常见曲线曲面方程与图形

常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。

它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。

本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。

一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。

一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。

直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。

斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。

2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。

标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。

一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。

圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。

3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。

标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。

一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。

椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。

当$a=b$时，椭圆变成了圆。

4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。

标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。

一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。

抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。

5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。

第七节常见曲⾯的⽅程及图形第七节常见曲⾯的⽅程及图形Equation and Graph of Surface教学⽬的: 了解常见的空间曲线的标准⽅程并知道它们的图像.课题: 曲⾯及其⽅程;常见的曲⾯⽅程及其图形.教学重点: 空间曲⾯的图形及其⽅程教学难点: 常见空间曲线的图形及⽅程教学⽅法: 精讲常见曲⾯的⽅程及图形教学内容:⼀、曲⾯及其⽅程空间任⼀曲⾯都可以看作点的集合.在空间直⾓坐标系中,如果曲⾯S 上的任⼀点(,,)M x y z 的坐标满⾜三元⽅程(,,)0F x y z =,不在曲⾯上的点的坐标都不满⾜该⽅程,那么就称该⽅程是曲⾯S 的⽅程,⽽曲⾯S 是该⽅程的图形或轨迹.【例1】⼀平⾯垂直平分两点(1,2,3)A 和(2,1,4)B -间的线段,求该平⾯的⽅程.解显然所求平⾯是与A 及B 等距离的点的轨迹.在平⾯上任取⼀点(,,)M x y z ,则有MA MB =,⽽MA MB ==两边平⽅,化简,即得所求平⾯的⽅程 26270x y z -+-=⼆、常见的曲⾯⽅程及其图形1.球⾯⽅程空间动点到⼀定点的距离等于常数,此动点的轨迹即为球⾯.定点叫做球⼼,常数叫做球的半径.设球⼼在点(,,)C a b c ,半径为r ,在球⾯上任取⼀点(,,)M x y z ,有MC r =,即r =两边平⽅得2222()()()x a y b z c r -+-+-= (1)此⽅程即为所求的球⾯⽅程.