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本科专业学年论文题目：非线性方程求解比较姓名：何娟专业：计算机科学技术系班级：08级本科（2）班指导老师：刘晓娜完成日期：2010年11 月21 日题 目：非线性方程求解比较摘 要本文给出了三种求解非线性方程的方法，分别是二分法，牛顿迭代法，割弦法。
二分法巧妙地利用插值得到的点以及有根区间中点这两点处的函数值，缩小隔根区间，以期望得到更快的收敛速度。
牛顿迭代法是非线性方程根的一种常见的数值方法,对于非线性方程的单重零点来说，牛顿迭代法一般具有局部二阶收敛性,但是当所求的根X*是F(X)的M 重根时,M 是大于等于2的整数,此时牛顿迭代法只有一阶收敛性。
弦截法是将牛顿迭代公式中用差商F(k x )-F(1-k x )/ （k x - 1-k x ）代替导数'()k F x 。
本文给出了算法改进的具体步骤及算法流程图相关的数值结果也说明了方法的有效性。
关 键 词 : 二分法；牛顿迭代法；割弦法；非线性方程目录第一章绪论- 3 -第二章求解非线性方程的三种常见算法……………………………- 4-2.1 二分法………………………………………………………-4 -2.2 牛顿迭代法……………………………………………………- 5 -2.3 割弦法- 6 -第三章求解非线性方程的三种算法比较- 8 -3.1 二分法求解方法- 8 -3.2 牛顿迭代法求解- 10 -3.3 割弦法求解- 11 -参考文献- 14 -第一章绪论在科技飞速发展的今天，计算机已经成为我们生活中不可缺少的一部分了，在我们生活与生产中扮演越来越重要的角色，而科学计算已经成为科学计算的重要方法之一，其应用范围已渗透到所有科学领域，作为科学与工程计算的数学工具，计算方法已成为高等院校数学与应用数学，信息与计算科学，应用物理学等必修课。
在永恒变化发展的自然界与人类社会中，在研究其内部规律的各个科学领域中，更深刻、更精确地描述其内部规律的数学工具之一，就是非线性方程。
Computer Knowledge and Technology 电脑知识与技术人工智能及识别技术本栏目责任编辑：唐一东第7卷第1期(2011年1月)具有全局收敛性的求解非线性方程组的新方法任晓慧（聊城大学计算机学院，山东聊城252059）摘要：将非线性方程组的求解转化为多维函数优化问题，利用基于自然选择的粒子群算法进行求解，解决了传统方程求解对初值要求高的问题。
仿真结果表明，该算法具有全局收敛性，精度高，速度快等特点。
关键词：自然选择粒子群算法；非线性方程组；初值；全局收敛中图分类号：TP301文献标识码：A 文章编号：1009-3044(2011)01-0197-02A New Method With Global Convergence for Solving System of Nonlinear EquationsREN Xiao-hui(College of Computer Science,Liaocheng University,Liaocheng 252059,China)Abstract ：When solving system of nonlinear equations be transformed into the multidimensional function optimization problem,the prob -lem can be solved by particle swarm optimization algorithm based on nature selection.The method solves the problem that system of non -linear equations is very