下载文档原格式
第2章 赋范线性空间虽然不允许我们看透自然界本质的秘密,从而认识现象的真实原因,但仍可能 发生这样的情形：一定的虚构假设足以解释许多现象.Eurler L . (欧拉) (1707-1783,瑞士数学家)Schmidt E .在1908 年讨论由复数列组成的空间}||:){(12∞<∑∞=i ii zz 时引入记号||||z 来表示211)(∑∞=i i i z z ,||||z 后来就称为z 的范数.赋范空间的公理出现在Riesz F .在 1918年关于],[b a C 上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在 1920到1922年间由 Banach S .（1892—1945）、Hahn H .（1879—1934）、Helly E .（1884—1943）和 Wiener N .（1894—1964）给出的,其中以Banach S .的工作最具影响.2.1赋范空间的基本概念线性空间是Peano Giuseppe 在1888年出版的书Geometrical Calculus 中引进的.Banach S .在1922年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为Banach 空间.他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了线性空间,第二组定义了范数,第三组给出了空间的完备性.定义 2.1.1 设K 是实数域R 或复数域C ,X 是数域K 上的线性空间,若||||⋅是X 到R 的映射,且满足下列条件：(1) 0||||≥x 且0||||=x 当且仅当0=x ; (2) ||||||||||x x λλ=,对任意X x ∈和任意K ∈λ ;(3) ||||||||||||y x y x +≤+,对任意X y x ∈, .则称||||⋅为X 上的范数,而||||x 称为x 的范数,这时称||)||,(⋅X 为赋范线性空间.明显地,若||)||,(⋅X 为赋范线性空间,则对任意X y x ∈,,定义||||),(y x y x d -=时,),(d X 为度量空间,但对一般的度量空间),(d X ,当X 为线性空间时,若定义)0,(||||x d x =,则||||x 不一定就是X 上的范数.例2.1.1 设s 数列全体,则明显地,s 为线性空间,对任意的s y x ∈,, 定义∑∞=-+-=1|)|1(!||),(i i i i i y x i y x y x d则∑∞=+=1|)|1(!||)0,(i i i x i x x d但)0,(|||)|||1(!||||)0,(1x d x i x x d i i i λλλλ≠+=∑∞=取)0,,0,1(0Λ=x ,210=λ,则 3121121)0,(00=+=x d λ 而412121)0,(||00=⨯=x d λ因此)0,(||)0,(0000x d x d λλ≠所以,)0,(0x d 不是s 上的范数.问题 2.1.1 对于线性空间X 上的度量d , 它满足什么条件时,)0,(||||x d x =才能成为范数？定理2.1.2 设X 是线性空间,d 是X 上的度量,在X 上规定)0,(||||x d x =,则X 成为赋范线性空间的条件是：(1) )0,(),(y x d y x d -=,对任意X y x ∈, ；(2) )0,(||)0,(x d x d λλ=,对任意X x ∈和任意K ∈λ.下面举出赋范线性空间的一些例子.例 2.1.3 对于}||,|){(11∞<∈=∑∞=i ii i xK x x l ,∑∞==1||||||i i x x 是1l 的范数, 即||)||,(1⋅l 是赋范线性空间.例2.1.4 对于∞<≤p 1,}||,|){(1∞<∈=∑∞=i p ii i p xK x x l 在范数pi pi x x 11)||(||||∑∞==下是赋范线性空间.例2.1.5 }||sup ,|){(∞<∈=∞i i i x K x x l 在范数||sup ||||i x x =下是赋范线性空间. 例2.1.6 }0lim ,|){(0=∈=∞→i i i i x K x x c 在范数||sup ||||i x x =下是赋范线性空间.例 2.1.7 }],[)(|)({],[上的连续函数为b a t x t x b a C =,在范数|)(|sup ||||t x x =下是赋范线性空间.由于赋范线性空间在度量||||),(y x y x d -=下是度量空间,因此,在度量所引入的序列收敛,开(闭)集、稠密和紧集等概念都可以在赋范线性空间中使用.定义 2.1.2 设X 是赋范空间X x X x n ∈⊂0,}{, 若n x 依度量||||),(y x y x d -=收敛于0x , 即0||||lim 0=-∞→x x n n ,则称n x 依范数||||⋅收敛于0x ,记为0||||x x n −→−⋅在赋范线性空间中,仍然用}|||||{),(00r x x X x r x U <-∈=记以0x 为球心,r 为半径的开球,用}|||||{),(00r x x X x r x B ≤-∈=记以0x 为球心,r 为半径的闭球. 为了方便,用}1|||||{=∈=x X x S X 记以0为球心,1为半径的闭单位球面. 用}1|||||{≤∈=x X x B X 记以0为球心,1为半径的闭单位球. 用}1|||||{<∈=x X x U X 记以0为球心,1为半径的开单位球.例2.1.8 在Euclid 空间2R 中,对于),(21x x x =可以定义几种不同的范数:||||||||211x x x += 2122212)|||(|||||x x x +=|}||,m ax {|||||213x x x =则对1),0,0(0==r x , 闭球)1,(0x B 在不同范数下的形状为：}1|||||{11≤=x x B}1|||||{22≤=x x B}1|||||{33≤=x x B思考题 2.1.1 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,问开球),(0r x U 的闭包是否一定是闭),(0r x B ?思考题2.1.2 设||)||,(⋅X 是线性空间,问闭球),(0r x B 内部是否一定是开球),(0r x U ?在赋范线性空间中,加法与范数都是连续的.定理2.1.8 若||)||,(⋅X 是赋范空间00,y y x x n n →→,则00y x y x n n +→+. 证明 由||||||||||)()(||0000y y x x y x y x n n n n -+-≤+-+可知定理成立. 定理 2.1.9 若||)||,(⋅X 是赋范空间,0x x n →,则||||||||0x x n →. 证明 由||||||||||||00x x x x n n +-≤和||||||||||||00n n x x x x +-≤,可知||||||||||||||00x x x x n n -≤-,因此||||||||0x x n →.定义2.1.3 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,若),(0||||,}{∞→→-⊂n m x x X x n m n 时, 必有X x ∈,使0||||→-x x n , 则称||)||,(⋅X 为完备的赋范线性空间.根据M.]1928,,,[Paris Villars Gauthier abstraits Espaces Frechet -的建议,完备的赋范线性空间称为Banach 空间.不难证明,∞∞<≤l p l c R p o n),1(,,都是Banach 空间.在数学分析中,曾讨论过数项级数,函数项级数,类似地,在赋范线性空间中,也可定义无穷级数.定义 2.1.4 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,若序列}{}{21n n x x x S +++=ΛΛ收敛于某个X x ∈时,则称级数∑∞=1n nx收敛,记为∑∞==1n nxx .定义2.1.5 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,若数列||}||||||||{||21n x x x +++ΛΛ收敛时, 则称级数∑∞=1n nx绝对收敛.在数学分析中绝对收敛的级数一定是收敛的,但在赋范空间上却不一定成立,先来看看下面一个定理.定理 2.1.10 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,则||)||,(⋅X 是Banach 空间的充要条件为X 的每一绝对收敛级数都收敛.证明 设||)||,(⋅X 是Banach 空间,且∑∞=1n nx绝对收敛,则由∞<∑∞=1||||n nx可知,对于n n x x x S +++=ΛΛ21,有)(0||||||||||||||||11∞→→++≤++=-+++++n x x x x S S p n n p n n n p n ΛΛ,因此n S 是X 的Cauchy 列,由||)||,(⋅X 的完备性可知,存在X x ∈使x S n n =∞→lim ,即x xn n=∑∞=1反之,设X 的每一个绝对收敛级数都收敛,则对于X 的Cauchy 列n x ,对kk 21=ε,有 ΛΛ<<<<<+121k k n n n n , 使得),2,1(21||||1Λ=<-+k x x kn n k k因而+∞<-∑∞=+1||||1n n n k k x x.由假设可知+∞<-∑∞=+1)(1n n n k k x x收敛于某个X x ∈,即}{k n x 收敛x ,所以n x 必收敛于x ,从而||)||,(⋅X 完备.事实上,在实数空间R 中,正是由于R 的完备性才保证了绝对收敛级数一定是收敛的.定义 2.1.6 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,若X M ⊂是X 的线性子空间,则称||)||,(⋅M 为||)||,(⋅X 的子空间,若M 还是||)||,(⋅X 的闭集, 则称||)||,(⋅M 为||)||,(⋅X 的闭子空间.明显地,若||)||,(⋅X 是Banach 空间,M 为||)||,(⋅X 的闭子空间,则||)||,(⋅M 是Banach 空间,反之亦然.定理 2.1.11 设||)||,(⋅X 是Banach 空间,M 为||)||,(⋅X 的子空间,则||)||,(⋅M 是Banach 空间当且仅当M 是X 的闭集.证明 设||)||,(⋅X 是Banach 空间,当M x n ∈,且x x n →时,则}{n x 为M 的Cauchy 列,因而}{n x 收敛于 M 上的一点,故M x ∈,即M M ∈',所以M 是闭集.反之,设M x n ⊂}{为Cauchy 列,则}{n x 为 ||)||,(⋅X 的Cauchy 列,由于||)||,(⋅X 是Banach 空间,因此}{n x 是收敛列, 即存在X x ∈使x x n →,又由于M 是||)||,(⋅X 的闭子空间,因此M x ∈,即n x 在M 中收敛于x ,所以||)||,(⋅M 是Banach 空间.定义2.1.7 设X 是线性空间,p 为X 上的一个实值函数,且满足： （1） 0)0(=p ；（2） )()()(y p x p y x p +≤+,对任意X y x ∈,； （3） )(||)(x p x p λλ=,对任意X x ∈,任意K ∈λ.则称p 为X 上的半范数.明显地,X 上的范数一定是半范数,但对X 上的半范数p ,由于0)(=x p 时不一定有0=x ,因此半范数不一定是范数.例2.1.9 在∞l 中,定义||)(11x x p =,易证)(1x p 是∞l 中的半范数,但对于),,,,0(2ΛΛn x x x =,都有0)(1=x p ,因此p 不是∞l 的范数.有什么办法能使),(p X 中的问题转化为赋范空间中来解决呢？定义 2.1.8 设X 是线性空间,M 是X 的线性子空间,若M x x ∈-21,则称1x 与2x 关于M 等价,记为)(~21M x x易知,等价具有下面的三个性质（1） x x ~（反射性）；（2） y x ~推出 x y ~（对称性）； （3） y x ~, z y ~ 推出z x ~（传递性）.明显地,若M 是线性空间X 的线性子空间,记}),(~|{~M y M x y y x ∈=, 则~x 的全体在加法~~~y x y x +=+和数乘~~x x αα=下是线性空间,称为X 对模M 的商空间,记为M X /.在商空间M X /中,对M X =∈~0,0, 即0是M X /的零元,而对M X /的每一元素~x ,~x 都是唯一确定的,并且对于加法和数乘都是唯一确定的.例2.1.10 对于}||sup |){(+∞<=∞i i x x l ,取}||sup ,0|){(1+∞<==i i x x x M , 则M 为∞l 的子空间,对M l y x /,∞∈,当~~y x =时有M y x ∈-,即011=-y x , 这时R M l ~/∞当||)||,(⋅X 为赋范线性空间,M 为X 的闭线性子空间时,在M X /商空间中还可以定义范数,使M X /成为赋范线性空间.定理 2.1.14 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,M 为X 的闭线性子空间,在M X /上定义范数}|||inf{||||||~~x y y x ∈=,则||)||,/(⋅M X 是赋范线性空间.利用上面的技巧,不难证明,当)(x p 为X 上的一个半范数时,取}|||inf{||||||},0)(|{~~x y y x x p x M ∈===,则||)||,/(⋅M X 是一个赋范线性空间,且对任意X x ∈有, )(||||~x p x =.当X 是空备赋范线性空间,M 为X 的闭子空间的,M X /还具有完备性.定理2.1.15 设X 是Banach 空间,M 为X 的闭子空间,则M X /是Banach 空间.2.2 范数的等价性与有限维赋范空间在同一线性空间上,可以定义几种不同的范数,使之成为不同的赋泛线性空间,但有时X 上的几种不同范数诱导出的拓扑空间是一样的,有时却很不相同,这主要是X 上的序列依范数收敛的不同引起的.定义 2.2.1 设X 是线性空间,1||||⋅和|2||||⋅是X 上的两个不同范数,若对X 中的序列}{n x ,当0||||10→-x x n 时,必有0||||20→-x x n ,则称范数1||||⋅比范数2||||⋅强,亦称2||||⋅比1||||⋅弱.若对X 中的序列}{n x ,0||||10→-x x n 当且仅当0||||20→-x x n 则称范数1||||⋅与2||||⋅等价.定理 2.2.1 设1||||⋅和2||||⋅是线性空间X 上的两个不同范数,则范数1||||⋅比2||||⋅强当且仅当存在常数0>C ,使得对任意X x ∈都有12||||||||x C x ≤.证明 若存在0>C ,使12||||||||x C x ≤,则明显地0||||1→-x x n 时,有0||||||||12→-≤-x x C x x n n ,因而1||||⋅比2||||⋅强.反过来,若范数1||||⋅比2||||⋅强,则必有0>C ,使12||||||||x C x ≤. 若不然,则对任意自然数n ,存在X x n ∈,使12||||||||n n x n x >. 令2||||n nn x x y =,则nx x y n n n 1||||||||||||211<=故0||0||1→-n y ,因而0||0||2→-n y ,但这与1||||||||||0||222==-n n n x x y 矛盾,所以必存在0>C ,使12||||||||x C x ≤,对任意X x ∈成立.推论 2.2.2 设1||||⋅与2||||⋅是线性空间X 上的两个不同范数,则范数1||||⋅与2||||⋅等价当且仅当存在常数0,021>>C C ,使得对任意X x ∈,有12211||||||||||||x C x x C ≤≤推论 2.2.3 设1||||⋅与2||||⋅是线性空间X 上的两个等价范数,则)||||,(1⋅X 是Banach 空间当且仅当)||||,(2⋅X 是Banach 空间.思考题 2.2.1 若1||||⋅与2||||⋅是线性空间X 上的两个不同范数,且)||||,(1⋅X 和)||||,(2⋅X 都是Banach 空间,是否就一定有1||||⋅与2||||⋅等价呢？定义2.2.2 设X 是n 维线性空间,||||⋅是X 上的范数,则称||)||,(⋅X 为n 维赋范线性空间.有限维赋范线性空间是Minkowski 在1896年引入的,因此有限维赋范线性空间也称为Minkowski 空间.