Z-P-S空间中一类非线性算子方程解的存在性问题

Z-P-S空间中定点紧压缩概率算子的不动点定理朱传喜;肖芳明【摘要】The fixed point on Probabitily-Meaurnast(PM)-space is an important part of study of nonlinear operators.New concepts of the constant point compact contractive probabilistic operator are introduced and the fixed point problems of these operators are studied in Z-P-S space. Several important conclusions are obtained.%概率度量空间中不动点问题的研究是非线性算子问题研究的重要组成部分.在Z-P-S空间中引入定点紧压缩概率算子的概念,利用拓扑度的同伦不变性和可解性,对Z-P-S空间中定点紧压缩概率算子的不动点问题作了研究,给出了一些重要结论.【期刊名称】《南昌大学学报（理科版）》【年(卷),期】2011(035)002【总页数】3页(P109-110,140)【关键词】Z-P-S空间;紧连续算子;拓扑度;不动点【作者】朱传喜;肖芳明【作者单位】南昌大学数学系,江西,南昌,330031;南昌大学数学系,江西,南昌,330031【正文语种】中文【中图分类】O177.91设R表示所有实数的集合,R+表示所有非负实数的集合。

映象f:R→R+称为分布函数,如果它是非减的、左连续的,又满足下列条件:用W表示一切分布函数的集合。

本文假定 t-模Δ是连续的。

Z-P-S空间,即(E,F,Δ)是M-PN空间且满足下列条件:(H1)E是实数集 R上的代数,即对任意的x,y∈E,a∈R有1)E对乘法封闭,即xy∈E;2)(ax)y=x(ay)=a(xy);(H 2)E中没有幂零元,即∀x∈E,n∈N有xn=θ⇔ x=θ。

算子方程解的存在性指的是算子方程是否有解的存在性。

算子方程是指用线性算子表示的方程，常见的算子方程包括常微分方程、偏微分方程和积分方程等。

在数学中，算子方程的存在性通常是通过求解算子方程的线性无关解的数量来判断的。

如果算子方程的线性无关解的数量为无穷多，则算子方程存在无穷多解；如果算子方程的线性无关解的数量为零，则算子方程无解；如果算子方程的线性无关解的数量为一，则算子方程存在唯一解。

在实际应用中，算子方程的存在性是非常重要的。

如果算子方程无解，则无法求解相关问题；如果算子方程存在无穷多解，则可能存在歧义，需要进一步的条件来确定解的唯一性。

因此，确定算子方程的存在性是非常重要的。

在确定算子方程的存在性时，可以使用各种数学方法，如判定法、极限法、循环法、条件法等。

具体方法取决于算子方程的具体形式和特点。

总之，算子方程的存在性是指算子方程是否有解的存在性，是确定算子方程是否能够求解的关键因素。

确定算子方程的存在性，可以使用各种数学方法，为解决相关问题提供重要的依据。

一类带奇异项非线性椭圆方程解的存在性非线性椭圆方程是数学中一类重要的问题，它在经典力学、物理理论等领域有着广泛的应用。

随着现代数学的发展，非线性椭圆方程的研究也取得了重要进展。

在解决特定非线性椭圆方程时，如果存在奇异项，那么这类方程就没有解决方案，需要利用一定的非线性方法进行求解，以此来提高求解效率。

那么，一类带有奇异项的非线性椭圆方程是否存在解？本文将讨论该问题，并为此类方程提供算法。

首先，我们定义一类带有奇异项的非线性椭圆方程如下：$$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$$其中A、B、C、D、E、F为常量，A≠0。

根据定义，可以将上式改写为一般形式：$$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=G^2$$其中G为奇异项，A、B、C、D、E、F依然为常量。

从上式可见，这类方程的奇异项G与其余其六项（A、B、C、D、E、F）之间存在一定的关系，我们可以认为这六项作为变量，奇异项G作为定变量，从而形成一类带有固定系数的非线性椭圆方程组。

