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Banach空间中一致Lipschitzian映象不动点的迭代逼近孙庭;曾六川【摘要】设K是实p-一致凸Banach空间E中的非空闲凸子集,T是K到自身的一致Lipschit-zian映象,且F(T):={x∈K:Tx=x}≠φ.对任给的x0∈K,带误差的Ishikawa迭代程序生成序列{xn},在T是一致伪压缩映象的条件下,证明了‖xn-Txn‖→+0(n→∞).进一步,当T是全连续算子时,证明了{xn}强收敛到T的不动点.【期刊名称】《上海师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2009(038)004【总页数】6页(P355-360)【关键词】带误差的Ishikawa迭代程序;一致Lipschitzian映象;不动点;一致伪压缩映象;强收敛性【作者】孙庭;曾六川【作者单位】上海师范大学,数理学院,上海,200234;上海师范大学,数理学院,上海,200234【正文语种】中文【中图分类】O177.911 引言与预备知识设E是一个实Banach空间，E*是E的对偶空间．正规对偶映象J:E→2E*定义如下：J(x)={f∈ E*:〈 x,f〉=‖x‖‖f‖,‖x‖=‖f‖}, x∈ E,其中，〈·,·〉表示E和E*间的广义对偶对．定义1.1 设E是一个实Banach空间，K是E的一非空子集，T:K→ K是一映象．(1)T称为一致Lipschitzian映象，若存在常数L>0使得对一切n≥0，有‖Tnx-Tny‖≤ L‖x-y‖, x,y∈ K.(2)T称为一致伪压缩映象，若对任意x,y∈ K，存在j(x-y)∈ J(x-y)使得对一切n≥0，有〈 Tnx-Tny,j(x-y)〉≤‖x-y‖2.(3)T称为渐近非扩张映象，若对每个n≥0，存在kn>0，满足且‖Tnx-Tny‖≤ kn‖x-y‖2, x,y∈ K.(4)T称为非扩张映象，若‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖, x,y∈ K.注1.1 易见，非扩张映象类是渐近非扩张映象类，而渐近非扩张映象类是一致Lipschitzian映象类．同时，非扩张映象类是一致伪压缩映象类．回顾到，映象T:K→ K称为伪压缩映象，若存在j(x-y)∈ J(x-y)使得〈 Tx-Ty,j(x-y)〉≤‖x-y‖2, x,y∈ K.映象T:K→ K称为Lipschitzian映象，若存在常数L>0使得‖Tx-Ty‖≤ L‖x-y‖, x,y∈ K.当L=1时，T是非扩张映象．T称为增生映像，若I-T是伪压缩映像，其中I是E的恒等算子. 已熟知[1]，当T 是增生映像时，方程 Tx=0的解对应着某些发展系统的平衡点. 因此，特别在过去的20年左右，相当多的研究努力已倾注在逼近T的不动点的迭代法上，其中T是伪压缩映像[2～6].1974年，Ishikawa[7]首次引入了Ishikawa迭代程序，并在Hilbert空间中建立了下列收敛性结果．定理1.1 设K是Hilbert空间H的一非空紧凸子集，T:K→ K是Lipschitzian伪压缩映象. 对x0∈ K，由下列迭代程序定义序列{xn}：其中，实数列{αn},{βn}满足条件：则{xn}强收敛到T的不动点.最近，Yao与Chen[10]，在p-一致凸Banach空间E中用带误差的Ishikawa迭代程序来逼近Lipschitzian伪压缩映象的不动点，成功地建立了强收敛定理．从而，把上述定理1.1推广到了p-一致凸Banach空间的情况．本研究受Yao与Chen[10]的启发，研究p-一致凸Banach空间E中一致Lipschitzian映象T的不动点的带误差的 Ishikawa迭代序列{xn}的收敛性．在T是一致伪压缩映象的条件下，证明了‖xn-Txn‖→0 (n→∞). 进一步，当T是全连续算子时，证明了{xn}强收敛到T的不动点.下面，回顾一些预备知识．设E是一实Banach空间．E的凸性模δE:(0,2]→[0,1]定义如下：δE()}.Banach空间E称为一致凸的，若δE()>0,∈(0,2].设1<p<∞.广义对偶映象Jp:E→2E*定义为Jp(x):={f∈ E:〈 x,f〉=‖x‖p,‖f‖=‖x‖p-1}.特别地，J=J2是 E上的正规对偶映象．易见，Jp(x)=‖x‖p-2j(x), x≠0.Banach空间E称为p-一致凸的，若存在常数c>0 使得δE()≥ cp,∈(0,2].已证[8]，当1<p≤2时，Lp是2- 一致凸的；当2≤ p<∞时，Lp是p-一致凸的．为证明本文的主要结果，后面将用到下列命题与引理．命题1.1 [5] 设1<p<∞, E是一实Banach空间．则下列叙述(i)，(ii)等价：(i)E是p-一致凸的；(ii)存在常数cp>0使得对每个x,y∈ E，成立不等式‖x+y‖p≥‖x‖p+p〈 y,jp(x)〉+cp‖y‖p, jp(x)∈ Jp(x).(1.1)注1.2 在不等式(1.1)中，分别用(x+y)取代x，(-y)取代y，并利用Cauchy-Schwarz不等式，可得‖x+y‖p≤‖x‖p+p‖y‖·‖x+y‖p-1.命题1.2[8] 设1<p<∞, E是p-一致凸Banach空间．则存在常数d>0使得‖λx+(1-λ)y‖p≤λ‖x‖p+(1-λ)‖y‖p-Wp(λ)d‖x-y‖p, λ∈[0,1], x,y∈E,(1.2)其中，Wp(λ)=λp(1-λ)+λ(1-λ)p.引理1.1[9] 设{ρn},{σn}是二非负实数列，且对某个自然数N0，有ρn+1≤ρn+σn, n≥ N0.则下列叙述成立：(a) 若则存在；(b) 若且{ρn}有收敛到零的子列，则2 主要结果下面，分别用cp和d表出现在不等式(1.1)和(1.2)中的常数．在本文的余下部分里，假设E是实的p-一致凸 Banach空间，满足：且p≤1+cp.对空间Lp (1<p≤2)，下列不等式成立 [8]：‖x+y‖2≥‖x‖2+2〈 y,J(x)〉+cp‖y‖2, x,y∈ L p,‖λx+(1-λ)y‖2≤λ‖x‖2+(1-λ)‖y‖2-W2(λ)(p-1)‖x-y‖2, x,y∈ Lp,λ∈[0,1],其中，且对0<tp<1, tp是方程g(t)=(p-2)tp-1+(p-1) tp-2-1=0的唯一解．观察到，函数h:[0,1]→[0,∞): 在区间[0,1]上是增函数(因为于是，对空间Lp (1<p≤2)，有cp≥1且d=p-1.因此，条件且p≤1+cp被满足．引理2.1 设E是实的p-一致凸Banach空间，K是E的一非空有界凸子集，T:K→ K是一致伪压缩映象，则对每个n≥0，有cp‖Tnx-Tny‖p≤(p-1)‖x-y‖p+‖(I-Tn)x-(I-Tn)y‖p, x,y∈ K.