第4章 曲线曲面
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MASTERCAM9.0实用教程第四章
一、平面/曲面倒圆角 二、曲线/曲面倒圆角
等角视图
俯视图
图4-75 原始曲面和曲线
图4-77 曲面倒圆角结果
三、曲面/曲面倒圆角
C2
C1
图4-78 曲面/曲面倒圆角原始曲面
图4-79 设置曲面的方向
图4-80 曲面/曲面倒圆角后结果
注意：① 曲面和曲面倒圆角时要注意 检查两组曲面的法线方向，要求两组曲面 的法线方向都要指向倒圆角曲面的圆心。 如图4-82a所示两张曲面，当曲面法线如图 4-82b所示时，倒圆角后如4-82b图所示； 当曲面法向如图4-82c所示时，倒圆角后如 图4-82c所示。② 两曲面倒圆角时，要考虑 圆角半径不要设置得太大，以至于在两曲 面中容纳不下倒圆角曲面。
4.3.4 旋转曲面
旋转曲面是把几何图素绕着某一轴或 某一直线旋转而产生的曲面。 旋转曲面可用多个图素串联而进行旋 转，所得到的曲面数目就等于所有串联之 图素的数目。
旋转角度由用户选取旋转轴时的那一
端点来进行确定，不能使用负值，但能通
过选择旋转轴的另一端来确定相反的旋转 角度。旋转的方向永远是沿着选取旋转轴 的端点向另一端观看的顺时针方向，满足 右手螺旋法则。
4.4.3 曲面修剪延伸
曲面的修剪、延伸可以把已有的曲面 修剪或延伸为修剪后的曲面。要使用修剪 功能必须有一个已存在的曲面和至少一个 作为修剪的边界，可以使用曲线、曲面、 平面作为边界来操作。其修剪、延伸方法 见下面的实例。
一、修剪至曲线实例 二、修剪至平面 三、修剪至曲面 四、平面修整
平面修整是指通过指定的边界构建一个平 的曲面
图 4 平 移 后 结 果
– 29
4.3 构 建 曲 面
4.3.1 曲面的基本概念和分类
第四章回转体
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
螺旋输送器
物料进口
物料移动方向
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3. 回转面的形成及投影 （1）回转面的形成 母线（直线或曲线）绕一固定直线回转所形成的曲面称为 回转面。
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（2）回转面的投影
画回转面的投影主要是画回转面转向线的投影：画回转面 的V面投影，主要是画回转面V面转向线的V面投影；画回转面的 H面投影，主要是画回转面H面转向线的H面投影。
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例
求斩子（一种工具）的三面投影图
例5 画出简化后零件的三面投影图
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普通高等教育“十一五”国家级规划教材
〔例4-7〕完成图4-32a所示切割圆柱的H面投影。
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平面与圆柱相交
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作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。 （2）然后作出槽口三面投影图。 ( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
平面与圆柱相交
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例
画全三面投影
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2.圆锥的截交线
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。
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[例题]
求圆锥截交线
