八年级数学下册18平行四边形1822菱形2导学案新人教版

人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 菱形课时2菱形的判定教案【教学目标】知识与技能目标1．理解并运用菱形的定义和两个判定定理进行有关的推理论证和计算.2．了解菱形的现实应用和常用判别条件．过程与方法目标1．从菱形性质定理的逆命题出发,提出猜想,发现结论,然后给出证明,进一步理解互逆命题的意义,体会菱形的性质与判定的区别与联系.2．让学生经历探索菱形判定定理的过程,理解并掌握菱形的判定方法,积累几何学习的经验,培养学生的观察能力、动手能力,发展合情推理和演绎推理能力.情感、态度与价值观目标1．让学生在探究过程中加深对菱形的理解,养成主动探索的学习习惯.2．通过菱形与矩形判定方法的类比,进一步体会类比的思想方法的作用. 【教学重点】菱形的定义和判定定理的运用．【教学难点】探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．【教学过程设计】一、情境导入我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线互相垂直平分；2．四条边都相等；3．每条对角线平分一组对角．这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？二、合作探究知识点一：菱形的判定【类型一】利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形例 1如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.求证：四边形BCFE是菱形．解析：由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．证明：∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝2DE.∵D、E分别是AB、AC的中点，∴BC＝2DE且DE∥BC，∴EF＝BC.又∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．方法总结：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．【类型二】利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形例 2如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.求证：(1)AC⊥BD；(2)四边形ABCD是菱形．解析：(1)证得△BAC是等腰三角形后利用“三线合一”的性质得到AC⊥BD 即可；(2)首先证得四边形ABCD是平行四边形，然后根据“对角线互相垂直”得到平行四边形是菱形．证明：(1)∵AE∥BF，∴∠BCA＝∠CAD.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BCA＝∠BAC，∴△BAC是等腰三角形．∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；(2)∵△BAC是等腰三角形，∴AB＝CB.∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD.∵AE∥BF，∴∠CBD＝∠BDA，∴∠ABD＝∠BDA，∴AB＝AD，∴DA ＝CB.∵BC∥DA，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD 是菱形．方法总结：用判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形的前提条件是该四边形是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．【类型三】 利用“四条边相等的四边形是菱形”判定四边形是菱形例 3 如图，已知△ABC ，按如下步骤作图：①分别以A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交于P ，Q 两点；②作直线PQ ，分别交AB ，AC 于点E ，D ，连接CE ；③过C 作CF ∥AB 交PQ 于点F ，连接AF .(1)求证：△AED ≌△CFD ；(2)求证：四边形AECF 是菱形．解析：(1)由作图知PQ 为线段AC 的垂直平分线，从而得到AE ＝CE ，AD ＝CD .然后根据CF ∥AB 得到∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，利用“AAS ”证得两三角形全等即可；(2)根据(1)中全等得到AE ＝CF .然后根据EF 为线段AC 的垂直平分线，得到EC ＝EA ，FC ＝F A .从而得到EC ＝EA ＝FC ＝F A ，利用“四边相等的四边形是菱形”判定四边形AECF 为菱形．证明：(1)由作图知PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD .∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED .在△AED 与△CFD 中，⎩⎨⎧∠EAC ＝∠FCA ，∠AED ＝∠CFD ，AD ＝CD ，∴△AED ≌△CFD (AAS)；(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF .∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝F A ，∴EC ＝EA ＝FC ＝F A ，∴四边形AECF 为菱形．方法总结：判定一个四边形是菱形把握以下两起点：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定．知识点二：菱形的判定的应用【类型一】 菱形判定中的开放性问题例 4如图，平行四边形ABCD 中，AF 、CE 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是__________(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)．解析：∵AD ∥BC ，∴∠F AD ＝∠AFB .∵AF 是∠BAD 的平分线，∴∠BAF ＝∠F AD ，∴∠BAF ＝∠AFB ，∴AB ＝BF .同理ED ＝CD .∵AD ＝BC ，AB ＝CD ，∴AE ＝CF .又∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则添加的一个条件可以是AC ⊥EF .方法总结：菱形的判定方法常用的是三种：(1)定义；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【类型二】 菱形的性质和判定的综合应用例 5 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF .(1)求证：∠BAC ＝∠DAC ，∠AFD ＝∠CFE ；(2)若AB ∥CD ，试证明四边形ABCD 是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E 点的位置，使得∠EFD ＝∠BCD ，并说明理由． 解析：(1)首先利用“SSS ”证明△ABC ≌△ADC ，可得∠BAC ＝∠DAC .再证明△ABF ≌△ADF ，可得∠AFD ＝∠AFB ，进而得到∠AFD ＝∠CFE ；(2)首先证明∠CAD ＝∠ACD ，再根据“等角对等边”，可得AD ＝CD .再由条件AB ＝AD ，CB ＝CD ，可得AB ＝CB ＝CD ＝AD ，可得四边形ABCD 是菱形；(3)首先证明△BCF ≌△DCF ，可得∠CBF ＝∠CDF ，再根据BE ⊥CD 可得∠BEC ＝∠DEF ＝90°，进而得到∠EFD ＝∠BCD .(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (SSS)，∴∠BAC ＝∠DAC .在△ABF 和△ADF 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠BAF ＝∠DAF ，AF ＝AF ，∴△ABF ≌△ADF (SAS)，∴∠AFD ＝∠AFB .∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠AFD ＝∠CFE ；(2)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD .又∵∠BAC ＝∠DAC ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD .∵AB ＝AD ，CB ＝CD ，∴AB ＝CB ＝CD ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形；(3)解：当EB ⊥CD 于E 时，∠EFD ＝∠BCD .理由如下：∵四边形ABCD 为菱形，∴BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF .在△BCF 和△DCF 中，⎩⎨⎧BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF ，CF ＝CF ， ∴△BCF ≌△DCF (SAS)，∴∠CBF ＝∠CDF .∵BE ⊥CD ，∴∠BEC ＝∠DEF ＝90°，则∠BCD ＋∠CBF ＝∠EFD ＋∠CDF ＝90°， ∴∠EFD ＝∠BCD .方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．三、教学小结本节课你有哪些收获?学生归纳小结菱形的判定方法:(1)菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.(2)菱形的判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.(3)菱形的判定定理:四条边相等的四边形是菱形四、学习检测1.下列说法正确的是( )A.对角线相等的平行四边形是菱形B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.有一个角是直角的平行四边形是菱形解析:根据菱形的定义与判定定理直接辨别各选项正确与否.由菱形的定义,可知一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,因此,选项B正确.故选B.2.已知平行四边形ABCD,下列条件:①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC=BD.其中能使平行四边形ABCD是菱形的有( )A.①③B.②③C.③④D.①②③解析:对角线互相垂直的平行四边形是菱形,一组邻边相等的平行四边形是菱形,因此①③都可以判定平行四边形ABCD是菱形.故选A.3.用直尺和圆规作一个菱形,如图,能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )A.一组邻边相等的四边形是菱形B.四条边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形解析:根据菱形的判定定理(四条边相等的四边形是菱形)即可判定,由题中图的作法可知AD=AB=DC=BC,∴四边形ABCD是菱形.故选B.4.