例如，若G=2，A=1，B=-3，C=-2，D=-3，E=3则可以形成一类方程组：$$x^2 - 3xy - 2y^2 - 3x + 3y + 4 = 2^2$$接下来我们就来讨论一类带有奇异项的非线性椭圆方程是否存在解。

首先，考虑一个实际的例子：$$x^2 + 5xy + 4y^2 + 5x + 4y + 9 = 2^2$$首先，我们将方程转化为：$$x^2 + 5xy + 4y^2 + 5x + 4y + (9 - 2^2) = 0$$接下来，我们用非线性方法来求解方程：首先，对上式进行分析，可以得到：a）A=1,B=5,C=4,D=5,E=4,F=7b）A≠0,B^2-4AC<0根据上述得到的结果，可知这是一类带有奇异项的非线性椭圆方程，它的奇异项G=2。

下面，我们就来求解该方程的解。

首先，我们把方程变换成一般式：$$x^2 + 5xy + 4y^2 + 5x + 4y + F = G^2$$其中F=7,G=2.我们可以将该方程转化成高斯消元法的形式：$$begin{bmatrix}1 & 5 & 4 & 5 & 4 & 70 & 5 & 4 & 0 & 0 & 2end{bmatrix}$$接下来，我们用该高斯消元法求解方程：将第一行各项除以1，第二行各项除以5，则可得：$$begin{bmatrix}1 & 5 & 4 & 5 & 4 & 70 & 1 & 0.8 & 0 & 0 & 0.4end{bmatrix}$$从而得到求解方程的解：$$x=7-4y,y的值不定$$根据上面的分析，可以得出以下结论：一类带有奇异项的非线性椭圆方程确实存在解，且可以用非线性方法来求解，提高求解效率。

一类非线性方程的解的存在性及其应用
许绍元
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2000(13)1
【摘要】设 A是 Amann意义下的凹 (凸 )算子 .本文提出序 Lipschitz条件 ,无需考虑任何紧性或连续性条件 ,由 Mann迭代技巧证明了方程 Ax =x的解的存在性 .将所得结果应用于无界域上的 Hammerstein积分方程。

【总页数】4页(P23-26)
【关键词】存在性;算子方程;积分方程;非线性方程;解
【作者】许绍元
【作者单位】韩山师范学院数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O177.6;O175.5
【相关文献】
1.一类带有非线性阻尼项和源项的四阶波动方程整体解的存在性与不存在性 [J], 狄华斐;尚亚东
2.一类带非线性边界条件的非线性抛物方程的解的整体存在性与不存在性 [J], 陈友朋;谢春红
3.一类非线性发展方程整体解的存在性、渐近性与解的爆破 [J], 杨志坚
4.一类非线性波方程整体解的存在性和不存在性 [J], 王艳萍
5.黎曼流形上一类非线性反应扩散方程组解的存在性与不存在性(英文) [J], 汝强
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一类带奇异项非线性椭圆方程解的存在性近年来，研究非线性椭圆方程及其解的存在性问题已经取得了巨大的进展，尤其是在复杂的椭圆方程的研究方面。

