1齐次平衡法求解非线性方程-李士岗

非线性方程的求解方法一、引言在数学领域中，非线性方程是指未知量与其对自身的各次幂、指数以及任意函数相乘或相加得到的方程。

求解非线性方程是数学中一个重要而又具有挑战性的问题。

本文将介绍几种常见的非线性方程求解方法。

二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种经典的非线性方程求解方法，它利用方程的切线逼近根的位置。

设f(x)为非线性方程，在初始点x0附近取切线方程y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)，令切线方程的值为0，则可得到切线方程的解为x1=x0-f(x0)/f'(x0)。

重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。

三、二分法二分法是一种简单而又直观的非线性方程求解方法。

它利用了连续函数的中间值定理，即若f(a)和f(b)异号，则方程f(x)=0在[a, b]之间必有根。

根据中值定理，我们可以取中点c=(a+b)/2，然后比较f(a)和f(c)的符号，若同号，则根必然在右半区间，否则在左半区间。

重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。

四、割线法割线法是一种基于切线逼近的非线性方程求解方法，它与牛顿迭代法相似。

由于牛顿迭代法需要求解导数，而割线法不需要。

设f(x)为非线性方程，在两个初始点x0和x1附近取一条直线，该直线通过点(x0,f(x0))和(x1, f(x1))，它的方程为y=f(x0)+(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)*(x-x0)，令直线方程的值为0，则可得到直线方程的解为x2 = x1 - (f(x1)*(x1-x0))/(f(x1)-f(x0))重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。

五、试位法试位法是一种迭代逼近的非线性方程求解方法。

它利用了函数值的变化率来逼近根的位置。

设f(x)为非线性方程，选取两个初始点x0和x1，然后计算f(x0)和f(x1)的乘积，如果结果为正，则根位于另一侧，否则根位于另一侧。

然后再选取一个新的点作为下一个迭代点，直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。

齐次平衡原则及其应用
王明亮;李志斌
【期刊名称】《兰州大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】1999(000)003
【摘要】叙述齐次平衡原则及其在非线性数学物理中的应用：根据该原则可导出一大类非线性ＰＤＥ的非线性变换，并借之得到方程的精确解；利用计算机的符号计算系数获得许多非线性ＰＤＥ的弧立皮解；对一些非线性方程的边值－初值问题也可得到其精确解的表达式。

【总页数】1页(P8)
【作者】王明亮;李志斌
【作者单位】兰州大学数学系;计算机科学系
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
【相关文献】
1.激发应用兴趣,增强应用意识,培养应用能力——中职物理教学应用能力培养的实践与思考 [J], 邱永华
2.简化齐次平衡原则与新 Hamiltonian振幅方程的孤波解 [J], 李向正;郝祥晖
3.简化齐次平衡原则与Chen-Lee-Liu方程的精确解 [J], 郝祥晖;李向正
4.简化齐次平衡原则与Gerdjikov-Ivanov方程的精确解 [J], 李向正;郝祥晖
5.齐次平衡原则与BTs [J], 王明亮;白雪
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齐次平衡法与 burgers-huxley 方程的精确解齐次平衡法（Homotopy Perturbation Method，简称HPM）是一种用于求解非线性微分方程的近似解析方法。

它通过引入一个人工参数h，将原方程转化为一个线性的辅助方程，然后通过迭代的方式逐步逼近原方程的精确解。

下面我们将使用齐次平衡法来求解Burgers-Huxley 方程的精确解。

Burgers-Huxley 方程是一种耦合的非线性偏微分方程，描述了神经传导速度和离子通道的动力学。

它可以写成如下形式：∂u/∂t - ∂²u/∂x² = ν∂²u/∂x² + μu - u² - φ(u) = 0其中，u 是未知函数，t 和x 分别表示时间和空间变量，ν和μ是常数，φ(u)是非线性函数。