解题步骤 1．分析 截平面为正垂面，截 交线为椭圆；截交线的水平投 影和侧面投影均为椭圆； 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ 、 Ⅲ、 Ⅳ ； 3．求出一般点Ⅴ； 4．光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5．整理轮廓线。
(CATIA逆向设计基础)第4章自由曲面设计模块
03 Catia自由曲面设计模块 介绍
Catia的自由曲面设计工具
Catia的自由曲面设计工具提供了强大的建模能力，可以创建复杂的曲面和形状，满 足各种设计需求。
该工具集成了多种建模技术，如曲线、曲面和实体建模，使得用户能够灵活地创建 和编辑自由曲面。
用户可以通过交互式界面轻松地调整曲面的形状和参数，实现高效的设计和修改。
曲面质量评估与优化
Catia提供了曲面质量评估工具，可以帮助用户检 查曲面的连续性、几何误差和其他质量指标。
通过分析曲面的质量，用户可以识别和解决潜在 的问题，提高曲面的准确性和美观度。
优化工具可以帮助用户改善曲面的形状、光顺性 和其他属性，提高设计效率和质量。
曲面数据的管理与导
Catia提供了强大的数据管理 功能，允许用户组织和存储曲 面数据，方便后续的编辑和引
Catia软件将进一步集成更 多的设计和分析工具，以 提供更全面的解决方案。
智能化
借助人工智能和机器学习 技术，Catia软件将实现智 能化的设计和优化，提高 设计效率和质量。
云化
Catia软件将加强与云计算 的结合，实现数据共享、 远程协作等功能，提升用 户体验和工作效率。
自由曲面设计的未来应用场景
Catia的自由曲面设计模块提供了多种曲线和曲面的创建、编 辑和分析工具，支持设计师进行复杂曲面造型和优化。同时 ，Catia还支持与其他CAD软件的集成，方便设计师进行数据 交换和协同工作。
02 自由曲面设计基础
曲面几何基础
曲面的定义
曲面是一组点在三维空间中的集合，这些点由连续的参数 曲线定义。曲面可以由一个或多个参数方程表示，其中参 数可以是二维平面上的一个点或角度。
编辑曲面
编辑曲面包括调整曲面的形状、修改曲面的参数方程、分割曲面等操作。 在Catia中，可以使用多种工具来编辑曲面，如移动、旋转、缩放等。
工程制图第六讲
不规则曲线—任意平面的曲线
曲线 规则曲线—螺旋线
空间曲线
不规则曲线—任意空间的曲线
平面曲线
§4-2 平面曲线
平面曲线——曲线上所有的点都位于同一平面内。 （一）平面曲线的投影特性（4点） 1、平面曲线的投影一般仍为平面曲线，当其所在平面平 行于投影面时，则在投影面上面时，则在投影面上
4-2
四心扁圆法
C、四心扁圆法（已知长、短轴AB、CD）
步骤： 1、作互相垂直的两直线，取长短轴。 2、以O为圆心，OA为半径作圆交DC于E。 ３、以C为圆心，CE为半径作圆交AC于F。 ４、求AF的中点P，过P作AF的垂线交 AB， CD于O1，O2，对称求O3，O4。 5、以O2、O4为圆心，CO2为半径画大圆弧。 6、以O1、O3为圆心，AO1为半径画小圆弧。
圆柱螺旋线
（二）圆柱螺旋线
1、形成 一动点在正圆柱表面上绕其 轴线作等速回转运动，同时沿 圆柱的轴线方向作等速直线运 动，则动点在圆柱表面上的轨 迹称为圆柱螺旋线。 2、术语 (a) 导圆柱面 轴线 直径 线数—n
(b)旋向（右旋：可见部分自左向右升高。左旋：可 见部分自右向左升高）
(c) 导程—S 螺距—t S=nt 螺旋角 升角
三、分类 曲面可根据其母线是直线还是曲线而分为直线面和 曲线面。曲面可以由直线也可由曲线形成的，仍为直 线面。掌握（圆）柱，（圆）锥，一般回转面。
常见曲面
§4-5常见曲面
一、柱面 1、柱面的形成——直母线沿曲导线运动，且始终平行于 直导线而形成的曲面。 2、柱面的画法：画出导线MN、曲导线A1B1的投影，轮廓 线AB、AA1、BB1，还有转向轮廓线CC1的投影。
反之
面可见——线可见——点可见 面不可见——线不可见——点不可见
建筑工程制图第4章 曲线与曲面立体的投影
两圆柱位置不同时相贯线的变化趋势
(a)
(b)
(c)
(d)
4.5 旋转楼梯
平螺旋面
螺旋楼梯
4.5 旋转楼梯
1．平螺旋面
4.5 旋转楼梯
平螺旋面的应用— 螺旋楼梯
4.5 旋转楼梯
平螺旋面的应用— 螺旋楼梯
4.5 旋转楼梯
4.5 旋转楼梯
Thanks
5 3
4.3 平面与曲面立体截交
例3:圆锥被正平面截切，补全主视图。Fra bibliotek● ●