sensitive to initial value .Simulation results show that this algorithm has the advantage of the Global Convergence ,high precision and fast operation speed.Key words:NSPSO;system of nonlinear equations;global convergence非线性方程组的解法长期以来一直是工程应用和数值计算中重要的研究内容。
关于牛顿迭代法的课程设计实验指导非线性方程（或方程组）问题可以描述为求 x 使得f (x ) = 0。
在求解非线性方程的方法中，牛顿迭代法是求非线性方程（非线性方程组）数值解的一种重要的方法。
牛顿是微积分创立者之一，微积分理论本质上是立足于对世界的这种认识：很多物理规律在微观上是线性的。
近几百年来，这种局部线性化方法取得了辉煌成功，大到行星轨道计算，小到机械部件设计。
牛顿迭代法正是将局部线性化的方法用于求解方程。
一、牛顿迭代法及其收敛速度牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ），是一种在实数域和复数域上通过迭代计算求出非线性方程的数值解方法。
方法的基本思路是利用一个根的猜测值x 0做初始近似值，使用函数f (x )在x 0处的泰勒级数展式的前两项做为函数f (x )的近似表达式。
由于该表达式是一个线性函数，通过线性表达式替代方程中的求得近似解x 1。
即将方程f (x ) = 0在x 0处局部线性化计算出近似解x 1，重复这一过程，将方程f (x ) = 0在x 1处局部线性化计算出x 2，求得近似解x 2，……。
详细叙述如下：假设方程的解x *在x 0附近（x 0是方程解x *的近似），函数f (x )在点x 0处的局部线化表达式为)()()()(000x f x x x f x f '-+≈由此得一次方程 0)()()(000='-+x f x x x f求解，得 )()(0001x f x f x x '-= 如图1所示，x 1比x 0更接近于x *。
该方法的几何意义是：用曲线上某点（x 0，y 0）的切线代替曲线，以该切线与x 轴的交点（x 1，0）作为曲线与x 轴的交点（x *，0）的近似（所以牛顿迭代法又称为切线法）。
设x n 是方程解x *的近似，迭代格式)()(1n n n n x f x f x x '-=+ ( n = 0，1，2，……) 就是著名的牛顿迭代公式，通过迭代计算实现逐次逼近方程的解。
非线性方程求解算法的收敛性分析在数学和工程领域中，非线性方程求解是一项重要的任务。
与线性方程相比，非线性方程由于其复杂性而具有更高的挑战性。
因此，开发一种有效且收敛性良好的求解算法显得尤为重要。
本文将对非线性方程求解算法的收敛性进行分析，并探讨影响收敛性的因素。
一、非线性方程求解算法综述非线性方程求解算法广泛用于科学计算和工程应用中，例如在数值模拟、优化问题以及信号处理等领域。
常见的求解算法包括二分法、牛顿迭代法、割线法、弦截法等。
尽管这些算法在不同问题上具有一定的适用性，但它们在求解非线性方程时都存在收敛性问题。
二、收敛性的定义和评价在讨论收敛性之前，我们首先需要明确收敛性的定义。
对于一个求解算法而言，收敛性表示算法能够找到非线性方程的根，并且随着迭代次数的增加，逼近于精确解。
评价一个算法的收敛性通常需要考虑三个方面：收敛速度、收敛域和全局收敛性。
1. 收敛速度收敛速度是指求解算法逼近根的速度。
通常情况下，我们希望算法具有快速收敛的性质，以提高求解效率。
常见的判断收敛速度的方法有用残差准则和定义迭代次数等。
2. 收敛域收敛域表示求解算法在何种范围内能够保证收敛性。