为了使用齐次平衡法求解这个方程，我们引入一个人工参数h，并构造如下形式的辅助方程：L(u) = ∂u/∂t - ∂²u/∂x² - h(ν∂²u/∂x² + μu - u² - φ(u)) = 0当h=0 时，辅助方程变为线性方程，易求得其精确解。

然后，我们通过迭代的方式逐渐增加h 的值，逼近原方程的解。

假设u 的近似解可以表示为级数形式：u(x,t) = ∑[n=0,∞] (h^n u_n(x,t))将近似解代入辅助方程，对h 的各阶项进行收集，并使得对应项系数为零，即可求得每一阶的解。

首先，我们将近似解代入辅助方程，得到：L(u)= ∂(∑[n=0,∞] (h^n u_n))/∂t- ∂²(∑[n=0,∞] (h^n u_n))/∂x²- h(ν∂²(∑[n=0,∞] (h^n u_n))/∂x² + μ(∑[n=0,∞] (h^n u_n)) - (∑[n=0,∞] (h^n u_n))^2 - φ(∑[n=0,∞] (h^n u_n))) = 0接下来，我们对方程进行整理，并将各阶项系数置零。

非线性方程的求解和分析近年来，随着科技的飞速发展，各个领域中越来越多的问题需要用到求解非线性方程的方法。

这些非线性方程指的是方程中包含有一个或多个未知数的嵌套函数的方程。

解非线性方程是现代数学、物理和工程等领域中获得解析解的一个重要问题。

本文将讨论非线性方程的求解和分析方法。

一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种求解非线性方程的基本方法。

它的原理是利用函数的导数逼近函数的根。

其算法如下:(1) 选一个初始值 $x_0$(2) 迭代公式: $x_{n+1} = x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$其中，$f(x)$ 为非线性方程， $f'(x)$ 表示 $f(x)$ 在 $x$ 处的导数。

(3) 若 $|f(x_{n+1})|<\epsilon$（$\epsilon$ 为给定的精度），则停止计算，$x_{n+1}$ 为 $f(x)=0$ 的一个近似解。

否则，令$n=n+1$，返回第（2）步进行迭代。

值得注意的是，在实际计算中，可能存在导数 $f'(x_n)$ 为零，或者非线性函数的导数求解过于复杂的情况。

对于这些问题，可以使用牛顿迭代法的改进方法来解决。

二、牛顿-拉夫逊法牛顿-拉夫逊法是一种解决在牛顿迭代法中遇到的问题的改良方法之一。

它通过在公式中引入一个阻尼系数 $\lambda$ 来避免除以零和产生振荡。

公式如下：$x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)+\lambda f''(x_n)}$其中，$f''(x)$ 表示 $f(x)$ 的二阶导数。

通过引入阻尼系数，可以避免迭代过程中 $f'(x)$ 零点附近的振荡，并且当 $f'(x)$ 接近零时，阻尼系数会变得更大，以减小振荡的影响。

三、拟牛顿法拟牛顿法（Quasi-Newton Method）是一种利用 Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）公式来近似牛顿法中的 Hessian 矩阵的方法。

非线性方程的求解方法非线性方程是数学中的基本概念，对于许多科学领域而言，非线性方程的求解具有重要的意义。

然而，与线性方程相比，非线性方程的求解方法较为复杂，因此需要掌握一些有效的解法。

本文将介绍几种非线性方程的求解方法。

一、牛顿迭代法牛顿迭代法也叫牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解非线性方程的有效方法。

该方法的基本思路是，选择一个初始值，通过迭代计算不断逼近非线性方程的根。

牛顿迭代法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x)$表示非线性方程，$f'(x)$表示$ f(x) $的一阶导数。

牛顿迭代法的优点在于速度快，迭代次数少，但其局限性在于收敛性受初始点选取的影响较大。

二、割线法割线法（Secant method）也是一种求解非线性方程的有效方法。

与牛顿迭代法不同，割线法使用的是两个初始值，并根据两点间的连线与$ x $轴的交点来作为新的近似根。

割线法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$割线法的优势是不需要求解导数，但其缺点在于需要两次迭代才能得到下一个近似根，因此计算量较大。