一个平行四边形的一条边长是3,两条对角线的长分别是4和2,这是一个特殊的平行四边形吗?为什么?求出它的面积解析:先根据题意画出相应的图形,如图.根据平行四边形的对角线互相平分,可求出OB及OA的长,由勾股定理的逆定理可得∠BOA为直角,进而得AC⊥BD.根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可得平行四边形ABCD为菱形.根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求得菱形ABCD的面积.解:这是一个菱形.理由如下:如图,▱ABCD中,AC=4,BD=2,AB=3,∴OA=AC=2,OB=BD=.∵OA2+OB2=22+()2=9,而AB2=32=9,∴OA2+OB2=AB2.∴△AOB是直角三角形,∠AOB=90°.∴AC⊥BD.∴▱ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).S菱形ABCD=AC·BD=×4×2=4.【板书设计】18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形课时1 矩形的性质1．菱形的判定有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形．2．菱形的性质和判定的综合运用3．学习检测【教学反思】在本节数学课的教学中，在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用．通过做不同形式的练习题，让学生能准确掌握菱形的判定并会灵活运用．人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形课时1矩形的性质学案【学习目标】1．理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系；2．会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题；3．掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用．【学习重点】理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系；掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用．【学习难点】会会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算．【自主学习】一、知识回顾1．菱形的定义是什么？性质有哪些？2．根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定方法是什么？用数学语言如何表示？有一组邻边_____的______________是菱形.数学语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形二、自主探究知识点1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形想一想前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？猜想：对角线互相_________的平行四边形是菱形.证一证已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O,AC ⊥BD.求证：□ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴OA____OC.又∵AC⊥BD,∴BD是线段AC的垂直平分线.∴BA______BC.∴四边形ABCD是________.要点归纳：菱形的判定定理：对角线互相_______的____________是菱形.几何语言描述：∵在□ABCD中，AC⊥BD,∴□ABCD是菱形.【典例探究】例1如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．【跟踪练习】在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是菱形，则这个条件可以是（）A．∠ABC=90°B．AC⊥BDC．AB=CDD．AB∥CD知识点2：四条边相等的四边形是菱形活动1已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？AC的长为半径作弧,小刚：分别以A、C为圆心,以大于12两条弧分别相交于点B , D,依次连接A、B、C、D四点.想一想根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？猜想：四条边__________的四边形是菱形.证一证已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵AB=BC=CD=AD;∴AB=CD , BC=AD.∴四边形ABCD是___________.又∵AB=BC,∴四边形ABCD是__________.要点归纳：菱形的判定定理：四条边都______的四边形是菱形.几何语言描述：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∴四边形 ABCD是________.【典例探究】例2如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E,F分别在AB,AD上,且AE=AC,EF = ED. 求证：四边形CDEF是菱形.例3 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．方法总结:四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．例4如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH 是菱形.【跟踪练习】1.如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？2.如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？3.如上图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？4.在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分ABCD的形状吗？探究点3：菱形的性质与判定的综合运用【典例探究】例4如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．方法总结:判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．【跟踪练习】如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四边形ABCD的周长.三、知识梳理内容菱形的判定定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形.运用定理进行计算和证明四、学习过程中我产生的疑惑【学习检测】1.判断下列说法是否正确(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．2.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为24cm和26cm，那么平行四边形的面积是_____________.3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BCC．∠B=60°D．∠ACB=60°4.下列图形中,不一定为菱形的是()A.四条边相等的四边形B.用两个能完全重合的等边三角形拼成的四边形C.一组邻边相等的平行四边形D.有一个角为60度的平行四边形D(解析:根据菱形的判定定理作答即可.)3.如图所示,△ABC中,E,F,D分别是AB,AC,BC上的点,且DE∥AC,DF∥AB.要使AEDF是一个菱形,在不改变图形的前提下,你需添加的一个条件是.AE=AF(解析:(答案不唯一)添加AE=AF或DE=DF或AD是∠BAC的平分线或AE=ED,AF=FD等都可以.)4.木工师傅在做菱形的窗格时,总是保证四条边框一样长,你能说出其中的道理吗?解:四条边相等的四边形是菱形.5.已知菱形的周长为24,一条对角线长为8,求菱形的面积.解:由题意知菱形的边长为6,故另一条对角线长为4,故菱形的面积为×8×4=16.4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE ∥BD.求证：四边形O CED是菱形.6.如图,CE是△ABC外角∠ACD的平分线,AF∥CD交CE于点F,FG∥AC交CD 于点G.求证四边形ACGF是菱形.证明:∵AF∥CD,FG∥AC,∴四边形ACGF为平行四边形,∵CE是△ABC外角∠ACD的平分线,∴∠ACF=∠FCG,∵AF∥CG,∴∠AFC=∠FCG,∴∠ACF=∠AFC,∴AF=AC,∴▱ACGF为菱形.5. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE ∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.8.如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,BE,AF分别是∠ABC,∠DAC的平分线,BE和AD交于G,试说明四边形AGFE的形状.解:四边形AGFE是菱形.理由如下:由∠BAC=90°,AD⊥BC,易得∠BAD=∠C,∵∠AGE=∠ABG+∠BAG,∠AEB=∠EBD+∠C,又∵∠ABG=∠EBC,∴∠AGE=∠AEG.∴AE=AG.由AF是∠DAC的平分线,易知AF⊥GE且AF平分GE.同理可得BE⊥AF且BE平分AF.∴AF与GE垂直且互相平分,从而可知四边形AGFE是菱形.6.如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．9.如图(1),在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=DC,∠ACB=∠DCE=90°,AB与CE交于F,ED与AB,BC分别交于M,H.(1)求证CF=CH;(2)如图(2),△ABC不动,将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时,试判断四边形ACDM是什么四边形,并证明你的结论.(1)证明:∵△ABC和△EDC都是等腰直角三角形,且AC=CE=CB=CD,∴∠A=∠D=45°.∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACB-∠ECB=∠DCE-∠ECH,即∠ACF=∠DCH,在△AFC 和△DHC 中, ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,DCH ACF DC AC D A ∴△AFC ≌△DHC (ASA),∴CF =CH. (2)解:菱形,证明如下:∵∠BCE =45°,∴∠ACF =∠BCE =∠DCH =45°,即∠ACD =135°, 又∠A =∠D =45°,∴在四边形ACDM 中,∠AMD =360°-∠ACD ∠A －∠D =135°, ∴∠ACD =∠AMD ,∴四边形ACDM 是平行四边形.又AC =CD ,∴四边形ACDM 是菱形.。