若||)||,(⋅X 为n 维线性空间,n e e e ,,,21Λ为X 的一组线性无关组,则称n e e e ,,,21Λ为||)||,(⋅X 的Hamel 基,此时对任意X x ∈,x 都可以唯一地表示成∑==nn i i e x 1α定理 2.2.4 设||)||,(⋅X 是n 维线性空间n e e e ,,,21Λ是X 的Hamel 基,则存在常数1C 及02>C 使得2112221121)||(||||)||(∑∑==≤≤ni i ni i C x C αα对任意∑==nn i i e x 1α都成立.证明 对于任意ni K ∈=)(αα,定义函数||||)(1∑==nn i i e f αα则对任意n i K ∈=)(αα,ni K ∈=)(ββ,有21122112211211111)||()||||()||(|||||||||||||||||||||)()(|∑∑∑∑∑∑∑∑========-=-≤-≤-≤-=-n i iin i in i iini i i ini ni ii ii ni ii n n ii M ee e e e ef f βαβαβαβαβαβα这里2121)||||(∑==nn ieM ,因此f 是n K 到R 的连续函数.由于nK 的单位球面}1)||(|){(2112=∈=∑=ni in i K S αα是紧集,因此f 在S 上达到上下确界,即存在S i i ∈==)(),()0(0)0(0ββαα,使得10}|)(inf{)(C S f f =∈=ααα 20}|)(sup{)(C S f f =∈=ααβ因此对任ni K ∈=)(αα,有S ni iK n∈=∑=2112)||(||||αααα故21)||||(C f C nK≤≤αα即211221121121)||(||||)||(∑∑==≤++≤ni i n n ni i C e e C ααααΛ下面证明01>C ,容易知道02>C 的证法是类似的.假设01=C ,则有0||||)(1)0(0==∑=nn i ie f αα,故01)0(=∑=nn i ie α由}{i e 是X 的Hamel 基可知,0)0(=i α,从而00=α,但这与S ∈0α矛盾.定理 2.2.5 设X 是有限维线性空间,1||||⋅与2||||⋅是X 上的两个范数,则存在常数01>C , 02>C 使得12211||||||||||||x C x x C ≤≤定理 2.2.6 有限维的赋范线性空间一定是Banach 空间.证明 若}{m x 为n 维赋范线性空间||)||,(⋅X 的Cauchy 列,则对于X 的Hamel 基n e e e ,,,21Λ有i ni m im e x ∑==1)(α,由2112221121)||(||||)||(∑∑==≤≤ni i ni i C x C αα可知}{)(m iα亦为Cauchy 列,故存在R i ∈α,使得i m i αα→)(,因而有)(i αα=,使得0)||(2112)(→-∑=ni i m iαα令i ni ie x ∑==1α,则0||||→-x x m ,因此}{m x 是收敛序列,所以X 是完备的.在nR 中,M 是列紧的当且仅当M 是有界闭集,在有限维赋范空间中是否成立呢？下面就来讨论有限维赋范线性空间||)||,(⋅X 中紧集与有界闭集的关系.定理2.2.7 设||)||,(⋅X 是有限维的赋范线性空间,则X M ⊂是紧的当且仅当M 是有界闭集.证明 设n e e e ,,,21Λ为||)||,(⋅X 的Hamel 基,则对任意X x ∈,有i ni ie x ∑==1α定义nK 到X 的算子T :i ni i e T ∑==1)(αα则存在0,021>>C C ,使得2112221121)||(||)(||)||(∑∑==≤≤ni i i ni i C T C ααα从而T 是n K 到X 的连续算子,且是一一对应的. 由||)(||)||(21121ααT C ni i≤∑=可知1-T 是X 到n K 的连续算子, 因此T 是n K 到X 的拓扑同构.所以M 的紧集当且仅当 )(1M T -为n K 的紧集,从而M 是X 的紧集当且仅当M是有界闭集.问题2.2.1 若赋范线性空间||)||,(⋅X 的每个有界闭集都是紧集,则X 是否一定为有限维的赋范线性空间？为了回答上面的问题,先来讨论Riesz 引理,这是Riesz F .在1918年得到的一个很漂亮的结果.引理 2.2.8 （Riesz 引理）设M 是赋范线性空间||)||,(⋅X 的闭真子空间,则对任意10<<ε,存在1,=∈εεx X x ,使得εε≥-x x对任意M x ∈成立.证明 由于M 是X 的闭真子空间,因此≠M X \φ,故存在M X y \0∈,令}|||inf{||),(00M x x y M y d d ∈-==,则0>d .对任意10<<ε,由d 的定义可知,存在M x ∈0,使得εdx y d ≤-≤||||00令||||0000x y x y x --=ε,则1||||=εx ,且对任意M x ∈,有||)||||(||||||1||||||||||||0000000000x x y x y x y x y x y x x x -+--=---=-ε由M x ∈0,M x ∈和M 是线性子空间,可知M x x y x ∈-+||||000因此d x x y x y ≥-+-||)||||(||0000故εεε=≥-≥-ddx y d x x ||||||||00由Riesz 引理,容易得到有限维赋范线性空间特征的刻画.定理 2.2.9 赋范线性空间||)||,(⋅X 是有限维的当且仅当X 的闭单位球}1|||||{≤=x x B X 是紧的.证明 明显地,只须证明X B 是紧的时候,X 一定是有限维的.反证法,假设X B 是紧的,但X 不是有限维赋范线性空间,对于任意固定的,1X x ∈1||||1=x ,令}|{}{111K x x span M ∈==λλ,则1M 是一维闭真子空间,取21=ε,由Riesz 引理可知,存在1||||,22=∈x X x 且21||||2≥-x x 对任意1M x ∈成立,从而21||||12≥-x x . 同样地,令},{212x x span M =,则2M 是二维闭真空子空间,因而存在1||||,33=∈x X x ,使21||||3≥-x x 对任意2M x ∈成立,从而21||||13≥-x x 且21||||23≥-x x . 利用归纳法,可得一个序列X n B x ⊂}{,对任意n m ≠,有21||||≥-n m x x 因而}{n x 不存在任何收敛子序列,但这与X B 是紧集矛盾,由反证法原理可知X 是有限维赋范线性空间.推论2.2.10 赋范线性空间X 是有限维当且仅当X 的每个有界闭集是紧的.对于无穷维赋范线性空间X 的紧集的刻画,就比较困难.在]1,0[C 中,容易看出]1,0[}1|)(||)({C x f x f A ⊂≤=是]1,0[C 的有界闭集,但不是紧集.为了讨论]1,0[C 子集的紧性,需要等度连续的概念,它是由Ascoli 和Arzelà同时引入的.定义 2.2.3 设]1,0[C A ⊂,若对任意的0>ε,都存在0>δ,使得对任意的A f ∈,任意的]1,0[,∈y x ,δ<-||y x 时,一定有ε<-|)()(|y f x f ,则称A 是等度连续的.Ascoli 给出了]1,0[C A ⊂是紧的充分条件, Arzelà在1895年给出了]1,0[C A ⊂是紧的必要条件,并给出了清楚的表达.定理 2.2.11 (Arzel à-Ascoli 定理) 设]1,0[C A ⊂,则是紧的当且仅当A 是有界闭集, 且A 是等度连续的.2.3 Schauder 基与可分性一个Banach 空间,如果想把它看作序列空间来处理,最好的办法是引入坐标系,常用的方法是引入基的概念, Schauder 基是-Fun in stetiger Theorie Zur Schauder J [..]6547.)1927(26,,-pp t Zeitschrif che Mathematis men ktionalrau 引入的.定义 2.3.1 Banach 空间||)||,(⋅X 中的序列}{n x 称为X 的Schauder 基,若存在对于任意X x ∈,都存在唯一数列K a n ⊂}{,使得nn n x x ∑∞==1α容易看到,有限维赋范线性空间一定具有Schauder 基.例2.3.1 在1l 中令),0,1,0,,0(ΛΛ=n e ,则}{n e 为1l 的Schauder 基,明显地,在)01(,,0∞<<p l c c 中,}{n e 都是Schauder 基.Schauder J .在1928年还在]1,0[C 中构造一组基,因而]1,0[C 也具有Schauder 基. 具有Schauder 基的Banach 空间具有许多较好的性质,它与Banach 空间的可分性有着密切联系.定义 2.3.2 ||)||,(⋅X 是赋范线性空间,若存在可数集X M ⊂,使得X M =,即可数集在X 中稠密,则称X 是可分的.若||)||,(⋅X 可分,则存在可数集X x n ⊂}{,使得对任意X x ∈及任意0>ε,都有某个}{n n x x ∈ε,满足εε<-||||x x n .例2.3.2 由于有理数集Q 是可数集,且R Q =,因此R 是可分的.类似地,n R 也是可分的赋范空间.例2.3.3 对于p l p ,1+∞<≤都是可分的,因为取时，使得存在N i N x M i >=,|){(},,0都是有理数时并且i i x N i x <=,则M 是可数集,并且p l M =.实际上,对任意p l x ∈,由+∞<∑∞=pi pi x 11)||(可知,对任意0>ε,存在N ,使得2||1pN i pix ε<∑∞+=, 取有理数N q q q Λ,,21,使2||1pNi pi i x q ε<-∑=,则M q q q x N ∈=)00,,,(21ΛΛε,且εε<+-≤-∑∑∞+==pN i p iNi p i i xx q x x 111)||||(,因此p l M =,所以p l 是可分的.例 2.3.4 由Weierstrass 逼近定理可知对任意],[b a C x ∈,必有多项式0→-x p n ,取M 为],[b a 上有理系数的多项式全体,则M 是可数集,且],[b a C M =,因而],[b a C 是可分的赋范线性空间.定理2.3.5 若||)||,(⋅X 赋范空间有Schauder 基,则X 一定可分的. 证明 为了简明些,这里只证明||)||,(⋅X 为实的情形.设}{i e 为X 的Schauder 基,则任意X x ∈有∑∞==1i ii ea x ,这里R a i ∈.令},|{1Q q N n eq M i ni ii ∈∈=∑=,则M 是可数集,且对任意X x ∈及任意0>ε,存在M x ∈ε,使得εε<-x x ,因此X M =,所以M 为可分的赋范空间.对于复赋范空间||)||,(⋅X ,可令},,|)({1Q pq N n e ip q M iini iii∈∈+=∑=,证明是类似的.问题2.3.1 是否每个赋范空间都具有Schauder 基？ 例2.3.6 赋范空间∞l 没有Schauder 基.由于∞l 不可分,因而一定没有Schauder 基.事实上,假设∞l 可分,则存在∞∈=l x x m im )()(,使得}{m x X =.令=)0(ix ⎪⎩⎪⎨⎧>≤+. 1|| 0；1|x | ,1)((i)i )(时当时当i i i i x ，x 则211||sup )0(=+≤i x ,即∞∈=l x x i)()0(0,并且1||||sup ||||)0()()0()(10≥-≥-=-∞<≤m m m i m i i m x x x x x x所以}{m x 不存在任何收敛子列收敛于0x ,故}{0m x x ∉,从而}{m x X ≠,但这与假设}{m x l =∞矛盾,因此∞l 不可分.另外,还再进一考虑下面的问题：问题2.3.2 是否每个可分的赋范空间都具有Schauder 基？上面问题自从S. Banach 在1932年提出后,很多数学家为解决这一问题做了很多的努力,由于常见的可分Banach 空间,如10,l c 等都具有Schauder 基，因此大家都以为问题的答案是肯定的,但所有的努力都失败了,大家才倾向于问题的答案是否定的.Enflo P .在1972年举出了一个例子,它是可分的赋范空间,但不具有Schauder 基[A counterexample to the approximation problem in Banach spaces. Acta Math. 130(1973), 309-317.]2.4 线性连续泛函与Banach Hahn -定理Banach S .1929年引进共轭空间这一重要概念,这也就是赋范线性空间上的全体有界线性泛函组成的线性空间,在这个线性空间上取泛函在单位球面的上界为范数,则共轭空间是完备的赋范线性空间. Banach S .还证明了每一连续线性泛函是有界的,但最重要的是Banach S .和Hahn H .各自独立得到的一个定理,这就是泛函分析中最著名的基本定理,即Banach Hahn -定理,它保证了赋范线性空间上一定有足够多的连续线性泛函.泛函这名称属于Hadamard ,他是由于变分问题上的原因研究泛函.定义 2.4.1 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,f 为X 到K 的映射,且对于任意X y x ∈,及K ∈βα,,有)()()(y f x f y x f βαβα+=+则称f 为X 的线性泛函.例2.4.1 在∞l 上,若定义1)(x x f =,则f 为∞l 上的线性泛函.由于线性泛函具有可加性,因此,线性泛函的连续性比较容易刻画.定理2.4.2 设f 是赋范线性空间||)||,(⋅X 上的线性泛函,且f 在某一点X x ∈0上连续,则f 在X 上每一点都连续.证明 对于任意X x ∈,若x x n →,则00x x x x n →+-由f 在0x 点的连续性,因此)()(00x f x x x f n →+-所以)()(x f x f n →,即f 在x 点连续.这个定理说明,要验证泛函f 的连续性,只须验证f 在X 上某一点（例如零点）的连续性就行了.问题2.4.1 是否存在一个赋范线性空间X ,X 上任意线性泛函都连续？例2.4.3 n R 上任意线性泛函都是连续的.事实上令)0,0,1,0,0(ΛΛ=i e ,则任意nR x ∈,有∑==ni ii ex x 1,设0,→∈m nm x R x ,则∑==ni i m im e x x 1)(,且0)(→m ix 对任意i 都成立.因此)0(0)()()(1)(1)(f e f x e x f x f ni i m ini i m i m =→==∑∑==,所以f 在0点连续,从而f 在n R 上任意点都连续.定义 2.4.2 若X 上的线性泛函把X 的任意有界集都映为K 的有界集,则称f 为有界线性泛函,否则f 为无界线性泛函.定理 2.4.4 设f 为赋范线性空间||)||,(⋅X 上的线性泛函,则f 是有界的当且仅当存在0>M ,使|||||)(|x M x f ≤.证明 若存在0>M ,使得对任意|||||)(|,x M x f X x ≤∈,则对于X 中的任意有界集F ,有0>r ,使得对任意F x ∈,有r x ≤||||,因此,Mr x M x f ≤≤|||||)(|对所有F x ∈成立,所以)(F f 为K 的有界集,即f 为有界线性泛函.反之,若f 为有界线性泛函,则f 把X 的单位球面}1|||||{)(==x x X S 映为K 的有界集,因此存在0>M ,使得对一切1||||=x ,有M x f ≤|)(|故对任意X x ∈,有M x xf ≤|)||||(| 所以|||||)(|x M x f ≤例2.4.5 对)(|){(i i x x c =为收敛序列},范数||sup ||||i x x =,若定义f 为i i x x f ∞→=lim )(,则f 为c 上的线性泛函,由于||sup ||||i x x =,因此|||||lim ||)(|x x x f i i ≤=∞→所以f 为c 上的有界线性泛函.对于赋范线性空间的线性泛函而言,有界性与连续性是等价的,Banach S .在1929年证明了每一个连续可加泛函（线性连续泛函）都是有界的.定理2.4.6 设X 是赋范线性空间,则X 上的线性泛函是连续的当且仅当f 是有界的. 证明 若f 是有界的,则由上面定理可知存在0>M ,使得|||||)(|x M x f ≤,因此当x x n →时,有)()(x f x f n →,即f 为连续的.