三、二分法二分法（Bisection method）是求解非线性方程的另一种有效方法。

该方法的基本思路是找到非线性方程的一个区间，使函数值在该区间内的符号相反，然后通过逐步缩小区间，在区间内不断逼近非线性方程的根。

二分法的公式为：$$x_{n+1}=\frac{x_n+x_{n-1}}{2}$$其中，$x_n$和$x_{n-1}$是区间的端点。

二分法的优点在于收敛性稳定，但其缺点在于迭代次数较多，因此计算量也较大。

四、弦截法弦截法（Regula Falsi method）也是一种求解非线性方程的有效方法。

它和二分法类似，都是通过缩小根所在的区间来逼近根。

不同之处在于，弦截法不是以区间中点为迭代点，而是以区间两个端点之间的连线与$ x $轴的交点为迭代点。

高等代数中的非线性方程组求解方法与案例高等代数中的非线性方程组求解方法与案例一、引言非线性方程组在数学和科学工程领域中具有重要的理论和实际应用价值。

本文将介绍一些常用的非线性方程组求解方法，并通过案例来展示这些方法的应用。

二、牛顿法牛顿法是一种经典的非线性方程组求解方法。

该方法利用函数的导数信息进行迭代，通过不断逼近方程组的解。

其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，初始解为 x_0，则迭代公式为：x_{n+1} = x_n - J_F(x_n)^{-1} * F(x_n)其中，J_F(x_n) 表示 F(x_n) 的雅可比矩阵。

三、割线法割线法是一种迭代求解非线性方程组的方法。

该方法使用方程组中两个初始解点之间的割线来逼近方程组的解。

其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，初始解为 x_0 和 x_1，则迭代公式为：x_{n+1} = x_n - \frac{F(x_n) * (x_n - x_{n-1})}{F(x_n) - F(x_{n-1})}四、二分法二分法是一种简单且可靠的非线性方程组求解方法。

该方法利用方程组在区间两端点函数值异号的性质，在区间内部寻找解。

其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，在区间 [a, b] 内满足 F(a) * F(b) < 0，迭代公式为：x_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}五、案例分析假设有如下非线性方程组：x^2 + y^2 = 10x + y = 5我们将使用上述介绍的三种方法来求解该方程组。

1. 牛顿法求解：首先，我们需要计算方程组的雅可比矩阵：J_F(x, y) = [[2x, 2y],[1, 1]]给定初始解 x_0 = (1, 4)，按照牛顿法的迭代公式进行迭代计算，直到满足收敛条件。

2. 割线法求解：给定初始解 x_0 = (1, 4) 和 x_1 = (2, 3)，按照割线法的迭代公式进行迭代计算，直到满足收敛条件。

非齐次线性方程组的解法可以采用下面几种方法：
1. 高斯消元法：该方法是利用矩阵的初等变换来求解方程组的，它的基本思想是将方程组化为上三角形式，然后从上往下逐步求解。

2. 列主元消元法：该方法是在高斯消元法的基础上，通过每一步选取列主元来求解方程组。

3. 牛顿迭代法：该方法是利用函数的迭代求解方程组，它的基本思想是把方程组看成一个函数，然后利用函数的迭代求解。

4. 雅可比迭代法：该方法是利用雅可比矩阵来求解方程组，它的基本思想是把方程组看成一个函数，然后利用雅可比矩阵的迭代求解。

5. 全选主元高斯消元法：该方法是在高斯消元法的基础上，通过每一步选取全选主元来求解方程组。

6. 高斯-赛德尔迭代法：该方法是利用高斯-赛德尔迭代公式来求解方程组，它的基本思想是把方程组看成一个函数，然后利用高斯-赛德尔迭代公式的迭代求解。

第四章 非线性方程组的解法4.1 非线性方程组的一般形式从上面两章中，我们研究了离散化结构中任一单元在t t t ∆+→的时间增量步内，由材料非线性引起的单元切线刚度阵是线性的，（如第三章得出的增量平衡方程p q k t ∆=∆ (7) （假定t 时刻的状态已知）），由此集合而成结构的增量平衡方程也是线性的P q K T ∆=∆，这就为求解整个的非线性过程准备了条件。