18.2.2 菱形第1课时 菱形的性质学习目标1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图渗透集合思想．重点：菱形的性质1、2．难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用．学习过程一、自主学习看课本P55回答下列问题：平行四边形 菱形 1、 叫做菱形.菱形是 的平行四边形.2、从菱形的定义中可以发现：两层意义1、 ；2、二、探究菱形的性质与面积计算1、菱形的一般性质（1）菱形也具有平行四边形的所有性质．、 、 .2、菱形的特殊性质观察剪下来的图形是怎样的图形．实际上，学生很容易发现，剪下的一个图形是菱形．动手操作后发现：（1）菱形是轴对称图形，有 条对称轴对称轴就是它的对角线所在的直线（两条）．（2）利用轴对称图形的性质可知：性质定理1：（1）菱形的四条边都相等；几何语言: ∵∴性质定理2：（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．几何语言: ∵∴3、菱形被两条对角线分成四个全等的小直角三角形，思考：你可以用哪些方法求菱形的面积？每种方法中要知道哪些条件？得出菱形的面积计算公式：（方法一）（方法二）三、课堂练习1、如图2（1）菱形是 图形，它的对称轴是 ；（2）菱形的 互相垂直，并且每一条对角线 .我可以结合图形2，将菱形的性质加以描述：（1）菱形ABCD 是轴对称图形，它的对称轴有 条，是直线 ；（2）菱形的对角线⊥AC ；（3）在菱形ABCD 中，=∠AOD = = =︒90； 1∠= = = =DAB ∠21=21 ； 5∠= = = =ADC ∠21=21 ； 61∠+∠= + = + = + =︒90（4）在图形2中，有 对全等的三角形，它们分别是2、如图，在菱形ABCD 中，E 、 F 是AB 、AC 的中点，，如果EF=4，那么CD 的长为（ ）．A ．2B ．4C ．6D ．83、已知菱形的边长为2cm，，两条对角线AC与BD相交于O点，如右图，求这个菱形的对角线长和面积．四、达标测试1．如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则此菱形的边长为( )A．5 B．6 C．8 D．102. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC=4，∠BAD=120°，则菱形ABCD的周长为( )A．20 B．18 C．16 D．153. 已知菱形的边长为5cm，一条对角线的长为5cm，则菱形的最大内角是()A.90°B.120°C.135°D.150°4.菱形ABCD中，∠A=60°，对角线BD长为7cm，则此菱形周长_____cm．5.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积是cm2．6.已知菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AB=6，∠BDC =30 ，则菱形的面积为．7. 已知菱形的边长等于2cm，菱形的一条对角线也是长2cm，则另一条对角线长是_____.8. 菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是(6，0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是_______.9.如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F．请你猜想DE与DF的大小有什么关系，并证明你的猜想．10. 在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，AC=6．过D点作DE∥AC交BC的延长线于点E．(1)求△BDE的周长；(2)点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q．求证：BP=DQ．11.如图，菱形ABCD中，AB=4，E为BC中点，AE⊥BC，AF⊥CD于点F，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G．(1)求菱形ABCD的面积；(2)求∠CHA的度数．第2课时菱形的判定学习目标1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养观察能力、动手能力及逻辑思维能力．重点：菱形的两个判定方法．难点：判定方法的证明方法及运用．学习过程一、复习旧知菱形的定义是什么？（一组邻边相等的四边形是菱形）性质：（1）边的性质：对边平行，四条边都；（2）角的性质：对角；（3）对角线的性质：两条对角线互相、，每条对角线平分一组对角；（4）对称性：是轴对称图形，有条对称轴，是两条对角线所在的直线．二、探究新知1、菱形的四边都相等.反过来，四边都相等的四边形是菱形，对吗？答：简单说理：由此得到菱形的判定定理1（从四边形⇒菱形）：几何语言表述:在四边形ABCD中∵AB= = =∴2、（1）菱形的定义：一组邻边相等的四边形是菱形由此得到菱形的判定定理---定义法：几何语言表述: 在□ABCD中∵或或或∴（2）教具：两根一长一短的细木条，钉子、橡皮筋．操作：教师在两根细木条的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字，再将四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形，问：这个四边形是怎样的四边形？（答：）．问：将木条转成互相垂直的位置，这时这个平行四边形是怎样的平行四边形呢？为什么？由此得到菱形判定定理3（从平行四边形⇒菱形）---对角线法：你能证明上面的这个判定定理3吗？已知：平行四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD 求证：四边形ABCD 是菱形证明：3、思考：下列命题是否为真命题，如果是，简单说明理由，如果不是，请画图或举反例说明你的理由.①有一组邻边相等的四边形是菱形；②三边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的四边形是菱形； ④对角线互相垂直平分的四边形是菱形归纳方法三、课堂小结菱形的判定方法：（1）从边的条件去考虑：①②定义法 ．（2）从对角线的条件去考虑：③对角线互相 ，又是平行四边形．④对角线互相 且 ，只是四边形.四、课堂作业1、在平行四边形ABCD 中，请你再添加一个条件 ，使得ABCD 是菱形2、如图，AD 是三角形ABC 的角平分线，DE ∥求证:四边形AEDF 是菱形五、达标测试1. 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的是( )A.BA=BCB.AC 、BD 互相平分C.AC=BDD.AB ∥CD2. 如图，在菱形ABCD 中，E ，F ，F ，H 分别是菱形四边的中点，连接EG 与FH 交于点O ，则图中共有菱形( )A.4个B.5个C.6个D.7个3. 如图，在△ABC 中，点E 、D 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥BA ．下列四个判断中，不正确的是() 3、如图：矩形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，求证：EFGH 是菱形（多种方法，看谁的方法最好）F CF DEABA.四边形AEDF是平行四边形B.如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形C.如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形D.如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形4. 的平行四边形是是菱形(只填一个条件)．5.对角线互相垂直平分的四边形是_______．6. 如图所示，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分的四边形ABCD是______形．7.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是(只填一个你认为正确的即可)．8.如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为_____．AD，可进一步证明AB=BE，ABEF为菱形，则AF=AB=3，DF=5-3=2，则EC=2．9.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．(1)求证：△ADE≌△CBF．(2)若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．10.如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F．(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．11.将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图(1)；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF，如图2，证明：四边形AEDF是菱形．。

