其他因素基本题型的求解方法．平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的，这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础．三、情感、态度与价值观通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度，培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质．教学重点、难点教学重点：平面向量数量积的坐标表示．教学难点：向量数量积的坐标表示的应用．教学关键：平面向量数量积的坐标表示的理解．教学突破方法：教师应在坐标基底向量的数量积的基础上，推导向量数量积的坐标表示．并通过练习，使学生掌握数量积的应用．教法与学法导航教学方法：启发诱导，讲练结合.学习方法：主动探究，练习巩固．教学准备教师准备：多媒体、尺规.学生准备：练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入新课前面我们学习了平面向量的坐标表示和坐标运算，以及平面向量的数量积，那么，能否用坐标表示平面向量的数量积呢？若能，如何表示呢？由此又能产生什么结论呢？本节课我们就来研究这个问题．（板书课题）二、主题探究，合作交流提出问题：①已知两个非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），怎样用a与b的坐标表示a·b呢？②怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？③你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？师生活动：教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究．提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示．教师可以组织学生到黑板上板书推导过程，教师给予必要的提示和补充．推导过程如下：∵a=x1ｉ+y1j，b=x2ｉ+y2j，∴a·b=（x1ｉ+y1j）·（x2ｉ+y2j）=x1x2ｉ2+x1y2ｉ·j+x2y1ｉ·j+y1y2j2．又∵ｉ·ｉ=1，j·j=1，ｉ·j=j·ｉ=0，∴a·b=x1x2+y1y2．教师给出结论性的总结，由此可归纳如下：A.平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和， 即a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2）， 则a ·b =x 1x 2+y 1y 2． B . 向量模的坐标表示若a =（x ，y ），则|a |2=x 2+y 2，或|a |=22y x +．如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），那么 a =（x 2-x 1，y 2-y 1），|a |=.)()(212212y y x x -+-C . 两向量垂直的坐标表示 设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则 a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0．D . 两向量夹角的坐标表示设a 、b 都是非零向量，a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），θ是a 与b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示，可得cos θ=121222221122||||x x y y a ba b x yx y+=++三、拓展创新，应用提高例1 已知A （1，2），B （2，3），C （-2，5），试判断△ABC 的形状，并给出证明． 活动：教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题．判断平面图形的形状，特别是三角形的形状时主要看边长是否相等，角是否为直角．可先作出草图，进行直观判定，再去证明．在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等，则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零，则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形．教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法．解：在平面直角坐标系中标出A （1，2），B （2，3），C （-2，5）三点，我们发现△ABC 是直角三角形．下面给出证明．∵AB =（2-1，3-2）=（1，1），AC =（-2-1，5-2）=（-3，3），∴AB ·AC =1×（-3）+1×3=0． ∴AB ⊥AC ．∴△ABC 是直角三角形．点评：本题考查的是向量数量积的应用，利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状．当给出要判定的三角形的顶点坐标时，首先要作出草图，得到直观判定，然后对你的结论给出充分的证明．例2 设a =（5，-7），b =（-6，-4），求a ·b 及a 、b 间的夹角θ（精确到1°）． 解：a ·b =5×（-6）+（-7）×（-4）=-30+28=-2．|a |=74)7(522=-+，|b |=22(6)(4)52-+-=，由计算器得cos θ=52742⨯-≈-0．03．利用计算器得θ≈1．6rad=92°． 四、小结1．在知识层面上，先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示，向量的模，两向量的夹角，向量垂直的条件．其次引导学生总结数量积的坐标运算规律，夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示．2．在思想方法上，教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法，定义法，待定系数法等．课堂作业1．若a =（2，-3），b =（x ，2x ），且a ·b =34，则x 等于（ ） A ．3 B ．31 C ．31- D ．-32．设a =（1，2），b =（1，m ），若a 与b 的夹角为钝角，则m 的取值范围是（ ） A ．m>21 B ．m<21 C ．m>21- D ．m<21- 3．若a =（cos α，sin α），b =（cos β，sin β），则（ ）A ．a ⊥bB ．a ∥bC ．（a +b ）⊥（a -b ）D ．（a +b ）∥（a -b ） 4．与a =（u ，v ）垂直的单位向量是（ ） A ．（2222,vu u vu v ++-）B ．（2222,vu u vu v +-+）C ．（2222,vu u vu v ++）D ．（2222,v u u v u v++-）或（2222,vu uv u v +-+） 5．已知向量a =（cos23°，cos67°），b =（cos68°，cos22°），u =a +t b （t ∈R ），求u的模的最小值．6．已知a ，b 都是非零向量，且a +3b 与7a -5b 垂直，a -4b 与7a -2b 垂直，求a 与b 的夹角．7．已知△ABC 的三个顶点为A （1，1），B （3，1），C （4，5），求△ABC 的面积． 参考答案：1．C 2．D 3．C 4．D5．|a |=23sin 23cos 67cos 23cos 2222+=+=1，同理有|b |=1．又a ·b =cos23°cos68°+cos67°cos22° =cos23°cos68°+sin23°sin68°=cos45°=22， ∴|u |2=（a +t b ）2=a 2+2t a ·b +t 2b 2=t 2+2t+1=（t+22）2+21≥21． 当t=22-时，|u|mi n =22． 6．由已知（a +3b ）⊥（7a -5b ）⇔（a +3b ）·（7a -5b ）=0⇔7a 2+16a ·b -15b 2=0．①又 （a -4b ）⊥（7a -2b ）⇔（a -4b ）·（7a -2b ）=0⇔7a 2-30a ·b +8b 2=0． ②①-②得46a ·b =23b 2，即a ·b =.2||222b b =③ 将③代入①，可得7|a |2+8|b |2-15|b |2=0，即|a |2=|b |2，有|a |=|b |，∴若记a 与b 的夹角为θ，则cosθ=2||12||||||||2b a b a b b b ∙==g g ．又θ∈[0°，180°]，∴θ=60°，即a 与b 的夹角为60°． 7．分析：S △ABC =21|AB ||AC |sin ∠BAC ，而|AB |，|AC |易求，要求sin ∠BAC 可先求出cos ∠BA C ．解：∵AB =（2，0），AC =（3，4），|AB |=2，|AC |=5， ∴cos ∠BAC =23043255||||AB AC AB AC ⨯+⨯==⨯．∴sin ∠BAC =54．∴S △ABC =21|AB ||AC |sin ∠BAC =21×2×5×54=4．教案 B第一课时教学目标一、知识与技能1. 了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2. 体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算．二、过程与方法体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力． 三、情感、态度与价值观通过自主学习、主动参与、积极探究，学生能感受数学问题探究的乐趣和成功的喜悦，增加学习数学的自信心和积极性，并养成良好的思维习惯． 教学重点平面向量数量积的定义，用平面向量的数量积表示向量的模、夹角． 教学难点平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用． 教 具多媒体、实物投影仪． 内容分析本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识．主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的3个重要性质；平面向量数量积的运算律． 教学流程概念引入→概念获得→简单运用→运算律探究→理解掌握→反思提高 教学设想：一、情境设置：问题1：回忆一下物理中“功”的计算，功的大小与哪些量有关？sθF结合向量的学习你有什么想法？力做的功：W = |F |⋅|S |cos θ，θ是F 与S 的夹角．（引导学生认识功这个物理量所涉及的物理量，从“向量相乘”的角度进行分析）二、新课讲解1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫a与b的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b= |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）．并规定：0与任何向量的数量积为0．问题2：定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果还是向量吗？（引导学生认清向量数量积运算定义中既涉及向量模的大小，又涉及向量的交角，运算结果是数量）注意：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别．（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定．（2）两个向量的数量积称为内积，写成a⋅b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a⋅b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．（3）在实数中，若a≠0，且a⋅b=0，则b=0；但是在数量积中，若a≠0，且a⋅b=0，不能推出b=0．因为其中cosθ有可能为0．（4）已知实数a、b、c（b≠0），则ab=bc ⇒ a=c．但是在向量的数量积中，a⋅b= b⋅c 推导不出a= c.如下图：a⋅b= |a||b|cosβ = |b||OA|，b⋅c= |b||c|cosα = |b||OA|⇒ a⋅b=b⋅c，但a≠c.（5）在实数中，有（a⋅b）c = a（b⋅c），但是在向量中，（a⋅b）c≠a（b⋅c）显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c 不共线．（“投影”的概念）：作图2．定义：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影．投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为|b|；当θ = 180︒时投影为-|b|．3．向量的数量积的几何意义：数量积a⋅b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积．例1 已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=2，|BC |=1，|CA |=3，求AB ·BC +BC ·CA +CA ．AB 的值. 解:由已知,|BC |2+|CA |2=|AB |2，所以△ABC 是直角三角形.而且∠ACB =90°, 从而sin ∠ABC =23，sin ∠BAC =21. ∴∠ABC =60°，∠BAC =30°.∴AB 与BC 的夹角为120°，BC 与CA 的夹角为90°，CA 与AB 的夹角为150°.故AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB =2×1×cos120°+1×3cos90°+3×2cos150°=-4.点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中AB 与BC 的夹角是120°,而不是60°. 探究1：非零向量的数量积是一个数量，那么它何时为正，何时为0 ，何时为负？当0°≤θ＜ 90°时a ·b 为正；当θ =90°时a ·b 为零； 90°＜θ ≤180°时a ·b 为负.探究2：两个向量的夹角决定了它们数量积的符号，那么它们共线或垂直时，数量积有什么特殊性呢？4．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量． （1）a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0．（2）当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |． 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||．（3） |a ⋅b | ≤ |a ||b |． 公式变形：cos θ =||||b a b a ⋅探究3：对一种运算自然会涉及运算律，回忆过去研究过的运算律，向量的数量积应有怎样的运算律？（引导学生类比得出运算律，老师作补充说明）向量a 、b 、c 和实数λ，有（1） a ⋅ b= b ⋅ a（2）（λa ）⋅ b= λ（a ⋅ b ）= a ⋅（λb ） （3）（a +b ）⋅ c = a · c+ b ⋅ c（进一步）你能证明向量数量积的运算律吗？（引导学生证明（1）、（2）） 例2 判断正误：①a ·0＝0；②0·a ＝０；③0-AB ＝BA ；④｜a ·ｂ｜＝｜a ｜｜ｂ｜；⑤若a ≠0，则对任一非零ｂ有a ·ｂ≠０；⑥a ·ｂ＝０，则a 与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量a ，ｂ，с都有（a ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧a 与ｂ是两个单位向量，则a ２＝ｂ２．上述8个命题中只有②③⑧正确；例3 已知｜a ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①a ∥ｂ，②a ⊥ｂ，③a 与ｂ的夹角是60°时，分别求a ·ｂ．解：①当a ∥ｂ时，若a 与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°， ∴a ·ｂ＝｜a ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若a 与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴a ·ｂ＝｜a ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝-18； ②当a ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴a ·ｂ＝０；③当a 与ｂ的夹角是60°时，有a ·ｂ＝｜a ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9．评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当a ∥ｂ时，有0°或180°两种可能．评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律． 三、课堂练习1．已知|a |=1，|b |=2，且（a -b ）与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） A ．60° B ．30° C ．135° D ．４５°2．已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为π3，那么向量m =a -4b 的模为（ ）A ．2B ．23C ．6D ．12 3．已知a 、b 是非零向量，若|a |=|b |则（a +b ）与（a -b ） . 4．已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2，|b |=1，则|a +b |·|a -b |= ． 5．已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = ．6．已知|a |=1，|b |=2，（1）若a ∥b ，求a ·b ；（2）若a 、b 的夹角为45°，求|a +b |；（3）若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角．参考答案:1．D 2．B 3．垂直4．215．-37；6. 解：（1）若a、b方向相同，则a·b=2；若a、b方向相反，则a·b=2（2）|a+b|=5．（3）45°．四、知识小结（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？（2）关于向量的数量积，你还有什么问题？五、课后作业教材第108页习题2．4 A组1、2、3、6、7教学后记数学课堂教学应当是数学知识的形成过程和方法的教学，数学活动是以学生为主体的活动，没有学生积极参与的课堂教学是失败的．本节课教学设计按照“问题——讨论——解决”的模式进行，并以学生为主体，教师以课堂教学的引导者、评价者、组织者和参与者同学生一起探索平面向量数量积定义、性质和运算律的形成与发展过程．始终做到以“学生为主体、教师为主导、思维为主攻、训练为主线”．第2课时教学目标一、知识与技能掌握平面向量的数量积坐标运算及应用．二、过程与方法1.通过平面向量数量积的坐标运算，体会向量的代数性和几何性.2.从具体应用体会向量数量积的作用．三、情感、态度与价值观学会对待不同问题用不同的方法分析的态度.教学重点、难点教学重点：平面向量数量积的坐标表示.教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用.教具多媒体、实物投影仪.教学设想一、复习引入向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便．上一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题．二、探究新知：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅． 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+=．所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=． 又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x +=． 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．即b a ⋅2121y y x x +=．2． 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=．如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=（平面内两点间的距离公式）． （2）向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x ． （3）两非零向量夹角的余弦（πθ≤≤0） cos θ =||||b a ba ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=．三、例题讲解例1 已知a = （3， -1），b = （1， 2），求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x ． 解：设x = （t ， s ）， 由{{9,39,4,24,x a t s x b t s ⋅=-=⇒⋅=-+=-{2,3.t s =⇒=- . ∴x = （2，-3）.例2 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3-１），则a 与b 的夹角是多少？分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值． 解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3-１）.有a ·b ＝3＋１＋3（3-１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22=⋅⋅b a b a . 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4π. 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定．例3 如图，以原点和A （5， 2）为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量AB 的坐标．解：设B 点坐标（x ， y ），则OB = （x ， y ），AB = （x -5， y -2）.∵OB ⊥AB ∴x （x -5） + y （y -2） = 0 即：x 2 + y 2 -5x - 2y = 0.又∵|OB | = |AB | ∴x 2 + y 2 = （x -5）2 + （y -2）2即：10x + 4y = 29.由{22121273,,520,223710429,,.22x x x y x y x y y y ⎧⎧==⎪⎪+--=⇒⎨⎨+==-=⎪⎪⎩⎩或.∴B 点坐标)23,27(-或)27,23(；AB =)27,23(--或)23,27(- .例4在△ABC 中，AB =（2， 3），AC =（1， k ），且△ABC 的一个内角为直角，求k 值．解：当∠A = 90︒时，AB ⋅AC = 0，∴2×1 +3×k = 0， ∴k =23-．当∠B = 90︒时，AB ⋅BC = 0，BC =AC -AB = （1-2， k -3） = （-1， k -3），∴2×（-1） +3×（k -3） = 0 ∴k =311．当∠C = 90︒时，AC ⋅BC = 0，∴-1 + k （k -3） = 0， ∴k =2133±． 四、小结1．本节课的内容：有关公式、结论（由学生归纳、总结）.2．本节课的思想方法：数形结合思想、分类讨论思想、方程（组）思想等. 五、课外作业教材第107页练习．。

