曲线与曲面的参数方程与切线法平面

曲面的切平面与法线方程设上中曲面Σ的方程为F (X , y , Z) = 0 ,函数F (X , y , Z)在曲面Σ上点'一J∣.∙.'一'.∣处可微，W t) =且1加卽龛丿，过点血任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ°设其∖=Λ(∕)y=y⅛)方程为A邛,且对应于点不全为零。

由于曲线Γ在Σ上，则有⅛ g(x吨)+卩(血吨)+叭(⅜F(⅛)及朮LF 。

该方程表示了曲面上任意一条过点「厂的曲线在该点的切线都与向量WO) 垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点：处的切平面.点.称为切点.向量二心 2 -l称为曲面Σ在点-处的一个法向量。

记为G。

基本方法：1、设点l l- ■' ■" 1■■在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, Z)在点一∣处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为F：g )(r-r,>+ 兀厲XJ-Λ)÷Eg(H-^) = D法线方程为⅞ _ y~y ti_X(Jf O)=X^) =2、设点''■' ' l∙' ' ■'在曲面Z = f (x, y)上，且Z = f (x, y)在点M o (χo, y o)处存在连续偏导数，则该曲面在点Al∙, "-" - -■处的切平面方程为-f E j Ja-心)-力(心小Xy-几)2-齢MDX = x(u, V) , y = y(u, V) , Z = z(u, V)给出，∑上的点禺臨片九与UV平面上的点(U o , V0)对应，而X(U , V) , y(u , V) , Z(U , V)在( u o , v o)处可微.曲面∑在点X o处的切平面方程及法线方程分别为三、答疑解惑问题：曲面∑的参数方程为X = X(U , V) , y = y(u , V) , Z = Z(U , V)，∑±的点：'I- ■ -,'ι■ •与u , V平面上的点(U o , VO)对应，怎样确定∑在点X o处的法向量？注释：设X(U , V) , y(U , V) , Z(U , V)在(U o , VO)处可微，考虑在∑上过点X o的两条曲线.Γ i: X = X(U , V o) , y = y(U , V o) , Z = Z(U , V o);Γ 2 : X = X(U o , V) , y = y(U o , V) , Z = Z(UO, V).它们在点X o处的切向量分别为ξ=C⅛冲"⅛(⅜, ⅛(¾,⅛))E■(兀(知岭h H(M e Mh 久(％%))过X o的法线方程为注：方法2实际上是方法1 中取..'l--λ.'<-的情形3、若曲面∑由参数方程当＜ 'I -时，得∑在点Xo 处的法向量为则∑在点Xo 处的法向量为<‰v)r ^f V),页陽叭四、典型例题 例1求椭球面x 2+2y 2+3z 2 = 6在（1, 1, 1 ）处的切平面方程与法线方程解设F （x, y, Z ） = x 2+2y 2+3z 2 - 6,由于「八 FJ- •二在全平面上处处连续， 在（1,1,1 ）处'一儿一「'■ 一"，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为2(z-l) + 4(y-1) ÷6(z-l) ■ 0即 X + 2y + 3z = 6.