人教版数学八年级下册导学案18.2.2菱形(第2课时)学习目标1.通过动手操作,归纳菱形的判定方法,并加以证明.(重点)2.会用菱形的判定方法进行有关的计算和论证.(难点)3.经历探索菱形的判定方法的过程,发展主动探究的能力和说理的能力.学习过程一、知识回顾1.菱形的定义是什么?2..3.菱形和平行四边形的关系是什么?二、合作探究【问题探究一】用定义判定四边形是菱形阅读教材本节中的第一个“思考”前内容,思考、讨论、合作交流后解决下列问题:平行四边形的定义可以作为性质,也可以作为判定,那么菱形的定义可以作为菱形的判定方法吗?如果可以,怎么判定?归纳总结:有一组邻边的是菱形.几何语言:∵∴【问题探究二】菱形的判定阅读教材本节中的第二个“思考”内容,思考、讨论、合作交流后解决下列问题:1.?并完成表格2.证明猜想1与猜想2的正确性(1)已知:平行四边形ABCD中,对角线AC,BD互相垂直.求证:四边形ABCD是菱形.归纳总结:判定定理1对角线的平行四边形是菱形.几何语言:∵四边形ABCD是,且,∴是菱形.探究二、四边相等的四边形是菱形.猜想2:如果一个四边形的四条边相等,那么这个平行四边形是菱形,已知:四边形ABCD 中,AB=BC=CD=AD,求证:四边形ABCD是菱形.归纳总结:1.的四边形是菱形.2.几何语言:∵∴三、自主练习【例1】如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=5,AO=4,BO=3.求证:平行四边形ABCD是菱形.【例2】已知:如图,▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于E,F.求证:四边形AFCE是菱形.四、跟踪练习1.下列图形中,不一定是菱形的是()A.两条对角线互相垂直平分的四边形B.四条边都相等的四边形C.对角线互相垂直的四边形D.用两个能完全重合的等边三角形拼成的四边形2.▱ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:①AC⊥BD;②AB=BC;③AC平分∠BAD;④AO=DO.其中使得▱ABCD是菱形的条件有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.已知:如图,在四边形ABCD中,AC=BD,E,F,G,H分别为四边中点.求证:四边形EFGH为菱形.五、变式演练1.(2016·沈阳中考)如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,CE∥BD,连接DE.求证:(1)∠CEB=∠CBE;(2)四边形BCED是菱形.2.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M,N,P,Q分别是AD,BC,BD,AC的中点.求证:MN与PQ互相垂直平分.六、达标检测1.如图,在▱ABCD中,对角线AC⊥AB,O为AC的中点,经过点O的直线交AD于E,交BC 于F,连接AF,CE,现在添加一个适当的条件,使四边形AFCE是菱形,下列条件:①OE=OA;②EF ⊥AC;③AF平分∠BAC;④E为AD中点,正确的有()个.A.1B.2C.3D.42.下列说法:①四边相等的四边形一定是菱形;②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形;③对角线相等的四边形一定是矩形;④经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分.其中正确的有()个.A.4B.3C.2D.13.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有()A.AC⊥BDB.AB=BCC.AC=BDD.∠1=∠24.在△ABC中,点D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DE∥AC,DF∥AB,分别交AB,AC于E,F两点,下列说法正确的是()A.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形B.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形C.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形D.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形5.四边形ABCD的四边相等,且面积为120 cm2,对角线AC=24 cm,则四边形ABCD的周长为()A.52 cmB.40 cmC.39 cmD.26 cm6.如图,四边形ABCD是轴对称图形,且直线AC是对称轴,AB∥CD,则下列结论:①AC⊥BD;②AD∥BC;③四边形ABCD是菱形;④△ABD≌△CDB其中正确的是(只填写序号).7.如图,已知正方形ABCD的对角线交于O点,点E,F分别是AO,CO的中点,连接BE,BF,DE,DF,则下列结论中一定成立的是(把所有正确结论的序号都填在横线上)①BF=DE;②∠ABO=2∠ABE;③S△AED=S△ACD;④四边形BFDE是菱形.8.如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=3,在BC边上取一点E,使BE=4,连接AE,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCF的位置,拼成四边形AEFD.(1)CF=;(2)四边形AEFD是什么特殊四边形,你认为最准确的是:.9.如图,在△ABC中,AB=BC,D,E,F分别是BC,AC,AB边上的中点.(1)求证:四边形BDEF是菱形.(2)若AB=12 cm,求菱形BDEF的周长.10.如图△ABC与△CDE都是等边三角形,点E,F分别在AC,BC上,且EF∥AB.(1)求证:四边形EFCD是菱形.(2)设CD=4,求D,F两点间的距离.参考答案一、知识回顾1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.3.菱形是特殊的平行四边形.二、合作探究【问题探究一】略【问题探究二】菱形的判定菱形性质菱形判定菱形的对角线互相垂直猜想1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形续表菱形性质菱形判定菱形的四条边都相等猜想2:四条边相等的四边形是菱形2.证明猜想1与猜想2的正确性(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC(平行四边形对角线相互平分).又∵AC⊥BD,∴BD所在直线是线段AC的垂直平分线,∴AB=BC,∴四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).归纳总结:判定定理1对角线互相垂直的平行四边形是菱形.几何语言:∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,∴平行四边形ABCD是菱形.探究二四边相等的四边形是菱形.证明:∵AB=BC=CD=AD,∴AB=CD,BC=AD.∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.归纳总结:1.四条边相等的四边形是菱形.2.几何语言:∵四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD,∴四边形ABCD是菱形.三、自主练习【例1】证明:∵AB=5,AO=4,BO=3,∴AB2=AO2+BO2.∴△OAB是直角三角形,AC⊥BD.∴▱ABCD是菱形.【例2】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AE∥BC,∴∠1=∠2.又∵∠AOE=∠COF,AO=CO,∴△AOE≌△COF,∴EO=FO.∴四边形AFCE是平行四边形.又∵EF⊥AC,∴▱AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).四、跟踪练习1.C2.C3.解:如图,∵E,F,G,H分别是线段AB,BC,CD,AD的中点,∴EH,FG分别是△ABD,△BCD的中位线,EF,HG分别是△ABC,△ACD的中位线,根据三角形的中位线的性质知,EH=FG=BD,EF=HG=AC,又∵AC=BD,∴EH=FG=EF=HG,∴四边形EFGH是菱形.五、变式演练1.证明:(1)∵△ABC≌△ABD,∴∠ABC=∠ABD.∵CE∥BD,∴∠CEB=∠DBE,∴∠CEB=∠CBE;(2)∵△ABC≌△ABD,∴BC=BD.∵∠CEB=∠CBE,∴CE=CB,∴CE=BD.∵CE∥BD,∴四边形CEDB是平行四边形.∵BC=BD,∴四边形BCED是菱形.2.证明:连接MP,PN,NQ,QM,∵AM=MD,BP=PD,∴PM是△ABD的中位线,∴PM=AB,PM∥AB;同理NQ=AB,NQ∥AB,MQ=DC,∴PM=NQ,且PM∥NQ.∴四边形MPNQ是平行四边形.又∵AB=DC,∴PM=MQ,∴平行四边形MPNQ是菱形.∴MN与PQ互相垂直平分.六、达标检测1.B2.B3.C4.D5.A6.①②③④7.①③④8.4;菱形9.(1)证明:∵D,E,F分别是BC,AC,AB的中点, ∴DE∥AB,EF∥BC,DE=AB,EF=BC,∴四边形BDEF是平行四边形,又∵AB=BC,∴DE=EF,∴四边形BDEF是菱形.(2)解:∵AB=12 cm,F为AB中点,∴BF=6 cm,∴菱形BDEF的周长为6×4=24 cm.10.(1)证明:∵△ABC与△CDE都是等边三角形, ∴ED=CD,∠A=∠DCE=∠BCA=∠DEC=60°.∴AB∥CD,DE∥CF.又∵EF∥AB,∴EF∥CD,∴四边形EFCD是菱形.(2)解:连接DF,与CE相交于点G,由CD=4,可知CG=2,∴DG=-=2,∴DF=4.。