2.4 向量的数量积（1）教学目标：1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解数量积的几何意义，掌握平面向量数量积的运算性质；2．通过知识发生、发展过程的教学，使学生感受和领悟“数学化”过程及思想；3．通过师生互动，自主探究，交流与学习，培养学生探求新知识及合作交流的学习品质．教学重点：向量数量积的含义及其物理意义、几何意义； 教学难点：向量数量积的含义、数量积的性质．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程： 一、问题情境问题1 向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘” 呢？ 二、学生活动问题2θcos ||||→→=S F W （其中θ是→F 与→S 三、建构数学问题3 求功的运算中可以抽象出什么样的数学运算？ 1．向量夹角．已知两个向量a 和b ，作−→−OA =a ，−→−OB =b ，则AOB θ∠=（0180θ≤≤）叫做向量a 与b 的夹角．当0θ=时，a 与b 同向； 当180θ=时，a 与b 反向；当90θ=时，a 与b 的夹角是90，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．2．向量数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅叫做a 与b 的数量积，记作a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅．说明：①实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量，不是向量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关，符号由cos θ的符号所决定；实数与向量的积是一个向量；②两个向量的数量积称为内积，写成a b ⋅；今后要学到两个向量的外积a ×b ，书写时要严格区分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；③零向量与任一向量的数量积是0；④在实数中，若a ≠0，且0=⋅b a ，则0=b ；但是在数量积中，若a ≠0，且a b ⋅=0，不能推出b =0，因为其中cos θ有可能为0；3．数量积的性质：设a 、b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则 ①cos ||||a ba b θ⋅=；（|a ||b |≠0） ②当a 与b 同向时，||||a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=-； 特别地：2||a a a ⋅=或||a a a =⋅； ③||||||a b a b ⋅≤；④a b ⊥0a b ⇔⋅=；（a ≠0，b ≠0）4．数量积的几何意义． （1）投影的概念：如图，−→−OA =a ，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||c o s O B b θ=．我们把||cos b θ（│a │cos θ）叫做向量b 在a 方向上（a 在b 方向上）的投影， 当θ为锐角时射影为正值； 当θ为钝角时射影为负值； 当θ为直角时射影为0； 当θ = 0︒时射影为||b ； 当θ= 180︒时射影为||b -．（2）提出问题：数量积的几何意义是什么？期望学生回答：数量积a b ⋅等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |αcos 的乘积．四、数学运用 1．例题．例1 判断正误，并简要说明理由．①a ·0=0； ②0·a =0； ③0－−→−AB =−→−BA ； ④a b ⋅=|a ||b |； ⑤若a ≠0，则对任一非零b ，有a b ⋅≠0； ⑥a b ⋅=0，则a 与b 至少有一个为0；⑦对任意向量a 、b 、c 都有(a b ⋅)·c =a ·(⋅c )； ⑧a 与b 是两个单位向量，则a 2=b 2例2 已知向量a 与向量b 的夹角为θ，|a |＝2，|b |＝3，分别在下列条件下求a b ⋅：（1）0135=θ；（2）a ∥b ；（3）a ⊥b ．CBb1B 1()BO1例3 已知正ABC ∆的边长为2，设−→−BC =a ，−→−CA =b ，−→−AB =c ，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅．变式 已知||3a =，||3b =，||23c =，且0a b c ++=， 求a b b c c a ⋅+⋅+⋅．2．巩固．（1）当a 与b 同向时，a b ⋅=___，当a 与b 反向时，a b ⋅=___，特别地，a ·a __=，|a |___=；（2）a ⊥b ______⇔，____cos =θ； （3）已知|a |=10，|b |=12，且(3a )·(51b )36-=，则a 与b 的夹角是_____； （4）已知|a |=2，|b |=2，a 与b 的夹角为045，要使λb -a 与a 垂直，____=λ； （5）已知|a |=4，|b |=3，①若a 与b 夹角为060，求(a +2b )·(a -3b )； ②若(2a -3b )·(2a +b )=61，求a 与b 的夹角θ．五、回顾反思1．有关概念：向量的夹角、投影、向量的数量积；2．向量数量积的几何意义和物理意义； 3．向量数量积的六条性质．ABC。