证明在不等式(1.2)中，分别用取代取代y，可得‖x-y-(Tnx-Tny)‖p≥‖x-y‖p-p2p-1〈+cp‖Tnx-Tny‖p≥‖x-y‖p-p‖x-y‖p+cp‖Tnx-Tny‖p.由于故对每个n≥0，有cp‖Tnx-Tny‖p≤(p-1)‖x-y‖p+‖x-y-(Tnx-Tny)‖p, x,y∈ K.证毕．注2.1 注意到，函数在区间(0,∞)上是严格增加函数．因而，当时，它在(0,∞)上至多有一个零点．这时，由得知，其零点tp∈(0,1).定理2.1 设E是实的p-一致凸Banach空间，使得且p≤1+cp.K是E的一非空有界凸子集，T:K→ K是一致Lipschitzian映象，具有一致Lipschitz 常数L>0，且F(T)≠Ø. 又设及是[0,1]中的实数列，满足下列条件(iii) 对某个>0及b∈(0,tp)，≤1-dcp(1-αn)2-(p-2)≤βn≤ b, n≥0，其中，且tp是下列方程在区间(0,∞)中的唯一解：(2.1)对任给的x0∈ K，由下列带误差的Ishikawa迭代程序定义序列{xn}(2.2)其中，{un},{vn}是K中的任意序列．若T是一致伪压缩映象，且则证明任取x*∈ F(T).利用不等式(1.2)及K的有界性，对某个常数M≥0，有‖xn+1-x*‖p=‖(1-αn)(xn-x*)+αn(Tnyn-x*)-cn(Tnyn-un)‖p ≤(1-αn)‖xn-x*‖p+αn‖Tnyn-x*‖p-Wp(αn)d‖xn-Tnyn‖p+Mcn.(2.3)据引理2.1推得cp‖Tnxn-x*‖p≤(p-1)‖xn-x*‖p+‖xn-Tnxn‖p.(2.4)cp‖Tnyn-x*‖p≤(p-1)‖yn-x*‖p+‖yn-Tnyn‖p.(2.5)而且，对某些常数M1≥0,M2≥0，有(2.6)(2.7)把(2.4)代入(2.6)，即得(2.8)令则有(2.9)把(2.9)与(2.7)代入(2.5)，即有cp‖Tnyn-x*‖p≤ (p-1)(1+tn)‖xn-x*‖p+(p-1)rn‖xn-Tnxn‖p+(1-βn)‖xn-Tnyn‖p+βn‖Tn xn-Tnyn‖p-把该不等式代入(2.3)，则对某常数M3>0有(2.10)注意到,由于Wp(αn)≥αn(1-αn) 2-(p-2),故据条件(iii)即得，于是，有由于T是一致Lipschitzian映象，故对某常数M4>0有于是，据条件p≤1+cp即知，对某常数M5>0有(2.11)再由条件b∈(0,tp)推得今选取某个使得′=1-(1-)2-(p-2)cpd>0.则由条件(iii)推得αn≥′>0. 又由(2.11)得到估计式‖xn+1-x*‖p≤‖xn-x*‖p-(2.12)由于据引理1.1即知，存在．据此及(2.12)推得0<因此，假设观察到，‖xn-Txn‖≤‖xn-Tnxn‖+‖Tnxn-Txn‖≤‖xn-Tnxn‖+L‖Tn-1xn-xn‖≤‖xn-Tnxn‖+L(‖Tn-1xn-Tn-1xn-1‖+‖Tn-1xn-1-xn‖)≤‖xn-Tnxn‖+L(L‖xn-xn-1‖+‖Tn-1xn-1-xn‖)≤‖xn-Tnxn‖+L(L‖xn-xn-1‖+‖Tn-1xn-1-xn-1‖+‖xn-1-xn‖)=‖xn-Tnxn‖+L‖Tn-1xn-1-xn-1‖+L(L+1)‖xn-1-xn‖.从而，即得证毕．定理2.2 设E是实的p-一致凸Banach空间，使得且p≤1+cp.K是E的一非空闭凸有界子集，T:K→ K是一致Lipschitzian映象，具有一致Lipschitz常数L>0，且F(T)≠Ø.又设及是[0,1]中的实数列，满足下列条件(iii) 对某个>0及b∈(0,tp)，≤1-dcp(1-αn)2-(p-2)≤βn≤ b, n≥0，其中且tp是下列方程在区间(0,∞)中的唯一解：(2.13)对任给的x0∈ K，由下列带误差的Ishikawa迭代程序定义序列{xn}其中，{un},{vn}是K中的任意序列．若T是全连续的一致伪压缩映象，且则{xn}强收敛到T的不动点．证明由定理由于T是全连续的，故序列{Txn}有强收敛的子列{Txni}，使得Txni→ y*∈ C.由此即得，xni→ y*.由于‖Ty*-y*‖≤‖Txni-Ty*‖+‖Txni-xni‖+‖xni-y*‖≤L‖xni-y*‖+‖Txni-xni‖+‖xni-y*‖=(1+L)‖xni-y*‖+‖Txni-xni‖,所以Ty*=y*.由(2.12)及x*的任意性，即得‖xn+1-y*‖p≤‖xn-y*‖p-再由引理1.1及条件即知，证毕．参考文献:[1] DEIMLING K Z. Zeros of accretive operators[J], ManuscriptaMath,1974,13:365-374.[2] CHIDUME C E, MOORE C. The solution by iteration of nonlinear equations in uniformly smooth Banach space[J]. J Math AnalAppl,1997,215(1):132-146.[3] MANN W R. Mean value methods in iteration[J]. Proc Amer Math Soc,1953,4:506-510.[4] OSILIKE M O. Iterative solution of nonlinear equations of the φ-strongly accretive type[J]. J Math Anal Appl,1996,200(2):259-271.[5] LIU Q H. The convergence theorems of the sequence of Ishikawa iterates for hemicontractive mappings[J]. J Math Anal Appl,1990,148(1):55-62.[6] REICH S. Iterative Methods for Accretive Sets in Nonlinear Equations in Abstract Space[M]. New York: Academic Press,1978,317-326.[7] ISHIKAWA S. Fixed point by a new iteration method[J]. Proc Amer Math Soc,1974,44:147-150.[8] XU H K. Inequalities in Banach spaces with applications [J]. Nonlinear Anal,1991, 16(12):1127-1138.[9] Tan K K, XU H K. Approximating fixed points of nonexpansive mappings by the Ishikawa iteration process[J]. J Math Anal Appl,1993,178(2):301-308.[10]YAO Y H, CHEN R D. Approximating fixed point of pseudocontractive mapping in Banach spaces[J]. J Math Res Exposition,2008,28(1):169-176.。