反之,假设f 为连续线性泛函,但f 是无界的,则对任意自然数n ,存在X x n ∈,使得|||||)(|n n x n x f >令0,||||0==y x n x y n nn ,则01||||0→=-n y y n ,由f 的连续性可知)()(0y f y f n →,但1||||)()(>=n n n x n x f y f ,0)(0=y f ,从而 1|)()(|0>-y f y f n ,但这与)()(0y f y f n →矛盾.所以f 为连续线性泛函时,f 一定是有界的.线性泛函的连续性还可以利用f 的零空间是闭集来刻画.定理 2.4.7 设X 是赋范线性空间,则X 上的线性泛函是连续的当且仅当}0)(|{)(==x f x f N 为X 的闭线性子空间.证明 明显地)(f N 为线性子空间,因此只须证)(f N 是闭的.若f 是连续线性泛函,则当x x f N x n n →∈),(时,必有)()(x f x f n →,因而0)(=x f ,即)(f N x ∈,所以)(f N 是闭子空间.反之,若)(f N 是闭的,但f 不是有界的,则对于任意正整数n ,有X x n ∈,使|||||)(|n n x n x f >令||||n nn x x y =,则1||||=n y ,且n y f n >|)(|. 取)(,)()(11011y f yz y f y y f y z n n n -=-=, 由于01|)(|||||||)(||||||0→<==-ny f y y f y z z n n n n n 因而0z z n →,且0))()(()(11=-=y f yy f y f z f n n n ,即)(f N z n ∈,从而由)(f N 是闭集可知)(0f N z ∈,但这与1)(0-=z f 矛盾,因此当)(f N 是闭子空间时,f 一定是连续的. 从上面的讨论容易看出,X 上的全体连续线性泛函是一个线性空间,在这个线性空间上还可以定义其范数.定义2.4.3 设f 为X 上的线性连续泛函,则称|||||)(|sup||||0x x f f x ≠= 为f 的范数.明显地,若记X 上的全体线性连续泛函为*X ,则在范数||||f 下是一赋范空间,称之为X 的共轭空间.虽然Hahn H .在1927年就引起了共轭空间的概念,但Banach S .在1929年的工作更为完全些.容易看出,对于任意X f ∈,还有|)(|sup |)(|sup ||||1||||1||||x f x f f x x ≤===.但对于具体的赋范空间X ,要求出X 上的连续线性泛函的范数,有时是比较困难.例 2.4.8 设f 为1l 的连续线性泛函,若取}{i e 为1l 上的Schauder 基,则对任意)(i x x =,有∑∞==1i ii ex x , 故∑∞==1)()(i i ie f xx f ,因而)||(|)(|sup |)(||||)(||)(|111∑∑∑∞=∞=∞=≤≤=i iii iii iix e f e f x e f x x f从而|)(|sup ||||i e f f ≤. 取1)0,0,1,0,0(l e i ∈=ΛΛ, 则1||||=i e , 且|)(|||||||||||||i i e f e f f ≥=, 故|)(|sup ||||i e f f ≥,所以|)(|sup ||||i e f f =.设M 是赋范线性空间X 的子空间,f 为M 上的连续线性泛函,且存在0>C ,使得|||||)(|x C x f ≤对任意M x ∈成立,则f 是否可以延拓到整个范空间X 上？这一问题起源于n 维欧氏空间n R 上的矩量问题. Banach S . 在1920年提交的博士论文中,用几何语言将它推广到无限维空间．1922年,Hahn H .发表的论文也独立地得出类似结果． Hahn H . 在1927年将结果更一般化,在完备的赋范线性空间研究了这一问题,并证明了在X 上f 存在连续延拓F ,使得|||||)(|x C x F ≤对一切M x ∈成立,且对一切M x ∈,有)()(x f x F =. 1929年,Banach S .独立地发表了与Hahn H .相近的定理和证明,并把一定理推广为一般的情形,这就是下面的Banach Hahn -延拓定理.定理 2.4.9 设M 是实线性空间X 的线性子空间,f 为M 上的实线性泛函,且存在X 上的半范数)(x p 使得)(|)(|x p x f ≤, 对任意M x ∈成立则存在f 在X 上的延拓F ,使得(1) )(|)(|x p x F ≤, 对任意X x ∈成立; (2) )()(x f x F =, 对任意M x ∈成立.Bohnehbius F H ..与Sobczyk A . 在 1938 年还把Banach Hahn -定理推广到复线性空间.定理 2.4.10 设M 是复线性空间X 的复线性子空间,f 为M 上的线性泛函,p 是X 上半范数且满足)(|)(|x p x f ≤, 对任意M x ∈成立则存在f 在X 上的延拓F ,使得(1) )(|)(|x p x F ≤, 对任意X x ∈成立; (2) )()(x f x F =, 对任意M x ∈成立.利用线性空间的Banach Hahn -延拓定理,可以建立赋范线性空间上的保范延拓定理,它是Banach 空间理论的基本定理.定理 2.4.11 设M 是赋范线性空间X 的线性子空间,f 为M 上的连续线性泛函,则存在X 上线性连续泛函F ,使得(1) **=M X f F |||||||| ;(2) )()(x f x F =, 对任意M x ∈成立.这里*X F ||||表示F 在*X 的范数, *M f ||||表示f 在*M 的范数.证明 由于f 为M 上的连续线性泛函,因此对任意M x ∈,有|||||||||)(|x f x f M *≤. 定义半范数||||||||)(x f x p M *=,则有)(|)(|x p x f ≤,对任意M x ∈.由线性空间的Banach Hahn -定理可知存在F ,使得)()(x f x F =, 对任意M x ∈且)(|)(|x p x F ≤, 对任意X x ∈因此对于任意X x ∈,有|||||||||)(|x f x F M *≤,故F 为X 上的连续线性泛函,且**≤M X f F ||||||||.反过来,由**==≥=≠∈≠∈≠∈M x M x x M x x X x X f x x f x x F x x F F |||||||||)(|sup |||||)(|sup |||||)(|sup||||0,0,0,可知**=M X f F ||||||||, 且)()(x f x F =对任意M x ∈成立.在上面定理中,若X 是复赋范线性空间,则M 必须是复线性子空间.很有意思的是Bohnehbius F H ..和Sobczyk A .在1938年证明在任意无穷维复Banach 空间X 中,一定存在实线性子空间M ,在M 上有一复连续线性泛函不能保范延拓到X 上.问题2.4.2 在Banach Hahn -定理中,什么条件下保范延拓是唯一的？例2.4.12 在},|),{(2121R x x x x X ∈=上,定义范数||||||),(||||||2121x x x x x +==. 令}|)0,{(11R x x M ∈=, 明显地，M 是赋线性空间X 的线性子空间,对M x y ∈=)0,(1,定义1)(x y f =,则|||||||)(|1y x y f ==故1||||≤*M f ,且对)0,1(0=x ,有1|)(|,1||||00==x f x ,因而1||||=*M f ,但对X 上的线性泛函211)(x x x F +=212)(x x x F -=这里X x x x ∈=),(21 在M 上,都有)()(1y f y F = )()(2y f y F =对任意的M x y ∈=)0,(1成立. 在M 上有f F f F ==21,,且***==M X X f F F ||||||||||||21,因此21,F F 是f 的两个不同的保范延拓.定理2.4.13 设||)||,(⋅X 是赋范空间,M 是X 的子空间,X x ∈0,),(0M x d d =0}|||inf{||0>∈-=M y y x ,则存在*∈X f ,使得（1）对任意0)(,=∈x f M x ； （2）d x f =)(0； （3）1||||=f .证明 令}}{{0x M span E ⋃=∆,则对任意E x ∈,x 有唯一的表达式0'tx x x +=,这里M x K t ∈∈',.在E 上定义泛函g ：td x g =)(则g 为E 上的线性泛函,且 （1）d x g =)(0；（2）对任意0)(,=∈x g M x .对0'tx x x +=,不妨假设0≠t .由}||inf{||,|||)'(||)(|00M y x y d d t tx x g x g ∈-==+=可知||||||'||||'||||||'|||||||)(|000x tx x x tx t x t x t d t x g =+=+=--≤=. 因此g 是E 上的线性连续泛函,且1||||≤*M g .根据Banach Hahn -定理,有连续线性泛函*∈X f ,使得 （1）对任意)()(,x g x f E x =∈； （2）||||||||g f =.由0}|||inf{||0>∈-=M y y x d ,可知存在M x n ∈,使得d x x n →-||||0. 故df x x f x f x f x f d n n |||||||||||||)()(||)(|000→-⋅≤-==因此1||||≥f ,所以1||||=f ,且对所有M x ∈,有0)(=x f .特别地,当}0{=M 时,对任意00≠x ,有||||),(00x M x d =,因此由上面定理可知下面推论成立.推论 2.4.14 设X 是赋范线性空间,则对任意0,00≠∈x X x ,有*∈X f ,使得||||)(00x x f =,且1||||=f .该结论的重要意义在于它指出了任意赋范线性空间X 上都存在足够多的线性连续泛函.由下面推论还可知道X 中两个元素y x ,,若对所有*∈X f ,都有)()(y f x f =,则一定有y x =.推论 2.4.15 设X 是赋范线性空间,X y x ∈,则y x ≠当且仅当对存在*∈X f 使得)()(y f x f ≠.证明 假设y x ≠,则对y x z -=,有0||||≠z ,因此Banach Hahn -定理的推论可知存在1||||=f ,使得0||||)(≠=z z f ,从而)()(y f x f ≠.例题2.4.1 设X 是赋范线性空间,试证明对任意X x ∈0,有|)(|sup||||0,1||||0x f x Xf f *∈==证明 对任意*∈X f ,1||||=f ,有|||||||||||||)(|000x x f x f =≤因此|)(|sup||||0,1||||0x f x X f f *∈=≥另外, 但对0,00≠∈x X x ,存在*∈X f ,1||||=f ,使得 ||||)(00x x f =, 故|)(|sup||||0,1||||0x f x Xf f *∈=≤, 所以|)(|sup||||0,1||||0x f x Xf f *∈==.例题 2.4.2 设||)||,(⋅X 是赋范空间,若对于任意1||||,1||||,,==∈y x X y x 且y x ≠都有2||||<+y x ,试证明对于任意)1,0(∈α,有1||)1(||<-+y x αα.证明 反证法. 假设存在1||||||||00==y x 和)1,0(0∈α,使得1||)1(||0000=-+y x αα由Banach Hahn -定理的推论,可知存在*∈X f , 1||||=f ,使得||)1(||))1((00000000y x y x f αααα-+=-+即1)()1()(0000=-+y f x f αα这时一定有1)()(00==y f x f . 否则的话,若1)(0<x f 或1)(0<y f ,则1)1()()1()(000000=-+<-+ααααy f x f ,矛盾.因此2)(|)(|sup||||0000,1||||00=+≥+=+*∈=y x f y x f y x X f f ,又由2|||||||||||0000=+≤+y x y x可知2||||00=+y x ,但这与2||||00<+y x 的题设矛盾,因此由反证法原理可知对于任意)1,0(∈α,有1||)1(||<-+y x αα.2.5 严格凸空间Clarkson A J ..在1936年引入了一致凸的Banach 空间的概念,证明了取值一致凸的Banach 空间的向量测度Nikodym Radon -的定理成立,从而开创了从单位球的几何结构来研究Banach 空间性质的方法.Clarkson A J ..和Gkrein M . 独立地引进了严格凸空间,严格凸空间在最佳逼近和不动点理论上有着广泛的应用.定义 2.5.1 赋范空间X 称为严格凸的,若对任意1||||,1||||,,==∈y x X y x ,y x ≠,都有1||2||<+yx严格凸的几何意义是指单位球面X S 上任意两点y x ,的中点2yx +一定在开单位球}1|||||{<=x x U X 内.例2.5.1 Banach 空间0c 不是严格凸的. 取000),0,0,1,0(),,0,1,1(c y x ∈==ΛΛ,则1||||||||00==y x ,且对),0,0,1,21(200Λ=+y x ,明显地有 1||2||00=+y x .类似地,易验证,Banach 空间 ∞l l c ,,1都不是严格凸空间.例2.5.2 若1||||,1||||,,2==∈y x l y x 且y x ≠,则4||||2||||2)||2()||2()||()||(||||||||221212121222=+=+=-++=-++∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=y x y x y x y x y x y x i i i i i i i i i i从而4||||4||||22<--=+y x y x ,即1||2||<+yx . 所以2l 是严格凸的.类似地,容易证明Banach 空间)1(∞<<p l p 是严格凸的.定理2.5.3 若X 是严格凸赋范空间,则对任意非零线性泛函*∈X f , f 最多只能在X S 上的一点达到它的范数||||f .证明 反证法.假设存在1||||||||,0000==≠y x y x ,使得||||)()(00f y f x f ==由于||||)]()([21)2(0000f y f x f y x f =+=+ 因此||2||||||)2(||||0000y x f y x f f +≤+= 从而1||2||0≥+y x 明显地,12||||||||||2||0000=+≤+y x y x .因此 1||2||00=+y x ,但这与X 的严格凸假设矛盾,所以由反证法原理可知定理成立.设X 是赋范空间,M 是X 的子空间,对*∈X f , f 在X 上可能有不同的保范延拓,不过,*X 的严格凸性能保证保范延拓的唯一性.Taylor A .在1939年证明了以下结果-function linear of extension The Taylor A ,.[ ].547538),1959(5..,-J Math Duke als .定理 2.5.4 若*X 是严格凸,M 是X 的子空间,则对任意*∈M f ,f 在X 上有唯一的保范延拓.证明 反证法. 假设对*∈M f ,f 在X 上有两个不同的保范延拓1F 及2F ,即对任意M x ∈,都有)()()(21x F x F x f ==,且||||||||21F F =,则1||2/)||||||||(||21≤+f Ff F 由于2|)()(|sup 2||sup ||2||21,1||||21,1||||21x F x F F F F F Mx x X x x +≥+=+∈=∈= ||||2|)()(|sup,1||||f x f x f M x x ≥+=∈=因此1||2/)||||||||(||21=+f Ff F ,但这与*X 是严格凸矛盾. 所以f 在X 上只有唯一的保范延拓.思考题2.5.1 若对X 的任意子空间M ,任意的*∈M f ,f 在X 上都只有唯一的保范延拓,则*X 是否一定为严格凸的？严格凸性还保证了最佳逼近元的唯一性.定义2.5.2 设X 是赋范线性空间X x X M ∈⊂,,若存在M y ∈0,使得||||inf ||||0y x y x My -=-∈则称0y 为M 中对x 的最佳逼近元.定理2.5.5 设M 为赋范线性空间X 上的有限维子空间,则对任意X x ∈,存在M y ∈0,使得||||inf ||||0y x y x My -=-∈证明 令||||inf y x d My -=∈,由下确界的定义,存在M y n ∈,使得d y x n →-||||因而}{n y 是有界序列,即存在0>C ,使得C y n ≤||||,对任意n 成立.事实上,若}{n y 不是有界序列,则对任意N k ∈有}{n n y y k ∈,使得k y k n >||||,故)(||||||||||||||||∞→∞→-≥-≥-k x k x y y x k k n n .但这与d y x k n →-||||矛盾,所以}{n y 为有界序列.由于M 是有限维,且}{n y 为M 中有界序列,因此}{n y 存在收敛子列0y y k n →,且M y ∈0.故d y x y x k n k =-=-∞→||||lim ||||0,所以存在M y ∈0.且||||inf ||||0y x y x My -=-∈.问题2.5.1 上述定理中的最佳逼近元是否一定唯一？例 2.5.6 在2R 中,取范数|}||,max{|||||21x x x =,}|)0,{(11R x x M ∈=,则M 为2R 的一维子空间,取20)1,0(R x ∈=,对于任意M x x ∈=)0,(1,有1}1||,max{||||)0,()1,0(||||||110≥=-=-x x x x故1}|||inf{||),(00≥∈-=M x x x M x d对于)0,1(0=w ,有1||||00=-w x .因此1}|||inf{||),(00=∈-=M x x x M x d . 但对于)0,0(=u 及)0,1(-=v ,都有1||||||||00=-=-v x u x ,因此0x 在M 的最佳逼 元不唯一.既然上述定理中的最佳逼近元不唯一,那么什么时候才能保证唯一呢？定理2.5.7 设X 是严格凸空间,M 为X 的有限维子空间,X x ∈,则在M 中存在唯一的最佳逼近元,即存在M y ∈0,使得||||inf ||||0y x y x My -=-∈证明 令||||inf y x d My -=∈,假设存在M y y ∈21,, 使得d y x d y x =-=-|||||,||||21则由M y y ∈+221,可知d y y x ≥+-||2||21. 由于d y x y x y y x =-+-≤+-||2||||2||||2||2121,从而d y y x =+-||2||21. 因此1||||,1||||21=-=-d y x d y x ,且1||2/)(||21=-+-dy x d y x .但这与X 的严格凸性。
