高考数学模型

一、定比分弦模型焦点在x 轴上的圆锥曲线C ，过其焦点F 的直线交曲线与A ，B 两点，直线AB 的斜率角为θ，斜率为k ，并且有 1. 若该曲线是椭圆，则离心率e 满足 2. 若该曲线是双曲线：①A,B 在曲线同一支，则离心率e 满足 ②A,B 在曲线两支，则离心率e 满足 3.若该曲线是抛物线，则 如果焦点在y 轴上，那么把 这里以椭圆为例给出简单证明：证明：由圆锥曲线的极坐标方程可以得到： 当然极坐标方程不能在大题中直接运用，那么可以用余弦定理作证明： 二、焦点三角形离心率模型已知 1. 若该曲线是椭圆，则离心率e 满足 2. 若该曲线是双曲线，则离心率e 满足 该式子的证明在书本焦点三角形给出了证明，这里就不给出证明了。

三、椭圆与双曲线共焦点模型：椭圆与双曲线共焦点，并且椭圆离心率为e 1 ,双曲线离心率为e 2,他们交于P点并且满足 ________FB AF λ=|1||1- |1|1||1- ||e.cos |2++=⇒+=λλλλθk e |1||1 |1|1||1 ||cos e |2-++=⇒-+=⋅λλλλθk e )1(11|cos |=+-=e 实际上就是抛物线的满足λλθλ即可改成θθsin cos θe epBF θ-e ep cos 1||,cos 1|AF |+==11cos cos 1cos 1+-=⇒=-+=⇒λλθλθθe e e BF AF 1222121122121222cos 2AF a AF F AF F F AF F F AF AF -=∠⋅-+=，其中βα=∠=∠122121,,F PF F PF P F F 是曲线上一点，若，是圆锥曲线的左右焦点()βαβαsin sin sin ++=e ()|sin sin |sin βαβα-+=e 2cos 1cos 1,222121=++-=∠e e PF F θθθ则满足证明：设椭圆长半轴与短半轴分别为 ，双曲线的实半轴与虚半轴分别为 由焦点三角形：四、双曲线焦渐比模型这种模型是双曲线渐进线上的一点跟焦点连线已知比率求离心率问题。