即只要确定每一步的切线刚度，通过求解一系列的线性方程组，累加起来就得到了解的全过程。

结构总的平衡方程是非线性的：P q q K =)( (1)i.e P K q 1-=。

令q q K R )(=0)()1(=-=→q R P F (1)’分段线性化是求解非线性问题中一个普遍有效的技术，但作为具体的解法还有许多种，主要的有：1、增量法―纯增量法2、迭代法―直接迭代法（刚线刚度法）、Newton-Raphson 迭代法（切线刚度法）3、.混合法―增量/迭代型方法4.2 载荷增量法（纯增量法）1、基本思想将一个非线性的全过程分成若干段，每一段用一个线性问题去近似。

如将一段取得足够小，总可以逼近真实的非线性过程。

方法：若将外载荷分成N 个增量步，而每个增量载荷为0P P i i λ∆=∆， i λ∆为载荷系数（或称载荷因子）， 则总载荷 0P P λ=；其中：∑=∆=Ni i 1λλ0P 为基准载荷.上面的结构平衡方程为0)()(=-=q R P q F (1)´i.e 0)()(0=-=q R P q F λ (2)λ1Δλ1P 0Δλ2P 0 λP 0λ2 λ3q 1 q 2q 3上式两边对λ微分得00F R P λλ∂∂=-=∂∂ (3)i.e 0)(0=-λd dqq K P T (4)如比例加载（力的大小和方向不变），有0P d dP λ=，代入(4)得1110()()..()T TT d q K qd P K q d P ie qK q P λ---==∆=∆ (5)将(5)式写成增量形式便有以下求解格式1101[()]i T i ii i i i iq K q P P P q q q λ---⎧∆=∆∆=∆⎨=+∆⎩ (6)2、求解步骤1）将载荷分成若干个增量步 01P P Ni i ∑=∆=λ ，准备位移量累加器[Q]并置零.2）施加第1个载荷增量 011P P λ∆=∆，计算qRq k t ∂∂=)(0线性 求解 1101)]([P q K q T ∆=∆-11q q ∆= 并送入位移量累加器[Q]3）施加第2个增量步 022P P λ∆=∆用1q ，求)(1q K T 即在1q 处的切线刚度矩阵 求解 2112)]([P q K q T ∆=∆-212q q q ∆+= 在位移量累加器[Q]中完成累加.4）重复3）直至(N )个载荷施加完毕, 在位移量累加器[Q]中得到总位移 ∑=∆=Ni i q q 13. 几何意义及讨论优缺点：优点：了解加载过程，当→∆P 足够小，总能收敛到真实解缺点：实际不可能无限小，因此累积误差，且无法估计，造成极大偏离而失真P 2 ΔλP 1 λP 0P 3 Δλ4.3 迭代法 1 直接迭代法1) 基本思想：将载荷一次加上，并假设一个初始解代入方程组求出第一次近似解；将其再代入方程组求解，得出第二次近似解，反复迭代逐次修正解，直至满足方程组（类似于对过渡单元加权平均ep D 中m 的迭代）。

解非线性方程是方法主要有：增量法、迭代法、增量迭代混合法。

几何非线性有限元方法：1、完全的拉格朗日列式法（T.L.Formulation）在整个分析过程中，以t=0时的位形作为参考，且参考位形保持不变，这种列式称为完全的拉格朗日列式（T丄法）对于任意应力-应变关系与几何运动方程，杆系单元的平衡方程可由虚功原理推导得到：[[町何如-⑷二0式（1）式中各量分别为：应变矩阵，是单元应变与节点位移的关系矩阵；单元的应力向量；杆端位移向量；V是单元体积分域，对T.L列式，是变形前的单元体积域；单元杆端力向量；直接按上式建立单元刚度方程并建立结构有限元列式，称为全量列式法。