对于一些特定的求解算法，收敛域可能受到限制。
因此，在选择求解算法时，需要考虑非线性方程的特性，以确定算法的收敛域是否满足问题要求。
3. 全局收敛性全局收敛性意味着算法以任意的初值作为起点，都能够收敛到方程的根。
虽然一些算法可能在特定的条件下保证收敛性，但在全局范围内可能存在无法收敛的情况。
三、影响收敛性的因素收敛性的质量取决于多个因素。
下面我们将讨论几个主要的影响因素。
1. 初始值的选取初始值的选取在非线性方程求解中起着至关重要的作用。
不同的初始值可能导致算法的收敛性不同。
因此，合理选择初始值对于求解算法的收敛性至关重要。
2. 方程的特征方程的特征也会对求解算法的收敛性产生影响。
例如，方程的非线性程度、奇点的存在等都可能导致算法的收敛性发生变化。
一：非线性方程的基本迭代方法简单迭代法非线性方程的一般形式f(x)=0 其中f(x)是一元非线性函数。
若存在常数s 使f(s)=0，则称s 是方程的根。
把方程转化为其等价的方程)(x x ϕ=，因而有)(s s ϕ=。
选定s 的初始近似值0x ，用迭代公式)(1k k x x ϕ=+，得到}{k x 收敛于s ，就求出了方程的解。
收敛性：)(s s ϕ=,)(x ϕ'在包含s 的某个开区间内连续。
如果|)(x ϕ'|<1则存在δ>0，0x ∈[s-δ,s+δ]时，由该迭代函数产生的迭代法收敛。
收敛速度：（}{k x 收敛于s ，k e 为s 与k x 的差值绝对值，则c e e r k k k =+∞→1lim，c 是常数，则该迭代是r 阶收敛）Newton 法为了使迭代的收敛速度更快，应尽可能使)(x ϕ在s 处有更多阶的导数等于零。
令)(x ϕ=)()(x f x h x +,)(x h 为待定函数，已知)(s ϕ'=0，推出)(x h =)(1x f '-。
这就得出了牛顿法的迭代形式 )()(1k k k k x f x f x x '-=+，（k=0、1、···） 牛顿法是二阶收敛的迭代方法，但是牛顿法的是局部收敛的，因此要求初值要靠近根。
求解中，对于每一个k 都要计算)(k x f '，而导数的计算比较麻烦，否则会产生很大误差。
割线法 在牛顿法基础上，用11)()(----k k k k x x x f x f 来代替)(k x f '，其中1-x 、0x 预先给定。
得到了割线法的迭代形式 )()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x ，（k=0、1、···） 割线法的收敛速度至少为1.618这样就避免了牛顿法求导数的繁琐程序单点割线法单点割线法就是在割线法的基础上，用))(,(00x f x 代替))(,(11--k k x f x ，得到的迭代形式 )()()(001k k k k k x f x f x f x x x x ---=+，（k=1、2、···） 单点割线法是一阶收敛的方法，它比割线法初值要少取一个点更加容易选取初值二：非线性方程的迭代解法的拓展修正的Chebyshev 法思想：将函数)(x f 在k x 处进行泰勒展开既 +-''+-'+≈!2)()())(()()(2k k k k k x x x f x x x f x f x f ，如果)(x f ≠0，先取线性部分来代替原来函数，既)(x f =)(k x f +))((k k x x x f -'=0，得到k x x -=)()(k k x f x f '-； 再用二次多项式部分代替原函数，既!2)()())(()()(2k k k k k x x x f x x x f x f x f -''+-'+==0，合并这两次的结果得到)()()))((2)()(1(2k k k k k k x f x f x f x f x f x x ''''⋅+-=，令1+=k x x ，得到就得到了新的迭代公式，这就是Chebyshev 方法的思想，该方法的迭代公式具有三阶收敛速度。