解决离心率范围(最值)问题的基本思路是建立目标函数或构建不等关系：建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达离心率，利用求函数的值域(最值)的方法将离心率表示为其他变量的函数，求其值域(最值)，从而确定离心率的取值范围；构建不等关系是根据试题本身给出的不等条件，或一些隐含条件或椭圆(双曲线)高考数学复习：离心率范围(最值)模型自身的性质构造不等关系，从而求解．【例题选讲】[例8]　(41)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥35|CD |，则双曲线离心率e 的取值范围为( )A ．[53，＋∞)B ．[54，＋∞)C ．(1，53] D ．(1，54]答案　B 解析　将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝±b 2a ，不妨取A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )，所以|AB |＝2b 2a．将x ＝c 代入双曲线的渐近线方程y ＝±ba x ，得y ＝±bc a ，不妨取C (c ，bc a )，D (c ，－bc a )，所以|CD |＝2bca．因为|AB |≥35|CD |，所以2b 2a ≥35×2bc a ，即b ≥35c ，则b 2≥925c 2，即c 2－a 2≥925c 2，即1625c 2≥a 2，所以e 2≥2516，所以e ≥54，故选B ．(42)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭圆C相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0，59] B ．( C ．( D ．(13，答案　C 解析　如图所示，设F ′为椭圆的左焦点，连接AF ′，BF ′，则四边形AFBF ′是平行四边形，∴6＝|AF |＋|BF |＝|AF ′|＋|AF |＝2a ，∴a ＝3．取P (0，b )，∵点P 到直线l ∶4x ＋3y ＝0的距离不小于65，|3b |≥65，解得b ≥2．∴c ∴0<c a ≤∴椭圆E 的离心率范围是(0．故选C ．(43)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B两点，若△ABF 1是锐角三角形，则该椭圆离心率e 的取值范围是( )A ．1，＋∞) B ．(01) C ．1，1) D ．11)答案　C 解析　由题意可知，A ，B 的横坐标均为c ，且A ，B 都在椭圆上，所以c 2a 2＋y 2b2＝1，从而可得y ＝±b 2a，不妨令A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )．由△ABF 1是锐角三角形知∠AF 1F 2<45°，所以tan ∠AF 1F 2<1，所以tan ∠AF 1F 2＝AF 2F 1F 2＝b 2a 2c <1，故a 2－c 22ac <1，即e 2＋2e －1>0，解得e1或e <1，又因为椭圆中，0<e <11<e <1．故选C ．(44)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2m ＋y 24＝1的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点P ，使得△PF 1F 2C 的离心率的取值范围是( )A ．(12，B ．(12，1)C ．1) D ．1)答案　A 解析　F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2m ＋y 24＝1的上下两个焦点，可得2c ＝P ，使得△PF 1F 2，可得12×2m 2－4m ＋3<0，解得m ∈(1，3)，则椭圆C 的离心率为：e(12，．(45)已知椭圆22x a ＋22y b=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，若椭圆上存在一点P 使12sin a PF F Ð＝21sin cPF F Ð，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．思路点拨　在△PF 1F 2中，使用正弦定理建立|PF 1|，|PF 2|之间的数量关系，再结合椭圆定义求出|PF 2|，利用a －c <|PF 2|<a ＋c 建立不等式确定所求范围．答案　1，1)　解析　根据已知条件∠PF 1F 2，∠PF 2F 1都不能等于0，即点P 不会是椭圆的左、右顶点，故P ，F 1，F 2构成三角形，在△PF 1F 2中，由正弦定理得212sin PF PF F Ð＝121sin PF PF F Ð，则由已知，得2a PF ＝1cPF ，即|PF 1|＝c a |PF 2|，①．根据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，②．由①②解得，|PF 2|＝21a c a+＝22a a c +，因为a －c <|PF 2|<a ＋c ，所以a －c <22a a c+< a ＋c ，即b 2<2a 2<a 2＋2ac ＋c 2，所以c 2＋2ac －a 2>0，即e 2＋2e －1>0，解得e <1或e 1，又e ∈(0，1)，故椭圆的离心率e ∈1，1)．(46)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，若存在过右焦点F 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，且AF → ＝3BF →，则双曲线C 的离心率的最小值为________．答案　2　解析　因为过右焦点F 的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，且AF → ＝3BF →，故点A 在双曲线的左支上，B 在双曲线的右支上，如图所示．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，右焦点F (c ，0)，因为AF →＝3BF →，所以c －x 1＝3(c －x 2)，即3x 2－x 1＝2c ，由图可知，x 1≤－a ，x 2≥a ，所以－x 1≥a ，3x 2≥3a ，故3x 2－x 1≥4a ，即2c ≥4a ，故e ≥2，所以双曲线C 的离心率的最小值为2．(47)已知双曲线方程为224x m +－22y b＝1，若其过焦点的最短弦长为2，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1]B ．，＋∞)C ．(1)D ．，＋∞)答案　A 解析　过焦点的最短弦长有可能是2a 或是过焦点且垂直于长轴所在直线的弦长为22b a＝，a 2＝m 2＋4≥4，2a ≥4>2，所以过焦点的最短弦长为22b a ＝=2，即b 2＝，e ＝c a ，0<21b ≤12，所以1<1+21b ≤32，，即e ∈(1]．故选A ．(48)椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1|·|PF 2|的最大值的取值范围是[2b 2，3b 2]，椭圆M 的离心率为e ，则e －1e的最小值是________．答案　解析　由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝a 2，∴2b 2≤a 2≤3b 2，即2a 2－2c 2≤a 2≤3a 2－3c 2，∴12≤c 2a 2≤23，e 令f (x )＝x －1x ，则f (x )在23上是增函数，∴当e 2e －1e取得最小值22(49)已知点A (－1，0)和B (1，0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )A B C D 答案　A 解析　方法1　不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，与直线l 的方程联立{x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3，消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，解得a e＝c a ＝1a ≤e 方法2　A (－1，0)关于直线l ：y ＝x ＋3的对称点为A ′(－3，2)，连接A ′B 交直线l 于点P ，则此时椭圆C 的长轴长最短，为|A ′B |＝所以椭圆C 1故选A ．(50)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝6|PF 2|，此双曲线的离心率e 的最大值为________．答案　75　解析　由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a ．又|PF 1|＝6|PF 2|，∴|PF 1|＝125a ，|PF 2|＝25a ．当P ，F 1，F 2三点不共线时，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1|·|PF 2|＝14425a 2＋425a 2－4c 22·125a ·25a ＝3712－2512e 2，即e 2＝3725－1225cos ∠F 1PF 2．∵cos ∠F 1PF 2∈(－1,1)，∴e ∈(1，75)．当P ，F 1，F 2三点共线时，∵|PF 1|＝6|PF 2|，∴e ＝c a ＝75，综上，e 的最大值为75．还可用三角形两边之和大于第三边构造不等式．【对点训练】47．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ．若13<k <12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．(14，34)B ．(23，1)C ．(12，23)D ．(0，12)47．答案　C 解析　由题图可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a，于是k ＝|BF ||AF |＝a 2－c 2a (a ＋c )．又13<k <12，所以13<a 2－c 2a (a ＋c )<12，化简可得13<1－e <12，从而可得12<e <23，故选C ．48．已知双曲线C ：x 2a 2＋1－y 2＝1(a >0)的右顶点为A ，O 为坐标原点，若|OA |<2，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A ．∞) B ．(1，52) C ． D ．(148．答案　C 解析　双曲线C ：x 2a 2＋1－y 2＝1(a >0)中，右顶点为A 0)，∴|OA |，∴1<a 2＋1<4，∴1>1a 2＋1>14，∵c 2＝a 2＋1＋1＝a 2＋2，∴c ∴ee e C．49．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A．(0 B．(0，34] C．1) D．[34，1)49．答案　A　解析　设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2．设M(0，b)，则M到直线l的距离d＝4b5≥45，∴1≤b<2．离心率e＝ca＝(0，故选A．50．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点为F1、F2，双曲线上的点P满足4|PF1→＋PF2→|≥3|F1F2→|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为( )A．1<e≤32 B．e≥32 C．1<e≤43 D．e≥4350．答案　C　解析　由OP为△F1PF2的中线，可得4|PF1→＋PF2→|＝8|PO→|≥3|F1F2→|，因为|F1F2→|≥a，|F1F2→|＝2c，可得8a≥6c，即双曲线的离心率为：1<e≤43．故选C．51．已知点F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于M，N两点，若MF―→1·NF―→1＞0，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )A．1) B．(11) C．(1 D．∞)51．答案　B　解析　设F1(－c，0)，F2(c，0)，依题意可得c2a2－y2b2＝1，得到y＝b2a，不妨设M(c，b2a)，N(c，－b2a)，则MF―→1·NF―→1＝(－2c，－b2a)·(－2c，b2a)＝4c2－b4a2＞0，得到4a2c2－(c2－a2)2＞0，即a4＋c4－6a2c2＜0，故e4－6e2＋1＜0，解得3－e2＜3＋e＞1，所以1＜e2＜3＋1＜e＜1＋52．