Λ- 1 _ y- I _1所求法线方程为---X-1 y-L Z-1 即 I-J ^ -.* i Z=—卡 y例2求曲面- 平行于Z = 2x+2y 的切平面方程则曲面在一1'^l 处的法向量为 'l ,' 曲面在点X 0处的切平面方程为解设切点为 兀馆％殆.曲面"J 」 j2,因此舐瀚(Λ-心)十 2⅛O- M)- (Z -2o)-0又切平面与已知平面 Z = 2x+2y 平行，因此解得切点坐标为- ■■■■'■',所求切平面方程为2(^-3)+2(y-l)-(z-3)-0例 3 求曲面■ ^ 11■： 1.∙ ^ ■ ■ - ■ ：.「「’「 -^- - ^ 在点1 >. ^.：处的切平面方程和法线方程.解 点^∙l ∙,'^∙厂…对应曲面上的点11 1■■ 1 '其中Λ⅛ =^Sin⅞¾ COE ⅛J I y o sm⅛r ¾ = L 7COS ⅞⅞^^COS ⅛=^5m¼.os⅛u<A. j-i SC0SξK⅛ cos⅛ 5⅛≤9∣4 QCOS⅞⅛si∩¾则曲面在点"-处的法向量为 V’ 4,亠」5 所求曲面在点X o 处的切平面方程为‰⅛I JS αcos⅝⅞ GOS ⅞Sm ς⅛ sin ⅛ ^Sill 2 ≠¾ sin ⅛-<jsifl ⅛ sin ⅛ -*2sιn sm ⅞2 」2≡t? Sm 处 c□≡φ¾护 tin 贏 COS ⅛(X ^ΛSIH ‰ cos¾) + asm J ⅞¾ sm¾ sm ξ≡⅛ s πι ¾) + O lSln 砂 CaS3^ DiJS 妬)■ 0,即 Q .一 -i ∣ J ■: , ； J I ς, • ■ I ■] _ _ ∙fΛ- asuι⅞⅛ cos6⅛ _ y- ^Sin⅛⅛ sin 6⅛所求的法线方程为「一一 .,J -IJ - -J . L - -I - .'■ J -■-■.Λ- sm⅛ J -ΛCCS ⅞¾SIn ⅞J ¾COS ⅛SHl ⅞¾ sin ⅛cos⅛¾解过直线的平面方程可设为即］:"：l "1'''其法向量为-■ 一且有J3Λ -2y-Z ~ 5例4求过直线',且与曲面L相切之切平面方程Q i Fm 2 ⅞⅛ cosg⅛3χ-2y- ∑ - 5^ Λ(Λ + y+ z) - QFgFQ =加- 2y 2 + 2z -设所求的切平面的切点为■ ■,则曲面上；=2处的法向量为（％γ用②.8,则(3 + Λχ÷(Λ-2)j b ÷(Z-l¼-5 = 03 + ∕⅛ 2-2 Λ-l由⑴、(3)解得代入(2)得e -⅛÷3-o则所求切平面方程为3x - 2I y-Z- 5 + 3(j ÷ιy +z) ■ O或…'--,.■-- I -即 6x + y + 2 Z = 5 或 10x + 5y + 6 Z = 5.例5试证曲面IT 丿上任一点处的切平面都过原点，其中 f(x)为可微函数(1)2÷⅛ 2t -1 15解得 t ι = 1, t 2 = 3 ,故λ 2=7.1 1■- ,''∙ 处的法向量为故曲面上点则过曲面上点--'-.' - ,.∙-的切平面方程为f-⅛∕∙卜fy-⅞∕"ι"^o ∕f -注意到<r <> ,从上述方程得切平面方程为■/ X ( ∖^∣( \f 西-—f 地也 y-^-Ok⅞∕ Jf O ∖λ(]√^J∖⅞∕可知其必定过原点.(X-X o )4 ∕{⅛-Λ)整理后得。