泛函分析第2章度量空间与赋范线性空间泛函分析是数学中的一个重要分支，研究函数空间上的函数和运算的性质。
在泛函分析中，度量空间和赋范线性空间是两个基本的概念。
本文将介绍这两个概念以及它们的性质。
度量空间是一个集合X，其中定义了一个度量函数d：X×X→R，满足以下条件：1.非负性：对于任意的x，y∈X，有d(x,y)≥0，且当且仅当x=y时，d(x,y)=0；2.对称性：对于任意的x，y∈X，有d(x,y)=d(y,x)；3.三角不等式：对于任意的x，y，z∈X，有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)。
度量函数d可以看作是度量空间X中点之间的距离，由其性质可以推导出许多重要结论。
例如，由三角不等式的性质可以得出X中点列的收敛性质，即对于度量空间X中的点列{x_n}，如果存在x∈X，使得对于任意的ε>0，存在正整数N，当n≥N时，有d(x_n,x)<ε，那么称{x_n}收敛于x。
赋范线性空间是一个向量空间V，其中定义了一个范数函数∥·∥：V→R，满足以下条件：1.非负性：对于任意的x∈V，有∥x∥≥0，且当且仅当x=0时，∥x∥=0；2. 齐次性：对于任意的x∈V和实数a，有∥ax∥=，a，∥x∥；3.三角不等式：对于任意的x，y∈V，有∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥。
范数函数∥·∥可以看作是赋范线性空间V中向量的长度或大小，具有度量空间的部分性质，如非负性和齐次性。
范数函数还满足一条重要的性质，即∥x+y∥≥，∥x∥-∥y∥，这被称为三角不等式强化定理。
度量空间和赋范线性空间都具有一些不同的性质和概念。
例如，度量空间中存在序列的收敛性质，而赋范线性空间中存在序列的收敛性质以及序列的Cauchy性质。
同时，度量空间和赋范线性空间都可以构建拓扑结构，使其成为一个拓扑空间。
在拓扑空间中，点列的收敛性质和序列的Cauchy性质是等价的。
此外，度量空间和赋范线性空间都是完备的，即满足序列的Cauchy 性质的序列都收敛于空间中的一些点。
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
第2章度量空间与赋范线性空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念。
事实上，它是n 维欧几里得空间n R 的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。
它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。
因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。
度量空间的基本概念距离（度量）空间的概念在微积分中，我们研究了定义在实数空间R 上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R 上现有的距离函数d ，即对y x y x d R y x -=∈),(,,。
度量是上述距离的一般化：用抽象集合X 代替实数集，并在X 上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。
【定义】 设X 是一个非空集合，),(••ρ：[)∞→⨯,0X X 是一个定义在直积X X ⨯上的二元函数，如果满足如下性质：（1） 非负性 y x y x y x X y x =⇔=≥∈0,(,0),(,,ρρ； （2） 对称性 ),(),(,,x y y x X y x ρρ=∈（3） 三角不等式 ),(),(),(,,,y z z x y x X z y x ρρρ+≤∈；则称),(y x ρ是X 中两个元素x 与y 的距离（或度量）。
此时，称X 按),(••ρ成为一个度量空间（或距离空间），记为),(ρX 。
`注：X 中的非空子集A ，按照X 中的距离),(••ρ显然也构成一个度量空间，称为X 的子空间。
当不致引起混淆时，),(ρX 可简记为X ,并且常称X 中的元素为点。
例 离散的距离空间设X 是任意非空集合，对X 中任意两点,,x y X ∈令1 (,)0 x yx y x y ρ≠⎧=⎨=⎩显然，这样定义的),(••ρ满足距离的全部条件，我们称(,)X ρ是离散的距离空间。
这种距离是最粗的。
它只能区分X 中任意两个元素是否相同，不能区分元素间的远近程度。
泛函分析知识点 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-泛函分析知识点知识体系概述（一）、度量空间和赋范线性空间第一节度量空间的进一步例子1.距离空间的定义：设X是非空集合，若存在一个映射d：X×X→R，使得∀x,y,z∈X,下列距离公理成立：（1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0⇔x=y;（2）对称性：d(x,y)=d(y,x);（3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x与y的距离，X为以d为距离的距离空间，记作（X，d）2.几类空间例1离散的度量空间例2序列空间S例3有界函数空间B(A)例4可测函数空M(X)例5C[a,b]空间即连续函数空间例6l2第二节度量空间中的极限，稠密集，可分空间1.开球定义设（X,d）为度量空间，d是距离，定义U(x0,ε)＝{x∈X|d(x,x0)<ε}为x0的以ε为半径的开球，亦称为x0的ε一领域.2. 极限定义若{x n }⊂X,∃x ∈X,s.t.()lim ,0n n d x x →∞=则称x 是点列{x n }的极限. 3. 有界集定义若()(),sup ,x y Ad A d x y ∀∈=<∞，则称A 有界4. 稠密集定义设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M 表示M 的闭包，如果E M ⊂,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。
5. 可分空间定义如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。
第三节连续映射1.定义设X=(X,d),Y=(Y,~d )是两个度量空间，T 是X 到Y 中映射，x0X ∈,如果对于任意给定的正数ε，存在正数0δ>，使对X 中一切满足()0,d x x δ< 的x ，有()~0,d Tx Tx ε<，则称T 在0x 连续.2.定理1设T 是度量空间（X,d ）到度量空间~Y,d ⎛⎫ ⎪⎝⎭中的映射，那么T 在0x X ∈连续的充要条件为当()0n x x n →→∞时，必有()0n Tx Tx n →→∞3.定理2度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像1T M -是X 中的开集.第四节柯西（cauchy ）点列和完备度量空间1.定义设X=(X,d)是度量空间，{}n x 是X 中点列，如果对任意给定的正数0ε>，存在正整数()N N ε=,使当n,m>N 时，必有(),n m d x x ε<，则称{}n x 是X 中的柯西点列或基本点列。
泛函中四大空间的认识第一部分我们将讨论线性空间，在线性空间的基础上引入长度和距离的概念，进而建立了赋范线性空间和度量空间。
在线性空间中赋以“范数”，然后在范数的基础上导出距离，即赋范线性空间，完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。
范数可以看出长度，赋范线性空间相当于定义了长度的空间，所有的赋范线性空间都是距离空间。
在距离空间中通过距离的概念引入了点列的极限，但是只有距离结构、没有代数结构的空间，在应用过程中受到限制。
赋范线性空间和内积空间就是距离结构与代数结构相结合的产物，较距离空间有很大的优越性。
赋范线性空间是其中每个向量赋予了范数的线性空间，而且由范数诱导出的拓扑结构与代数结构具有自然的联系。
完备的赋范线性空间是Banach 空间。
赋范线性空间的性质类似于熟悉的n R ，但相比于距离空间，赋范线性空间在结构上更接近于n R 。
赋范线性空间就是在线性空间中，给向量赋予范数，即规定了向量的长度，而没有给出向量的夹角。
在内积空间中，向量不仅有长度，两个向量之间还有夹角。
特别是定义了正交的概念，有无正交性概念是赋范线性空间与内积空间的本质区别。
任何内积空间都赋范线性空间，但赋范线性空间未必是内积空间。
距离空间和赋范线性空间在不同程度上都具有类似于n R 的空间结构。
事实上，n R 上还具有向量的内积，利用内积可以定义向量的模和向量的正交。
但是在一般的赋范线性空间中没有定义内积，因此不能定义向量的正交。
内积空间实际上是定义了内积的线性空间。
在内积空间上不仅可以利用内积导出一个范数，还可以利用内积定义向量的正交，从而讨论诸如正交投影、正交系等与正交相关的性质。
Hilbert 空间是完备的内积空间。
与一般的Banach 空间相比较，Hilbert 空间上的理论更加丰富、更加细致。
1 线性空间（1）定义：设X 是非空集合，K 是数域，X 称为数域上K 上的线性空间，若,x y X ∀∈，都有唯一的一个元素z X ∈与之对应，称为x y 与的和，记作z x y =+,x X K α∀∈∈，都会有唯一的一个元素u X ∈与之对应，称为x α与的积，记作u x α=且,,x y z X ∀∈，,K αβ∈，上述的加法与数乘运算，满足下列8条运算规律：10 x y y x +=+20 ()()x y z x y z ++=++30 在X 中存在零元素θ，使得x X ∀∈，有x x θ+=40 x X ∀∈，存在负元素x X ∀-∈，使得()x x θ+-=50 1x x ⋅=60 ()()x x αβαβ=70 ()+x x x αβαβ+=80 ()x y x y ααα+=+当K R =时，称X 为实线性空间；当K C =时，称X 为复线性空间（2）维数：10 设X 为线性空间，12,,,n x x x X ∈ 若不存在全为0的数12,,,n K ααα∈ ，使得11220n n x x x ααα+++=则称向量组12,,,n x x x 是线性相关的，否则称为线性无关。
泛函分析课程提纲第一章，度量空间度量空间及其附属概念：距离、收敛、极限、Cauchy列、完备性、完备化、列紧性。
一般的拓扑空间上，可以定义收敛序列、领域、闭包、稠密性、可分性、连续映射、紧性等概念。
度量空间依所给的度量，自然成为一个拓扑空间，其相应的如上概念可以用度量重新给出定义。
要求：理解这些概念和定义，会利用这些概念和定义对一些具体的例子进行验证或否定。
理解度量空间的完备化操作。
度量空间上的列紧性与自列紧性，ϵ-网，完全有界集，列紧性与完全有界性之间的关系，度量空间上自列紧性与紧性的等价性。
要求：学会运用这些命题证明度量空间上某些集合的列紧性、完全有界性或紧性。
理解这部分几个命题的证明和技巧(Hausdorff定理)。
连续函数空间的性质：完备性，等度连续与列紧集的刻画，Arzela-Ascoli定理。
要求：理解并会运用这些性质。
度量空间上的压缩映射以及Banach不动点定理。
要求：理解压缩映射，并会运用不动点定理。
第二章，赋范向量空间基本概念：向量空间（又称线性空间），拓扑向量空间，向量空间上的范数、半范数，Banach 空间，闭单位球的列紧性与有限维。
要求：理解并会验证这些概念和定义，掌握一些常见Banach空间的例子和不完备的赋范空间例子，并会验证它们相应的完备性和不完备性。
赋范线性空间上的线性算子和线性泛函的定义，线性算子的连续性和有界性，算子的范数，算子收敛。
有界线性算子空间的完备性，对偶空间及其性质。
要求：理解这些概念和定义，会推导并运用相关性质。
三、内积空间和Hilbert空间基本概念和定义：线性空间上的内积，内积空间，Hilbert空间，正交，集合之间的距离相关性质和定理：Schwarz不等式，极化恒等式，平行四边形公式，Hilbert空间上的最优逼近，正交分解定理，正交规范集(标准正交集)及其完备性、封闭性，Bessel不等式，Parseval 恒等式，可分Hilbert空间中完备正交规范集的存在性与Gram-Schmidt正交化，Riesz表示定理及其应用。
泛函分析论文泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。
泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。
使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。
巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。
一、度量空间和赋范线性空间1、度量空间现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。
19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。
20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念。
度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。
这个空间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。
定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。
若对于任何x,y,z 属于X，有（I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当 x = y；（II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)；（III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z）则称d为集合X的一个度量（或距离）。
称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。
2、赋范线性空间从现代观点来看，泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。
这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。