然而，在一些更加复杂的情况中，研究者们仍然面临着很大的挑战。

其中，带有奇异项的非线性椭圆方程解的存在性研究是一个比较困难的问题，也是具有重要意义的研究课题。

带有奇异项的非线性椭圆方程是指在椭圆方程中引入一个奇异项，而一般情况下，奇异项会改变函数的定义域，增加了函数的复杂性。

因此，研究这类方程解的存在性问题比一般型椭圆方程要复杂得多。

有关这方面的研究历史可以追溯到20世纪60年代，从那时起，已经有许多研究者们展开了相关的研究。

首先，研究者们把目光聚焦到一类特殊的椭圆方程上，即带有奇异项的非线性椭圆方程，并且设计出了一系列的算法，用来解决这类特殊方程。

1980年，出现了一项新的研究，引入了一个新的参数，从而使得原有的数学模型更加复杂。

然而，这并没有提高解存在性的质量。

接下来，研究者们着手研究对应的一类带有奇异项的非线性椭圆方程的解的存在性问题。

通过证明一些定理，研究者们发现，在一定的条件下，这类椭圆方程的解是存在的，但也只能在一定的范围内存在。

也就是说，只有在满足一定的条件时，才能找到这类椭圆方程的解。

随着时代的发展，随着计算机技术的进步，对非线性椭圆方程及其解的存在性问题的研究也越来越深入，出现了许多新的研究成果。

尤其是在奇异项非线性椭圆方程子上，研究者们以基于数值解的方法来解决这类椭圆方程，这种方法可以用来解决大规模的椭圆方程，可以解决其解的存在性问题，也为研究者们探索更多的椭圆方程解的存在性提供了新的思路。