一．何为收敛？在这里我引用一个会员的提问来解释这个问题：Q:结构非线性静力分析经常出现收敛这个词，如：收敛容限，收敛准则，收敛的解，位移收敛检验等，请解释，thanks!A: 个人是这样理解的谈到收敛总会和稳定性联系在一起，简单的说，就是在进行求解过程中的一些中间值的误差对于结果的影响的大小，当中间量的误差对于你的数值积分的结果没有产生影响，就说明你的积分方法是稳定的，最终你的数值积分的结果就会收敛于精确解；当中间量的误差导致数值积分结果与精确解有很大的差别时，就说明你的方法稳定性不好，你的数值积分结果不会收敛于精确解。
我想当你对于稳定性和收敛的概念真正理解后，那些名词对于你来说，并不是问题，力学的问题最终都会和数学联系在一起，建议你看看数值积分方面的教程，学好了数学，力学对于你来说就是a piece of cake。
Q:那么说收不收敛，最终都是因为采用的计算方法和计算参数选取的问题了？A:就本人所学的专业来说，很大程度上取决于所采用的算法，我学的是结构工程，举个例子吧 :当在进行结构动力时程分析时，采用的几分方法有线性加速度法，威尔逊－theta法，对于线性加速度法，当时间步长大于周期的0.5倍时，计算结果很可能出现不收敛，而当时间步长小于0.1倍的周期时，才有可能获得稳定的计算结果；而威尔逊－theta法，实质上就是线性加速度法的修正形式，很多实例表明当theta值大于1.37时，这种算法是无条件稳定的。
当然影响计算结果是否收敛的原因有很多，比如初始条件，我所指的仅仅是我所学专业的一个问题的很小的一个方面。
A: 说白了，就是数学。
牵涉到实际的计算问题时，才发现数学实在是太有用了，不过可惜数学实在学得不好。
A: 收敛的问题，就好像你往水里扔一块石头激起的波浪，慢慢会平息下来，这就收敛了。
计算的时候就是这样，数据在每次迭代的时候在精确解的周围震荡，最后无限趋向于精确解。
我想学过级数的人就应该知道，里面就有个无穷级数的和收敛的问题。
第20卷 第1期2003年02月工 程 数 学 学 报JO URNAL OF ENGINEERING MATHEMATICSVol.20No.1Feb.2003文章编号:1005 3085(2003)01 0049 06一类非线性算子方程唯一解的Mann迭代序列的收敛性及其应用于立新1, 郭宜明2(1 曲阜师范大学数学系,山东曲阜273165; 2 枣庄师专计算机系,山东枣庄277160)摘 要:在Banach空间中,没有假设任何紧性、连续性或凹凸性条件,利用M ann迭代技巧证明了一类算子方程Ax=x解的存在唯一性,并将其结果应用于无界域上的Ham merstein积分方程,得到了新的结果。
关键词:锥;算子方程;M ann迭代;弱序Lipschitz条件分类号:AMS(2000)47H10;47H07 中图分类号:O177.91 文献标识码:A1 引言和预备知识人们对增算子的研究,通常采用紧性条件、连续性条件或凹凸性条件等得到了算子不动点的存在性或唯一性定理[1~7]。
文[1]研究了一类带有凹凸性的增算子的不动点的存在唯一性,然而,文[1]对所讨论的算子附加了一些条件,如算子的强增性、体锥以及较强的上下解条件等。
文[2]通过引用序Lipschitz条件,得到了Mann迭代序列收敛于一类带有凹凸性的增算子的不动点,去掉了对算子和锥所附加的一些条件,但运用了上解和下解条件,并且没有得到解的唯一性。
我们在弱序Lipschitz条件下去掉了文[2]中的凹凸性,只运用上解(或下解)条件,并没有附加任何条件,利用Mann迭代技巧得出了比文[2]更好的结果,推广和改进了文[1,2]的主要结果,在证明方法上也不同于现有文献。
