九大曲面方程

曲面方程一般表达式

曲面方程一般表达式
曲面方程是描述三维空间中曲面的数学公式。

一般来说，曲面方程可以用一般表达式来表示。

一般表达式是指一个包含三个变量x、y、z的二次方程，其形式为：
Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J是常数，且A、B、C不全为0。

这个方程描述了一个三维空间中的曲面，它的形状和大小取决于方程中的系数。

例如，当A、B、C都为正数时，曲面是一个椭球体；当A、B、C中有一个为0时，曲面是一个抛物面或一个圆锥面；当A、B、C中有两个为0时，曲面是一个平面或一个圆柱面。

曲面方程的一般表达式可以用来解决许多实际问题。

例如，在物理学中，曲面方程可以用来描述电场、磁场、重力场等物理现象；在工程学中，曲面方程可以用来设计汽车、飞机、船舶等产品的外形；在计算机图形学中，曲面方程可以用来生成三维模型，实现真实感渲染等。

曲面方程的求解是一个复杂的数学问题。

一般来说，可以通过数值计算或解析方法来求解。

数值计算是指通过计算机程序来求解方程的数值解，这种方法适用于一般表达式比较简单的情况。

解析方法
是指通过数学推导来求解方程的解析解，这种方法适用于一般表达式比较复杂的情况。

曲面方程的一般表达式是描述三维空间中曲面的重要工具，它在许多领域都有广泛的应用。

常用曲线和曲面的方程及其性质

常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。

它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。

本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。

一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。

一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。

直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。

斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。

2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。

标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。

一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。

圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。

3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。

标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。

一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。

椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。

当$a=b$时，椭圆变成了圆。

4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。

标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。

一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。

抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。

5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。

理学解析几何常见的曲面

r
o
R
x
5环面
圆（x R)2 y 2 r 2 (R r 0) 绕 y轴旋转所成曲面 y
o z
x
.
5环面
圆（x R)2 y 2 r 2 (R r 0) 绕 y轴旋转所成曲面 y
生活中见过这个曲面吗？
o
x
.
z
环面方程
( x2 z 2 R)2 . y2 r 2
.
或 (x2 y2 z2 R2 r 2 )2 4R2(x2 z2 )
（1）xOz
面上双曲线 x 2 a2
z2 c2
1分别绕x
轴和
z 轴；
x
x
绕x 轴旋转
x2 y2 z2 a2 c2 1
oz
o
z
旋转双叶双曲面 y
y
（1）xOz
面上双曲线
x a
2 2
z2 c2
1分别绕x
轴和 z 轴；
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
旋转单叶双曲面
z
z
y
y
o
x
o
x
y2 （2）yOz 面上椭圆 a 2
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：（1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程；（2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程F( x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方程，而曲面S 就叫做方程的图形．
定义3.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.
例 1 直线L绕另一条与 L相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面
的顶点，两直线的夹角

几种常见的曲面及其方程精

z
f ( y1, z1) ? 0
C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M(x, y, z) , 则有
z ? z1, x2 ? y2 ? y1
故旋转曲面方程为
M (x, y, z)
o x
M1(0, y1, z1)
y
f ( ? x2 ? y2 , z) ? 0
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z C : f ( y, z) ? 0
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?
1 单叶双曲面 ? 1 双叶双曲面
图形
z
4. 椭圆锥面
z
x2 a2
?
y2 b2
?
z2
( a, b 为正数)
在平面 z ? t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
?
y2 (bt ) 2
?
1,
z? t
①
xx
o yy
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
z
x l1
y z l2
x z l3
x
y y
3、旋转曲面
一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程 :
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) ? 0
若点 M1(0, y1, z1) ? C, 则有
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上 .
(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
得到, 见书 P316 )
分别绕 x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程 .

几种常见的曲面及其方程.