正方形ABCD的四个顶点都在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A．21) B．(02 C．21) D．(0252．答案　B　解析设正方形的边长为2m，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以m>c，又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上，所以m2a2＋m2b2＝1>c2a2＋c2b2＝e2＋e21－e2，整理得e4－3e2＋1>0，e20<e B．53．如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．53．答案　1)　解析　设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，∠B1PA2为钝角可转化为B2A2→，F2B1→所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)<0，得b2<ac，即a2－c2<ac，故(c a)2＋c a－1>0即e2＋e－1>0，e e0<e<1e<1．54．已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是( )A．1) B．(12，1) C．(0 D．(0，12)54．答案　A　解析　法一：设P(x0，y0)，由题意知|x0|<a，因为∠F1PF2为钝角，所以PF1―→·PF2―→<0有解，即(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)<0，化简得c2>x20＋y20，即c2>(x20＋y20)min，又y20＝b2－b2a2x20，0≤x20<a2，故x20＋y20＝b2＋c2a2x20∈[b2，a2)，所以(x20＋y20)min＝b2，故c2>b2，又b2＝a2－c2，所以e2＝c2a2>12，解得e0<e<1，故椭圆C的离心率的取值范围是1)．法二：椭圆上存在点P使∠F1PF2为钝角⇔以原点O为圆心，以c为半径的圆与椭圆有四个不同的交点⇔b <c ．如图，由b <c ，得a 2－c 2<c 2，即a 2<2c 2，解得e ＝c a >0<e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是1)．55．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，△PF 1F 2是以F 2P 为底边的等腰三角形，且60°<∠PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A ．1）B ．，12） C ．（12，1） D ．（0，12）55．答案　B 解析　由题意可得，|PF 2|2＝|F 1F 2|2＋|PF 1|2－2|F 1F 2|·|PF 1|cos ∠PF 1F 2＝4c 2＋4c 2－2·2c ·2c ·cos∠PF 1F 2，即|PF 2|＝所以a ＝|PF 1|＋|PF 2|2＝c 又60°<∠PF 1F 2<120°，∴－12<cos ∠PF 1F 2<12，所以2c <a 1)c ，<c a <12，e <12．故选B ．56．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，D 为虚轴的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为________．56．答案　(1∪∞)　解析　设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1(－c,0)，令x ＝－c ，可得y ＝±±b 2a ，设A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a )，D (0，b )，可得AD →＝(c ，b －b 2a )，AB → ＝(0，－2b 2a )，DB → ＝(－c ，－b －b 2a )，若∠DAB 为钝角，则AD → ·AB →<0，即0－2b 2a·(b －b 2a )<0，化为a >b ，即有a 2>b 2＝c 2－a 2，可得c 2<2a 2，即e ＝c a<e >1，可得1<e ∠ADB 为钝角，则DA → ·DB →<0，即c 2－(b 2a ＋b )(b 2a －b )<0，化为c 4－4a 2c 2＋2a 4>0，由e ＝c a，可得e 4－4e 2＋2>0，又e >1，可得eAB → ·DB → ＝2b 2a(b ＋b 2a )>0，∴∠DBA 不可能为钝角．综上可得，e 的取值范围为(1∪∞)．57．已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ，N两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈[π12，π6]，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．B ．[21]C ．[2D ．1]57．答案　D 解析　如图，设左焦点为F ′，连接MF ′，NF ′，令|MF |＝r 1，|MF ′|＝r 2，则|NF |＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 21＋r 22＝4c 2②，由①②得r 1r 2＝2(c 2－a 2)，又知S △MNF ＝2S △MOF ，∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2β，∴c 2－a 2＝c 2·sin 2β，∴e 2＝11－sin 2β，又∵β∈[π12，π6]，∴sin 2β∈[12，，∴e 2＝11－sin 2β∈[2，1)2]．又e >1，∴e ∈1]．58．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为________.58．答案　(1　解析　由过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得ba <2．∴e ＝ca ＝∵e >1，∴1<e ∴此双曲线离心率的取值范围为(159．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．[23，1)B ．[13，2C ．[13，1)D ．(0，13]59．答案　C 解析　如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得|PF 2|＝2c ．∴a －c ≤2c ＜a ＋c ．∴e ＝c a ∈[13，1)．60．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A ．1) B ．1) C ．(0 D ．(60．答案　B 解析　∵F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，∴离心率0<e <1，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，c 2＝a 2－b 2．设点P (x ，y )，由PF 1⊥PF 2，得(x ＋c ，y )·(x －c ，y )＝0，化简得x 2＋y 2＝c 2．联立方程组{x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2＋y 2b 2＝1，整理得，x 2＝(2c 2－a 2)·a 2c 2≥0，解得e0<e <1，e <1．61．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(1，3]B ．[3，＋∞)C ．(0，3)D ．(0，3]61．答案　A 解析根据双曲线的定义及点P 在双曲线的右支上，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，则n ＝2a ，m ＝4a ，依题得|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|，∴2c ≤4a ＋2a ，∴e ＝ca≤3，又e ＞1，∴1＜e ≤3，即双曲线C 的离心率的取值范围为(1，3]．62．已知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，点P 在椭圆上且满足PF 1→ ·PF 2→＝c 2，则该椭圆离心率的取值范围是( )A ．1) B ． C ．[13，12] D ．(062．答案　B 解析　设P (x ，y )，则x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，y 2＝b 2－b 2a 2x 2，－a ≤x ≤a ，PF 1→ ＝(－c －x ，－y )，PF 2→ ＝(c －x ，－y )．所以PF 1→ ·PF 2→ ＝x 2－c 2＋y 2＝(1－b 2a 2)x 2＋b 2－c 2＝c 2a2x 2＋b 2－c 2．因为－a ≤x ≤a ，所以b 2－c 2≤PF 1→ ·PF 2→≤b 2．所以b 2－c 2≤c 2≤b 2，所以2c 2≤a 2≤3c 2≤c a ≤B ．63．已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2c ．若双曲线M 的右支上存在点P ，使a sin ∠PF 1F 2＝3csin ∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )A ．(1 B ．(1C ．(1，2)D ．(1，2]63．答案　A 解析　根据正弦定理可知sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|，所以|PF 2||PF 1|＝a 3c ，即|PF 2|＝a3c|PF 1|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以1－a3c)|PF1|＝2a ，解得|PF 1|＝6ac3c －a，而|PF 1|>a ＋c ，即6ac 3c －a>a ＋c ，整理得3e 2－4e －1<0e e >1，所以1<e A ．64．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a＝sin ∠MF 2F 1c，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(01)B ．1) C ．(0 D ．1，1)64．答案　D 解析在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1，而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ，∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝ac ，①．又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，②．由①②得，|MF 1|＝2aca ＋c ，|MF 2|＝2a 2a ＋c ．显然|MF 2|＞|MF 1|，∴a －c ＜|MF 2|＜a ＋c ，即a －c ＜2a 2a ＋c ＜a ＋c ，整理得c 2＋2ac －a 2＞0，∴e 2＋2e －1＞0，又0＜e ＜11＜e ＜1，故选D ．65．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，若椭圆上存在点P 使1－cos 2∠PF 1F 21－cos 2∠PF 2F 1＝a 2c2，该椭圆的离心率的取值范围为 ．65．答案　1，1)　解析　由1－cos 2∠PF 1F 21－cos 2∠PF 2F 1＝a 2c 2得ca ＝sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2．又由正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|，所以|PF 1||PF 2|＝c a ，即|PF 1|＝c a |PF 2|．又由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a 2a ＋c ，|PF 1|＝2ac a ＋c，因为PF 2是△PF 1F 2的一边，所以有2c －2ac a ＋c <2a 2a ＋c <2c ＋2aca ＋c，即c 2＋2ac －a 2>0，所以e 2＋2e －1>0(0<e <1)，解得椭圆离心率的取值范围为1，1)．。

