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《运筹学教程》第二章习题答案1、（1）解：引入松弛变量x4≥0,x5≥0,化不等式为等式为：minz=2X1 +3X2+4X3s.t. X1+3X2+2X3+X4=74X1+2X2+X5=9X1,X2,X4,X5≥0化自由变量为非负，令X3=X3′-X3〞，X3′，X3〞≥0 ：minz=2X1 +3X2+4X3′-4X3〞s.t. X1+3X2+2 X3′-2 X3〞+X4=74X1+2X2+X5=9X1,X2, X3′，X3〞，X4,X5 ≥0(2)解：引入松弛变量x5≥0,剩余变量X6≥0，化不等式为等式为：maxz=X1 -5X2+4X3- X4s.t. X1+2X3+X5=7X2-2X4-X6=9X1,X2，X4,X5 ，X6≥0化自由变量为非负，令X3=X3′-X3〞，X3′，X3〞≥0 ：maxz=X1 -5X2+4X3′-4X3〞- X4s.t. X1+2 X3′-2 X3〞+X5=7X2-2X4-X6=9X1,X2, X3′，X3〞，X4,X5 , X6≥0化极大的目标函数为极小的目标函数：minz=-X1+5X2-4X3′+4X3〞+X4s.t. X1+2 X3′-2 X3〞+X5=7X2-2X4-X6=9X1,X2, X3′，X3〞，X4,X5 , X6≥02、(1)是不等式表示下图阴影区域，过阴影部分任意两点的直线仍在该区域内。
(2)不是不等式表示下图阴影区域，过阴影部分且通过曲线上部的直线上的点不完全在该区域内。
(3)不是 不等式表示下图阴影区域，过阴影部分且通过圆内部的直线上的点不完全在该区域内。
3、在以下问题中，指出一组基础变量，求出所有基础可行解以及最优解。
（1）123123123123m ax 2..2644,,0z x x x s t x x x x x x x x x =+-⎫⎪++≤⎪⎬+-≤⎪⎪≥⎭解：将上式化成标准形式，如下：1231234123512345m in 2..2644,,,,0p x x x s t x x x x x x x x x x x x x =--+⎫⎪+++=⎪⎬+-+=⎪⎪≥⎭从上式中可以得出系数矩阵为[]12345112101411A P P P P P ⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦， 取基础变量为45,x x ，令非基变量123,,x x x =0，解方程组123412352644x x x x x x x x +++=+-+=得基础可行解(1)(0,0,0,6,4)T x =同理得基础解：(2)(0,6,0,0,20)T x =-，(3)(0,0,3,0,7)T x =，(4)(0,0,4,24,0)T x =-，(5)(0,1,0,5,0)Tx =，(6)1420(0,,,0,0)99Tx =，(7)(6,0,0,0,2)T x =-，(8)(4,0,0,2,0)Tx=，(9)202(,,0,0,0)33Tx =-，(10)142(,0,,0,0)33Tx =。
第二章习题12、对于下面的线性规划问题，以()632,,A A A B =为基写出相对应的典式。
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=+++-=++-=++-+-61,0108341242723..2min 63215214321321 j x x x x x x x x x x x x t s x x x j 解：由题可以知：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=100834010042001213A []000121-=TC取一个基()654A A AB =，即：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=183004021B 且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=834042213N[]012-=T B C []001=TN C在matlab 