方程 F(x, y) 0 表示柱面,
母线平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3.
z
x l1
1) y1 b 时, 截痕为双曲线:
x2 a2

z2 c2
1
y12 b2
y y1
(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）
2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 ac y b (或 b)
3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 a2

z2 c2
1
y12 b2
y z l2
x z l3
x
y y
3、旋转曲面
一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有
z
f ( y1, z1) 0
C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M (x, y, z) , 则有
z z1, x2 y2 y1
故旋转曲面方程为
M (x, y, z)
o x
M1(0, y1, z1)
y
f ( x2 y2 , z) 0
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z C : f (y, z) 0
x2 a2

常见曲面方程总结(一)

常见曲面方程总结(一)前言•引言：曲面是数学中的重要概念，广泛应用于计算机图形学、工程设计等领域。

在形状设计和模拟中，掌握常见曲面方程是非常重要的基础知识。

本文将介绍几种常见的曲面方程，并分析其特性和应用场景。

正文一、球面方程•定义：球面是由到定点距离相等于固定半径的点所组成的曲面。

它的方程一般可以表示为：(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²，其中(a,b,c)为球心坐标，r为半径。

•特性：球面是空间中对称性最高的曲面，具有旋转对称性、轴对称性和平面对称性。

•应用：球面方程广泛应用于计算机图形学中的三维建模，如球体、球形光源等。

二、圆柱面方程•定义：圆柱面是围绕某条直线旋转而形成的曲面。

它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

•特性：圆柱面在与旋转轴垂直的方向上是无限延伸的，而在旋转轴方向上是有限长度的。

•应用：圆柱面方程常用于描述圆柱体、柱形物体等实际物体的几何特征。

三、锥面方程•定义：锥面是由定点到平面上所有点的连线所组成的曲面。

它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = z²，其中(a,b)为锥顶坐标。

•特性：锥面在平面上形成对称的圆锥形状，而在垂直于平面的方向上是无限延伸的。

•应用：锥面方程常用于描述圆锥体、棱锥体等实际物体的几何特征。

四、椭球面方程•定义：椭球面是由到两个定点的距离之和等于常数的点所组成的曲面。

它的方程可以表示为：(x-a)²/r₁² + (y-b)²/r₂² + (z-c)²/r₃² = 1，其中(a,b,c)为椭球中心坐标，r₁、r₂、r₃为轴长。

•特性：椭球面可以是旋转椭球、扁椭球或球体等不同形状，取决于轴长的比值。

曲面方程及其方程

② 圆锥面
直线 L 绕另一条与其相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．
两直线的交点叫圆锥面
的顶点, 两直线的夹角
(0 < <
)
2
叫圆锥面的半顶角.
试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角
为的圆锥面方程．
yoz 面上直线:
z y cot
x 0
z
绕z 轴旋转一周所得的圆锥面方程：
x
特殊柱面：平面
y
y x
内容小结
1. 空间曲面
三元方程 F(x, y , z) 0
2. 球面 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
3. 旋转曲面 (旋转曲面的概念及求法).
4.
如,
曲线
f (y, z) x0
0
柱面 (母线、准线).
绕 z 轴的旋转曲面:
f ( x2 y2 , z) 0
当平面z c上下移动时，得 c
到一系列圆.
o
y
圆心在(1,2, c)，半径为 1 c x
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
d M1(0, y1, z) M
o y
将 z z, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z) 0
f ( y,z) 0
x
0
得旋转曲面的方程： f ( x2 y2 , z) 0,
即为 yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z 轴
旋转一周的旋转曲面方程.
由此可见：绕 z 轴旋转，z 坐标不动，将 y 换成 x2 y2.
• oMo
母线 L
y
x
•
曲面
M1 准线C