平面向量的数量积的应用一、知识回忆：1．平面向量的数量积1定义：设θ是a与b的夹角，那么|a|co θ叫做a在b的方向上的投影，|b|co θ叫做b在a的方向上的投影．b在a的方向上的投影是一个实数，而不是向量，当0°≤θ＜90°时，它是正数，当90°＜θ≤180°时，它是负数，当θ＝90°时，它是02b在a方向上的投影是一个数量，可正，可负，可为零．3．平面向量数量积的坐标表示设a＝1，1，b＝2，2，那么1a·b＝12＋12；2|a|＝错误!，|b|＝错误!；3a⊥b：12＋12＝0其中a，b≠0；4假设非零向量a与b夹角为θ，那么co θ＝错误!；5假设c的起点坐标和终点坐标分别为1，1，2，2，那么|c|＝错误!二、根底自测1．假设向量a＝1,1，b＝2,5，c＝3，满足条件8a－b·c＝30，那么等于________．解析：根据向量的坐标运算，8a－b·c＝30,18＋3＝30，＝42．向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝错误!，那么向量a和向量b 的数量积a·b＝________解析：由题意得a·b＝|a||b|co 30°＝2×错误!×错误!＝33．平面向量a与b的夹角为60°，a＝2,0，|b|＝1，那么|a＋2b|＝________解析：因为a＝2,0，|b|＝1，所以|a|＝2，a·b＝2×1×co 60°＝1，故|a＋2b|＝错误!＝2错误!4．a＝1,2，b＝－3，－3，假设b⊥a＋λb，那么实数λ的值为________．解析：a＋λb＝1,2＋λ－3，－3＝1－3λ，2－3λ∵a＋λb·b＝0，∴－31－3λ－32－3λ＝0，∴λ＝错误!三、例题讲解例1|a|＝4，|b|＝3，2a－3b2a＋b＝611求a与b的夹角θ；2求|a＋b|；3假设＝a，＝b，求△ABC的面积．【解析】1∵2a－3b2a＋b＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6∴co θ＝错误!＝错误!＝－错误!又0≤θ≤π，∴θ＝错误!2|a＋b|＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!3∵与的夹角θ＝错误!，∴∠ABC＝π－错误!＝错误!又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，∴S△ABC＝错误!||||in ∠ABC＝错误!×4×3×错误!＝3错误!【点评】1平面向量的数量积的运算有两种形式：一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算。

2.4 向量的数量积课堂导学三点剖析1.平面向量数量积的概念及其运算律【例1】 已知|a |=4，|b |=3，若：（1）a ∥b ；（2）a ⊥b ；（3）a 与b 的夹角为60°，分别求a ·b .思路分析：本题运用数量积的定义求数量积.已知|a |与|b |，a 与b 的夹角，由定义可求a ·b . 解：(1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角θ=0°,a ·b =|a ||b |cos0°=4×3×1=12;若a 与b 反向，则a 与b 的夹角θ=180°,a ·b =|a ||b |cos180°=4×3×(-1)=-12.(2)当a ⊥b 时,a 与b 的夹角为90°,a ·b =|a |·|b |cos90°=0,(3)当a 与b 的夹角θ=60°时，a ·b =|a ||b |cos60°=4×3×21=6. 温馨提示利用定义计算a 与b 的数量积，关键是确定两向量的夹角.当a ∥b 时，a 与b 的夹角可能是0°，也可能为180°，解题时容易遗漏180°的情形.2．平面向量数量积的应用【例2】已知|a |=2,|b |=3，a 与b 的夹角为45°,求使向量a +λb 与λa +b 的夹角为锐角时，λ的取值范围.解：设a +λb 与λa +b 的夹角为θ.则cosθ=||||)()(b a b a b a b a +++•+λλλλ＞0, 即(a +λb )·(λa +b )＞0,展开得，λa 2+(λ2+1)a ·b +λb 2＞0.∵|a |=2,|b |=3,a ·b =|a ||b |cos45°=3,∴2λ+3(λ2+1)+9λ＞0,即3λ2+11λ+3＞0. λ＜68511--或λ＞68511+-. 另外θ=0°时，λ=1.故λ≠1.∴λ∈(-∞,68511--)∪(68511+-,1)∪(1,+∞). 温馨提示求夹角时，注意与三角函数、不等式等知识相结合，但要注意角的范围.3.平面向量数量积的运算律同实数的运算律的比较【例3】 已知|a |=5，|b |=4，a 与b 的夹角为120°，求：（1）a ·b ；（2）（a +b ）2；（3）a 2-b 2；（4）（2a -b ）·（a +3b ）.思路分析：由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a +b ）2=（a +b ）·（a +b ）=（a +b ）·a +（a +b ）·b =a ·a +b ·a +a ·b +b ·b =a 2+2a ·b +b 2.解：（1）a ·b =|a ||b |cos120°=5×4×(-21)=-10; (2)(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2 =25-2×10+16=21; (3)a 2-b 2=|a |2-|b |2=25-16=9;(4)(2a -b )·（a +3b ）=2a 2+5a ·b -3b 2=2|a |2+5a ·b -3|b |2=2×25+5×(-10)-3×16=-48.温馨提示(1)在进行向量数量积运算时，应严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（a ±b ）2=a 2±2a ·b +b 2，（a +b ）·（a -b ）=a 2-b 2，（a +b +c ）=a 2+b 2+c 2+2a ·b +2b ·c +2a ·c .因此，有的同学会相当然的用（a ·b ）·c =a ·（b ·c ）,这是错误的.各个击破类题演练1已知|a |=2，|b |=5，且<a ,b >=45°,求a ·b .解：由数量积的定义，a 、b =|a ||b |cos<a ,b >=2×5×cos45°=25.变式提升1已知△ABC 中，a =5,b =8，∠C=60°,求BC ·CA .解：因为||=a =5,||=b =8,<,>=180°-∠C=180°-60°=120°,所以·=||||·cos<,>=5×8cos120°=-20.类题演练2已知a =(m+1,3),b =(1,m-1)，且a 与b 的夹角为钝角.若（2a +b ）与(a -3b )垂直，求a 与b 夹角的余弦.解析：∵(2a +b )⊥(a -3b ),∴2a 2-5a ·b -3b 2=0.即2［(m+1)2+9］-5［m+1+3(m-1)］-3［1+(m-1)2］=0,整理得m 2+10m-24=0,m=2或m=-12.∵a 与b 的夹角为钝角，∴m=2舍去.设a 与b 夹角为θ,则cosθ=2212215||||-=•b a b a . 变式提升2(2006全国高考Ⅰ,文1)已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=4，且a ·b =2，则a 与b 的夹角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.2π 解析：cos<a ·b >=21412||||=⨯-=•b a b a . ∴a 与b 的夹角为3π，故选C. 答案：C类题演练3 已知|a |=|b |=5，<a ,b >=3π,求|a +b |，|a -b |. 解：因为a 2=|a |2=25，b 2=|b |2=25，a ·b =|a ||b |cos<a ,b >=5×5cos3π=225. 所以|a +b |=（a +b ）2=.352525252)(222=++=•-+=+b a b a b a 同样可求|a -b |=.52525252)(222=-+=•-+=-b a b a b a变式提升3 （1）若向量a 与b 夹角为30°，且|a |=3，|b |=1，则向量p=a +b 与q=a -b 的夹角的余弦为______________.思路分析：本题可利用cosθ=||||b a b a •，由两向量的数量积和模求夹角余弦值. 解：∵p ·q =（a +b ）·（a -b ）=a 2-b 2=3-1=2，又∵|p |=|a +b |=7130cos 323222=+︒+=+•+b b a a , |q |=|a -b |=,1130cos 323222=+︒-=+-b ab a ∴cosθ=77272||||==•q p q p . 答案：772（2）若非零向量α、β满足|α+β|=|α-β|，求α与β所成的角.思路分析：涉及模与夹角的问题，一般考虑向量的数量积，也可以从向量的线性运算入手，结合模的几何意义解答.解：∵|α+β|=|α-β|,∴|α2|+2α·β+|β|2=|α|2-2α·β+|β|2，即4α·β=0，∴α·β=0，∴α⊥β.∴α与β所成的角为90°.。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、教材分析本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。