e′
●
c d′
′
●
●
a′
b′
截交线 的空间 E 形状？ 截交线 D C 的投影 特性？ A
B
a c
●
●
●
e
●
d
●
b
4.3 平面与曲面立体截交
例4:圆锥被正平面截切，补全主视图。
● ●
e′
●
c d′
′
●
●
a′
b′
截交线 的空间 E 形状？ 截交线 D C 的投影 特性？ A
底圆 母线 素线 顶圆 轴线
4.2 曲面立体及其表面上的点
例1：绘制圆柱的三视图。 O A
O1 A1
4.2 曲面立体及其表面上的点
例2：已知圆柱表面的点的投影1’、2’、3’、4，求其它两面投影。
4
1′
4″
1″
3
(2)
2″
3
利用投影的
积聚性 O A
2 1
4
3
O1 A1
相贯线 相贯线
第4章曲线功能
4.1.12 螺旋线
• 螺旋线是指一个固定点向外旋绕而生成的曲线。具有指定圈数、 螺距、弧度、旋转方向和方位的曲线，如图4.102所示。常常使用 在螺杆、螺钉、弹簧等特征建模中。
• 单击“曲线”工具栏中的“螺旋线”按钮，进入“螺旋线”对话 框，如图4.103所示。
4.1.13 文本
• 在工程实际设计过程中，为了便于区分多个不同零件，通常采取对其进行 刻印零件编号方法。另外对某些需要特殊处理的地方，一般添加文字附加 说明。处于相同的原因，在UG建模过程中，有时也需要使用“文本”命令 对模型上添加文字说明。
• 单击“曲线”工具栏中的“桥接曲线”按钮，进入“桥接曲线”对话框，如图4.116 所示。
4.2.3 连接
• 该选项是指将所选的多条曲线或边连接成一条曲线，其结果生成是与 原先的曲线链近似的多项式样条。利用该命令可以方便快速的创建样 条。一旦将某个对象转换成样条后，就可以更加自由地编辑其形状。
• 单击“曲线”工具栏中的“连接曲线”按钮，进入“连接曲线”对话 框，如图4.121所示。在该对话框中选择需要连接的曲线，设置完成 后，单击“确定”按钮，完成连接曲线的创建，如图4.122所示。
• 修剪拐角时，移动鼠标，使选择球同时选中欲修剪的两曲线，且 选择球中心位于欲修剪的角部位，单击鼠标左键，系统会弹出 “修剪拐角”确认对话框，如图4.165所示。单击“是”选项，完 成修剪拐角操作，如图4.166所示。
• 单击“编辑曲线”工具栏中的“修剪曲线”按钮，进入“修剪曲线”对话 框，如图4.160所示。
4.3.4 修剪拐角
• 该选项主要用于两条不平行的曲线在其交点形成拐角。可以是相 交曲线，也可以是不相交曲线。单击“编辑曲线”工具栏中“修 剪拐角”按钮，弹出“修剪拐角”对话框，用户利用该对话框提 示选取需要修剪的曲线。
第4章 立体的投影(OK)
上一节
目录
下一节
截交 线的 性质 截交 线的 求解 方法 平面 与平 面立 体的 截交线 平面 与曲 面立 体的 截交线 平 面 与 棱 柱 的 截 交 线
§4.3 平面与立体相交
例：如图4.27a所示，已知三棱柱的两面投影与正垂面P的迹线PV， 求作三棱柱的W面投影、P平面与三棱柱的截交线以及断面的真形
曲线 曲面 圆柱面 圆锥面 球面 环面 单叶 双曲 回转 面 曲面 立体 上的 点与 直线
§4.2 曲面立体的投影
如图所示的曲面是由直母线 AB沿曲导线L1运动并始终平行于直导线 L2 而形成的 A L1
B
L2
H
上一节
目录
下一节
曲线 曲面
§4.2 曲面立体的投影
有规则的曲面还可以按下列不同情况进行分类：
第4章 立体的投影 章
§4.1 平面立体的投影 §4.2 曲面立体的投影 §4.3 平面与立体相交 §4.4 两立体相贯
棱柱 棱锥 棱台
§4.1平面立体的投影 平面立体的投影
平面体的表面都是由封闭的平面图形围成，相邻表面
棱柱 表面 上的 点和 线 棱锥 表面 上的 点
的交线称为棱线。因此，绘制平面立体的投影可归结为 绘制它的各表面的投影，也就是绘出这些多边形的边和 顶点的投影。 作图时，应判别可见性，可见的棱线画粗实线，不可 见的棱线画虚线，当粗实线与虚线重合时，画粗实线。
上一节
目录
下一节
棱柱 棱锥 棱台 棱柱 表面 上的 点和 线 棱锥 表面 上的 点
§4.1平面立体的投影 平面立体的投影
棱 柱
在底面平行 的投影面上 的投影反映 底面实形； 底面实形； 另两个投影 面上的投影 分别为一个 或多个矩形
第四章曲线与曲面
圆柱表面取点
c' a'
素线法
(c") a"
(b' )