空间曲线的切线与法平面空间曲线是指在三维空间中具有一定形状的曲线。

研究空间曲线的性质和特点，尤其是切线和法平面的关系，对于数学、物理等学科具有重要意义。

本文将探讨空间曲线的切线与法平面的相关概念与定理，以及它们在实际问题中的应用。

一、切线的定义与性质在平面曲线研究中，我们已经熟悉了切线的概念和性质。

在空间曲线的研究中，切线的定义与平面曲线类似。

设有空间曲线C，过曲线上一点P，可以做出唯一的切线l。

与平面曲线不同的是，在空间中，切线除了具有方向性和位置性外，还具有一个关键的性质：与曲线C相切的平面即为切线平面。

根据切线的定义和性质，我们可以得出切线的一些重要结论。

首先，切线过曲线上一点与该点的切线向量相同。

其次，切线上的所有点都在切线平面上。

最后，两个相交曲线的切线平面是同一个平面。

这些结论为我们研究空间曲线的切线与法平面提供了基础。

二、曲线的切线方程与法平面定义对于给定的空间曲线C，经过曲线上任意一点P的切线方程是研究曲线性质和计算切线的重要工具。

在二维平面中，我们使用斜率来表示切线的方程。

在三维空间中，切线的方程由曲线上的一点和切线的方向向量确定。

设曲线C的参数方程为：x = x(t),y = y(t),z = z(t),其中t为参数。

过曲线上参数为t的点P，切线的方向向量为V，则切线的参数方程为：x = x(t) + V1t,y = y(t) + V2t,z = z(t) + V3t。

法平面与曲线的切线密切相关。

在平面几何中，我们已经熟悉了平面的法线向量与法线方程。

对于空间中的曲线C，过切点P的法线向量与切线V垂直，并与曲线C相切于切点P。

法平面的法线向量即为曲线C在切点P处的切线向量V。

三、切线与法平面的求解如何求解空间曲线的切线与法平面呢？一般情况下，我们先求出曲线C的参数方程，然后根据切线的特性，求出切线的参数方程。

接下来，找到切线上的一点，并求出该点的切线向量。

这样，我们就得到了切线的方程与切线的方向向量。

曲面的切平面方程和法线方程公式曲面是三维空间中的一个二维曲面，可以用函数方程或参数方程表示。

在三维空间中，曲面与平面不同，它具有曲率和法线方向。

曲面的切平面和法线方程是研究曲面性质的重要工具，在许多领域都有广泛的应用。

一、曲面的切平面方程曲面的切平面是曲面在某一点处与该点切线平行的平面。

在二维平面上，我们可以通过直线的斜率来确定该直线的切线方向。

在三维空间中，曲面的切线方向可以通过曲面的偏导数来确定。

假设曲面的函数方程为z=f(x,y)，则其在点(x0,y0,z0)处的切平面方程为：z-z0=fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0)其中fx和fy分别表示函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数。

如果曲面的参数方程为：x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)则其在点(P0)处的切平面方程可以表示为：r(u,v)=r(u0,v0)+r/u|P0(u-u0)+r/v|P0(v-v0)其中r表示曲面的参数方程，r/u和r/v分别表示曲面在点P0处的偏导数。

二、曲面的法线方程曲面的法线方向垂直于曲面的切平面，是曲面的一个重要性质。

对于一个点P(x0,y0,z0)，曲面的法线方程可以表示为：n=f(x0,y0,z0)其中f表示函数f(x,y,z)的梯度，也就是函数在点(x0,y0,z0)处的偏导数向量。

由于曲面的法线方向垂直于曲面的切平面，因此曲面的法线方程也可以表示为：n(r-r0)=0其中r表示曲面上的任意一点，r0表示曲面上的某一点。

三、曲面的切线和法线方向曲面的切线和法线方向在曲面上的任意一点处是唯一的。

曲面的切线方向垂直于曲面的法线方向，因此我们可以通过曲面的法线方程来确定曲面的切线方向。

对于一个点P(x0,y0,z0)，曲面的法线方程可以表示为：n=f(x0,y0,z0)其中f表示函数f(x,y,z)的梯度，也就是函数在点(x0,y0,z0)处的偏导数向量。

求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程假设有一条空间曲线C，其中包含一点P。

现在需要求出这条曲线在点P处的切线方程和法平面方程。

首先，我们需要求出曲线在点P处的切向量。

根据向量微积分的知识，曲线在点P处的切向量可以表示为曲线的导数向量。

因此，我们需要对曲线C进行求导。

假设曲线C的参数方程为r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中t 是曲线上的参数。

则曲线在点P处的切向量可以表示为：r'(t)|t=t0其中，t0是曲线上通过点P的参数值。

我们可以通过求曲线的导数向量来计算r'(t)|t=t0。

具体来说，我们可以分别对x(t)，y(t)，z(t)求导，并在t=t0处求值，即：r'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t))r'(t)|t=t0 = (x'(t0), y'(t0), z'(t0))然后，我们需要将该向量归一化，得到曲线在点P处的单位切向量T：T = r'(t)|t=t0 / |r'(t)|t=t0|其中，|r'(t)|t=t0|表示曲线在点P处的切向量的模长。

现在，我们已经得到了曲线在点P处的单位切向量T。

下一步是求出曲线在点P处的法平面。

法平面可以由两个向量来确定，其中一个是切向量T，另一个是曲线在点P处的法向量N。

曲线在点P处的法向量N可以通过计算曲线的二阶导数向量来得到。

具体来说，我们可以对切向量T进行求导，得到：T'(t)|t=t0 = (x''(t0), y''(t0), z''(t0))然后，我们需要将该向量与切向量T叉乘，得到曲线在点P处的法向量N：N = T × T'(t)|t=t0最后，我们将切向量T和法向量N归一化，得到曲线在点P处的单位法向量B：B = N / |N|现在，我们已经得到了曲线在点P处的切向量T和单位法向量B。