这类空间是量子力学数学描述的基础。
更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。
泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线性算子。
这类算子可以导出C*代数和其他算子代数的基本概念。
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间nR （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
第一章 预备知识第一节 极限点和闭集一、极限点1、 定义：极限点：假设：=R 度量空间，R A =中的点集，R x ∈0 如果：对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O都有：∅≠-A x x O I }){)((00ε，则称：A x =0的极限点2、 性质⑴、性质：内点是极限点，孤立点不是极限点⑵、证明：A x =0的内点0x ∃⇒的一个-*ε环境A x O ⊂*)(0ε，对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O①如果*εε≥：A x x O A x x O I I }){*)((}){)((0000-⊃-εε，，∅≠-=}{*)(00x x O ε，②如果*εε<：∅≠-=-}{)(}){)((0000x x O A x x O εε，，I⑶、归纳：点=内点+边缘点+孤立点，极限点=内点+边缘点3、 等价定理⑴、定理：假设：=R 度量空间，R A =中的点集，R x ∈0①、A x =0的极限点②、00x x x x A x n n n →≠∈∃，，③、∃各不相同的00x x x x A x n n n →≠∈，，④、对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的无穷多个点⑵、证明：②①⇒A x =0的极限点⇒对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O ，都有∅≠-A x x O I }){)((00ε，⇒对于0x 的任何一个-ε环境)1(0n x O ，，都有∅≠-A x nx O I }){)1((00， A x nx O x n I }){)1((00-∈∃⇒， A x x x nx O x n n n ∈≠∈∃⇒，，，00))1(( 在度量空间中，0lim 00=⇔→∞→），（x x x x n n n ρ 00x x x x A x n n n →≠∈∃⇒，，⑶、证明：③②⇒00x x x x A x n n n →≠∈∃，，反证法：假设}{n x 含有有限多个不同的点00x x x n ∃⇒≠的一个-ε环境)(0ε，x O ，)(0ε，x O x n ∉【剔除有限个点】 但是⇒→0x x n 对于00>∃>∀N ，ε，当N n >时，)(0ε，x O x n ∈⇒矛盾}{n x ⇒含有无穷多个不同的点∃⇒各不相同的子点列}{k n x⑷、证明：④③⇒∃各不相同的00x x x x A x n n n →≠∈，，对于0x 的任何一个环境)(0x O)(00x O x =⇒的内点0x ∃⇒的一个-ε环境)()(00x O x O ⊂ε，⇒→0x x n 对于00>∃>∀N ，ε，当N n >时，)(0ε，x O x n ∈ N ∃⇒，当N n >时，)()(00x O x O x n ⊂∈ε，)(0x O ⇒含有无穷多个n x )(0x O ⇒含有A 的无穷多个点【A x n ∈】⑸、证明：①④⇒对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的无穷多个点⇒0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O ，含有A 的无穷多个点⇒}{)(00x x O -ε，，含有A 的无穷多个点∅≠-⇒A x x O I }){)((00ε，二、闭集1、 基本概念⑴、定义：A A ='的导集A =的所有极限点 ⑵、定义：A A =的闭包'A A Y =⑶、定义：=A 闭集，如果A A ⊂'2、 分析⑴、=A 内点+边缘点+∈)(A 孤立点⑵、='A 内点+边缘点=内点+边缘点+∈)(A 边缘点)(A ∉ ⑶、=A 内点+边缘点+孤立点3、 等价定理⑴、定理：假设：=R 度量空间，R A =中的点集，R x ∈0 ①、A x ∈0②、对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的点③、0x x A x n n →∈∃，⑵、证明：②①⇒A x A A x A x ∈⇒∈⇒∈000'Y 或者'0A x ∈如果：⇒∈A x 0对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的点 如果：A x A x =⇒∈00'的极限点⇒对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的无穷多个点⑶、证明：③②⇒对于0x 的任何一个环境)(0x O ，含有A 的点⇒对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O ，含有A 的点⇒对于0x 的任何一个-ε环境)1(0nx O ，，含有A 的点 )1(0nx O x A x n n ，，∈∈∃⇒ 0x x A x n n →∈∃⇒，⑷、证明：①③⇒0x x A x n n →∈∃，如果：A x A x ∈⇒∈00如果：000x x x x A x A x n n n →≠∈∃⇒∉，，A x =⇒0的极限点A x A x ∈⇒∈⇒00'4、 核心定理⑴、定理：=A 闭集A x x x A x n n ∈⇒→∈∀⇔00，⑵、证明：①必要性：反证法：假设A x ∉0000x x x x A x A x n n n →≠∈⇒∉，，A x =⇒0的极限点'0A x ∈⇒=A 闭集A A ⊂⇒'⇒∈⇒A x 0矛盾②充分性：反证法：假设≠A 闭集≠A 闭集A x A x A A ∉∈∃⇒⊄⇒，''A x A x =⇒∈'的极限点x x x x A x n n n →≠∈∃⇒，，⇒⊂⇒A x 矛盾5、 性质 ⑴、性质：=A A ，'闭集⑵、证明：='A 闭集')''(00A x A x =⇒∈∀的极限点⇒对于0x 的任何一个-ε环境)(0ε，x O ，都有∅≠-'}){)((00A x x O I ε， ')('}){)((0000A y x y x O y A x x O y ∈≠∈∃⇒∅≠-∈∃⇒，，，，εεI A y A y =⇒∈'的极限点⇒对于y 的任何一个-δ环境)(δ，y O ，∅≠-A y y O I }){)((δ，构造))0()0(min(y x y x ，，，ρερδ-=y ⇒的-δ环境)(δ，y O 满足： ①：)()(0εδ，，x O y O ⊂②：)(0δ，y O x ∉③：∅≠-A y y O I }){)((δ，A x y x y O x A y y O x ∈≠∈∃⇒∅≠-∈∃⇒，，，，)(}){)((δδI ∅≠-⇒∈≠∈∃⇒A x x O A x x x x O x I }){)(()(0000εε，，，，A x =⇒0的极限点=⇒⊂⇒∈⇒')''(''0A A A A x 闭集 ⑶、证明：=A 闭集：证明同上6、 性质⑴、性质：⊂A 闭集F A F ⊂⇒⑵、证明：①：首先证明：⊂A 闭集''F A F ⊂⇒A x A x =⇒∈∀'的极限点⇒对于x 的任何一个-ε环境)(ε，x O ，都有∅≠-A x x O I }){)((ε，⇒对于x 的任何一个-ε环境)(ε，x O ，都有∅≠-F x x O I }){)((ε， F x =⇒的极限点'''F A F x ⊂⇒∈⇒②：=F 闭集F F ⊂⇒'F A A F A A F A ⊂⇒⊂⇒⊂⇒Y Y ''⑶、推论：=A 包含A 的最小闭集⑷、证明：假设：=*A 包含A 的最小闭集=A 闭集，⇒⊂A A =A 包含A 的闭集A A ⊂⇒*【最小】=*A 包含A 的闭集=⇒*A 闭集，**A A A A ⊂⇒⊂【定理】 A A =⇒*7、 性质⑴、性质：=A 闭集A A =⇔⑵、证明：①必要性：=A 闭集A A A A A A A A ⊂⇒⊂⇒⊂⇒Y Y '' A A A A A ⊂⇒='YA A =⇒ ②充分性：=⇒⊂⇒=⇒=A A A A A A A A ''Y 闭集8、 基本概念⑴、定义：如果：=R 赋范线性空间，R A =中的点集则称：==)()(A span A L 由A 张成的线性子空间A =中向量的所有可能的线性组合 ⑵、定义：==)()(A span A L 由A 张成的闭线性子空间第二节 Holder 不等式和Minkowski 不等式1、 定义：共轭指标：如果：1>q p ，并且：111=+qp 则称：=q p ，一对共轭指标2、 引理 ⑴、公式：q p b qa p ab 11+≤ 其中：=q p ，一对共轭指标，1>b a ， ⑵、证明：1)1)(1(111=--⇒+=⇒=+q p q p pq qp 假设：1111---==⇒=q p p y yx x y q p b q a p b q a p dy y dx x ab 110101+=+≤⇒⎰⎰--3、 Holder 不等式 ⑴、公式：qnk q k pnk pk nk kky x yx 11111)||()||(||∑∑∑===≤其中：=q p ，一对共轭指标，)n 21(，，，，Λ=∈k R y x k k 【实数点列】⑵、证明： ①：如果：0||1=∑=nk pkx或者0||1=∑=nk q k y 0=⇒k x 或者⇒=0k y 结论成立②：否则：令qnk q k k k pn k p k k k y y b x x a 1111)||(||)||(||∑∑====，∑∑∑∑====+=+=⇒nk q k qk n k p k p k q k p k qn k q k p n k p k k k k k y y qx x p b q a p y x y x b a 111111||||1||||111)||()||(||， ∑∑∑∑====+≤⇒nk q k qk n k p k p k q n k q k p n k p k k k y y q x x p y x y x 111111||||1||||1)||()||(||111||||1||||1)||()||(||111111111=+=+≤⇒∑∑∑∑∑∑∑=======qp yy qx x py x yx nk qknk qkn k pk nk pkqnk q k pnk p k nk kkqnk q k pnk pk n k k k y x y x 11111)||()||(||∑∑∑===≤⇒4、 Minkowski 不等式 ⑴、公式：pnk pk pnk pk pnk pk ky x y x111111)||()||()||(∑∑∑===+≤+其中：1>p ，)n 21(，，，，Λ=∈k R y x k k⑵、证明：令p q =的共轭指标∑∑∑∑=-=-=-=+++≤++=+nk p k k k nk p k k k nk p k k k k nk pk ky x y y x x y x y x y x1111111||||||||||||||qnk q k pnk p k nk kky x yx 11111)||()||(||∑∑∑===≤qnk p k k pnk pk qnk p q k k pnk pk nk p k k k y x x y x x y x x 111111)1(1111)||()||()||()||(||||∑∑∑∑∑===-==-+=+≤+⇒qnk p k k pnk p k qnk p q k k pnk p k nk p k k ky x y y x y y x y111111)1(1111)||()||()||()||(||||∑∑∑∑∑===-==-+=+≤+qnk p k k pnk p k qnk p k k pnk p k nk pk k y x y y x x y x 111111111)||()||()||()||(||∑∑∑∑∑=====+++≤+⇒pnk p k pnk p k qn k p k k nk pk ky x y x y x1111111)||()||()||(||∑∑∑∑====+≤++⇒pnk pk pnk pk pnk pk k y x y x 111111)||()||()||(∑∑∑===+≤+⇒5、 积分形式的Holder 不等式和Minkowski 不等式⑴、Holder 不等式qbaq pbapb adx x g dx x f dx x g x f 11)|)(|()|)(|(|)()(|⎰⎰⎰≤⑵、Minkowski 不等式pbap pbap bapp dx x g dx x f dx x g x f 111)|)(|()|)(|()|)()(|(⎰⎰⎰+≤+第三节 ][b a L p，和pl一、定义1、 定义：}|)(||)({][+∞<=⎰bappdx x f x f b a L ，2、 定义：}|||{1+∞<=∑+∞=n p nn pxx l二、线性空间1、 性质：=][b a L p，线性空间⑴、思路：①：定义加法：函数相加，定义数乘：函数数乘②：两种运算保持封闭 ③：满足8条规则⑵、证明：加法封闭：][)()(][)()(b a L x g x f b a L x g x f pp，，，∈+⇒∈∀⎰⎰≤+bap bap dx x g x f dx x g x f |)])(|)(m ax (|2[|)()(|，⎰⎰+≤=bap ppba p pdx x g x f dx x g x f ]|)(||)([|2|)])(|)([m ax (|2，+∞≤+≤⎰⎰b ap p b ap p dx x g dx x f |)(|2|)(|22、 性质：=pl 线性空间⑴、思路：定义加法：数列相加，定义数乘：数列数乘 ⑵、证明：同上三、赋范线性空间1、 性质：=][b a L p，赋范线性空间⑴、定义：pba pp dx x f f 1)|)(|(||||⎰=⑵、证明：满足范数的3条性质①：齐次性：p pbappbapp f dx x f dx x f f ||||*||)|)(|(||)|)(|(||||11αααα===⎰⎰②：三角不等式：p p p g f g f ||||||||||||+=+【Minkowski 不等式】③：正定性：0)|)(|||||1≥=⎰pbapp dx x f f0)(0)|)(|(0||||1=⇔=⇔=⎰x f dx x f f pb ap p2、 性质：=pl 赋范线性空间 ⑴、定义：pn p nn xx 11)||(||||∑∞+==⑵、证明：同上四、Banach 空间1、性质：=ppl b a L 、，][Banach 空间 2、证明：详见夏道行P61五、Hilbert 空间1、 性质：=][2b a L ，Hilbert 线性空间 ⑴、定义：⎰>=<ba dx x g x f x g x f )()()()(，⑵、证明：满足内积的3条性质 ①：共轭对称性：><==>=<⎰⎰)()()()()()()()(x f x g dx x f x g dx x g x f x g x f baba，，②：第一变元的线性：⎰+>=+<badx x z x g x f x z x g x f )()]()([)()()(βαβα，⎰⎰+=babadx x z x g dx x z x f )()()()(ββα><+><=)()()()(x z x g x z x f ，，βα③：正定性：0|)(|)()()()(2≥=>=<⎰⎰babadx x f dx x f x f x f x f ，0)(0|)(|0)()(2=⇔=⇔>=<⎰x f dx x f x f x f ba，2、 性质：=2l Hilbert 线性空间 ⑴、定义：∑+∞=>=<1n n nn n y xy x ，⑵、证明：同上3、 性质：)2(][≠p l b a L pp 、，不是Hilbert 空间第二章 Hilbert 空间第一节 极限和连续性1、 度量空间⑴、定义：0)(lim 00=⇔→→∞x x x x n n n ，ρ⑵、性质：距离)(y x ，ρ的连续性：)()(lim 0000y x y x y y x x n n n n n ，，，ρρ=⇒→→∞→2、 赋范线性空间⑴、定义：0||||lim 00=-⇔→∞→x x x x n n n⑵、性质：范数||||x 的连续性：||||lim ||||lim 00x x x x n n n n ∞→∞→=⇒→3、 内积空间⑴、定义：0||||lim 00=-⇔→∞→x x x x n n