在几何非线性分析中，按全量列式法得到的单元刚度矩阵和结构刚度矩阵往往是非对称的，对求解不利，因此多采用增量列式法。

将式（1）写成微分形式变形后得：（"凰十"繊+1疋L M冏=讪显冏"式（2）这就是增量形式T.L列式的单元平衡方程。

式中为：单元弹性刚度矩阵、单元初位移刚度矩阵或单元大位移刚度矩阵、初应力刚度矩阵、三个刚度矩阵之和，称为单元切线刚度矩阵。

2、修正的拉格朗日列式法（U.L.Formulation）在建立t+t时刻物体平衡方程时，如果我们选择的参照位形不是未变形状态t=0时的位形，而是最后一个已知平衡状态，即本增量步起始的t时刻位形为参照位形，这种列式法称为修正的拉格朗日列式法（U丄列式）。

增量形式的U.L列式结构平衡方程可写成：式（3）3、T.L列式与U.L列式的比较T.L列式与U.L列式是不同学派用不同的简化方程及理论导出的不同方法，但是它们在相同的荷载增量步内其线性化的切线刚度矩阵应该相同，这一点已得到多个实际例题的证明。

T.L列式与U.L列式的不同点比较内容|「L列式|U丄列式|注意点计算单刚的积分域|在初始构形的体积域内进行|在变形后的t时刻体积域内进行|U丄列式必须保留节点坐标值精度|保留了刚度阵中所有线性与非线性项|忽略了高阶非线性|U丄列式的荷载增量不能过大单刚组集成总刚|用初始时刻各单元结构总体坐标系中的方向余弦形成转换阵，计算过程不变|用变形后t时刻单元在结构总体坐标中的方向余弦形成转换阵，计算过程中不断改变|U丄列式中组集荷载向量也必须注意方向余弦的改变本构关系的处理|在大应变时，非线性本构关系不易引入|比较容易引入大应变非线性本构关系|U 丄方法更适用于混凝土徐变分析从理论上讲，这这两种方法都可以用于各种几何非线性分析。