本文就上述方面的研究状况进行了综述。

首先详细介绍了一类带有奇异项的非线性椭圆方程的定义，并分析了历史研究发展的背景，以及现有的研究成果。

然后，综述了目前存在的问题，以及未来研究的方向和发展趋势。

最后，总结出对带有奇异项的非线性椭圆方程解的存在性问题的研究具有重要的意义，为未来研究者们提供了指导。

2019,39A (1):95-104数学物理学报http://actam s.w 一类相对非线性薛定谔方程解的存在性+W 邱雯W 张贻民 **3Abdelgadir Ahmed Adam(工武汉理工大学数学科学研究中心武汉430070; 2武汉理工大学理学院数学系 武汉430070;3Department of Mathematics, Taibah University Madinah Munawwarah, Saudi Arabia)摘要：利用临界点理论考虑了一类相对非线性薛定谔方程，主要通过变量代换将相对非线性薛 定谔方程转化成半线性椭圆型方程.首先考虑位势函数为零时，将经典的场方程结果推广到了 相对非线性薛定谔方程；而后利用临界点理论得到了有界位势情形方程非平凡解的存在性，在此情形，改进了文献[12-13]中的超线性条件.关键词：山路引理；相对非线性薛定谔方程；集中紧引理.M R (2010)主题分类：35J20; 35J62 中图分类号：O175.25 文献标识码：A文章编号：1003-3998(2019)01-95-101引言考虑如下相对非线性薛定谔方程izt = —A z + W (x )z — h (\z \2)z — k A \/l + z 2x G R N ,(1.1)其中z : R x R N — C , 是给定的常数，W : R N — R 是给定的位势，h 是实函数.方程(1.1)来源于物质中的高功率超短激光方程（参见文献[1-2, 4])•文献[1-2]研究了方程（1.1) 极小解的整体存在性以及一维柯西问题解的整体存在性和渐近行为.C h e n 和Sudan 证 明了参数小于零时，方程（1.1)具有负能量的解，且当时间足够大时，解不能消散.关于 方程（1.1)更多的背景可以参见文献[1-2, 4]及其参考文献•如果考虑方程（1.1)的驻波解，即考虑z (x ,t ) = e x p (-iEt )u (x ),其中E G R , u > 0是实函数•易知函数z 满足方程（1.1)当且仅当函数u 满足—A u + V {x )u — ZcA \/1 -\- u 2—, U= h (u ), x G (1.2)2\/1 + u 2收稿日期：2017-12-27;修订日期：2018-04-23E-mail: loiolo@; zhangym802@; ahmedguangzhou17@*基金项目：国家自然科学基金（11471330, 11501555, 11771127)和中央高校基本科研业务费专项基金（2017IVA-075, 2017IVA076, 2018-zy-138, 2018IB014)Supported by the NSFC (11471330, 11501555, 11771127), the Fundamental Research Funds for the Central Universities (2017IVA075, 2017IVA076, 2018-zy-138, 2018IB014)**通讯作者96数学物理学报Vol.39A其中V=W-五是新的位势函数，^表示新的非线性函数.当k=0,方程就是经典的半线 性椭圆型方程，不同情形下方程解的存在性和多解性结果非常多丨10-11，15-16.若k = 0,不 失一般性，假设k = 1.对于方程（1.2)，S h e n和W a n g [12]首先引入新的变换得到了方程在 超线性次临界情形下驻波解的存在性.C h e n g和Y a n g[5-6],C h e n g和Y a o[7]将文献[12]的 结果推广到了更一般的非线性情形.接着，S h e n和W a n g[14]利用山路引理，得到了临界情 形下方程非平凡解的存在性，并进而在文献[13]中考虑了参数k < 0时方程非平凡解的存 在性.本文中，首先考虑方程（1.2)当V(x) =0时解的存在性，希望将经典的B e r e s t y c k i-L io n s 场方程[3]的结果推广到方程（1.2).即考虑如下问题：—A u AVi+w2广92Vl+U1=h(u),x G R N,(1.3)其中h(u)G C(R，R)满足：(h0)当N 2 3 时，—00<lim<s—0_lim 幽=s—0+ s=—m< 0;当N =1,2 时，lim ^=-m G(-〇〇,0)，其中m是正常数.s—0s(h i)当W 23时，-〇〇<l i m哮S 〇,其中Z=#写；当W =2时，对任意的a > 0,s—>•+〇〇存在Ca > 0,使得对所有的s 20,有|h(s)| s C aeas2.(h2)当N2 2 时，存在Z >0,使得H(C) =/0C h(s)dx >0;当N =1时，存在Z o>0, 使得对所有Z G(0，C o),有H(C) <0,且H(Co) = 0, h(Co) > 0.可得到相似B erestycki-Lions场方程的结果为定理1.1假设方程（1.3)中函数h满足条件（h0)-(h2),则方程（1.3)存在一个非平凡解 w(x) G妒取、且满足如下性质：(i) Vx G R N, w(x) >0;(ii) ^是施瓦兹球对称的，即^卜）=[^),厂=卜|,并且^卜）随着厂递减；(iii) w G C2(R n);(iv) w(x)和它的二阶导数在无穷远处对于某些C满足指数衰减|D aw(x)| <Ce-5|x|, x G R n,其中 d >0,|a|< 2.注1.1文献[13]中的注1.3在关于N 2 3时，给出了场方程的相似结论，但是没有证 明.本文给出了定理1.1 一个简短的证明，并且考虑了 N= 1,2的情形.