当(1)式中0a b c ===,即球⼼在原点,半径为r 时,(1)式可化为2222x y z r ++=【例2】下列⽅程表⽰什么曲⾯?(1)2222440x y z x y ++---=(2)2222450x y z x y ++--+= (3)2222460x y z x y ++--+=解将⽅程左端配⽅(1) 222(1)(2)9x y z -+-+=,表⽰以点(1,2,0)C 为球⼼,半径3r =的球⾯;(2) 222(1)(2)0x y z -+-+=,由于此⽅程只有唯⼀的⼀组解:1,2,0x y z ===,即它表⽰⼀点(1,2,0);(3) 222(1)(2)1x y z -+-+=-,这时,空间任⼀点坐标都不满⾜⽅程,即没有⼏何图像,称之为虚球⾯.2.母线平⾏于坐标轴的柱⾯⽅程设⽅程中不含某⼀坐标,如不含竖坐标z ,即(,)0F x y = (2)它在xOy 坐标⾯上的图形是⼀条曲线L ,由于⽅程中不含z ,故在空间中⼀切与L 上的点(,,0)P x y 有相同纵坐标的点(,,)M x y z 均满⾜⽅程,也就是说,经过L 上的任⼀点P ⽽平⾏于z 轴的直线上的⼀切点的坐标均满⾜⽅程.反之,如果''''(,,)M x y z 与曲线L 上的任何点不具有相同的横、纵坐标,则点'M 的坐标必不满⾜⽅程(2).满⾜⽅程(2)的点的全体构成⼀曲⾯,它是由平⾏与z 轴的直线沿xOy 平⾯上的曲线L 移动⽽形成的,这种曲⾯叫做柱⾯.曲⾯L 叫做准线,形成柱⾯的直线叫做柱⾯的母线.因此⽅程(2)在空间的图像是母线平⾏于z 轴的柱⾯.同样地,⽅程(,)0F y z =的图像是母线平⾏于x 轴的柱⾯;⽅程(,)0F x z =的图像是母线平⾏于y 轴的柱⾯.(1) ⽅程 22221x y a b+= (3) 表⽰柱⾯,它的准线为xOy ⾯上的椭圆,母线平⾏于z 轴,称之为椭圆抛物⾯.在⽅程(3)中,当a b r ==,即222x y r +=时,它表⽰圆柱⾯.(2) ⽅程22221x y a b-=表⽰准线为xOy ⾯上的双曲线,母线平⾏于z 轴的柱⾯,称之为双曲圆柱⾯.(3) ⽅程22y Px =表⽰准线为xOy ⾯上的抛物线,母线平⾏于z 轴的柱⾯,称之为抛物柱⾯.3.旋转曲⾯旋转曲⾯是由⼀条平⾯曲线绕其平⾯上的⼀条直线旋转⼀周⽽成的.这条直线叫做该旋转曲⾯的旋转轴,这条平⾯曲线叫做旋转曲⾯的母线.设在yOz 平⾯上的曲线C 的⽅程为(,)0F y z =,把曲线C 绕z 轴旋转⼀周,就得到⼀个以z 轴为轴的旋转曲⾯.它的⽅程可以这样求得:设1111(,,)M x y z 为曲线C 上任⼀点,则有11(,)0F y z =,当曲线C 旋转时,点1M 转到点(,,)M x y z ,这时1z z =,点M 和1M 到z 轴的距离相等,即1y =把11,z z y ==代⼊11(,)0F y z =得()0F z =这就是所求的旋转曲⾯的⽅程.同理,xOy 平⾯上的曲线(,)0F x y =绕y 轴旋转⼀周,所得旋转曲⾯⽅程为()0F y =xOz 平⾯上的曲线(,)0F x z =绕x 轴旋转⼀周,所得旋转曲⾯⽅程为(,0F x =⽅程22z x y =+是yOz 平⾯上的抛物线2z y =绕z 轴旋转⼀周⽽成的旋转曲⾯,称为旋转抛物⾯.4.常见的⼆次曲⾯及其⽅程(1) 椭球⾯⽅程2222221x y z a b c ++=所表⽰的曲⾯叫做椭球⾯.(2) 单叶双曲⾯⽅程2222221x y z a b c +-=所表⽰的曲⾯叫做单叶双曲⾯.(3) 双叶双曲⾯⽅程2222221x y z a b c-+=-所表⽰的曲⾯叫做双叶双曲⾯.特别的,2220x y z -+=所表⽰的曲⾯叫做圆锥⾯.(4) 抛物⾯(a) 椭圆抛物⾯⽅程22(,0)22x y z p q p q =+>所表⽰的曲⾯叫做椭圆抛物⾯.(b) 双曲抛物⾯⽅程22(,0)22x y z p q p q=-+>所表⽰的曲⾯叫做双曲抛物⾯,也叫马鞍⾯.课堂练习:1. 指出下列各⽅程表⽰什么曲⾯.(1)2221x y z ++=(2)21x = (3)22z x y =+ (4)222231x y z ++=⼩结:学习了常见曲⾯的⽅程及其图形,包括球⾯、柱⾯、旋转曲⾯、⼆次曲⾯等.要求了解常见空间曲线的标准⽅程并指导它们的图像。