18.2.2 菱形学习目标1．会判断一个四边形是菱形，知道菱形与平行四边形的关系。

2．理解并掌握菱形的定义及性质，会用这些性质进行有关的论证和计算， 会计算菱形的面积。

教学重点：会判断一个四边形是菱形，知道菱形与平行四边形的关系教学难点：理解并掌握菱形的定义及性质，会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积。

【学前准备】1． 平行四边形的面积如何计算2． 在ABC ∆中，90oC ∠=，10AB =．30oA ∠=，求BC ，AC【导入】【自主学习，合作交流】 预习教材P97，思考下列问题：（1）菱形的定义是什么？菱形与平行四边形有怎样的关系？（2）根据P97探究，你能剪出一个菱形吗?动手试试.（3）根据你剪下的菱形判断:菱形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？你能看出图中哪些线段或角相等？（4）菱形相对于平行四边形具有怎样特殊的性质？性质1：菱形的四条边性质2：菱形的对角线 ，并且每条对角线 预习教材P98，思考下列问题：（5）知道菱形的两条对角线长，你能求它的面积吗？探究一：菱形的性质例1.如图，菱形ABCD 的周长为40cm ，AC ，BD 相交于点O ，BD ：AC =3：4，求AC ，BD 的长 ？跟踪训练：1.菱形具有而一般矩形不具有的性质是（ ）A ．对角相等 B.四边相等 C.对角线互相平分 D.四角相等2.如图，菱形ABCD 中，5AB =，120oBCD ∠=，则对角线AC 的长是（ ）A ．20 B.15 C.10 D.5 3.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，图中有那些等腰三角形、直角三角形？探究二：菱形的面积例2.已知菱形ABCD 中，120oBAD ∠=，边长为2cm ， 求：（1）AC ，BD 的长（结果保留小数点后2位） （2）菱形ABCD 的面积（结果保留小数点后1位）跟踪训练：1．在菱形ABCD 中， AE BC ⊥于点E ，菱形ABCD 的面积等于224cm ，4AE cm =，则AB的长为（ ）.12A cm .8B cm .6C cm .2D cm2．菱形周长为40，一条对角线长16，则另一条对角线长为 这个菱 形的面积为 【精讲点拔】1.菱形的性质：2.菱形的两条对角线把菱形分成了四个全等的直角三角形和两对全等的 等腰三角形3.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半或者等于边长乘高【当堂测试】1．如图，在菱形ABCD 中，两条对角线6,8,AC BD ==， 则此菱形的边长和面积分别是多少？3． 在菱形ABCD 中，点O 是两条对角线的交点 5,4,AB cm AO cm ==求两条对角线AC 和BD 的长．【小结】（谈谈本节课你有什么收获？还有什么困惑？）【课后作业】Ⅰ必做题3.如图（4），在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在CD ，BC 上，且CE CF =， 求证：AE AF = 2. 3.II 选做题4. （1）（2） （3）（4）【课后反思】。

