唯一性定理

解的存在唯一性定理证明

存在唯一性定理如(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足利普希茨条件，则方程(,),dyf x y dx=在区间0x x h -≤上存在唯一解00(),()y x x y ϕϕ==，其中(,)min ,,max (,)xy R bh a M f x y M∈⎛⎫== ⎪⎝⎭逐步迫近法微分方程(,)dyf x y dx=等价于积分方程00(,)xxy y f x y dx =+⎰取00()x y ϕ=，定义001()(,()),1,2,xn n x x y f x x dx n ϕϕ-=+=⎰ 可证明lim ()()n n x x ϕϕ→∞=的()y x ϕ=满足积分方程。

通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。

命题1 先证积分方程与微分方程等价：设()y x ϕ=是微分方程(,)dyf x y dx =定义于区间00x x x h ≤≤+上满足初值条件00()x y ϕ=的解，则()y x ϕ=是积分方程000(,),xx y y f x y dx x x x h =+≤≤+⎰定义于区间00x x x h ≤≤+上的连续解。

反之亦然。

证因()y x ϕ=是微分方程(,)dyf x y dx=的解，有 ()(,())d x f x x dxϕϕ= 两边从0x 到0x h +取定积分0000()()(,()),xx x x f x x dx x x x h ϕϕϕ-=≤≤+⎰代入初值条件00()x y ϕ=得0000()(,()),xx x y f x x dx x x x h ϕϕ=+≤≤+⎰即()y x ϕ=是积分方程0000(,),xx y y f x y dx x x x h =+≤≤+⎰定义于区间00x x x h ≤≤+上的连续解。

反之，则有0000()(,()),xx x y f x x dx x x x h ϕϕ=+≤≤+⎰微分之()(,())d x f x x dxϕϕ= 且当0x x =时有00()x y ϕ=。

关于静电场唯一性定理的讨论

关于静电场唯一性定理的讨论
静电场唯一性定理是物理学中一个重要的定理，它规定了一个静电场的特性，即在一个静电场中，任意一点的电场强度只能由一个确定的值确定。

它是由德国物理学家卡尔·冯·诺依曼提
出的，他在1914年的一篇论文中提出了这一定理。

该定理表明，在一个静电场中，任何一点的电场强度都可以由一个唯一的值来确定，这个唯一的值是由该点的电荷量和距离决定的。

这意味着，在一个静电场中，任何一点的电场强度都是可以由一个唯一的值来确定的，而不会受到其他因素的影响。

该定理在现代物理学中得到了广泛的应用，它可以用来解释电磁学中的许多现象，也可以用来描述物理系统中的电场分布。

此外，它还可以用来解释电磁辐射的传播机制，以及电路中的电流分布情况。

2.6 静电场边值问题唯一性定理

V/m
CQU
2.6.3 唯一性定理
1、唯一性定理在静电场中满足给定边界条件的电位微分方程满足给定边界条件的电位微分方程（在静电场中满足给定边界条件的电位微分方程（泊松方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的，程或拉普拉斯方程)的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定理。 2. 唯一性定理的重要意义可判断静电场问题的解的正确性解的正确性： • 可判断静电场问题的解的正确性：唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、 • 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。解析解等）提供了思路及理论根据。
S
第三类边界条件
(ϕ + β ∂ϕ ) = f3 ( s) ∂n S
第四类边界条件
ϕ S = f1 ( s)
求解边值问题注意事项：求解边值问题注意事项：
CQU
点电荷的场
1．根据求解场域内是否有 ρ 存在，决定电位满足泊松方程还是拉氏．根据求解场域求解场域内是否有存在，决定电位满足泊松方程还是拉氏泊松方程还是方程，然后判断场域是否具有对称性，以便选择适当的坐标系。方程，然后判断场域是否具有对称性，以便选择适当的坐标系。 2．正确表达边界条件，并利用它们确定通解的待定常数。正确表达边界条件，并利用它们确定通解的待定常数。 3．若所求解的场域内有两个（或以上）的均匀介质区域，应分区求若所求解的场域内有两个（或以上）的均匀介质区域，分区求场域内有两个不能用一个电位函数表达两个区域的情况。这时会出现4 解。不能用一个电位函数表达两个区域的情况。这时会出现4个积分常数，还需考虑介质分界面上的衔接条件来确定积分常数。分界面上的衔接条件来确定积分常数常数，还需考虑介质分界面上的衔接条件来确定积分常数。 4.对于开域问题，还需给出无限远处的自然边界条件。 4.对于开域问题，还需给出无限远处的自然边界条件。当场域有对于开域问题限分布时，应有：限分布时，应有：