b"
b
a
c
圆柱面上线段的投影
a' 1' c' 2' b' b'' a'' 1'' c'' 2''
(b) 2 c
1
a
2.圆锥面
土木工程制图
圆锥由圆锥面和底面 组成。 圆锥面可看成是由直线 SA绕与它相交的轴线OO1 旋转形成的。 S称为锥顶，直线SA 称为母线。 圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。
4.3 回转面
土木工程制图
从控制条件上说，由母线绕一固定的轴线旋
转生成的曲面称为回转面，该固定轴线称为旋转
轴。例如圆柱面、圆锥面，只能由曲母线旋转生
成的称为旋转曲线面，例如球面、圆环面等。
土木工程制图
回转轴线
上底圆
喉圆
a) 立体图
转向轮廓线 素线 下底圆
纬圆
赤道圆
土木工程制图
b) 投影图
一、圆柱面
(b) 投影图
纬圆法
土木工程制图
s
s
S
(k)
k s
(k)
如何取圆的半径？
圆锥面上线段的投影
a' c' e' e" c"
d'
d"
b'
c d b
e
a
三. 球面 1.球面的投影图
圆球面：是由一圆母线以 它的直径为回转轴旋转而 成。
土木工程制图
计算机图形学第4章 自由曲线与曲面2
(1) P3 Q0 (2) 0 P3 P2 (Q1 Q0 )
三点共线，且Q1,P2在连接点的异侧
二阶几何连续条件？
自学
21
4.6 Bezier曲线
反求控制顶点
给定n+1个型值点，要求构造一条Bezier曲线通过这些点
Q0 P0 ... 0 n 1 n 1 n (i / n) ... PnCn (i / n) n Qi P0Cn (1 i / n) P 1C n (1 i / n) ... Qn Pn
17
4.6 Bezier曲线
二次Bezier曲线
n=2,抛物线 P(0)=P0,P(1)=P2; P'(0)=2(P1- P0), P'(1)=2(P2- P1) P(1/2)=[P1+ (P0+ P2)/2]/2
P1
P(0.5)
P(0)
P0
M
P2
P(1)
说明二次Bezier曲线在 t=1/2 处的点经过P0P2 上 的中线P1M的中点。
优于Bezier曲线之处：
26
4.7 B样条曲线
三次B样条曲线对三次Bezier曲线进行改进， 它克服了Bezier曲线的不足，同时保留了 Bezier曲线的直观性和凸包性，是一种工程设 计中更常用的拟合曲线。
三次B样条曲线的构造:
由前面可知，三次参数曲线可以表示成： P(t)=F0,3(t)P0 + F1,3(t)P1 + F2,3(t)P2 + F3,3 (t)P3 F0,3(t) ，F1,3(t) ，F2,3(t) ，F3,3 (t)是待定参数 P2 P1 P(t) 由P0，P1，P2，P3确定 Q(s) 由P1，P2，P3，P4确定 P3 P4
第四章曲面论基本定理
（25）
求曲面 z = f ( x, y ) 的 Christoffel 记号。 因为已经给出了曲面方程，我们用运动公式（ 16 ）出发直接求 Γ
α βγ
，曲面的参数
方程是
r ( x, y ) = ( x, y, f ( x, y )),
因此 x, y 分别对应于 u , u .Γ
1 2 1 11 就是 xx
γ Dβ = −bβ γ
γ
γ
（15）
由于 n 是单位向量场，故从（ 11）式得到 Dβ = 0 ，综上所述， （ 11 ）式成为
∂rα = Γγ αβ rγ + bαβ n β ∂u ∂n = −b γ r β γ ∂u β
现在我们来求 Γ
γ αβ
（16）
。
在（ 16 ）的第一式两边点乘 rξ ，则得
实际上，
（8）
g 11 g 21
g 12 1 g 22 = g 22 g − g 21
− g 12 。 g11
（9）
采用上述记号，曲面上的自然标架就成为 {r , r1 , r2 , n} ，要考虑的是自然标架场的运动 公式。着先，标架原点的微商根据定义为
（13）
下在我们引进用第一类基本量（ g αβ ） 将一组带指标的量的上指标或下指标下降或上升 的概念。命
bβ = bβξ g γξ
把 bβ 看成是将 bβγ 的指标 v 借助于（ g
γ bβ = bβξ g γξ
γ
（14 ）
αβ
γ
）上升的结果，这个过程是可逆的。即
（ bβ ）这组量与（ bβγ ）是彼此 故 bβγ 恰是将 bβ 的指标借助于（ g αβ ）下降的结果。 决定的。这样，所求的系数是