作为应用,讨论了无界域上的Hammerstein积分方程,给出了新的定解条件。
以下设E是Banach空间, 为E中的零元,P是E中的锥[3~6], 是由锥P确定的半序。
锥P称为正规的,如果存在N0>0,使得0 x y,有!x! N0!y!,其中N0为正规常数。
等式其中∞＋伊—１＋ｃ，笔－，／（１乒＋ａ）堕２＿８ａ卸＋扣＜（１～疆１㈨／ｐ。
）是从ｒＯ＝０出发，把迭代（Ｉ）和（ＩＩ）应用到实函数：上所产生的实序列。
其中对于迭代（Ｉ）卅）＝·一ｒ十篙５１．２减少导映照计值次数的牛顿迭代ｎ＝ｍｋ，ｍｋ＋１，·一，ｍｋ＋ｍ一１．＆∈Ｎｏ在前面定义的前提下，我们首先介绍一些引理。
谰１２．－姗归纠＋禹＾一铲器，ｍ≈曼ｎ＜邮＋１），☆∈Ｎｏ，且ｔｏ＝０，如果ａ＝卢·７≤３—２、，百，那么｛ｔ。
）单调递增的收敛于ｈ的较小零点ｔ＋。
证明这在几何上是很直观的。
我们也可以根据＾（ｔ）和∥（ｔ）的表达式归纳的证明。
引理１．２．２设，（ｚ）在。
ｏ点满足≈们有（ｉ）∥（ｚｏ）一１，（１’（ｚ）｜｜≤＾“）（１ｌｘ—ｚｏＩＩ），（ｉｉ）ｆ７（ｚ）一１存在并且阶７。
条件，如果ｚ∈Ｂ（ｘｉ丁＝翱那么我Ｉｌｌ＇（矿１，ｋ。
）１１－＜一高一４一功虬一印现一ｊｏｒ）一ｈ十一Ｈ十０ｐ＜一＜一证明注意到！生±（１一训ｚ一。
０１１）‘＋２从７一条件，我们直接得到Ｉｆ，７（ｚ。
）一１，“）（ｚ）１≤ｉ：ｊ彳岛＝＾“）（Ｊｚ—ｚ。
∽所以（ｉ）成立，另一方面由Ｔａｙｌｏｒ公式九训吖㈤…萎地竿鳖”训２＋Ｚ１ｉｉ—！研，。
（。
）一１，（＾＋１）（Ｘｏ－ｂｓＸ－－３：０））（。
一。
）‘（１一ｓ）ｔ一，ｄｓ，由个条件和ｈ’的非正性，我们得到｛ｔ／’（ｚｏ）ｌ，（｛】㈧，∥￡一∥’。
１，（｛’（。
）一≤∑竖堕鼍掣ｚ—ｘｏｌｌ２十１矿１．Ｊ：ｆ’（ｚ。
）一１严＋１’（ｘｏＡ－ｓＸ－－Ｘ０））¨ＨＸ－－Ｘ０怖一ｓ）㈨ｄｓ≤ｋ∑－１（ｉ＋１）１７ｆ掣≤∑（ｉ＋１）１７‘孕ｌ＝ｌ～√ＪｏＦ１器．坚掣山’（一７ｓｌｌ。
一ｚｏｆＩ）七＋２（七一１）！ｕ６≤学忙圳ｔ＋１ｉｉ＿＝；可“（ｔ＋”（。
＋ｓ（ｚ一。
））ｌｌｘ－ｘｏＩＩ‘（１一ｓ）。
一－ｄｓ＝ｈＩ（１ｌｘ—ｚｏＩＩ）＋１＜１．由是根据Ｂａｎａｚｈ引理，（ｉｉ）也成立。
解非线性方程组的全局收敛方法(ⅱ)
非线性方程组是解决复杂问题的重要手段，其中的一个重要环节是获取全局收敛的方法。
全局收敛是指一个有效的求解方法在有限的步骤后得到的收敛结果必定是方程组的解（最
优解），而不会受局部最优解影响。
常见的全局收敛方法包括：
1. 全局梯度下降法：该法是通过迭代梯度，在每一步中，根据当前点处函数的梯度值，
搜索函数下降最快的方向，最终获取全局最优解。
2. 全局拟牛顿法：该法类似梯度下降法，但是引入了海森矩阵的概念，增加了搜索的可
靠性，可以加快函数的下降速度，最终获取全局最优解。
3. 全局平衡混合梯度方法：该方法借用了平衡理论，通过约束部分变量，把约束条件混
合到梯度下降法中，可以控制搜索的步长，从而获取全局最优解。
4. 全局混合型粒子群算法：该方法基于粒子群算法，把解的搜索范围划分为多个“密度高、稳定性强”的区域，不断寻找每个区域的最优解，从而获取全局最优解。
以上就是常见的几种非线性方程组的全局收敛方法，应用在实践中，需要根据不同的问题，选择恰当的方法，及时调整搜索步长，以最短时间获取最优结果。
求解非线性方程的牛顿迭代法作者：李晓辉任伟和程长胜来源：《科技风》2021年第14期摘要：本文主要讲了求解非线性方程的牛顿迭代法。
文章首先引入牛顿迭代法的公式、迭代函数。
紧接着文章又介绍了牛顿迭代法的局部收敛性以及它的收敛速度，并通过数值实验验证了牛顿迭代法求解非线性方程的有效性。