中可以计算得到：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-14740812104101B []T b B b 39531-==-1-=b C T B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--8321451T N T B C N B C 由()N TN T B T B x C N B C b C Z --=-1可得典式的目标函数：5418321451x x x Z +---=由b Nx B x N B =+-1可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+---=+++=++-3947422558121453412165415431521x x x x x x x x x x x 由此与题中线性规划问题相对应的典式为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥-=+---=+++=++-+---=6,,1,039474225581214534121..8321451min 65415431521541 j x x x x x x x x x x x x t s x x x Z j14、用单纯形法求解线面的线性规划问题，并在平面上画出迭代点走过的路线。
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+≤+--=0,10443186052..2min 21221212121x x x x x x x x x t s x x z 解：由题先将题中线性规划问题化为标准形：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥=+=++=++=++--=6,,1,010*********..2min 6252142132121 j x x x x x x x x x x x x t s x x z j 由此可写出A ，即为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100010010*********000152A则可以得出()6543A A A AB =是一个单位矩阵，且()010441860＞Tb =，所以基B 是可行基，6543,,,x x x x 为基变量，21,x x 为非基变量。
运筹学习题集（第二章）判断题判断正误，如果错误请更正第二章线形规划的对偶理论1.原问题第i个约束是<=约束,则对偶变量yi>=0.2.互为对偶问题,或则同时都有最优解,或则同时都无最优解.3.原问题有多重解,对偶问题也有多重解.4.对偶问题有可行解,原问题无可行解,则对偶问题具有无界解.5.原问题无最优解,则对偶问题无可行解.6.设X,Y分别为｛minZ=CX｜AX>=b,X>=0｝和｛maxw=Yb｜YA<=C,Y>=0｝的可行解,则有(1)CX<=Yb;(2)CX是w的上界;(3)当X,Y为最优解,CX=Yb;(4)当CX=Yb 时,有YXs+YsX=0;(5)X为最优解且B是最优基时,则Y=C B B-1是最优解;(6)松弛变量Ys的检验数是λs,则X=-λs是基本解,若Ys是最优解, 则X=-λs是最优解.7.原问题与对偶问题都可行,则都有最优解.8.原问题具有无界解,则对偶问题可行.9.若X,Y是原问题与对偶问题的最优解.则X=Y.10.若某种资源影子价格为0,则该资源一定有剩余.11影子价格就是资源的价格.12.原问题可行对偶问题不可行,可用对偶单纯形法计算.13.对偶单纯形法比值失效说明原问题具有无界解.14.对偶单纯形法是直接解对偶问题的一种解法.15.减少一个约束,目标值不会比原来变差.16.增加一个约束,目标值不会比原来变好.17增加一个变量, 目标值不会比原来变差.18.减少一个非基变量, 目标值不变.19.当Cj(j=1,2,3,……，n)在允许的最大范围内同时变化时，最优解不变。