曲面的方程

曲面的方程
曲面是三维空间中的一种图形，它可以用方程式来描述。

曲面的方程通常可以分为两种类型：显式方程和参数方程。

显式方程是指用x、y、z三个变量表示曲面上所有的点的方程。

例如，球面的显式方程为x²+y²+z²=R²，其中R为球面的半径。

参数方程是指用一个或几个参数来表示曲面上所有的点的方程。

例如，圆锥的参数方程为x=r(1-t)cos⁡θ，y=r(1-t)sinθ，z=ht，其中r为圆锥底面半径，h为高度，θ为底面扫描角度，t为参数。

除了常见的球面、圆锥之外，曲面还包括椭球面、双曲面、抛物面等等。

每种曲面都有自己独特的方程形式，可以通过数学求解方法得到。

在实际应用中，曲面的方程可以用来描述物体的形状、表面细节以及各种物理场的分布情况等。

曲面、曲线及其方程

03
曲面与曲线的联系
曲面与曲线的几何关系
曲面与曲线在三维空间中相互依存
01
曲面是由曲线在某些方向上无限延伸形成的，而曲线则可以看
作是曲面上的一个特定区域。
曲面与曲线的形状和变化
02
曲线的形状和变化可以影响其所在的曲面形状，反之亦然。
曲面与曲线的交线
03
曲面与另一个曲面或平面相交，交线是一条曲线；曲面与曲线
曲面、曲线及其方程
contents
目录
• 曲面及其方程 • 曲线及其方程 • 曲面与曲线的联系 • 曲线和曲面在几何和工程中的应用
01
曲面及其方程
曲面方程的基本概念
曲面方程的定义
曲面方程是描述曲面位置关系的数学表达式，通常由代数方程表示。
曲面方程的形式
曲面方程的一般形式为 $F(x, y, z) = 0$，其中 $F$ 是一个多项式函数，$x, y, z$ 是空间坐标。
息。
THANKS
感谢观看
曲面方程的解
求解曲面方程可以得到曲面上点的坐标集合，即曲面的几何形状。
几种常见的曲面
平面
平面是一个无限延展且没有弯曲的二维表面，其方程为 $Ax + By + Cz = D$。
球面
球面是一个三维表面，其方程为 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$，其中 $R$ 是球半径。
圆柱面
圆柱面是一个三维表面，其方程为 $x^2 + y^2 = R^2$（或 $y^2 + z^2 = R^2$）。
通过使用曲线和曲面，工程师可以更好地描述和设计物体的外
03
观，提高设计的准确性和美观性。
物理和科学计算中的应用

几种常见的曲面及其方程()

2
z
2 y
1
o o
o x
2y
x
(3)
x z a
2
2
2
x2 y2 a2
z
a
o
a
y
x
P324 题2 (1)
y 5x 1 y x3 y x3
z
y 5x 1
o
y
z
x2 y2 1 4 9 y3
x
2
3
y
z
z
ay x
x 2 y 2 ax z0
M ( x, y, z )
C
M 1 (0, y1 , z1 )
z z1 ,
x y y1
2
2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( x 2 y 2 , z) 0
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C : f ( y, z ) 0
o x
y
f ( y, x z ) 0
2 2
例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
z
L

M (0, y, z )
y
两边平方
x
2
z a (x y )
2
2
2
例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转所成曲面方程为
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在
xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线所围圆域: x y 1, z 0 .

几种常见的曲面及其方程二次曲面曲线

O
x y z 2 2 1 2 a a b
y 2 x2 z 2 1 2 2 a b
222aFra biblioteka y
绕 y轴旋转而成的旋转曲面方程为即
x
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 b a b
例3 求
旋转所形成的旋转抛物面（图7-28）的方程。解方程便得到旋转抛物线的方程为
就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
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1. 椭球面 x2 y 2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
(1)范围： x a,
y b,
z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y 2 2 2 1 , 黄a b z0
xoy 面上的抛物线 x ay 2 (a 0) 绕x轴
x ay 2 中的x 不变，换成 y 2 z 2
x a( y z )
2 2
例4 求 yoz 面上的直线 z ky(k 0) 绕z轴 z 旋转一周而成的圆锥面的方程。
解所求圆锥面的方程为
即
y
z k x2 y 2
x
l1
y
z
l2
y
母线平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H ( z, x) 0 表示柱面,
z
x
l3
x
母线平行于 y 轴;
y
准线 xoz 面上的曲线 l3.
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3.旋转曲面
定义2. 一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转
一周所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转

高等数学几种常见的曲面及其方程

一、二次曲面
1-1球面
(X-X0)2+(Y-Y0)2+(Z-Z0)2=R2
球心为M0(X0,Y0,Z0)
1-2椭圆锥面
1-3椭球面
其中，表示xOz平面上的椭圆绕z轴旋转而成的椭球面。