高考数学中的常见数学模型数学作为一门科学，无处不在。

它融入了人们的生活和工作中，为人们提供了解决问题的工具和方法。

高考数学中的常见数学模型就是数学在实际问题中的应用。

下面，我将介绍一些高考数学中常见的数学模型。

第一种常见的数学模型是线性规划模型。

线性规划是一种运用数学方法对实际问题进行优化决策的数学模型。

它将实际问题抽象成一系列的线性方程组，通过设置目标函数和约束条件，求解出使目标函数最优化的变量值。

线性规划模型在高考数学中常常用于求解最大最小值、优化问题等。

例如，一道典型的线性规划题目是：某公司生产两种产品A和B，已知产品A每件需要3个小时的时间，产品B每件需要2个小时的时间；公司每天有40个小时的生产时间可以使用；已知产品A每件利润为200元，产品B每件利润为150元。

问公司应该生产多少个产品A和产品B，才能使利润最大化？第二种常见的数学模型是指数模型。

指数模型是通过数学方式描述实际问题中的指数增长或指数衰减规律的数学模型。

在高考数学中，指数模型常用于描述人口增长、物资消耗、生物繁殖等问题。

例如，一道典型的指数模型题目是：某地的人口增长速度服从指数增长模型，已知2000年时该地人口为100万人，2005年时该地人口为135万人。

问该地人口增长的年增长率是多少？第三种常见的数学模型是随机模型。

随机模型是指将概率论和数理统计的方法应用到实际问题中的数学模型。

它用于描述和分析具有随机性的现象，如投资、风险管理、财务分析等。

在高考数学中，随机模型常用于求解概率问题和统计问题。

例如，一道典型的随机模型题目是：某批产品的质量合格率为90%，抽取其中10件产品检查，如果有2件及以上不合格，则判定该批产品不合格。

问抽取的10件产品中有3件不合格的概率是多少？第四种常见的数学模型是几何模型。

几何模型是通过几何学的方法来解决实际问题的数学模型。

在高考数学中，几何模型常用于解决空间位置、图形形状和大小等问题。

例如，一道典型的几何模型题目是：已知长方体的底面积为36平方厘米，其高为10厘米。

高考数学中的数学模型高考数学作为教育考试中的重要一环，离不开数学模型的建立与解决。

在实际生活中，我们经常会遇到各种各样的问题，如何通过数学方法建立适当的模型，并妥善地解决问题，可以让我们更好地应对生活、工作和学习中的复杂情况。

一、数学模型的基本概念数学模型是指通过数学方法描述某一复杂实际问题的一种方式。

它通常由数学对象、数学关系和数学假设这三部分组成。

数学模型能够通过数学运算、计算和推理，预测出一些实际问题的性质和规律，为我们解决复杂的实际问题提供便利。

二、数学模型在高考数学中的应用1.数学模型在函数中的应用函数是数学中一个重要的概念，它可以用来描述事物之间的某种关系。

在高考数学中，函数是不可避免的一个考点，我们需要通过函数的知识，建立各种数学模型，比如：（1）建立函数模型解决实际问题：如某工厂销售某产品规律，可以通过建立函数模型来描述销售量与时间的关系，计算出未来的销售情况。

（2）分析函数性质解决问题：如通过对函数的解析式进行分析，我们可以推断出函数的奇偶性、增减性、极值等性质，从而解决相应的问题。

2.数学模型在概率中的应用概率是高考数学考试中的重点考点之一，它涉及到事件发生的可能性、随机变量以及各种概率分布函数等知识点。

通过建立概率模型，我们可以更好地掌握概率知识，从而提高解决概率问题的能力。

（1）利用概率模型解决实际问题：如拟合某商品销售量数据的概率分布，从而预测产品的市场表现、采取针对性的宣传策略等。

（2）通过分析概率模型解决问题：如计算某一事件发生的可能性，或者利用概率分布的特性，推算出某一事件的平均值、方差、标准差等问题。

3.数学模型在图形中的应用图形的作用是以形式直观的方式表现信息，通过数学图形可以更好地理解各种变量之间的关系，从而为数学模型的建立提供了有效的技术手段。

（1）利用数学图形建立函数模型：如利用数轴、图表等形式表示函数的增减性、单调性等，建立函数模型，预测某一变量的结果。

2023年高考数学----垂面模型规律方法与典型例题讲解【规律方法】如图1所示为四面体−P ABC ，已知平面⊥PAB 平面ABC ，其外接球问题的步骤如下： （1）找出△PAB 和△ABC 的外接圆圆心，分别记为1O 和2O ．（2）分别过1O 和2O 作平面PAB 和平面ABC 的垂线，其交点为球心，记为O ． （3）过1O 作AB 的垂线，垂足记为D ，连接2O D ，则2⊥O D AB ．（4）在四棱锥12−A DO OO 中，AD 垂直于平面12DO OO ，如图2所示，底面四边形12DO OO 的四个顶点共圆且OD 为该圆的直径．图1 图2 【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥−P ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ， 2AC =，PA PC ⊥，AB BC ⊥，则三棱锥−P ABC 的外接球的半径为______【答案】1【解析】因为PA PC ⊥，AB BC ⊥，故AC 是公共的斜边，AC 的中点是球心O ，球半径为12ACR ==．故答案为：1例2．（2022·安徽马鞍山·一模（文））三棱锥−P ABC 中，PAC △与ABC 均为边长为等边三角形，平面PAC ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为________． 【答案】20π【解析】等边三角形PAC 、等边三角形ABC 的高为πsin 33⨯，等边三角形PAC 、等边三角形ABC 的外接圆半径为2323⨯=， 设12,O O 分别是等边三角形PAC 、等边三角形ABC 的中心， 设O 是三棱锥−P ABC 的外接球的球心，R 是外接球的半径， 则2222215R OA ==+=，所以外接球的表面积为24π20πR =. 故答案为：20π例3．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥-P ABC 中，PAC △是边长为2AB BC ==，平面PAC ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的体积为______【解析】等边三角形PAC 的高为πsin 33⨯==，等边三角形PAC 的外接圆半径为222sin6π=三角形ABC 22sin3=，设12,O O 分别是等边三角形PAC 、等边三角形ABC 的中心， 设O 是三棱锥−P ABC 的外接球的球心，R 是外接球的半径， 则2222215R OA R ==+=⇒所以外接球的体积为34π3R .例4．（2021·全国·高三专题练习）已知在三棱锥−P ABC 中， 90,4,30BAC AB AC APC ︒︒∠===∠=，平面PAC ⊥平面ABC ，则三棱锥−P ABC 外接球的表面积为__________． 【答案】80π【解析】如图12,O O 分别为,ABC PAC 的外心.由90BAC ∠=︒，即1O 为BC 中点，取AC 的中点,H 则1O H AC ⊥，又面PAC ⊥面ABC ，面PAC 面ABC AC =，1O H ⊂面ABC ，即1O H ⊥面,PAC 设球心为O ，则2OO ⊥平面,PAC∴12//O H OO ，又2O H AC ⊥，2O H ⊂面PAC ，面PAC 面ABC AC =，面PAC ⊥面ABC ， ∴2O H ⊥平面ABC ，又1OO ⊥平面ABC . ∴12//OO O H ，即四边形12OO HO 为矩形. 由正弦定理知：228sin ACO P APC==∠，即24O P =，∴若外接球半径为R ，则2222216420R O P OO =+=+=，∴2480S R ππ==. 故答案为：80π.本课结束。