选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第二章线性规划的对偶理论1.如果决策变量数列相等的两个线规划的最优解相同，则两个线性规划A约束条件相同B目标函数相同C最优目标函数值相同D以上结论都不对2.对偶单纯形法的最小比值规则是为了保证A使原问题保持可行B 使对偶问题保持可行C逐步消除原问题不可行性D逐步消除对偶问题不可行性3.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系A若最优解存在，则最优解相同B原问题无可行解，则对偶问题也无可行解C对偶问题无可行解，原问题可能无可行解D一个问题无界，则另一个问题无可行解E一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解4.已知规范形式原问题（max）的最优表中的检验数为（λ1，λ2，……λn），松弛变量的检验数为（λn+1,λn+2,……λn+m）,则对偶问题的最优解为A—（λ1，λ2，……λn）B （λ1，λ2，……λn）C —（λn+1,λn+2,……λn+m）D （λn+1,λn+2,……λn+m）5.原问题与对偶问题都有可行解，则A原问题有最优解，对偶问题可能没有最优解B原问题与对偶问题可能都没有最优解C可能一个问题有最优解，另一个问题具有无界解D原问题与对偶问题都有最优解计算题线性规划问题和对偶问题2.1 对于如下的线性规划问题min z = 3x1 + 2x2 +x3s.t. x1 + x2+ x3 ≤ 15 (1)2x1 - x2+ x3≥ 9 (2)-x1 + 2x2+2x3≤ 8 (3)x1 x2x3 ≥ 01、写出题目中线性规划问题的对偶问题；2、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解答：1、写出题目中线性规划问题的对偶问题；解：max w = 15y1 + 9y2 + 8y3s.t. y1 + 2y- y3 ≤ 3 (1)y1 - y2+ 2y3≤ 2 (2)y1 + y2+ 2y3≤ 1 (3)y1≤0、y2 ≥0、y3 ≤02、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解：先将原问题化成以下形式，则有mi n z = 3x1 + 2x2 + x3s.t. x1 + x2+ x3+ x4= 15 (1)-2x1 + x23+ x5= -9 (2)-x1 + 2x2+2x3+x6= 8 (3)原始问题的最优解为（X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6）=（2，0，5，8，0，0），minz=11 对偶问题的最优解为（y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6）=（0，7/5，-1/5，0，19/5，0），maxw=112.2 对于以下线性规划问题max z = -x 1 - 2x 2s.t. -2x 1 + 3x 2 ≤ 12 (1) -3x 1 + x 2 ≤ 6 (2) x 1 + 3x 2 ≥ 3 (3) x 1 ≤ 0，x 2 ≥ 01、写出标准化的线性规划问题；2、用单纯形表求出这个线性规划问题的最优解和最优的目标函数值；3、写出这个（极大化）线性规划问题的对偶问题；4、求出对偶问题的最优解和最优解的目标函数值；5、第（2）个约束右端常数b 2=6在什么范围内变化，最优解保持不变。
2运筹学模拟题新管理科学基础模拟题一、单项选择题：（本大题共 10小题，每小题2 分，共 20分。
每小题的备选答案中只有一个正确答案，请将选定的答案代号填在括号内。
）略。
二、问答题（每题4分，共20分）某公司正在制造两种产品，已知制造每件产品所占用设备的工时及调试时间，已知每天可用能力及单位产品利润，问如何制定生产计划使获利最大。
使用“管理运筹学”软件，得到的计算机解如图所示，回答下面的问题：（1）写出相应问题的数学模型；两种产品的最优产量是多少，此时最大利润是多少；（2）写出对偶问题的数学模型；对偶问题的最优解是什么；（3）如果要增加设备工时生产，选择哪个（A 、B 、调试时间），为什么；（4）哪些工时数没有使用完，没用完的加工工时数为多少；（5）产品I价格在什么范围内变化，最优解不变？（6）如设备A工时数增加到30，总利润能增加多少，原问题最优解是否发生变化。