存在唯一性定理

注: 每一个 n 阶线性微分方程可化为 n 个一阶线性微分方程构成的方程组, 反之却不成立. 如:
1 0 方程组 x x , 0 1
不能化为一个二阶微分方程.
x 5 y 7 x 6 y e t 例将初值问题 y 2 y 13 y 15 x cos t x ( 0 ) 1 , x ( 0 ) 0 , y ( 0 ) 0 , y ( 0 ) 1
则(5.6)可化为一阶线性微分方
程组的初值问题:
x A( t )x f ( t ) . x( t0 ) η
(5.6)与(5.7)两者关系：
若已知 (t )是(5.6)的解, 则作向量函数
1 ( t ) ( t ) 2 ( t ) ( t ) φ( t ) , ( n1) ( t ) n ( t )
其中已知函数aij ( t ) 、f i ( t ) C [a , b], ( i , j 1,2, , n)
(5.1)
满足(5.1)每一个方程的一组函数 x1 ( t ), x2 ( t ) , xn ( t )
称为(5.1)的一个解.
设函数组 xi (t ) C[a, b], (i 1,2,, n), 且有：
故向量 u( t ) 是所给初值问题的解.
5. n 阶线性微分方程可化为一阶线性微分方程组 n阶线性微分方程的初值问题 x ( n ) a1 ( t ) x ( n1) an1 ( t ) x an ( t ) x f ( t ) , ( n1) x ( t ) , x ( t ) , , x ( t0 ) n 0 1 0 2 引进代换 x1 x , x2 x, x3 x ,, xn x ( n1) ,

1.8 静电场的唯一性定理

ρ ∇ U = − →泊方 , 松程 ε0
2
静电场＋边界条件的边值 2 问题 or ∇ U 0 →拉拉方＝普斯程
物理系：杨友昌编
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
唯一性定理
• 对于静电场，给定一组边界条件，空间能否存在不同的恒对于静电场，给定一组边界条件，定电场分布？——回答：否！电场分布？回答：回答 • 边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定下来边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定下来电场的分布唯一 • 该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题的正确解释至关重要 • 理论证明在电动力学中给出，p67 给出普物方式的论证理论证明在电动力学中给出， • 论证分三步：引理论证分三步：引理——叠加原理叠加原理——证明叠加原理证明
§8 静电场边值问题的唯一性定理
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
物理系：杨友昌
编
一. 典型的静电问题
–给定导体系中各导体的电量或电势给定导体系中各导体的电量或电势给定导体系中各导体的以及各导体的形状、相对位置（以及各导体的形状、相对位置（统称边界条件），求空间电场分布，），求空间电场分布称边界条件），求空间电场分布，即在一定边界条件下求解泛定方程
Q Q ' r' Q ' + = 0⇒ = ⇒r'Q= −rQ' r r' r Q
2
R b R ' －有b = ⇒Q = ± Q= ± Q 取？ a a a cos θ的系数三角形
相似
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。

解的存在唯一性定理证明

存在唯一性定理如(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足利普希茨条件，则方程(,),dyf x y dx=在区间0x x h -≤上存在唯一解00(),()y x x y ϕϕ==，其中(,)min ,,max (,)xy R bh a M f x y M∈⎛⎫== ⎪⎝⎭逐步迫近法微分方程(,)dyf x y dx=等价于积分方程00(,)xxy y f x y dx =+⎰取00()x y ϕ=，定义001()(,()),1,2,xn n x x y f x x dx n ϕϕ-=+=⎰ 可证明lim ()()n n x x ϕϕ→∞=的()y x ϕ=满足积分方程。