Banach空间中强伪压缩算子的Ishikawa迭代过程
杨永琴
【期刊名称】《西南师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1998(023)006
【摘要】在一般的Ｂａｎａｃｈ空间中，研究了非线性强伪缩算子的Ｉｓｈｉｋａｗａ迭代序列收敛问题，推广和改进了近期的一系列相应结果。
【总页数】5页(P642-646)
【作者】杨永琴
【作者单位】重庆交通学院计算机系
【正文语种】中文
【中图分类】O177.2
【相关文献】
1.Banach空间中强伪压缩算子带误差的 Ishikawa迭代过程 [J], 杨永琴
2.关于强伪压缩算子与强增生算子的Ishikawa型迭代序列收敛性的特征 [J], 曾六川
3.q一致光滑Banach空间中非线性Ф-强伪压缩映射和强增生映射的Ishikawa迭代过程 [J], 范瑞琴;薛志群
4.强伪压缩算子带误差的Ishikawa迭代的强稳定性 [J], 金茂明;邓磊
5.任意Banach空间强伪压缩算子的Ishikawa迭代程序的稳定性 [J], 薛志群因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
Banach空间上的不动点理论及其应用Banach空间是数学中的一个重要概念，它在函数分析领域具有广泛的应用。
不动点理论是研究映射在自身上是否存在不动点的数学理论。
本文将介绍Banach空间上的不动点理论，探讨其应用领域和意义。
一、Banach空间的定义和性质Banach空间是一个完备的向量空间，具有一个范数，使得该空间中的任意Cauchy序列收敛于该空间中的某一元素。
Banach空间的一个重要性质是完备性，即任意柯西序列在该空间内收敛。
Banach空间的完备性对于不动点理论的推导和证明至关重要。
二、不动点理论的基本概念在Banach空间上，给定一个映射F，若存在一个元素x使得F(x) = x，则称x为F的不动点。
不动点理论研究的是映射在自身上是否存在不动点，并通过各种方法寻找和证明不动点的存在性和唯一性。
三、不动点理论的证明方法1. 压缩映射原理：若存在一个常数k (0<k<1)，使得对于任意x和y，有d(F(x),F(y)) ≤ kd(x,y)，其中d为Banach空间中的距离函数。
则F为压缩映射，且存在唯一的不动点。
2. 构造性证明：通过构造合适的映射函数，找到不动点的存在性和唯一性。
3. Brouwer不动点定理：对于n维球面上的连续映射，存在至少一个不动点。
4. Kakutani不动点定理：对于凸紧合集上的凸映射，存在至少一个不动点。
等等。
四、应用领域不动点理论在许多领域具有广泛的应用，包括：1. 微分方程：通过不动点理论，可以证明微分方程存在解，且解的存在是稳定的。
2. 经济学：不动点理论在经济学中的应用较为常见，特别是涉及到均衡分析和最优化问题。
3. 优化问题：通过将优化问题转化为不动点问题，可以使用不动点理论来解决各种优化问题。
4. 图像处理：不动点理论在图像处理中的应用，如图像恢复、压缩感知等方面具有重要意义。
5. 动力学系统：不动点理论在动力学系统中的应用广泛，通过不动点理论可以研究动力学系统的稳定性和渐进行为。
Banach空间中渐近正则的Lipschitz半群的不动点定理曾六川
【期刊名称】《《数学年刊：A辑》》
【年(卷),期】1995(001)006
【摘要】本文首先定义了渐近正则的Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ半群的概念．其次，证明了ｐ一致凸Ｂａｎａｃｈ空间中渐近正则的Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ半群的不动点定理．同时也证明了具有正规结构系数的一致凸Ｅａｎａｃｈ空间中的渐近正则的Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ半群的一个新的不动点定理．
【总页数】8页(P744-751)
【作者】曾六川
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】O189.2
【相关文献】
1.一般Banach空间中渐近非扩张型半群的不动点定理 [J], 朱兰萍;李刚
2.Banach空间中非Lipschitz拓扑半群的不动点定理 [J], 李刚
3.一般Banach空间中非Lipschitzian可逆半群的不动点定理 [J], 朱兰萍; 李刚
4.Banach空间中渐近正则半群的不动点定理 [J], 曾六川
5.一致凸Banach空间中Lipschitz拓扑半群的不动点定理 [J], 曾六川;杨亚立因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
Banach空间中一类新的κ-次增生型变分包含问题解的迭代逼近谷峰【摘要】本文研究了Banach空间中的一类新的κ-次增生型变分包含问题.使用一些分析技巧,获得了这类变分包含解的存在性、唯一性以及具有混合误差项的Ishikawa迭代程序的收敛性,改进了张石生和曾六川等人的一系列相关结果.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2010(030)002【总页数】10页(P273-282)【关键词】变分包含;κ-次增生映象;m-增生映象;具混合误差项的Ishikawa迭代程序【作者】谷峰【作者单位】杭州师范大学应用数学研究所,浙江,杭州,310036【正文语种】中文【中图分类】O177.91设X 是实Banach空间,X∗是其对偶空间,h·,·〉表X 与X∗间的配对，D(T)与R(T)分别表映象T的定义域与值域.映象J:X→2X∗称为正规对偶映象，如果设T,A:X→X,g:X→X∗是三个映象，ϕ:X∗→R∪{+∞}为真凸的下半连续泛函.1999年，张石生教授[1]引入与研究了下列Banach空间中的变分包含问题VIP(T,A,g,ϕ):对给定的f∈X，求u∈X，使得其中∂ϕ表ϕ的次微分.