高考数学中如何用数学模型来解决具体问题数学是一门基础学科，但它可以应用到各种各样的工程领域中。

在高考数学中，许多问题都需要用数学模型进行解决。

数学模型是利用数学工具和技术来描述和解释现实世界中的问题或过程的一种方法。

在高考数学中，学生需要掌握如何用数学模型解决具体问题。

本文将讨论如何运用数学模型来解决高考数学中的具体问题。

一、线性规划问题在高考数学中，线性规划问题是最常见的问题之一。

所谓线性规划，是指在一定条件下，将一个多元函数的极值问题转化为一组线性不等式的极值问题。

以实际应用举例，某工厂在一定期限内生产最大收益可以表示为：Max = 50x + 60y，其中x代表生产甲型产品的数量，y代表生产乙型产品的数量。

但是在一些实际的限制条件下，比如说，生产甲型产品所需的原材料和生产乙型产品所需的原材料是有限的。

所以，我们需要建立相应的不等式，例如：2x + y ≤ 30（原材料限制）, x ≤ 8（生产甲型产品个数限制），y ≤ 12（生产乙型产品个数限制）。

接下来，通过建立数学模型，解决此问题：求出最大的Max。

这就是高考数学中线性规划问题的解决方法之一，这里用到了多项式函数、线性代数等数学知识。

二、微积分微积分也是高考数学中十分重要的一部分。

它通过微分和积分，解决一些经济、科技、工程等领域中的数学问题。

例如，假设我们有一个函数y = f(x)，我们可以用微积分来求出该函数的导数和究极极限。

另外，微积分在解决图形方程和空间几何方程的多个阶段中也有作用。

三、高斯消元法高斯消元法是线性代数的一种基本方法，它被广泛应用于实际问题解决中。

在高考数学中，高斯消元法也经常被用来解决代数问题。

例如，假设一个二次方程可以表示为ax²+bx+c=0，我们可以用高斯消元法来求出x的解。

首先，我们通过一些代数运算，将该方程转换成良性的对角矩阵，并解出该矩阵的值。

然后，我们根据该方程的性质，解出其$x$的解。

通过这一过程，我们得到了这个方程的解。

高考数学一直是考生们备战的重点科目，而数学模型题更是考查学生综合运用各种数学知识解决实际问题的重要题型。

在数学模型题中，数形结合求函数值域是一个常见而又具有一定难度的类型。

接下来，本文将从数学模型的概念入手，结合具体例题进行详细的解析，帮助读者全面了解和掌握数形结合求函数值域的方法和技巧。

一、数学模型的概念数学模型是指用数学方法对实际问题进行抽象和描述，利用数学工具进行分析、推断和预测的过程。

在高考数学中，数学模型题往往涉及到函数、方程、不等式等知识，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、数形结合求函数值域的基本思路数形结合求函数值域是一种通过数学模型解决实际问题的方法，其基本思路是将函数的图像和实际情况相结合，通过分析函数图像的性质，确定函数的值域。

在进行数形结合求函数值域时，有几个基本的步骤和技巧需要掌握：1. 分析函数的定义域和图像特征；2. 结合实际问题，确定函数的约束条件；3. 利用函数的性质和图像特征，求出函数的值域；4. 验证求得的函数值域是否符合实际问题的要求。

三、具体例题解析为了帮助读者更好地理解数形结合求函数值域的方法和技巧，接下来将通过具体的例题进行详细的解析。

例题：已知函数y=x^2在区间[-2,3]上的图像，并且y≥-1，求函数y=x^2的值域。

解析：1. 首先分析函数y=x^2的图像特征，函数y=x^2是一个开口向上的抛物线，对称轴为y轴，顶点为原点。

2. 结合实际问题的约束条件y≥-1，在图像上标出y=-1的水平线，由于y=x^2的图像是开口向上的抛物线，所以函数的值域应为[-1,+∞)。

3. 最后验证求得的函数值域是否符合实际问题的要求，即验证函数的图像是否位于y≥-1的范围内，通过对函数图像的观察可以得出结论，函数的值域为[-1,+∞)，符合实际问题的要求。

