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a
b g(x) q dx 1/ q
a
其中 f (x) p , g(x) q在[a,b]上可积分。
特别的 p=q=2 时,称为 Cauchy 不等式
特别的，当 n=1 时， (x, y) x y ， 当 n=2 时， (x, y) (x1 y1)2 (x2 y2 )2
如果在 R2 中，定义 d(x, y) x1 y1 x2 y2 ，
例2 有理数空间 Q 按欧氏距离是不完备的距离空间。
例 3 距离空间l2 和 L2[a,b]按通常意义下的距离是完备的。
例 4 C[a,b]按 (x, y) max x(t) y(t) 是完备的距离空间； t[ a ,b ]
C[a,b]按
1(x,
y)
b
a
x(t)
y(t ) dt
是不完备的距离空间
间 Q 是等距同构的，所以实数空间 R1 是有理数空间 Q
的完备化空间。
例2
C[a,b]按距离
(x,
y)
b
a
x(t)
y(t)
dt
是不完备的，
但C[a,b] L1[a,b]，且C[a,b]在L1[a,b]中稠密，故 L1[a,b]是
C[a,b]的完备化距离空间。
同理，C[a,b]按距离
( x,
y)
则l p 是距离空间，常称为 p 方可和的空间。
特别的，当 p=2，l 2 称为平方可和距离空间。
§2.2 收敛概念
1) 定义（收敛点列） 设 X 是一个距离空间，{x n}是
X 中点列， x X 。若 n 时, (xn, x) 0 （即 0, N, 当n N时, (xn, x) ）
补充不等式
1）Minkowski 不等式
（1）
n i 1
ai
bi
k
1/ k
n i 1
ai
k
1/ k
n i 1
bi
1/ k
k
（ k 1， ai ,bi 为实数或复数）
（2）
1
b f (x) g(x) k dx k
b f (x) k dx 1/ k
b g(x) k dx 1/ k
例 2 设 P[a,b]为实系数多项式全体构成的集合，则
f (x)C[a,b]，必存在 P[a,b]中的多项式列 Pn (x)按距离
(x, y) max x(t) y(t) t[ a ,b ]
收敛于 f (x)。故 P[a,b]在C[a,b]中稠密。
证明 见参考书 2
例 3
若 L2[a,b]中定义距离 (x, y)
例如：R1 中，点列{xn} {1n}是 Cauchy 列，也是收敛点列。
注：R1 中有结论：{x n}是收敛数列 {x n}是 Cauchy 数列。
但在一般的距离空间中，该结论不成立。
定理 若{x n}是（X , ）中的收敛点列，则{x n}一定是 Cauchy 点列；反之，Cauchy 点列不一定是收敛点列
R
Ty R1
x
Tx
y
例 设 Rn 是欧氏距离空间，P 是 n 阶正交矩阵，且 x Rn ，Tx Px ，证明：T 是由 Rn 到 Rn 的等距映射。
证：由已知, Rn （列向量），有
n
( , ) (xi yi )2 ( )T ( ) i 1 [P( )]T [P( )] (P , P )
则称这个对应关系 T 是一个由 R 到 R1 的映射（或算子），
记为 y Tx
定义 2(等距映射) 设(R, ), (R1, 1)都是距离空间， 如果存在一个由 R 到 R1 的映射 T，使得x, y R ，有
1(Tx,Ty) (x, y)
则称 R 与 R1 是等距空间，（或称等距同构空间），T 称 为等距映射。
b
x(t)
y(t) 2 dt
1/ 2
，则
a
P[a,b]，C[a,b]都在 L2[a,b]中稠密。
3）距离空间的完备化 距离空间的完备性在很多方面都起着重要的作用。
如何将一个不完备的距离空间扩充为完备的距离空间? 这就是距离空间完备化的问题。
定义 1(映射) 已知(R, ), (R1, 1)，如果 x R 规一律定 y R1，
b
a
x(t)
y(t)
2
dt
1/
2
的完备化
的距离空间为 L2[a,b]。
§2.4 距离空间的可分性和列紧性
（ x ( x1, x2 ), y ( y1, y2 ), ）验证得知 R2 按 d 也是距离空
间，但与欧氏空间是不同的度量空间。
例3 设C[a,b]表示定义在[a,b]上的所有连续函数的
全体。x(t), y(t)C[a,b]，定义
(x, y) max x(t) y(t) t[ a ,b ]