在文献[1，定理2.1]中，作者在X 是实的一致光滑Banach 空间的框架下，建立并证明了变分包含问题(1.1)解的存在唯一性及其Ishikawa迭代序列的收敛性.进一步，张石生教授和作者等人[2]仍在实一致光滑Banach空间的框架下，把文献[1，定理2.1]从强增生映象推广到φ-强增生映象的情况.注意到，当X=H 是Hilbert空间H 时，则问题(1.1)等价于如下问题：对给定的f∈H,求u∈H,使得称(1.2)为Hilbert空间中的变分包含问题，它曾在Ding[3,4],Chang[5],Kazmi[6],Zeng[7]中研究过.易见，通过适当地选择算子T,A,g,f，泛函ϕ以及空间X，若干熟知的变分不等式类问题，如在Noor[8,9],Siddiqi-Ansari[10]及Zeng[11]中研究过的变分不等式类，都可得到. 2000年，张石生教授[5]把问题(1.1)推广到Banach空间中的集值变分包含问题的情况.最近，曾六川教授[12]把问题(1.1)进行了推广，引入和研究了下列Banach 空间中的变分包含问题:设T,A:X→X,N(·,·):X×X→X,g:X→X∗是四个映象，ϕ:X∗→R∪{+∞}为真凸的下半连续泛函.对给定的f∈X，求u∈X，使得其中∂ϕ表ϕ的次微分.易见，当N(x,y)=x−y,∀x,y∈X 时，问题(1.3)化为问题(1.1).曾六川教授[12]在实自反的光滑的Banach空间的框架下，给出了φ-强增生型的变分包含问题(1.3)解的存在唯一性及其具有误差项的Ishikawa迭代程序的收敛定理，他的结果改进和推广了[1–11]中的相应结果.本文受张石生教授[1,2,5]和曾六川教授[12]的启发，引入和研究了下列Banach空间中的新的变分包含问题:设T,A:X→X,N(·,·):X×X→X,g:X→X∗,η:X∗×X∗→X∗是五个映象，而ϕ:X∗→R∪{+∞}是一真凸泛函.对给定的f∈X，求u∈X，使得其中∂ηϕ表ϕ的η-次微分[13].易见，当η(x,y)=x−y,∀x,y∈X∗时，问题(1.4)化为问题(1.3)，从而问题(1.4)比张石生教授[1,2]和曾六川教授[12]所研究过的变分包含更具有一般性.本文的目的，是在实自反Banach空间的框架下，研究k-次增生型变分包含问题(1.4)解的存在性、唯一性及其具有混合误差项的Ishikawa迭代程序的收敛性.注意到，已有例子表明:存在一些并非是增生算子的k-次增生算子(可见文献[14])，因而增生算子类(进而m-增生算子类、强增生算子类等)是k-次增生算子类的真子类.这样，本文结果在多个方面本质地改进和推广了文献[1−12,15,16]中的一系列相应结果.下面,回顾一些预备知识.用j表单值的正规对偶映象命题1.1[5]设X是一实Banach空间，则X是光滑的⇔J是单值的.定义1.1[13]设X是一实Banach空间，ϕ:X∗→R∪{+∞}为一真凸泛函，η:X×X→X 是一个映象，若对x0∈X，存在f∈X∗，使得ϕ(y)−ϕ(x0)≥hf,η(y,x0)〉,∀y∈X,则称ϕ在x0处是η-次可微的，并称f为ϕ在x0处的η-次梯度.在x0处的一切η-次梯度的集合用∂ηϕ(x0)表示.定义1.2[14]映象T:D(T)⊂X→X称为是k-次增生的，如果对任给的x,y∈D(T)，都存在j(x−y)∈J(x−y)和常数k∈(−∞,+∞)，使得在(1.5)式中若k=0，则称算子T是增生的；若k＞0，则称算子T是强增生的；算子T称为是m-增生的，若T是增生的且∀λ＞0，有R(I+λT)=X(其中I是X 上的恒等算子).定义1.3[5] 设T,A:X→X,N(·,·):X×X→X 是三个映象.(1)映象x 7→N(x,y)称为关于映象T是k-次增生的,如果对任给的x1,x2∈X，存在j(x1−x2)∈J(x1−x2)和常数k∈(−∞,+∞),使得(2)映象y 7→N(x,y)称为关于映象A是增生的，如果对任给的y1,y2∈X，存在j(y1−y2)∈J(y1−y2),使得(3)映象x 7→N(x,y)称为关于T是µ-Lipschitz连续的，如果存在常数ξ＞0使得，对任给的x1,x2∈X，有kN(Tx1,y)−N(Tx2,y)k≤µkx1−x2k,∀y∈X.(4)映象y 7→N(x,y)称为关于A是ξ-Lipschitz连续的，如果存在常数ξ＞0使得，对任给的y1,y2∈X，有kN(x,Ay1)−N(x,Ay2)k≤ξky1−y2k,∀x∈X.命题1.2 设X 是实光滑Banach空间，T,A:X→X,N(·,·):X×X→X 是三个映象.定义映象F:X→X 为Fx=N(Tx,Ax),∀x∈X.如果映象x 7→N(x,y)关于映象T是k-次增生的，映象y 7→N(x,y)关于映象A是增生的,则映象F是k-次增生的.证因为X是光滑的，由命题1.1知正规对偶映象J:X→2X∗是单值的，于是对任意的x,y∈X有命题1.2得证.命题1.3设X是实光滑Banach空间,T1:X→X是具有常数k的k-次增生映象，T2:X→X是增生映象，则映象T1+T2:X→X也是具有常数k的k-次增生映象.证因为X是光滑的，由命题1.1知正规对偶映象J:X→2X∗是单值的，于是对任意的x,y∈X有命题1.3得证.下面的几个引理在本文主要结果的证明中起着重要的作用.引理1.1[17]设{an},{bn},{cn}是三个非负实数列，且满足下面的不等式引理1.2 设X是实自反Banach空间，则下面的结论等价：(i)x∗∈X 是变分包含问题(1.4)的解；(ii)x∗∈X是映象S:X→2X的不动点，其中S(x)=f−(N(Tx,Ax)+∂ηϕ(g(x)))+x; (iii)x∗∈X 是方程f∈N(Tx,Ax)+∂ηϕ(g(x))的解.证 (i)⇒ (iii)设x∗是变分包含问题(1.4)的解，则g(x∗)∈D(∂ηϕ)且于是,由ϕ的η -次微分∂ηϕ的定义，据上式得知f−N(Tx∗,Ax∗)∈∂ηϕ(g(x∗))，即 x∗是方程f∈N(Tx,Ax)+∂ηϕ(g(x))的解.(iii)⇒(ii) 设(iii)真，则有 x∗∈f−(N(Tx∗,Ax∗)+∂ηϕ(g(x∗)))+x∗=Sx∗.即 (ii)真. (ii)⇒(i) 设 (ii)真,则有f−N(Tx∗,Ax∗)∈∂ηϕ(g(x∗)),故由∂ηϕ的定义得知即 hN(Tx∗,Ax∗)−f,η(v,g(x∗))〉≥ϕ(g(x∗))− ϕ(v),∀v∈X∗.故 x∗ ∈X 是变分包含问题(1.4)的解.证毕.引理1.3[18]设X是Banach空间，T:X→X是连续的增生算子，则T必是m-增生的.引理1.4 设X是实Banach空间，T:X→X是连续的k-次增生算子，如果k＞−1，则对任给的f∈X，方程x+Tx=f在X中有唯一解.