通过以上例题的解析，相信读者对数形结合求函数值域的方法和技巧有了更清晰的认识和理解。

在解决这类问题时，关键是要充分理解函数的图像特征和实际问题的约束条件，灵活运用数学知识进行分析，得出准确的结论。

第九节函数模型及其应用考试要求：1．在实际情景中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．2．结合现实情景中的具体问题，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．一、教材概念·结论·性质重现1．常见的函数模型(1)正比例函数模型：f (x )＝kx (k 为常数，k ≠0)．(2)反比例函数模型：f (x )＝��(k 为常数，k ≠0)．(3)一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)．(4)二次函数模型：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)．(5)指数型函数模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)．(6)对数型函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1)．(7)幂函数模型：f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)．(8)“对勾”函数模型：y ＝x ＋��01．不要忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果的合理性．函数性质y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化各有不同值的比较存在一个x 0，当x ＞x 0时，有log a x ＜x n ＜a x1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)幂函数增长比直线增长更快．(×)(2)不存在x0，使��0<�0�<log a x0.(×)(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>1)的增长速度．(√) (4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(×) 2．下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是()A．y＝0.001e x B．y＝1000ln xC．y＝x1000D．y＝1000·2xA解析：在对数函数、幂函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，排除B，C；指数函数中，底数越大，函数增长速度越快．故选A.3．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)＞g(x)＞h(x)B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x)D．f(x)＞h(x)＞g(x)B解析：当x∈(4，＋∞)时，易知增长速度由大到小依次为g(x)＞f(x)＞h(x)．故选B. 4．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.99 2.01 3.98y－0.990.010.98 2.00则对x，y最适合的拟合函数是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2D．y＝log2xD解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.5．用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_________．3解析：设隔墙的长度为x(0<x<6)，矩形的面积为y，则y＝x·24−4�＝2x(6－x)＝－2(x－3)22＋18，∴当x＝3时，y最大．考点1利用函数的图象刻画实际问题——基础性1．如图，一个高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一个排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()B解析：函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C，D；开始时，h随着时间的变化，变化缓慢，水排出超过一半时，h随着时间的变化，变化加快，故对应的图象为B.故选B. 2．有一个盛水的容器，由悬在它上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是()B解析：由函数图象可判断出该容器的形状不规则，又函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，排除A，C，D.故选B.3．(多选题)(2022·北京东城区模拟)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y，观影人数记为x，y关于x的函数图象如图(1)所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图(2)、图(3)中的实线分别为调整后y关于x的函数图象．给出下列四种说法，其中正确的是()A．图(2)对应的方案是：提高票价，并提高固定成本B．图(2)对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本C．图(3)对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变D．图(3)对应的方案是：提高票价，并降低固定成本BC 解析：由题图(1)可设y 关于x 的函数为y ＝kx ＋b ，k ＞0，b ＜0，k 为票价，当k ＝0时，y ＝b ，则－b 为固定成本．由题图(2)知，直线向上平移，k 不变，即票价不变，b 变大，则－b 变小，固定成本减小，故A 错误，B 正确；由题图(3)知，直线与y 轴的交点不变，直线斜率变大，即k 变大，票价提高，b 不变，即－b 不变，固定成本不变，故C 正确，D 错误．4．某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (单位：千克)随时间x (单位：天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．1909解析：前10天满足一次函数关系．设为y ＝kx ＋b .将点(1，10)和点(10，30)的坐标代入函数解析式得10=�+�，30=10�+�，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709.当x ＝6时，y ＝1909.1．解决这类问题一般要根据题意构建函数模型，先建立函数模型，再结合模型选图象，并结合五个幂函数的图象与性质来求解．2．有些题目，如第3题，根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证答案是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考点2已知函数模型解决实际问题——综合性汽车急刹车的停车距离与诸多因素有关，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶的速度．设d 表示停车距离，d 1表示反应距离，d 2表示制动距离，则d ＝d 1＋d 2.如图是根据美国公路局公布的试验数据制作的停车距离示意图．序号速度(km/h)停车距离14017.025026.536035.747046.058052.769070.7710085.48110101.0由图中数据得到如表的表格，根据表格中的数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型．可选择模型①：d ＝av ＋b ；模型②：d ＝av 2＋bv ；模型③：d ＝av ＋��；模型④：d ＝av 2＋��(其中v 为汽车速度，a ，b 为待定系数)进行拟合．如果根据序号3和序号7两组数据分别求出四个函数模型的解析式，并通过计算120km/h 时的停车距离与实验数据比较，则拟合效果最好的函数模型是()A．d ＝av ＋b B．d ＝av 2＋bv C．d ＝av ＋��D．d ＝av 2＋��B 解析：若选择模型①，则60�+�=35.7，100�+�=85.4，解得a ＝1.2425，b ＝－38.85.故d ＝1.2425v －38.85.当v ＝120时，停车距离d 的预测值为1.2425×120－38.85＝110.25.若选择模型②，则3600�+60�=35.7，10000�+100�=85.4，解得a ＝0.006475，b ＝0.2065.故d ＝0.006475v 2＋0.2065v .当v ＝120时，停车距离d 的预测值为0.006475×1202＋0.2065×120＝118.02.若选择模型③，则60�+�60=35.7，100�+�100=85.4，解得a ＝0.9996875，b ＝－1456.875.故d ＝0.9996875v －1456.875�.当v ＝120时，停车距离d 的预测值为0.9996875×120－1456.875120＝107.821875.若选择模型④，则3600�+�60=35.7，10000�+�100=85.4，解得a ＝15.9951960，b ＝379.2857143.故d ＝15.9951960v 2＋379.2857143�.当v ＝120时，停车距离d 的预测值为15.9951960×1202＋379.2857143120＝120.675.由实验数据可知当v ＝120时，停车距离为118m．模型②的预测值更接近118m，故模型②拟合效果最好．解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答．→→→1．某市家庭煤气的使用量x (单位：m 3)和煤气费f (x )(单位：元)满足关系f (x )＝�，0<�≤�，�+��−�，�>�.已知某家庭2021年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费1月份4m 34元2月份25m 314元3月份35m 319元若4月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元A 解析：根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝4，0<�≤5，4−5，�>5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，该企业考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y (百万元)与年投资成本x (百万元)变化的一组数据：年份2018201920202021…投资成本x 35917…年利润y1234…给出以下3个函数模型：①y ＝kx ＋b (k ≠0)；②y ＝ab x (a ≠0，b ＞0且b ≠1)；③y ＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)．(1)选择一个恰当的函数模型来描述x ，y 之间的关系；(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．解：(1)将(3，1)，(5，2)代入y ＝kx ＋b (k ≠0)，得1=3�+�，2=5�+�，解得�=12，�=−12，所以y ＝12x －12.当x ＝9时，y ＝4，不符合题意．将(3，1)，(5，2)代入y ＝ab x (a ≠0，b ＞0且b ≠1)，得1=��3，2=��5，解得�=24，�=2，所以y ＝24·(2)x＝2�−32当x ＝9时，y ＝29−32＝8，不符合题意．将(3，1)，(5，2)代入y ＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)，得1=log �3+�，2=log �5+�，解得�=2，�=−1，所以y ＝log 2(x －1)．当x ＝9时，y ＝log 28＝3；当x ＝17时，y ＝log 216＝4.故可用③来描述x ，y 之间的关系．(2)令log 2(x －1)＞6，则x ＞65.因为年利润665＜10%，所以该企业要考虑转型．考点3构造函数模型解决实际问题——应用性考向1二次函数、分段函数模型某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？解：(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3.