三、计算题（60分）1、（20分）某厂I、II、III三种产品分别经过A、B两种设备加工。
已知生产单位各种产品所需的设备台时，设备的现有加工能力及每件产品的预期利润如下表所示：（2）如果上述最优解不变，求产品I的单件利润的变化范围。
（3）若有一种新产品，生产一件所需的设备台时分别为：A设备3小时，B 设备2小时，单件利润为2.5元，问该新产品是否值得生产？（4）如果A设备工时减小到30，问对原问题会造成什么影响？答：（1）≥≥≥≤++≤++++=0,0,03054345536..54max 323213213 211x x x x x x x x x t s x x x z则，3,0,5321===x x x ，最大赢利35*=z（2）产品I 的利润变化范围为[3，6] 0525-31-4-0051-5-314-0015-31-4-1≤??+≤??+≤??+）（）（）（）（）（）（λλλ21-≤≤λ（3）值得生产。
06/12332,31-5.2>＝）（＝σ （4）如果A 设备工时减小到30，问对原问题会造成什么影响？b B b ?'?1-＝），（＝00)6,0(30305251-31-3 11-≥=b B 利润变化5-30-4531-）＝（?b B b ?'?1-＝)7,35-(3025525 1-31-311-＝=b B（5）如果A 设备工时增加到70，问对原问题会造成什么影响？填一个数字划一条线，最后一个数字划两条线，m+n-1个基变量，m+n-1个非空格当同时出现行或列要划掉的时候，要在同时划去的一行或一列中的某个格中填入数字0。
① 某炼油厂根据计划,每季度供应合同单位汽油15万吨、煤油12万吨、重油12万吨.该厂从A、B两处运回原油提炼 已知两处原油成分如表格所示.已知从A处采购原油每吨价格200元,从B处采购原油每吨价格310元 (1)请您为该炼油厂定制最优决策 (2)若从A处采购原油价格不变,从B处价格降为290元/吨,则最优决策将如何变化? 表格
从A处购入x万吨 从B处购入y万吨 则 0.15x+0.5y>15 0.2x +0.3y>12 0.5x+0.15y>12 设成本z=200x+310y (万元) ② 某医院昼夜24小时各时段需要的护士数量如下 2:00---6:00 10人 6:00---10:00 15人 10:00---14:00 25人 14:00---18:00 20人 18:00---22:00 18人 22:00---2:00 12人 护士分别于2:00 , 6:00, 10:00, 14:00, 18:00, 22:00 分六批上班，并连续工作8小时。试确定：（1）该医院至少应设多少名护士，才能满足值班需要 （2）若医院可以聘任合同工护士，上班时间同正式护士。若正式护士报酬为每小时10元，合同工护士为每小时15元，问医院是否应聘任合同工护士及聘多少名？ (1)设在从2:00开始个时段上班人数分别为x1,x2,x3,x4,x5,x6, 目标函数:minz=x1+x2+x3+x4+x5+x6 约束条件: x1+x2>=10; x2+x3>=15; x3+x4>=25; x4+x5>=20; x5+x6>=18; x1+x6>=12; x1,x2,x3,x4,x5,x6>=0 (2)设在从2:00开始个时段上班 正式工人数分别为x1,x2,x3,x4,x5,x6, 合同工人数x1',x2',x3',x4',x5',x6', 目标函数: minz=(x1+x2+x3+x4+x5+x6)*8*10+(x1'+x2'+x3'+x4'+x5'+x6')*8*15 约束条件: x1+x2+x1'+x2'>=10; x2+x3+x2'+x3'>=15; x3+x4+x3'+x4'>=25; x4+x5 +x4'+x5'>=20; x5+x6+x5'+x6'>=18; x1+x6 +x1'+x6'>=12; x1,x2,x3,x4,x5,x6,x1',x2',x3,'x4',x5',x6'>=0
运筹学第二章习题和答案运筹学是一门研究如何通过数学模型和方法来优化决策和资源分配的学科。
在运筹学的学习过程中，习题是非常重要的一部分。
通过做习题，我们可以巩固理论知识，提高解决问题的能力。
本文将针对运筹学第二章的习题进行讨论和答案解析。
第二章主要介绍了线性规划的基本概念和方法。