《菱形的判定》学案一、基础知识1．矩形的常用判定方法（1）是菱形；（2）是菱形；（3）是菱形．二、自主探究1．我们学习平行四边形的判定以及矩形的判定时，我们是如何猜想并进行证明的呢？．2．说出矩形的常用判定方法．（1）是矩形；（2）是矩形；（3）是矩形．你能发现矩形的三个判定方法分别是从哪个角度得到的吗？我们能否也通过探究菱形性质的逆命题，得到判定菱形的方法呢？首先可以作为菱形的第一种判定方法．叫做菱形．猜想1：是菱形．猜想2：是菱形．3．如何证明这两个猜想？（1）猜想1的证明：, ,．菱形的判定定理1：是菱形．几何语言：∵（已知），∴□ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．（2）猜想2的证明：, ,．菱形的判定定理2：是菱形．几何语言：∵（已知），∴四边形ABCD是菱形（四条边相等的四边形是菱形）．4．你能归纳菱形的判定方法吗？（1）定义：叫做菱形．（2）判定定理1：是菱形．（3）判定定理2：是菱形．5．书写例题步骤【例】如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，BO＝3．求证：□ABCD是菱形．提示：要证□ABCD是菱形，可以选择的判定方法有三种：方法1：一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）；方法2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形（判定定理1）；方法3：四条边相等的四边形是菱形（判定定理2）．你用的是哪一种方法？你认为哪一种方法最好？, ,．三、反馈练习1．下列命题中正确的是（）．A．一组邻边相等的四边形是菱形B．三条边相等的四边形是菱形C．四条边相等的四边形是菱形D．四个角相等的四边形是菱形2．对角线互相垂直且平分的四边形是（）．A．矩形B．一般的平行四边形C．菱形D．以上都不对3．判断下列说法是否正确．（1）对角线互相垂直的四边形是菱形；（）（2）对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（）（3）对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形．（）4．一边长为5cm的平行四边形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个平行四边形为形，其面积为．5．□ABCD的对角线AC与BD相交于点O．（1）若AB＝AD，则□ABCD是形；（2）若AC＝BD，则□ABCD是形；（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是形．6．如图，在□ABCD中，CE⊥AB，CF⊥AD，BE＝DF．则□ABCD是形．7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CH⊥AB于H，且交BD于点F，DE⊥AB于E，四边形CDEF是菱形吗？请说明理由．（用两种方法解答）8．如图，已知△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，再过E，F作EG⊥AC，FH⊥AB，垂足分别为G，H，且EG，FH相交于点K．试说明EF和DK之间的关系．参考答案：一、基础知识（1）一组邻边相等的平行四边形．（2）对角线互相垂直的平行四边形．（3）四条边相等的四边形．二、自主探究1．2．（1）一个角是直角的平行四边形．（2）对角线相等的平行四边形．（3）三个角是直角的四边形．菱形的定义．一组邻边相等的平行四边形．对角线互相垂直的平行四边形．四条边相等的四边形．3．（1）已知：□ABCD，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD．求证：□ABCD是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD．又∵AC⊥BD，∴AO垂直平分BD．∴AB＝AD．∴□ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形叫做菱形）．对角线互相垂直的平行四边形．□ABCD，AC⊥BD．（2）已知：四边形ABCD，AB＝BC＝CD＝DA．求证：四边形ABCD是菱形．证明：∵AB＝BC＝CD＝DA，∴AB＝CD，BC＝DA．∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．四条边相等的四边形．AB＝BC＝CD＝DA．4．（1）一组邻边相等的平行四边形．（2）对角线互相垂直的平行四边形．（3）四条边相等的四边形．5．证明：∵AB＝5，AO＝4，BO＝3，∴222=+．AB AO BO∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°．∴AC⊥BD．∴□ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．三、反馈练习1．C．2．C．3．（1）×；（2）√；（3）×．4．菱，224 cm．5．（1）菱；（2）矩；（3）矩．6．菱．7．解法一：四边形CDEF是菱形．理由：如图，∵BD平分∠ABC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE．又∵∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠5＝90°，∠1＝∠2，∠3＝∠5，• ∴∠3＝∠4．∴CF＝CD．∴CF＝DE．∵CH⊥AB，DE⊥AB，∴CF∥DE．∴四边形CDEF是平行四边形．又∵CF＝CD，∴□CDEF是菱形．解法二：如图，连接CE交DF于点O．由已知条件可得△BCD≌△BED，∴BC＝BE．又∵∠1＝∠2，∴BD⊥CE，且OC＝OE．∵∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠5＝90°，∠1＝∠2，∠3＝∠5，∴∠3＝∠4．∴CF＝CD．又∵CE⊥DF，∴OF＝OD．∴四边形CDEF是平行四边形．又∵DF⊥CE，∴□CDEF是菱形．点拨：解法一利用了菱形的定义，解法二利用了“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的方法，本题除以上两种解法外，还可利用“四条边都相等的四边形是菱形”的方法解决．8．解：EF与DK互相垂直平分．理由：∵DE⊥AB，FH⊥AB，∴DE∥FH．∵DF⊥AC，EG⊥AC，∴DF∥EG．∴四边形DEKF是平行四边形．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又∵BD＝CD，∠BED＝∠CFD＝90°，∴△BDE≌△CDF．∴DE＝DF．∴四边形DEKF是菱形．∴EF与DK互相垂直平分．点拨：要说明EF与DK互相垂直平分，只要说明四边形DEKF是菱形；要说明四边形DEKF是菱形，可先说明四边形DEKF是平行四边形，再说明一组邻边相等即可．。