因为x为整数，所以3≤x≤6，x∈Z.当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.所以y＝f(x)＝50�−115，3≤�≤6，�∈�，−3�2+68�−115，6＜�≤20，�∈�.(2)对于y＝50x－115，3≤x≤6，x∈Z，显然当x＝6时，y max＝185.对于y＝－3x2＋68x－115＝－3�−＋8113，6＜x≤20，x∈Z，当x＝11时，y max＝270.因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成．如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(1)某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)()A．2020年B．2021年C．2022年D．2023年B解析：若2018年是第一年，则第n年科研费为1300×1.12n，由1300×1.12n>2000，可得lg 1.3＋n lg 1.12>lg 2，得n ×0.05>0.19，n >3.8，n ≥4，即4年后，到2021年科研经费超过2000万元．故选B.(2)基本再生数R 0与世代间隔T 是流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在病毒感染初始阶段，可以用指数模型I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在病毒感染初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)()A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天B 解析：因为R 0＝3.28，T ＝6，R 0＝1＋rT ，所以r ＝3.28−16＝0.38，所以I (t )＝e rt ＝e 0.38t .设在病毒感染初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天，则e 0.38�＋�1＝2e 0.38t ，所以e 0.38�1＝2，所以0.38t 1＝ln 2，所以t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8(天)．故选B.(1)要先学会合理选择模型．与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．1．某位股民买入某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．无法判断盈亏情况C．没有盈利也没有亏损D．略有亏损D解析：设买入股票时的价格为m (m >0)元．先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)后的价格为m ×(1＋10%)3×(1－10%)3＝0.993m <m ，所以该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为略有亏损．故选D.2．某汽车销售公司在A，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A．10.5万元B．11万元C．43万元D．43.025万元C解析：设公司在A地销售该品牌的汽车x(0≤x≤16且x∈N)辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－110·�−＋110×2124＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．3．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地漏出，t min后剩余的细沙量为y＝a e－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．16解析：当t＝0时，y＝a；当t＝8时，y＝a e-8b＝12a.故e-8b＝12.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝a e－bt＝18a，e－bt＝18＝(e-8b)3＝e-24b，则t＝24，所以再经过16min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．课时质量评价(十四)A组全考点巩固练1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x(分钟)的函数图象为()D解析：y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，排除B.故选D.2．气象学院用32万元购置了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第1天开始连续使用，第n天的维修保养费为4n＋46(n∈N*)元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器平均每天耗资最少)为止，则一共要使用()A．300天B．400天C．600天D．800天B 解析：使用n 天的平均耗资为3202�+2�+48元，当且仅当320000�＝2n 时取得最小值，此时n ＝400.3．(2023·济南月考)某乡村一条污染河道的蓄水量为v 立方米，每天的进出水量为k 立方米．已知污染源以每天r 个单位污染河水，某一时段t (单位：天)，河水污染质量指数m (t )(每立方米河水所含的污染物)满足m (t )＝��+�0−e −���(m 0为初始质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln 10≈2.30)()A．1个月B．3个月C．半年D．1年C 解析：由题意可知，m (t )＝�0e−180�＝0.1m 0，则e −180�＝0.1，即－180t ＝ln 0.1≈－2.30，所以t ≈184，则要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是184天，即半年．故选C.4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8300－170p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元D解析：设毛利润为L (p )元，则由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8300－170p －p 2)(p－20)＝－p 3－150p 2＋11700p －166000，所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．当p ∈(0，30)时，L ′(p )>0；当p ∈(30，＋∞)时，L ′(p )<0.故L (p )在p ＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L (30)＝23000.5．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)8解析：设至少过滤n 次才能达到市场要求，则2%×1−≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.6．我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离．但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w ，厚度为x 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为12w ，厚度变为4x ，在理想情况下，对折次数n 有下列关系：n ≤23·log 2��(注：lg 2≈0.3)．根据以上信息，一张长为21cm，厚度为0.05mm 的纸最多能对折________次．8解析：由题知n ≤23log 24200＝23log 24+log 21000+log ＝232+3log 210+log 2因为log 210＝1lg 2≈10.3，0<log 22120<1，所以n ≤8＋23log 22120，n 的最大值为8.B 组新高考培优练7．(2022·聊城一模)“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2mg/cm 3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%.当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2mg/cm 3，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为()(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.477)A．5B．7C．8D．9C 解析：设该污染物排放前过滤的次数为n (n ∈N *)，由题意1.2×0.8n≥6，两边取以10为底的对数可得lg≥lg 6，即n lg2＋lg 3，所以n ≥lg 2+lg 31−3lg 2.因为lg 2≈0.3，lg 3≈0.477，所以lg 2+lg 31−3lg 2≈0.3+0.4771−3×0.3＝7.77，所以n ≥7.77，又n ∈N *，所以n min ＝8，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次．故选C.8．(多选题)(2022·济南月考)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们行走的路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，则下列结论正确的是()A．当x >1时，甲走在最前面B．当x >1时，乙走在最前面C．当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲CD 解析：甲、乙、丙、丁的路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．当x ＝2时，f 1(2)＝3，f 2(2)＝4，所以A 不正确；当x ＝5时，f 1(5)＝31，f 2(5)＝25，所以B 不正确．根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x ＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面，所以C 正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D 正确．9．李冶(1192－1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，有多部数学著作，其中《益古演段》主要研究平面图形问题，求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是________步、________步(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)．2060解析：设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2－3r 2＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．10．(2023·泰安模拟)某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量y (单位：微克)随着时间x (单位：时)变化的函数关系式近似为y＝≤�≤6，12−�6＜�≤12．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？解：(1)设服用1粒，经过x 小时能有效抗病毒，即血液含药量需不低于4微克，可得0≤�≤6，2�8−�≥4，解得163≤x ≤6.所以163小时后该药能起到有效抗病毒的效果．(2)设经过x 小时能有效抗病毒，即血液含药量需不低于4微克．若0≤x ≤6，药物浓度2�8−�≥4，解得163≤x ≤6.若6＜x ≤12，药物浓度(12－x �−6x 2－20x ＋100≥0，所以6＜x ≤12；若12＜x ≤18，药物浓度12－(x －6)≥4，解得x ≤14，所以12＜x ≤14.综上，x 14，所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为263小时．。