它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。

二．教学目标1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

理解掌握向量的模、夹角等公式。

能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题。

2．（1）通出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，学生在自主探究中发现了结论（2）通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法。

3．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神、三、教学重点难点重点：平面向量数量积的坐标表示.难点：向量数量积的坐标表示的应用.四、学情分析此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。

因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。

所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。

因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。

我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

理解掌握向量的模、夹角等公式。

能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。

五、教学方法1．实验法：多媒体、实物投影仪。

2．学案导学：见后面的学案。

3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习。

第十课时平面向量的数量积及运算律(二)教学目标：掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用.教学过程：Ⅰ.复习回顾上一节，我们一起学习向量数量积的定义，并一起由定义推证了5个重要性质，并得到了三个运算律，首先我们对上述内容作一简要回顾.这一节，我们通过例题分析使大家进一步熟悉数量积的定义、性质、运算律，并掌握它们的应用.Ⅱ.讲授新课［例1］已知：｜a ｜＝3，｜b ｜＝6，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b .分析：由数量积的定义可知，它的值是两向量的模与它们夹角余弦值的乘积，只要能求出它们的夹角，就可求出a ·b .解：①当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角 ＝0°，∴a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos0°＝3×6×1＝18；若a 与b 反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos180°＝3×6×(－1)＝－18；②当a ⊥b 时，它们的夹角θ＝90°，∴a ·b ＝0；③当a 与b 的夹角是60°时，有a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos60°＝3×6×12＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当a ∥b 时，有0°或180°两种可能.［例2］已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a－5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.分析：要求a 与b 的夹角，只要求出a ·b 与｜a ｜，｜b ｜即可.解：由已知(a ＋3b )⊥(7a －5b )⇔(a ＋3b )·(7a －5b )＝0⇔7a 2＋16a ·b －15b 2＝0 ①又(a －4b )⊥(7a －2b )⇔(a －4b )·(7a －2b )＝0⇔7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0 ②①－②得：46a ·b ＝23b 2即有a ·b ＝12 b 2＝12｜b ｜2， 将它代入①可得：7｜a ｜2＋8｜b ｜2－15｜b ｜2＝0即｜a ｜2＝｜b ｜2有｜a ｜＝｜b ｜∴若记a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b ｜a ｜｜b ｜ ＝12 ｜b ｜2｜b ｜｜b ｜ ＝12又θ∈［0°，180°］，∴θ＝60°所以a 与b 的夹角为60°.［例3］四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA→＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.解：四边形ABCD是矩形，这是因为：一方面：∵a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)，∴(a＋b)2＝(c＋d)2即｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝｜c｜2＋2c·d＋｜d｜2由于a·b＝c·d，∴｜a｜2＋｜b｜2＝｜c｜2＋｜d｜2①同理有｜a｜2＋｜d｜2＝｜c｜2＋｜b｜2②由①②可得｜a｜＝｜c｜，且｜b｜＝｜d｜即四边形ABCD两组对边分别相等.∴四边形ABCD是平行四边形另一方面，由a·b＝b·c，有b·(a－c)＝0，而由平行四边形ABCD可得a＝－c，代入上式得b·(2a)＝0即a·b＝0，∴a⊥b也即AB⊥B C.综上所述，四边形ABCD是矩形.评述：(1)在四边形中，AB→，BC→，CD→，DA→是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即a＋b＋c＋d＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.［例4］已知｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－3，求｜a＋b｜，｜a－b｜.解：∵｜a＋b｜2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×(－3)＋52＝23∴｜a＋b｜＝23 ，∵(｜a－b｜)2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝22－2×(－3)＋52＝35，∴｜a－b｜＝35 .［例5］已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，求a与b的夹角θ.解：∵(｜a＋b｜)2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝｜a｜2＋2｜a｜｜b｜cosθ＋｜b｜2∴162＝82＋2×8×10cosθ＋102，∴cosθ＝23，∴θ≈55°40［例6］在△ABC中，AB→＝a，BC→＝b，且a·b＜0，则△ABC的形状是 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定分析：此题主要考查两向量夹角的概念，应避免由a·b＝｜a｜｜b｜cos B＜0得cos B＜0，进而得B为钝角，从而错选C.解：由两向量夹角的概念，a与b的夹角应是180°－B∵a·b＝｜a｜｜b｜cos(180°－B)＝－｜a｜｜b｜cos B＜0∴cos B＞0又因为B∈(0°，180°)所以B为锐角.又由于角B 不一定最大，故三角形形状无法判定. 所以应选D.［例7］设e 1、e 2是夹角为45°的两个单位向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋e 2，试求：｜a ＋b ｜的值.分析：此题主要考查学生对单位向量的正确认识. 解：∵a ＋b ＝(e 1＋2e 2)＋(2e 1＋e 2)＝3(e 1＋e 2)， ∴｜a ＋b ｜＝｜3(e 1＋e 2)｜＝3｜(e 1＋e 2)｜＝3（e 1＋e 2）2＝3e 12＋2 e 1·e 2＋e 22 ＝3222121||45cos ||||2||e e e e ︒++＝322+.［例8］设｜m ｜＝2，｜n ｜＝1，向量m 与n 的夹角为π2，若a ＝4m －n ，b ＝m ＋2n ，c ＝2m －3n ，求a 2＋3(a ·b )－2(b ·c )＋1的值.解：∵｜m ｜＝2，｜n ｜＝1且m ⊥n ，∴m 2＝｜m ｜2＝4， n 2＝｜n ｜＝1，m ·n ＝0.∴a2＋3(a·b)－2(b·c)＋1＝(4m－n)2＋3(4m－n)·(m＋2n)－2(m＋2n)·(2m－3n)＋1＝16m2－8m·n＋n2＋12m2＋24m·n－3n·m－6n2－4m2－6m·n－8n·m＋12n2＋1＝24m2＋7n2＋1＝104.Ⅲ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题.Ⅳ.课后作业课本P83习题 4，7平面向量的数量积及运算律1．设a，b，c为任意非0向量，且相互不共线，则真命题为（）（1）（a·b）·c－(c·a)·b＝0 （2）|a|－|b|＜|a－b|（3）(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直（4）（3a+2b)(3a－2b)=9|a|2－4|b|2A.（2）（4）B.（2）（3）C.（1）（2）D.（3）（4）2．已知|a |＝3，|b |＝4，（a ＋b ）·（a ＋3b ）＝33，则a 与b 的夹角为 （ ）A.30°B.60°C.120°D.150°3．△ABC 中，AB →＝a ，BC→＝b ，且a ·b ＞0，则△ABC 为 （ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形4．已知等边△ABC 的边长为1，且BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 等于 （ ）A.－32B. 32C.0D. 945．已知|a |2＝1，|b |2＝2，（a －b )⊥a ，则a 与b 的夹角为 （ ）A.60°B.90°C.45°D.30°6．设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则（2e 1－e 2）（3e 1＋2e 2）＝ .7．已知| i |＝| j |＝1，i ·j ＝0，且a ＋b ＝2i －8j ，a －b ＝8i ＋16j ，求a ·b ＝ .8．已知|a |＝3，|b |＝5，如果a ∥b ，则a ·b ＝ .9．已知a ，b ，c 两两垂直，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求r ＝a ＋b ＋c 的长及它与a ，b ，c 的夹角的余弦.10．设a ，b 为两个相互垂直的单位向量，是否存在整数k ，使向量m ＝k a ＋b 与n ＝a ＋k b 的夹角为60°，若存在，求k 值；若不存在，说明理由.11．非零向量（a ＋3b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，求向量a 与b 夹角的余弦值.平面向量的数量积及运算律答案1．A 2．C 3．C 4．A 5．C 6．927．－63 8．±15 9．已知a ，b ，c 两两垂直，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求r ＝a ＋b ＋c 的长及它与a ，b ，c 的夹角的余弦.解：|r|＝|a＋b＋c|＝（a＋b＋c）2＝1＋4＋9＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝14设a＋b＋c与a、b、c的夹角分别为θ1，θ2，θ3则cosθ1＝a·（a＋b＋c）|a|·|a＋b＋c|＝114同理cosθ2＝214＝147，cosθ3＝31414.10．设a，b为两个相互垂直的单位向量，是否存在整数k，使向量m＝k a＋b与n＝a＋k b的夹角为60°，若存在，求k值；若不存在，说明理由.解：∵|a|＝|b|＝1，又a·b＝0m·n＝(k a＋b)·(a＋k b)＝2k，又|m|＝k2＋1 ，|n|＝k2＋1若cos60°＝m·n|m|·|n |＝2kk2＋1＝12∴k2＋4k＋1＝0∵k＝2±3 Z，∴不存在.11．19 38。