1-4单叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕z轴旋转而成的单叶双曲面。

1-5双叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕x轴旋转而成的双叶双曲面。

1-6椭圆抛物面
1-7双曲抛物面（马鞍面）
二、柱面
2-1圆柱面
X2+Y2=R2
2-2椭圆柱面
2-3双曲柱面
2-4抛物柱面
y2=2px
注：形如二、柱面只含x,y而缺少z的方程F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线为xOy平面上的曲线C：F(x,y)=0
特别地，
1.球x2+y2+z2=R2
2.圆柱面x2+y2=R2
3.旋转抛物面X2+Y2=z(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的抛物线旋转而成的图形)
4.X2+Y2=z2(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的圆锥，锥顶角为90。

)。

曲面及其方程ppt

12
曲面及其方程
一、曲面方程得概念二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面
z
➢引例
方程 x2 y 2 R2 表示怎样得曲面、
➢分析
M
在xoy面上, x2 y 2 R2 表示圆C,
Co
y
M1
在圆C上任取一点 M1(x, y,0) ,
x
过M1作平行z轴得直线l, 其上所有点得坐标都满足方l 程,
(二次项系数不全为 0 )
得图形通常为二次曲面、二次曲面得基本类型: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面研究二次曲面特性得基本方法: 截痕法
z
1、椭圆锥面
z
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt ) 2
1,
zt
o yy xx
①
在平面 x＝0 或 y＝0 上得截痕为过原点得两直线、可以证明, 椭圆①上任一点与原点得连线均在曲面上、
准线为xoy 面上得椭圆、
x y 0
平面
母线平行于z轴
准线为xoy 面上得直线、
一般地,在空间
方程 F (x, y) 0 表示柱面,
母线平行于 z 轴; 准线xoy 面上得曲线 l1、
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线平行于 x 轴; 准线 yoz 面上得曲线 l2、
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
表示怎样的曲面
曲面及其方程
一、曲面方程得概念二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面
曲面及其方程
一、曲面方程得概念二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面
z
➢概念
一条平面曲线绕其平面上

几种常见的曲面及其方程

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z 2.椭圆抛物面
x2 y2 z 2p 2q
( p , q 同号)
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.
y
x
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三、曲线
1.曲线方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
F(x, y, z) 0 G(x, y, z) 0 例如,方程组
若点 M1 (0, y1, z1 ) C, 则有
z
f ( y1, z1 ) 0
C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M (x, y, z) , 则有
z z1, x2 y2 y1
M (x, y, z)
o
M1 (0, y1, z1 )
y
故旋转曲面方程为
x
f ( x2 y2 , z) 0
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S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
x2 y2 1 2x 3z 6
z
2C
表示圆柱面与平面的交线 C.
o 1y
x
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又如,方程组
z
z a2 x2 y2
x2
y2
ax
0
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay
x
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例5 设一动点在圆柱面 x2 y2 a2 上以角速度
M绕z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于z 轴的正方
向上升( 都,v 是常数) 则点M的几何轨迹叫做螺旋线
（图7-34），试图建立其参数方程。解取时间t 为参数，设时动点在 A(a,0,0) 处，动点在点 M (x,ty=, z0) 处，过点作xoy 面的垂线，则垂足的坐标为 M (xM, y,0) 由于AOM 是动点在时间t 内转过的角度，而线段 MM 的长 MM 是时间t内动

几种常见的曲面及其方程(精)

方程 F(x, y) 0 表示柱面,
母线平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面
三元二次方程
• 椭球面
• 抛物面:
( p, q 同号)
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2

y2 b2
1
• 椭圆锥面:
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1. 椭球面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
ay
ay
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0) y0
作业
P32 3， 4，5，6， 7， 8， 9，10，11，12
y z l2
x z l3
x
y y
3、旋转曲面
一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0