线性规划是一种常见的优化问题，其数学模型可以表示为最大化或最小化一个线性目标函数的同时满足一组线性约束条件。
在解决线性规划问题时，我们常常使用单纯形法或者内点法等方法。
习题2.1：一个公司生产两种产品A和B，每个单位A产品的利润为3万元，每个单位B产品的利润为4万元。
公司的生产能力为每天生产A产品100个单位，B产品80个单位。
产品A和B分别需要2个和3个单位的原材料X和Y。
而公司每天可用的原材料X和Y分别为180个单位和210个单位。
问该公司应如何安排生产，才能使利润最大化？解析：首先，我们需要定义决策变量。
假设公司每天生产A产品x个单位，B 产品y个单位。
则我们的目标是最大化利润，即最大化目标函数Z=3x+4y。
同时，我们需要满足生产能力和原材料约束条件。
生产能力约束条件为x≤100，y≤80。
原材料约束条件为2x+3y≤180，2x+3y≤210。
通过绘制约束条件的图形，我们可以得到可行解的区域。
在该区域内，我们需要找到目标函数Z=3x+4y的最大值点。
通过计算，我们可以得到最大利润为320万元，此时生产100个单位的A产品和60个单位的B产品。
习题2.2：某工厂生产两种产品，产品A和产品B。
产品A的生产需要1个单位的原材料X和2个单位的原材料Y，产品B的生产需要2个单位的原材料X 和1个单位的原材料Y。
每个单位的产品A的利润为3万元，每个单位的产品B的利润为4万元。
工厂每天可用的原材料X和Y分别为10个单位和12个单位。
问该工厂应如何安排生产，才能使利润最大化？解析：同样地，我们首先定义决策变量。
假设工厂每天生产A产品x个单位，B产品y个单位。
1线性规划可行域的形状是多边形，而且是“凸”形的多边形。
2最优解在边界位置获得，而且是在某个顶点获得。
3标准型式特点：max型、等式约束、非负约束4可行解：满足全部约束条件的解，记为X。
5最优解：可行解中最优的，记为X*。
6基本可行解(基可行解)：非负的基本解。
7对偶最优解的经济解释—资源的影子价格8影子价格反映了资源的稀缺性，影子价格越高，则越稀缺。
9影子价格＞市场价格，则应买进该资源；影子价格＜市场价格，则应卖出该资源；资源C 的影子价格为0，则表明有剩余。
10Y*=(y1* , y2* ,……，ym* ）为DP的最优解，则yi* 表示LP某资源bi 变化1个单位对目标产生的影响，称yi* 为bi的影子价格11松弛问题：不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。
12分支定界法就是将B的可行域分成子区域（称为分支方法）的方法，通过减小最优值的上界和增大最优值的下界最终得到最优值。
13动态规划是一种将实际问题分解为更小的、相似的子问题，并存储子问题的解而避免计算重复的子问题，以解决最优化问题的方法策略。
14适合于用动态规划方法求解的只是一类特殊的多阶段决策问题，即具有“无后效性”的多阶段决策过程。
指系统从某个阶段往后的发展，仅由本阶段所处的状态及其往后的决策所决定，与系统的历史无关。
15图是由点和边构成的，记为G=(V，E)，点表示研究对象，边表示研究对象之间的特定关系；分为无向图，记为G=(V，E) ，和有向图，记为D=(V，A)。
16图的每条边都有一个表示一定实际含义的权数，称为赋权图，记为D=(V，A，C)。
17关键路线：自始至终全部由关键工作组成的线路，或线路上总的工作持续时间最长的线路为关键线路。
18等待的服务规则又可分为：先到先服务（FCFS）后到先服务（LCFS）随机服务（RAND）带有优先权的服务（PS）19例2 （M / M / C / N /∞ / LCFS）表示：到达间隔为负指数分布，服务时间也为负指数分布，C个服务台，系统容量为N，顾客源无限，后到先服务。