通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。

命题1 先证积分方程与微分方程等价：设()y x ϕ=是微分方程(,)dyf x y dx =定义于区间00x x x h ≤≤+上满足初值条件00()x y ϕ=的解，则()y x ϕ=是积分方程000(,),xx y y f x y dx x x x h =+≤≤+⎰定义于区间00x x x h ≤≤+上的连续解。

反之亦然。

证因()y x ϕ=是微分方程(,)dyf x y dx=的解，有 ()(,())d x f x x dxϕϕ= 两边从0x 到0x h +取定积分0000()()(,()),xx x x f x x dx x x x h ϕϕϕ-=≤≤+⎰代入初值条件00()x y ϕ=得0000()(,()),xx x y f x x dx x x x h ϕϕ=+≤≤+⎰即()y x ϕ=是积分方程0000(,),xx y y f x y dx x x x h =+≤≤+⎰定义于区间00x x x h ≤≤+上的连续解。

反之，则有0000()(,()),xx x y f x x dx x x x h ϕϕ=+≤≤+⎰微分之()(,())d x f x x dxϕϕ= 且当0x x =时有00()x y ϕ=。

静电场微分方程及唯一性定理

2 0
泊松方程和拉普拉斯方程统称为微分方程。二、泊松方程与拉普拉斯方程适用条件只适用于各向同性、线性的均匀媒质。(?)
§2.8.2
唯一性定理（Uniquness Theorem）
一、定理内容
在静电场中，满足给定边界条件的微分方程（泊松方程或
拉普拉斯方程）的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定理。
2 2 2 式中： ( ex ey ez ) ( ex ey ez ) 2 2 2 2 x y z x y z x y z
2
泊松方程（针对场源点）
拉普拉斯方程（针对场点,ρ=0）
《电磁场理论》
主讲教师：李志刚辽宁科技大学电信学院通信系 2012年05月
§2.8 静电场边值问题唯一性定理
§2.8.1 泊松方程与拉普拉斯方程一、静电场微分方程
D
E E E
E
E 0
常数
二、物理角度理解
场源相同、场分布相同，则场一定相同。
三、数学角度理解
方程相同、边界条件相同，则解一定相同。
四、唯一性定理的作用
1、确定何为相同场的判定条件；
2、可以采用等效方法进行问题的求解，只要保证满足唯一
性定理的条件，则解法不同，但解却一

电动力学 chp2-2唯一性定理

2 0 分析:壳外电势满足 s Q 0 i
+
不论壳内电荷位置怎样变化,上述边界条件不变,故壳外电场与电荷在壳内位置无关.
例2.如图两同心导体球壳之间充以两种介质,左半部分电容率为右半部分电容率为 2 ,设内球壳带总 1 电荷Q,外球壳接地,求电场和球壳上的电荷分布. 解:设两种介质内电势、电场、位移分别为
对内导体面： D dS 1E1 dS 2 E2 dS Q
S
2 1 2 A Q
S1
S2
Q A 2 1 2
E1 E2
左半部：
Qr 2 1 2 r 3
1 , E1 , D1和2 , E2 , D2
由电势的边界条件，假设介质1、2中 E 仍保持球对称，即设 1 A A Q E1 3 r , E2 3 r , r r Q 此尝试解在介质1，2分界面上满足 E1t E2t
2
且D1n D2 n 0，（界面上 0 ）
2 0 Q 2 p p2 r 2 1 2 a 2
但可验证 1 1p 2 2 p
0Q 2 1 2 a 2
可见内球面上总电荷(自由,极化电荷)是均匀分布的,故总场仍为球对称.
[例3] 有一半径为a的导体球，它的中心恰位于两种均匀无限大介质的分界面上，介质的介电常数分别是
1Q 1 D1n D1r 1E1r 2 1 2 a 2
2Q 右半部： 2 D2n D2r 2 E2r 2 1 2 a 2 1p p1r 1 0 E1r 1 0 Q 2 2 1 2 a