n 【利用内积定义范数，再利用范数定义极限】⑵、性质：内积)(y x ，的连续性：)()(lim 0000y x y x y y x x n n n n n ，，，=⇒→→→∞第二节 投影定理一、正交和投影1、 基本概念⑴、定义：0)(=⇔⊥y x y x ，⑵、定义：⇔⊥M x 对于0)(=∈∀y x M y ，，⑶、定义：⇔⊥N M 对于0)(=∈∀∈∀y x N y M x ，，， ⑷、定义：=⊥M 所有与M 正交的向量2、 基本性质：M x M x ⊥⇔∈⊥3、 性质⑴、性质：x y y x ⊥⇒⊥⑵、证明：x y x y y x y x ⊥⇒=⇒=⇒⊥0)(0)(，，⑶、性质：0=⇒⊥x H x⑷、证明：00)(=⇒=⇒∈⊥x x x H x H x ，，⑸、性质：⊥⊥⊂⇒⊂M N N M⑹、证明：⇒⊥⇒∈∀⊥N x N x 对于0)(=∈∀y x N y ，，⇒⊂N M 对于⊥∈⇒⊥⇒=∈∀M x M x y x M y 0)(，，⑺、性质：{0}=⊥MM I⑻、证明：00)(=⇒=⇒∈∈⇒∈∀⊥⊥x x x M x M x M M x ，，I⑼、性质：勾股定理：222||||||||||||y x y x y x +=+⇒⊥⑽、证明：)()()()()(||||2y y x y y x x x y x y x y x ，，，，，+++=++=+ 0)(0)(==⇒⊥x y y x y x ，，，222||||||||)()(||||y x y y x x y x +=+=+⇒，，4、 正交补定理⑴、定理：⊂M 内积空间H H M =⇒⊥的闭线性子空间⑵、证明：①：=⊥M 线性子空间 两种运算封闭：⊥⊥∈+⇒∈∀M y x M y x ，0)(=⇒∈∈∀⊥z x Mx M z ，，0)(=⇒∈⊥z y M y ，⊥∈+⇒⊥+⇒⊥+⇒=+⇒M y x M y x z y x z y x 0)(，②：=⊥M 闭集假设：0x x M x n n →∈∀⊥，⇒⊥⇒∈∀⊥M x M x n n 对于0)(=∈∀y x M y n ，，根据内积的连续性0)()(lim 0==⇒∞→y x y x n n ，，=⇒∈⇒⊥⇒⊥⇒⊥⊥M M x M x y x 000闭集⑶、推论：⊂M 内积空间H ⊥⊥=⇒M M span )( ⑷、证明：①：⊥⊥⊂⇒⊂M M span M span M )()(②：⊥⊥⊥⊂⇒⊂⇒∈∀}{}{x M M x Mx⊥⊂⇒}{)(x M span 【=⊥}{x 线性子空间，线性运算封闭】⊥⊂⇒}{)(x M span 【=⊥}{x 闭集，最小闭集】⊥⊥⊥⊥⊂⇒∈⇒⊂⇒)()()(}{M span M M span x M span x5、 投影⑴、定义：投影：假设：=M 内积空间H 的线性子空间如果：对于H x ∈，存在：⊥∈∈M x M x 10，使得：10x x x +=， 则称：x x =0在M 上的投影⑵、关键：投影投在线性子空间⑶、性质：x x =0在M 上的投影⊥∈-∈⇒M x x M x 00，⑷、性质：投影不一定存在，如果存在必定唯一⑸、证明：假设：x x =0在M 上的投影⊥∈-∈⇒M x x M x 00，x x ='0在M 上的投影⊥∈-∈⇒M x x M x ''00，=M 线性子空间M x x ∈-⇒'00=⊥M 闭线性子空间⊥⊥∈-⇒∈---⇒M x x M x x x x ')'()(0000'0)''(000000x x x x x x =⇒=--⇒，6、 最佳逼近⑴、定理：假设：=M 内积空间H 的线性子空间 如果：H x ∈，x x =0在M 上的投影 那么：||||||||inf 0x x y x My -=-∈并且：M x =0上使等式成立的唯一向量⑵、思想：①：利用M 上的变元y ，来逼近H 中的x②：如果存在投影，则最佳逼近等于投影⑶、证明：①x x =0在M 上的投影M x x M x ⊥-∈⇒00， y x x x M y x M x M y -⊥-⇒∈-⇒∈∈∀0000，2020200||||||||||||y x x x y x x x -+-=-+-⇒【勾股定理】 20202||||||||||||y x x x y x -+-=-⇒||||||||inf ||||||||||||||||00202x x y x x x y x x x y x My -≥-⇒-≥-⇒-≥-⇒∈②唯一性：假设：M y =0上使等式成立的向量 ||||||||00x x y x -=-⇒0020020200||||||||||||x y y x x x y x =⇒=-⇒-=-⇒二、投影定理1、 变分引理【极值可达】⑴、定义：x 到M 的距离||||inf )(y x M x d d My -===∈，⑵、性质：完备⇔闭集，线性子空间⇒凸集⑶、定理：假设：=M 内积空间H 的完备凸集如果：H x ∈那么：存在唯一的M x ∈0，使得d x x =-||||0 ⑷、关键：①：x 到M 的距离②：完备凸集则极值可达⑸、证明：①：点列||||inf y x d My -=∈⇒存在点列M x n ⊂}{，d x x n n =-∞→||||lim②：基本点列平行四边形公式：2222||||2||||2||||||||y x y x y x +=-++2222||2||2||2||2||||||||x x x x x x x x x x x x n m n m n m +--+-+-=-+-⇒2222||2||2||2||2||||||||n m n m n m x x x x x x x x x -+-+=-+-⇒2222||2||2||||||||||2||2x x x x x x x x x nm n m n m -+--+-=-⇒=M 凸集d x x x M x x nm n m ≥+-⇒∈+⇒||2||222222||||||||||2||2d x x x x x x n m n m --+-≤-⇒22222||||lim ||||lim ||2||2lim 0d x x x x x x n m n m m n n m m n --+-≤-≤⇒∞→∞→∞→，，，⇒=-⇒∞→0||||lim 2n m m n x x ，=}{n x 基本点列③：收敛点列=M 完备=⇒}{n x 收敛点列0x x n →⇒④：存在性=M 完备⇒=M 闭集，M x n ∈，M x x x n ∈⇒→00根据范数的连续性d x x x x n n =-=-⇒∞→||||||||lim 0⑤：唯一性假设存在M y ∈0，使得d y x =-||||0构造点列：}{}{0000Λ，，，，y x y x z n = =⇒=-⇒=-⇒∞→}{||||lim ||||n n n n z d z x d z x 基本点列【证明同上】0||||lim 0||||lim 0||||lim 001=-⇒=-⇒=-⇒∞→+∞→∞→y x z z z z n n n n m n m n ，00000||||x y y x =⇒=-⇒2、 投影引理⑴、定理：假设：=M 内积空间H 的线性子空间 H x ∈，M x ∈0 如果：d x x =-||||0 那么：M x x ⊥-0 ⑵、思想：极值可达点正交⑶、证明：⇒∈≠∀M z 0对于λ∀，M z x ∈+λ0220220||||||)(||d z x x d z x x ≥--⇒≥+-⇒λλ )(||||0020z x x z x x z x x λλλ----=--，22020||||||)}(Re{2||||z z x x x x λλ+---=， 令2020||||)(||||)(z z x x z z x x ，，-=⇒-=λλ 2202002020||||||||)(||||)()(||||)(2||||z z z x x z z x x z x x z z x x x x ，，，，--+----⇒ 22020||||||)(||||||z z x x x x ，---= 0||||||)(||||||||)(||||||220222020=-⇒≥---⇒z z x x d z z x x x x ，， M x x z x x z x x ⊥-⇒⊥-⇒=-⇒0000)(，3、 投影定理⑴、定理：如果：=M 内积空间H 的完备线性子空间 那么：对于H x ∈∀存在：M x M x ⊥∈10，，使得：10x x x +=⑵、思想：任意向量x 在M 上的投影，存在并且唯一⑶、证明：①存在性：变分引理M x ∈∃⇒0，使得d x x =-||||0 投影引理M x x ⊥-⇒0 构造01x x x -=M x ⊥⇒1②唯一性：参见变分引理4、 推论⑴、推论：如果：=M 内积空间H 的完备线性子空间 那么：⊥⇒≠M H M 含有非零元素 ⑵、证明：M x H x M H x H M ∉∈∃⇒-∈∃⇒≠，投影定理⇒投影存在⇒假设x x =0在M 上的投影⊥∈-⇒M x x 0000≠-⇒∈∉⇒x x M x M x ，第三节 就范正交系一、级数1、 基本概念 ⑴、定义：级数：∑∞=++++=121i i iu u u uΛΛ⑵、定义：部分和：∑==ni in us 1【将级数转换为数列】⑶、定义：收敛级数：如果s s n n =∞→lim ，则称∑∞=1i iu收敛2、 基本性质 ⑴、性质：∑∞=1i iu收敛s s u un n ni i n i i===⇒∞→=∞→∞=∑∑lim lim 11⑵、性质：∑∞=1i iu收敛0lim =⇒∞→i n u 【1--=i i i s s u 】⑶、性质：Cauchy 收敛原理∑∞=1i iu收敛⇔对于00>∃>∀N ，ε，当N m n >，时，ε<∑=||mni iu二、有限正交系1、 基本概念⑴、定义：正交系：假设：=F 内积空间H 的一族非零向量 如果：对于F y x ∈∀，，都有：0)(=y x ， 则称：=F 正交系⑵、定义：就范正交系：如果：=F 正交系并且：对于F x ∈∀，都有：1||||=x 则称：=F 就范正交系2、 基本性质⑴、性质：假设：=}{21n e e e ，，，Λ内积空间H 中的就范正交系 如果：H x ∈，∑==ni iie e x x 10)(，那么：)()(0i i e x e x ，，=⑵、证明：)())(())(())(((10iiiiiiinj ijji e x e e e x e e e x e e e x e x ，，，，，，，），====∑=3、 定理⑴、定理：假设：=}{21n e e e ，，，Λ内积空间H 中的就范正交系 如果：H x ∈，∑==ni iie e x x 10)(，，}{21ne e e span M ，，，Λ= 那么：x x =0在M 上的投影 并且：∑==ni ie x x 1220|)(|||||，，20202||||||||||||x x x x -+=⑵、证明：①：M x ∈0②：∑==⇒∈⇒∈∀ni i i n e y e e e span y M y 121}{α，，，Λ0)()()(10100=-=-=-⇒∑∑==ni i i ni i i e x x e x x y x x ，，，ααM x x y x x ⊥-⇒⊥-⇒00x x =⇒0在M 上的投影 ③：))(()(||||100020∑===ni i i e e x x x x x ，，，21110|)(|)()()()(∑∑∑======ni i ni i i ni i i e x e x e x e x e x ，，，，，④：0000x x x M x x M x ⊥-⇒⊥-∈，【勾股定理】20202002||||||||||||||||x x x x x x x -+=-+=⇒4、 推论⑴、性质：如果：=}{21n e e e ，，，Λ就范正交系，H x ∈ 那么：∑=≥ni i e x x 122|)(|||||， ⑵、证明：∑==≥⇒-+=ni ie x x x x x x x 1220220202|)(|||||||||||||||||||||，⑶、性质：如果：=}{21n e e e ，，，Λ就范正交系，H x ∈ 那么：对于i α∀，||)(||||||11∑∑==-≥-ni iin i ii e e x x e x ，α⑷、证明：假设：∑==ni iie e x x 10)(，，}{21ne e e span M ，，，Λ= x x =⇒0在M 上的投影假设：M y ey ni ii ∈⇒=∑=1α根据最佳逼近定理||||||||inf 0x x y x My -=-⇒∈||||||||0x x y x -≥-⇒||)(||||||11∑∑==-≥-⇒ni i i n i i i e e x x e x ，α三、无限正交系1、 Bessel （贝塞尔）不等式⑴、定理：如果：=∈}|{N i e i 内积空间H 中的就范正交系 那么：对于H x ∈∀，∑∞=≥122|)(|||||i ie x x ，⑵、证明：=∈}|{N i e i 就范正交系⇒对于n ∀，=}{21n e e e ，，，Λ就范正交系 ∑=≥⇒ni i e x x 122|)(|||||，【单调递增，必有极限】∑∑∞==∞→≥⇒≥⇒122122|)(||||||)(|lim ||||i i n i i n e x x e x x ，，2、 性质⑴、性质：如果：=∈}|{N i e i 内积空间H 中的就范正交系 那么：对于H x ∈∀，0)(lim =∞→i i e x ，⑵、证明：对于H x ∈∀，⇒≥∑∞=122|)(|||||i ie x x ，∑∞=12|)(|i i e x ，收敛0)(lim 0|)(|lim 2=⇒=⇒∞→∞→i i i i e x e x ，，四、完备正交系1、 定义：完备正交系：假设：=∈}|{N i e i 内积空间H 中的就范正交系 如果：对于H x ∈∀，都有：∑∞==122|)(|||||i ie x x ，则称：=∈}|{N i e i 完备正交系2、 性质 ⑴、性质：∑∞=1i i i e α收敛y s e en n ni i i n i ii ===⇔∞→=∞→∞=∑∑lim lim 11αα⑵、性质：=⇒∞<∑∑=∞=}{||112ni i i i ie αα基本点列⑶、证明：假设：∑==ni ii n es 1α||||||||1∑+==-⇒mn i i i n m e s s α2111212||)(||||||||∑∑∑∑+=+=+=+====-⇒mn i imn i i i mn i i i mn i ii n m e e e s s αααα，=⇒∞<∑∑∞=∞=1212||||i i i iαα收敛级数=⇒∑=}||{12ni i α基本点列⇒对于00>∃>∀N ，ε，当N m n >，时，εα<∑+=||||12mn i i⇒对于00>∃>∀N ，ε，当N m n >，时，ε<-||||||2n m s s=⇒}{n s 基本点列3、 定义：傅里叶级数：如果：=∈}|{N i e i 就范正交系，H x ∈ 则称：==∑∞=1)(i iiee x x ，傅里叶级数4、 定义：=∈}|{N i e span i 由}|{N i e i ∈张成的线性子空间}|{N i e i ∈=的所有可能的有限个向量的线性组合5、 等价定理⑴、定理：如果：=∈}|{N i e i 就范正交系，}|{N i e span E i ∈= 那么：①E x ∈；②∑∞==122|)(|||||i ie x x ，；③∑∞==1)(i iie e x x ，⑵、证明：②①⇒反证法：假设：∑∞=≠122|)(|||||i ie x x ，E x ∈∃⇒，)0(0|)(|||||2122>>=-∑∞=ααi i e x x ， x x N i e span x N i e span x E x n i n i →∈∈∃⇒∈∈⇒∈，}|{}|{∑==⇒∈∈ni i i n i n e x N i e span x 1}|{α0||||lim 2=-⇒→∞→x x x x n n n⇒对于00>∃>∀N ，ε，当N n >时，ε<-||||x x n⇒对于00>∃>N ，α，当N n >时，α<-||||x x n212122||)(||||||||||||||∑∑==-≥-=->⇒<-ni i i ni i i n n e e x x e x x x x x ，ααα⇒=-≥-=∑∑∞==2212212|)(||||||)(|||||αi i ni i e x x e x x ，，矛盾③②⇒ 21221|)(|||||||)(||∑∑==-=-ni i ni iie x x e e x x ，，]|)(|||[||lim ||)(||lim 21221∑∑=∞→=∞→-=-⇒ni i n ni i i n e x x e e x x ，，212121||)(||||)(lim ||||)(||lim ∑∑∑∞==∞→=∞→-=-=-i i i n i i i n ni iin e e x x e e x x e e x x ，，，0|)(|||||]|)(|||[||lim 212212=-=-=∑∑∞==∞→i