实变函数与泛函分析课件：第三章 距离空间

实变函数论与泛函分析实变函数论与泛函分析是数学家们在研究函数分析的时候提出的一种理论模式。

实变函数论是一门理论体系，其研究的对象主要是和函数之间的关系。

泛函分析则注重对函数本身的进行分析。

实变函数论与泛函分析介绍如下：一、实变函数论1.定义实变函数论是指研究将一个变量关于另一个变量而又依赖于一个参数时函数的行为和性质的学科。

它试图分析它们之间的关系，在有限或无限的变量区间上建立关于函数的数学模型和理论，并导出用于解决数学问题的一般定理和式子。

2.应用实变函数论在各个数学学科，特别是微积分学中有着重要的地位。

在微积分中，它们被用来研究函数和变量之间的关系，帮助分析变量的变化率、局部变化规律以及参数对变量的影响等方面的数学模型，以及表示形式的分析等等。

二、泛函分析1.定义泛函分析是一门概括实变函数性质的学科。

它是研究实变函数的性质的一种新的数学方法，其研究的主要对象是函数本身的特征。

它不仅仅关注实变函数的变化规律以及参数对变量的影响，而且重视函数本身的一般特征。

2.应用泛函分析在数学中广泛应用，用它可以分析函数表示形式、函数图像、数值函数特征等，以及函数变量范围等方面的信息。

泛函分析可以快速求解实变函数存在的问题，例如函数的变换矩阵以及函数的定义域等等，并可以用来帮助分析实变函数在不同区间的特征。

它还可以帮助机器学习和统计学家们更好地探索实变函数方程的内在特征。

总之，实变函数论与泛函分析是数学家们用来研究函数的理论尝试，涉及到函数之间的关系、特征以及数学上的分析。

它们在数学学科中都具有重要的地位，为数学应用研究提供了强有力的帮助。

实变函数与泛函分析基础（第三版）-----第三章_复习指导主要内容本章介绍了勒贝格可测集和勒贝格测度的性质.外测度和内测度是比较直观的两个概念，内外测度一致的有界集就是勒贝格可测集. 但是，这样引入的可测概念不便于进一步讨论. 我们通过外测度和卡拉皆屋铎利条件来等价地定义可测集（即定义），为此，首先讨论了外测度的性质（定理）. 注意到外测度仅满足次可列可加（而非可列可加）性，这是它和测度最根本的区别.我们设想某个点集上可以定义测度，该测度自然应该等于这个集合的外测度，即测度应是外测度在某集类上的限制. 这就容易理解卡拉皆屋铎利条件由来，因为这个条件无非是一种可加性的要求.本章详细地讨论了勒贝格测度的性质. 其中，最基本的是测度满足在空集上取值为零，非负，可列可加这三条性质. 由此出发，可以导出测度具有的一系列其它性质，如有限可加，单调，次可列可加以及关于单调集列极限的测度等有关结论.本章还详细地讨论了勒贝格可测集类. 这是一个对集合的代数运算和极限运算封闭的集类. 我们看到勒贝格可测集可以分别用开集、闭集、型集和型集逼近.正是由于勒贝格可测集，勒贝格可测集类，勒贝格测度具有一系列良好而又非常重要的性质，才使得它们能够在勒贝格积分理论中起着基本的、有效的作用.本章中，我们没有介绍勒贝格不可测集的例子. 因为构造这样的例子要借助于策墨罗选择公理，其不可测性的证明还依赖于勒贝格测度的平移不变性. 限于本书的篇幅而把它略去. 读者只须知道：任何具有正测度的集合一定含有不可测子集.复习题一、判断题1、对任意nE R ?，*m E 都存在。

（√ ）2、对任意nE R ?，mE 都存在。

（× ）3、设nE R ?，则*m E 可能小于零。

（× ）4、设A B ?，则**m A m B ≤。

（√ ） 5、设A B ?，则**m A m B <。

（× ） 6、**11()n n n n m S m S ∞∞===∑。

基础知识1.1度量空间一、基本概念 1.距离定义：设R 是一个非空集合，若对R 中任意一对元素x ，y 都有给定的一个实数d （x ，y ） 与它们对应，而且d 适合如下条件： （1） d(x ，y)≥0且d （x ，y ）=0 x=y（2） 三角不等式d （x ，z ）≤d （x ，y ）+d （y ，z ）则称d （x ，y ）是元素x ，y 之间的距离，并称R 按d （x ，y ）成为度量空间或距离空间，记（R ，d ）R 中的元素称为点。

由性质（1）（2）令z=x ，可推出距离还有对称性 即（3） d （x ，y ）=d （y ，x ）（4） 另外还有与（2）等价的不等式|d （x ，y ）－d （y ，z ）|≤d （x ，z ）例1：平面任意两点）p 1(X 1，y 1) p 2（x 2，y 2）（不是距离）例2：[a ，b]上黎曼绝对可积的函数的集合R ，对其中任意两点f ，g 按距离 d （f ，g ）=⎰-ba|x g x f |）（）（dx 可证：R 按照d 成为一个度量空间（黎曼可积可改为连续函数）另外 R 上还可以有另外一个度量空间：d （f ，g ）=],[x max b a ∈|f （x ），g （x ）|记该度量空间为c[a ，b]2.极限定义1.1.2：设R 是一个度量空间X n （n=1,2，…） 及x ∈R ，加入n →∞ 时， 数列d （X n ，X ）→0 则称{ X n }按距离d 收敛于x 记为∞→n lim X n =X或X n →X 此时称{X n }是R 中的收敛点列，x 称为点列{ X n }的极限 定义1.1.3：（基本点列）设{ X n }是度量空间（R ，d ）中的一个点列。

若 { X n }满足N ∃>∀,0ε 当m ，n>N 时 有d （x x n m ，）<ε 则称{ X n }为R 中的基本点列（也称为柯西列）可以证明收敛点列一定是基本列 证明：若x x0n→（n →∞）即N ∃>∀,0ε 当m ，n>N 时 有d （ x x 0n ，）＜2ε d （x x m 0,）＜2ε d （xx mn，）≤d （xx 0n，）+d （x x m,）<ε∴{X n }是基本列但反之，不成立 例如 R=（0，+∞）X n =n1∈R （n=1,2^…）{ X n }是基本列但{ X n }不是收敛列，因为R 中没有x ， d （X n ，X ）→0 （n →∞）又如3,3.1，3.14,3.141……是有理数集Q 中的基本列但不是Q 中的收敛列定义1.1.4 （完备性）若度量空间R 中的基本列都是收敛列则称R 是完备的度量空间，设A 是R 中的子集，若A 按R 的度量成为一个完备的度量空间，则称A 是R 的一个完备子集。