几种常见的曲面及其方程()
2
z
2 y
1
o o
o x
2y
x
(3)
x z a
2
2
2
x2 y2 a2
z
a
o
a
y
x
P324 题2 (1)
y 5x 1 y x3 y x3
z
y 5x 1
o
y
z
x2 y2 1 4 9 y3
x
2
3
y
z
z
ay x
x 2 y 2 ax z0
M ( x, y, z )
C
M 1 (0, y1 , z1 )
z z1 ,
x y y1
2
2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( x 2 y 2 , z) 0
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C : f ( y, z ) 0
o x
y
f ( y, x z ) 0
2 2
例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
z
L
M (0, y, z )
y
两边平方
x
2
z a (x y )
2
2
2
例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在
xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x y 1, z 0 .
工程制图习题答案
第1章点和直线1．已知三点A、B、C的两面投影，求第三投影。
2．作出两点A、B的三面投影：点A（25，15，20）；点B在A之左10、A之前15、A之上12。
3．已知三点A、B、D等高，点C在点A正下方，补画诸点的投影，并表明可见性。
4．判断下列直线对投影面的相对位置。
AB是侧平线；EF是水平线；CD是正垂线；GH是侧平线5．判断下列直线对投影面的相对位置，并画出第三投影。
AB是正平线；AC是铅垂线；AD是正垂线；BC是侧垂线。
6．判断并填写两直线的相对位置。
AB、CD两直线相交；PQ、MN两直线相交；AB、EF两直线平行；PQ、ST两直线平行；CD、EF两直线交叉；MN、ST两直线交叉。
７．已知CD和AB垂直相交，补画CD的投影。
第2章平面１．已知矩形ABCD的V面投影和AD的H面投影，完成其H面投影。
２．由点A作△BCD的垂线AK。
K为垂足，并标出A与△BCD的真实距离。
３．在AB、CD上作对V面投影的重影点E、F和对W面的重影点M、N的三面投影，并表明可见性。
４．作一直线MN，使MN∥AB，且与直线CD、EF相交。
５．用直角三角形法求线段AB的实长和对H面、V面的倾角а、в。
６．求作平面图形的第三投影，并判别平面所处的空间位置。
７．已知五边形ABCDE的一边BC∥V面，完成其水平投影。
８．在△ABC内取点D，使点D与H、V面的距离分别为18，30。
９．作图判断点A、B、C、D是否在同一平面上？四点不在同一平面上。
１０．作两交叉直线AB、CD的公垂线EF，分别与AB、CD交于E、F，并标明AB、CD间的真实距离。
１１．由点A作直线CD的垂线AB，并求出点A与直线CD之间的距离。
1２．判断下列直线与平面、平面与平面是否平行？（1）直线与平面平行（2）两平面平行（3）两平面不平行１３．求作直线CD与△LMN的交点，并表明可见性。
１４．求作铅垂线AB与△CDE的交点，并表明可见性。
１５．求作△EFG与□PQRS的交线，并判断可见性。
第四章曲面论基本定理
∂r = rα ∂u α
另外，既然 r1 , r2 , n 是线性无关的，不妨假定。
（10 ）
∂rα γ = Γ αβ rγ + Cαβ n, ∂u β ∂n = D γ β r + D n γ β ∂u β
其中 Γ
γ αβ
（11）
， Cαβ ， Dβ ， D β 都是待定系数。
（25）
求曲面 z = f ( x, y ) 的 Christoffel 记号。 因为已经给出了曲面方程，我们用运动公式（ 16 ）出发直接求 Γ
α βγ
，曲面的参数
方程是
r ( x, y ) = ( x, y, f ( x, y )),
因此 x, y 分别对应于 u , u .Γ
1 2 1 11 就是 xx
Γ111 = Γ122 Γ212