解的存在唯一性定理

由f (x, y)在D上连续性知, f (x,k (x))在[x0, x0 h]
上连续,从而k1(x)在[x0 , x0 h]上连续且
k1(x) y0
x
x0 f ( ,k ( ))d
x x0
f (,k ( ))d
M x x0 Mh b
即当n k 1时成立,命题2成立
综上，命题2得证
二、存在唯一性定理
定理1
dy =f (x, y)
(1)
dx
D :| x x0 | a,| y y0 | b
如果f (x, y)在D上连续且关于y满足利普希茨条件，
则方程(1)存在唯一的连续解y (x),定义在|x x0| h
上，连续且满足初值条件
(x0 ) y0
这里h min(a, b ), M max | f (x, y) |
x
L x0 n ( ) n1( )d
MLn
n!
x x0
(
x0 )nd
MLn (x (n 1)!
x0 )n1,
于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有
n (x) n1(x)
MLn1 n!
(x
x0 )n ,
x0 x x0 h,
(3.11)
从而当x0 x x0 h时,
n (x) n1(x)
于是{n (x)}一致收敛性与级数 (3.9)一致收敛性等价 .
对级数(3.9)的通项进行估计
x
1(x) 0(x) x0 f (,0( ))d M x x0
x
2(x) 1(x) x0 f (,1( )) f (,0 ( ))d
x
L x0 1( ) 0( )d
L
x x0
M (

2-2 唯一性定理

2. 带电荷Q 的半径为a 的导体球放在均匀无限大介质中，求空间电势和电场分布。解：导体球具有球对称性，电荷只分布在外表面上。假定场也具有球对称性，则电势与坐标 , 无关。因电荷分布在有限区，外边界条件 0 导体表面电荷Q已知，电场唯一确定。
A R A 3 A R 0 R R R3 满足 2 0 ， R R 0
i j， i j n i n j 并在V的边界S上有给定的 S 或值。 n S
二、有导体存在时的唯一性定理
当有导体存在时，由实践经验可知，为了确定电场，
除了上面的条件，还需要两种类型条件：一类是给定每个
( R a)
例：无限长圆柱导体，半径为a，单位长度带电量为，求导体柱外的电势和电场。解：在柱坐标系中
1 1 2 2 2 (r ) 2 2 2 r r r r z
导体柱外的泊松方程方程的解为边界条件为：
1 (r ) 0, (r a ) r r r
0
( R0 a )
C2 ln R0 2 0
E
最后求得
R0 ln 2 0 r
er 2 0 r
例：两同心导体球壳之间充以两种介质，左半部电容率为ε1，右半部电容率为ε2，设内球壳带总电荷Q，外球壳接地，求电场和球壳上的电荷分布。
解：设两介质内的电势、电场强度和电位移分别为
导体上的电势ϕi；另一类是给定每个导体上的总电荷Qi。此时场被唯一地确定。也就是说，存在唯一的解，它在导体以外满足泊松方程
i
2
在第i个导体上满足总电荷条件：
Qi dS Si n 和等势面条件： S i 常量