《运筹学教程》第二章习题答案1、（1）解：引入松弛变量x4≥0,x5≥0,化不等式为等式为：minz=2X1 +3X2+4X3s.t. X1+3X2+2X3+X4=74X1+2X2+X5=9X1,X2,X4,X5≥0化自由变量为非负，令X3=X3′-X3〞，X3′，X3〞≥0 ：minz=2X1 +3X2+4X3′-4X3〞s.t. X1+3X2+2 X3′-2 X3〞+X4=74X1+2X2+X5=9X1,X2, X3′，X3〞，X4,X5 ≥0(2)解：引入松弛变量x5≥0,剩余变量X6≥0，化不等式为等式为：maxz=X1 -5X2+4X3- X4s.t. X1+2X3+X5=7X2-2X4-X6=9X1,X2，X4,X5 ，X6≥0化自由变量为非负，令X3=X3′-X3〞，X3′，X3〞≥0 ：maxz=X1 -5X2+4X3′-4X3〞- X4s.t. X1+2 X3′-2 X3〞+X5=7X2-2X4-X6=9X1,X2, X3′，X3〞，X4,X5 , X6≥0化极大的目标函数为极小的目标函数：minz=-X1+5X2-4X3′+4X3〞+X4s.t. X1+2 X3′-2 X3〞+X5=7X2-2X4-X6=9X1,X2, X3′，X3〞，X4,X5 , X6≥02、(1)是不等式表示下图阴影区域，过阴影部分任意两点的直线仍在该区域内。
(2)不是不等式表示下图阴影区域，过阴影部分且通过曲线上部的直线上的点不完全在该区域内。
(3)不是 不等式表示下图阴影区域，过阴影部分且通过圆内部的直线上的点不完全在该区域内。
3、在以下问题中，指出一组基础变量，求出所有基础可行解以及最优解。
（1）123123123123m ax 2..2644,,0z x x x s t x x x x x x x x x =+-⎫⎪++≤⎪⎬+-≤⎪⎪≥⎭解：将上式化成标准形式，如下：1231234123512345m in 2..2644,,,,0p x x x s t x x x x x x x x x x x x x =--+⎫⎪+++=⎪⎬+-+=⎪⎪≥⎭从上式中可以得出系数矩阵为[]12345112101411A P P P P P ⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦， 取基础变量为45,x x ，令非基变量123,,x x x =0，解方程组123412352644x x x x x x x x +++=+-+=得基础可行解(1)(0,0,0,6,4)T x =同理得基础解：(2)(0,6,0,0,20)T x =-，(3)(0,0,3,0,7)T x =，(4)(0,0,4,24,0)T x =-，(5)(0,1,0,5,0)Tx =，(6)1420(0,,,0,0)99Tx =，(7)(6,0,0,0,2)T x =-，(8)(4,0,0,2,0)Tx=，(9)202(,,0,0,0)33Tx =-，(10)142(,0,,0,0)33Tx =。
练习题（博弈论部分）： 化简下面的矩阵对策问题: 1、
2、
3、
4、
列出下列矩阵对策的线性规划表达式 用线性方程组解“齐王赛马”的纳什均衡。 解：已知齐王的赢得矩阵为
已知对策 下矩阵对策的最优解和对策值 32 20 20 20 20 44 20 38 20 A
5、 设矩阵对策的支付矩阵为:
6、 求解下列矩阵对策的解:
的最优解为: 6 3 4*6 4 3、 * 24 （1?石143），Y （1?石13），对策值V n
，求以
3 2，求其策略和策略的值。 练习题（多属性决策部分）： 1拟在6所学校中扩建一所，经过调研和分析，得到目标属性值如下表（费用和学生就读距离越小越好）
方案序号 1 25 3 4 5 6
费用（万元） 60 50 44 36 44 30
就读距离（KM 1
试用加权和法分析应扩建那所学校讨论权重的选择对决策的影响！ 2、拟选择一款洗衣机，其性能参数（在洗 5Kg衣物的消耗）如下表，设各目标的重要性相同，采用折中 法选择合适的洗衣机
序号 价格（元） 耗时（分） 耗电（度） 用水（升）
1 1018 74 342 2 850 80 330 3 892 72 405 4 1128 63 354 5 1094 53 420 6 1190 50 405 3、六方案四目标决策问题的决策矩阵如下表 ，各目标的属性值越大越好，
W O.3,O.2,O.4,O.1}T
请用ELECTREt求解，折中法，加权法求解 序号 y1 y2 y3 y4
1 20 1.3 106 3
2 13 4 106 3 3 15 2.2 106 5 4 30 1 106 2
5 5 4 106 7
6 40 1 106 1 8人的速率来到只有一名医生的诊所，候诊室有 9把座椅供病人等候，对每名病