证设Ax=Tx−kx,∀x∈X，由T 的k-次增生性可知，∀x,y∈X,∃j(x−y)∈J(x−y)，使得故A是增生的，又由T的连续性易知A也连续，于是由引理1.3知A是m-增生的.从而∀λ＞ 0，有R(I+λA)=X 成立，因而∀f∈X，λ= ＞ 0，∃x∗∈X，满足x∗+λAx∗=f，整理得x∗+Tx∗=f，即方程x+Tx=f有解x∗∈X.下证解的唯一性.事实上，若还有y∗∈X，x∗6=y∗，使得y∗+Ty∗=f,则−kx∗−y∗k2=hx∗−y∗,j(y∗−x∗)〉≥kky∗−x∗k2,由此推得k≤−1,这与已知 k＞−1 相矛盾，故∀f∈X,方程x+Tx=f在X 中有唯一解.f，即x∗+(T−kI)x∗=定理2.1 设X 是实自反的光滑的Banach空间，设T,A:X→X,N(·,·):X×X→X,g:X→X∗,η:X∗×X∗→X∗是五个连续映象，而ϕ:X∗→R∪{+∞}是一具有连续单值η-次微分∂ηϕ的真凸泛函，设{αn},{βn}是[0,1]中的实数列，{un},{vn},{}和{}都是X 中的序列，且满足以下条件：(i)映象x 7→N(x,y)关于映象T是k-次增生的，且常数k∈(−1,1).映象y 7→N(x,y)关于映象A是增生的;(ii)映象x 7→N(x,y)关于T 是µ-Lipschitz连续的，映象y 7→N(x,y)关于A 是ξ-Lipschitz连续的;(iii)∂ηϕ◦g:X→X 是一致连续的且∂ηϕ◦g−I:X→X 是增生的;对任给的f∈X，定义映象S:X→X如下：对任给的x0∈X，具有混合误差项的Ishikawa迭代序列{xn}定义如下：则变分包含问题(1.4)存在唯一解x∗∈X,且{xn}强收敛于该变分包含问题(1.4)的唯一解的充分必要条件是，序列{xn},{∂ηϕ(g(xn))}都有界.证先证变分包含(1.4)式有唯一解.事实上，由条件(i)和命题1.2可知映象N(T(·),A(·)):X→X 是连续的k-次增生映象.再由条件(iii)和命题1.3可知，映象N(T(·),A(·))+ ∂ηϕ◦g(·)−I:X→X 是连续的和 k-次增生的，而且k∈ (−1,1)，由引理1.4知，对f∈X，方程x+(N(T(x),A(x))+∂ηϕ(g(x))−x)=f在X 中有唯一解x∗,即方程N(T(x),A(x))+∂ηϕ(g(x))=f在X 中有唯一解x∗.由于X 是自反的，故由引理1.2知，x∗是变分包含问题(1.4)的唯一解，因而也是映象S在X 中的唯一不动点，即Sx∗=x∗.再证具有混合误差项的Ishikawa迭代序列{xn}强收敛于变分包含问题(1.4)的唯一解的充分必要条件是，序列{xn},{∂ηϕ(g(xn))}都有界.易见，结论的必要性成立. 下面我们证明结论的充分性也成立.事实上，由假设{xn},{∂ηϕ(g(xn))}都有界，我们断言{∂ηϕ(g(yn))}也有界.事实上，由条件(ii)和(2.1)式得所以，由条件(iv),(v)推得由于∂ηϕ◦g:X→X 是一致连续的，故k∂ηϕ(g(yn))−∂ηϕ(g(xn))k→0(n→ ∞).注意到即知，序列{∂ηϕ(g(yn))有界. 因为序列{un},{xn},{∂ηϕ(g(xn))},{∂ηϕ(g(yn))} 均有界，所以，存在常数M＞0使得对一切n≥0.观察到这意味着h(S+kI)x−(S+kI)y,j(x−y)〉≥0,于是由Kato[19]的引理1.1可知,对任意的x,y∈X和t＞0,有由(2.1)式得注意到从 (2.2)–(2.4) 式可得令t=max{0,−k}∈ (0,1)，则有1+kαn≥1−tαn≥1−t(因为k≥−t).于是由(2.6)式和条件(v)有其中dn=kSxn+1−Synk.下证dn→0(n→∞).事实上，由S的定义可知，有由(2.1)式,S的定义和条件(ii),有把(2.11)式代入(2.10)式,再把(2.10)式代入(2.9)式，整理得由(2.2)式,条件(iv)和(v)及(2.12)式可得kxn+1−ynk→ 0(n→∞),从而由∂ηϕ◦g:X→X 的一致连续性，有k∂ηϕ(g(xn+1))−∂ηϕ(g(yn))k→ 0(n→∞).于是从(2.8)式可知，有注2.1 定理2.1在下面七个方面改进与推广了张石生教授在文献[1]中的主要结果.(1)用X的自反性和光滑性取代了X的一致光滑性;(2)用序列{xn},{∂ηϕ(g(xn))}的有界性取代了值域R(S)的有界性;(3)把强增生映象（即k∈(0,1)）推广至更一般的k-次增生映象（即k∈(−1,1)）;(4)把连续的G¨ateaux微分减弱至仅需η-次可微的情形;(5)用更一般的映象N(T(·),A(·)):X→X 取代了映象T−A:X→X;(6)用更一般的函数η(v,g(u)),v∈X∗,u∈X 取代了函数v−g(u),v∈X∗,u∈X;(7)把迭代格式推广至更一般的具混合误差项的Ishikawa迭代格式.注2.2 定理2.1从以下几个方面改进和推广了曾六川教授在文献[12]中的主要结果.(1)把φ-强增生映象推广至k-次增生映象;(2)用更一般的函数η(v,g(u)),v∈X∗,u∈X 取代了函数v−g(u),v∈X∗,u∈X;(3)把连续的G¨ateaux微分减弱至仅需η-次可微的情形;(4)把具误差的Ishikawa迭代过程推广到更一般具有混合误差项的Ishikawa迭代过程.注2.3 定理2.1也在多个方面本质地改进和推广了文献[2–11,15,16]中的一系列相关结果.如果在定理2.1和中取k∈(0,1),则t=max{0,−k}=0,于是得到强增生型映象的相应结果如下:定理2.2 设X 是实自反的光滑的Banach空间，设T,A:X→X,N(·,·):X×X→X,g:X→X∗,η:X∗×X∗→X∗是五个连续映象，而ϕ:X∗→R∪{+∞}是一具有连续η-次微分∂ηϕ的真凸泛函，设{αn},{βn}是[0,1]中的实数列，{un},{vn},{}和{}都是X中的序列，且满足以下条件(i)映象x 7→N(x,y)关于映象T是具有常数k∈(0,1)的强增生映象.映象y 7→N(x,y)关于映象A是增生的;(ii)映象x 7→N(x,y)关于T 是µ-Lipschitz连续的，映象y 7→N(x,y)关于A 是ξ-Lipschitz连续的;(ii i)∂ηϕ◦g:X→X 是一致连续的且∂ηϕ◦g−I:X→X 是增生的;(iv)α →0,β →0(n→∞)且P∞α=∞;nnn对任给的f∈X，定义映象S:X→X如下：对任给的x0∈X，具有混合误差项的Ishikawa迭代序列{xn}定义如下：则变分包含问题(1.4)存在唯一解x∗∈X,且{xn}强收敛于该变分包含问题(1.4)的唯一解的充分必要条件是，序列{xn},{∂ηϕ(g(xn))}都有界.注2.4 定理2.2也在多个方面本质地改进和推广了文献[1–11,15,16]中的一系列相关结果.