3.11 解的唯一性定理

即：∫ Δ
∫Δ Δ
∫Δ Δ
=0
(1)*
Δ
, =0
,
=∫ Δ Δ
−Δ
,
,Δ
=
−∫ Δ Δ , = −∫ Δ Δ , = 0
由线弹性应变能
(2 =
> 0)正定
∫ Δ Δ , =∫ Δ
= 2∫
= 0 (4)
由2 =
> 0，得：2 = Δ Δ = 0
两组解相等
Δ = 0， = 0 即： = = 位移和可能差一个刚体位移
两组均要满足平衡方程和边界条件
第一组解
，，
, + =0 = （在上） − = 0（在上）
第二组解
，，
, + =0 = （在上） − = 0（在上）
由叠加原理：将上面左右两边相减
=0
(1)
,
Δ = 0（在上）
(2)
Δ = 0（在上）
(3)
由(2)和(3)式
又对上面平衡方程(1)式乘Δ ，并对体积积分
Email:onexf@
使用教材：《材料固体力学》上册周益春编著科学出版社
弹性力学的解的唯一性定理
弹性力学解的唯一性定理：弹性体处于平衡状态时，假如体力和边界条件已知，弹性体内任一点的应力和应变分量都是唯一的。对于表面有部分或全部位移已知的，则位移分量也是唯一的。采用反证法，如下：
假设同一载荷( , )下有两组不同的解
解的唯一性定理前提是叠加原理和应变能正定性，而线弹性均满足。该定量的意义在于弹性力学问题的求解：由于偏微分方程边值问题求解的困难，因此经常需要使用逆解法或半逆解法，而解的唯一性定理为这些方法奠定了基础。

2-2唯一性定理3

§2.2 唯一性定理
③ 各个导体区域之间的分界面
导体静电平衡条件
对给定电荷值，只要包围导体的表面 Sk 有：
Sk
k
nk
dS
0
Sk
k
nk
dS
k
Sk
k
nk
nk
dS
k Q Q 0
0
即、描述同一电场
唯一性定理（有导体情形）
(1) 给定区域 V′内的电荷密度 ρ ：
(2) 给定区域 V 表面上（外边界）的或
之值：
(3) 给定每个导体上的电荷量Qi
反证法
考虑V′ 内：
设有、同时满足上述条件，令： ,
2 0
i j
i
i
n
j
j
n
0
或
0
n
§2.2 唯一性定理
k dS k dV
§2.2 唯一性定理
一、唯一性定理的一般形式
静电学的基本问题：
归结为求在所有边界上（内、外边界）满足边值关系或者给定边界条件的泊松方程的解
泊松方程
边值关系
§2.2 唯一性定理
(1) 在区域 V 中每个均匀的子区域 Vi 内满足泊松方程：
2 i 1, 2,
i
(2) 在区域 V 中每两子区域边界上（内边界）满足边值条件：
i j
i
i
n
j
j
n
（ n 由 i 区域指向 j 区域）
(3) 区域V 表面，外边界?
空间区域 V 内静电场唯一确定的条件：唯一性定理（介质情形）
(1) 给定区域 V 内的电荷密度 ρ ：
(2) 给定区域 V 表面上（外边界）的或

3.0 一阶微分方程解的存在唯一性定理

Existence & Uniqueness Theorem of First-Order ODE Ch.3 E
研究Байду номын сангаас象
dy = f ( x, y ) dx ( x 0 ) = y 0
存在性,存在区间? 唯一性? 延拓性,最大存在区间? 初值微小变动时,解的变化情况?
主要问题
本章要求
掌握逐步逼近逐步逼近方法的基本思想逐步逼近会用解的存在唯一性和延拓定理解决具体问题
30一阶微分方程解的存在唯一性定理偏微分方程比较定理一阶线性微分方程二阶微分方程一阶微分方程二阶线性微分方程一阶非线性微分方程二阶齐次线性微分方程分数阶微分方程二阶微分方程的解法
第三章一阶微分方程解的存在唯一性定理
Existence & Uniqueness Theorem of First-Order ODE
Existence & Uniqueness Theorem of First-Order ODE Ch.3 E
本章要求/Requirements/ 本章要求深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论掌握逐步逼近逐步逼近方法的本思想逐步逼近理解解的一般性质解的延拓解对初值的连续依赖性和可微性掌握求奇解的两个方法利用逐步逼近序列进行似计算和误差估计
本章目录 /Main Contents/
解的存在唯一性定理与逐步逼近法解的延拓解对初值的连续性和可微性奇解* 奇解*
�
第三章一阶微分方程解的存在唯一性定理
/Existence & Uniqueness Theorem of First-Order ODE/ /E
解的存在唯一性定理与逐步逼近法