空间曲线的切线与法平面公式空间曲线的切线与法平面公式在几何学中，空间曲线是指在三维坐标系中的曲线。

对于空间曲线上的一点，我们可以通过求取该点处的切线和法平面来描述曲线的性质和特征。

切线是指与曲线相切且方向与曲线在该点处相切的线段。

切线的存在使得我们能够研究曲线在该点处的切向性质。

对于空间曲线上的点 P(x_0, y_0, z_0)，其切线可以通过求取曲线的导数来获得。

设曲线的参数方程为 x = f(t)，y = g(t)，z = h(t)，其中 t是参数。

我们可以通过对 t 求导得到曲线在该点处的切向量 (dx/dt, dy/dt, dz/dt)。

切点 P 在曲线上的切线向量可以表示为 (dx/dt,dy/dt, dz/dt)|_(x=x_0, y=y_0, z=z_0)。

这个向量可以用来表示切线的方向和斜率。

根据切线向量的定义，我们可以计算出切线的一般方程。

设 M(x, y, z) 是曲线上的一点，并且切点 P(x_0, y_0, z_0) 在曲线上。

那么切线的一般方程可以表示为：(x - x_0) / (dx/dt) = (y - y_0) / (dy/dt) = (z - z_0) / (dz/dt)其中，dx/dt，dy/dt，dz/dt 分别表示曲线在 P 点处的方向导数。

这一表达式可以帮助我们找到曲线上任意一点处的切线。

除了切线，法平面是另一个重要的概念。

法平面是与切线垂直的平面，它与切线相交于曲线上的一点。

通过求取曲线的法向量，我们可以得到法平面的方程。

如果曲线是光滑且参数化的，我们可以通过求取切线向量的两个非零向量的叉乘来获得法向量。

设切线向量为 T，那么法向量可以表示为N = T × T'，其中 T' 是关于参数 t 的导数向量。

这样，法平面的一般方程可以表示为：N · (r - r_0) = 0其中 N 是法向量，r 是平面上一点的位置向量，r_0 是曲线上一点的位置向量。

空间曲线与曲面的切线与法线空间曲线和曲面是三维几何中重要的概念，它们的性质和特点对于理解和应用空间几何学非常重要。

在本文中，我们将讨论空间曲线和曲面的切线与法线的概念及其相关性质。

一、空间曲线的切线与法线空间曲线是由一个或多个参数方程所确定的三维图形。

在空间曲线上的任意一点，都存在一个切线和一个法线。

切线是曲线在该点处的切线方向，而法线则垂直于切线，并指向该点的曲线内侧。

切线的表示方法有两种：一是使用曲线的参数方程，确定曲线上该点的切向量；二是使用曲线上两点之间的斜率来确定切线的方向。

如果曲线的参数方程为x=f(t), y=g(t), z=h(t)，则曲线上点P(t)处的切向量为：T = （dx/dt, dy/dt, dz/dt）其中dx/dt, dy/dt, dz/dt分别表示函数f(t), g(t), h(t)对t的导数。

这个向量就是曲线在点P(t)处的切线方向。

对于曲线上的任意一点P(x0, y0, z0)，可以通过计算切线的斜率来确定切线的方向。

假设P处的切线方程为y=kx+b，其中k为斜率，b 为截距。

可以使用以下公式计算切线斜率：k = dy/dx = dy/dt / dx/dt其中dy/dt和dx/dt可以通过曲线的参数方程计算得到。

通过计算切线的斜率和已知的点P(x0, y0, z0)，我们可以得到曲线在该点处的切线方向。

同样地，可以根据切线斜率求得切线的截距。

除了切线，每个点处还有一个法线。

空间曲线的法线垂直于曲线平面。

法线的计算方法和切向量类似，可以使用曲线的参数方程计算得到。

二、空间曲面的切线与法线空间曲面是由一个或多个方程所确定的三维图形。

在空间曲面上的任意一点，都存在一个切平面和一个法线。

切平面与切线类似，是曲面在该点处的切平面，法线则垂直于切平面。

切平面的计算方法与切线类似。

首先，我们需要求得曲面方程的偏导数，然后使用这些偏导数构成一个向量。

以曲面方程F(x, y, z) = 0为例，该曲面上点P(x0, y0, z0)处的切平面方程为：dF/dx(x0, y0, z0)(x-x0) + dF/dy(x0, y0, z0)(y-y0) + dF/dz(x0, y0, z0)(z-z0) = 0其中dF/dx, dF/dy, dF/dz为曲面方程F(x, y, z)对应的偏导数。