第10课时 §2.4 向量的数量积（3）【教学目标】一、知识与技能掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示.二、过程与方法让学生充分经历，体验数量积的运算律以及解题的规律三、情感、态度与价值观通过师生互动，自主探究，交流与学习培养学生探求新知识以及合作交流【教学重点难点】平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用【教学过程】一、复习：1．两平面向量垂直条件；2．两向量共线的坐标表示；3．x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则：1i i ⋅= ，1j j ⋅= ，0i j j i ⋅=⋅=．二、新课讲解：1．向量数量积的坐标表示：设1122(,),(,)a x y b x y == ，则1122,a x i y j b x i y j =+=+，∴22112212121212()()a b x i y j x i y j x x i x y i j y x j i y y j ⋅=++=+⋅+⋅+ 1212x x y y =+.从而得向量数量积的坐标表示公式：1212a b x x y y ⋅=+．2．长度、夹角、垂直的坐标表示：①长度：(,)a x y = 222||||a x y a =+⇒= ；②两点间的距离公式：若1122(,),(,)A x y B x y ，则AB = ③夹角：；④垂直的充要条件：∵0a b a b ⊥⇔⋅=，即12120x x y y +=（注意与向量共线的坐标表示的区别）三、例题分析：例1、设(5,7),(6,4)a b =-=--，求a b⋅例2、已知(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，求证ABC ∆是直角三角形例3、如图，以原点和(5,2)A 为顶点作等腰直角OAB ∆，使90B ∠= ，求点B 和向量AB 的坐标。

例4、在Rt ABC ∆中，(2,3)AB = ，(1,)AC k =，求k 值四、课时小结：两向量数量积的坐标表示：长度、夹角、垂直的坐标表示五、反馈练习：已知(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==，0αβπ<<<，（1）求证：()()a b a b +⊥-（2）若ka b + 与a kb - 的模相等，且0k ≠，求βα-的值。

向量的数量积教材分析：本节课是高中数学必修4第二章第四节内容，是在学习向量的加法、减法、数乘运算基础上介绍的另一种重要的运算。

平面向量的数量积是平面向量这一章的核心内容，是解决代数与几何问题的一个重要工具，同时也为空间向量数量积的学习奠定基础。

教学目标：知识与技能：（1）理解向量数量积的定义；（2）掌握向量数量积的性质和运算律；.（3）会应用数量积解决向量的模、夹角、垂直、共线等问题。

过程与方法：通过向量的线性运算及多项式乘法运算的对照，强化学生的类比思想； 情感与态度：通过数量积的性质及运算律的灵活应用，发展学生从特殊到一般的认知能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。

教学重难点：重点：向量数量积的定义及运算律.难点：向量数量积运算律的理解；向量数量积在解决向量模、夹角等问题的应用.教学方法：小组讨论，学生成果展示教学用品: 三角板，多媒体，粉笔教学过程：（一）课前自主学习1. 向量夹角的概念：__________________________________2. 向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ规定：0与任一向量的数量积为0，即=⋅练习:判断正误，并简要说明理由：（1）a ⋅b 是向量吗？ （ ）（2）a ⋅b 一定是非负实数吗？ （ ）（3）=⋅ ,00=. ( )（4）若a =0或b = 0，有a ⋅b = 0 ( )（5）若a ⋅b = 0，则a = 0或b = 0 ( )（6）若a ≠ 0且b ≠ 0，则a ⋅b ≠ 0 ( )3.向量数量积的性质： 小组讨论：向量的数量积有哪些性质？利用这些性质可以解决哪些问题?（1）两个非零向量a 与b ，a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0；（2）两个非零向量a 与b ，当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |；（3）cos θ =||||a ba b ⋅；（4）a ⋅a = |a |2，||a a a =⋅，a ba b cos ⋅=θ；（5）|a ⋅b | ≤ |a ||b |.4.向量数量积的运算律： （１）交换律：_________________________________________ （２）对实数的结合律：__________________________________（３）分配律：__________________________________________思考：)()(⋅=⋅对吗？（二）课堂讲练互动例1.已知向量a 与b 的夹角为θ，（132== ，分别在下列条件下求a ⋅b ：① θ=135° ② ⊥ ③ ∥(2) 2||=，3||=, 3=⋅, 求θ.(3) 3||=, 3-=⋅, θ=120°,求||.思考:如何由数量积求夹角及模? cos θ =||||a b a b ⋅ , a b a b cos ⋅=θ.例2.32== ，a 与b 的夹角为π32，求： （1）)3()2(+⋅- (2) |a +b | (3) |a -b |.例3.△ABC 中， ||3AB =，||4BC = ，||5AC =，求：(1) BC BA ⋅ (2) ()AB BC CA +⋅ (3) AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅.变：△ABC 中，若0>⋅，判断三角形的形状.（三）反馈练习 1设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝2.若||||a b a b +=-，则a b ⋅=_____________.3. 2145=+==，求向量a 与b 的夹角.（四）课堂小结问题一：向量数量积的概念包括哪些主要内容？问题二：说出向量数量积的性质及运算律。