高考数学中的八大斜率模型与应用模型1.圆锥曲线第三定义此处以椭圆第三定义为例，双曲线第三定义类似推得.如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点P 与过原点为中心的弦AB 的两端点A 、B连线PA 、PB 与坐标轴不平行，则直线PA 、PB 的斜率之积PA PB k k ⋅为定值22b a -．证明 设(,)P x y ，11(,)A x y ，则11(,)B x y --．所以12222=+b y a x ①1221221=+b y a x ②由①－②得22122212b y y a x x --=-，所以22212212a b x x y y -=--，所以 222111222111PA PBy y y y y y b k k x x x x x x a-+-⋅=⋅==--+-为定值． 这条性质是圆的性质：圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质属性.例1.(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),M x y 满足 直线AM 与BM 的斜率之积为12-．记M 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于,P Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ．()i 证明：POG △是直角三角形； ()ii 求POG △面积的最大值．解析：（1）直线AM 的斜率为(2)2y x x ≠-+，直线BM 的斜率为(2)2yx x ≠-，由题意可知：22124,(2)222y y x y x x x ⋅=-⇒+=≠±+-，所以曲线C 是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为()221,242x yx +=≠±；（2）略.模型2.中点弦与点差法1.椭圆中的点差法：设直线m kx y +=与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于点B A ,两点，其中设点A (11,y x )，B (22,y x ) 由于B A ,两点均在椭圆上，代入椭圆的方程可得：∴1221221=+b y a x ①，1222222=+b y a x ②，①-②得：02222122221=-+-byy a x x ，进一步， 则2222122221-b y y a x x -=-，即2221212121))((ab x x y y x x y y -=++--，则 22a b k k OM AB -=（其中M 为B A ,中点，O 为原点）.椭圆垂径定理：直线AB 的斜率与中点M 和原点O 所成直线斜率的乘积等于2y 下的系数比上2x 下的系数的相反数，即22ba k k OMAB -=.例2．已知椭圆22154x y +=，则以点()1,1M 为中点的弦所在直线方程为（ ）A ．4510x y -+=B ．5490x y +-=C ．4590x y +-=D ．5410x y --=解析：设以点()1,1M 为中点的弦与椭圆22154x y += 交于点()11,A x y ，()22,B x y ，则122x x +=，122y y +=，分别把点A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22112222154154x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：12121212()()()()045x x x x y y y y +-+-+=，∴12122()052x x y y --+=，∴直线AB 的斜率121245y y k x x -==--，∴以点(1,1)M 为中点的弦所在直线方程为：41(1)5y x -=--，即4590x y +-=，故选：C ．模型3.四点共圆充要条件1.基础知识：（1）圆锥曲线四点共圆：若两条直线)2,1)((:00=-=-i x x k y y l i i 与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是021=+k k .例3.平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F、)2122F MF MF -=，点M的轨迹为C . （1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.解析：因为12122MF MF F F -=<=C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b =，所以，轨迹C 的方程为()221116yx x -=≥； （2）设点1,2T t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+=⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >.由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-，所以，()()()()22122121121122112111*********t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪-⎝⎭， 设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116t k TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=.因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0.模型4.极点极线斜率等差1.基本结论若D B C A ,,,四点成调和点列，在这四点所在直线外任取一点P ，所形成的的四条射线，PA ，PC ，PB ，PD 称为调和线束. 对于一组调和线束，本节给出其斜率之间所满足的基本关系，并进一步用此结论去解决一些与极点极线有关的斜率恒等式.结论[1]:如图1.若调和线束OA ，OC ，OB ，OD 的方程为4,3,2,1,:=+=i b x k y l i i i .那么1)()()()(),(413242314321-=-⋅--⋅-=k k k k k k k k l l l l .图1 图2 2.基本应用此处，我们选择比较经典的两个问题，即2013年江西高考的文理科圆锥曲线题目来作为上述结论应用的范例.例4.如图2，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 经过点)23,1(P ，离心率21=e ，直线l 的方程为4=x .（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为123,,k k k .问：是否存在常数λ，使得123+=k k k λ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.证明：由于直线l 是点F 关于椭圆C 的极线，所以PM PB PF PA ,,,成调和点列，分别设直线PM PB PF PA ,,,为4321,,,l l l l ，那么四直线的交比1),(4321-=l l l l ,利用交比的性质可得1),(2143-=l l l l ，又由于∞=2l k ，故1)(),(1432143-=--==PAPM PAPB k k k k l l l l l l l ，即3212k k k =+，证毕.详解：（1）椭圆C 的方程为22143x y +=. 结论：已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C ，过定点)0)(0,(a n n N <<作一直线交椭圆C于B A ,两点，交点N 的极线na x l 2:=于点M ，P 是椭圆C 上一点，且P 点横坐标为n ,则直线PB PM PA ,,的斜率成等差数列.模型5.蝴蝶定义与斜率之商结论1[1]：设抛物线)0(2:2>=p px y C 的弦AB 过定点)0)(0,(>m m M ，过点M 作非水平线l 交C 于Q P ,两点，若直线AP 与x 轴交于定点)0,(n ，直线BQ AP ,的斜率21,k k 存在且非零，则nm k k =21. 上述结论1就是2022年全国甲卷解析几何试题的命题背景，即所谓的“蝴蝶定理”！这个定理同样适用于椭圆与双曲线，下面我们通过例题予以展示.例5．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的离心率为23，半焦距为(0)c c >，且1a c -=，经过椭圆的左焦点F ，斜率为11(0)k k ≠的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点． （1）求椭圆Γ的标准方程．（2）设(1,0)R ，延长AR ，BR 分别与椭圆交于C ，D 两点，直线CD 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值． 解析：（1）由题意，椭圆Γ的方程为22195x y +=．（2）设()33,C x y ，()44,D x y ，由已知，直线AR 的方程为()1111y y x x =--，即1111x x y y -=+．由112211195x x y y x y -⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 并整理，得2112115140x x y y y y --+-=． 则2113145y y y x =--，∵10y ≠，∴13145y y x =-，∴1111331111114591155x x y x x y y y x x ---=+=⋅+=--．∴1111594,55x y C x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，同理2222594,55x y D x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭．()()()()()()1212211221212211244454555595959559555y y y x y x x x k x x x x x x x x -----==---------()()()122121454516y x y x x x ---=-，∵()1112y k x =+，()2122y k x =+， ∴()()()()()()()112121121122121425425771644k x x k x x k x x k k x x x x +--+--===--，∴1247k k =为定值．注：可以看到，椭圆中的蝴蝶构型在证明过程中会出现非对称韦达结构.模型6.斜率倒数成等差模型例6（2022武汉九月调考）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，过点(1,1)--P 且与x 轴平行的直线与椭圆E 恰有一个公共点，过点P 且与y 轴平行的直线被椭圆E（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设过点P 的动直线与椭圆E 交于,M N 两点，T 为y 轴上的一点，设直线MT 和NT 的斜率分别为1k 和2k ，若1211k k +为定值，求点T 的坐标.解：由题意，椭圆的下顶点为()0,1-，故1b =.由对称性，椭圆过点1,⎛- ⎝⎭，代入椭圆方程有21314a +=，解得：2a =. 故椭圆E 的标准方程为：2214x y +=.（2）设点T 坐标为()0,t .当直线MN 斜率存在时，设其方程为()11y k x =+-，与2214x y +=联立得：()()()224181420k x k k x k k ++-+-=.设()()1122,,,M x y N x y ，则()()1212228142,4141k k k k x x x x k k ---+==++.12121212121111x x x x k k y t y t kx k t kx k t+=+=+--+--+--， ()()()()1212221212211(1)kx x k t x x k x x k k t x x k t +--+=+--++--，()()()()()()()232228281142811(1)41k k k k k t k k kk k t k t k-----=-----+--+()()()2222881.4321(1)tk t ktk t k t -+=--+++1211k k +为定值，即与k 无关，则2(1)0,1t t +==-，此时12118k k +=-. 经检验，当直线MN 斜率不存在时也满足12118k k +=-，故点T 坐标为()0,1-. 一般性推广：已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E ，点P 为直线b y -=上任一点，过P 的直线l 与椭圆E 交于N M ,两点，设椭圆E 的下顶点为T ，则tba k k TN TM2211=+. 模型7.手电筒模型1．设),0(b P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上顶点，AB 是椭圆上一条动弦，直线PB PA AB ,,的斜率分别为21,,k k k ，则：（1）2221a b t k k ≠=⇔直线AB 过定点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+b t a b t a b 2222,0 （2）若021≠+k k ，则⇔+=+bm bk k k 221则直线AB 过),0(m . 2.设),(00y x P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的定点，AB 是椭圆上一条动弦，直线PB PA AB ,,的斜率分别为21,,k k k ；（1）若2221a b k k =，则有000,0x y k x -=≠， （2）若2221ab k k ≠，则直线AB 过定点，（3）若021=+k k ，则有02020,0y a x b k y =≠， （4）若021≠+k k ，则直线AB 过定点.例8.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>点()0,1A -是椭圆E 短轴的一个四等分点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设过点A 且斜率为1k 的动直线与椭圆E 交于M ，N 两点，且点()0,2B ，直线BM ，BN 分别交C ：()2211x y +-=于异于点B 的点P ，Q ，设直线PQ 的斜率为2k ，求实数λ，使得21k k λ=恒成立.解析：（1）椭圆E 的标准方程为14822=+y x .（2）设()()()()1122,,,,,,,P P Q Q M x y N x y P x y Q x y ，直线MN 的方程为11y k x =-， 则直线BM 的方程为1122y y x x -=+，与()2211x y +-=联立， 得：()()()22211112220x y x x y x +-+-=，由0P x ≠，且点()0,2B 在C 上，得()()112211222P x y x x y --=+-，又2211184x y +=，即221182x y =-，代入上式()()111221112226822P x y x x y y y --==+-+-， 111216246P P y y x x y -=+=-+，即点111216,466x P y y ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理222216,466x Q y y ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，则()121221212211212161644866226666P Q P Q y y y y y y k x x x x x y x y x x y y ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭===--+--++，将1112121,1y k x y k x =-=-代入上式，得()()()()()112112211122111212888116655k x x k x x k k x k x x k x x x x x --===---+--，所以85λ=时，21k k λ=恒成立.模型8.角度转化例9．（2018全国1卷）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 解析：（1）所以AM的方程为2y x =-+2y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为()()10y k x k =-≠，()()1122,,,A x y B x y ，则12x x <<MA 、MB 的斜率之和为121222MA MB y yk k x x +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得()()()12121223422MA MB kx x k x x kk k x x -+++=--.将()1y k x =-代入2212x y +=得()2222214220k x k x k +-+-=.所以，22121222422,2121k k x x x x k k -+==++. 则()33312122441284234021k k k k kkx x k x x k k --++-++==+.从而0MA MB k k +=，故MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.。