常微分方程课件--解的存在唯一性定理

y ( x) [ s e
0
]ds
x
0
1 2 5 5 [1 ( ) ]ds x 1 2 4 8
例６讨论初始值问题
y 1 y 2 , y(0) 0
的解存在唯一的区间． f ( x, y) 1 y 2 在解：对于任意的正数 a, b, 函数
R x, y ) x a, y b (
（ 2 ）构造 Picard 迭代数列
取0 x） y0 代入(1.2.3)右端后得（
1 x） y0＋ f (s, 0 (s))ds （
x0
x
2 x） y0＋ f (s, 1 (s))ds （
x0
x
（x） y0＋ f (s, n1 (s))ds n
x0

x
这样就得到一个连续函数列 n ( x ) 它称为 Picard迭代序列。
2
1 4 1 h min { , } 2 5 2
故由解得存在唯一性定理可知，初始值问题的解
1 1 y y( x) 在 x 内存在唯一，当然也在 2 2 1 0 x 内存在唯一。
2
1 对 0 x 2
x
(1.2.11)等价的积分方程得 y( x) 0, 且
y2 (s)
y y( x) 满足 (2.2.2)
构造迭代序列 { yn ( x )} 来证明 (2.2.1) 有解．取
y0 ( x) 1,
y1 ( x) 1 y0(s)ds 1 x,
0 x
y2 ( x) 1
x
0
x2 y1(s)ds 1 x , 2!
……
yn ( x) 1

静电场的唯一性定理

1：给定每个导体的电势UⅠk（或总电量QⅠk） 2：给定每个导体的电势UⅡk（或总电量QⅡk) 设UⅠ、 UⅡ满足上述两条件，则它们的线性组合
U=a UⅠ+b UⅡ必满足条件3: 3：给定每个导体的电势Uk=a UⅠk+b UⅡ k
（或总电量Qk= QⅠk a k+b QⅡ k）特例：取UⅠk＝ UⅡ k，则U=UⅠ－UⅡ (a=1, b=-1) 对应
图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实在的电荷分布的迭加就是唯一的分布
该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题的正确解释至关重要
论证分三步：引理——叠加原理——证明
极大
几个引理
极小
引理一：在无电荷的空间里电势不可能有极大值和极小值
证明（反证）若有极大，则
若有极小，同样证明
引理二：若所有导体的电势即意味着空间
为0，则导体以外空间的电
电势有极大值，违背引理一
若不相等，必有一个最高，如图设U1>U2、U3，——导体1是电场线的起点——其表面只有正电荷——导体1 上的总电量不为0——与前提矛盾
引理二 ( ＋)引理三可推论：所有导体都不带电的情况下空间各处的电势也和导体一样，等于同一常量
叠加原理
在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，赋予两组边界条件：
静电场边值问题的唯一性定理
典型的静电问题
给定导体系中各导体的电量或电势以及各导体的形状、相对位置（统称边界条件），求空间电场分布，即在一定边界条件下求解。该类问题称为称为静电场的边值问题。
唯一性定理
对于静电场，给定一组边界条件，空间能否存在不同的恒定电场分布？——回答：否！
边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定下来

第二章第二节唯一性定理

ϕi ' = ϕ j '
∂ϕ j ' ∂ϕ i ' εi =εj ∂n ∂n
ϕi ' ' = ϕ j ' '
∂ϕ j ' ' ∂ϕ i ' ' εi =εj ∂n ∂n
Vj
因此，在介质分界面上，因此，在介质分界面上，ϕ也满足
Vi
ϕi = ϕ j
∂ϕ j ∂ϕ i εi =εj ∂n ∂n
——（2.5）
运用唯一性定理讨论几个问题
例一：例一：有一个中性的导体球壳 A，在此球壳内放置一带电体 M，其荷电为 Q。证明： 1) 球壳外的电场只与 Q有关，与 M在球壳内的位置无关； 2) 球壳 A的外表面上的电荷为均匀分布，与 M在球壳内的位置无关。
S
M
证明：证明：所研究的区域为球壳外的区域，其界面为 S∞ 和 S 。边界 S∞ 上的电势为零；而对于界面S，由于感应使得 S的内表面的电量为 -Q，则界面 S上的总电量为 +Q，这一结论不论M在球壳内何处，只要在球壳内即成立。
∫
Si
ϕ∇ϕ ⋅ dS = −ϕ i ∫ ∇ϕ ⋅ dS
Si
V V’
=0
而对于外边界面 S，根据（2.13）外边界面可知，
i
Si
∫ ϕ ∇ ϕ ⋅ dS = 0
S
n S
对于区域 V 的外表面 S
ϕ S = 0 或者 ∂ϕ ∂n S = 0 ——（2.13）
V
因此，对 V’ 的整个界面
V’
∫ ϕ ∇ ϕ ⋅ dS = 0
2 i Vi i
Vj
但是被积函数始终满足
Vi