关键词：牛顿迭代法;局部收敛;收敛速度中图分类号：O010224文献标识码：A一、绪论类似于线性方程组Ax=b求解的问题，非线性方程的一般问题可化为f（x）=y，即“对于什么样的x的值，函数f取值为y”，这里可以暂且先把f当成单变量函数，通常把y移项并吸收进f，从而一般形式可记为f（x）=0，因此，一个一般的一元非线性方程的求解问题有如下形式：给定函数f，寻找x（实的或复的），使得f（x）=0。
若存在一点x*满足该性质，称x*是方程f（x）=0的根或函数的零点。
这类问题称为求根问题或求零点问题。
此外，方程的根的情况可分为单根和重根。
一般的非线性方程的重数可以定义如下：若f（x）=（x-x*）m·g（x）且g（x）≠0，其中，m为自然数，称x*为f（x）的m重根，m=1时也称单根。
若区间[a，b]上有方程的一个实根，称该区间为方程的一个有根区间，如果能把方程的有根区间的长度缩短到一定的范围内，那么就求到了一个近似根，通常采用的都是数值求解的办法，因此若假设要求有根区间长度为0（即求到精确解），这些数值求解的办法通常都会产生一个逐渐逼近根的一个无穷序列。
求方程的近似根，一般要考虑如下几个问题：（1）根的存在性问题，即方程有没有实根，有几个根。
（2）有根区间的确定。
本文介绍的算法通常是假设有根的前提下给出求近似根的方法，一般需要以别的辅助工具先确定有根区间。
（3）求出足够近似的根，即在制定精度下缩小有根区间，或通过某些判别条件断定近似根的精度。
二、Newton迭代公式的构造简单迭代是将非线性方程f（x）=0通过代数恒等变形，将原方程化成等价方程x=φ（x），从而形成迭代式xk+1=φ（xk）。
非线性方程组的求解摘要：非线性方程组求解是数学教学中，数值分析课程的一个重要组成部分，作为一门学科，其研究对象是非线性方程组。
求解非线性方程组主要有两种方法：一种是传统的数学方法，如牛顿法、梯度法、共轭方向法、混沌法、BFGS 法、单纯形法等。
传统数值方法的优点是计算精度高，缺点是对初始迭代值具有敏感性，同时传统数值方法还会遇到计算函数的导数和矩阵求逆的问题，对于某些导数不存在或是导数难求的方程，传统数值方法具有一定局限性。
另一种方法是进化算法，如遗传算法、粒子群算法、人工鱼群算法、差分进化算法等。
进化算法的优点是对函数本身没有要求，不需求导，计算速度快，但是精度不高。
关键字：非线性方程组、牛顿法、BFGS 法、记忆梯度法、Memetic 算法1： 三种牛顿法：Newton 法、简化Newton 法、修改的Newton 法【1-3】 求解非线性方程组的Newton 法是一个最基本而且十分重要的方法, 目前使用的很多有效的迭代法都是以Newton 法为基础, 或由它派生而来。
n 个变量n 个方程的非线性方程组, 其一般形式如下:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),...,(...0),...,(0),...,(21212211n n n n x x x f x x x f x x x f （1）式(1)中,),...,(21n i x x x f ( i=1, ⋯, n) 是定义在n 维Euclid 空间Rn 中开域 D 上 的实值函数。
若用向量记号，令：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x ...X 21,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡====)(...)()(0),...,(...0),..,(0)...,()(2121212,211X f X f X f x x x f x x x f x x x f X F nn n n n则方程组（1）也可表示为：0)(=X F（2） 其中：X ∈R n ,F ∶R n →R 0, F(X) ∈R n , R n 为赋值空间。