注2.5 在定理2.1中取k=0，则t=max{0,−k}=0,于是可得到增生型映象的相应结果.注2.6 在定理2.1和定理2.2中，如果取∀n≥0,βn=0且vn=0则yn=xn,∀n≥0,xn+1=(1−αn)xn+αnSxn+un,n≥0.于是,我们可以得到具有混合误差项的Mann迭代程序的相应结果；注2.7在定理2.1和定理2.2中取ϕ≡0,则也有关于变分不等式的相应新结果.【相关文献】[1]Chang S S.On the Mann and Ishikawa iterative approximation of solutions to variational inclusion with accretive type mappings[J].Compue.Math.Appl.,1999,37(9):17–24.[2]张石生，谷峰等.Banach空间中φ-强增生型变分包含问题解的Ishikawa迭代逼近[J].应用数学，2000,13(2):1–8.[3]Ding Xieping.Perturbed proximal point algorithms for generalized quasivariational inclusions[J].J Math.Anal.Appl.,1997,210(1):88–101.[4]Ding Xieping.Generalized strongly nonlinear quasivariationalinequalities[J].J.Math.Anal.Appl.,1993,173(2):557–587.[5]Chang S S.Set-valued variational inclusions in Banachspaces[J].J.Math.Anal.Appl.,2000,248(9):17–24.[6]Kazmi K R.Mann and Ishikawa type pertured iterative algorithms for generalized quasivariational inclusions[J].J.Math.Anal.Appl.,1997,209(2):572–584.[7]Zeng Liuchuan.Iterative algorithms for fi nding approximate solutions for general strongly nonlinear variational inequalities[J].J.Math.Anal.Appl.,1994,187(2):352–360.[8]Noor M A.General variational inequalities[J].Appl.Math.Lett.,1998,1(2):119–122.[9]Noor M A.An iterative algorithm for variationalinequalities[J].J.Math.Anal.Appl.,1991,158(3):446–455.[10]Siddiqi A H,Ansari Q H.General strongly nonlinear variationalinequalities[J].J.Math.Anal.Appl.,1992,166(2):386-392.[11]Zeng Liuchuan.Iterative algorithm for fi 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[18]Martin R H.A global existence theorem for autonomous di ff erential equations in Banach spaces[J].Proc.Amer.Math.Soc.,1970,2(6):307–314.[19]Kato T.Nonlinear semigroups and evolutionequations[J].J.Math.Soc.Japan.,1967,19:508–520.。
数学年刊A辑2021,42(1):75-88DOI:10.16205/ki.cama.2021.0007条件平均场随机微分方程的最优控制问题吴霜1提要作者研究了一个条件平均场随机微分方程的最优控制问题.这种方程和某些部分信息下的随机最优控制问题有关，并且可以看做是平均场随机微分方程的推广.作者以庞特里雅金最大值原理的形式给出最优控制满足的必要和充分条件.此外，文中给出一个线性二次最优控制问题来说明理论结果的应用.关键词条件平均场随机微分方程，随机最大值原理，倒向随机微分方程，线性二次最优控制，黎卡堤方程MR(2000)主题分类93E20,60H10中图法分类0225,0231.3文献标志码A文章编号1000-8314(2021)01-0075-141引言本节先给出在以后章节中出现的符号.令(C,兀｛兀｝0€圧丁，町是一个完备的概率空间，这里的T>0是一个常数,兀=<7(叭s);0W s5尸=斤，而｛VT(t)｝舜o表示一个标准的d维布朗运动.令QtQTt是一个给定的子-代数，它表示控制者在时刻t所能获得的信息.通篇我们以K"表示n维欧式空间，以R nxd表示nxd矩阵空间，以上标r表示向量或矩阵的转置.对给定的欧式空间，我们以〈•,•〉(〔•|)表示内积(范数)，以U 表示一个非空凸子集.此外若一个卯-值,兀-适应的(或弘适应的)随机过程如)满足妙(t)Fdt<+oo,我们记为讽・)e仍(0,T;肿)(或仍(0,T;腐));若一个肿-值,兀-适应的连续随机过程炉(・)满足E[sup⑷⑴鬥<+oo,我们记为炉(・)e S|(0,T;R").研究的初衷始于如下部分信息下的随机控制问题，其中的状态方程是一个受控的随机微分方程(SDE)'dX(t)=雎,X(t),叫X(t)|$],"(t),叫u(t)覘)dt<+a{t,X(t),叫X(t)|$],呃),叫u(t)覘)dW(t),X(0)=x,指标泛函为』(“(•))=町/T lit,X(t),IE[X(t)|$],u(t),IE["(t)|$])dt+/z(X(T))],而w(-)e U ad是容许控制•这里的容许控制集为U ad={"(•)e L^(O,T;R fe)|u(t)G uyt e[0,T]}.(1-1) (1-2) (1.3)本文2019年5月11日收到，2020年11月15日收到修改稿.1■中国石油大学(华东)应用数学系，山东青岛266580.E-mail:namozhuntipusa©76数学年刊A辑42卷然后我们考虑如下的控制问题.CMF问题对于(1.1)和(1.2),寻找iT(J e%山使得丿("*(•))=inf丿("(•))・(1.4)U(-)eWad方程(1.1)是更为一般的平均场型随机微分方程.