2.4 向量的数量积整体设计教学分析课本从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的5个重要性质、运算律．向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来，这样为解决三角形的有关问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题．因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系．既然向量可以进行加减运算，一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢？如果能，运算结果应该是什么呢？另外，距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系．众所周知，向量概念的引入与物理学的研究密切相关，物理学家很早就知道，如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1)，那么力F所做的功图1W＝|F||s|cosθ.功W是一个数量，其中既涉及“长度”，也涉及“角”，而且只与向量F，s有关．熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算，从而引进向量的数量积的定义a·b＝|a||b|cosθ.这个定义不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等)，而且还可以用它来更加简捷地表述几何中的许多结果．向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量．平面向量的数量积，教材将其分为两部分，在第一部分向量的数量积中，首先研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定义，最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论；在第二部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上，利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式，得到了两向量垂直的判定的方法．本节课可采用“启发探索”式的教学方法，从教材内容看，由于前面已经学习了平面向量的线性运算的坐标表示，因此在教学中运用指导探究为教学的主线，通过启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探索，将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位．三维目标1．通过经历探究过程，掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，并掌握向量垂直的条件．2．通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力．3．通过探究平面向量的数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表示方法；掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题．4．通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度，培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质．重点难点教学重点：平面向量数量积的定义，平面向量数量积的坐标表示．教学难点：平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用，平面向量坐标表示的应用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答地更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题认识更深刻．物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究．在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功W 可由下式计算：W ＝|F||s |cos θ.其中θ是F 与s 的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量(数量)． 故从力所做的功出发，我们就顺其自然的引入向量数量积的概念．思路2.前面我们已学过，任意的两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量．我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算，就自然地会想到，任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能，其运算结果是什么呢？推进新课新知探究1．平面向量数量积的概念，向量的夹角． 2．数量积的重要性质及运算律． 3．两向量垂直的条件．活动：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a·b ，即a·b ＝|a||b |cos θ(0≤θ≤π)，其中θ是a 与b 的夹角．图2为两向量数量积的关系，并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2教师在与学生的一起探究活动中，应特别点拨引导学生注意：(1)两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积；(2)零向量与任一向量的数量积为0，即a ·0＝0；(3)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替； (4)当0≤θ<π2时cos θ>0，从而a·b >0；当π2<θ≤π时，cos θ<0，从而a·b <0.与学生共同探究并证明数量积的运算律．已知a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①a·b＝b·a(交换律)；②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．特别是：(1)当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．这是因为任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.(2)已知实数a、b、c(b≠0)，则ab＝＝c，但对向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c不能推出a＝c.由图3很容易看出，虽然a·b＝b·c，但a≠c.图3(3)对于实数a、b、c有(a·b)c＝a(b·c)，但对于向量a、b、c，(a·b)c＝a(b·c)不成立．这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)不成立．讨论结果：由向量数量积的定义可知，当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.应用示例思路1例1见课本本节例1.例2已知|a|＝3，|b|＝4，且a 与b 不共线．当k 为何值时，向量a ＋k b 与a －k b 互相垂直？活动：教师引导学生利用数量积的性质来求两向量垂直需满足的条件，教师可让学生独立完成，可找几个学生到黑板上去演练．解：a ＋k b 与a －k b 互相垂直的条件是(a ＋k b )·(a －k b )＝0， 即a 2－k 2b 2＝0.∵a 2＝32＝9，b 2＝42＝16， ∴9－16k 2＝0. ∴k＝±34.也就是说，当k ＝±34时，a ＋k b 与a －k b 互相垂直．点评：本题主要考查向量的数量积性质中垂直的条件.思路2例1已知四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →＝d ，且a·b ＝c·d ＝b·c ＝d·a ，试问四边形ABCD 的形状如何？活动：教师引导学生总结如何判断四边形的形状．利用向量的关系来判断四边形的形状，就是借助两个向量的共线或者垂直来判断四边形是平行四边形或是矩形．教师先让学生明确四边形各边的位置关系与长度关系，这可以借助向量的有关运算来完成．解：∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，即a ＋b ＋c ＋d ＝0， ∴a ＋b ＝－(c ＋d )．由上可得(a ＋b )2＝(c ＋d )2，即a 2＋2a·b ＋b 2＝c 2＋2c·d ＋d 2. 又∵a·b ＝c·d ，故a 2＋b 2＝c 2＋d 2. 同理，可得a 2＋d 2＝b 2＋c 2. 由上两式可得a 2＝c 2，且b 2＝d 2.即|a|＝|c|，且|b|＝|d |，也即AB ＝CD ，且BC ＝DA. ∴四边形ABCD 是平行四边形． 故AB →＝－CD →，即a ＝－c .又a·b ＝b·c ＝－a·b ，即a·b ＝0， ∴a ⊥b .即AB →⊥BC →.综上所述，四边形ABCD 是矩形．点评：本题考查的是向量数量积的性质应用，利用向量的数量积解决有关垂直问题，然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状．例2已知a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |，|b |＝|a ＋b |，求向量b 与a －b 的夹角．解：∵|b|＝|a ＋b|，|b|＝|a|，∴b 2＝(a ＋b )2. ∴|b|2＝|a|2＋2a·b ＋|b|2. ∴a·b ＝－12|b|2.而b·(a －b )＝b·a －b 2＝－12|b|2－|b|2＝－32|b |2，①由(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝|b|2－2×(－12)|b|2＋|b|2＝3|b|2， 而|a －b|2＝(a －b )2＝3|b|2， ∴|a －b|＝3|b|.②设a 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝－|b||a －b|，代入①②，得cos θ＝－32|b|2|b|×3|b|＝－32.又∵θ∈[0，π]， ∴θ＝5π6.点评：本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角的问题，解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.知能训练判断正误，并简要说明理由．①a ·0＝0；②0·a ＝0；③0－AB →＝BA →；④|a·b|＝|a||b |；⑤若a ≠0，则对任一非零b 有a·b ≠0；⑥a·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0；⑦对任意向量a ，b ，c 都有(a·b )c＝a (b·c )；⑧a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2.解：上述8个命题中只有③⑧正确．对于①，两个向量的数量积是一个实数，应有0·a ＝0； 对于②，应有0·a ＝0；对于④，由数量积定义有|a·b|＝|a||b ||cos θ|≤|a||b |，这里θ是a 与b 的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有|a ·b|＝|a||b |；对于⑤，若非零向量a 、b 垂直，有a·b ＝0； 对于⑥，由a·b ＝0可知a ⊥b ，可以都非零； 对于⑦，若a 与c 共线，记a ＝λc ， 则a·b ＝(λc )·b ＝λ(c·b )＝λ(b·c )， ∴(a·b )c ＝λ(b·c )c ＝(b·c )λc ＝(b·c )a . 若a 与c 不共线，则(a·b )c ≠(b·c )a .课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识，数量积的定义、运算，数量积的重要性质，数量积的运算律．2．教师与学生总结本节学习的数学方法：归纳类比、定义法、数形结合等．在领悟数学思想方法的同时，鼓励学生多角度、发散性的思考问题，并鼓励学生进行一题多解．作业课本习题2.4 1、2、3、4、5.设计感想1．本节的重点是平面向量数量积的概念，以及平面向量数量积的运算律，难点是平面向量数量积的应用．利用平面向量的数量积可以解决一些垂直问题，或者解决有关夹角问题．我们发现向量的引入使高中物理学科中的矢量理论有了数学依据，两门学科相互呼应，既可以促进高中学生对两门学科知识更好地理解和吸收，也有助于理科学生高中学习后期整个知识结构体系的整合．其实，“向量”和“矢量”是在数学和物理两门学科对同一量的两种不同称呼而已．在物理学中，矢量是相对于有大小而没有方向的“标量”的另一类重要物理量．几乎全部的高中物理学理论都是通过这两类量来阐释的．矢量广泛地应用于力学(如力，速度，加速度等)和电学(如电流方向，电场强度等)理论之中，在高中新教材中引入向量的数量积后，物理中的功和压强等就自然地形成．对向量进行系统深入的学习和研究，对学生在物理课上学习和理解矢量和标量的知识无疑将提供一个数学根据和许多运算便利．