i ni i n e x x e x x ，，∑∑∞=∞==⇒=-⇒121)(0||)(||i i i i iie e x x e e x x ，，①③⇒假设：∑==ni iin e e x x 1)(，n n ni i i n i i i x e e x e e x x ∞→=∞→∞====⇒∑∑lim )(lim )(11，，=⇒E 闭集，E x x x E x n n ∈⇒→∈，第四节 Banach 空间的共轭算子一、)(Y X →和)(Y X B →1、 )(Y X →⑴、定义：Y X Y X →=→)(的全体线性算子，其中：=Y X 、线性空间 ⑵、性质：=•+→))((，；；P Y X 线性空间⑶、证明：①：定义加法：)()())((x B x A x B A +=+ 定义数乘：)())((x A x A αα=②：两种运算封闭：)()())((y x B y x A y x B A βαβαβα+++=++)()()()()()()()(y B x B y A x A y B x B y A x A βαβαβαβα+++=+++= ))(())(()()()()(y B A x B A y B y A x B x A +++=+++=βαββαα2、 )(Y X B →⑴、定义：Y X Y X B →=→)(的全体有界线性算子，其中：=Y X 、赋范线性空间 ⑵、性质：=•+→))((，；；P Y X B 赋范线性空间⑶、证明：①：定义算子范数：||||||||sup||||0x Tx T x ≠= ②：算子范数满足范数的3条性质【齐次性，三角不等式，正定性】3、 定理⑴、定理：如果：=X 赋范线性空间，=Y Banach 空间 那么：=→)(Y X B Banach 空间 ⑵、证明：①：假设：)(}{Y X B T n →=的基本点列⇒对于00>∃>∀N ，ε，当N m n >，时，ε≤-||||m n T T⇒对于00>∃>∀∈∀N X x ，，ε，当N m n >，时，||||||||*||||||)(||||||x x T T x T T x T x T m n m n m n ε<-≤-=-【=n T 有界】 =⇒}{x T n 基本点列【固定x 】=⇒}{x T n 收敛点列【=Y 完备】②：定义：算子T ：x T Tx n n ∞→=limY X T →=的算子：=Y 闭集，Y Tx Tx x T Y x T n n ∈⇒→∈，Y X T →=的线性算子：21212121lim lim )(lim )(Tx Tx x T x T x x T x x T n n n n n n +=+=+=+∞→∞→∞→Y X T →=的有界线性算子：||||||||||||||||lim ||||||||x Tx x T x x T x T x x T x T n m n m m n εεε<-⇒<-⇒<-∞→)()()(Y X B T Y X B T Y X B T T n n →∈⇒→∈→∈-⇒，③：εεε<-=-⇒<-⇒<-≠||||||||sup ||||||||||||||||||||0x Tx x T T T x Tx x T x Tx x T n x n n n=⇒→⇒=-⇒∞→n n n n T T T T T 0||||lim 收敛点列二、共轭空间1、 共轭空间⑴、定义：如果：=X 赋范线性空间，X X =*上的全体连续线性泛函则称：X P X =•+)*(，；；的共轭空间⑵、性质：=•+)*(，；；P X 赋范线性空间【实数域=赋范线性空间】2、 二次共轭空间⑴、定义：如果：=*X 赋范线性空间，***X X =上的全体连续线性泛函则称：X P X =•+)**(，；；的二次共轭空间⑵、性质：=•+)**(，；；P X 赋范线性空间3、 基本概念⑴、定义：**x ：)()*(*x f f x =其中：***X x =上的泛函，X x X f ∈∈，*⑵、定义：保范算子：假设：=Y X ，赋范线性空间，Y X U →=的算子 如果：对于X x ∈∀，都有：||||||||x Ux = 则称：Y X U →=的保范算子4、 基本性质⑴、性质：***X x =上的线性泛函⑵、证明：))(()*(*22112211x f k f k f k f k x +=+)*(*)*(*)()(22112211f x k f x k x f k x f k +=+=⑶、性质：***X x =上的有界泛函 ⑷、证明：||||*||||||)(||||)*(*||x f x f f x ≤=⑸、性质：||||||**||x x ≤⑹、证明：||||||||||)*(*||sup ||**||||||||||||)*(*||||||*||||||)*(*||0x f f x x x f f x x f f x f ≤=⇒≤⇒≤≠⑺、性质：***X x =上的保范线性算子 ⑻、证明：未能证明三、共轭算子1、 定义：共轭算子：假设：=Y X ，赋范线性空间，)(Y X B A →∈ 如果：存在***X Y A →=使得：对于*Y h X x ∈∀∈∀，，都有：)())(*(Ax h x h A = 则称：A A =*的共轭算子2、 共轭定理⑴、定理：如果：=Y X ，赋范线性空间那么：对于)(Y X B A →∈∀，共轭算子存在并且唯一 ⑵、证明：①定义：对于*Y h A x ∈∀∈∀，定义X Ax h x A =→=)('上的泛函)()('Ax h x A =⇒②线性：)]()([)]([)('212121x A x A h x x A h x x A +=+=+)(')(')]([)]([2121x A x A x A h x A h +=+=③有界：||||*||||*||||||||*||||||)(||||)('||x A h Ax h Ax h x A ≤≤= ④存在：='A 有界线性泛函*'X A ∈⇒定义**'*X Y A h A →=→=的算子'*A h A =⇒)())(*()()(''*Ax h x h A Ax h x A A h A =⇒==，⑤唯一：假设：)())(()())((*2*1Ax h x h A Ax h x h A ==，))(())((*2*1x h A x h A =⇒【*Y h A x ∈∀∈∀，】*2*1*2*1A A h A h A =⇒=⇒第五节 Hilbert 空间的共轭算子一、连续线性泛函的表示1、 定理⑴、定理：如果：=X 赋范线性空间，X F =上的线性泛函那么：=F 连续F ⇔的零空间===}0)(|{x F x M 闭线性子空间 ⑵、证明：①必要性：假设：x x M x n n →∈∀，=→F x x n ，连续)()(x F x F n →⇒=⇒∈⇒==⇒∞→M M x x F x F n n 0)(lim )(闭集②充分性：反证法：≠F 有界∞=⇒=|)(|sup 1||||x F x⇒存在点列}{n x ，n x F x n n ≥=|)(|1||||， ⇒构造点列}{n y ，M y y F x F xx F x y n n n n n ∈⇒=⇒-=0)()()(11 )()()()(1111n nn n n n x F x x F x y x F x x F x y =+⇒-=|)(|1||)(||||)(||11n n n n x F x F x x F x y ==+⇒ )(0|)(|1lim ||)(||lim 1111x F xy x F x F x y n n n n n -→⇒==+⇒∞→∞→ =M 闭集，M x F xx F x y M y n n ∈-⇒-→∈)()(1111， 但是⇒∉≠-=-M x F x F 01))((11矛盾2、 性质⑴、性质：如果：)()(y x x F y ，=【固定H x H y ∈∀∈，】 那么：=y F 由y 导出的有界线性泛函 并且：||||||||y F y =⑵、证明：①线性：)()(22112211y x k x k x k x k F y ，+=+)()()()(22112211x F k x F k y x k y x k y y +=+=，，②有界：||||*||||||)(||||)(||y x y x x F y ≤=，【固定H y ∈】 ③公式：||||||||)(sup||||||||)(||||*||||||)(||0y x x F F y x x F y x x F y x y y y ≤=⇒≤⇒≤≠||||||||)(||||)()()()(2y y y F y y y y F y x x F y y y =⇒==⇒=，，||||||||y F y =⇒3、 Riesz 定理⑴、定理：如果：=H Hilbert 空间，H F =上的连续线性泛函 那么：存在唯一的H y ∈使得：对于H x ∈∀，都有：)()(y x x F ，= 并且：||||||||y F =⑵、证明：①存在性：假设：}0)(|{==x F x M00=⇒=y FM x H x x F H x F ∉∈∃⇒≠∈∃⇒≠，，0)(0⊥⇒≠⇒M H M 含有非零元素⊥∈≠∃⇒M z z ，0 0)(}0{≠⇒∉⇒=⊥z F M z M M I⇒对于M z z F x F x z z F x F x F H x ∈-⇒=-∈∀)()(0))()((， 2||||)()()()()()(0))()((z z F x F z z z F x F z x z z z F x F x ==⇒=-⇒，，， z z z F y z z z F x z x z z F x F 222||||)()||||)(()(||||)()(=⇒==⇒，， ②唯一性：假设：H y ∈∃，对于H x ∈∀，都有)()(y x x F ，=H z ∈∃，对于H x ∈∀，都有)()(z x x F ，=⇒对于H x ∈∀，z y z y x =⇒=-0)(，否则⇒≠--⇒≠-⇒≠0)(0z y z y z y z y ，矛盾二、共轭算子1、 定理⑴、定理：如果：=H Hilbert 空间，=G 内积空间，)(G H B A →∈ 那么：存在唯一的)(H G B B →∈使得：对于G y H x ∈∀∈∀，，都有：)()(By x y Ax ，，= ⑵、证明：①定义：)()(y Ax x y ，=ϕ【固定H x G y ∈∀∈，】线性：)()()()())(()(21212121x x y Ax y Ax y x x A x x y y y ϕϕϕ+=+=+=+，，， 有界：||||*||||*||||||||*||||||)(||||)(||y x A y Ax y Ax x y ≤≤=，ϕ ||||*||||||||||)(||sup||||||||*||||||||||)(||0y A x x y A x x y x y y ≤=⇒≤⇒≠ϕϕϕH y Ax x y ==⇒)()(，ϕ上的有界线性泛函⇒根据Riesz 定理：存在唯一的H z ∈，使得)()()(z x y Ax x y ，，==ϕ，并且||||||||z y =ϕ②定义：H G z y B →=→=的算子z By =⇒【给定一个y ，得到一个z 】 线性：))(()(2121y y B x y y Ax +=+，，)()()()()()(21212121By By x By x By x y Ax y Ax y y Ax +=+=+=+，，，，，，⇒对于H x ∈∀，21212121)(0))((By By y y B By By y y B x +=+⇒=--+，有界：||||*||||||||||||||||||||||||y A z z By z By y y ≤==⇒=ϕϕ，，||||||||||||sup ||||||||||||||||||||*||||||||0A y By B A y By y A By y ≤=⇒≤⇒≤⇒≠③唯一：假设：)()()()(21y B x y Ax y B x y Ax ，，，，，==2121210)(0))((B B y B B y B B x =⇒=-⇒=-⇒，【G y H x ∈∀∈∀，】2、 共轭算子⑴、定义：假设：=G H ，内积空间，)(*)(H G B A G H B A →∈→∈， 如果：对于G y H x ∈∀∈∀，，都有：)*()(y A x y Ax ，，= 则称：A A =*的共轭算子（伴随算子）⑵、定理：如果：=H Hilbert 空间，=G 内积空间那么：对于)(G H B A →∈∀，存在唯一的)(*H G B A →∈3、 Banach 空间与Hilbert 空间中的共轭算子⑴、性质：在Banach 空间中，**)*(B A B A βαβα+=+ ⑵、证明：)())(*(Ax h x h A =)()()))((())(*)((Bx h Ax h x B A h x h B A βαβαβα+=+=+⇒))(*)*(())(**())(*())(*(x h B A x h B h A x h B x h A βαβαβα+=+=+=⑶、性质：在Hilbert 空间中，**)*(B A B A βαβα+=+ ⑷、证明：)*()(y A x y Ax ，，=)()())(()*)((y Bx y Ax y x B A y B A x ，，，，βαβαβα+=+=+⇒ )*)*(()**()*()*(y B A x y B y A x y B x y A x βαβαβα+=+=+=，，，，4、 性质：假设：=K H ，Hilbert 空间，=G 内积空间 )()(H K B C G H B B A →∈→∈，， ⑴、性质：A A =*)*(⑵、证明：A A Ax y x y A y A x y Ax **)()()*()*()(⇒=⇒=，，，，⑶、性质：||||*||||||||B A AB ≤⑷、证明：||||*||||*||||||||*||||||||x B A Bx A ABx ≤≤||||*||||||||||||sup ||||||||*||||||||||||0B A x ABx AB B A x ABx x ≤=⇒≤⇒≠⑸、性质：)*()(y A Cx y ACx ，，=⑹、证明：)*()()*()(y A Cx y ACx Cx z y A z y Az ，，，，，=⇒==⑺、性质：||*||||||||*||22A A A A ==⑻、证明：①：根据共轭定理：||||||*||||||||||A A A B ≤⇒≤||*||||||||*|||*)*(||||||A A A A A =⇒≤=⇒②：2||||||*||*||||||*||A A A AA =≤对于)*()(||||1||||2x Ax A Ax Ax Ax x H x ，，，==⇒=∈∀ ||*||||||*||*||||*||||||*||*||||||2A A x A A Ax A x Ax A Ax =≤=≤⇒||*||||||sup ||||21||||2A A Ax A x ≤=⇒=复习和重点归纳第一章 预备知识第一节 极限点和闭集1、 极限点⑴、定义：A x =0的极限点∅≠-⇔A x x O I }){)((00ε， ⑵、定理：A x =0的极限点00x x x x A x n n n →≠∈∃⇔，，2、 闭集⑴、定义：导集'A 、闭包A 、=A 闭集⑵、定理：=A 闭集A x x x A x n n ∈⇒→∈∀⇔00， ⑶、性质：①：=A A ，'闭集 ②：=A 包含A 的最小闭集 ③：=A 闭集A A =⇔3、 定义：)()(A span A L =，)()(A span A L =第二节 Holder 不等式和Minkowski 不等式1、 Holder 不等式：qnk q k pnk pk nk kky x yx 11111)||()||(||∑∑∑===≤2、 Minkowski 不等式：pnk p k pnk p k pnk p k ky x y x111111)||()||()||(∑∑∑===+≤+第三节 ][b a L p，和pl1、 =ppl b a L ，，][赋范线性空间⑴、定义范数：pba pp dx x f f 1)|)(|(||||⎰=⑵、定义范数：pn pnn xx 11)||(||||∑∞+==2、 =22][l b a L ，，Hilbert 空间 ⑴、定义内积：⎰>=<badx x g x f x g x f )()()()(，⑵、定义内积：∑+∞=>=<1n n nn n y xy x ，第二章 Hilbert 空间一、投影定理1、 归纳：极限和连续⑴度量空间⑵赋范线性空间⑶内积空间2、 正交：⑴：定义：①y x ⊥②M x ⊥③N M ⊥④⊥M⑵：性质：①M x Mx ⊥⇔∈⊥②⊥⊥⊂⇒⊂M N N M③勾股定理④0=⊥MM I⑶：正交补定理①=⊥M 闭线性子空间②⊥⊥=M M span )(3、投影：⑴：投影的定义和性质⑵：最佳逼近：如果：=M 线性子空间，H x ∈，x x =0在M 上的投影那么：||||||||inf 0x x y x My -=-∈⑶：变分引理：如果：=M 完备凸集，H x ∈那么：存在唯一的M x ∈0，使得d x x =-||||0 ⑷：投影引理：如果：=M 线性子空间，M x H x ∈∈0， 那么：M x x d x x ⊥-⇒=-00|||| ⑸：投影定理：如果：=M 完备线性子空间，H x ∈∀那么：⊥∈∃∈∃M x M x 10，，使得10x x x +=，分解式唯一 ⑹：推论：⊥⇒≠M H M 含有非零元素二、就范正交系1、 基本概念：⑴正交系⑵就范正交系⑶完备正交系2、 有限正交系：定理：假设：=}{21n e e e ，，，Λ内积空间H 中的就范正交系 如果：H x ∈，∑==ni iie e x x 10)(，，}{21ne e e span M ，，，Λ= 那么：x x =0在M 上的投影 并且：∑==ni ie x x 1220|)(|||||，，20202||||||||||||x x x x -+=3、 无限正交系：⑴：Bessel 不等式：∑∞=≥122|)(|||||i ie x x ，⑵：等价定理：①E x ∈②∑∞==122|)(|||||i ie x x ，③∑∞==1)(i iie e x x ，三、Banach 空间的共轭算子1、 )(Y X →和)(Y X B →⑴、性质：如果：Y X Y X →=→)(的全体线性算子，其中=Y X 、线性空间那么：=•+→))((，；；P Y X 线性空间⑵、性质：如果：Y X Y X B →=→)(的全体有界线性算子，其中=Y X 、赋范线性空间那么：=•+→))((，；；P Y X B 赋范线性空间⑶、性质：如果：=X 赋范线性空间，=Y Banach 空间 那么：=→)(Y X B Banach 空间2、 二次共轭空间⑴、概念：共轭空间⇒二次共轭空间⇒⇒**x 保范算子⑵、性质：***X x =上的连续有界泛函***||||||**||X x x x =⇒≤⇒上保范线性算子3、 共轭算子⑴、概念：共轭算子⑵、定理：对于)(Y X B A →∈∀，共轭算子存在并且唯一。