a
a
a
其中 f (x), g(x)在[a,b]上可积分，k 1
2）Holder 不等式
n
（1）
aibi
n
ai
p
1/
p
n
bi
q
1/ q
，
i 1
i1
i1
其中
ai ,bi
Байду номын сангаас
为实数或复数，
1 p
1 q
1
。
b
（2） a f (x)g(x) dx
b
f (x) p dx
1/ p
结论：闭包一定是闭集。A 是闭集 A A A A
§2.3 距离空间的完备性与稠密性
1）完备性 定义（完备性）在距离空间 X 中，若 X 中的任一
Cauchy 点列都在 X 中有极限，则称 X 是完备的距离 空间。
结论：在完备的距离空间中，收敛点列与 Cauchy 点 列是等价的。
例 1 Rn 按欧氏距离是完备的距离空间。 证： 例如 R1 是完备的，一般的证明见参考书
则C[a,b]在 下是距离空间。
若 1(x, y)
b
x(t) y(t) dt
a
， 则C[a,b]在 1下也
是距离空间
例4 设 Lp[a,b] (P 1) 表示[a,b]上 p 方可积的所有函数的
全体，即
Lp
[a,
b]
x(t
)
b a
x(t)
p
dt
。
x(t), y(t) Lp , 定义 (x, y) b x(t) y(t) p dt 1/ p a
(x, y) (x, z) (z, y)
则称实数 (x, y)为元素 x 与 y 之间的距离，称 X 为距 离空间或度量空间，记作(X , )或 X 。距离空间中的元
素也称为“点”，用“·”表示。
距离 (•,•)是集合 X×X（称为乘积空间或笛卡尔
积空间）到实数集合 R1 上的二元泛函（或称函数）。
则 Lp[a,b]是距离空间，常称为 p 方可积的空间。
特别的，当 p=2 时， L2[a,b]称为平方可积的空间。
例 5 设l p (P 1) 是所有 p 方可和的数列所成的集合，
即x { xi } 满足 xi p ， i 1
p 1/ p
对于 x {xi}, y {yi}l p ,定义(x, y) i1 xi yi ，
证明：设 n 时, (xn, x) 0，
Q (xn, xm ) (xn, x) (xm, x) 则 n,m 时, (xn, xm ) 0 。
例 1 在有理数空间 Q 中，点列 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … 2 Q
是 Q 中的 Cauchy 点列，但不是收敛点列；
即 x0 X , 及实数r 0, 使得xn, 都有(xn, x0 ) r 定理 3（距离的连续性）在距离空间 X 中，距离 (x, y)
是两个变元 x, y 的连续泛函。即当 xn x0, yn y0 时 (xn, yn ) (x0, y0 )(n )
2） 柯西点列（Cauchy） 定义 设{x n}是距离空间 X 中的一个点列，若 n, m 时，(xn, xm ) 0 （即 0, N, 当n, m N时, (xn, xm ) ） 则称 x n 为基本点列或 Cauchy 点列。 0, N , 当n N时，p 0, (xn p , xn )
第2章 距离空间
§2.1 定义和举例 §2.2 收敛概念 §2.3 稠密性与完备性 §2.4 可分性与列紧性 §2.5 连续映射
在数学分析中 研究对象——函数 基本工具——极限，是分析理论的基础 定义极限的基础——距离
在泛函分析中将上述内容推广 研究对象——算子、泛函（空间到空间的映射） 首先引入度量工具——距离 然后在度量空间中——定义极限，建立相应的理
2）举例 例 1 设 R1 是非空实数集合，x, y R1，
① 若定义 (x, y) x y ，
验证知三条距离公理成立，则 R1 按定义 为距
离空间，即通常意义下的距离空间，常称欧氏空间。
②
若定义
1(x,
y
)
1
x
x
y
y
，验证知三条距离公理
成立，所以，R1 按定义 1也是距离空间
③ 若定义 2(x, y) x y2 ， 验证不满足第三条公理，所以 R1 按定义 2 不是距离
C[a,b]按
2 (x,
y)
b
a
x(t)
y(t)
2
dt
1/
2
是不完备的距离空间
2) 稠密性
定义（稠密性）设 X 是距离空间， A, B X 。若
x A，总存在 B 中的点列 x n 收敛于 x, 则称 B 在 A 中 稠密。
（即x
A,