曲面及其方程

z
l o o x M(x, y, 0) y
xoy面上的圆 x2 + y2 = R2 叫做柱面的准线. 平行于 z 轴的直线 L 叫做柱面的母线.
(1) 定义: 平行于定直线并沿定曲线C移动直线 L 形成的轨迹叫做柱面. 定曲线C叫做柱面的准线. 动直线 L 叫做柱面的母线.
例2: 方程 y2 =2x 表示.母线平行于 z 轴的柱面, 它的准线是xoy面上的抛物线y2 =2x,该柱面叫做抛物柱面. z y
y2 =2x
o
x
例2: 方程 x−y = 0表示. 母线平行于 z 轴的柱面, 它的准线是xoy面上的直线x−y = 0, 所以它是过z轴的平面.
z
o x
y x−y = 0
(2) 母线平行于坐标轴的柱面方程. 1° 方程F (x, y) =0 表示: 母线平行于 z 轴的柱面, 准线为xoy面上的曲线 C: F (x, y) = 0 . 2° 方程F (x, z) =0 表示: 母线平行于 y 轴的柱面, 准线为xoz面上的曲线 C: F (x, z) = 0 . 3° 方程F (y, z) =0 表示: 母线平行于 x 轴的柱面, 准线为yoz面上的曲线 C: F (y, z) = 0 .
y
那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面S 叫做方程F (x, y, z) =0的图形.
二、几种常见曲面的方程. 几种常见曲面的方程.
M
1. 球面考虑球心为M0(x0, y0, z0), 半径为R的球面. 对于球面上任一点M(x, y, z), 都有|M M0|2 =R2. 即: (x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2 称方程(1)为球面的标准方程. 特别: 当球心在原点O(0, 0, 0)时, 球面方程: x2 + y2 + z2 =43; y 2 )

常见曲面的参数方程

§４、5 常见曲面得参数方程本节重点:掌握空间中得三种坐标系:直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。

掌握旋转曲面得参数方程得建立。

掌握直纹面得参数方程、本节难点:旋转曲面得参数方程。

直纹面得参数方程。

在第二章中,我们已经引进一般曲面与曲线得参数方程得概念、并给出简单曲面与曲线得参数表示,例如球面与圆柱螺旋线,直线得参数方程。

现在再介绍旋转曲面、直纹面得参数方程,同时给出空间中另外两种坐标系:球坐标系与柱坐标系。

(一)旋转曲面得参数方程,球坐标与柱坐标设旋转曲面得轴为轴,母线得参数方程就是则此旋转曲面可由上每一点生成得纬圆所构成得、由于这纬圆上动点与它在坐标面上得投影具有相同得坐标,所以上任一点生成得纬圆得参数方程就是其中就是纬圆半径,即到轴得距离,而参数就是轴到得转角、设对应得参数就是,则再让在其取值范围内变动,即得这旋转曲面得参数方程(4、5.1)特别地,当母线为坐标面上得径线时,(4。

５、１)成为(4.5.２)例１、如图,以原点为中心,为半径得球面可瞧作就是由坐标面上得半圆, ()绕轴旋转所生成得,由(4.5。

２)得其参数方程为(4、5。

3)它与§2。

１中得球面参数方程得形式就是相同得。

(４、５、3)中得参数分别叫做经度与纬度,序对叫做地理坐标、显然,除两极外,球面上得点与序对一一对应。

这种利用曲面参数方程中得两个参数来表示曲面上得点得坐标叫做曲纹坐标,它对于曲面理论得进一步研究有着重要得作用。

利用球面得这种曲纹坐标还可以引入空间得另一种坐标系。

设为空间任意一点,它到原点得距离为,过作以原点为中心,以为半径得球面,则在这球面上具有地理坐标,可令点Ｐ对应有序数组;反之,由非负实数可确定所在得球面,再由在这球面上确定点。

空间中点得这种坐标叫做球坐标。

显然,轴上点得球坐标可取任意值、把(４.5。

3)中得常数换为变数,就成为球坐标与直角坐标得变换式,即(4、5。

４)反之,有(4。

5.５)当时,＝0,于就是,对坐标面上得点,只需序对即可确定、这里不就是别得,正就是大家熟知得极坐标。

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