排队论练习： 例1：在某单人理发馆，顾客到达为普阿松流，平均到达间隔为 20分钟，理发时间服从负指数分布，
平均时间为 15分钟。求： (1) 顾客来理发不必等待的概率； (2) 理发馆内顾客平均数；
(3) 顾客在理发馆内平均逗留时间； (4) 如果顾客在店内平均逗留时间超过小时，则店主将考虑增加设
备及人员。问平均到达率提高多少时店主才能做这样考虑呢
例2：某机关接待室只有一位对外接待人员，每天工作 10小时，来访人员和接待时间都是随机的。若来 访人员按普阿松流到达， 其到达速率 =7人/ 小时， 接待时间服从负指数分布， 其服务速率 =人/ 小时。
现在问： (1) 来访者需要在接待室逗留多久等待多长时间
(2) 排队等待接待的人数。
(3) 若希望来放者逗留时间减少一半，则接待人数应提高到多少
例3：某电话亭有一部电话，打来电话的顾客数服从泊松分布，相继两个人到达时间的平均时间为 10分 钟，通话时间服从指数分布，平均数为 3分钟。求： 1)顾客到达电话亭要等待的概率；
2)等待打电话的平均顾客数；
3)当一个顾客至少要等 3分钟才能打电话时， 电信局打算增设一台电话机， 问到达速度增加到多少
时，装第二台电话机才是合理的 4)打一次电话要等 10分钟以上的概率是多少
例4：单人理发馆有 6把椅子接待人们排队等待理发。 当 6把椅子都坐满时， 后来到的顾客不进店就离开。 顾客平均到达率为 3人/ 小时，理发需时平均 15分钟。求系统各运行指标。
例5：某一个美容店系私人开办并自理业务，由于店内面积有限，只能安置 3个座位供顾客等候，一旦 满座则后来者不再进店等候。已知顾客到达间隔与美容时间均为指数分布，平均到达间隔 80min，平
均美容时间为 50min。 试求任一顾客期望等候时间及该店潜在顾客的损失率。
人诊断时间平均 6min。 计算： 例6：病人以平均每小时 4人 / 分钟的泊松流到达，所有的顾客排成一队，出纳员与
3）平均队列长；（ 4）银行内的顾客平均数；（ 5） 6）等待
服务的平均时间。
[ 考研真题 ] 例 1：为开办一个小型理发店， 目前只招聘了一个服务员， 假设需要理发的顾客到来的规律服从泊松流，平均每 4分钟来一个，而理发的时间服从指数分布，平均
1）开诊时间内候诊室满员占的时间比例；
2）求下述情况的概率
a. 有一个病人；
b. 有 2个病人在候诊室外排队。
例 7：某车间有 5台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分布，平均连续运转时间 15分钟，有一个 修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次 12分钟。 求： （1） 修理工空闲的概率； （2） 五台机器都出故障的概率； （3） 出故障的平均台数； （4） 等待修理的平均台数； （5） 平均停工时间；（ 6）平均等待修理时间；
7）评价这些结果。
例 8：一个机修工人负责 3台机器的维修工作，设每台机器在维修之后平均可运行 5天，而平均修理一台 机器的时间为 2天，试求稳态下的各运行指标。
例 9：一个工人负责照管 6太自动机床，当机床需要加料、发生故障或刀具磨损时就自动停车，等待工人 照管。设每台机床平均每小时停车一次，每次需要工人照管的平均时间为。试分析该系统的运行情况。 例10：某售票厅有三个窗口，顾客的到达服从普阿松过程，平均到达率每分钟 =人，服务（售票）时间服 从负指数分布，平均服务率每分钟 =人。现设顾客到达后排成一队，依次向空闲的窗口购票，求系统的运 行指标。
例 11：某商店收款台有 3名收款员，顾客到达为每小时 504人，每名收款员服务率为每小时 240人，设顾客 到达为泊松输入，收款服务时间服从负指数分布， 求解。
顾客的交易时间服从平均数为分钟的负指数分布， 试求： 1）银行内空闲时间的概率；（ 2）银行内顾客数为 n 时的稳态概率；
例 12：某银行有 3个出纳员，顾客以平均速度为
在银行内的平均逗留时间；
需要决定等待理发的顾客的位子应设立多少。 3分钟一个人，如果要求理发的顾客因没有等待的位子而转向其他理发店的人数占理发的人数的 7%时，
应该安放几个供顾客等待的位子
例 2：工件按泊松流到达服务台，平均间隔时间为 10分钟，假设对每一工件的服务所需时间服从负指数 分布，平均服务时间 8分钟。求： 1. 工件在系统内等待服务的平均数和工件在系统内平均逗留时间；