1 ∂E 1 ∂E , , Γ112 =Γ121 = 2 ∂u 2 ∂u ∂F 1 ∂G ∂F 1 ∂E , Γ211 = , = − − ∂v 2 ∂u ∂u 2 ∂v 1 ∂G 1 ∂G = Γ221 = , Γ222 = 2 ∂u 2 ∂v
（23）
Γ 111 =
Γ 212 = Γ 2 21 = Γ 2 22
如果取正交参数曲线网，则 F≡ 0 ，上面的公式便大大化简了：
Γ 111 = Γ
例 解
2 11
1 ∂ ln E 1 ∂ ln E 1 ∂G , Γ 112 = Γ1 21 = , Γ1 22 = − , 2 ∂u 2 ∂v 2 E ∂u 1 ∂E 1 ∂ ln G 1 ∂ ln G =− , Γ 2 12 = Γ 2 21 = , Γ 2 22 = . 2G ∂v 2 ∂u 2 ∂v
微分几何第四章主曲率主方向
(3.12)
并设 1 2 . 对任意一个单位切向量 e Tp S ，可设
e cos e1 sin e2 .
(3.13)
则有
W (e ) cos W (e1 ) sin W ( e2 ) 1 cos e1 2 sin e2 .
(3.14)
于是沿切方向 e 的法曲率为
例 3.1 求旋转面上的曲率线. 解 设旋转面的方程为 r (u, v) f (v)cos u, f (v)sin u, g(v) . 其中 f (v) 0 ， 并且 v 是经线的弧长参数，f 2 g 2 1 . 则 ru f sin u,cos u,0 ， rv f cos u, f sin u, g ， ru rv f g cos u, g sin u, f ， n g cos u, g sin u, f . 由于 nu g sin u,cos u,0 ， nv g cos u, g sin u, f ， g g 0 ，有 n r 0 ，nv rv 0 . 所以 u-曲线 并且 f f (纬线圆)和 v-曲线(经线)都是曲率线.
微分几何第四章主曲率主方向微分几何微分几何彭家贵答案微分几何第四版答案微分几何答案微分几何视频微分几何讲义物理学家用微分几何微分几何与广义相对论整体微分几何初步
Weingarten 映射和主曲率
设 S : r r (u, v) 是一个正则曲面， n n (u, v) 是 它的单位法向量. 向量函数 n (u, v) 定义了一个 映射 n : S 2 : (u, v) n(u, v) ，映射 n 诱导了映射 g n r 1 : S S 2 : r (u, v ) g (r (u, v)) n (u, v) . 这个映射 g : S S 2 称为 Gauss 映射.
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（1）G0连续 P(t)的终点与Q(t)的始点相连，满足P(1)=Q(0)。
（2）G1连续
Bezier曲线拼接 曲线在拼接点具有相同的单位切矢量，即
P(1) Q(0)
则有
P(1) 3( P3 P2 )
P3 P2 Q1 Q0
Q(0) 3(Q1 Q0 )
标轴的选取相关，不便于计算与编程等。 *参数表示 将曲线或曲面上的点的坐标表示为某参数的函数。
x x(u), y y(u), z z (u)
1.曲线曲面的数学表示形式
与曲线曲面显式和隐式表示法相比较，参数表示法具有如下 优点： 可方便的表示三维曲线，并有更多的自由度来控制曲线曲面形 状；
t－ 参变量，变化范围为0~1； ( xi 2 , yi 2 ),( xi 1 , yi 1 ),－ 相邻四个控制点的坐标值。
B样条曲线方程
B样条曲线与Bezier曲线的差别
– Bezier曲线的次数等于控制顶点数减1，B样条曲线的次数 与控制顶点无关；
– Bezier曲线的基函数是多项式函数，B样条曲线的基函数是
参数表示的曲线曲面与坐标系选择无关；
在参数表达式中使用切矢量来代替非参数方程中的斜率，便于 处理斜率为无穷大情况；
易于用矢量和矩阵表示几何量，从而便于计算机计算与编程。
2.参数曲线定义及切矢量、主法矢和曲率
一条用参数表示的三维曲线是一个有界的、连续的点集，可表 示为
x x(u), y y(u), z z(u) 0 u1
P(t)－ 任意拟合点的坐标，P(t)=[x(t),y(t)]；
Pi － 给定的第i个点的坐标；
BiN (t )－ 混比函数，反映第i个点对拟合点的影响，它定义为
BiN ( t )
N! t i (1 t ) N i i! ( N i )!