3.1 唯一性定理

y
U0
( x,0) 0, ( x, b) U 0
o
a
y
b
U0
x
（第一类边值问题）
例：
0 x
0 x
o
20:14:58
a
x
2 2 2 0 2 x y x 0 0, xa 0 x x ( x,0) 0, ( x, b) U 0
V ( )dV S n dS
2
V
3.1
唯一性定理
S
对于第一类边界条件： * S 1 S 2 S 0
1和2 我们在引入电位函数时就曾指出，电位的绝对值无意义，代表的是同一电场，所以 2和2 C 实际上是一个解，亦即解 20:14:58 8 是唯一的。
第一类边值问题或狄里赫利问题已知场域边界面上的位函数的法向导数值即已知场域一部分边界面上的位函数值而另一部分边界面上则已知位函数的法向导数值即第三类边值问题或混合边值问题第二类边值问题或纽曼问题有限值自然边界条件无界空间周期边界条件衔接条件不同媒质分界面上的边界条件如二唯一性定理内容
第三章静态场边值问题的解法
2
a
Q
因而腔内场唯一确定。已知点电荷产生的电位为
1
Q 4 0 r Q 4 0 a
但它在边界上 1 |S
20:14:58
不满足 |S 0
12
3.1

Q 4 0 r
唯一性定理
Q 4 0 a
要使边界上任何一点电位为0，可设
2 它满足 0 |S 0
根据唯一性定理，它是腔内的唯一解。
E Q 4 0 r r (r a) 3

存在唯一性定理

上续并对满 Lipschitz条 : 连 , 且 y 足件
则值题 3.1)在间x − x0 ≤ h上解在唯 , 初问 ( 区的存且一
b 这里h = m a, ), M = Max f (x, y) in( ( x, y)∈R M
证明思路
(1) 初值问题初值问题(3.1)的解等价于积分方程的解等价于积分方程
x0
x
这要 ϕn (x) − y0 ≤ b, 里求
若ϕn+1(x) = ϕn (x), 则ϕn (x)为解 ,
否则一直下去可得函数列 ϕn (x)} {
(逐步求逐步求(3.5)的解逐步逼近法) 的解,逐步逼近法的解
(3)函数序列 {ϕn (x)}在 [x0 , x0 + h] 上一致收敛于 ϕ(x). 函数序列这是为了
法知，级数上一致收敛，法知，级数(3.9)在 [x0 , x0 + h] 上一致收敛，因而函数在序列 {ϕn ( x)} 在 [x0 , x0 + h]上一致收敛上一致收敛.
n−1
现设
lim ϕn (x) = ϕ(x),
n→∞
x0 ≤ x ≤ x0 + h,
则由ϕn (x)}在 x0 , x0 + h]的连续性和一致收敛性得 { [ ,
函数列 fn (x)}, ( fn (x) = f (x,ϕn (x))) { 在 x0 , x0 + h]上一致收敛于函数f (x,ϕ(x)), [
因对 3.7)两取限得此 ( 边极 ,
lim ϕn (x) = y0 + lim ∫x f (ξ,ϕn−1(ξ ))dξ n→∞
n→∞
0

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