同样，学生在物理课上碰到的与矢量有关的物理实际又会使他们对向量有更深入的了解，并激发他们学习向量知识的兴趣和热情．如在力学中，对力、速度等的分解和合成，使用的就是向量的加减理论，数学和物理的完美结合，起到异曲同工之作用．2．本节的重要性是显而易见的，但本节有几个常见思维误区：不能正确理解向量夹角的定义，对于两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区．同时利用向量的数量积不但可以解决两向量垂直问题，而且还可以解决两向量共线问题，要深刻理解两向量共线、垂直的充要条件，应用的时候才能得心应手．备课资料一、向量的向量积在物理学中，由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要，就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积．定义如下：两个向量a与b的向量积是一个新的向量c：(1)c的模等于以a及b两个向量为边所作成的平行四边形的面积；(2)c垂直于平行四边形所在的平面；(3)其指向使a、b、c三向量成右手系——设想一个人站在c处观看a与b时，a按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b.向量a 与b 的向量积记作a ×b.设a 与b 两个向量的夹角为θ，则|a ×b|＝|a||b |sin θ.(1) (2)图4在上面的定义中已默认了a 、b 为非零向量，若这两个向量中至少有一个是零向量，则a ×b ＝0.向量的向量积服从以下运算律：(1)a ×b ＝－b ×a ；(2)a ×(b ＋c )＝a ×b ＋a ×c ；(3)(m a )×b ＝m(a ×b )． 二、备用习题1．已知a ，b ，c 是非零向量，则下列四个命题中正确的个数为( ) ①|a·b|＝∥b ②a 与b 反向＝－|a||b| ③a ⊥＋b|＝|a －b| ④|a|＝＝|b·c |A ．1B ．2C ．3D ．4 2．有下列四个命题：①在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 是锐角三角形； ②在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 为钝角三角形； ③△ABC 为直角三角形AB →·BC →＝0； ④△ABC 为斜三角形AB →·BC →≠0. 其中为真命题的是( )A ．①B ．②C ．③ D．④3．设|a |＝8，e 为单位向量，a 与e 的夹角为60°，则a 在e 方向上的投影为( )A ．4 3B ．4C ．4 2 D.324．设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，有下列四个命题： ①(a·b )c －(c·a )b ＝0； ②|a|－|b|<|a －b |；③(b·c )a －(c·a )b 不与c 垂直； ④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a|2－4|b |2. 其中正确的是( )A ．①② B．②③ C ．③④ D．②④ 5．在△ABC 中，设AB →＝b ，AC →＝c ，则b||c|2－b·c2等于( )A ．0 B.12S △ABCC ．S △ABCD ．2S △ABC6．设i 、j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量，且a ＝(m ＋1)i －3j ，b ＝i ＋(m －1)j ，如果(a ＋b )⊥(a －b )，则实数m ＝________.7．若向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a·b ＋b·c ＋c·a ＝________.8．设|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为150°，求： (1)(a －3b )·(2a ＋b )； (2)|3a －4b |.9．已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为45°，且向量λa ＋b 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．10．已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为π3，求向量m ＝2a ＋b 与向量n ＝a －4b 的夹角的余弦值．参考答案：1．C 2.B 3.B 4.D 5.D 6．－2 7.－13 8．(1)－30＋303；(2)337＋144 3.9．{λ|λ<－11－856或λ>－11＋856且λ≠1}．10．解：由向量的数量积的定义得a·b ＝2×1×cos π3＝1. ∵m ＝2a ＋b ，∴m 2＝4a 2＋b 2＋4a·b ＝4×4＋1＋4×1＝21， ∴|m |＝21. 又∵n ＝a －4b ，∴n 2＝a 2＋16b 2－8a·b ＝4＋16－8＝12. ∴|n |＝2 3.设m 与n 的夹角为θ， 则m·n ＝|m||n |cos θ.①又m·n ＝2a 2－7a·b －4b 2＝2×4－7－4＝－3，把m·n ＝－3，|m|＝21，|n|＝23代入①式，得－3＝21×23cos θ， ∴cos θ＝－714， 即向量m 与向量n 的夹角的余弦值为－714.(设计者：仇玉法)第2课时导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，其运算的表示方式也会改变．向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便．上一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题．思路2.在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示，在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示．推进新课新知探究1．平面向量的数量积的坐标表示和运算，向量垂直的坐标表示．2．由向量的坐标计算其数量积并由坐标形式求两个向量的夹角．3．运用向量垂直的坐标表示的条件解决一些综合问题．活动：平面向量的数量积这个实数如何用坐标表示，是培养学生数形结合这种重要思想方法的很好内容，在教学中抓住数形结合这条主线，不但推出了两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，推出平面内两点间的距离公式，并应用平面向量的数量积的坐标表示解决问题，这样不但能够提高学生的解题能力，而且培养学生会运用数形结合这种重要思想方法．本节课开始时应向学生指出：对平面向量的数量积的研究不能仅仅停留在几何角度，还要寻求其坐标表示；在引入新知识之前应复习前面的有关知识，如平面向量，两个向量的和与差，实数与向量的积的坐标表示，以及平面向量的基本定理．应将平面向量数量积的两种形式结合起来，交待等式a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．这个等式体现了数与形的结合，揭示了数与形的内在联系．教学中还应注意设计综合性问题，加强与前段知识的联系．若两个向量为a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b?设i，j分别是x轴和y轴上的单位向量，则i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0.∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1i·j＋y1y2j2.又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，∴a·b＝x1x2＋y1y2.教师给出结论性的总结，由此可归纳如下：(1)平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(2)向量模的坐标表示若a ＝(x ，y)，则|a |2＝x 2＋y 2，或|a |＝x 2＋y 2.如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，那么a ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|a |＝2－x 12＋2－y 12.(3)两向量垂直的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a⊥b x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4)两向量夹角的坐标表示设a 、b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：cos θ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 特别地，若a ⊥b ，则x 1x 2＋y 1y 2＝0； 反之，若x 1x 2＋y 1y 2＝0，则a ⊥b .应用示例例1课本本节例2. 例2课本本节例3. 变式训练1．(1)已知三点A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC 的余弦值； (2)a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，求a 与b 的夹角．活动：教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)的数量积a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2和模|a |＝x 21＋y 21，|b |＝x 22＋y 22的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值，即cos θ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时，需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚，以免出现不必要的错误．解：(1)AB →＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，AC →＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)， ∴AB →·AC →＝3×(－1)＋3×6＝15. 又∵|AB →|＝32＋32＝32，|AC →|＝－2＋62＝37，∴cos∠BAC＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝1532×37＝57474.(2)a·b ＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a|＝3，|b |＝5 2. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－153×52＝－22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝3π4.点评：本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角．利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高．2．设a ＝(5，－7)，b ＝(－6，－4)，求a·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1°)． 解：a·b ＝5×(－6)＋(－7)×(－4)＝－30＋28＝－2. |a |＝52＋72＝74，|b |＝－2＋－2＝52，由计算器得cos θ＝－274×52≈－0.03.利用计算器得θ≈92°.例3课本本节例4.例4已知|a |＝3，b ＝(2,3)，试分别解答下面两个问题： (1)若a ⊥b ，求a ；(2)若a ∥b ，求a .活动：对平面中的两向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，向量垂直的坐标表示x 1x 2＋y 1y 2＝0与向量共线的坐标表示x 1y 2－x 2y 1＝0很容易混淆，要让学生在应用中深刻领悟其本质属性，两向量垂直是a·b ＝0，而共线是方向相同或相反．教师可多加强反例练习，多给出这两种类型的同式变形训练，以此巩固并能熟练地掌握和运用．解：(1)设a ＝(x ，y)，由|a |＝3且a ⊥b ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝|a |2＝9，2x ＋3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－91313，y ＝61313或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝91313，y ＝－61313，∴a ＝(－91313，61313)或a ＝(91313，－61313)．(2)设a ＝(x ，y)，由|a |＝3且a ∥b ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝|a |2＝9，3x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝61313，y ＝91313或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－61313，y ＝－91313，∴a ＝(61313，91313)或a ＝(－61313，－91313)．