八年级数学下册 18.2.2 菱形导学案（新版）新人教版1、掌握菱形定义及性质，知道灵性与平行四边形关系。

2、会运用菱形的定义及性质来解决问题，会计算菱形面积、重点：菱形的性质、难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用、【预习内容】（阅读教材第97至98页，并完成预习内容。

）一、准备知识1、回顾平行四边形性质及平行四边形判定2、矩形性质及矩形判定口头回答（分别从边、角、对角线上）二、探究新知如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，就得到了一个菱形、⑴菱形定义：________________相等的_________________叫做菱形、（注意：菱形（1）是_________________；（2）_________________相等、）举一些日常生活中所见到过的菱形的例子、_____________、______________、⑵菱形性质按教材97页的方法剪得菱形，观察得到的菱形，回答下列问题。

归纳总结：菱形性质：菱形具有平行四边形的一切性质菱形的四条边都___________菱形的两条对角线互相________，并且每一条对角线_________菱形是________图形也是_________图形、（3）性质证明：已知：菱形ABCD，AB=BC 求证：AB=BC=CD=DA 证明：几何语言：_____________________________________________已知：菱形ABCD 求证：AC⊥BD,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC、证明：几何语言：______________________________________________（4）菱形面积例1 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60、沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD,求两条小路的长和花坛的面积。

S= ACBD (菱形面积= 底高= 对角线乘积的_____)三、课堂巩固1、已知菱形的周长为12cm，则它的边长为_________;2、已知菱形ABCD中，∠ABC=60，则∠BAC=_______3、己知：如图，菱形ABCD中，∠B=60，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为、4、已知四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB=6cm，这个菱形的边长是________cm，周长是______cm，面积是____________、5、已知菱形的边长是5cm，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为______cm、6、四边形ABCD是菱形，∠ABC=120，AB=12cm，则∠ABD的度数为____ ，∠DAB的度数为______；对角线BD=_______，AC=_______；菱形ABCD的面积为_______、7、四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，AB=5cm,AO=4cm,求两条对角线AC和BD的长。

18.2。

2 菱形第2课时菱形的判定一、新课导入1.导入课题用菱形的定义,我们容易得到，一组邻边相等的平行四边形是菱形，除此之外还有没有其他判定方法？（板书课题）2.学习目标（1）能从研究菱形性质的逆命题正确性中得到菱形的判定.(2）能运用菱形的判定方法判定一个四边形是菱形。

3。

学习重、难点重点：菱形的判定的推导与归纳。

难点：菱形的判定的正确运用。

二、分层学习1。

自学指导（1)自学内容：P57例4的内容.（2）自学时间：10分钟。

(3）自学方法：自己写出菱形性质的逆命题，验证它们的正确性，并相互交流。

（4）自学参考提纲:①由定义判定一个四边形是菱形:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.②运用定义证明四边形是菱形，可先证它是平行四边形，再证它是菱形。

③运用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形时,可先证它是平行四边形，再证它是菱形.④要证明一个平行四边形是菱形，只需先证明有一组邻边相等或对角线互相垂直.⑤判断：a。

对角线互相垂直的四边形是菱形。

（×）b.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

（√）2.自学:结合自学指导进行自主学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生在完成判定定理的证明及完成自学提纲时遇到的偏差和困难之处。

②差异指导：对学生在菱形判定的证明步骤不当或思路不清之处进行点拨、引导.（2)生助生:学生相互研讨疑难之处。

4。

强化（1）菱形的判定方法:①按定义判定.②按对角线判定。

(2)证明一个四边形是菱形的步骤.1。

自学指导（1）自学内容：P57例4以下至P58练习的内容.（2）自学时间：5分钟。

(3）自学方法:写出菱形性质“菱形的四条边相等”的逆命题，再作图思考如何证明逆命题的正确性.（4）自学参考提纲：①“菱形的四条边相等”的逆命题是四条边相等的四边形为菱形。

②如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，求证：四边形ABCD是菱形。

a.若按定义证：先证它是平行四边形，再证它是菱形，要证它是平行四边形，需找两对对角相等。

18.2.2 菱形（二）课型: 新授课上课时间：课时： 1学习目标：1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养观察能力、动手能力及逻辑思维能力．学习重点：菱形的两个判定方法．学习难点：判定方法的证明方法及运用．学习内容：一、忆一忆1．菱形的定义：2．菱形的性质1：3．菱形的性质2：4．运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个什么条件？5．两张宽度相等的纸条，交叉在一起，重叠部分的图形是什么图形？6．要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？二、试一试1．【探究】（教材探究）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．这个四边形是什么四边形？转动木条，什么时候这个四边形可变成菱形？2．通过演示，容易得到：菱形判定方法1：是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）（2）．3．给菱形的判定方法1证明：A已知：求证：证明：3．阅读教材画菱形的方法，请同学们用尺规画平行四边形ABCD4．通过上面画平行四边形的方法，可以得到由一般四边形直接判定菱形的方法：菱形判定方法2 ．6．给菱形的判定方法2证明：已知：求证：证明：7．你能归纳出菱形常用的判定方法吗？三、做一做1．教材练习：ACB D2．已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．证明：1．已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB与D，EH⊥AB于H，CD交BE于F．求证：四边形CEHF为菱形．四、反馈提升：1．填空：（1）对角线互相平分的四边形是；（2）对角线互相垂直平分的四边形是_____ ___；（3）对角线相等且互相平分的四边形是____ ____；（4）两组对边分别平行，且对角线的四边形是菱形．2．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）．（A）两条对角线相等（B）两条对角线互相垂直（C）两条对角线相等且互相垂直（D）两条对角线互相垂直平分3．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm、8cm．4．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。