从S h e n和W a n g[12-14] —系列的工作可以看出，他们在用尽量简洁的条件去得到方程(1.2)次临界和临界情形非平凡解的存在性，方法是经典的山路引理，因此不可避免的假设 了一个相似的（A R)条件：存在一个M使得对任意的s >〇，成立〇 < M好(s)S SM S).本文希望可以对他们提出的条件进行一定的改进，因此考虑如下相对非线性薛定谔方程—A m+V[x)u —A V1+m2—=f(x,m),x G R^, (1.4)2^1十u2其中/(x，u)G C(R x R N,R),位势V :R N — R是连续的，函数V与f满足如下条件 (V0)存在V〇 >0,使得对任意的x G R N都有V(x) 2V〇 >0;No .1邱雯等：一类相对非线性薛定谔方程解的存在性97(V1)lim V (x )= V (⑴)，且对任意的 x G R w 都有 V (x ) < V (⑴);|x |—(fO) lim ’(¥) = 0，即 /(x ，s) = o(|s|)，s — 0+;s —0 s(f 1)存在常数2 < q i < 2*及C > 0,使得|f (x, s)| < C (1 + |s|q 1-1)；(f 2)存在常数</2 >及函数h G ^(R #)，使得^=/(x , s)s - F (x , s) > s® - h i{x ),V6其中（x , s ) G R N x [0, +t o );(f 3)当 s — o o 时，有^^ — o o .定理1.2假设函数V 满足（V 0)-(V 1)，函数f 满足（f 0)-(f 3).则问题（1.4)在空间 Hi(RN )上存在一个非平凡解.-些基本性质方程（1.3)和（1.4)对应的能量泛函分别为J 〇(u )J r n1十2(1+ u 2)|V u |2dx ^H (u)dx,J r nI 〇(u )7r n2(1十 u 2)|V w |2d x + — / V (x )u 2 dx — F (x , u )dx :2 JRN J r n其中 H (u ) = J 〇u h(s)dx,F (x ,u ) =J 〇u /(x ,s )d x .由于泛函 J 〇和 I 〇 在通常的 Sobolev 空间H 1^，中不好定义，令g (u )，1十2(1十 u 2)7相似文献[12]引入变董代换v = G (u )= /〇ug (t )dt ，得到新的能董泛函为J (v ) = J 〇(G ~1(v )) = ~ [ |V v |2d x — f H (G ~1(v ))dx :2 J r nJ r n(2.1)2u 2u I (v )=I 〇(G -1(v )) = l [2 J R N 则方程（1.3)和（1.4)变为|V v |2dx 十12V (x )|G -1(v )|2dx F (x, G -1(v))dx.(2.2)—A v 十 V (x )—A v =V ) _，-1W 厂h (G ^giG -1-W )(v ))，(2.3)f (x ,G -g (G -—1㈦）1㈦）’v G H 1(R n ).(2.4)引理2.1函数g 与变董代换G -1⑷具有如下性质: (g 〇)对任意 s g R ，有 y f |S| < |G -^丨 < |s|;(gl ) (G H 5))7 = ^(G -H s ))=/2+2(G -1⑷)2 ^ i .V 2+3(G-i (S))2 S 丄，98数学物理学报Vol .39A(g2) lin i s—0(g3) limg一1 ⑷=sG 一1⑷1;(g 4)对任意 s G R ,有 fG —i (s) S g(G_s 1(s)) S G —i (s);(g 5)对任意 s 2 0,有 s S G —Y s X G —1^)) S (6 - 2a /^)s .注2.1 —方面，由引理2.1，函数h , V (x ), /(x ，s )的定义及满足的条件，可知泛函J (v )和I (v )在空间Hi(R N )中有定义，且J (v ), I (v ) G C 1.另一方面，相似文献[13]中第二节易 知求方程（13)的解等价于求方程（2.3)的解，求方程（14)的解等价于求方程（2.4)的解.弓丨理2.2如果函数h (s )满足条件（h 〇)-(h 2)，则函数啊-養y勝卜s与函数h 具有相似的条件.证（h 〇)的相似条件.由函数h 和^的定义可知函数k (v ) G C (R +，R ).进一步，由引 理2.1中性质（g 2)，可知lim G -» = 0,因此lim g (G -») = g (0) = 1.结合引理2.1中性v ——0 v ——0质（g 2)和条件（h 〇)可得limk (v )limh (G ~1(v)) G -1(v)limh (G -1(v))->0 vv —0 G -1(v ) v g (G -1(v ))G -1(v )—0 G -1(v )(h 1)的相似条件.当N 2 3时，由引理2.1中性质（g 3)，可知lim G -1(v )=⑴，因此lim g-1(G -1(v))结合引理2.1中性质（g3)和条件（h i )可得limk(v)/N 十2)^N — 2)lim2h (G -1(v))G -1(v)1^，、（N 十2)^N —2)G -1(v )(N 十2)/(N -2) v (N 十2)/(N —2)g (G —1(v))3lim h (G -1(v))0.G -i(v )—⑵ G -1(v )(N+2)AN —2)当N = 2时，由引理2.1中性质（g 0)和（g1)，结合条件（h1)，对a > 0, Ca > 0,可得1k(v)g (G -1(v))h (G —1(v)) < h (G —1(v)) < C aea(^ (v)) < C ae°(h 2)的相似条件.由函数g 和G 的定义可知，函数G 和G -1是单调递增的.因此，当N 2 2时，有h (G —1(s))dG —1(s)h (t)d t.同理可得 W = 1 的情形，且 fc(G(C。