度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。
泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。
一、度量空间的进一步例子1、度量空间设x 是一个集合，若对于x 中任意两个元素x,y ,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°的充要条件为x=y 2°对任意的z 都成立， 则称 d(x,y) 是 x,y 之间的距离，称 d(x,y)为度量空间或距离空间。
x 中的元素称为点。
2、常见的度量空间（1）离散的度量空间 设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 ，令 称为离散的度量空间。
（2）序列空间S令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点令 称 为序列空间。
（3）有界函数空间B(A ）设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两点x,y ，定义（4）可测函数空间设M(X)为X 上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m 为勒贝格测度，若 ，对任意两个可测函数 及 由于 ，所以这是X 上的可积函数。
令 （5）C[a,b]空间令C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对 C[a,b]中任意两点x,y ，定义二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间1、收敛点列设 是（X ，d ）中点列，如果存在 ，使 则称点列是（X ，d ） 中的收敛点列，x 是点列 的极限。
收敛点列性质：（1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯一的。
（2）M 是闭集的充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。
(,)0,(,)0d x y d x y ≥=(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+,x y X ∈1,(,)0,if x y d x y if x y ≠⎧=⎨=⎩(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...),n n x y ξξξηηη==1||1(,)21||i i i i i i d x y ξηξη∞=-=+-∑(,)S d (,)sup |()()|t A d x y x t y t ∈=-()m X <∞()f t ()g t |()()|11|()()|f tg t f t g t -<+-|()()|(,)1|()()|X f t g t d f g dt f t g t -=+-⎰(,)max |()()|a t b d x y x t y t ≤≤=-{}n x x X ∈lim (,)0n n d x x →∞={}n x {}n x2、收敛点列在具体空间中的意义（1）n 维欧式空间中：为 中的点列， 即：按欧式距离收敛于x 的充要条件是 依坐标收敛于（2）序列空间S 中：为 S 中的点列，（3）C[a,b]空间设 及X 分别为C[a,b] 中的点列及点，（4）可测函数空间M(X)设 及 f 分别为可测函数空间中的点列及点，3、稠密集，可分空间（1）设X 是度量空间，E 和M 是X 中的两个子集，令 表示M 的闭包，如果 ，那么称集M 在集E 中稠密。
第2章 度量空间与赋范线性空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念。
事实上，它是n 维欧几里得空间n R 的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。
它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。
因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。
2.1 度量空间的基本概念2.1.1 距离（度量）空间的概念在微积分中，我们研究了定义在实数空间R 上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R 上现有的距离函数d ，即对y x y x d R y x -=∈),(,,。
度量是上述距离的一般化：用抽象集合X 代替实数集，并在X 上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。
【定义2.1】 设X 是一个非空集合，),(••ρ：[)∞→⨯,0X X 是一个定义在直积X X ⨯上的二元函数，如果满足如下性质：（1） 非负性 y x y x y x X y x =⇔=≥∈0,(,0),(,,ρρ；（2） 对称性 ),(),(,,x y y x X y x ρρ=∈（3） 三角不等式 ),(),(),(,,,y z z x y x X z y x ρρρ+≤∈；则称),(y x ρ是X 中两个元素x 与y 的距离（或度量）。
此时，称X 按),(••ρ成为一个度量空间（或距离空间），记为),(ρX 。
注：X 中的非空子集A ，按照X 中的距离),(••ρ显然也构成一个度量空间，称为X 的子空间。
当不致引起混淆时，),(ρX 可简记为X ,并且常称X 中的元素为点。
例2.1 离散的距离空间设X 是任意非空集合，对X 中任意两点,,x y X ∈令1 (,)0 x y x y x y ρ≠⎧=⎨=⎩显然，这样定义的),(••ρ满足距离的全部条件，我们称(,)X ρ是离散的距离空间。
这种距离是最粗的。
它只能区分X 中任意两个元素是否相同，不能区分元素间的远近程度。
此例说明，在任何非空集合上总可以定义距离，使它成为度量空间。
例2.2 n 维欧几里得空间n R 表示n 维向量()12,,,n x x x x =L 的全体组成的集合，也表示n 个实数12,,,n x x x L 组成的数组()12,,,n x x x L 的全体形成的集合。
对()12,,,n x x x x =L ，()12,,,n n y y y y R =∈L ，定义 1221(,)()n i i i x y x y ρ=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑ （2.1） 下面来证),(••ρ满足度量定义中的条件（1）~（3）。
由式（2.1）不难验证),(••ρ满足条件（1），（2）。
为证满足条件（3），需利用2p =时的离散型Minkowski 不等式（见1.5节）。
取()12,,,n n z z z z R =∈L ，则有[]1122221111222211(,)()()()()()(,)(,)n n i i i i i i i i n n i i i i i i x y x y x z z y x z z y x z z y ρρρ====⎧⎫⎡⎤⎪⎪=-=-+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭⎡⎤⎡⎤≤-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+∑∑∑∑因此，n R 是一距离空间。
(,)n R ρ称为n 维欧氏空间。
注：若在n R 中规定 11(,)max i i i nx y x y ρ≤≤=- （2.1ˊ） 则1(,)n R ρ也是距离空间（读者自己验证）例2.3 所有数列组成的集合S ，对{}{},,n n a b S ξη==∈定义 11(,)21n n n i n na b a b ρξη∞=-=+-∑ （2.2） 那么(,)ρξη是S 上的度量。
式（2.2）通常称为Fr échet 组合。
(,)ρξη显然满足度量条件（1）~（2），我们来证也满足条件（3）。
事实上，对,ξη及{},n c S γ=∈由于函数()(0)1x x x xϕ=>+是单调增函数，因此由 n n n n n n a b a c c b -≤-+-得1111n n n n n n n n n n n n n n n n n n n na b a c c b a c c b a b a c c b a c c b --+---≤≤++-+-+-+-+- 在上市不等式两边同乘12n 再求和，便得 (,)(,)(,)ρξηρξγργη≤+因此(,)S ρ是距离空间。
例2.4 连续函数空间[],,C a b 对[],,,f g C a b ∈定义 (,)max ()()a t bf g f t g t ρ≤≤=- （2.3） 则(,)f g ρ是[],C a b 上的一个度量。
(,)f g ρ显然满足度量条件（1）~（2）。
对另一连续函数[],,h C a b ∈由[]()()()()()()max ()()max ()() =(,)(,),(,)a tb a t hf tg t f th t h t g t f t h t h t g t f h h g t a b ρρ≤≤≤≤-≤-+-≤-+-+∀∈ 所以(,)(,)(,)f g f h h g ρρρ≤+例2.5 函数类()(1)p L E p ≥（参见1.6节）,对,()p f g L E ∈定义 ()1(,)()()p p E f g f t g t dt ρ=-⎰（2.4） 则(,)f g ρ是()p L E 上的一个度量，((),)p L E ρ是度量空间。
由 1(,)0(()())0p pE f g f t g t dt ρ=⇒-=⎰ 根据Lebesgue 积分的性质有()()f t g t a e =⋅。
反之，若()()f t g t a e =⋅， 则(,)0f g ρ=。
所以，(,)f g ρ满足度量定义2.1中条件（1）；条件（2）显然满足；对另一函数()p h L E ∈，根据1.6节Minkowski 不等式有(,)(,)(,)p p p f g f g f h h g f h h g ρρρ=-≤-+-=+即(,)f g ρ满足度量定义条件（3），所以(,)f g ρ是()p L E 上的一个度量，((),)p L E ρ是度量空间。
例2.6 [],L a b ∞是本性有界可测函数的全体，即[],a b 上除某个零测度外，在它的补集上是有界的可测函数全体。
对[],,,f g L a b ∞∈定义[][][]0,,,(,)inf sup ()()var sup ()()mE t a b E t a b E a b f g f t g t i f t g t ρ=∈-∈⊂⎧⎫=-=-⎨⎬⎩⎭ （2.5） 则(,)f g ρ是[],L a b ∞上的一个度量，[](,,)L a b ρ∞是度量空间。
由式（2.5）显然可知，(,)f g ρ满足度量条件（1）~（2）。
现证(,)f g ρ满足度量条件（3），对[],,,f g h L a b ∞∈及0ε∀>存在[][]12,,,E a b E a b ⊂⊂且120,mE mE ==使[][]11,,sup ()()(,)2sup ()()(,)2t a b E t a b E f t h t f h h t g t h g ερερ∈-∈--<+-<+从而有[][]{}[][][][]1212121212,,,,,,(,)sup ()() sup()()()() sup ()()sup ()() sup()()sup ()() t a b E E t a b E E t a b E E t a t E E t a b E t a b E f g f t g t f t h t h t g t f t h t h t g t f t h t h t g t ρ∈-⋃∈-⋃∈-⋃∈-⋃∈-∈-≤-≤-+-≤-+-≤-+- <(,)(,)f h h g ρρε++令0ε→得(,)(,)(,)f g f h h g ρρρ≤+。
所以(,)f g ρ是[],L a b ∞上的一个度量，[](,,)L a b ρ∞是度量空间。
2.1.2 距离空间中点列的收敛性非空集合X 引入距离（度量）后，就可以在其上定义点列的收敛概念。
【定义2.2】设X 是一个度量空间，,,(1,2,)n x x X n ∈=L 称点列{}n x 收敛于x ，是指(,)0(),n x x n x ρ→→∞叫做点列{}n x 的极限，记作lim n n x x →∞=或()n x x x →→∞。
度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处。
【定理2.1】 度量空间(,)X ρ中的收敛点列{}n x 的极限是唯一的，且若{}n x 收敛于,x X ∈则{}n x 的任意子列{}k x x 也收敛于x 。
证明：首先证明定理的第一部分。
设,x y X ∈都是{}n x 的极限，则对,n N ∀∈有 (,)(,)(,)n n x y x x x y ρρρ≤+令n →∞有(,)0,(,)0,n n x x x y ρρ→→必然有(,)0,x y ρ=因此,x y =这说明{}n x 最多有一个极限。
其次证明定理的第二部分。
设{}n x 收敛于x X ∈，于是0ε∀>，存在自然数N ，当n N >时，(,)n x x ρε<。
由于k n N ≥，从而当k n ≥时，也有(,),k n x x ρε<故{}k n x 收敛于x 。
证毕。
下面讨论某些具体空间中点列收敛的具体含义。
例2.7 n R 空间中点列{}(){}(0)()()()12,,,m m m n x x x x =L 按度量式（2.1）收敛于{}(){}(0)(0)(0)(0)12,,,n x x x x =L 的充分必要条件是对每个,(1)i i n ≤≤有()(0)()m i i x x m →→∞，即按坐标收敛。
证明：⇒对(1)i i n ∀≤≤，由于122()(0)()(0)()(0)1(,)n m m m i i k k k x x x x x x ρ=⎧⎫→≤→=⎨⎬⎩⎭∑ 因此，当()(0)()0()m x x m ρ→→→∞时，一定有()(0)0()m i i x x m →→→∞，()(0)()m i i x x m →→∞。
⇐由于122()(0)()(0)()(0)()(0)()(0)11221()n m m m m m k k n n k x x x x x x x x x x ρ=⎧⎫→=→≤→+→++→⎨⎬⎩⎭∑L 所以，对,(1)i i n ≤≤，当()(0)()m i i x x m →→∞时()(0)()0()m x x m ρ→→→∞。