第2课时菱形的判定1.理解并掌握菱形的概念及其它两个判定方式.2.会用这些判定方式进行有关的论证和计算.自学指导：阅读讲义57页至58页，完成下列问题.知识探讨1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线彼此垂直的平行四边形是菱形.3.四边相等的四边形是菱形.自学反馈1.判断下列说法是不是正确：(1)对角线彼此垂直的四边形是菱形；(×)(2)对角线彼此垂直平分的四边形是菱形；(√)(3)对角线彼此垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；(×)(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.(×)2.□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，(1)若AB=AD，则□ABCD是菱形；(2)若AC=BD，则□ABCD是矩形；(3)若∠ABC是直角，则□ABCD是矩形；(4)若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是菱形.活动1 小组讨论例1如图，□ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6.求证:四边形ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=4,OB=OD=3.又AB=5，则32+42=52，即OA2+OB2=AB2.∴∠AOB=90°,即AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形.例2 如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.试问四边形AE DF是菱形吗？说明你的理由.解：四边形AEDF是菱形.理由：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形.∵DE∥AC，∴∠2=∠3.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AE=DE，∴四边形AEDF是菱形.活动2 跟踪训练1.下列命题中正确的是( C )A.一组邻边相等的四边形是菱形B.三条边相等的四边形是菱形C.四条边相等的四边形是菱形D.四个角相等的四边形是菱形2.对角线彼此垂直且平分的四边形是( C )A.矩形B.一般的平行四边形C.菱形D.以上都不对3.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是( C )⊥BD,AC与BD彼此平分=BC=CD=DA=BC,AD=CD,且AC⊥BD=CD,AD=BC,AC⊥BD要严格按照判定定理来判断.4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE∥BD.求证：四边形OCED是菱形.证明：DE∥AC,CE∥BD.则四边形OCED是平行四边形.矩形ABCD的对角线相交于点O，则OD=OC.所以四边形OCED是菱形.5.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.按照垂直平分线上的点到线段两头的距离相等.得出AD=DC,AE=∥AB得出∠DAO=∠ECO.又AO=CO，Rt△ADO≌Rt△CEO，得AD=CE.四边形ADCE是平行四边形，AD=DC.故四边形ADC E是菱形.活动3 课堂小结菱形常常利用的判定方式：1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线彼此垂直的平行四边形是菱形.3.有四条边相等的四边形是菱形.。

八年级数学下册 18.2.2 菱形第2课时菱形的判定学案 (新版)新人教版课前预习要点感知菱形的判定方法：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等的四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形、预习练习1－1 下列命题中，正确的是(D)A、有一个角是60的平行四边形是菱形B、有一组邻边相等的四边形是菱形C、有两边相等的平行四边形是菱形D、四条边都相等的四边形是菱形1－2 如图，四边形ABCD 的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的条件是(B)A、BA＝BCB、AC，BD互相平分C、AC＝BDD、AB∥CD02当堂训练知识点1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形1、如图，若要使▱ABCD成为菱形，则可添加的条件是(C)A、AB＝CDB、AD＝BCC、AB＝BCD、AC＝BD2、(海南中考)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是(B)A、AB＝BCB、AC＝BCC、∠B＝60D、∠ACB＝603、已知：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB、求证：四边形AEDF是菱形、证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形、∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2、∵DE∥AC，∴∠2＝∠3、∴∠1＝∠3、∴AE＝DE、∴四边形AEDF是菱形、知识点2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、(潍坊中考)如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC，使ABCD成为菱形、(只需添加一个即可)5、如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF、(1)求证：△BDF≌△CDE；(2)若AB＝AC，求证：四边形BFCE是菱形、证明：(1)∵CE∥BF，∴∠ECD＝∠FBD，∠DEC＝∠DFB、又∵D是BC的中点，∴BD＝DC、∴△BDF≌△CDE(AAS)、(2)由(1)知：△BDF≌△CDE，∴DF＝DE，DB＝DC、∴四边形BFCE是平行四边形、又∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC、∴四边形BFCE是菱形、知识点3 四条边都相等的四边形是菱形6、如图，△ABC为等腰三角形，如果把它沿底边BC翻折后，得到△DBC，那么四边形ABDC为(B)A、平行四边形B、菱形C、矩形D、以上都不对03课后作业7、(遵义中考)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是(C)A、AB＝ADB、AC⊥BDC、AC＝BDD、∠BAC＝∠DAC8、如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D，则直线CD即为所求、根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是(B)A、矩形B、菱形C、正方形D、平行四边形9、如图，剪两张对边平行且宽度相等的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是菱形、10、如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG、试判断四边形BFEG的形状，并说明理由、解：四边形BFEG是菱形、理由如下：∵FG垂直平分BE，∴BO＝EO，∠BOG＝∠EOF＝90，即FG⊥BE、在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠GBO＝∠FEO、∴△BOG≌△EOF(ASA)、∴BG＝EF、∴四边形BFEG是平行四边形、又∵FG⊥BE，∴四边形BFEG是菱形、11、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE＝DF、求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)四边形ABCD是菱形、证明：(1)∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED＝∠CFD＝90、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C、在△AED和△CFD中，∴△AED≌△CFD(AAS)、(2)∵△AED≌△CFD，∴AD＝CD、又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形、挑战自我12、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF、(1)求证：AF＝DC；(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论、解：(1)证明：∵E是AD的中点，∴AE＝ED、∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE、∴△AFE≌△DBE(AAS)、∴AF＝DB、∵AD是BC边上的中线，∴DB＝DC、∴AF＝DC、(2)四边形ADCF是菱形、理由：由(1)知，AF＝DC，∵AF∥DC，∴四边形ADCF是平行四边形、又∵AB⊥AC，∴△ABC 是直角三角形、∵AD是BC边上的中线，∴AD＝BC＝DC、∴四边形ADCF是菱形、。