2. 若要求在 90%的把握使工件在系统内的逗留时间不超过 30分钟，则工件的平均服务时间最多是多少
3. 若每一工件的服务分两段，每段所需时间都服从负指数分布，平均都为 4分钟，在这种情况下，工
件在系统内的平均数是多少
例3：某机关接待室， 接待人员每天工作 10小时。 来访人员的到来服从泊松分布， 每天平均有 90人到来， 接待时间服从指数分布，平均速度为 10人/ 小时。试求排队等待接待的平均人数；等待接待的多于 2人 的概率，如果使等待接待的人平均为两人，接待速度应提高多少
例 4：经观察，某海关入关检查的顾客平均每小时到达 10人，顾客到达服从泊松分布，关口检查服务时 间服从负指数分布，平均时间是 5分钟，试求： 1．顾客来海边不用等待的概率；
2．海关内顾客的平均数；
3．顾客在海关内平均逗留时间；
4．当顾客逗留时间超过小时时，则应考虑增加海关窗口及人数，问平均到达率提高多少时，管理者
才作这样的打算。 存储论练习 例 1 : 某企业为了满足生产需要，定期向外单位订购一种零件。这种平均日需求为 100 个，每个零件一天的存储 费是元，订购一次的费用为 100 元。假定不允许缺货，求最佳订货量，订货间隔期和单位时间总费用（假 定订货后红火单位能立即到货） 。
例 2 ： 某物质的销售速度是 2吨/ 天，订货费用 10元/天，存储费元 / 吨.天，若以 306天为一个计划期（年） 分析不允许缺货的最佳销售存储模型。
例 3 ： 某装配车间每月需要零件 400件，该零件由厂内生产，每月生产 800件，每批生产装配费用为 100 元，每 月单位零件的存储费为元，试求最小费用和经济批量 例 4 : 某企业每月需要某种部件 2000 个，每个成本 150 元，每年每个部件的存储费为成本的 16%，每次订货费 用为 100 元 1） 在不允许缺货的情况下，求该部件的经济订货批量和最小费用；
2） 在运行缺货的情况下，每月每个部件的缺货损失费 5 元，求最佳订货批量、最大存储量、最大缺货量 和最小费用
例 5 : 某印刷厂每周需要 许缺货且及时供应， 12元 :1 10
元 :10 9.5元 : 50
例6: —自动化工厂的组装车间从本厂的装配车间订购各种零件，估计下一年度的某种零件的需求量为2 0 0 0 0单位，车间年存储费用为其存储量价值的2 0%，该零件每单位价值2 0元，所有订货均可及时
送货。一次订货的费用是10 0元，车间每年工作2 5 0天 求: 经济订货批量，每年订货多少次，如果从订货到交货的时间为10个工作日，产出是一致连续的，并设安 全存量为50单位，求订货点 例 7:某公司每年需某种零件 10000 个，假定定期订购且订购后供货单位能及时供应，每次订购费用为 元，每个零件每年的存储费为元， 求:不允许缺货，求最优订购批量以及年订货次数，允许缺货，问单位缺货损失费用为多少时，一年只需 订购 3 次 例 8:有一个生产和销售图书馆设备的公司，经营一种图书专用书架，基于以往的销售记录和今后市场的 预测，估计今年一年的需求量为 4900 个，犹豫占有资金的利息以及存储库房和其他人力物力的原因，存 储一个书架一年要花费 1000元，这种书架每年的生产能力为
9800 个，而组织一次生产要花费设备调试等 准备费用 500 元，该公司为了把成本降到最低，应如何组织生产，求出最优生产批量，相
应的周期，最少 的每年总费用以及每年的生产次数。假设允许缺货，其总费用最少的经济批量和最优缺货量为多少一年最 少总费用是多少（假设每个书架缺货一年的缺货费用为 2000 元） 例9 :某电话制造公司购买大量半导体管用于制造电子开关系统,
每次订货准备费用为 100元，年度单位库存费用是单位购进价格的 24% 即: C1 0.24K供应者的价格如 F表所示，试确定最优订货批量。
订货量 0 Q 4000 4000 Q 20000 20000 Q 40000 Q 40000
单位价格（元） 12 11 10 9
。试 32筒卷纸，订货费为 25元/次，存储费为 1元/ 筒周。供应商的批发价格见下，在不允 求最佳订货量
9筒
49筒
99筒
Q
9元:100筒
25 不允许缺货，需求速率为 R= 250000只,