齐次平衡反应解题技巧在学习化学反应时，齐次平衡反应是一个重要的概念。

齐次平衡反应指的是在相同的化学相（如气体相或溶液相）中的反应，反应物和生成物的摩尔比例保持不变。

齐次平衡反应的解题技巧可以帮助我们更好地理解和分析化学反应。

下面将分享一些关于齐次平衡反应解题的技巧和方法。

1. 掌握基本概念在开始学习齐次平衡反应时，首先要掌握一些基本概念。

了解化学反应中气体的摩尔比例，以及摩尔比例与压力之间的关系是十分重要的。

此外，理解溶液反应中溶液的浓度与摩尔比例的关系也是必要的。

2. 解题步骤解题时，可以按照以下步骤进行：- 确定给定条件：阅读题目，确认反应方程式和给定初始条件。

- 写出化学反应方程式：将给定的物质进行配平，并正确写出化学反应方程式。

- 确定变量和未知数：找出摩尔比例中的已知变量和未知数，并设定符号。

- 建立方程式：利用已知条件建立方程式，包括气体压力、溶液浓度等。

- 解方程和计算：根据已知条件和方程式，解方程求解未知数，并进行计算。

3. 分析反应类型在解析题目时，要明确反应是气体相还是溶液相的。

对于气体相反应，可以采用Dalton定律或利用气体的摩尔比例关系进行计算。

对于溶液相反应，可以利用溶解度规则和摩尔比例关系解题。

4. 注意物质状态的变化在解齐次平衡反应题目时，要注意物质状态的变化。

对于气体，要根据其压力和体积的变化确定反应物和生成物的摩尔比例。

对于溶液相反应，要注意体积和浓度的变化。

5. 反应方程式的配平正确的反应方程式配平对于解题非常重要。

在配平时，要根据元素的守恒原则，确保反应物和生成物中的元素数量相等。

同时要注意反应中离子的电荷平衡。

6. 合理使用公式和常数在解题时，可以利用摩尔比例、溶解度规则、适用公式和常数来辅助计算。

熟练掌握这些公式和常数的使用，能够更加高效地解题。

总结:通过掌握齐次平衡反应解题技巧，我们可以更好地理解和分析化学反应。

在解题过程中，要熟练运用化学知识和公式，同时注意题目中给出的条件，合理利用已知信息进行计算。

齐次平衡法求解非线性方程李士岗（包头师范学院数学科学学院）摘 要：本文概述了齐次平衡原则的基本思想和步骤，并应用于非线性数学物理方程的求解。

这是一种解题方法的创新及应用，以KdV 方程为例，验证齐次平衡原则并借之获得KdV 方程的周期解，并且还可获得孤子解和其它形式的解。

关键词：齐次平衡原则；非线性变换；非线性偏微分方程；KdV 方程；周期解。

一、引言40多年来，非线性数学物理方程研究领域颇具特色成就之一是发现并构造了非线性偏微分方程精确解(特别是孤立波解)的各种精巧方法。

如反散射方法、双线性算子方法、cklund aB 变换(BT)等。

近年来提出并发展起来的齐次平衡方法[1-4]，实际上是求非线性偏微分方程精确解的一种指导原则，可事先判定某类非线性偏微分方程是否有一定形式的精确解存在，如果回答是肯定的，则可按一定步骤求出它来。

因而齐次平衡原则具有直接、简洁、步骤分明的特点；再者，还适用于用计算机符号计算系统进行计算，且得到的是精确的结果。

本文基本内容安排如下：概述齐次平衡原则的主要思想与步骤；简述用齐次平衡原则导出非线性偏微分方程的非线性变换及精确解。

二、齐次平衡原则[9]我们概述一下齐次平衡原则的基本思想和步骤，为简单起见，仅以一个未知函数，两个自变量的情形为例来阐明，对若干个未知函数及多个自变量的方程组的情形，可类似地表述。

给定一个非线性偏微分方程0),,,,,,(= tt xt xx t x u u u u u u P （1）这里P 一般是关于u 对x ，t 的偏导数或混合导数的高阶导数表达式。

一个函数),(t x ϕϕ=称为是方程（1）的拟解，如果存在单变元的函数)(ϕf f =，使)(ϕf 关于x 和t 的一些偏导数的适当的线性组合，即+∂∂∂=+nm n m t x )(f )t ,x (u ϕ （2）关于x 和t 的低于m+n 阶偏导数的适当的线性组合，或者将（2）改写为：+=+n t m x )n m ()(f )t ,x (u ϕϕϕ （3）的各种偏导数为变元的低于m+n 次的一个多项式（不管)(ϕf 及其导数）， 精确地满足（1）、（2）及（3）中的非负整数m,n,单变元函数)(ϕf f =以及函数),(t x ϕϕ=都是特定的，将（3）代入（1）后，可通过下述步骤确定它们。

用齐次化原理解线性非齐次微分方程
盛佩君
【期刊名称】《大学数学》
【年(卷),期】1992(000)001
【摘要】齐次化原理是求解线性非齐次偏微分方程的一种方法。

本文利用这种方法求解线性非齐次常微分方程,并推导出解的一般公式。

【总页数】5页(P83-87)
【作者】盛佩君
【作者单位】华侨大学
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.某类系数与Fejér缺项级数有关的齐次和非齐次高阶线性微分方程亚纯解的增长性 [J], 周艳萍;郑秀敏
2.一阶非齐次线性微分方程的齐次解法 [J], 李宏飞
3.从齐次方程的一个特解到非齐次方程的通解—二阶线性微分方程的又一种常数变易法 [J], 陈华锋;李燕;李治
4.常系数非齐次线性微分方程特解的一种公式化解法--高等数学中微分方程教学方法的一种新尝试 [J], 郭世贞;张继红
5.二阶齐次与非齐次线性微分方程亚纯解的零点与增长性质估计(英文) [J], 陈玉因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。