第3讲 空间解析几何—曲面、曲线及其方程本节主要内容第三节 曲面及其方程1 曲面方程的概念2 旋转曲面3 柱 面 4二次曲面第四节 空间曲线及其方程1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程3 空间曲线在坐标面上的投影讲解提纲：第七章 空间解析几何与向量代数第三节 曲面及其方程一、 曲面方程的概念空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。

三、柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线。

四、二次曲面三元二次方程0),,(=z y x F 所表示的曲面称为二次曲面。

例题选讲：曲面方程的概念例1 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解：易得球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=例2 求与原点O 及)4,3,2(0M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程. 解：易得曲面方程为22224116()(1)()339x y z +++++=。

例3 已知()1,2,3,A ()2,1,4,B - 求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设点(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，由 A M B M ==整理得26270x y z -+-=。

例4方程2222440x y z x y z ++-++=表示怎样的曲面？旋转曲面例5 将xOz 坐标面上的抛物线25z x =分别绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：易得旋转曲面的方程225y z x +=例6 直线L 绕另一条与L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角α)20(πα<<称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz 坐标平面上，直线L 的方程为 c o tz y α= 可得圆锥面的方程为2222()z x y α=+柱面例7 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩的柱面方程.解：母线平行于x 轴的柱面方程：22316y z -= 母线平行于y 轴的柱面方程：223216x z += 二次曲面.椭球面：1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a抛物面椭圆抛物面 qy p x z 2222+= （同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)双曲面单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x例8 由曲面,0,0,0===z y x 1,122=+=+z y y x 围成的空间区域(在第一卦限部分), 作它的简图.课堂练习 1.求直线11:121x y z L --==绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程. 2.指出方程221x y -=及22z x =-所表示的曲面. 3 方程()()22234z x y =-+--的图形是怎样的?第四节 空间曲线及其方程一、 空间曲线的一般方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F二、空间曲线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x三、 空间曲线在坐标面上的投影⇒⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F ⇒=0),(y x H ⎩⎨⎧==00),(z y x H例题选讲：空间曲线的一般方程例1方程组 221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩表示怎样的曲线?空间曲线的参数方程例2 若空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升 (其中ω、v 是常数), 则点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解：取时间t 为参数，在t=0时，动点位于x 轴上的一点(,0,0)A a 处。

常见曲面方程总结(一)前言•引言：曲面是数学中的重要概念，广泛应用于计算机图形学、工程设计等领域。

在形状设计和模拟中，掌握常见曲面方程是非常重要的基础知识。

本文将介绍几种常见的曲面方程，并分析其特性和应用场景。

正文一、球面方程•定义：球面是由到定点距离相等于固定半径的点所组成的曲面。

它的方程一般可以表示为：(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²，其中(a,b,c)为球心坐标，r为半径。

•特性：球面是空间中对称性最高的曲面，具有旋转对称性、轴对称性和平面对称性。

•应用：球面方程广泛应用于计算机图形学中的三维建模，如球体、球形光源等。

二、圆柱面方程•定义：圆柱面是围绕某条直线旋转而形成的曲面。

它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

•特性：圆柱面在与旋转轴垂直的方向上是无限延伸的，而在旋转轴方向上是有限长度的。

•应用：圆柱面方程常用于描述圆柱体、柱形物体等实际物体的几何特征。

三、锥面方程•定义：锥面是由定点到平面上所有点的连线所组成的曲面。

它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = z²，其中(a,b)为锥顶坐标。

•特性：锥面在平面上形成对称的圆锥形状，而在垂直于平面的方向上是无限延伸的。

•应用：锥面方程常用于描述圆锥体、棱锥体等实际物体的几何特征。

四、椭球面方程•定义：椭球面是由到两个定点的距离之和等于常数的点所组成的曲面。

它的方程可以表示为：(x-a)²/r₁² + (y-b)²/r₂² + (z-c)²/r₃² = 1，其中(a,b,c)为椭球中心坐标，r₁、r₂、r₃为轴长。

•特性：椭球面可以是旋转椭球、扁椭球或球体等不同形状，取决于轴长的比值。

一、二次曲面
1-1球面
(X-X0)2+(Y-Y0)2+(Z-Z0)2=R2
球心为M0(X0,Y0,Z0)
1-2椭圆锥面
1-3椭球面
其中，表示xOz平面上的椭圆绕z轴旋转而成的椭球面。

1-4单叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕z轴旋转而成的单叶双曲面。

1-5双叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕x轴旋转而成的双叶双曲面。

1-6椭圆抛物面
1-7双曲抛物面（马鞍面）
二、柱面
2-1圆柱面
X2+Y2=R2
2-2椭圆柱面
2-3双曲柱面
2-4抛物柱面
y2=2px
注：形如二、柱面只含x,y而缺少z的方程F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线为xOy平面上的曲线C：F(x,y)=0
特别地，
1.球x2+y2+z2=R2
2.圆柱面x2+y2=R2
3.旋转抛物面X2+Y2=z(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的抛物线旋转而成的图形)
4.X2+Y2=z2(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的圆锥，锥顶角为90。

)。