求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程空间曲线的切线方程和法平面方程是解析几何中的重要概念，用于描述曲线在特定点的几何性质。

在三维空间中，曲线的切线方程是曲线在某一点处的瞬时方向，而法平面方程则描述了曲线在该点处的法向量所确定的平面。

首先，我们来讨论空间曲线的切线方程。

对于参数方程形式的曲线，我们可以通过求导来获得曲线在某一点处的切向量（或切线方向）。

对于曲线的参数方程：\[x = f(t)\]\[y = g(t)\]\[z = h(t)\]其中，x、y、z分别是曲线上一点P的坐标，而t是曲线的参数。

在给定参数值t0的情况下，P在曲线上的坐标为：\[x_0 = f(t_0)\]\[y_0 = g(t_0)\]\[z_0 = h(t_0)\]我们可以通过求导来计算参数方程关于t的导数。

导数表示了曲线的切线在每个点上的瞬时方向。

对于曲线的参数方程，它的切向量可以表示为：\[\vec{T} = \frac{{d\vec{r}}}{{dt}}\]其中，\(\vec{r}\)是曲线上任意一点P的位置矢量（\(\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\)）。

即使我们不知道\(\vec{r}\)的具体表达式，我们仍然可以使用参数方程计算切向量。

根据链式法则，我们有：\[\vec{T} = \frac{{d\vec{r}}}{{dt}} = \frac{{dx}}{{dt}}\vec{i}+ \frac{{dy}}{{dt}}\vec{j} + \frac{{dz}}{{dt}}\vec{k}\]根据上述求导结果，我们可以得到切向量在参数值t0时的具体值。

切向量\(\vec{T}\)是曲线在参数为t0的点P处的切线方向。

通过归一化切向量，我们可以得到单位切向量\(\vec{N}\)：\[\vec{N} = \frac{{\vec{T}}}{{\|\vec{T}\|}}\]得到切向量后，我们可以通过曲线上点P的坐标和切向量来建立切线方程。

切平面方程和法平面方程公式切平面和法平面是在解析几何中常用的概念，用于描述空间中的平面和与其相切或垂直的平面。

在本文中，我们将介绍切平面和法平面的概念、计算方法和公式。

1.切平面的概念和计算方法在空间中的曲线上任取一点，将该点的切向量作为平面的法向量，通过该点的切平面定义为与该切向量垂直的平面。

切平面与曲线相切于该点。

计算切平面的方法主要有以下几种：1.1利用曲线的参数方程计算切平面对于曲线的参数方程x=f(t)、y=g(t)、z=h(t)，其切向量可通过求导得到：T=(dx/dt, dy/dt, dz/dt)假设在参数t=t₀处取点，曲线上的一点坐标为(x₀,y₀,z₀)，则切向量即为曲线在该点处的切向量。

将切向量作为法向量，通过(x₀,y₀,z₀)点即可得到切平面的方程。

1.2利用曲线的切向量和一点计算切平面除了利用参数方程计算切平面，我们还可以通过曲线在给定一点的切向量求解切平面。

设曲线的切向量为V=(a,b,c)，过曲线上点P(x₀,y₀,z₀)，切平面的方程为：a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)=0其中，(x,y,z)为切平面上的任意一点。

2.法平面的概念和计算方法与切平面相对应，在空间中的曲线上任取一点，将与切向量垂直的平面定义为法平面。

法平面与曲线相交于该点。

计算法平面的方法主要有以下几种：2.1利用切向量和法向量计算法平面对于曲线的切向量V=(a,b,c)和另一向量N=(l,m,n)，如果V与N垂直，则可以利用该向量求解法平面。

设过曲线上点P(x₀, y₀, z₀)的法平面方程为ax + by + cz + d = 0，其中d为常数。

由于V=(a, b, c)与N=(l, m, n)垂直，因此d的值可以通过以下公式计算：d = -(ax₀ + by₀ + cz₀)则法平面方程为：ax + by + cz - (ax₀ + by₀ + cz₀) = 02.2利用曲线上两点计算法平面除了利用切向量和法向量计算法平面，我们还可以通过曲线经过的两点求解法平面。