因其含有条件期望,我们称之为条件平均场随机微分方程(CMF-SDE).显然,CMF-SDE可以看做是对近年来广受学者关注的平均场随机微分方程(MF-SDEs)的推广.MF-SDEs通常用于描述大量个体的群体行为，比如交互作用的粒子系统，其研究工作可以追溯到文[1]并由此引出了所谓的McKean-Vlasov 随机微分方程•从那时起，陆续有很多关于MF-SDEs的研究文献,领域涉及方程理论、最优控制、微分对策以及金融工程等•参见文[2-8],本文组织如下•第二节会给出有关CMF-SDEs的基本结果.第三节规范CMF-SDEs 的最优控制问题并建立最优性条件(最大值原理).第四节讨论了一个条件平均场型的线性二次最优控制问题(LQ问题)来展示所获结果的应用.最后，在第五节对本文做了最后的总结.2基本结果这一节给出CMF-SDEs解的存在唯一性，尽管一个CMF-SDE含有条件期望项，但仍然可以运用不动点理论来证明这一点.现在从下面的CMF-SDE开始.<'dX(t)=b(t,X(t),E[X(t)|$])dt+c(t,X(t),E[X(t)£])dW(t),〔X(0)=z€1R",i•这里&:x[0,T]x R n x R"->R",o-:Q x[0,T]x R"x R n R nXd是给定的可测映射并满足(H2.1)b(-,x,x)和是兀-适应的；存在C>0,使得\b(t,x,x)-b(t,y,y)\+ \cr(t,x,x}-<7(i,y,y)|W C(\x—示|+\y-y\),t e\0,T],x,x,y,y e R n,B卩b和是一致Lipschitz的；(H2.2)&(-,0,0)e^(0,7;®"),ct(-,O,O)e L^(0,T;R nXd).以下定理确保了方程⑵1)解的存在唯一性.定理2.1假设(H2.1)和(H2.2)成立，则CMF-SDE(2.1)有唯一的兀-适应解X(・)e L^(0,T;R n).证为简化论述，对于认)e仍(o,T；R"),使用符号x(t)=叫叹)|羽并引入如下SDE:dX(t)=&(t,a:(t),方(t))dt+(i,a:(i), ))d TV(f),(2-2)、X(0)=x.1期吴霜CMF-SDE的最优控制问题77由于(2.2)有唯一的解X(.)e0纟(0,丁;氏")，我们可以定义一个映射I:0纟(O,T;R")T 仍(0,T;肿)，使得X(・)=弘(.)].现需要证明I是压缩映射.为此，引入Banach空间0纟(0,丁;氏")的等价范数~T丄归(•川0=何/。
Banach空间中具多值扰动微分包含解的存在性及其渐近性质Banach空间上的微分包含理论是非线性分析中非常活跃的一个分支.从七十年代开始,美国、罗马尼亚和日本等国的著名数学家(如V.Barbu、J.P.Aubin、T.Kato、N.H.Pavel等)就开始从事这方面的研究工作(见[2, 9, 13, 71]).近几十年来,这一领域的研究对近代物理和工程技术中出现的非线性问题和控制论的研究有着重要的理论意义和应用价值.由于Volterra方程(见[2])、偏微分方程(见[9, 13, 71])、控制论和最优化中研究的许多问题都可以转化为微分包含问题,因此在一定的条件下研究微分包含解(包括强解、弱解、温和解和积分解)的存在性以及渐近性态问题就显得非常重要.本文就是在Banach空间中讨论了具多值扰动微分包含解的存在性及其渐近行为,共分四章:本文第一章主要考虑以下半线性非局部微分包含解的存在性这里F是一上半连续多值映射, g :C([0,T];E)→E是一给定的连续映射,线性算子A(可能无界)是一紧半群的无穷小生成元.本章中我们主要利用多值不动点定理和紧性方法给出上述非局部微分包含解的存在性定理(见Theorem 1.2).证明的关键在于我们设法构造了一个新的特殊的集值映射,然后利用集值分析和非紧性测度理论证明了该集值映射是一个在给定圆盘上具闭凸值的上半连续的紧算子,正是由于该算子的良好性质便于我们构造了连续函数空间里一个相对紧的解序列,从而我们能够得到上述主要结论.如果在F和g上附加的是渐近条件或强有界条件,我们同样能够得到定理 1.2中的结论(见Corollary 1.6和Remark 1.7).这些结果推广了文献[5, 64]中的相应结论至非局部多值情形.由于我们不再需要多值扰动F的Lipschitz型条件,因此这些结论即使对单值情形也是新的.在这一章的最后,我们还给出了这些结果在偏微分方程中的应用.第二章我们继续致力于研究上述多值微分包含问题,其中A是强连续有界线性算子族{S(t) : t∈[0,T]}的生成元, F是一个upper?Carathe′odory多值映射和g是某给定的算子.本章中我们主要利用不动点技巧、非紧测度性质、集值分析以及微分包含理论的相关已知结果,讨论了一般Banach空间中半线性微分包含适度解的存在性(见Lemma 2.9和Theorem 2.7).行文中,引理2.9给出的不等式对于整个定理 2.7的证明起着至关重要的作用.在定理2.7中,我们既没有对Banach空间附加任何条件,也没有假设半群的紧性,因此我们的结果推广了文[22, 28, 30, 88, 89,91]中的主要定理.第三章在实Banach空间中考虑如下发展型微分包含解的存在性这里线性无界算子族{A(t)}t∈[0,d]生成一强连续发展系统U(t, s), F仍是一多值映射.在这章中,我们首先证明了当g是全连续算子时上述发展包含适度解的存在性(见Theorem 3.5).在定理3.5中,对于包含的线性部分我们只假设其生成强连续的发展系统,既不需其紧性,甚至也不需其等度连续性.主要是在其证明中,设法构造了一个新的非紧测度,正是该正则测度便于我们寻找连续函数空间中的非空紧凸子集,从而大大降低了对发展系统的要求.因此该定理又从本质上进一步改善了第二章中给出的结果.其次讨论了当g是Lipschitz连续算子时该发展包含适度解的存在性(见Theorem 3.11).在定理3.11的证明中,我们充分利用了对非紧性测度的估计和叠加算子的性质,从而在不需要空间可分性和发展系统紧性的情形下得到了上述主要定理.因此我们的结果推广了这方面的许多工作(如文献[7, 22, 28, 30, 41, 47, 88, 91]).最后,我们应用定理 3.5给出的结果讨论了半线性偏微分方程的一个例子.第四章主要处理下列非线性非局部多值问题积分解的存在性及其渐近性态:其中耗散算子,生成压缩半群S(t), F是相应于其第二变量的弱上半连续多值映射, X~*是一致凸的Banach空间.4.1节中首先回忆了Banach空间的一些几何性质,接着介绍了一些基本概念,并给出了非自治耗散系统积分解的存在唯一性和Be′nilan不等式.在4.2节中,我们讨论了半群S(t)是等度连续和g是全连续情形下,上述非线性微分包含积分解的存在性(见Theorem 4.15). 4.3节得到了g是Lipschitz单值算子和多值映射F是关于Hausdor?距离的Lipschitz 型情形下积分解的存在性(见Theorem4.17).在最后的4.4节中,首先讨论了殆非扩张曲线的渐近性质,找寻殆非扩张曲线与我们所研究的耗散系统积分解之间的内在联系,并利用这些内在联系研究积分解u(t)在t趋于无穷时的渐近行为(见Theorem 4.23和Theorem 4.26).我们的结果改进了文[22, 58, 79, 80, 86, 87, 91, 92]中的许多已知结果.。