Bezier曲线方程 当控制点数为4时，拟合的Bezier曲线是三次多项式函数。将混合 函数按照定义计算式展开，经整理可得三次Bezier曲线计算式：
x( t )
y ( t ) t 3
t2
1 3 3 3 6 3 t 1 3 3 0 0 0 1
1 x0 x 0 1 0 x 2 0 x 3
y0 y1 y2 y3
Bezier曲线性质 零次Bezier曲线就是一个顶点P0；一次Bezier曲线就是连接两 个顶点P0与P1的直线；二次Bezier曲线是以P0和P2为端点的抛 物线。
曲线与曲面
在CAD中经常要处理复杂的自由形状曲线和曲
面，特别是在汽车、航空航天、船舶、轻工等
领域的CAD中，自由曲线和曲面设计是一个重 要问题。CAD技术采取的基本做法是： 给出一系列离散点的空间坐标； 将上述离散点分段，并选择某个函数模式计
算每一小段内任意点的坐标。
上述计算过程又称为拟合或逼近，所选择的函
y0 y1 y2 y3
1 3 3 3 6 3 P (1) 3 2 1 0 3 3 0 0 0 1
1 P0 P0 P P 0 1 0 0 3 3 1 P2 0 P2 0 P3 P3
P (1) 6( P3 2 P2 P1 )
由连接点两边各两个顶点所构 成的平行四边形对角线须平行且 相等，位于同一平面。
三 B样条曲线
B样条的概念是由Schoenberg（舍恩伯格）于40年代提出；
B样条方法是在保留Bezier方法的优点同时，克服其由于整体不
具有局部性质的缺点，以及解决在描述复杂形状时带来的连接 问题下提出来的; B样条曲线具有与Bezier曲线相类似的功能，它的特点在于多项 式的次数可不受控制点数目的限制，能独立选择次数并具有局 部构形性。
Bezier曲线性质
凸包性(Convex Hull) Bezier曲线恒位于其控制顶点所形成的凸
包内 几何不变性 Bezier曲线的位置与形状仅与其特征多边形顶点
位置有关，而与坐标系的选择无关。在几何变换中，只要直接对 特征多边形的顶点变换即可，无需对曲线上的每一点变换。 全局控制性 将给出的控制点循序连接可组成一折线，Bezier
P ( t ) Pi BiN ( t )
i 0 N
BiN ( t )
N! t i (1 t ) N i i! ( பைடு நூலகம் i )!