点评：本题主要考查学生对公式的掌握情况，学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线，也能熟练地进行公式的逆用，利用已知关系来求向量的坐标.知能训练课本练习1～8.课堂小结1．在知识层面上，先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示，向量的模，两向量的夹角，向量垂直的条件．其次引导学生总结数量积的坐标运算规律，夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示．2．在思想方法上，教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法，定义法，待定系数法等．作业课本习题2.4 8、9、10.设计感想1．由于本节课是对平面向量的进一步探究与应用，是对平面向量几何意义的综合研究提高，因此教案设计流程是探究、发现、应用、提高，这符合新课程理念，符合新课标要求．我们知道平面向量的数量积是本章最重要的内容，也是高考中的重点，既有选择题、填空题，也有解答题(大多与立体几何、解析几何一起综合考查)，故学习时要熟练掌握基本概念和性质及其综合运用．而且数量积的坐标表示又是向量运算的一个重要内容，用坐标表示直角坐标平面内点的位置，是解析几何的一个基本特征，从而以坐标为桥梁可以建立向量与解析几何的内在联系．以三角函数表示点的坐标，又可以沟通向量与三角函数的相互关系，由此就产生出一类向量与解析几何及三角函数交汇的综合性问题．2．本节课学习的重点是两个向量数量积的坐标表示；两个向量垂直的坐标表示以及利用向量数量积的坐标表示解决有关的几何问题．本节学习的难点是建立向量与坐标之间的关系．平面向量数量积的坐标表示使得向量数量积的应用更为方便，也拓宽了向量应用的途径，通过学习本节的内容，要更加加深对向量数量积概念的理解．同时善于运用坐标形式运算解决数量问题，尤其是有关向量的夹角、长度、垂直等，往往可以使问题简单化．灵活使用坐标形式，综合处理向量的线性运算、数量积、平行等，综合地解决向量综合题，体现数形结合的思想．在本节的学习中可以通过对实际问题的抽象来培养学生分析问题、解决问题和应用知识解决问题的意识与能力．备课资料一、|a·b|≤|a||b|的应用若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则平面向量的数量积的性质|a·b|≤|a||b|的坐标表示为x1x2＋y1y2≤x21＋y21x22＋y22 (x1x2＋y1y2)2≤(x21＋y21)(x22＋y22)．不等式(x1x2＋y1y2)2≤(x21＋y21)(x22＋y22)有着非常广泛的应用，由此还可以推广到一般(柯西不等式)：(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2≤(a1＋a2＋…＋a n)(b1＋b2＋…＋b n)．例1(1)已知实数x，y满足x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值是________；(2)已知实数x，y满足(x＋2)2＋y2＝1，则2x－y的最大值是________．解析：(1)令m＝(x，y)，n＝(1,1)．∵|m·n|≤|m||n|，∴|x＋y|≤x2＋y2·2，即2(x2＋y2)≥(x＋y)2＝16.∴x2＋y2≥8.故x2＋y2的最小值是8.(2)令m＝(x＋2，y)，n＝(2，－1)，2x－y＝t.由|m ·n |≤|m ||n |，得|2(x ＋2)－y|≤＋2＋y 2·5＝5，即|t ＋4|≤5，解得－4－5≤t≤5－4，故所求的最大值是5－4. 答案：(1)8 (2)5－4例2已知a ，b∈R ，θ∈(0，π2)，试比较a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ与(a ＋b)2的大小．解：构造向量m ＝(a cos θ，bsin θ)，n ＝(cos θ，sin θ)，由|m ·n |≤|m ||n |得(a cos θcos θ＋b sin θsin θ)2≤(a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)， ∴(a＋b)2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 同类变式：已知a ，b∈R ，m ，n∈R ，且mn≠0，m 2n 2>a 2m 2＋b 2n 2，令M ＝m 2＋n 2，N ＝a ＋b ，比较M 、N 的大小．解：构造向量p ＝(a n ，bm )，q ＝(n ，m)，由|p ·q |≤|p ||q |得(a n ×n＋b m ×m)2≤(a 2n 2＋b 2m 2)(m 2＋n 2)＝a 2m 2＋b 2n 2n 2m2(m 2＋n 2)<m 2＋n 2，∴M>N. 例3设a ，b∈R ，A ＝{(x ，y)|x ＝n ，y ＝na ＋b ，n∈Z }，B ＝{(x ，y)|x ＝m ，y ＝3m 2＋15，m∈Z }，C ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤144}是直角坐标平面xOy 内的点集，讨论是否存在a 和b ，使得A∩B≠∅与(a ，b)∈C 能同时成立．解：此问题等价于探求a 、b 是否存在的问题，它满足⎩⎪⎨⎪⎧na ＋b ＝3n 2＋15，①a 2＋b 2≤144.②设存在a和b 满足①②两式，构造向量m ＝(a ，b)，n ＝(n,1)．由|m ·n |2≤|m |2|n |2得(na ＋b)2≤(n 2＋1)(a 2＋b 2)， ∴(3n 2＋15)2≤144(n 2＋1) ⇒n 4－6n 2＋9≤0.解得n ＝±3，这与n∈Z 矛盾，故不存在a 和b 满足条件． 二、备用习题1．若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x)，且a ·b ＝43，则x 等于( )A ．3 B.13 C ．－13D ．－32．设a ＝(1,2)，b ＝(1，m)，若a 与b 的夹角为钝角，则m 的取值范围是( ) A ．m>12 B ．m<12C ．m>－12D ．m<－123．若a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，则( ) A ．a ⊥b B ．a ∥bC ．(a ＋b )⊥(a －b )D ．(a ＋b )∥(a －b ) 4．与a ＝(u ，v)垂直的单位向量是( ) A ．(－vu 2＋v 2，uu 2＋v 2) B ．(v u 2＋v 2，－uu 2＋v 2) C ．(v u 2＋v 2，uu 2＋v2) D ．(－v u 2＋v 2，u u 2＋v 2)或(v u 2＋v 2，－uu 2＋v2) 5．已知a ，b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角．6．已知△ABC 的三个顶点为A(1,1)，B(3,1)，C(4,5)，求△ABC 的面积． 参考答案：1．C 2.D 3.C 4.D5．解：由已知(a ＋3b )⊥(7a －5b ) ⇔ (a ＋3b )·(7a －5b )＝0 ⇔7a 2＋16a ·b －15b2＝0，①又(a －4b )⊥(7a －2b ) ⇔ (a －4b )·(7a －2b )＝0 ⇔7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0，②①－②得46a ·b ＝23b 2，即a ·b ＝b 22＝|b |22.③将③代入①式可得7|a |2＋8|b |2－15|b |2＝0，即|a |2＝|b |2，有|a |＝|b |， ∴若记a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝|b |22|b ||b |＝12.又θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°，即a 与b 的夹角为60°.6．分析：S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin∠BAC，而|AB →|，|AC →|易求，要求sin∠BAC 可先求出cos∠BAC.解：∵AB →＝(2,0)，AC →＝(3,4)，|AB →|＝2，|AC →|＝5， ∴cos∠BAC＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝2×3＋0×42×5＝35.∴sin∠BAC＝45.∴S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin∠BAC＝12×2×5×45＝4.三、新教材新教法的二十四个“化”字诀新课导入新颖化，揭示概念美丽化；纵横相联过程化，探索讨论热烈化；探究例题多变化，引导思路发散化；学生活动主体化，一石激浪点拨化；大胆猜想多样化，论证应用规律化；变式训练探究化，课堂教学艺术化；学法指导个性化，对待学生情感化；作业抛砖引玉化，选题质量层次化；学生学习研究化，知识方法思想化；抓住闪光激励化，教学相长平等化；教学意识超前化，与时俱进媒体化；灵活创新智慧化，学生素质国际化．(设计者：仇玉法) 附：2．4 向量的数量积第1课时作者：蒋国庆，江苏省泰兴市第四高级中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛一等奖．整体设计在《普通高中课程标准实验教科书·数学4(必修)》中，2.4平面向量的数量积约用3课时完成．本文从教材分析、目标分析、教学过程、设计说明等几个方面系统阐述第1课时的教学设计．教材分析1．教材的地位和作用向量在物理学中的应用非常广泛，在解析几何中应用更为直接，用向量方法特别便于研究涉及空间里直线与平面的各种问题．平面向量的数量积是向量的基本运算之一，在处理有关长度、角度和垂直问题等方面有很好的应用．“平面向量的数量积”是《平面向量》中的基础知识与重点内容．2．教学重点与难点本节课的重点是理解平面向量的数量积的概念及运算律，这也是本节课的难点．目标分析通过本节课的教学，预计达到下面三个目标：1．知识目标：理解平面向量的数量积的概念；能用公式和运算律进行计算．2．能力目标：培养学生的理性思维能力、创造性思维能力、逻辑思维能力和思维的批判性．3．情感目标：鼓励学生探索发现规律，激发学生学习数学的兴趣．学法分析向量的数量积的结果是一个数量，而不是一个向量．像这样的运算结果与运算对象不在同一“范围”内的运算，学生首次接触，理解上有一定的困难，本文的教学设计准备通过预设的系列问题，发动学生进行合作讨论，调动学生参与到探索中来，让他们总结规律，从而充分经历，体验“发现定义”的过程．教学过程本节课共分四大环节：理解定义、总结性质、学习运算律、巩固训练．1．理解定义教学设想：首先引导学生复习已学过的向量运算，并与实数的加法、减法及实数的乘法进行比较，让学生大胆思维，猜想有无这样的向量运算，结果是一个数量而不是一个向量？在数学上，以前肯定没学过．引导学生进一步联想，在物理上见过两个矢量运算的结果是一个标量的例子吗？有部分学生联想到力对物体作用产生的位移所做的功，力F是一个向量，位移s是一个向量，而功W是一个标量，这时又让学生思考相应的物理公式W＝|F||s|cosθ，这样就为向量数量积概念的引入做了一个积极的铺垫．通过学生联想类比物理学中的“功”，找到向量数量积的原型；通过讨论求功运算的特点，进而抽象出向量数量积的定义．这一过程培养了学生的发散性思维能力及创造性思维能力．复习思考：运算结果向量的加法―→向量向量的减法―→向量实数与向量的乘法―→向量两个向量的乘法―→？？？？(1)物理意义下的“功”：一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？W＝|F||s|cosθ.。

教学准备
教学目标
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;
3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题;
4.掌握向量垂直的条件.
教学重难点
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
教学过程
1.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，
则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积，记作a×b，即有a×
b=|a||b|cosq，(0≤θ≤π).
并规定0向量与任何向量的数量积为0.
×探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为负?
2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别?
(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.
(2)两个向量的数量积称为内积，写成a×b;今后要学到两个向量的外积a×b，而a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
(3)在实数中，若a?0，且a×b=0，则b=0;但是在数量积中，若a?0，且a×b=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0.。