课程论文课程现代分析基础学生姓名学号院系专业指导教师二Ｏ一五年十二月四日目录1 绪论 (1)2 Banach空间基本概念 (1)2.1拟范数定义及例子 (1)2.2 Banach空间 (2)2.3 Banach空间中线性变换及其性质 (3)3 一致有界定理及其推论 (4)3.1问题 (4)3.2基本概念 (4)3.3一致有界定理及其推论 (5)3.4一致有界性定理及其推论的应用 (6)4 Hahn-Banach定理与凸集分离定理 (7)4.1实线性空间上的Hahn-Banach定理 (7)4.2复线性空间上的Hahn-Banach定理 (8)4.3赋范线性空间上的Hahn-Banach定理 (8)4.4有关Hahn-Banach定理的一些推论 (9)4.5 Hahn-Banach定理的几何形式：凸集分离定理 (9)5 Banach空间中开映射、闭图像定理以及逆算子定理 (9)5.1开映射定理 (10)5.2逆算子定理 (11)5.3闭图像定理 (12)6 总结 (14)参考文献 (16)Banach空间及其相关定理南京理工大学自动化学院，江苏南京摘要：本文的主要是介绍了Banach空间以及其相关定理。
首先，本文讲了Banach空间产生的背景以及应用领域。
然后本文介绍了Banach空间的基本概念及其相关性质。
最后本文开始从一致有界定理开始，将Banach空间中Hahn-Banach定理、开映射、闭图像以及逆算子定理这几个重要定理逐一做出介绍并给出相应定理的证明。
关键词：Banach空间；一致有界定理；Hahn-Banach定理；开映射、闭图像、逆算子定理1 绪论巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间，泛函分析研究的基本对象之一。
数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。
从魏尔斯特拉斯，K.(T.W.)以来，人们久已十分关心闭区间[a，b]上的连续函数以及它们的一致收敛性。
非局部扩散的非自治抛物方程动力学行为常伟伟;李晓军【摘要】考虑带非局部扩散的非自治抛物方程解的长时间行为，当时间符号项于L2loc （瓗；H －1（Ω））和 L2loc （瓗；L2（Ω））中平移有界时，证明该系统所对应的过程在 L2（Ω）与 H10（Ω）中存在一致吸引子。
【期刊名称】《河南科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(037)005【总页数】6页(P77-82)【关键词】一致吸引子;非局部扩散;非自治抛物方程【作者】常伟伟;李晓军【作者单位】河海大学理学院，江苏南京 210098;河海大学理学院，江苏南京210098【正文语种】中文【中图分类】O175由于非局部问题在物理学、生物学和自动控制等诸多领域的广泛应用,其研究日益受到人们重视。
在半导体方程中，非局部形式a=a(l(u))的出现，可以用来描述依赖非局部数量的热力学扩散速率[1-2]。
在生物方程中，如一个密闭容器细菌种群数量的迁移速率=a▽u，取决于某个指定区域细菌的数量密度u[3]。
关于非局部问题有许多数学方面的研究[4-6]，非局部抛物方程解的渐近行为研究也备受关注。
文献[7]研究了解的适定性，并用能量方法详细论述了拉回吸引子的存在性。
另外，在弱外力假设下，关于非自治系统渐近动力学行为，近期也有较多的研究[7-10]。
然而，非局部抛物方程在L2(Ω)和(Ω)一致吸引子的研究相对较少。
一致吸引子用来描述其动力学行为时，比较常用的是斜积流法，该方法牵涉到符号空间，且一般要求外力符号在符号空间作紧性平移[11]。
本文仅在时间符号平移有界，不要求平移紧的条件下,研究下列非局部非线性抛物方程一致吸引子的存在性：其中：Ω⊂N为有界开集；a∈C(,+)为局部Lipschitz连续函数，满足其中：m,M为正常数。
l∈(L2(Ω))′,f∈C()且存在常数η>0,cf≥0满足假设(;H-1(Ω))或(;L2(Ω))。
用和(,.,)分别表示L2(Ω)中的范数及对应的内积；和((. , .))分别表示(Ω)中的范数及对应的内积；〈. , .〉表示H-1(Ω)与间的对偶积；表示H-1(Ω)范数。
(0,2) 插值||(0,2) interpolation0#||zero-sharp; 读作零井或零开。
0+||zero-dagger; 读作零正。
1-因子||1-factor3-流形||3-manifold; 又称“三维流形”。
AIC准则||AIC criterion, Akaike information criterionAp 权||Ap-weightA稳定性||A-stability, absolute stabilityA最优设计||A-optimal designBCH 码||BCH code, Bose-Chaudhuri-Hocquenghem codeBIC准则||BIC criterion, Bayesian modification of the AICBMOA函数||analytic function of bounded mean oscillation; 全称“有界平均振动解析函数”。
BMO鞅||BMO martingaleBSD猜想||Birch and Swinnerton-Dyer conjecture; 全称“伯奇与斯温纳顿－戴尔猜想”。
B样条||B-splineC*代数||C*-algebra; 读作“C星代数”。
C0 类函数||function of class C0; 又称“连续函数类”。
CA T准则||CAT criterion, criterion for autoregressiveCM域||CM fieldCN 群||CN-groupCW 复形的同调||homology of CW complexCW复形||CW complexCW复形的同伦群||homotopy group of CW complexesCW剖分||CW decompositionCn 类函数||function of class Cn; 又称“n次连续可微函数类”。
Cp统计量||Cp-statisticC。