3! t 0 (1 t ) 3 t 3 3t 2 3t 1 0!3! 3! B13 ( t ) t 1 (1 t ) 2 3t 3 6t 2 3t 1!2! 3! B23 ( t ) t 2 (1 t )1 3t 3 3t 2 2!1! 3! B33 ( t ) t 3 (1 t ) 0 t 3 3!0! B03 ( t )
B样条曲线方程 三次B样条插值点坐标的计算式是：
x( t )
y ( t ) t 3
t2
1 3 3 1 3 6 3 t 1 6 3 0 3 4 1 1
1 x i 2 x 0 i 1 0 x i 0 x i 1
yi 2 y i 1 yi yi 1
1 x0 x 0 1 0 x 2 0 x 3
y0 y1 y2 y3
x ( t )
y ( t ) 3 t 2
1 3 3 3 6 3 2t 1 0 3 3 0 0 0 1
1 x0 x 0 1 0 x 2 0 x 3
2 2 2 2 dT d P d x d y d z ( s) k( s) T ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ds ds2 ds ds ds
３.曲线段间连续性定义
在实际应用中，曲线常常以分段形式定义，或由多段曲线拼合 而成。关于各曲线段在连接点处的连续性有两种判断标准：参 数连续和几何连续。 参数连续——判断连接点处曲线方程相对于参数u的各阶导数
数模式则称为拟合函数或逼近函数。
应用领域
一 曲线、曲面的参数表示
1.曲线曲面的数学表示形式
在数学上，曲线曲面常采用显式、隐式和参数几种表示形式。 *显式表示
y f ( x)
显式表示不能表示封闭或多值曲线，如圆等。 *隐式表示
F ( x, y, z ) 0
可以表示多值曲线，如抛物线、椭圆等，但仍存在曲线与坐
分段多项式； – Bezier曲线：参数多项式曲线；B样条曲线：参数样条曲线
– Bezier曲线：缺乏局部性；B样条：具有局部性
最常使用的B样条曲线是三次B样条曲线。对三次B样条曲线来说， 任意插值点的坐标值只与相邻四个控制点坐标有关；如果改动
任意某个控制点的坐标，其对曲线形状影响波及的范围只是前
后各三个小段跨度。
（3）G2连续
满足 P (1) Q(0)
Q(0) 为得到分段之间 6(Q2 2Q1 Q0 )G1光滑过渡 ，在衔接点处应使前段的最后 P3 2 P2 P1 Q2 2Q1 Q 0 ( P3 P2 ) ( P1 P2 ) (Q2 Q两个控制点和后段最先两个控 1 ) (Q0 Q1 ) 制点同在一条直线上。
的形状。因此，给出的离散点又称为控制点。 Bezier 曲线适宜
用于象汽车车身等自由形状的构形设计。
Bezier曲线拟合实例
Bezier曲线方程 对于给定的N+1个点，可定义n次Bezier曲线，拟合计算式为：
P ( t ) Pi BiN ( t )
i 0 N
t－ 参变量，取值范围为0~1；
所以以弧长为参数的切矢量为单位切矢量。
主法矢与曲率
主法矢
( s ) T ( s) P N ( s) ( s) P( s) T
主法矢总是指向曲线凹入的方向。
曲率
( s ) lim T ( s ) T k ( s) p s 0 s
曲率表示切向量沿曲线的变化率，它描述了曲线在某点的 弯曲程度。曲率越大，曲线在此点弯曲地越厉害。曲率的倒数 称为曲率半径。 曲率的计算：
连续性，如果具有n阶导数，则称曲线n阶参数连续，记为 C
n
几何连续——判断连接点处曲线方程相对于弧长s的各阶导数连
n G 续性，如果具有n阶导数，则称曲线n阶几何连续，记为
曲线的参数连续性与参数的选择有关；而几何连续性不依赖于 参数的选取，而是反映曲线的具体几何特征。
连续性定义
在曲线曲面造型中，一般仅讨论 C 0、C 1、C 2 和 G 0、G1、G 2 连续。 当曲线具有C0连续时，表示曲线在连接点处位置矢量相同； 当曲线具有C1连续时，表示前后两个曲线段在连接点处切矢方 向相同，大小相等； 当曲线具有C2连续时，表示曲线在连接点的二阶导矢相同；
曲线的端点在u=0、u=1处，曲线上任一点的位置矢量（坐标） 可用矢量P(u)表示 P(u) [ x(u) y(u) z(u)]
切矢量
设曲线上 Q、R两点，其参数分别为 u、u+ u，位置矢量分别 为P(u)、 P(u+u )。 矢量P= P(u+u )- P(u)表示连接QR的弦长，当u0时，位置 矢量关于参数 u 的一阶导数矢量称为曲线在该点的切矢量，方
曲线光滑地随着该折线的变化而变化。通过改动控制点的配置，
控制Bezier曲线的变化趋势。对Bezier曲线，改变一个控制点的 位置，将影响整条曲线的形状，所以总控制点数目不宜过多。
Bezier曲线拼接 Bezier 曲线函数也是多项式，其次数为段内控制点数目减 1 。当 控制点数目较多时，宜分段拟合。两条三次 Bezier 曲线 P(t) ， Q(t)，进行拼接：